O gematrii tytułem wprowadzenia do Pięcioksięgu Mojżeszowego Oskara Goldberga
|
|
- Krystian Sobczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O gematrii tytułem wprowadzenia do Pięcioksięgu Mojżeszowego Oskara Goldberga 1) Litery są liczbami Prezentowane dzieło Oskara Goldberga poświęcone jest numerycznej strukturze Tory. Jego treść w większości składa się z obliczeń i diagramów, a tekst jedynie je objaśnia. Już tylko to powinno z n i e c h ę c i ć i o d w i e ś ć Czytelnika od lektury tego tekstu pisząc to, bynajmniej nie stosuje się tu pretensjonalnego zabiegu literackiego. Idzie jedynie o uczciwe ostrzeżenie, że o żadnej lekturze nie ma tutaj mowy. Aby wynieść jakąkolwiek wartość z obcowania z książką Goldberga, należy zdać sobie sprawę, że nie można jej ot tak przeczytać, choćby nawet bardzo dokładnie, w wolnym tempie, wielokrotnie powtarzając materiał (jeśli w ogóle w dzisiejszych czasach ktoś jeszcze w ten sposób czyta książki). Jej zawartość trzeba bowiem aktywnie p r z e l i - c z yć i skonfrontować z materiałem źródłowym, ponieważ Goldberg prezentuje Pięcioksiąg jako zapis literowo-liczbowy, przytaczając dwa kluczowe przykłady zawartej w Torze głębokiej struktury numerycznej. Jeśli jednak Czytelnik nie zniechęci się tym pozornym utrudnieniem i podejmie decyzję, by idąc śladem Autora, dokonać równolegle sprawdzenia prezentowanych przez niego wyliczeń, z pewnością przyniesie to pozytywny rezultat, a Czytelnikowi pozwoli po trudach powtarzania żmudnych rachub liczbowych dostąpić nagrody w postaci unikatowego wcale nie przesadzając, w skali ogólnodostępnej, światowej literatury biblijnej w g l ądu. 7
2 Zarówno piszący te słowa, jak i redaktor tego wydania przeszli dokładnie tę samą ścieżkę, mając po jednej stronie brudnopis i ołówek, po drugiej tekst hebrajski Tory1, po środku zaś oryginał Die Fünf Bücher Moses: Ein Zahlengebäude. Obliczenia powtarzano kilkakrotnie, celem wykluczenia błędów własnych jak i Autora. Z czystym sumieniem mogę powiedzieć, że w każdym przypadku wyniki matematyczne są zgodne. Na czym polega jednak sensowność zliczania elementów tekstu Tory i sumowania wartości liczbowych poszczególnych liter? Czy wartość liczbowa, technicznie określana mianem gematrii, nie stanowi arbitralnego dodatku do sensu literackiego? Czy nie jest to dowolna, dodatkowa forma egzegezy? Zanim przejdziemy do prezentacji zagadnienia gematrii, odpowiedzmy na te pytania słowami Autora, zaczerpniętymi z jego głównego, późniejszego dzieła2: Goldberg, pisząc o symbiotycznej relacji ludu hebrajskiego wobec języka, uwypukla znaczenie jego podwójnej modalności litero-liczbowej i podkreśla ich zespolony organicznie charakter: W kwestii przyporządkowania języka do ludu można wykazać, że język ludu związanego z realnością transcendentną w związku tym i d la niego odgrywa wyjątkową istotną rolę. [ ] Język taki [ ] immanentnie posiada już znaczenie matematyczne i odpowiada mu str ukturalnie. Tak jest w wypadku jęz yka hebrajskiego. Jego łatwo rozpoznawalna budowa, przejawiająca się w zasobie leksykalnym, który rdzeniowo składa się z jednego, dwóch lub trzech elementów 1 Kompetencje w zakresie znajomości języka hebrajskiego u Czytelnika znacznie pogłębią recepcję tekstu, nie stanowią jednak niezbędnego prerekwizytu do tego zadania. Wszystkie terminy hebrajskie, zarówno w niemieckim oryginale, jak i w tłumaczeniu, podano w uproszczonej transkrypcji, tak, by oddać najpowszechniejszy sposób ich odczytywania. Konieczna jest jednak znajomość hebrajskich liter tak by móc je zlicz yć w danym fragmencie Tory omawianym przez Autora. Nie jest to jednakże wiedza, której nie można przyswoić w przeciągu kilku godzin. Dla ułatwienia przytaczamy poniżej tabelę z literami hebrajskimi i ich wartościami liczbowymi w rachubie podstawowej. 2 O. Goldberg, Rzeczywistość Hebrajczyków, tłum. T. Sikora, Kraków Oryginał: wyd i 2005, Berlin. W dalszej części zastosowano skrót RH. 8
