BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU STÓP ZWROTU NA GPW W WARSZAWIE Z ROZKŁADAMI GAUSSA I CAUCHY EGO
|
|
- Marcin Zieliński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 AKADEMIA EKONOMICZNA W POZNANIU Krzysztof Cichy BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU STÓP ZWROTU NA GPW W WARSZAWIE Z ROZKŁADAMI GAUSSA I CAUCHY EGO PRACA MAGISTERSKA Wydział Zarządzania Kierunek: Zarządzanie i Marketing Specjalność: Inwestycje Kapitałowe i Strategie Finansowe Przedsiębiorstwa Katedra Inwestycji i Rynków Kapitałowych Promotor: prof. zw. dr hab. Waldemar Frąckowiak POZNAŃ 24
2 Streszczenie Stopa zwrotu jest jednym z najważniejszych pojęć w teorii i praktyce finansów. W pracy tej podjęto próbę zbadania rozkładu dziennych, tygodniowych i miesięcznych stóp zwrotu dla 36 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Opisane zostały modele wykorzystujące pojęcie stopy zwrotu i opierające się na założeniu o normalności rozkładu stóp zwrotu. Następnie, omówiono rozkłady teoretyczne, z którymi zgodność jest badana rozkład Gaussa i Cauchy ego i prace dotyczące badań zgodności rozkładów empirycznych na giełdach światowych (w szczególności na giełdzie amerykańskiej) z rozkładami teoretycznymi początkowo głównie rozkładem normalnym, a później również z wieloma rodzinami rozkładów, takimi jak α- stabilne rozkłady Pareto-Levy ego. W dalszej części pracy omówiono metodykę badania i wyniki badań. Sugerują one, że rozkład dziennych i tygodniowych stóp zwrotu nie jest normalny, a część centralna rozkładów dziennych stóp zwrotu może być modelowana za pomocą rozkładu Cauchy ego. Rozkład miesięcznych stóp zwrotu jest normalny dla niespełna połowy badanych spółek. Na tej podstawie wysunięto wnioski dotyczące przyczyny takiego stanu rzeczy i wskazano kierunki dalszych badań. 2
3 Spis treści STRESZCZENIE 2 SPIS TREŚCI 3 WSTĘP 5 1. POJĘCIE STOPY ZWROTU I JEJ WYKORZYSTANIE W MODELACH RYNKU KAPITAŁOWEGO Definicja stopy zwrotu Horyzont czasowy stopy zwrotu Fluktuacje stopy zwrotu Stopa zwrotu w średnim okresie Stopy zwrotu w długim okresie Składniki stopy zwrotu Modele rynku kapitałowego wykorzystujące pojęcie stopy zwrotu Teoria portfela Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM Model Blacka-Scholesa Podsumowanie ROZKŁADY W STATYSTYCE I NA GIEŁDACH ŚWIATOWYCH Rozkład normalny Rozkład dwumianowy Wyprowadzenie rozkładu normalnego Związek modelu Laplace a błędów pomiarowych z zachowaniem stóp zwrotu na giełdzie papierów wartościowych Rozkład normalny standaryzowany Rozkład Cauchy ego Rozkład Studenta Przejście do rozkładu Cauchy ego Uwagi o rozkładzie Cauchy ego Stabilne rozkłady Pareto-Levy ego Pojęcie funkcji charakterystycznej Definicja Parametry rozkładu Interesująca własność rozkładów stabilnych Rozkłady na giełdach światowych Początki badań Klasyczne prace Ostatnie badania Podsumowanie Badania polskich autorów 65 3
4 3. METODYKA BADAŃ EMPIRYCZNYCH Definicja stopy zwrotu Testy zgodności rozkładów Test zgodności chi-kwadrat Pearsona Test Kołmogorowa-Lillieforsa Test normalności Shapiro-Wilka Uwagi na temat zastosowania testów Test graficzny Estymacja parametrów rozkładu Cauchy ego Dane do badań WYNIKI BADAŃ Dzienne stopy zwrotu zgodność z rozkładem normalnym i rozkładem Cauchy ego Zestawienie zbiorcze Grupa A Grupa B Grupa C Grupa D Grupa E Grupa F Grupa G Podsumowanie Tygodniowe stopy zwrotu zgodność z rozkładem normalnym Miesięczne stopy zwrotu zgodność z rozkładem normalnym Zestawienie zbiorcze Grupa A Grupa B Grupa C Grupa D Grupa E Grupa F Grupa G Podsumowanie Podsumowanie 18 ZAKOŃCZENIE 11 SPIS LITERATURY 115 SPIS TABEL 12 SPIS WYKRESÓW 121 ANEKS 122 4
5 Wstęp Ekonomia jest nauką o efektywności gospodarowania. Miernikiem tej efektywności, a więc jednym z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych pojęć w ekonomii, jest stopa zwrotu. Szczególnym rodzajem stopy zwrotu jest stopa zwrotu z papieru wartościowego, mierząca ile bogactwa przysporzyło właścicielowi papieru jego posiadanie. Stopy zwrotu z akcji charakteryzują się pewnym rozkładem, który można przybliżyć za pomocą rozkładu normalnego. Nasuwa się w związku z tym pytanie, na ile to przybliżenie jest ścisłe i bliskie prawdzie. Czy istnieją inne rozkłady, które lepiej niż przybliżają empiryczny rozkład stóp zwrotu z akcji? W pracy tej podjęto próbę odpowiedzi na to pytanie. Badania empiryczne przeprowadzone na giełdach światowych jednoznacznie pokazały, że nie może być użyty do opisu dziennych stóp zwrotu, ale może nadawać się do opisu stóp o dłuższym horyzoncie czasowym, w szczególności miesięcznych. Niestety, w Polsce nie przeprowadzono wielu badań tego typu, a zagadnienie to jest istotne z wielu punktów widzenia, m.in. dlatego, że duża część modeli rynku kapitałowego opiera się na założeniu normalności rozkładu stóp zwrotu. Niespełnienie tego założenia prowadzi więc do pytań o możliwość stosowania takich modeli, jak model CAPM czy model Blacka-Scholesa. Odstępstwa od rozkładu normalnego mogą być małe i nie powodować problemów ze stosowaniem modeli - za cenę przyjęcia upraszczających założeń otrzymujemy bowiem relatywnie prosty i łatwy do wykorzystania w praktyce model. Odstępstwa te mogą być jednak na tyle duże, że modele przyjmujące założenie o normalności okażą się zbyt grubym przybliżeniem. Celem tej pracy jest więc sprawdzenie założenia o normalności rozkładu stóp zwrotu na rynku polskim. Jako lepsze przybliżenie rozkładu empirycznego zaproponowany zostaje inny rozkład teoretyczny zwany rozkładem Cauchy ego. Ze względu na to, że rozkład ten charakteryzuje się większą wysmukłością i grubszymi ogonami, które to cechy rozkładów empirycznych zaobserwować 5
