O optymalizacji rozmiaru próby warstwowej w badaniu wiarygodności sprawozdań

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O optymalizacji rozmiaru próby warstwowej w badaniu wiarygodności sprawozdań"

Transkrypt

1 Zzyty Tortycz Racuoości, tom 70 (6, SKP, Warzaa 03, O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań Jauz L. Wyiał Wproazi Pocza proazia baań auytoyc populację oumtó ięgoyc moża zilić a popopulacj za artami. W zczgólości o aj arty alżą fatury orślogo typu. Wócza clu proazia toogo iooaia tatytyczgo o paramtrac populacji zalca ię oob looai bzzrot prób protyc z art, tór tratoa łączi ą azya próbą artoą. Pojaia ię tu problm racjoalgo utalaia rozmiaró prób looayc z pozczgólyc art, co czyi ię róży poób, zyl z uzglęiim oztó poozoyc a t cl. Zyl utala ię opuzczalą umę rozmiaró prób, jai bęą looa z art, co jt trmioa oztami aaliz ylooayc o ic oumtó. Wócza moża z ażj arty looać tę amą liczbę oumtó, albo liczbę oumtó proporcjoalą o rozmiaró art, albo poób optymaly uzglęiający ołaość iooaia tatytyczgo oraz ozt aaliz oumtó obrayc o próby. W ońcu przy utaloj liczbości próby artoj utala ię ta ic rozmiary pozczgólyc prób looayc z art, aby ołaość tymacji śrij populacji była miimala. Ta formułoa zaaia za ą optymalymi ariatami yzaczaia rozmiaró prób łaoyc próby artoj. Tgo typu zaaia alżą o layczyc zagaiń aalizoayc zial tatytyi zaym mtoą rprztacyją. W litraturz polij t zagaiia moża zalźć p. iążac Bracy (996, Karlińigo (005 i Wyiała (00. W iijzj pracy róiż zajmimy ię pym optymalym poobm utalaia rozmiaru próby artoj, lcz pym i jt oo orotym o jgo z yżj azicoayc zaań optymalizacyjyc. Polga oo a miimalizacji oztó obracji i orty zmij baaj próbac looayc z art, lcz przy utaloyc ryzyac przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo oraz ryzyu orzucia praiłogo praozaia ięgogo. Jt to głóy cl iijzj pracy. Zamiar t bęzi zralizoay za pomocą opoiic mto zapożyczoyc z torii tatytyi matmatyczj. W ogólości, z formalgo putu izia jt to problm optymalizacji rozmiaró prób loo- Prof. r ab. Jauz L. Wyiał, Katra Statytyi Uiryttu Eoomiczgo Katoicac, -mail: jauz.yial@u.atoic.pl

2 30 Jauz L. Wyiał ayc z art clu ryfiacji ipotzy tatytyczj o popraości praozaia ięgogo. Potaio zaai bęzi roziąza poprzz aaptację lub moyfiację zayc mto iooaia tatytyczgo z uzglęiim procur optymalgo yzaczaia rozmiaró prób tatytyczyc.. fiicj i ozaczia potao Populację oumtó ozaczamy przz U, a yróżio ij iput i rozłącz arty przz U, =,,. Liczbę oumtó torzącyc -tą artę przz, =,,. Próbę protą looaą bzzroti z -tj arty ozaczamy przz, =,,, a umę tyc prób przz. Symbolm ozaczamy rozmiar -tj próby, a przz rozmiar próby, czyli. Korzytając z fiicji użyayc p. artyul (Pal o otaar Mixtur of itributio, 989 proazamy atępując orślia. Obroa (zarjtroa oty ięgo oumtó (boo (rcor amout, ozaczamy przz x, =,, i tratujmy j jao artości zmij x. W zczgólości mamy tu a myśli p. otę piięzy, za tórą upioo uługi lub toary iijąc a faturz. W yiu przproazoj otroli i tualyc ort uzyuj ię orygoa (popraio oty (auit (corrct amout y, =,,, tór ą artościami zmij y poiązaj z zmią x za pomocą yrażia: x = y +, =,, (, gzi przz ozaczoo błą ięgoy (rror amout. ic tgo typu błęy bęą artościami zmij. Wzór ( prztuj pozci bray po uagę mol aytyy groaia ię błęó ięgoyc. oajmy jzcz, ż iijzj pracy obroa populacji oumtó artości zmiyc x, y i ą tratoa jao z góry utalo. Clm iooaia tatytyczgo ą śria lub artość globala błęó ięgoyc (rror of t boo balac of t accout, yzacza opoiio a potai zoró:, ~. Opoiaając im paramtry artac ą atępując: U Wariację błęó orśla zór: ~, =,,.,

3 O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 3 U, =,,. Paramtry i ~ zacuj ię za pomocą tymatoró:, ~ ( przy czym:,, =,,. Użyając tymatoró, ~ o ocy artości opoiio paramtró i ~ i popłiamy błęó ytmatyczyc, czyli oraz ~ ą iobciążoym tymatorami opoiio i ~. Wariacj tyc tymatoró ą potaci:, ~ (3. Zatm p. możli ocy artości globalj błęó ~ ocylają ię o zacoago paramtru ~ przcięti o artość. ~ Paramtry i ~ zacuj ię za pomocą tatyty:, ~ (4 gzi:.. Baai iarygoości praozaia W clu uprozczia alzyc rozażań, co byajmij i umijza ogólości otrzymayc yió, załaamy, ż 0, la =,,. W zczgólości ozacza to, ż ota ięgoa oumtu x zotała zayżoa touu o jj orygoago poziomu y o błą, =,,, co yia z zoru (. Wócza globala ota ięgoa populacji (populatio boo amout x ~ przracza o-