3 O gematrii tytułem wprowadzenia o charakterze awokaliczny m (spółgłoski), czyni oczywistym, że jest on językiem kombinatorycznym, to znaczy, że zawartość znaczeniowa słów generalnie związana jest z permutacjami i wariacjami pierwszej, drugiej lub trzeciej klasy. Temu stanowi rzeczy odpowiada to, że w tym kombinatorycznym języku jakąś znaczącą treść, jakiś sens, może posiadać nieporównywalnie więcej permutacji, aniżeli ma to miejsce w języku konsonantyczno-wokalicznym, w którym większość przestawień jest bezsensowna, a jego kombinatoryka ma coś z wymuszonej gry. Nie jest bowiem tak, że do liter alfabetu hebrajskiego dodano znaczenie numeryczne, przeciwnie litery te są liczbami. [ ] Język hebrajski sięga w istniejące pomiędzy duchem i materią prarelacje. Jedną ich stronę a należy wyraźnie stwierdzić, że istnieje ich wiele stanowi treściowy ( ezoteryczny ) charakter numeryczny. Istnienie tych prerelacji umożliwia dopiero zrozumienie, że mówienie i liczenie, dokładniej zaś pisanie i liczenie (sapar) są tożsame w swojej genezie3. Pisząc poniżej o wartościach liczbowych hebrajskich liter, przyjmujemy powyższą wykładnię za wiążącą, szczególnie w najważniejszym punkcie, że l i t e r y s ą l i c z b a m i. Goldberg nie wprowadza jednak niczego nowego w tym temacie, zarówno do samej tradycji żydowskiej, jak i jej interpretacji. O tym, że hebrajski to język litero-liczbowy, mówi już tekst Sefer Jecira, Księgi Formowania 4. Otwiera ją wers: בשלשים ושתים נתיבות פליאות חכמה חקק יה יהוה צבאות את עולמו בשלשה ספרים בספר ספר וספור. Przez 32 cudowne ścieżki mądrości wyrył swój świat JH, JHWH Zgromadzonych Mocy, przez trzy sfarim5: tekst, liczbę i opowieść 6. 3 RH, s Przypis w tekście odwołuje do wersów: Wj 32:32; 23:26 i 9:16. 4 Tradycja przypisuje autorstwo Sefer Jecira Abrahamowi. Tekst datuje się między II w. p.n.e. a VII w. n.e. Edycja krytyczna: Sefer Yecira Edition, Translation and Text-Critical Commentary, tłum. i red. Peter A. Hayman, Tübingen Dosł. księgi. 6 Podkreślenie własne. 9
4 2) Arytmetyka jest podstawą Tory Nie ulega wątpliwości, że termin gematria jest pochodzenia greckiego. Błędne jest natomiast wnioskowanie z tego faktu, że również samo zjawisko stanowi obcą naleciałość w tradycji języka hebrajskiego. Ci spośród badaczy literatury hebrajskiej, którzy tak twierdzą, zdają się zapominać o tym, że już na poziomie Tanachu7 obcojęzyczne inkluzje8 stosowane są świadomie, p o t o by n i e z d r adzać d okładnie w niekontrolowany sposób, jakie znaczenie kryje się pod dany m terminem. Wyraźniej to zjawisko widać w literaturze talmudycznej, np. w kontekście imion najwyższych aniołów, Metatrona i Sandalfona (wyraźnie widać ich greckie pochodzenie) czy w opisie elementu składowego sederu na święto Pesach, jakim jest afikoman. Działa tu zasada organizowania przekazu, mająca za zadanie rozwiązać problem dostępu osób niepowołanych do treści, które powinny wciąż podlegać cenzurze tradycji inicjacyjnej i wymogom przekazu drogą ustną, a które z różnych powodów (np. okoliczności historycznych) muszą zostać zapisane. Nie można kontrolować przekazu tekstu pisanego. Zatem, ażeby uniemożliwić komuś, kto nie posiada niezbędnych prerekwizytów, właściwe zrozumienie teks tu, stosowano w tradycji żydowskiej szereg zabiegów, z których wymieniam poniżej kilka: 1) lehaktin kedei lehagdil umniejszyć, by powiększyć 9, 2) lehagdil kedei lehaktin powiększyć, by umniejszyć 10, 7 Stosuję tu tradycyjne żydowskie określenie dla Biblii Hebrajskiej, które stanowi akronim nazw jej składników: Tora, Newiim, Ktuwim (Tora, Prorocy, Pisma). 8 W rodzaju kikaion Jon. 4:6 (błędnie tłumaczone jako dynia lub bulwiasta roślina, por. Eliksir Hoffmana LSD i Nowe Eleusis, b.a., tłum. M. Lorenc, Warszawa 2011, s. 44 i dalej) czy peten (pyton, kobra, wąż), np. Ps 91:13. 9 Przykład: nazywanie najwyższego anioła, Metatrona, Młodzieńcem, Naar. 10 Przykład: nazywanie kiduszu na dzień Szabatu mianem kidusza rabba, wielkim kiduszem, podczas gdy w istocie jego waga jest mniejsza niż kiduszu na wieczór Szabatu. 10