6 można na pierwszy rzut oka, można przypuszczać, że lepiej opisuje rozkłady empiryczne. Nie należy się jednak spodziewać idealnej zgodności z tym rozkładem, gdyż jest on w pewnym sensie przypadkiem skrajnym. Zbliżanie się do rozkładu Cauchy ego potwierdza jednak wyniki badań na giełdach światowych, że bardzo dobrze do opisu rozkładów empirycznych należy pewna klasa rozkładów, zwanych α-stabilnymi rozkładami Pareto-Levy ego. W pracy tej hipoteza ta może zostać w sposób pośredni potwierdzona. Zbadane zostały rozkłady dziennych, tygodniowych i miesięcznych stóp zwrotu dla 36 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresie od momentu wprowadzenia każdej spółki do 1 sierpnia 23 roku. Stopa zwrotu została zdefiniowana na dwa sposoby, a dalej zbadano, czy wybór którejś definicji ma istotne znaczenie dla wyników. Dodatkowo, zbadano rozkłady logarytmu ceny akcji. W pracy zastosowano metody statystyczne badań zgodności rozkładów. Wybrano testy chi-kwadrat, Kołmogorowa-Lillieforsa i Shapiro-Wilka ze względu na to, że są one uważane za najlepsze testy zgodności. Pierwsze dwa z tych testów użyto do badania zarówno zgodności z rozkładem normalnym, jak i rozkładem Cauchy ego. Test Shapiro-Wilka przeznaczony jest wyłącznie do badań normalności i uważany jest za test o największej mocy, ale można go zastosować tylko do małych prób (miesięcznych stóp zwrotu). Wnioski wynikające z tych testów zostały zweryfikowane dodatkowo testem graficznym, polegającym na ocenie podobieństwa kształtu funkcji gęstości. Praca składa się z czterech rozdziałów, wstępu, zakończenia i aneksu. W pierwszym rozdziale zanalizowano pojęcie stopy zwrotu i omówiono modele wykorzystujące to pojęcie, ze szczególnym uwzględnieniem modeli zakładających normalność stóp zwrotu teorii portfela, modelu wyceny aktywów kapitałowych CAPM i modelu wyceny opcji Blacka-Scholesa. Zwrócona została uwaga na znaczenie założenia o normalności stopy zwrotu dla modeli. Rozdział ten opracowano w oparciu o polskojęzyczną literaturę dotyczącą rynku kapitałowego. 6
7 W drugim rozdziale omówiono rozkłady teoretyczne rozkład Gaussa (wraz z wyprowadzeniem) oraz rozkład Cauchy ego i całą klasę α-stabilnych rozkładów Pareto-Levy ego, których przypadkami szczególnymi są wspomniane dwa rozkłady. Rozdział ten zawiera także chronologiczny przegląd badań dotyczących rozkładów stóp zwrotu na giełdach światowych i wniosków z nich wypływających. Opracowany został w oparciu o polsko- i angielskojęzyczne książki dotyczące statystyki oraz artykuły opisujące wspomniane badania. W trzecim rozdziale omówiono metodykę badania empirycznego, a w szczególności konstrukcję wykorzystanych testów zgodności z rozkładami teoretycznymi oraz samą definicję stopy zwrotu. Podstawą opracowania rozdziału były książki na temat statystyki i oryginalne prace wyprowadzające testy zgodności. Czwarty rozdział prezentuje wyniki badań empirycznych. Dokonany zostaje podział spółek na grupy według długości okresu notowań na giełdzie. Dla każdej spółki przedstawione zostają wykresy funkcji gęstości rozkładu empirycznego i rozkładów teoretycznych rozkładu normalnego (dla dziennych i miesięcznych stóp zwrotu) i rozkładu Cauchy ego (tylko dla dziennych stóp zwrotu). Dane do badań zaczerpnięte zostały ze źródeł internetowych. Ostateczne wnioski wypływające z pracy zawarte są w zakończeniu. 7
8 1. Pojęcie stopy zwrotu i jej wykorzystanie w modelach rynku kapitałowego Podstawą praktycznie każdego modelu rynku kapitałowego jest, bezpośrednio lub pośrednio, pojęcie stopy zwrotu. Wraz z ryzykiem, stopa zwrotu determinuje zachowanie inwestora na rynku. Jednym z aksjomatów, na których opierają się te modele, jest założenie, że inwestorzy cenią wysoką stopę zwrotu i są niechętni ryzyku 1. W rozdziale tym pojęcie stopy zwrotu zostanie zanalizowane z ekonomicznego punktu widzenia Definicja stopy zwrotu Stopą zwrotu nazywamy stosunek korzyści uzyskanych z inwestycji do wartości zainwestowanego kapitału. Na przykład, w przypadku inwestycji w papiery wartościowe, stopą zwrotu będzie stosunkiem sumy różnicy ceny w danym okresie i okresie, w którym papier wartościowy został nabyty, i innych korzyści uzyskanych z tytułu posiadania papieru (np. dywidendy) do ceny, po której papier wartościowy został nabyty, tj.: P P P D + t t 1 t R t = (1.1) t 1 gdzie: R t stopa zwrotu w okresie t, P t cena papieru wartościowego w okresie t, D t inne korzyści z posiadania papieru wartościowego (dywidenda). W praktyce, formuły definiujące stopę zwrotu mogą być różne. Formuła wykorzystana w badaniach przeprowadzonych w tej pracy zostanie przedstawiona i omówiona w rozdziale 3. Jej ekonomiczny sens jest jednak taki sam mierzy jak bardzo inwestor bogaci się inwestując i spełnia podstawowy aksjomat, że wyższemu jej poziomowi odpowiada większe zadowolenie (użyteczność) inwestora (przy danym poziomie ryzyka). 1 E. Elton, M. Gruber Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych, WIG Press, Warszawa 1998, s.24. 8