4 3 Jauz L. Wyiał rygoaą globalą otę ięgoą populacji (populatio auit (corrct amout ~ y o poziom ~, czyli ~ ~ x ~ y. oajmy, ż orygoaą globalą otę ~ y uzyalibyśmy yiu otroli (auytu zytic oumtó. Liczba tyc oumtó moż być pratyc barzo uża, co ylucza możliość otroloaia ażgo z ic z ooba. latgo czyi ię to a potai próby. Kotrolrzy ą tai tolroać fat, ż artość globala błęó ~ ocyla ię o zra o pi opuzczaly poziom 0 > 0. Z oli ża poób i ą tai acptoać iopuzczalgo poziomu > 0 błęu. Ja paramtr ~ i jt zay, a jyi jgo oca ~. Wócza po to, aby pojąć cyzję o przyjęciu bąź iprzyjęciu praozaia, przproaza ię potępoai proazając ię o ryfiacji atępującj ipotzy tatytyczj: : ~ 0 0, : ~ 0 (5. ipotza prazaa 0 głoi, ż praozai ięgo jt iarygo, poiaż uma błęó ~ i przracza opuzczalgo poziomu 0. Z oli ipotza prazaa głoi, ż praozai ięgo i jt iarygo, poiaż uma błęó ~ przracza iopuzczaly (yalifiujący poziom. Zapia zorm (5 ipotzy ą róoaż atępującym: :, 0 0 : 0, ~ 0 ~ przy czym: 0,. Rozażay przypa moż otyczyć p. praozań z plaoayc yató itycyjyc. Wócza częto mamy o czyiia z łoością o zayżaia plaoaj umy ~ x tgo typu yató touu o poprai zaplaoayc ytarczającyc yató ~ y. Z oli przypau otroli p. praozań poatoyc alży poziać ię orotj ytuacji, czyli alża (praiłoo yzaczoa uma poató ~ y bęzi i mijza o laroaj ~ x. Zatm tym przypau umę błęó fiiujmy różicą: ~ ~ y ~ x. Rozażmy jzcz problm otroli praozań bilaoyc. W tym przypau pozczgólyc pozycjac praozaia i poiy ytępoać ai oati, ai ujm ocylia tirzoyc (obroayc częścioyc um o ic praiłoyc poziomó. Wócza globalą umę błęó fiiuj ię yrażim: ~ x i y i. i a potai iżj prztoago ttu tatytyczgo pojmujmy cyzję o przyjęciu jj z óc orśloyc ipotz. W ziązu z tym, ż cyzję pojmujmy a potai próby looj, to możmy orzucić ipotzę 0, gy jt prazia, czyli popłiamy, rozumiiu trmiologii tatytyczj, tz. błą

5 O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 33 pirzgo rozaju. W tym przypau ozacza to orzuci fiaogo praozaia ięgogo, gy jt oo praiło. Z oli, jśli przyjmimy ipotzę 0, gy jt fałzya, to popłiamy błą rugigo rozaju, co ozacza, ż acptujmy praozai, mimo ż jt oo ipraiło. Praopoobińto orzucia ipotzy 0, gy jt prazia, oi azę poziomu itotości i ozacza ię przz. W otści baaia auytogo poziom itotości jt azyay ryzyim orzucia praiłogo (iarygogo praozaia. Potaio ipotzy ą ryfioa a potai tz. tatytyi ttoj (praziau ttu, tóry jt zyl potaci: U ~ 0 0 (6. ~ Jśli ipotza 0 jt prazia i arty populacji ą otatczi licz oraz looa z ic próby, to tatytya ttoa U ma przybliżiu rozła ormaly taaroy. Iymi łoy, jśli 0 jt prazia oraz, i, la =,,, to U U~(0, por. p. (Fullr, 009. Wócza tz. artość rytyczą ttu u yzacza ię ta, aby: P(U u = (7. Gy yliczoa a potai próby artoj artość praziau ttu u płia iróość u u, to orzucamy ipotzę 0 a orzyść, z praopoobińtm popłiia błęj cyzji róym. Iymi łoy ozacza to, ż z ryzyim popłiia błęj cyzji róym orzucamy praozai fiao, czyli uażamy, ż i jt oo iarygo. W przciym przypau, gy u < u, to i ma pota o orzucia ipotzy 0. itty tym przypau i ma pota o przyjęcia tj ipotzy bz uprzigo yliczia praopoobińta popłiia błęu rugigo rozaju ozaczago przz, czyli tz. ryzya przyjęcia ipraiłogo praozaia. Tę liczbę ocia ię a potai yrażia: gzi: = P(U u (8, u u 0 ~ (9, tór jt uogóliim a przypa próby artoj zaaia rozażago p. przz Fiza (967. Jśli yliczoa a potai obu poyżzyc zoró artość ryzya przracza potuloay przz auytora poziom, pozotaj olooać lmty o próby, co płyi a zmijzi ocy ariacji róiż a zmijzi ryzya. ~, a tym amym

6 34 Jauz L. Wyiał 3. Optymalizacja utalaia rozmiaró prób looayc z art Rzczą roząą jt, aby prz pojęcim baaia auytogo yzaczyć izbęy rozmiar próby zapiający iprzroczi potuloayc ryzy i. Wty z zoró (8 i (9 yia, ż aby oiągąć łaśi formułoa potulaty o iprzrocziu ryzy, mui być płioa iróość: tóra jt róoaża atępującj: u u 0 ~, z z ~ 0 (, (0. Z zapiago zoru yia, co jt art porślia, ż artość ograiczia (, arzucogo a ariację jt ściśl ztrmioaa przz potuloa poziomy ryzy i. Stą i z zoró (7 i (8 oraz łaości taarogo rozłau ormalgo yia, przy utaloyc 0 i ograiczi ariacji zmijza ię raz z zmijzaim poziomu ryzya lub. Z oli, jśli i ą utalo, to ilość zalży o moułu z różicy 0. Tratując ariację jao fucję f,..., rozmiaró prób looayc z art, czyli ( f (,..., ~, alży utalić ic poziomy, aby płioa była iróość: f (,...,. Taic roziązań jt il. Aby jozaczi yzaczyć potrzb rozmiary tyc prób, proazamy atępując rytrium: c(,..., c (, gzi c > 0 jt oztm jotoym obracji i auytu oumtó -tj arti, czyli c (,..., jt fucją oztu całoitgo. oajmy, ż jśli ozty obracji artac ą tai am, to poyżzą fucję oztó zatępuj ię atępującą: c(,...,.

7 O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 35 Raumując, aby obya ryzya baaia auytogo i przroczyły utaloyc poziomó i, alży roziązać atępując zaai optymalizacyj: f im c,...,,,..., ( mi,..., ( (. Potaioy typ zaań optymalizacji rozmiaró prób looayc z art był m.i. rozażay pracac Koaa i Kaa (967 lub Wyiała (003. Przyjmując, ż rozmiary looayc prób i przroczą rozmiaró opoiic art, otrzymujmy atępując roziązai: o a (, =,,, (3, gzi: a. iróości: o ( ą róoaż opoiio a, =,,. Stą ięc yia, ż jśli a imum,..., max (4, to zyti rozmiary prób ą mijz o opoiaającyc im rozmiaró art. oamy jzcz, ż jśli fucję oztó c c,..., (, bęącą joczśi fucją clu potaiogo zaaia optymalizacyjgo ( zatąpimy przz c c,..., (, to roziązai orślo yrażim (3 ruuj ię o potaci: o a (, =,,,

8 36 Jauz L. Wyiał gzi: a. Wócza iróości o ( zacozą ty, gy imum,..., max. Aby yzaczyć optymal rozmiary prób, alży ocić zyl iza artości ariacji, =,,. Moża to uczyić poprzz ylooai tępyc prób z art lub yorzytać ocy ariacji z czśijzyc poobyc baań auytoyc albo yorzytać o tgo clu z góry za artości ariacji artac artości ięgoyc, czyli ariacj (x. Jśli przyjmimy założi, ż ocylia taaro błęó ięgoyc oljyc artac ą proporcjoal o przciętyc artości ięgoyc opoiic artac, ięc: x (, =,,. T róości ą róoaż atępującym: x, =,,, (5, co ozacza, ż załaa ię, iż zytic artac półczyii zmiości (liczo ilorazm ocylia taarogo błęó ięgoyc przz przciętą artości ięgoj ą tai am. Zatm, gyby o yzaczia rozmiaró potrzbyc prób użyć przciętyc x zamiat opoiio ariacji, =,,, to zór przztałca ię o potaci: o x a (, =,, (6, gzi: x x a.