5 O gematrii tytułem wprowadzenia 3) lehastir kedei legalot ukryć, żeby odkryć 11, 4) legalot kedei lehastir odkryć, żeby ukryć 12. Te i inne zasady, ujęte w inne sformułowania, objaśnił dogłębnie w XII w. RaMBaM (r. Mosze ben Majmon, Majmonides, ) we wstępie do More ha-newuchim, Przewodnika błądzących, jednak jak wspomniano same zasady są znacznie starsze. Przykładowo, w Talmudzie Babilońskim owe reguły funkcjonują pod nazwami: laszon sagi nahor, język ślepego o jasnym [wglądzie] lub kwod Elohim lehastir dawar szacunek dla Elohim objawia się przez ukrycie rzeczy oraz przejawia się w formie aluzji w imionach takich postaci jak Zeira Aricha ( Mały-Wysoki ) czy Szmuel ha-katan ( Mały Szmuel, gdyż był znany ze swojej wielkości jako uczonego w Torze). Mając powyższe na uwadze, przytoczmy wers z traktatu Pirke Awot (3:23) mówiący o gematrii: Rabi Eliezer ben Chisma uczył: Kinim [ gniazda prawa dotyczące ofiar z ptaków] i [prawa dotyczące] początku nida [okresu u kobiety] to są zasadnicze prawa; astronomia i gematria dodają smaku mądrości13. רבי אליעזר בן חסמא אומר, קנין ופתחי נדה, הן הן גופי הלכות. תקופות וגמטריאות, פרפראות לחכמה. Wyrażenie parparot lechochma tłumaczy się też jako dodatki/desery mądrości, bądź jak w powyższej wersji przyprawy mądrości, co ma wskazywać na pośledni, wyłącznie uzupełniający charakter gematrii wobec ważniejszych dań głównych prawa halachicznego. Zatem nawiązując do wywodu o odwróceniu sensu i ukryciu ważności 11 Przykład: informacje w Tanachu o specyficznych liczbach (318 wojowników w Rdz 14:14; 666 talentów złota w 2 Chrn 9:13), po to by nie pisać wprost o charakterze danego zjawiska. W pierwszym przypadku z Rdz 14:14 wiadomo, że w roli wojowników wystąpił pomocnik Abrahama, o którym wiemy z Rdz 15:2, że nazywał się Eliezer, a imię to ma wartość liczbową Omawiany przykład stosowania terminów obcojęzycznych dla zjawisk o najwyższej wadze. 13 Sentencje Ojców: Pirke Awot, tłum. E. Gordon, Kraków 2005, s
6 poprzez umniejszenie, należy domniemywać, że rabini celowo nazwali gematrię przyprawą mądrości, umniejszając oficjalnie jej znaczenie, mając jednak na myśli coś zupełnie przeciwnego: twierdzenie, że stanowi ona metodę dotarcia do podstawy strukturalnej Tory jej infrastrukturalnej matrycy arytmetycznej. 3) Jak przeliczyć Torę? Berajta 32 zasad14, przypisywana r. Eliezerowi ben Jose ha-geliliemu15, wymienia gematrię jako jedną z hagadycznych zasad hermeneutycznych interpretacji Tory. Bardziej prawidłowo należałoby mówić o zbiorze technik egzegetycznych, polegających na porównywaniu wyrazów oraz zdań w języku hebrajskim, które mają tę samą zsumowaną wartość liczbową składających się nań liter16. W ramach najbardziej podstawowej metody gematrycznej, czyli wartości zwykłej 17, odpowiedniość liter hebrajskich do liczb kształtuje się następująco: 14 Tekst ten nie zachował się do naszych czasów (nie został spisany). Cytuje go jednak Raszi w komentarzu do Biblii i Talmudu (TB Choraot 3a). Por. artykuł z Jewish Encyclopedia, autorstwa M. Jastrowa i L. Ginzberga z 1906 r., jewishencyclopedia.com/articles/2500-baraita-of-the-thirty-two-rules [dostęp 5/5/2016]. Zob. też F. Dornseiff, Alfabet w mistyce i magii, tłum. R. Wojnakowski, Warszawa 2001, s Krótkie, acz kompetentne wprowadzenie w gematrię przedstawia P. Jędrzejewski, [dostęp 5/5/2016]. Jeśli zaś chodzi o genezę idei przeliczania tekstu na liczby i vice versa, to kryje się ona w mrokach historii zarówno w kulturze ugaryckiej, chaldejskiej, jak i asyryjskiej mamy niezliczoną liczbę przykładów tego typu operacji w ten sposób dochodzimy do kultury sumeryjskiej, a dalej ślad się urywa. 15 Tanaita współczesny r. Akiwie. Temu drugiemu mędrcowi niekiedy przypisuje się autorstwo tej Berajty. 16 Zagadnienie mistycznego przetwarzania liter na liczby w sposób kompetentny przedstawia F. Dornseiff, dz. cyt., rozdz. 7, s Na gruncie nauki polskiej zaawansowane metody liczbowej i arytmetycznej hermeneutyki tekstów biblijnych stosował A. Wierciński, Przez wodę i ogień, Kraków Zaadaptował on tę metodologię z pism F. Weinreba (autora m.in. Roots of the Bible, Braunton 1986). 17 Czytelnik niezaznajomiony dotychczas z wartościami tej tabeli powinien je sobie dogłębnie przyswoić, ponieważ wywód Goldberga w całości się na nich opiera. 12
