1. Co to jest GeoGebra? Ekstremum.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Co to jest GeoGebra? Ekstremum."

Transkrypt

1 Pomoc, GeoGebra 3.0 Autorzy Markus Hohenwarter, Judith Preiner, GeoGebra Online Strona: Pomocy szukaj:

2 Spis treści GeoGebra Pomoc Spis treści Co to jest GeoGebra? Przykłady Trójkąt z Kątami Równanie Liniowe y = m x + b Środek Ciężkości Punktów A, B, C Podział Odcinka AB w Stosunku 7: Układ Równań Liniowych Dwóch Zmiennych Styczna do Wykresu Funkcji f(x) Badanie Funkcji Wielomianowej Całki Wprowadzenie do Geometrii Uwagi Ogólne Menu Kontekstowe Pokaż i Ukryj Ślad Powiększalnik Stosunek Osi Protokół Konstrukcji Pasek Nawigacji Przedefiniowanie Okno Dialogowe Właściwości Tryby Tryby Ogólne Punkt Wektor Odcinek Półprosta Wielokąt Prosta Krzywa Stożkowa Łuk i Wycinek Koła Liczba i Kąt Zmienne Boolowskie... 23

3 Miejsce Geometryczne Przekształcenia Geometryczne Tekst Obrazy Właściwości Obrazów Wprowadzenie do Algebry Uwagi Ogólne Zmiana Wartości Animacja Bezpośrednie Wprowadzanie Liczby i Kąt Punkt i Wektor Prosta Stożkowa Funkcja Zmiennej x Lista Obiektów Operacje Arytmetyczne Zmienne Boolowskie Operacje Logiczne Polecenia Polecenia Ogólne Polecenia Boolowskie Liczba Kąt Punkt Wektor Odcinek Półprosta Wielokąt Prosta Krzywa Stożkowa Funkcja Krzywa w Postaci Parametrycznej Łuk i Wycinek Koła Obraz Tekst Miejsce Geometryczne Ciąg Przekształcenia Geometryczne Wydruk i Eksport... 54

4 5.1. Drukuj Obszar Roboczy Protokół Konstrukcji Obszar Roboczy jako Obraz Zapisz Obraz Konstrukcji do Schowka Protokół Konstrukcji jako Strona Internetowa Dynamiczne Karty Pracy jako Strona Internetowa Opcje Przyciąganie Punktu Jednostka Kąta Miejsca Dziesiętne Ciągłość Styl Punktu Styl Kąta Prostego Współrzędne Etykietowanie Rozmiar Czcionki Język Obszar Roboczy Zapisz Ustawienia Narzędzia i Pasek Narzędzi Narzędzia Zdefiniowane przez Użytkownika Dostosuj Pasek Narzędzi Interfejs JavaScript Indeks... 62

5 1. Co to jest GeoGebra? GeoGebra jest dynamicznym oprogramowaniem matematycznym, które łączy geometrię, algebrę i rachunek. Program został stworzony przez Markusa Hohenwarter z Florida Atlantic University do nauki i nauczania matematyki w szkołach. Z jednej strony, GeoGebra jest dynamicznym systemem geometrii. Możesz przygotować konstrukcje składające się z punktów, wektorów, odcinków, prostych, stożkowych jak również i z funkcji a następnie dynamicznie je zmieniać. Z drugiej strony, to równania i współrzędne, które mogą być bezpośrednio wprowadzane. Tak więc, GeoGebra ma możliwość, by zająć się zmiennymi dla liczb, wektorów i punktów, znajduje pochodne i całki funkcji, oferuje polecenia takie jak Pierwiastek lub Ekstremum. Te dwa opisy charakteryzują GeoGebrę: wyrażenie w oknie algebry odpowiada obiektowi w oknie geometrii i vice versa.