9 O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 37 oajmy, ż pratyc ylicza liczbości ajbliżzj liczby aturalj. Jśli fucję clu c(,..., c zaaia optymalizacyjgo ( zatąpimy przz (o ą zaorągla górę o c(,..., c, to roziązaiu orśloym yrażim (6 przyjmujmy, ż = la ażgo =,,. 4. Przyła optymalizacji rozmiaró prób looayc z art W trzc miatac ma być przproazoa otrola zzań poatoyc. Bęzi poróyaa artość laroaa poatu z alżą urzęoi arbomu. Pozbiory zzań poatoyc zajując ię o ypozycji otrolró oljyc miatac tratujmy jao rozłącz arty populacji oumtó. Kolj arty liczą opoiio 6000, 3000 i 9000 oumtó. Kozty joto otroli oumtó oljyc artac yozą PL, PL i,50 PL. a potai czśijzyc baań tym prziębiorti ozacoao ocylia taaro błęó zzaiac, tór yozą opoiio, 3 i 6 PL. Clm baaia auytogo jt tirzi, czy uma ioboru poató pocozącyc z tyc miat i przracza iopuzczalgo (yalifiującgo poziomu yozącgo = 9000 PL. Tolroay (opuzczaly poziom tgo ioboru yoi 0 = 5000 PL. Kotrola zytic oumtó i jt możlia z zglęu a ługotrałość tgo procu oraz poozo przy tym ozty. latgo zcyoao ię a ylooai próby artoj, tóra bęzi poaa auytoi. W yiu yliczoj a tj potai ocy umy ioboru poató bęzi pojmoaa cyzja, czy jt oa tolroala czy iopuzczala. To iooai bęzi proazo a potai próby, co araża auytora a pojęci błęyc cyzji. W ziązu z tym utala ię ryzyo przyjęcia, ż iobór poató jt opuzczaly, gy ta i jt. Potuluj ię, aby ryzyo (praopoobińto ytąpiia tgo błęu i przroczyło poziomu = 0,05. Z oli ryzyo uzaia, ż iobór poató jt iopuzczaly, gy rzczyitości (populacji ta i jt, utala ię a poziomi i ięzym iż = 0,. Z góry załaając, ż próby looa z art bęą a tyl uż, iż bęzi płio założi o tym, ż rozła praopoobińta tatytyi ttoj, orśloj zorm (6 bęzi otatczi obrz przybliżay rozłam ormalym, orzytamy z opiaj yżj procury optymalizacji rozmiaró prób, tór mają być looa z art. Korzytając z aruza alulacyjgo Excl, a potai zoru (3 otrzymujmy, ż optymal rozmiary prób, tór alży looać z art yozą 39, 04 i 435 opoiio la art r, i 3. la ta utaloyc rozmiaró

10 38 Jauz L. Wyiał prób łaoyc próby artoj ozt looaia o ij oumtó ięgoyc oraz ic otroli yoi 534,50 PL. Traz pozotaj ylooać próbę i ooać ij otroli oumtó. atępi alży yliczyć artość u tatytyi orśloj zorm (6. Z zoru (7 yia, ż artość rytycza ttu yoi u =,85, poiaż założyliśmy, iż ryzyo błęgo uzaia, ż iobór poató jt iopuzczaly yoi = 0,. Zatm jśli yliczoa artość tatytyi ttoj z przroczy poziom rytyczy u, czyli u z =,85, to uzajmy, ż iobór umy izapłacoyc poató jt iopuzczaly, czyli przracza iopuzczaly poziom, przy czym ta cyzja moż być błęa z praopoobińtm = 0,. W przciym przypau, gy u < z =,85, to uzajmy, ż tualy iobór umy poató i przracza tolroalgo poziomu 0, przy czym ijao aurując ię, oajmy, ż ta cyzja moż być błęa z praopoobińtm = 0,05. Poumoai W pracy problm optymalgo yzaczaia prób looayc z art populacji oumtó zotał formułoay jao zagaii ryfiacji ipotzy tatytyczj o artości globalj błęó ięgoyc z uzglęiim ryzya przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo i ryzya orzucia praiłogo praozaia ięgogo. Wyproazoo orygial zory pozalając yzaczać optymal rozmiary prób, co było głóym clm pracy. Możliość ic pratyczgo użycia zilutroao przyłam umryczym. Użyci tyc zoró pratyc moż atręczać p truości. W zczgólości jt to ziąza z fatm, ż artości paramtró zmiyc, tóryc fucją ą yrażia orślając optymalą liczbość próby, i ą za. W pracy yjaśioo, ja alży obi razić taic przypaac. Litratura Braca Cz. (996, Tortycz potay mtoy rprztacyjj, PW, Warzaa. Fiz M. (967, Wtęp o racuu praopoobińta i tatytyi matmatyczj, PW, Warzaa. Fullr W.A. (009, Samplig Statitic, Wily, obo, Jry. Karlińi W. (005, obór próby auyci, Itytut Racuoości i Poató, Warzaa. Koa A.R., Ka S. (967, Optimum allocatio i multiariat ury: a aalytical olutio, Joural of t Royal Statitical Socity, ol. B 9, Pal o otaar Mixtur of itributio (989, Statitical mol a aalyi i auitig, Statitical Scic, ol. 4, o.,. 33. Wyiał J.L. (003, Som Cotributio to Multiariat Mto i Sury Samplig, Uirity of Ecoomic i Katoic, Katoic. Wyiał J.L. (00, Wproazi o mtoy rprztacyjj. Poręczi, Wyaicto Aamii Eoomiczj Katoicac, Katoic.