9 W dalszych rozważaniach pod pojęciem stopy zwrotu będziemy rozumieć stopę zwrotu z akcji. Rozważać będziemy tylko akcje notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie Horyzont czasowy stopy zwrotu W zależności od długości od długości odcinka czasu (t-1; t) możemy wyróżnić różne rodzaje stóp zwrotu. Czynniki, od których zależą wartości poszczególnych rodzajów stóp zwrotu, są różne. Jeżeli długość odcinka czasu jest niewielka (np. kilka godzin), dominują czynniki losowe tj. niezależne od rzeczywistej kondycji spółki. Jeżeli długość tego odcinka jest duża (np. kilkanaście miesięcy), można przyjąć, że stopa zwrotu zależy od rzeczywistej wartości spółki Fluktuacje stopy zwrotu Krótkookresowe stopy zwrotu nie zawsze mają interpretację ekonomiczną. Im krótszy okres, tym większy wpływ na kształtowanie się kursu akcji mają czynniki losowe. Przykładem takich czynników są działania spekulantów, którzy mogą istotnie wpłynąć na kurs akcji w danym momencie. Ich długookresowy wpływ jest jednak niewielki, gdyż spekulacyjny poziom kursu zostaje szybko sprowadzony przez rynek do jego uzasadnionej wartości. Gdyby to bowiem nie nastąpiło, istniałaby możliwość zarobku bez ryzyka (arbitrażu) wiedząc, że np. kurs jest znacznie zawyżony, inwestorzy mogliby zagrać na jego zniżkę. Rynek kapitałowy jest jednak efektywny dla stóp zwrotu ma to takie znaczenie, że krótkookresowe fluktuacje istnieją, ale nie mają wielkiego znaczenia ekonomicznego muszą bowiem szybko znikać, aby kurs akcji odpowiadał kursowi uzasadnionemu aktualnym stanem wiedzy inwestorów na temat spółki oraz jej działalności i wyników Stopa zwrotu w średnim okresie W pracy zostanie zbadane przede wszystkim zachowanie stóp zwrotu w średnim okresie tj. takim, w którym istotny wpływ mają zarówno czynniki 9
10 losowe, jak i inne czynniki związane z działalnością spółki i z otoczeniem mikro- i makroekonomicznym, w którym funkcjonuje. Wśród czynników tych należy wymienić: sytuację rynkową spółki, wyniki finansowe spółki, inne informacje na temat spółki, dostępne publicznie, informacje na temat branży, w której spółka funkcjonuje, czynniki makroekonomiczne, wpływające na daną spółkę, inne. Wpływu wszystkich tych czynników na stopę zwrotu nie da się przewidzieć a priori stopa zwrotu jest więc zmienną losową jej wysokość zależy od stanu wielu różnych czynników w przyszłości.. Stopa zwrotu w średnim okresie ma już znacznie bardziej wyraźną interpretację ekonomiczną. Można przyjąć, że im wyższa stopa zwrotu, tym lepsza spółka i jej wyniki w danym okresie. Oznacza to, że jeżeli wiemy, że na akcjach spółki A stopa zwrotu wynosi np. 1% w ciągu roku, a spółki B 1% w tym samym okresie, to z dużym prawdopodobieństwem różnica ta wynika z tego, że spółka A jest lepsza od spółki B tj. np. osiągnęła wyższy zysk z jednostki kapitałów własnych. Jeżeli podane stopy zwrotu odnosiłyby się do kilku godzin lub jednego dnia, różnica ta mogłaby wynikać tylko i wyłącznie z czynników losowych, działań spekulacyjnych itp., tj. nie można by stwierdzić na tej podstawie, która spółka jest lepsza. W pracy tej zbadane zostanie zachowanie stóp zwrotu: dziennych, tygodniowych i miesięcznych Stopy zwrotu w długim okresie W długim okresie wpływ czynników losowych jest niewielki, a stopy zwrotu zależą niemal wyłącznie od zmiennych związanych z działalnością spółki. W pracy tej stopy takie nie będą badane ze względu na stosunkowo krótki czas 1
11 funkcjonowania Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie od 1991 roku. Materiał statystyczny jest więc niewystarczający dla przeprowadzenia tego typu analizy Składniki stopy zwrotu Każda inwestycja może być traktowana jako bieżące wyrzeczenie (rezygnacja z bieżącej konsumpcji) dla niepewnych przyszłych korzyści. Inwestor oczekuje za to wyrzeczenie nagrody. Nagrodą tą jest właśnie stopa zwrotu. Podstawowe składniki tej nagrody to: cena czasu i cena ryzyka. Cenę czasu nazywamy składnikiem wolnym od ryzyka jest to bowiem całkowita stopa zwrotu w przypadku inwestycji wolnych od ryzyka (żadna inwestycja nie jest w pełni wolna od ryzyka, ale jeżeli ryzyko jest bardzo niewielkie, jak np. ryzyko niewypłacalności rządu Polski, to mówimy, że ryzyka nie ma). Gdy inwestor dodatkowo ponosi ryzyko w inwestowaniu, powinien otrzymać dodatkową premię, którą jest cena ryzyka. W przypadku krótko- i średniookresowych stóp zwrotu dochodzi jeszcze jeden składnik stopy zwrotu składnik losowy. Znaczenie tego składnika maleje wraz ze wzrostem horyzontu czasowego dominuje on w przypadku analizy np. jednodniowych stóp zwrotu (różnią się one najczęściej dla spółek, które charakteryzują się podobnym poziomem ryzyka właśnie ze względu na występowanie składnika losowego), ale staje się niezauważalny dla stóp zwrotu w długim okresie. Całkowitą stopę zwrotu możemy więc wyrazić jako: R = r f + r rp + ε, (1.2) gdzie: R całkowita stopa zwrotu z inwestycji, r f składnik wolny od ryzyka (cena czasu), r rp premia za ryzyko (cena ryzyka), 11