7 O gematrii tytułem wprowadzenia Liczba Hebrajskie imię litery Znak Wartość liczbowa Liczba Hebrajskie imię litery Znak Wartość liczbowa 60 ס 1 15 Samech א 1 Alef 70 ע 2 16 Ajin ב 2 Bet 80 פ 3 17 Pe ג 3 Gimel 90 צ 4 18 Cade ד 4 Dalet 100 ק 5 19 Kof ה 5 He 200 ר 6 20 Resz ו 6 Waw 300 ש 7 21 Szin ז 7 Zajin 400 ת 8 22 Taw ח 8 Chet 9 Tet ט Jud י Kaf כ Lamed ל Mem מ Nun נ 50 Kaf końcowe Mem końcowe Nun końcowe Pe końcowe Cade końcowe 500* ך 600* ם 700* ן 800* ף 900* ץ *w bardziej zaawansowanych systemach gematrii Zatem, porównując dwie identyczne wartości dwóch lub więcej różnych słów, powstały klal megumter, czyli równoważność gematryczna, ma wskazywać, wedle tej wykładni, na istnienie pomiędzy nimi pewnego związku natury logicznej, niekoniecznie o charakterze równoznaczności czy utożsamienia, a często wręcz o znaczeniu przeciwstawnym przykładem jest tu chociażby równoważność gematrii słów maszijach ( mesjasz ) i nachasz 13
8 ( wąż ), wynosząca Podobnie, różnica o jeden w porównywanych wartościach (zasada im ha-kolel, przyjmująca za 1 wartość całego słowa19) także ma oznaczać jakiegoś rodzaju więź łączącą dane słowa odnosząc się do powyższego przykładu: satan ( przeciwnik ) = 359. Idąc dalej pewnym tropem autorstwa XIII-wiecznego kabalisty, r. Abrahama Abulafii ( ), można szukać łączności znaczeniowej satana z nieokiełznaną żadnym prawem ludzką seksualnością i związanym z nią nadmiernym rozrostem imaginacji. Dla niego zasada satan-seksualność-świat imaginacji 18 Por. istotny tekst wspomnianego już A. Wiercińskiego: 666: liczba imienia Bestii, Nomos, 10/1995, s. 5 29, a zwłaszcza jego wywody na temat samej gematrii (s. 6 7), które choć nie w pełni przystają do prezentowanej powyżej interpretacji natury języka hebrajskiego warto przytoczyć in extenso, choćby dlatego że zawierają dobitne i w dużej mierze osobiste poglądy tego wielkiego badacza: Kabalistyczna egzegeza Biblii z dawien dawna stosuje różne metody gematr ii wynikające z faktu, że litery alfabetu hebrajskiego mają pr z y pisane war tości c y frowe. Najprostsza z tych procedur polega na ustaleniu równoważności między wartościami sumarycznymi zapisów słownych (tzw. «wartości zewnętrzne»). W razie wystąpienia takiej równoważności uważa się ją za wyraz więzi znaczeniowej, która podlega interpretacji lub wspiera już posiadaną. Często zdarzają się zbieżności szokująco sensowne z punktu widzenia doktrynalnego. Trzeba jednak przy tym pamiętać, że zawsze będzie chodziło o pr z y por z ądkowanie analogizujące, a więc o jakąś odpowiedniość, czy odnoszenie się od czegoś do czegoś, a nie o relację tożsamości. Z mojej dotychczasowej praktyki hermeneutycznej w tej dziedzinie wynika np., że gematryczna równoważność może reprezentować relację zawierania się czy obejmowania zakresowego, powodowania, podległości, lub po prostu synchronizacji. [ ] Ogólne wyjaśnienie uzyskiwanych gematrycznie relacji semantycznych może się wahać od założenia gry zdarzeń losowych, mówiąc zwyczajnie przypadku, po uznanie tajemniczej sensowności języka Biblii hebrajskiej i sposobu zapisu jego elementów fonetycznych. Opowiadam się na razie za tą drugą ewentualnością, ponieważ świat wydaje mi się jeszcze dziwniejszy, niż to wynika z opisujących go modeli współczes nej nauki, opartej o raczej wąskie rozumienie pojęcia pomiaru. Notabene, jednym z ważnych określeń biblijnego Boga jest El (=31) Chaj (=18) = 49. I taką właśnie wartość ma słowo mida (= = 49), tzn. «miara, pomiar», a zarazem: «norma etyczna». 19 Klasyczny komentarz gematryczny do Tory, Baal ha-turim, bardzo często wykorzystuje regułę im ha-kolel. 14