6 2. Przykłady Spójrzmy na kilka przykładów aby poznać możliwości GeoGebry Trójkąt z Kątami Wybierz tryb Nowy punkt z paska narzędzi. Kliknij trzy razy w obszarze roboczym, aby stworzyć trzy wierzchołki trójkąta A, B i C. Następnie, wybierz tryb Wielokąt i kolejno klikaj na punkty A, B i C. Aby zamknąć trójkąt poly1 kliknij ponownie na początkowy punkt A. W oknie algebry wyświetli się pole trójkąta. Aby zaznaczyć wszystkie kąty trójkąta, wybierz tryb Kąt w pasku narzędzi i kliknij w obszarze trójkąta. Teraz, wybierz tryb Przesuń i przeciągnij wierzchołki, aby dynamicznie zmodyfikować trójkąt. Jeśli nie potrzebujesz okna algebry i układu współrzędnych, ukryj je używając menu Widok Równanie Liniowe y = m x + b Teraz skoncentrujemy się na znaczeniu m i b w równaniu liniowym y = mx + b wprowadzając różne wartości dla m i b. Aby to zrobić należy wprowadzić w dolnej części okna do pola wprowadzania poniższe linie i nacisnąć klawisz Enter na końcu każdej z nich. m = 1 b = 2 y = m x + b Teraz możemy zmienić m i b używając pola wprowadzania lub bezpośrednio w oknie algebry, klikając prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) jedną z liczb i wybierając Przedefiniuj. Wypróbuj następujące wartości dla m i b. m = 2 m = -3 b = 0 b = -1 Również bardzo łatwo możesz zmienić m i b używając

7 klawisze strzałek (zobacz Animacja) suwaki: kliknij prawym (MacOS: Apple + klik) na m lub b i wybierz Pokaż/ ukryj obiekt (również zobacz tryb Suwak) W podobny sposób można badać równania krzywych stożkowych według podziału elipsy: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 hiperbole: b^2 x^2 a^2 y^2 = a^2 b^2 lub okręgi: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^ Środek Ciężkości Punktów A, B, C Teraz będziemy konstruować środek ciężkości trzech punktów poprzez wpisanie do pola wprowadzania następujących linii i naciśnięciu klawisza Enter na końcu każdej z nich. Oczywiście do konstrukcji możesz również użyć myszy wykorzystując odpowiednie tryby pracy (zobacz Tryby) z paska narzędzi. A = (-2, 1) B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = Środek [B, C] M_b = Środek [A, C] s_a = Prosta[A, M_a] s_b = Prosta[B, M_b] S = Przetnij [s_a, s_b] Możesz również wyliczyć środek ciężkości bezpośrednio S1 = (A + B + C) / 3 i porównać oba rezultaty używając polecenia Relacja [S, S1]. Następnie możemy sprawdzić czy S = S1 jest prawdziwe dla innych położeń A, B i C. Myszką wybieramy tryb przeciągamy punkty. Przesuń i

8 2.4. Podział Odcinka AB w Stosunku 7:3 Jest to łatwe zadanie, ponieważ GeoGebra pozwala nam wykonywać operacje na wektorach. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Odcinek[A, B] T = A + 7/10 (B - A) Możemy to też zrobić w następujący sposób A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Odcinek [A, B] v = Wektor[A, B] T = A + 7/10 v Następnie wprowadź liczbę t, np. używając Suwaka i przedefiniuj punkt T na T = A + t v (zobacz Przedefiniuj). Zmieniając t ty widzisz jak T porusza się wzdłuż linii prostej, która może być teraz przedstawiona w postaci parametrycznej (zobacz Prosta): g: X = T + s v 2.5. Układ Równań Liniowych Dwóch Zmiennych Dwa równania liniowe ze zmiennymi x i y mogą być zinterpretowane jako dwie proste. Rozwiązaniem algebraicznym jest punkt przecięcia tych prostych. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Przetnij[g, h] Aby zmienić równanie, kliknij jedno z nich prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) i wybierz myszy przeciągnij proste w trybie Przedefiniuj. Używając Przesuń lub obróć je

9 używając obrotu względem punktu punktu. Obrót o kąt względem 2.6. Styczna do Wykresu Funkcji f(x) GeoGebra oferuje polecenie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x = a. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. a = 3 f(x) = 2 sin(x) t = Styczna[a, f] Animując a (zobacz Animacja) styczna ślizga się po wykresie funkcji f. Tu jest przedstawiony inny sposób otrzymania stycznej do funkcji f w punkcie T. a = 3 f(x) = 2 sin(x) T = (a, f(a)) t: X = T + s (1, f'(a)) To daje nam punkt T na wykresie funkcji f, której styczna t ma postać parametryczną. Przy okazji, styczną do funkcji możesz także utworzyć geometrycznie: Wybierz tryb Nowy Punkt i kliknij na wykresie funkcji f, aby nanieść nowy punkt na wykresie f. Wybierz tryb Styczne i kliknij kolejno funkcję f i punkt A. Teraz wybierz tryb Przesuń i przemieszczaj myszą punkt A wzdłuż wykresu funkcji. W ten sposób możesz także obserwować dynamiczne zmiany stycznej.