11 O optymalizacji rozmiaru próby artoj baaiu iarygoości praozań 39 Strzczi Głóym clm iijzj pracy jt formułoai i roziązai zaaia optymalgo yzaczaia rozmiaru próby artoj looaj pośró oumtó ięgoyc, tór mają być otroloa. Polga oo a miimalizacji oztó obracji i orty oumtó próbac looayc z art przy utaloym ryzyu przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo oraz ryzyu orzucia praiłogo praozaia ięgogo. oajmy, ż problm auytu fiaogo jt tratoay otści ryfiacji opoiio formułoayc ipotz tatytyczyc. Zamiar t zralizoao za pomocą opoiic mto zapożyczoyc z torii tatytyi matmatyczj, zczgólości aaptoao tym clu za mtoy optymalizacji rozmiaró prób. Wyiim pracy jt propozycja procury optymalgo utalaia rozmiaró prób looayc z art. Jj ziałai zilutroao przyłam. W oluzji moża tirzić, ż zapropooaa pracy mtoa optymalizacji rozmiaru próby artoj moż być użyta auyci fiaoym, poiaż uzglęia obo oztó baaia taż ryzyo przyjęcia ipraiłogo praozaia ięgogo oraz ryzyo orzucia praiłogo praozaia ięgogo. Słoa luczo; auyt fiaoy, baai iarygoości praozaia, ryzyo przyjęcia ipraiłogo praozaia, ryzyo orzucia praiłogo praozaia, optymalizacja rozmiaru próby artoj. Summary O optimizatio of tratifi ampl iz for ubtati auit procur T mai purpo of t papr i to cotruct a ol t optimizatio problm of trmiig tratifi ampl iz i auit amplig. T iz i aluat i uc a ay tat ur fix ri of icorrct (rroou accptac a fix ri of icorrct rjctio t auitig cot ar miimiz. It oul b ot tat t coir auit problm i trat a t ta of ttig appropriatly formulat tatitical ypot. I gral t problm a ol by ma of matmatical tatitic mto. Particularly, ampl iz optimizatio mto ll o i ury amplig r aapt. T optimal ampl allocatio algoritm i t mai rult of t papr. A xampl of ampl iz optimizatio i prt, a ll. I cocluio, t propo optimizatio mto of t tratifi ampl aluatio may b uful i fiac auitig, bcau it icorporat amt of to ri: rroou rjctio a rroou accptac. Kyor: fiac auitig, ubtati auit, ri of rroou accptac, ri of rroou rjctio, optimizatio of tratifi ampl iz.

12

Teoria struktury kapitału

Teoria struktury kapitału Toria strutury apitału Dr Tomasz Słońsi Toria strutury apitału, Moigliani-Millr (MM), Nobl w zizini onomii Powaliny nowoczsnj torii strutury apitału zostały położon w rou 1958 w molu, tóry opirał się o

Bardziej szczegółowo

Procedura wymiarowania mimośrodowo ściskanego słupa żelbetowego wg PN-EN-1992:2008

Procedura wymiarowania mimośrodowo ściskanego słupa żelbetowego wg PN-EN-1992:2008 Poua wymiaowaia mimośoowo śikago łupa żlbtowgo wg P-E-99:8. Utalamy zy łup jt mukły zy kępy a) wyzazamy ługość obliziową i mukłość łupa (5.8.3.) 3 bh I I i (jżli watość ϕ i jt zaa, moża pzyjąć,7) +,ϕ S

Bardziej szczegółowo

LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzamiacyja la Akuariuszy LIII Egzami la Akuariuszy z 3 paźzirika 0 r. Część II Mamayka ubzpiczń życiowych Imię i azwisko osoby gzamiowaj:... Czas gzamiu: 00 miu Warszawa, 3 paźzirika 0 r. Mamayka

Bardziej szczegółowo

WPŁYW OPODATKOWANIA DOCHODU NA DZIAŁALNOŚĆ INWESTYCYJNĄ PRZEDSIĘBIORSTW

WPŁYW OPODATKOWANIA DOCHODU NA DZIAŁALNOŚĆ INWESTYCYJNĄ PRZEDSIĘBIORSTW STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 20 Aam Aamczy WPŁYW OPODATKOWANIA DOCHODU NA DZIAŁALNOŚĆ INWESTYCYJNĄ PRZEDSIĘBIORSTW Wproazi Spoolii yamii zrostu gospoarczgo oraz pogorszi

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

POLITYKA DYWIDENDY. Podstawowy dylemat: ile zysku przeznaczyć na dywidendy, a ile zatrzymać w firmie i przeznaczyć na potrzeby jej dalszego rozwoju?

POLITYKA DYWIDENDY. Podstawowy dylemat: ile zysku przeznaczyć na dywidendy, a ile zatrzymać w firmie i przeznaczyć na potrzeby jej dalszego rozwoju? POLITYKA DYWIDENDY Treść wyładu politya dywidendy jao element trategii formy wypłaty dywidendy teorie polityi politya dywidendowa polich półe Polityę dywidendą oreśla ię jao decyzje roztrzygające o tym,

Bardziej szczegółowo

Ł Ł ć

Ł Ł ć Ą Ł Ł Ł Ś Ł Ś Ć Ł Ł ć ź ć ż ć ź ź Ą Ś ż ć Ż ż Ą Ż Ś ćż Ą ż Ż ć Ś ć ć ć Ł Ą ź ź Ł Ż Ź ć ć ć Ż Ś ż ż ć Ł ć ź ż ż ż ć Ą ź ż ć ż ż ż ź ż Ą Ż Ż ż Ż Ą ż ć ź ż ź ć Ż Ł ż Ś ć Ż ć ć ż ć Ć ć ć ć ć ż ć Ż Ł Ł Ż Ź

Bardziej szczegółowo

Í í Í Á ń ý ý Ż í í ď Í Ĺ ń Í ń Ę ń ý Ż Ż ź ń ń Ę ń ý ý í ŕ Ĺ Ĺ Í Á í Ż Í É Í Ü ö ä Ż Ż Ż Ę ń ć Ę Ż ń Ę Ż ć ń Ł Ą ń Ę í Ę Ż Ż ý Ż Ż Ą Í É đ í Ł Ę Ł ć ő ť Ę ń í ć Í Ę Ę Ł Ą Ł ć ď ć Ę Ę ń Ó Ü ü Ĺ ý Ę ä í

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego .Istmety ochoe otaty temiowe azywae sa istmetami ochoymi (eivatives. otat temiowy zobowiazje wie stoy o zeowazeia w zyszłosci ewej tasacji a wczesiej staloych waach. Jea stoa otatów (abywca - te, co je

Bardziej szczegółowo

$y = XB KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ Z WIELOMA ZMIENNYMI NIEZALEŻNYMI

$y = XB KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ Z WIELOMA ZMIENNYMI NIEZALEŻNYMI KASYCZNY ODE REGRESJI INIOWEJ Z WIEOA ZIENNYI NIEZAEŻNYI. gdz: wtor obsrwacj a zmj Y, o wmarach ( macrz obsrwacj a zmch zalżch, o wmarach ( ( wtor paramtrów struturalch (wtor współczów, o wmarach (( wtor

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2. r s. ( i. REGRESJA (jedna zmienna) e s = + Y b b X. x x x n x. cov( (kowariancja) = (współczynnik korelacji) = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2. r s. ( i. REGRESJA (jedna zmienna) e s = + Y b b X. x x x n x. cov( (kowariancja) = (współczynnik korelacji) = + REGRESJA jda zma + prota rgrj zmj wzgldm. przlo wartoc paramtrów trukturalch cov r waga: a c cov kowaracja d r cov wpółczk korlacj Waracja rztowa. Nch gdz + wtd czl ozacza rd tadardow odchl od protj rgrj.