9 O gematrii tytułem wprowadzenia stanowią przeszkody dla podążania ścieżką mistyczną uzasadniał to stwierdzeniem, że wyrażenie zera lawan ( białe nasienie ) oraz guf ra ( ciało zła ) mają identyczną wartość liczbową, równą właśnie Podając powyższe przykłady, cały czas omawiamy tak zwaną wartość zewnętrzną wyrazów. Istnieją jednak inne wersje obliczeń gematrycznych, jak poniższe by wymienić najważniejsze: wartość pełna (obliczanie imion liter składowych wyrazu), wartość mała (suma cyfr liter z pominięciem wartości dziesiętnych i setnych), wartość porządkowa (gdzie alef = 1, taw = 22), wartość ukryta (odejmowanie wartości zewnętrznej od wartości pełnej ), wartość atbasz (następuje podmiana ostatniej litery za pierwszą: alef za taw, bet za szin, itd.), wartość albam (następuje podmiana alef na środkową lamed, bet za kolejną mem, itd.), wartość obliczania kwadratu wartości liter-liczb wyrazu. Przykładem tej ostatniej wersji jest wykazanie związku między wyrazem Makom (dosł. miejsce ; uznawanym również za jedno z imion Boga), a Imieniem JHWH, gdzie ten drugi składa się z numerycznego szeregu = 26, którego cyfry podniesione do drugiej potęgi dają wartość liczbową dla pierwszego wyrazu: = W dziele Goldberga oprócz pierwszej, najbardziej podstawowej metody ( wartość zwykła ) pojawia się również redukcja numeryczna, która polega na podliczaniu cyfr liczb składających się na gematrię danego wyrazu lub fragmentu z Tory. Unikatowa wartość dodana pracy Goldberga względem sięgającej setki lat wstecz tradycji kabalistycznej polega na wykazaniu 20 Zob. M. Idel, Studies in Ecstatic Kabbalah, New York 1988, s. 40. Inny wywód r. Abulafii mówi o tożsamości hebrajskiego słowa dimjion, wyobraźnia, i greckiego daimonos. 21 F. Dornseiff, dz. cyt., s Zob. także T. Sikora, Midrash and Semiotics some Considerations on the Case of R. Natan Nata Spira of Cracow, Studia Judaica, 2 (4)/1999, s
10 prawideł arytmetycznych na głębszym, infrastrukturalnym poziomie kodowania. Nie jest to więc zbiór wypisanych równoważności gematrycznych i nabudowanych na nich egzegez. Istotą tego dzieła jest natomiast analiza struktury arytmetycznej i wykazanie doświadczalne parafrazy słynnego twierdzenia RaMBaNa (r. Mosze ben Nachmana, Nachmanidesa, ), że To r a s t a n owi j e d n o w i e l k i e rozwinięcie Imienia JHWH22. Oskar Goldberg, idąc za tym twierdzeniem, pokazuje, że gmach Tory wzniesiono na matrycy gematrii tego Imienia (jak wspomniano powyżej, wynosi ona 26) oraz na jej redukcji numerycznej do liczby podstawowej, jaką jest 8 (2 + 6). Poniższa książka zawiera zapis przeprowadzonego precyzyjnie dowodu dla tej tezy. Ostatnie jej zdania wieńczą wstrząsające konkluzje Goldberga. Można je streścić następująco, kierując się dalej gutenbergowską23 metaforą: skoro dotarliśmy do matrycy Tory, to gdzie znajduje się jej patryca i jak do niej dotrzeć? 22 RaMBaN, Perusz al ha-tora, Hakdama le-sefer Bereszit, ac.il/daat/olam_hatanah/mefaresh.asp?book=1&perek=1&mefaresh=ramban [dostęp 5/5/2016]. עוד יש בידינו קבלה של אמת, כי כל התורה כולה שמותיו של הקב"ה, שהתיבות מתחלקות לשמות בענין אחד. Dysponujemy jeszcze prawdziwym przekazem, że cała Tora składa się z Imion Ha-Kadosz Baruch Hu gdy słowa podzielić na Imiona wedle innego (dosł. «jednego») sposobu. Dzieło Goldberga, rozpatrywane pod względem metodologicznym, stanowi w najnowszych badaniach istotny punkt odniesienia przy analizie tekstu innego kabalisty, równie radykalnie zorientowanego na gematryczne kodowanie. Zob. Arje M. Krawczyk, Krew, Orchidea, Atrament endofazja i heautoskopia w Sefer ha-ot, Księdze Znaku r. Abrahama Abulafii ( ) edycja krytyczna, tłumaczenie i interpretacja tekstu, Warszawa Treść Pięcioksięgu Mojżeszowego omówiono też pobieżnie w rozdziale 2 książki poświęconej ogólnej myśli Oskara Goldberga zob. B. Rosenstock, Transfinite Life Oskar Goldberg and the Vitalist Imagination, Bloomington B. Bieńkowska, Książka na przestrzeni dziejów, Warszawa 2005.