12 ε składnik losowy Modele rynku kapitałowego wykorzystujące pojęcie stopy zwrotu Stopa zwrotu jest podstawą bardzo wielu modeli rynku kapitałowego. Na tym właśnie rynku inwestorzy inwestują bowiem swój kapitał w celu pomnożenia go, czyli osiągnięcia jak najwyższej stopy zwrotu, przy możliwie niskim ryzyku. W podrozdziale tym omówiona zostanie rola pojęcia stopy zwrotu w kilku najważniejszych modelach Teoria portfela Portfel składający się z 1 akcji Jako szczególny, najprostszy przypadek, rozważymy teorię portfela składającego się z tylko jednej akcji. W teorii portfela podstawowymi charakterystykami są stopa zwrotu z portfela i odchylenie standardowe stóp zwrotu, będące miarą ryzyka. W przypadku portfela jednoelementowego stopa zwrotu z inwestycji zdefiniowana jest wzorem: P + t Pt 1 Dt R t = (1.1) Pt 1 Opis występujących symboli zawarty jest w rozdziale 1.1. Tak zdefiniowana stopa zwrotu określa dochód przypadający na jednostkę zainwestowanego kapitału 2. Drugim możliwym sposobem inwestowania na rynku akcji w teorii portfelowej jest tzw. krótka sprzedaż, która polega na pożyczeniu akcji, sprzedaniu ich, a następnie odkupieniu po pewnym czasie w celu ich oddania pożyczającemu. Taki sposób inwestowania stosowany jest w przypadku, gdy inwestor oczekuje spadku cen akcji, w przeciwieństwie do zakupu akcji, stosowanego oczywiście tylko jeśli inwestor spodziewa się wzrostu ich cen. Dla krótkiej sprzedaży stopa zwrotu określona jest następująco 3 : 2 K.Jajuga, T. Jajuga Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, s Tamże, s
13 P P D t 1 t t R t = (1.3) MPt 1 gdzie: M liczba określająca procentowy depozyt od ceny akcji, wpłacany przez dokonującego krótkiej sprzedaży. Stopy zwrotu zdefiniowane wzorami (1.1) i (1.3) są w chwili podejmowania przez inwestora decyzji inwestycyjnej zmiennymi losowymi, ponieważ tylko P t-1 i M są wartościami znanymi, a P t i D t są zmiennymi losowymi 4. Oznacza to, że stopa zwrotu jest rozumiana jako zbiór możliwych do osiągnięcia wartości wraz z przypisanymi im prawdopodobieństwami realizacji, czyli ma pewien rozkład prawdopodobieństwa. Przykładowy rozkład przedstawia tabela 1: Tabela 1. Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu Wartość stopy zwrotu [%] Prawdopodobieństwo [%] Źródło: opracowanie własne Rozkład ten możemy również przedstawić graficznie, co przedstawia wykres: Wykres 1. Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu prawdopodobieństwo [%] wartość stopy zwrotu [%] Źródło: opracowanie własne 4 Na podstawie: W. Jurek Konstrukcja i analiza portfela papierów wartościowych o zmiennym dochodzie, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 21, s
14 Na podstawie znajomości rozkładu prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu można wyznaczyć oczekiwaną stopę zwrotu, równą 5 : n E R ) = i= 1 ( r p i i (1.4) gdzie: E(R) oczekiwana stopa zwrotu, r i i-ty wariant stopy zwrotu, p i prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa R przyjmie wartość r i. Dla przykładowego rozkładu prawdopodobieństwa oczekiwana stopa zwrotu wynosi więc, zgodnie ze wzorem (1.4): E(R) = (-4%)*5% + (-3%)*7% + (-2%)*1% + (-1%)*15% + %*26% + 1%*15% + 2%*1% + 3%*7% + 4%*5% = %. Należy więc oczekiwać, że stopa zwrotu za badany okres wyniesie tj. suma ceny i dywidendy w okresie t będzie równa cenie akcji w okresie t-1 (wg wzoru (1.1)). W praktyce rzadko oczekiwana stopa zwrotu wyznaczana jest w oparciu o rozkład prawdopodobieństwa, ponieważ nie jest on znany. Do jej oszacowania wykorzystuje się najczęściej historyczne dane statystyczne oczekiwana stopa zwrotu jest średnią arytmetyczną tych danych 6. Wyznacza się ją według następującego wzoru: 1 r = n n r i i= 1 (1.5) gdzie: r średnia arytmetyczna historycznych stóp zwrotu, r i stopa zwrotu w okresie i-tym, n ilość okresów, z których bierzemy historyczne stopy zwrotu. Ważnym problemem w szacowaniu oczekiwanej stopy zwrotu jest zagadnienie określenia liczby okresów, z których należy wziąć informacje 7. 5 Tamże, s Tamże, s Według: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s
15 Liczba okresów nie może być zbyt mała, gdyż otrzymamy wtedy mało wiarygodną wielkość średniej arytmetycznej. Z drugiej strony, liczba okresów nie może być zbyt duża, gdyż na kształtowanie się stóp zwrotu w przyszłości największy wpływ mają wartości tych stóp w okresach bezpośrednio poprzedzających. Jeżeli wartości historyczne stóp zwrotu są niestabilne tj. charakteryzują się bardzo dużym rozproszeniem i często występują wartości skrajne, można zamiast średniej arytmetycznej wykorzystać medianę stóp zwrotu tj. taką wartość historycznej stopy zwrotu, że liczba wartości od niej większych jest równa liczbie wartości od niej mniejszych 8. Drugą podstawową charakterystyką portfela jest jego ryzyko. Inwestor pragnie bowiem wiedzieć nie tylko jakiej stopy zwrotu może się spodziewać, ale także jakim ryzykiem jest obarczona jego inwestycja 9. Stopa zwrotu jest zmienną losową, a zatem inwestor nie jest pewien jaką wartość będzie miała jego inwestycja w przyszłości. Miarą tego ryzyka jest wariancja stopy zwrotu. Jeżeli mamy dany rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu, możemy wyliczyć wariancję stopy zwrotu ze wzoru 1 : D gdzie: n 2 2 ( R) = ( ri E( R)) p i (1.6) i= 1 D 2 (R) wariancja stopy zwrotu R. Inną często stosowaną miarą ryzyka jest odchylenie standardowe stopy zwrotu, mówiące o ile średnio odchylają się rzeczywiste stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. Odchylenie standardowe zdefiniowane jest jako pierwiastek z wariancji: D ( R) = D 2 ( R) (1.7) gdzie: D(R) odchylenie standardowe stopy zwrotu. 8 Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s Na podstawie: W. Tarczyński Rynki kapitałowe. Metody ilościowe Vol. II, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa 1997, s W. Jurek Konstrukcja... j.w., s