Bardziej szczegółowo

z d n i a 1 5 m a j a r.

z d n i a 1 5 m a j a r. C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P D e c y z j a n r 1 4 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d a n t a C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 1 5 m a j a 2 0 1 5 r. w s p r a w i e g

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Rozdział 3. Przedmiot zamówienia

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Rozdział 3. Przedmiot zamówienia Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 0 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f S p r z» t a n i e i u t r z y m a n i e c z y s t o c i g d y

Bardziej szczegółowo

PROJEKT I WALIDACJA URZĄDZEŃ POMIAROWYCH

PROJEKT I WALIDACJA URZĄDZEŃ POMIAROWYCH M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X P R O J E K T I W A L I D A C J A U R Z Ą D Z E P O M I A R O W Y C H a S I Y W L I N I E I K Ą T A W Y C H Y L E N I A L I

Bardziej szczegółowo

Ł Ą Ń

Ł Ą Ń Ł Ą Ń Ł Ł ź ź Ż Ż Ą Ł ź ź Ł Ź Ż Ź ź Ż Ż Ż ź Ć Ą ź Ł Ć Ż Ż Ż Ź Ć ź Ń Ż Ż Ć Ć ź Ż Ć ź Ź Ć Ć ź Ź Ć Ź Ż ź Ź Ż Ć ź Ń Ź Ć Ć ź Ż Ź Ź Ż Ć Ź Ż Ż Ż Ż Ż Ń Ą Ź ź Ć Ż Ż Ż Ż Ż ź Ż Ż Ź ź Ć Ć Ź Ż Ł Ą Ń ź Ń Ż Ć Ą Ź Ą

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie- wiadomoci wstpne

Prognozowanie- wiadomoci wstpne Progozowa- wadomoc wtp Progozowa to racjoal woowa o zdarzach zach a podtaw zdarz zach. Clm progoz jt dotarcz otwch formacj potrzch do podjmowaa dczj. Progoz a mulacj. Progoza co dz w momc t Smulacja co

Bardziej szczegółowo

Porównanie dwu populacji

Porównanie dwu populacji Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :

Bardziej szczegółowo

2 ), S t r o n a 1 z 1 1

2 ), S t r o n a 1 z 1 1 Z a k r e s c z y n n o c i s p r z» t a n i a Z a ł» c z n i k n r 1 d o w z o r u u m o w y s t a n o w i» c e g o z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. II Inżynieria Obliczeniowa. Wykład 13

Teoria Sygnałów. II Inżynieria Obliczeniowa. Wykład 13 Toria Sygałów II Iżyiria Oblicziowa Wyład 3 Filtr adaptacyjy dostraja się do zmiych waruów pracy. Filtr tai posiadają dwa sygały wjściow. Pirwszym jst sygał poddaway filtracji x(). Drugim ta zway sygał

Bardziej szczegółowo

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny 1 Grfy hmiltonowski, problm komiwojżr lgorytm optymlny Wykł oprcowny n postwi książki: M.M. Sysło, N.Do, J.S. Kowlik, Algorytmy optymlizcji yskrtnj z progrmmi w języku Pscl, Wywnictwo Nukow PWN, 1999 2

Bardziej szczegółowo

Niniejsza wersja jest wersją elektroniczną Krajowej Oceny Technicznej CNBOP-PIB nr CNBOP-PIB-KOT-2017/ wydanie 1, wydanej w formie

Niniejsza wersja jest wersją elektroniczną Krajowej Oceny Technicznej CNBOP-PIB nr CNBOP-PIB-KOT-2017/ wydanie 1, wydanej w formie ń ń ż Ä Ä ż ń Ę Ę ľ Ä ŕ ż ń ř ő ő Ę ż ż ń Ę Ź ř ý ż É ż Ę ń ń ń Ę ľ ż Ż ń ż ż ż Ę ż ć ć ý ż Ę ż ż ý ć Ę ż ć ć ż Ę Ę Ę ż ż ć ź Ą Ł Ł Ł Ł ľ Ł Ł Ł ź ý ľ ż Ł ż Ł ń ý ż ż Ł Ł ý ľ Ł ż Ł Á Ż Ż Ł Ę Ź ż ż ż Á ż

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S i R D Z P I 2 7 1 0 3 62 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A Z a p e w n i e n i e z a s i l a n i ea n e r g e t y c z ne g o

Bardziej szczegółowo

Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć

Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć ń Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć Í ń Ó Ń Ń Ń Ó ľ ęż Ń Á ęż Ń Ą ę Ż ć ę ę Ż ć ę ć Ś ę ę Ś Ż Ż Ż Ż ę ę Ż ń Ż ń ę ę ć Ś ę Ż ć Ż ć Ż Ż ć ń Ż ľ ę ę ę ę Ś ę ę ľ ę Ę Ĺ Í ľ ď ý Ę ń ľ ę ń Ó Ń ć Í ô Ó ľ ü

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny. Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Instrukcja do pracowni specjalistycznej

Wydział Elektryczny. Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Instrukcja do pracowni specjalistycznej Politchnika Białotocka Wydział Elktryczny Katdra Tlkomunikacji i Aparatury Elktronicznj Intrukcja do pracowni pcjalitycznj Tmat ćwicznia: Dokładność ciągłych i dykrtnych układów rgulacji Numr ćwicznia:

Bardziej szczegółowo

ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź

ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź ć Ż Ż ć ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź ć ź ć ź ć ź ź ź ź ź ź ź ć ć ź ć źć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ź ć ć ć ć Ź ć ć ć Ó Ż ć ć Ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ź ć ź ć ć ć ć ź ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 03 7 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e r e m o n t u n a o b i e k c i e s p o r t o w y mp

Bardziej szczegółowo

Ż ć ź ć ć ź Ż Ż Ł Ż ć Ż Ż Ż ć Ł Ż ć ć ć ź Ż Ż Ż Ż Ż Ż ć ć ź Ż ć ć ć ź Ż Ż ć Ż Ż źć ć Ż Ż Ż ć Ż Ż Ż Ż Ś ć Ż ć Ł Ż Ł ć Ą Ż Ł ć Ż ć Ż Ż Ż ć ć ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ł ć Ł Ż ź ć Ż Ż Ż ć ć ć ć ć Ż Ż Ą Ż Ż Ż ć Ż Ż ć

Bardziej szczegółowo

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z n a k s p r a w y GC S D Z P I 2 7 1 0 1 42 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j n o r e n o w a c y j n

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

I. STADHOUDERZY NIDERLANDÓW

I. STADHOUDERZY NIDERLANDÓW 68 I. STADHOUDERZY NIDERLANDÓW I. TŻS D H O U D E R Z Y N I D E R LŻ N D Ó W R o z d z i a ł I I. KRÓLOWIE HOLANDII LUDWIK I 70 LUDWIK II 79 6 9 I. TŻS D H O U D E R Z Y N I D E R LŻ N D Ó W LUDWIK I Król

Bardziej szczegółowo

1 />>»^>^>í. yz yz y É H K S. tófegffi»i. / f // .Z í J y z Z z Z ^ u ^ y, / ZZZ ' / / / y r/ y^ y ís. Z / < -/^r . -<T-. / Vt-l?