10 2.7. Badanie Funkcji Wielomianowej Za pomocą GeoGebry możesz badać pierwiastki, lokalne ekstrema, i punkty przegięcia funkcji wielomianowej. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. f(x) = x^3-3 x^2 + 1 R = Pierwiastek[f] E = Ekstremum[f] I = PunktPrzegięcia[f] Stosując Przesuń możesz przemieścić funkcję f używając myszy. W tej sytuacji, mogą być interesujące pierwsze dwie pochodne funkcji f. Otrzymasz je wpisując w pole wprowadzania następujące linie i naciskając Enter po każdej z nich. Pochodna[f] Pochodna [f, 2] 2.8. Całki By wprowadzić całki, GeoGebra umożliwia wizualizację górnej i dolnej sumy funkcji w postaci prostokątów. Wpisz do pola wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po każdej z nich. f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = DolnaSuma[f, a, b, n] U = GurnaSuma[f, a, b, n] Modyfikując a, b lub n (zobacz Animacja; zobacz tryb Suwak) widzisz wpływ tych parametrów na górną i dolną sumę. Aby zmienić parametr n kliknij prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) na n i wybierz Właściwości. Całka ta może być przedstawiona z użyciem polecenia Całka[f, a, b], gdzie funkcja pierwotna F jest utworzona z zastosowaniem F = Całka[f].

11 3. Wprowadzenie do Geometrii W tym rozdziale powiemy jak tworzyć i modyfikować obiekty w GeoGebrze Uwagi Ogólne W oknie geometrii (po prawej stronie) wyświetlane są graficzne reprezentacje punktów, wektorów, odcinków, wielokątów, funkcji, linii prostych, stożkowych. Kiedy przesuniesz mysz nad jeden z obiektów pojawi się opis i obiekt zostanie podświetlony. Uwaga: Czasami okno geometrii będziemy nazywać obszarem roboczym. Dostępnych jest kilkanaście trybów, które decydują jak program Geogebra ma reagować na mysz w oknie geometrii (zobacz Tryby). Dla przykładu, klikając w obszarze roboczym możesz utworzyć nowy punkt (zobacz tryb Nowy Punkt), przecięcie obiektów (zobacz tryb Przecięcie dwóch obiektów) lub okrąg (zobacz tryb Okrąg). Uwaga: Podwójne kliknięcie na obiekcie w oknie algebry otwiera pole edycji obiektu Menu Kontekstowe Klikając prawym przyciskiem myszy na obiekcie można uzyskać dostęp do menu kontekstowego, za pomocą którego można wybrać np. postać algebraiczną (współrzędne biegunowe lub kartezjańskie, równanie jawne lub uwikłane, ). Znajdują się tu również polecenia takie jak Zmień nazwę, Przedefiniuj lub Usuń. Wybierając Własności z pojawiającego się menu kontekstowego poprzez okna dialogowe można zmienić np. kolor, rozmiar, grubość, styl prostej, wypełnienie obiektu.

12 Pokaż i Ukryj Obiekty geometryczne można wyświetlać (pokaż) lub nie (ukryj). Użyj trybu Pokaż / ukryj obiekt lub Menu kontekstowego aby zmienić aktualny stan. Ikona po lewej stronie każdego obiektu w oknie algebry informuje o aktualnym stanie ( pokaż lub ukryj ). Uwaga: Możesz również użyć trybu Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty, aby wywołać polecenie pokaż i ukryj dla jednego lub kilku obiektów Ślad Obiekty geometryczne, gdy są przesuwane, mogą zostawiać na ekranie ślad. Użyj Menu kontekstowe, aby włączyć lub wyłączyć ślad. Uwaga: Wybranie z paska menu Widok pozycji Odśwież powoduje skasowanie wszystkich śladów Powiększalnik Po kliknięciu prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym z pojawiającego się menu kontekstowego masz możliwość wybrania powiększenia (zobacz również Powiększ) lub pomniejszenia (zobacz również tryb Pomniejsz). Uwaga: Szczególne powiększenie okna uzyskuje się klikając prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym i przeciągając mysz Stosunek Osi Kliknięcie prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym i wybranie Właściwości daje możliwość wybrania z menu kontekstowego zmiana stosunku między jednostkami osi OX i OY pokaż / ukryj poszczególne osie modyfikacja parametrów osi (np. znacznik, kolor, styl)