1 Zagadnienia wstępne
1 Zagadnienia wstępne 2 W ramach powtórki księgi protokanoniczne pisma, które od początku były uznawane przez wszystkie gminy chrześcijańskie za natchnione protokanoniczność nie oznacza, że księgi te mają
Znaki alfabetu białoruskiego Znaki alfabetu polskiego
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI z dnia 30 maja 2005 r. w sprawie sposobu transliteracji imion i nazwisk osób należących do mniejszości narodowych i etnicznych zapisanych w alfabecie
Rozdział 17. Wszystkie przedmioty פרק יז כ ל ה כ ל ים
פרק יז כ ל ה כ ל ים Miszna 1 א כ ל ה כ ל ים נ ט ל ין ב ש ב ת ו ד ל ת ות יה ן ע מ ה ן, אף ע ל פ י ש נ ת פ ר ק ו ב ש ב ת. ש א ינ ן ד ומ ין ל ד ל ת ות ה ב י ת, ל פ י ש א ינ ן מ ן ה מ וכ ן: W Szabat można
Ocena poziomu rozwoju podstawowych zdolności arytmetycznych w oparciu o baterie testów wydawnictwa PROMATHEMATICA
Ocena poziomu rozwoju podstawowych zdolności arytmetycznych w oparciu o baterie testów wydawnictwa PROMATHEMATICA Profil arytmetyczny U Test Porównywania Ilości Figur określa: Proces rozumienia liczb na
Warszawa, r. dr hab. Marek Ireneusz Baraniak Wydział Orientalistyczny Uniwersytetu Warszawskiego
dr hab. Marek Ireneusz Baraniak Wydział Orientalistyczny Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, 16.05.2016 r. Recenzja pracy doktorskiej mgr. Mikołaja Krawczyka, Mowa wewnętrzna w Sefer ha-ot, Księdze Znaku
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
POWTÓRKA מכתב. michtaw list. Ani katawti ha-michtaw Pisałem list. kabala - przyjęcie, paragon קבלה. Ani kibalti ha-kabala Otrzymałem paragon.
POWTÓRKA מכתב Michtaw michtaw list kataw- pisał כתב אני כתבתי המכתב Ani katawti ha-michtaw Pisałem list Kabala kabala - przyjęcie, paragon קבלה kibel - otrzymał קיבל אני קיבלתי הקבלה Ani kibalti ha-kabala
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM
ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Porównywanie populacji
3 Porównywanie populacji 2 Porównywanie populacji Tendencja centralna Jednostki (w grupie) według pewnej zmiennej porównuje się w ten sposób, że dokonuje się komparacji ich wartości, osiągniętych w tej
Jak czytać ze zrozumieniem Pismo Święte (YC 14-19)?
Jak czytać ze zrozumieniem Pismo Święte (YC 14-19)? Mój pierwszy nauczyciel języka hebrajskiego bił mnie linijką po dłoni, gdy ośmieliłem się dotknąć palcem świętych liter Pięcioksięgu. (R. Brandstaetter,
Dalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
GODZINY NADLICZBOWE. Stan prawny na dzień r. Tadeusz Nycz
GODZINY NADLICZBOWE Stan prawny na dzień 1.02.2007 r. Tadeusz Nycz Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie i rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Jak czytać ze zrozumieniem Pismo Święte?
Jak czytać ze zrozumieniem Pismo Święte? Mój pierwszy nauczyciel języka hebrajskiego bił mnie linijką po dłoni, gdy ośmieliłem się dotknąć palcem świętych liter Pięcioksięgu. (R. Brandstaetter, Żywa Księga)
Systematyzacja jednostek redakcyjnych uchwały
Systematyzacja jednostek redakcyjnych uchwały Tekst prawny jest zbudowany na bazie tzw. jednostek podstawowych, charakterystycznych dla poszczególnych przepisów prawa, przyjmujących postać normy prawnej.
Europejski system opisu kształcenia językowego
Europejski system opisu kształcenia językowego Opis poziomów Poziom językowy A1 - Poziom początkowy Potrafię zrozumieć znane mi słowa i bardzo podstawowe wyrażenia dotyczące mnie osobiście, mojej rodziny
Przedmiotowy system oceniania
Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Zasady sporządzania przypisów na podstawie norm PN-78 N-01222 oraz PN-ISO 690:2002. Opracowały: Ilona Dokładna Joanna Szada - Popławska
Zasady sporządzania przypisów na podstawie norm PN-78 N-01222 oraz PN-ISO 690:2002 Opracowały: Ilona Dokładna Joanna Szada - Popławska Przypis (notka) to zasadniczy element aparatu naukowego książki. Przypisy
Języki programowania zasady ich tworzenia
Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie
Techniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO
1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MAJ 2017 KLASA 2 Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 16). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego
Statystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
O ISTOTNYCH OGRANICZENIACH METODY