16 Dla przykładowego rozkładu prawdopodobieństwa (tabela 1 i wykres 1) wariancja i odchylenie standardowe wynoszą, zgodnie z wzorami (1.6) i (1.7): D 2 (R) = 16% 2 *5% + 9% 2 *7% + 4% 2 *1% + 1% 2 *15% + % 2 *26% + 1% 2 *15% + 4% 2 *1% + 9% 2 *7% + 16% 2 *5% = 3,96% 2. D(R) = (3,96% 2 ) 1/2 = 1,99%. Średni kwadrat odchylenia stopy zwrotu od wartości oczekiwanej wynosi więc 3,96% 2, a średnie odchylenie stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu wynosi 1,99%. Podobnie jak w przypadku oczekiwanej stopy zwrotu, do szacowania wariancji i odchylenia standardowego rzadko stosuje się wzór (1.6). Zwykle wielkości te wyznaczamy w oparciu o historyczne dane statystyczne. Wariancję obliczamy wtedy według wzoru 11 : S 1 R) = n 1 n 2 2 ( ( r i r) (1.8) i= 1 gdzie: S 2 (R) wariancja stopy zwrotu, r średnia arytmetyczna historycznych stóp zwrotu (wyznaczona ze wzoru (1.5)) Niekiedy stosuje się inny wzór 12 : S 2 n 1 2 ( R) = ( r i r) (1.9) n i= 1 Wzór ten można stosować gdy liczebność próby jest duża. Wtedy jest on równoważny ze wzorem (1.8). Jeżeli liczebność próby jest mała, S 2 (R) zdefiniowane wzorem (1.9) jest obciążonym estymatorem wariancji populacji 13, a estymatorem nieobciążonym jest zawsze S 2 (R) zdefiniowane jako (1.8). Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji: S ( R) = S 2 ( R) (1.1) 11 W. Tarczyński Rynki kapitałowe... j.w., s W. Jurek Konstrukcja... j.w., s Na podstawie: A. Aczel Statystyka w zarządzaniu. Pełny wykład, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2, s
17 gdzie: S(R) odchylenie standardowe stopy zwrotu. Racjonalny inwestor będzie dążył do wyboru takich akcji, dla których oczekiwana stopa zwrotu jest jak najwyższa, a ryzyko (wariancja stopy zwrotu) jak najniższe. Najczęściej jednak wyższa stopa zwrotu wiąże się z wyższym ryzykiem wtedy inwestor wybierze taką akcję, która maksymalizuje jego użyteczność, wielkość zdefiniowaną poniżej Teoria użyteczności Pojęcie funkcji użyteczności jest jednym z podstawowych pojęć ekonomii matematycznej 14. Funkcja użyteczności opisuje liczbowo zadowolenie konsumenta z konsumpcji. W teorii portfela konsumentami są inwestorzy, a konsumpcją jest oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji na rynku kapitałowym. Funkcja użyteczności będzie więc opisywać zadowolenie inwestora z różnych poziomów oczekiwanej stopy zwrotu, możliwych do osiągnięcia na rynku poprzez inwestycje w różne akcje. Każda funkcja użyteczności jest rosnąca 15, tj. wyższym oczekiwanym stopom zwrotu odpowiada większa wartość funkcji użyteczności, czyli inwestorzy preferują wyższą stopę zwrotu od niższej. Przyjmuje się też założenie, że spełnione jest prawo malejącej krańcowej użyteczności, tzn. przyrosty wartości funkcji użyteczności są coraz mniejsze w miarę wzrostu oczekiwanej stopy zwrotu, czyli funkcja użyteczności jest wklęsła (jej druga pochodna w każdym punkcie jest ujemna) 16. Założenie to wynika z założenia, że funkcja użyteczności pieniądza jest wklęsła funkcje użyteczności pieniądza i oczekiwanej stopy zwrotu są bowiem równoważne 17. Przykładową funkcję użyteczności spełniającą te założenia przedstawia poniższy wykres: 14 Na podstawie: E. Panek Ekonomia matematyczna, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 2, s Tamże, s Tamże, s Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s
18 Wykres 2. Funkcja użyteczności inwestora 3,5 3 użyteczność 2,5 2 1,5 1, oczekiwana Źródło: opracowanie własne Konsekwencją przyjęcia takich założeń o funkcji użyteczności jest fakt, że inwestor preferuje, przy danej oczekiwanej stopie zwrotu, inwestycję o niższym ryzyku (odchyleniu standardowym). Większe odchylenie standardowe oznacza bowiem możliwość większych zysków, ale także większych strat, a wklęsłość funkcji użyteczności sprawia, że przyrost użyteczności związany z wyższą oczekiwaną stopą zwrotu jest mniejszy od spadku użyteczności wywoływanego niższą oczekiwaną stopą zwrotu. Wklęsłość funkcji użyteczności prowadzi do rosnących krzywych obojętności (krzywymi użyteczności są krzywe dochódryzyko odpowiadające poszczególnym poziomom użyteczności inwestora) 18, tj. takich, że użyteczność inwestora się nie zmieni przy rosnącym ryzyku tylko jeżeli odpowiednio wzrośnie oczekiwana stopa zwrotu. Inwestor taki charakteryzuje się więc awersją do ryzyka. Stopień nachylenia krzywych obojętności mówi o stopniu awersji do ryzyka im mniejsze nachylenie, tym awersja do ryzyka mniejsza mniejsze nachylenie odpowiada bowiem sytuacji, gdy inwestor godzi się na większy wzrost ryzyka za mniejszy wzrost oczekiwanej stopy zwrotu. Przykładowe krzywe użyteczności trzech inwestorów o różnej awersji do ryzyka przedstawia poniższy wykres: 18 Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s