1 />>»^>^>í. yz yz y É H K S. tófegffi»i. / f // .Z í J y z Z z Z ^ u ^ y, / ZZZ ' / / / y r/ y^ y ís. Z / < -/^r . -<T-. / Vt-l? 41 j J f Z cx cz tr{ st C Z 'Z i { 'C< t- Z e Zf t is C L o t Z 1 'ZZZcLCL( 'j C l * 1\.Z í J z Z z Z u, Z Z Z cz Z e > Z ËÊ & iû r i ista sá V.V? ; ZZZ ' ÿ r ís 'ÿ Z Z f,u-trzs% 1 >>»>>í xtastfízsiss

Bardziej szczegółowo

8 7 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M O N T E R I N S T A L A C J I G A Z O W Y C H K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś

Bardziej szczegółowo

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa 1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla

Bardziej szczegółowo

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c

Bardziej szczegółowo

PROJEKT DOCELOWEJ ORGANIZACJI RUCHU DLA ZADANIA: PRZEBUDOWA UL PIASTÓW ŚLĄSKICH (OD UL. DZIERŻONIA DO UL. KOPALNIANEJ) W MYSŁOWICACH

PROJEKT DOCELOWEJ ORGANIZACJI RUCHU DLA ZADANIA: PRZEBUDOWA UL PIASTÓW ŚLĄSKICH (OD UL. DZIERŻONIA DO UL. KOPALNIANEJ) W MYSŁOWICACH P r o j e k t d o c e l o w e j o r g a n i z a c j i r u c h u d l a z a d a n i a : " P r z e b u d o w a u l. P i a s t ó w Śl ą s k i c h ( o d u l. D z i e r ż o n i a d o u l. K o p a l n i a n e

Bardziej szczegółowo

ť Ü Ĺ ä Ů Ú Í Í Ť ř Ě Í ü Í ń đ ń ď ď ń Ż Ł í á í É Ĺ Ü Í Ť Ĺ Ĺ ű Í Í ť Í ŕ Ĺ Í Ü Ü ü Ż Ż ń ť Ą Ą ŕ Ą ń ń Ż ń Ż ń ý Ż ń í Á É É Ýá Í ä í Ĺ Ĺ í Í ů ť Ĺ ť Ź Ť Ť Ł ń ź Ź ń ń ć ń ć ń Ż í ť ń Ż Ĺ ŕ í Ú íí ť

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych ora Sygałów III ro Ioray Sosowaj Wyła Rozważy sończoy sygał () spróboway z częsolwoścą : Aalza częsolwoścowa ysrych sygałów cyrowych p óra js wa razy węsza o częsolwośc asyalj a. Oblczy jgo rasorację Fourra.

Bardziej szczegółowo

1 3. N i e u W y w a ć w o d y d o d o g a s z a n i a g r i l l a! R e k o m e n d o w a n y j e s t p i a s e k Z a w s z e u p e w n i ć s i

1 3. N i e u W y w a ć w o d y d o d o g a s z a n i a g r i l l a! R e k o m e n d o w a n y j e s t p i a s e k Z a w s z e u p e w n i ć s i M G 4 2 7 v.1 2 0 1 6 G R I L L P R O S T O K Ą T N Y R U C H O M Y 5 2 x 6 0 c m z p o k r y w ą M G 4 2 7 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S z a n o w

Bardziej szczegółowo

4. Glücksburgowie ERREGO SW HAAKON VII 430 ASTIA OLAF V 433 HARALD V DYN EGII RW IE NO W LO KRÓ 429

4. Glücksburgowie ERREGO SW HAAKON VII 430 ASTIA OLAF V 433 HARALD V DYN EGII RW IE NO W LO KRÓ 429 K R Ó L O W I E N O R W E G I I W. Y D NŻ S T IŻ S W E R R E G O 4 2 8 4. Glücksburgowie K R Ó L O W I E N O R W E G I I W. Y D NŻ S T IŻ S W E R R E G O HŻŻ K O N V I I O LŻ F V HŻ RŻ L D V 4 2 9 430

Bardziej szczegółowo

T00o historyczne: Rozwój uk00adu okresowego pierwiastków 1 Storytelling Teaching Model: wiki.science-stories.org , Research Group

T00o historyczne: Rozwój uk00adu okresowego pierwiastków 1 Storytelling Teaching Model: wiki.science-stories.org , Research Group 13T 00 o h i s t o r y c z n Re o: z w ó j u k 00 a d u o k r e s o w e g o p i e r w i a s t k ó w W p r o w a d z e n i e I s t n i e j e w i e l e s u b s t a n c j i i m o g o n e r e a g o w a z e

Bardziej szczegółowo

Ó Ó ą ć ą ą ą Ź ą ą Ż Ż Ę Ó Ż ą ć ć ź Ó Ź ź ź ą Ó Ś ą ą ć ć Ż ą Ż ą Ó ą ć ą Ż Ó ć ć ć Ę ą Ó Ł Ó Ź Ę ą ć ć ź Ó Ź Ó Ź ć ć ą Ż ą ź Ż Ź ć ć ć Ż Ę Ą ą ą Ź Ż Ź Ź ź ź Ź ć ą ą ź ź Ż Ż Ą ź Ę ą ć ą ą Ó Ź ć Ę ź ź

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć

ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć ć ć Ł ć ć ć Ę ż Ą ż ż Ź ć Ę Ą ż Ą ć ż ć ć ż ż ć Ę ż ż ć ż ć ż ćż Ń ż ż ż ż ż ż ż ż Ź ż ż ż ć ć ż Ę Ń ć ż Ą ż Ś ż ż ć ć Ź ć ć ż ż Ź ż ć Ę Ń Ź ż ć ć ż Ń Ł ć ć ć Ż ż ć ć ż Ź ż Ę Ą ż ż ćż ż ż ć ż ż ż ć ć ż

Bardziej szczegółowo

3. Unia kalmarska IE W O EN MAŁGORZATA I 116 ERYK VII POMORSKI 119 KRZYSZTOF III BAWARSKI ESTRYDSII IE DAN W LO KRÓ 115

3. Unia kalmarska IE W O EN MAŁGORZATA I 116 ERYK VII POMORSKI 119 KRZYSZTOF III BAWARSKI ESTRYDSII IE DAN W LO KRÓ 115 K R Ó L O W I E D ~ N I IW. S TE R Y D S E N O W I E 1 1 4 3. Unia kalmarska K R Ó L O W I E D ~ N I IW. S TE R Y D S E N O W I E M~ Ł G O R Z~ T~ I E R Y K V I I O M O R S K I K R Z Y S Z T O F I I I