13 Protokół Konstrukcji Interaktywny protokół konstrukcji (menu Widok, Protokół Konstrukcji) jest tabelą pokazującą wszystkie kroki konstrukcji. W dolnej części okna znajduje się pasek nawigacji, za pomocą którego można krok po kroku prześledzić całą konstrukcję. Możliwe jest wstawienie dodatkowego elementu konstrukcji i zmiana kolejności. Więcej informacji znajdziesz w pomocy protokołu konstrukcji (Protokół Konstrukcji, menu Pomoc). Uwaga: Używając kolumny Punkt zatrzymania z menu Widok możesz zdefiniować pewne kroki konstrukcji jako punkty zatrzymania grupujące pewne obiekty. Kiedy sterujesz konstrukcją poprzez przyciski nawigacji, zgrupowane obiekty pojawiają się w tym samym czasie Pasek Nawigacji GeoGebra oferuje pasek nawigacji do zarządzania kolejnymi etapami przygotowanej konstrukcji. Aby wyświetlić pasek nawigacji w dolnej części okna geometrii, wybierz z menu Widok Pasek nawigacji etapów konstrukcji Przedefiniowanie Obiekt może zostać przedefiniowany z zastosowaniem Menu Kontekstowe. To jest przydatne do wprowadzania zmian w twojej konstrukcji. Ty także możesz otworzyć okno Przedefiniować wybierając Przesuń i podwójnie klikając na obiekcie zależnym w oknie algebry. Przykład: Aby umieścić wolny (niezależny) punkt A na prostej h, wybierz Przedefiniuj dla punktu A i wpisz do pola dialogowego Punkt[h]. Aby usunąć punkt z prostej i uczynić go ponownie wolnym, przedefiniuj wprowadzając dowolne współrzędne. Inny przykład jest konwersją prostej h przechodzącej przez dwa punkty A i B do odcinka. Wybierz Przedefiniuj i wprowadź do pola dialogowego Odcinek[A, B]. To również działa w drugą stronę.

14 Przedefiniowanie jest bardzo dobrym sposobem modyfikacji konstrukcji. Proszę zauważ, że może również wpływać na zmianę kolejności kroków konstrukcji w Protokole Konstrukcji Okno Dialogowe Właściwości Okno dialogowe właściwości pozwala na modyfikację własności obiektów (np. kolor, styl linii). Okno dialogowe otworzysz klikając prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) na obiekcie i wybierając Właściwości lub wybierając Właściwości z menu Edycja. W oknie dialogowym właściwości zebrane są parametry różnych typów obiektów (np. punkt, prosta, okrąg) łatwo mieszcząc dużą ich liczbę. Możesz modyfikować własności wybranych obiektów w zakładkach po prawej stronie. Kiedy zakończysz wprowadzać zmiany we własnościach obiektów, zamknij okno dialogowe właściwości Tryby Tryby można aktywować z paska narzędzi lub z Menu Geometrii. Kliknij na małą strzałkę w dolnym prawym rogu ikony, aby uzyskać dostęp do menu innych trybów. Uwaga: We wszystkich trybach konstrukcji łatwo utworzysz nowy punkt klikając w obszar roboczy. Zaznaczanie Obiektu Zaznaczyć obiekt to znaczy, kliknąć myszą na obiekt. Szybka Zmiana Nazwy Obiektu By zmienić nazwę wybranego lub ostatnio utworzonego obiektu, zacznij pisać w oknie dialogowym Zmień nazwę dla tego obiektu.