O ISTOTNYCH OGRANICZENIACH METODY ALGORYTMICZNEJ Dwa pojęcia algorytmu (w informatyce) W sensie wąskim Algorytmem nazywa się każdy ogólny schemat procedury możliwej do wykonania przez uniwersalną maszynę
UNIWERSYTET ŚLĄSKI W KATOWICACH
UNIWERSYTET ŚLĄSKI W KATOWICACH STUDIUM PRAKTYCZNEJ NAUKI JĘZYKÓW OBCYCH FORMAT EGZAMINU: EGZAMIN CERTYFIKUJĄCY Z JĘZYKA OBCEGO, POZIOM B2 Egzamin sprawdza znajomość języka obcego ogólnego na poziomie
Scenariusz nr 1. Autor scenariusza: Krystyna Jakubowska. Blok tematyczny: Historia książki
Autor scenariusza: Krystyna Jakubowska Blok tematyczny: Historia książki Scenariusz nr 1 I. Tytuł scenariusza: Dzieje pisma. II. Czas realizacji: 2 jednostki lekcyjne. III. Edukacje (3 wiodące): polonistyczna,
Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe
Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe Barbara Łukawska, Adam Krechowicz, Tomasz Michno Podstawowym systemem liczbowym uŝywanym na co dzień jest system dziesiętny. Podstawą tego systemu jest 10 cyfr 0, 1, 2,
4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Rozdział 1 Skorowidze 1
Rozdział 1 Skorowidze 1 1.1 Co to jest skorowidz W tytule mojej pracy użyte zostało słowo skorowidz. Obecnie znacznie częściej w języku polskim jest używany jego synonim - indeks. W swojej pracy będę tych
PRZYMIOTNIKI. jeled jafe piękny chłopiec י ל ד יפ ה jeladim jafim piękni chłopcy י לד ים י פ ים jalda jafa piękna dziewczyna י ל דה יפה
PRZYMIOTNIKI Formy przymiotników rodzaju żeńskiego oraz liczby mnogiej są tworzone tak samo jak dla rzeczowników. Przymiotniki są umieszczane za rzeczownikami, a liczba i rodzaj muszą być zgodne jeled
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 h
Nowy Sprawdzian Szóstoklasisty 2017 z OPERONEM i Gazetą Wyborczą. Kartoteka testu
Kartoteka testu * 1. identyfikuje wypowiedź jako tekst informacyjny I.1.4. 2. odbiera teksty kultury na poziomie dosłownym II.3.1. i przenośnym 3. wyszukuje informacje wyrażone wprost i pośrednio (ukryte)
JĘZYK POLSKI WYMAGANIA EDUKACYJNE W KLASIE III POZIOM PODSTAWOWY
JĘZYK POLSKI WYMAGANIA EUKAYJNE W KLASIE III POZIOM POSTAWOWY Niżej przedstawione kryteria ocen należy rozumieć koniunktywnie Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który spełnia : 1. Odczytuje zawarte w
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z JĘZYKA POLSKIEGO - OCENIANIE BIEŻĄCE, SEMESTRALNE I ROCZNE (2015/2016)
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z JĘZYKA POLSKIEGO - OCENIANIE BIEŻĄCE, SEMESTRALNE I ROCZNE (2015/2016) Ocena dopuszczająca: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który opanował wiadomości i umiejętności określone
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
SPRAWDZIAN W KLASIE VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
SPRAWDZIAN W KLASIE VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 CZĘŚĆ 1. JĘZYK POLSKI I MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ SP-8 KWIECIEŃ 2015 Zadanie 1. (0 1) JĘZYK POLSKI A Zadanie
ODPOWIEDZI I PUNKTACJA ZADAŃ DO ARKUSZA Od księgi do książki
ODPOWIEDZI I PUNKTACJA ZADAŃ DO ARKUSZA Od księgi do książki ODPOWIEDZI I PUNKTACJA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B C B C D D D A C C D B D B C A A A A ODPOWIEDZI
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Współczesne koncepcje praw człowieka na kierunkach Prawo, Administracja, Prawo europejskie
Katedra Teorii i Filozofii Prawa Poznań, dnia 29 września 2018 r. OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Współczesne koncepcje praw człowieka na kierunkach Prawo, Administracja, Prawo europejskie
SYSTEMY LICZBOWE 275,538 =
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Wprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
CIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
4. Format i objętość: około 30 stron (ok znaków). Font: Times New Roman 12 pkt., interlinia podwójna, justowanie.
Szczegółowe zasady dotyczące przygotowania teoretycznych prac licencjackich i magisterskich na kierunku edukacja artystyczna w zakresie sztuk plastycznych prowadzonym na Wydziale Edukacji Artystycznej
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Wydział Mechaniczny. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych
Politechnika Białostocka Wydział Mechaniczny Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: Arytmetyka układów cyfrowych część 1 dodawanie i odejmowanie liczb binarnych Numer ćwiczenia: 1 Laboratorium