19 Wykres 3. Przykładowe krzywe obojętności 3 inwestorów o różnych skłonnościach do ryzyka oczekiwana 4 35 Inwestor C 3 25 Inwestor B 2 15 Inwestor A ryzyko (odchylenie standardowe [%]) Źródło: opracowanie własne na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 119 Największą awersję do ryzyka ma inwestor C, a najmniejszą inwestor A. Inwestor C wymaga, aby nawet niewielki wzrost ryzyka powodował relatywnie duży wzrost oczekiwanej stopy zwrotu by pozostać na tej samej krzywej obojętności. Inwestor A, z kolei, godzi się na dość duży wzrost ryzyka przy stosunkowo mało rosnącej oczekiwanej stopie zwrotu. Wykres 4 przedstawia natomiast przykładowe krzywe obojętności inwestorów neutralnych względem ryzyka (krzywa stała inwestor D), których funkcja użyteczności jest liniowo rosnąca, i inwestorów skłonnych do ryzyka (krzywa opadająca inwestor E), których funkcja użyteczności jest rosnąca i wypukła (druga pochodna jest dodatnia w każdym punkcie). Inwestor D podejmuje swe decyzje tylko w oparciu o oczekiwaną stopę zwrotu nie zwraca uwagi na ryzyko towarzyszące inwestycjom. Inwestor E, z kolei, ma skłonność do ryzyka tj. woli gdy inwestycja jest bardziej ryzykowna im mniejsze ryzyko tym większa wymagana przez niego oczekiwana stopa zwrotu dla osiągnięcia tej samej użyteczności. Podsumowując, znając funkcje użyteczności inwestorów, które są zazwyczaj rosnące i wklęsłe (inwestorzy mają awersję do ryzyka), oraz znając oczekiwane 19
20 stopy zwrotu i ich odchylenia standardowe, możemy wybrać dla inwestora taką inwestycję, która najbardziej go zadowoli. Wykres 4. Przykładowe krzywe obojętności inwestora neutralnego względem ryzyka i inwestora skłonnego do ryzyka oczekiwana Inwestor D Inwestor E ryzyko (odchylenie standardowe [%] Źródło: opracowanie własne na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s Portfel wielu spółek Rzadko zdarzają się inwestorzy, którzy inwestują w akcje tylko jednej spółki. Zazwyczaj portfel inwestora składa się z wielu spółek. W tym podrozdziale omówimy teorię takiego właśnie portfela. Na początku wprowadzimy pojęcie kowariancji i korelacji stóp zwrotu. Kowariancję stóp zwrotu definiujemy, w przypadku gdy znany jest rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu, jako 19 : n cov ab = pi ( rai ra )( rbi rb ) (1.11) gdzie: i= 1 cov ab kowariancja stóp zwrotu z akcji społek a i b, r a, r b oczekiwana stopa zwrotu z akcji spółki a, b, r ai, r bi stopa zwrotu z akcji spółki a,b w i-tym okresie, p i prawdopodobieństwo i-tego wariantu. 19 K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s
21 Najczęściej jednak, analogicznie jak w przypadku obliczania charakterystyk portfela złożonego z akcji jednej spółki, korzystamy z historycznych danych statystycznych, stosując wzór 2 : n 1 = ( rai ra )( rbi rb ) n 1 cov ab (1.12) i= Korelacja stóp zwrotu zdefiniowana jest jako: cov ab ρ ab = (1.13) sasb gdzie: ρ ab korelacja stóp zwrotu z akcji spółek a i b, s a, s b odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji spółki a, b. Kowariancja stóp zwrotu mówi o kierunku powiązania stóp zwrotu z akcji. Jeżeli jest ona dodatnia, oznacza to, że wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu drugiej akcji 21. Jeżeli jest ujemna, oznacza to, że przy wzroście (spadku) stopy zwrotu jednej akcji możemy się spodziewać spadku (wzrostu) stopy zwrotu drugiej akcji. Korelacja stóp zwrotu mówi dodatkowo o sile tego powiązania, ponieważ jest to współczynnik unormowany, mogący przyjmować wartości z zakresu [-1, 1]. Im wyższa wartość bezwzględna tego współczynnika, tym siła powiązania większa. Najczęściej powiązane dodatnio są spółki tej samej branży teoretycznie tym silniej, im więcej jest wspólnych czynników w otoczeniu, oddziałujących na te spółki. Powiązane ujemnie są, z kolei, takie spółki, dla których zestaw oddziałujących czynników jest przynajmniej częściowo wspólny, ale czynniki te oddziałują przeciwstawnie na te spółki. Brak powiązania powinniśmy obserwować w przypadku spółek, dla których czynniki wpływające na nie zupełnie się nie pokrywają. W praktyce nie ma takich spółek, gdyż na każdą spółkę oddziałują np. czynniki makroekonomiczne, które są dane i identyczne dla każdej spółki. Korelacja stóp zwrotu rzadko przyjmuje więc wartość zerową. 2 W. Jurek konstrukcja... j.w., s Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s
Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoPrace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela
1. Założenia pracy 1 Założeniem niniejszej pracy jest stworzenie portfela inwestycyjnego przy pomocy modelu W.Sharpe a spełniającego następujące warunki: - wybór akcji 8 spółek + 2 papiery dłużne, - inwestycja
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Miary zmienności: obrazują zmiany cen, stóp zwrotu instrumentów finansowych, opierają się na rozproszeniu ich rozkładu, tym samym uśredniają ryzyko: wariancja stopy zwrotu, odchylenie
Bardziej szczegółowoPostawy wobec ryzyka
Postawy wobec ryzyka Wskaźnik Sharpe a przykład zintegrowanej miary rentowności i ryzyka Konstrukcja wskaźnika odwołuje się do klasycznej teorii portfelowej Markowitza, której elementem jest mapa ryzyko
Bardziej szczegółowoANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM. Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski
ANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski PLAN PREZENTACJI 1) Efektywnośd rynków finansowych 2) Teoria portfela Markowitza (Nobel w 1990 r.) 3) Dywersyfikacja 4)