Bardziej szczegółowo

Ń Ą Ę Ł Ł Ł Ł ź Ł Ł Ł Ł Ł Ł ź Ł Ł Ł Ł Ś Ś źć Ą ź ź ć ź ć Ś ć Ą ć Ż ć ć Ę ć Ą Ł Ł Ł ź Ś Ą ź Ą Ą Ł Ś Ą Ż Ą Ł Ł ć Ż Ś ź Ó ź Ó ć Ć ź Ś ć Ł ć ć ć ć ć ć Ą Ą Ą Ł Ą ć ć ć ć Ą Ł ź ć ćź ć ć ź Ś ć ć Ą Ą Ą ć Ą ć Ż

Bardziej szczegółowo

ć ć ć ć ć ć ć źć ć ć ć ć ć ć ź Ś ź ć ć ć Ż ć Ę ć ć ć ć ć ć Ę Ę ć ć ć Ż ź ź ź ć ć ć ć ć Ś ć ć ć ć ć Ż ćż ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ź ć ź Ę ć ć ź ć ć Ś Ż ć ć ć Ą Ż ć ć ć Ę ć ć Ż ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż

ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż Ł Ę Ł ż Ż ć ż ż ć ż ż ć Ą ż ż Ł ć Ż ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ż Ż Ż ż ż Ż Ż Ż ć ć ż ć ż ż ŻĄ ć ć ż Ż Ż ż Ż Ż ć Ż ź ć ż Ę Ż Ę Ż ć Ż Ż ć Ż ć ż Ż Ż ż Ż Ą Ż ć ż ć Ś Ą ż Ż Ż Ż ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ż ż Ż ż ż Ż Ż

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 5 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r z e g l» d ó w k o n s e r w a c y j n o -

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 02 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A U s ł u g a d r u k o w a n i a d l a p o t r z e b G d y s k i e g o

Bardziej szczegółowo

u«w VH TUMJ : U-U'.U s = w eii5gfshimi>i "l >55 = gc»fgs5jf - 2» - > => -... >.- Z 5C " -' "- K,, 5H IIHli!gi5h-i-m!l!.5 = H i"" i ii; V «i» > 1 J} - - -f.-'".-"f"f.f; vr-.'"--

Bardziej szczegółowo

Ż Ś Ń Ą Ą ć

Ż Ś Ń Ą Ą ć Ż Ś Ń Ą Ą ć Ń ź Ż Ń Ą Ń Ń ć Ń ć ź Ń ć ć ć Ł Ń Ń ć ć Ą Ą ć ć Ń ź Ą ć ć ć ć ć ć ć ć Ż źć ć ć Ą ć ć ć ź Ą ć ź ź ź ź Ź ć ć Ż ć Ą ć ź Ą Ą ź Ń ź ź ź Ś ź Ż Ń ć ź Ń Ł ć ć ć ć ć Ą Ń Ń ć Ń źć Ż Ń ć ć Ą ć ć Ń ć Ń

Bardziej szczegółowo

ć ż Ł Ł ż Ł Ł Ł Ł Ł Ł ż Ł Ł Ź ć ż Ł ć ż ż ż Ą ż ż Ę ż Ł ĘĘ ć Ś Ą Ł ć ż ż Ó ż ć ż ż ż Ą ż Ą Ń Ź Ł ź ĘĘ Ą ć Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł ź ć Ę ć ć ć ż ż Ł Ź ć Ę ĄŁ Ą Ę ć ć Ź Ą ż ć ż Ł ź Ń Ł Ą Ę Ę ć ż ż Ę ć ż ć ż Ę Ę Ó

Bardziej szczegółowo

Uchwała nr 54/IX/2016 Komendy Chorągwi Dolnośląskiej ZHP z dnia r.

Uchwała nr 54/IX/2016 Komendy Chorągwi Dolnośląskiej ZHP z dnia r. C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P U c h w a ł a n r 5 4 / I X / 2 0 1 6 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 2 5. 0 2. 0 1 6 r. w s p r a w i e p r z y j ę

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1, 1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej

Bardziej szczegółowo

Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć

Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć Ź Ć Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć Ł Ą Ę Ć ć ćź ć Ź Ź Ź Ź Ą Ć ć Ł Ł Ł Ę ć ć Ź Ą ć Ę ć Ź Ź Ź Ź ć Ź Ź ć Ź ć Ł ć Ą Ć Ć Ć ć Ź Ą Ź ć Ź Ł Ł Ć Ź Ą ć Ć ć ć ć ć Ć Ć ć Ć ć ć Ł Ę Ź ć Ć ć Ź Ź Ć Ź Ź ć ć Ź ć Ź Ź Ź Ą Ę Ń Ź Ć Ą

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n

Bardziej szczegółowo

Przyjmijmy, że moment obciążenia jest równy zeru, otrzymamy:

Przyjmijmy, że moment obciążenia jest równy zeru, otrzymamy: aszyy prąy sałgo yaka Dla aszyy prą sałgo, ykorzysyaj jako l aoayk, yzaczy ybra rasacj. Sygał jścoy oż być p. apęc orka (la aszyy obcozbj) a sygał yjścoy prękość obrooa. óa Krchhoffa la obo orka oży apsać

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

ć ć Ń Ę

ć ć Ń Ę ż ź ć ć Ń Ę ć Ś Ę Ś ć ć ż ć ż ż ż ć ć ć ż ź ć ż ż ż ż ć ż ż Ś ź ż ć Ą ż ż ż ż ż ż ź ć ż ć ż Ś ż ć ż ż Ą ż ż Ę ć Ż ż ć Ż ż ż ż ż ć ż ż ż ż ż ź ć ż ż ć ż ź Ś ż ż ć ż ż ż ż ć ćż ż ć ż ż ż ź ż ć ż ż ż Ś

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

Ę Ę Ę Ą ź Ę ń Ę ć ć ń ć ć ń Ą Ę ć ń źć ń ć ź ń ć ć Ę ć ć ć ć ń Ś ć ć Ć ć ć Ć ń ć ć Ć Ć Ś Ś ć Ś Ż ć ń ć Ć ń ć ń ć źć ć ć ć ń Ć ć Ć ń ń ń ń ń ń ć ź ć ń ć ć ć ć ć ć ń ź ń ć ń ź ć ć ć Ć ć ć ć ź ć Ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