2. Praca powinna charakteryzować się podstawowymi umiejętnościami samodzielnego analizowania i wnioskowania.
Szczegółowe zasady dotyczące przygotowania teoretycznych prac licencjackich na kierunku kuratorstwo i teorie sztuki prowadzonym na Wydziale Edukacji Artystycznej i Kuratorstwa UAP Obowiązują od roku akademickiego
UMIEJĘTNOŚCI JĘZYKOWE
Raport z Ogólnopolskiego Sprawdzianu Kompetencji Trzecioklasisty OPERON 2016 w Szkole Podstawowej nr 6 im. Henryka Sienkiewicza w Pruszkowie Ogólnopolski Sprawdzian Kompetencji Trzecioklasisty odbył się
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Projekt Planu wynikowego do programu MATEMATYKA 2001 Gimnazjum klasa 1. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJĄCE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu
Analiza wyników badania Kompetencji trzecioklasistów uczniów klasy 3a i 3b w roku szkolnym 2015/16. opracowała Joanna Chachulska
Analiza wyników badania Kompetencji trzecioklasistów uczniów klasy 3a i 3b w roku szkolnym 2015/16 opracowała Joanna Chachulska Test Kompetencji Trzecioklasistów z języka polskiego został przeprowadzony
Arytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum
1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych 1. Liczby naturalne 1. Cechy podzielności 1. Działania na liczbach naturalnych 1. Algorytmy działań pisemnych odczytywać informacje przedstawione w tabelach
STANDARDY WYMAGAŃ W ZAKRESIE WIEDZY MATEMATYCZNEJ UCZNIA KLASY IV W ROZBICIU NA OCENY
STANDARDY WYMAGAŃ W ZAKRESIE WIEDZY MATEMATYCZNEJ UCZNIA KLASY IV W ROZBICIU NA OCENY Treści i umiejętności Zakres opanowanej wiedzy i posiadane umiejętności w rozbiciu na poszczególne oceny celująca bardzo
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Ułamki i działania 20 h
Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie
SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI
Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Filozofia INFORMATYKA Metodologia Wykład 1. Wprowadzenie. Filozofia, metodologia, informatyka Czym jest FILOZOFIA? (objaśnienie ogólne) Filozofią nazywa się
ZASADY PISANIA PRACY DYPLOMOWEJ W KJ TSW
Załącznik do Zarządzenia Rektora KJ-TSW z dnia 12 września 2017 r. ZASADY PISANIA PRACY DYPLOMOWEJ W KJ TSW Zalecenia mają charakter ogólny. Kwestie szczegółowe specyficzne dla każdej pracy należy konsultować
Zasady pisania pracy dyplomowej / magisterskiej
Zasady pisania pracy dyplomowej / magisterskiej Objętość i struktura pracy Nie ma oficjalnych ustaleń co do liczby rozdziałów. Przyjmujemy, że praca dyplomowa powinna się składać z trzech rozdziałów (magisterska
Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Programowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 1. JĘZYK POLSKI ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ GH-P2 KWIECIEŃ 2018 Zadanie 1. (0 1) 9) wyciąga wnioski wynikające z przesłanek
Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna
Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna 2009-09-04 Plan wykładu 1 Jońska filozofia przyrody - wprowadzenie 2 3 Jońska filozofia przyrody - problematyka Centralna problematyka filozofii
Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności
Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych
SCENARIUSZ ZAJĘĆ SZKOLNEGO KOŁA NAUKOWEGO Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA PROWADZONEGO W RAMACH PROJEKTU AKADEMIA UCZNIOWSKA. Temat lekcji: Liczby firankowe
SCENARIUSZ ZAJĘĆ SZKOLNEGO KOŁA NAUKOWEGO Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA PROWADZONEGO W RAMACH PROJEKTU AKADEMIA UCZNIOWSKA Temat lekcji: Liczby firankowe Na podstawie pracy Joanny Jędrzejczyk oraz jej uczniów.
Zapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015
MATEMATYKA Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 IMIĘ I NAZWISKO Data urodzenia: 08/09/2000 ID: 5200154019 Klasa: 11 Niniejsze sprawozdanie zawiera informacje o wynikach zdobytych przez Państwa dziecko
Sposoby prezentacji problemów w statystyce
S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKA ROSYJSKIEGO
SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKA ROSYJSKIEGO I. KONTROLI PODLEGAJĄ ZARÓWNO SPRA2WNOŚCI PRODUKTYWNE (MÓWIENIE I PISANIE), JAK I RECEPTYWNE (ROZUMIENIE I PISANIE TEKSTU CZYTANEGO I SŁUCHANEGO). 1a. Mówienie. Umiejętności
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
INFORMATYKA W SZKOLE. Podyplomowe Studia Pedagogiczne. Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227
INFORMATYKA W SZKOLE Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA grazyna@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 Podyplomowe Studia Pedagogiczne 2 Algorytmy Nazwa algorytm wywodzi się od nazwiska perskiego matematyka Muhamed ibn
PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 JĘZYK POLSKI
PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 JĘZYK POLSKI ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadanie 1. (0 1) 2) wyszukuje w wypowiedzi potrzebne informacje [ ]. PP Zadanie
1), 1. * W
Przypisy PRZYPIS jest to objaśnienie, komentarz lub uwaga dodana przez autora lub wydawcę do tekstu pracy, umieszczana zwykle: u dołu stronicy, na końcu rozdziału lub na końcu pracy. ODNOŚNIK (odsyłacz)
Z JĘZYKA NIEMIECKIEGO
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKA NIEMIECKIEGO OCENIANIE Ocena końcowa jest wystawiana na podstawie średniej ważonej z minimum 3 (przy 1 godzinie tygodniowo) lub 5 (przy 2 lub 3 godzinach tygodniowo)
SPIS TREŚCI. Część pierwsza KRYTYKA ESTETYCZNEJ WŁADZY SĄDZENIA
SPIS TREŚCI Przedmowa tłumacza................. XI KRYTYKA WŁADZY SĄDZENIA Przedmowa do pierwszego wydania............ 3 Wstęp...................... 11 I. O podziale filozofii............... 11 II. O suwerennej
Wstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
Osiągnięcia przedmiotowe
1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych przedstawione w tabelach przedstawione na przedstawiać dane w tabelach przedstawiać dane na przedstawione w tabelach przedstawione na porównywać informacje
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA System rzymski. Powtórzenie i utrwalenie umiejętności z zakresu podstawy