Bardziej szczegółowoInne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak
Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe
Bardziej szczegółowoβ i oznaczmy współczynnik Beta i-tego waloru, natomiast przez β w - Betę całego portfela. Wykaż, że prawdziwa jest następująca równość
Zestaw 7 1. (Egzamin na doradcę inwestycyjnego, I etap, 2013) Współczynnik beta akcji spółki ETA wynosi 1, 3, a stopa zwrotu z portfela rynkowego 9%. Jeżeli oczekiwna stopa zwrotu z akcji spółki ETA wynosi
Bardziej szczegółowoAnaliza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI
Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE
Bardziej szczegółowoStruktura terminowa rynku obligacji
Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie
Bardziej szczegółowoFinanse behawioralne. Finanse 110630-1165
behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:
Bardziej szczegółowoWykład 8 Rynek akcji nisza inwestorów indywidualnych Rynek akcji Jeden z filarów rynku kapitałowego (ok 24% wartości i ok 90% PK globalnie) Źródło: http://www.marketwatch.com (dn. 2015-02-12) SGH, Rynki
Bardziej szczegółowoZarządzanie portfelem inwestycyjnym
Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Dr hab. Renata Karkowska Wykład 3, 4 Renata Karkowska, Wydział Zarządzania 1 Wykład 3 - cel 3. Konstrukcja i zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1. Cele i ograniczenia
Bardziej szczegółowoTeoria portfelowa H. Markowitza
Aleksandra Szymura szymura.aleksandra@yahoo.com Teoria portfelowa H. Markowitza Za datę powstania teorii portfelowej uznaje się rok 95. Wtedy to H. Markowitz opublikował artykuł zawierający szczegółowe
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu
Bardziej szczegółowo3. Optymalizacja portfela inwestycyjnego Model Markowitza Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM
3. Optymalizacja portfela inwestycyjnego Model Markowitza Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji: E(r p ) = w 1 E(R 1 ) + w
Bardziej szczegółowoRynek akcji. Jeden z filarów rynku kapitałowego (ok 24% wartości i ok 90% PKB globalnie) Źródło: (dn.
Wykład 3 Rynek akcji nisza inwestorów indywidualnych Rynek akcji Jeden z filarów rynku kapitałowego (ok 24% wartości i ok 90% PK globalnie) Źródło: http://www.marketwatch.com (dn. 2015-02-12) SGH RYNKI
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych
Modelowanie rynków finansowych Jerzy Mycielski WNE UW 5 października 2017 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 1 / 12 Podstawowe elementy teorii 1 racjonalne oczekiwania
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności liniowych
Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym dr Dominika Kordela Uniwersytet Szczeciński 31 marzec 2016 r. Plan wykładu Rynek kapitałowy a rynek finansowy Instrumenty rynku kapitałowego
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności zjawisk
Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ WŁASNOŚCI ZBIORU MINIMALNEGO RYZYKA
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 2 137 HENRYK KOWGIER Uniwersytet Szczeciński O PEWNEJ WŁASNOŚCI ZBIORU MINIMALNEGO RYZYKA Wprowadzenie W artykule zbadano własność zbioru minimalnego
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoInstrumenty rynku akcji
Instrumenty rynku akcji Rynek akcji w relacji do PK Źródło: ank Światowy: Kapitalizacja w relacji do PK nna Chmielewska, SGH, 2016 1 Inwestorzy indywidualni na GPW Ok 13% obrotu na rynku podstawowym (w
Bardziej szczegółowo1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)
II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika
Bardziej szczegółowoRyzyko i efektywność. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ryzyko i efektywność Ćwiczenia ZPI 1 Stopa zwrotu 2 Zadanie 1. Rozkład normalny Prawdopodobieństwa wystąpienia oraz spodziewane stopy zwrotu w przypadku danej spółki giełdowej są zaprezentowane w tabeli.
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania
Bardziej szczegółowoPorównanie metod szacowania Value at Risk
Porównanie metod szacowania Value at Risk Metoda wariancji i kowariancji i metoda symulacji historycznej Dominika Zarychta Nr indeksu: 161385 Spis treści 1. Wstęp....3 2. Co to jest Value at Risk?...3
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoTRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1
TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,
Bardziej szczegółowoKorelacja oznacza współwystępowanie, nie oznacza związku przyczynowo-skutkowego
Korelacja oznacza współwystępowanie, nie oznacza związku przyczynowo-skutkowego Współczynnik korelacji opisuje siłę i kierunek związku. Jest miarą symetryczną. Im wyższa korelacja tym lepiej potrafimy
Bardziej szczegółowoRegresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Bardziej szczegółowoANALIZA WRAŻLIWOŚCI CENY OPCJI O UWARUNKOWANEJ PREMII
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Ewa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu ANALIZA WRAŻLIWOŚCI CENY OPCJI O UWARUNKOWANEJ PREMII Streszczenie W artykule przedstawiono
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński
Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności
Bardziej szczegółowoW2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.