15 Tryby Ogólne Przesuń W tym trybie możesz myszką przemieszczać i upuszczać niezależne obiekty. Jeżeli poprzez kliknięcie wybierzesz obiekt w trybie Przesuń możesz usunąć naciskając klawisz Del przesunąć używając klawiszy strzałek (zobacz Animacja) Uwaga: Naciskając klawisz Esc również aktywujesz tryb Przesuń. Trzymając klawisz Ctrl możesz wybrać jednocześnie kilka obiektów. Aby w inny sposób wybrać wiele obiektów położonych blisko siebie, należy trzymając lewy przycisk myszy wyszczególnić je poprzez prostokąt wyboru. Możesz przesunąć zaznaczone obiekty przeciągając myszą jeden z nich. Prostokąt wyboru może zostać użyty również do wyszczególnienia obszaru do wydruku, eksportu obrazu i dynamicznej karty pracy (zobacz Wydruk i Eksport). Obrót wokół punktu Najpierw wybierz punkt, który będzie środkiem obrotu. Następnie możesz dokonać obrotu niezależnych obiektów ciągnąc je myszą. Relacja Zaznacz dwa obiekty, aby otrzymać informację o relacji między nimi (również zobacz polecenie Relacja). Przemieszczaj płaszczyznę roboczą Przeciągnij i upuść płaszczyznę roboczą przemieszczając początek układu współrzędnych. Uwaga: Możesz również przesunąć płaszczyznę roboczą trzymając klawisz Shift (PC: tylko klawisz Ctrl) i przeciągając myszą. W tym trybie możesz również skalować każą z osi poprzez przeciąganie ich myszą.

16 Uwaga: Skalowanie osi jest również możliwe w każdym innym trybie poprzez naciśnięcie i przytrzymanie klawisz Shift (PC: tylko klawisz Ctrl) w czasie przeciągania osi. Powiększ Kliknij w dowolnym miejscu obszaru roboczego, aby powiększyć (zobacz także Powiększalnik) Pomniejsz Kliknij w dowolnym miejscu obszaru roboczego, aby pomniejszyć (zobacz także Powiększalnik) Pokaż / ukryj obiekt Kliknij na obiekt, aby go pokazać lub ukryć. Uwaga: Wszystkie obiekty, które będą schowane są podświetlone. Twoje zmiany będą stosowane, dopóki nie wybierzesz innego trybu z paska narzędzi. Pokaż / ukryj etykietę Kliknij na obiekt, aby pokazać lub ukryć jego etykietę. Kopiuj styl Ten tryb pozwala kopiować własności stylu (np. kolor, rozmiar, styl linii) z jednego obiektu na inne. Aby to zrobić, najpierw kliknij na obiekt, którego styl chcesz skopiować. Następnie klikaj na obiekty, które mają przyjąć kopiowany styl. Usuń obiekt Kliknij na obiekt, aby go usunąć.

17 Punkt Nowy punkt Kliknięcie w obszarze roboczym tworzy nowy punkt. Uwaga: Współrzędne punktu są ustalane w momencie zwolnienia przycisku myszy. Poprzez kliknięcie na odcinku, prostej, wielokącie, krzywej stożkowej, funkcji lub krzywej tworzysz punkt na tym obiekcie (zobacz również polecenie Punkt). Kliknięciem na przecięciu dwóch obiektów tworzysz ich punkt przecięcia (zobacz również polecenie Przetnij). Przecięcie dwóch obiektów Przecięcie dwóch obiektów można otrzymać na dwa sposoby. Jeżeli zaznaczysz dwa obiekty, to ich wszystkie punkty przecięcia zostaną utworzone (o ile to możliwe). klikniesz na przecięciu dwóch obiektów, to tylko pojedynczy punkt przecięcia zostanie utworzony. Dla odcinka, promienia lub łuku możesz określić, czy chcesz pozwolić na wprowadzenie punktów przecięcia oddalonych obiektów (zobacz Okno Dialogowe Własności). Może to zostać użyte, gdy chcesz wprowadzić punkt przecięcia dla obiektów rozłącznych na ich przedłużeniu. Dla przykładu, przedłużeniem odcinka lub promienia jest półprosta. Punkt środkowy lub środek Kliknij na: dwa punkty, aby otrzymać punkt środkowy. jeden odcinek, aby otrzymać jego środek. krzywą stożkową, aby otrzymać środek.