K R Ó L O W I E PS Z W E C J I PWP.P O LF K U N G O W I E P 5 2 2

K R Ó L O W I E PS Z W E C J I PWP.P O LF K U N G O W I E P 5 2 2 5 2 2 3. Folkungowie WŻ L D E MŻ R B I R G E R S S O N MŻ G N U S I LŻ D U L Å S B I R G E R MŻ G N U S S O N MŻ G N U S I I E R I K S S O N E R Y K MŻ G N U S S O N HŻŻ K O N MŻ G N U S S O N 5 2 3 W

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

Spędź czas w Dortmundzie korzystając z autobusu i kolei

Spędź czas w Dortmundzie korzystając z autobusu i kolei ęź z Dz zyją z Tä z D 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 z y D! D J z ł Dz yzyj j jją ł zy ć ó D j Pń zę yjy ż, y y zć! Dz żj ją zz zł D z żj jy zzó zy y jyz zó j ż zć Pń zł, jż Pń ży, z Pń zz

Bardziej szczegółowo

K R Ó L O W I E PD Ż N I IPWP.P K J S O L D U N G O W I E P 1 0

K R Ó L O W I E PD Ż N I IPWP.P K J S O L D U N G O W I E P 1 0 1 0 A Królowie Danii K J O L D U N G O W I E. S K J O L D U N G O W I E. E S T R Y D S E N O W I E K R Ó L O W I E D Ż N I IW. S. U N IŻ KŻ L MŻ R S KŻ. O L D E N B U R G O W I E. G L Ü C K S B U R G O

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

3. 4 n a k r ę t k i M k o r p u s m i s a n a w o d ę m i s a n a w ę g i e l 6. 4 n o g i

3. 4 n a k r ę t k i M k o r p u s m i s a n a w o d ę m i s a n a w ę g i e l 6. 4 n o g i M G 5 0 4 W Ę D Z A R K A M G 5 0 4 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y z a z a k u p p r o d u k t u M a s t e r G r i l l

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 01 82 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A P r o m o c j a G m i n y M i a s t a G d y n i a p r z e z z e s p óp

Bardziej szczegółowo

Projektowanie procesu doboru próby

Projektowanie procesu doboru próby Projkowai procsu doboru próby Okrśli populacji gralj i badaj Okrśli jdoski próby 3 Okrśli wykazu badaj populacji 4 Okrśli liczbości próby 5 Wybór mody doboru próby losowgo ilosowgo Usali ko lub co moż

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai

Bardziej szczegółowo

ż ą ż ż ż ż Ł ż ż Ą Ł ż ż ż ą ż ń ą ń ą ż ż ż ż ż ż

ż ą ż ż ż ż Ł ż ż Ą Ł ż ż ż ą ż ń ą ń ą ż ż ż ż ż ż ż Ó Ę ż ą ż ż ż ż Ł ż ż Ą Ł ż ż ż ą ż ń ą ń ą ż ż ż ż ż ż Ł Ć Ę ż Ł ż Ć ż ż ż ń ą ą ż ą ą ń ż ą ą ą ą ą ż ń ż ż ż ż ż ż ż ż ą ż ą ż ą ż ż ż ą ą ą ą ą ż ż ż ż ń ż ą ą ą ż żą ą ń ą ą ą ż ą ż ą żą ą ż Ą ą

Bardziej szczegółowo

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług

Bardziej szczegółowo

Ć ó Ó Ę ć ć ć ó ć Ó ó Ó Ó ć Ó ć Ó Ó

Ć ó Ó Ę ć ć ć ó ć Ó ó Ó Ó ć Ó ć Ó Ó ó ó Ó ó Ę Ć ó Ó Ę ć ć ć ó ć Ó ó Ó Ó ć Ó ć Ó Ó ć ó ó ó Ź Ó ó Ó Ą Ó Ą Ó ć ć ć ć ó ć ó Ć ó ć Ó Ź ć ó ó ć ó Ó ó ó Ć ó ć ó ó ó ó ó ó Ź ó ó Ą ó ó ć ó ó ć Ą ó ó ć Ó ć ć Ź ć Ź Ć ć Ź ó ó ć Ą ż Ź Ź óź ó ć ó Ą ó

Bardziej szczegółowo

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im

Bardziej szczegółowo

Ó ć ć Ę ć ć ć ź Ę ć Ę ć ź Ą Ź Ę Ź ć Ę ź Ę

Ó ć ć Ę ć ć ć ź Ę ć Ę ć ź Ą Ź Ę Ź ć Ę ź Ę ć ć ć Ś Ó ć ć Ó ć ć Ę ć ć ć ź Ę ć Ę ć ź Ą Ź Ę Ź ć Ę ź Ę ć ć ć ć Ź ź ć Ę Ó ć Ą ć ć ć ć ć ć Ę ć ć ć ć ć Ł ć ć ć ź ć ć Ś Ę ź Ę ć ź ź ć ź ć Ź Ś ć ć ć ć ć ć Ź Ęź Ź ć Ę ć Ł ć ć ć Ę Ś Ó ć ć ć ć ć ć ć Ę ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 5 BADANIE SOCZEWKI

Ćwiczenie nr 5 BADANIE SOCZEWKI Ćwizeie r 5 BADANIE SOCZEWKI. Wprowazeie Zolość sozewe o załamywaia promiei świetlyh uzależioa jest o astępująyh zyiów: a) ształtu powierzhi załamująyh promieie rzywiz b) materiału z tórego są wyoae współzyi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

Ę ź Ż Ę ź ć ź ć Ą ć ć ć ć ć ż ź

Ę ź Ż Ę ź ć ź ć Ą ć ć ć ć ć ż ź ć ź ź ż ć ż ż ć ć ż ż ć ć ć Ź ż ć ż ź Ź Ź ć Ę ź Ż Ę ź ć ź ć Ą ć ć ć ć ć ż ź ź ż ć ć Ę ć Ą ć ż ć ż Ę Ź ż ź ż ć ź ż ć ź ż Ż ż Ź ć Ą Ś Ż Ń ż Ń ć Ń Ń ż Ą Ś Ł ć ż ż ż Ę ż Ń Ą ż ć Ł Ą ż ć ż Ą ż Ę Ę Ą ż ź Ą Ę

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD METOD I TECHNIK OCENY EFEKTYWNOŚCI PROCESU PRODUKCYJNEGO REVIEW OF METHODS AND TECHNIQUES FOR ASSESSING EFFICIENCY OF THE PRODUCTION PROCESS

PRZEGLĄD METOD I TECHNIK OCENY EFEKTYWNOŚCI PROCESU PRODUKCYJNEGO REVIEW OF METHODS AND TECHNIQUES FOR ASSESSING EFFICIENCY OF THE PRODUCTION PROCESS Adam Koliński 1 PRZEGLĄD METOD I TECHNIK OCENY EFEKTYWNOŚCI PROCESU PRODUKCYJNEGO Strszczi Efktywość produkcji jst jdym z ajważijszych problmów współczsj logistyki, zarówo a poziomi opracyjym, jak i stratgiczym.

Bardziej szczegółowo