W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. Etapy wnioskowania statystycznego 2. Hipotezy statystyczne,
Bardziej szczegółowoII ETAP EGZAMINU EGZAMIN PISEMNY
II ETAP EGZAMINU NA DORADCĘ INWESTYCYJNEGO EGZAMIN PISEMNY 20 maja 2012 r. Warszawa Treść i koncepcja pytań zawartych w teście są przedmiotem praw autorskich i nie mogą być publikowane lub w inny sposób
Bardziej szczegółowoEkonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce
Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce Janusz Kotowicz W8 Wydział Inżynierii i Ochrony Środowiska Politechnika Częstochowska Wpływ stopy dyskonta na przepływ gotówki. Janusz Kotowicz
Bardziej szczegółowoExcel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka
Pomiar ryzyka Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują: Miary zmienności, Miary zagrożenia, Miary wrażliwości.
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik
MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą
Bardziej szczegółowoInteligentna analiza danych
Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI
INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko Jajuga Krzysztof, Jajuga Teresa SPIS TREŚCI Przedmowa Wprowadzenie - badania w zakresie inwestycji i finansów Literatura Rozdział 1. Rynki i instrumenty finansowe
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoAnaliza składowych głównych. Wprowadzenie
Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykład 1 Sprawy organizacyjne
Wykład 1 Sprawy organizacyjne 1 Zasady zaliczenia Prezentacja/projekt w grupach 5 osobowych. Każda osoba przygotowuje: samodzielnie analizę w excel, prezentację teoretyczną w grupie. Obecność na zajęciach
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowoAnaliza zdarzeń Event studies
Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.
Bardziej szczegółowoTest wskaźnika C/Z (P/E)
% Test wskaźnika C/Z (P/E) W poprzednim materiale przedstawiliśmy Państwu teoretyczny zarys informacji dotyczący wskaźnika Cena/Zysk. W tym artykule zwrócimy uwagę na praktyczne zastosowania tego wskaźnika,
Bardziej szczegółowoSTOPA DYSKONTOWA 1+ =
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji - weryfikacja założeń
Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Inwestycje. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 14. Inwestycje dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Inwestycje a oczekiwania. Neoklasyczna teoria inwestycji i co z niej wynika Teoria q Tobina
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności dwóch cech I
Analiza współzależności dwóch cech I Współzależność dwóch cech W tym rozdziale pokażemy metody stosowane dla potrzeb wykrywania zależności lub współzależności między dwiema cechami. W celu wykrycia tych
Bardziej szczegółowoWycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowo1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe
I Ryzyko i rentowność instrumentów finansowych 1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe 1 Stopa zwrotu z inwestycji w ujęciu
Bardziej szczegółowo9 Funkcje Użyteczności
9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność
Bardziej szczegółowoOPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20
OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973
Bardziej szczegółowoPLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą
Bardziej szczegółowoOcena kondycji finansowej organizacji
Ocena kondycji finansowej organizacji 1 2 3 4 5 6 7 8 Analiza płynności Analiza rentowności Analiza zadłużenia Analiza sprawności działania Analiza majątku i źródeł finansowania Ocena efektywności projektów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoW kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:
Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek
Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie
Bardziej szczegółowoUniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki
Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki http://keii.ue.wroc.pl Analiza ryzyka transakcji wykład ćwiczenia Literatura Literatura podstawowa: 1. Kaczmarek T. (2005), Ryzyko
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku dr Piotr Stobiecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 13 października 2011 r. PLAN WYKŁADU I. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoBardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca
ELEMENTY EKONOMII PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Klasa: I TE Liczba godzin w tygodniu: 3 godziny Numer programu: 341[02]/L-S/MEN/Improve/1999 Prowadzący: T.Kożak- Siara I Ekonomia jako nauka o gospodarowaniu
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoMateriały uzupełniające do
Dźwignia finansowa a ryzyko finansowe Przedsiębiorstwo korzystające z kapitału obcego jest narażone na ryzyko finansowe niepewność co do przyszłego poziomu zysku netto Materiały uzupełniające do wykładów
Bardziej szczegółowoMetody niedyskontowe. Metody dyskontowe
Metody oceny projektów inwestycyjnych TEORIA DECYZJE DŁUGOOKRESOWE Budżetowanie kapitałów to proces, który ma za zadanie określenie potrzeb inwestycyjnych przedsiębiorstwa. Jest to proces identyfikacji
Bardziej szczegółowoDobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,
Bardziej szczegółowoOpcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:
Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoEKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 391 TORUŃ Ewa Dziawgo WYCENA POTĘGOWEJ ASYMETRYCZNEJ OPCJI KUPNA
ACTA UNIVERSITATIS NICOLAI COPERNICI EKONOMIA XL NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 391 TORUŃ 2009 Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki Ewa Dziawgo WYCENA POTĘGOWEJ
Bardziej szczegółowoPodstawowe definicje dotyczące zarządzania portfelowego
Podstawowe definicje dotyczące zarządzania portfelowego Prof. SGH, dr hab. Andrzej Sobczak Kurs: Zarządzanie portfelem IT z wykorzystaniem modeli Zakres tematyczny kursu Podstawowe definicje dotyczące
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoWykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych
Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych dr Leszek Wincenciak WNUW 2/30 Plan wykładu: Kurs walutowy i stopy procentowe Kursy walutowe i dochody z aktywów Rynek pieniężny i rynek walutowy fektywność
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoInwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.
Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem
Bardziej szczegółowoEkonomia behawioralna a ekonomia głównego nurtu
Ekonomia behawioralna a ekonomia głównego nurtu Konsekwencje podejścia behawioralnego dla teorii i praktyki gospodarczej Centrum Interdyscyplinarnych Badań nad Rynkami Finansowymi, Kolegium Gospodarki
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoPortfel inwestycyjny. Aktywa. Bilans WPROWADZENIE. Tomasz Chmielewski 1. Kapitał. Zobowiązania. Portfel inwestycyjny 2. Portfel inwestycyjny 3
Portfel inwestycyjny Portfel inwestycyjny 1 WPROWDZENIE Portfel inwestycyjny Bilans Kapitał ktywa Zobowiązania Portfel inwestycyjny 3 Tomasz Chmielewski 1 Portfel inwestycyjny 4 Podstawowe funkcje rynków
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;
LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny
Bardziej szczegółowo