18 Wektor Wektor między dwoma punktami Zaznacz punkt początkowy i końcowy wektora. Wektor z punktu Zaznacz punkt A i wektor v, aby utworzyć punkt B = A + v i wektor z A do B Odcinek Odcinek między dwoma punktami Zaznacz dwa punkty A i B a otrzymasz odcinek o końcach A i B. W oknie algebry jest wyświetlana długość otrzymanego odcinka. Odcinek z punktu o danej długości Kliknij na punkt A, który będzie punktem początkowym odcinka. W pojawiającym się oknie wpisz pożądaną długość wektora. Uwaga: W tym trybie utworzysz odcinek o danej długości i końcu B, który obrócisz w trybie Przesuń dookoła początkowego punktu A Półprosta Półprosta wyznaczona przez dwa punkty Zaznaczając punkt A i B tworzysz półprostą o początku A i przechodzącą przez punkt B. W oknie algebry jest wyświetlane równanie odpowiedniej prostej.

19 Wielokąt Wielokąt Zaznacz co najmniej trzy punkty, które będą wierzchołkami wielokąta. Następnie kliknij ponownie pierwszy, aby zamknąć wielokąt. W oknie algebry wyświetlane jest pole wielokąta. Wielokąt foremny Zaznacz dwa punkty i wpisz liczbę n do pojawiającego się pola dialogowego a otrzymasz wielokąt foremny o n wierzchołkach (zawierający punkty A i B) Prosta Prosta przechodząca przez dwa punkty Zaznacz dwa punkty A i B a otrzymasz prostą przechodzącą przez A i B. Wektor kierunkowy tej prostej to (B - A). Proste równoległe Zaznacz prostą g i punkt A a w otrzymasz prostą przechodzącą przez punkt A i równoległą do g. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem prostej g. Proste prostopadłe Zaznacz prostą g i punkt A a otrzymasz prostą przechodzącą przez A i prostopadłą g. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego do (zobacz również polecenie WektorProstopadły) prostej g. Symetralna Symetralną odcinka wyznaczamy przez zaznaczenie odcinka s lub dwóch punktów A i B. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego (zobacz również polecenie WektorProstopadły) do odcinka s lub AB.

20 Dwusieczna kąta Dwusieczną kąta można otrzymać na dwa sposoby: Zaznaczenie trzech punktów A, B, C powoduje powstanie dwusiecznej kąta, którego wierzchołkiem jest punkt B. Zaznaczenie dwóch prostych powoduje powstanie dwusiecznej kąta, który tworzą. Uwaga: Wektor kierunkowy wszystkich dwusiecznych jest długości 1. Styczne Styczną do krzywej stożkowej można otrzymać na dwa sposoby: Zaznacz punkt A i krzywą c a otrzymasz styczną w punkcie A do krzywej c. Zaznacz prostą g i krzywą c a otrzymasz styczne do c, które są równoległe do g. Zaznaczając punkt A i funkcję f otrzymujesz styczną do f w x = x(a). Prosta biegunowa lub prosta zawierająca średnicę Tryb umożliwia utworzenie prostej biegunowej lub prostą zawierająca średnicę krzywej stożkowej. Ty możesz: Zaznaczyć punkt i krzywą stożkową, aby otrzymać prostą biegunową. Zaznaczyć prostą lub wektor i krzywą stożkową, aby otrzymać prostą przechodzącą przez średnicę Krzywa Stożkowa Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Zaznacz punkt M i punkt P, aby utworzyć okrąg o środku M i przechodzący przez punkt P. Promień tego okręgu ma długość MP. Okrąg o danym środku i promieniu Po zaznaczeniu środka okręgu M wpisz długość promienia do pojawiającego się okna.

21 Okrąg przechodzący przez trzy punkty Zaznacz trzy punkty A, B i C, aby wyznaczyć okrąg przechodzący przez trzy punkty. Jeśli zaznaczysz trzy punkty na prostej, to tworzony okrąg zostanie zdegenerowany do tej prostej. Krzywa stożkowa przechodząca przez 5 punktów Zaznaczając pięć punktów wyznaczasz krzywą stożkową przechodzącą przez te punkty. Uwaga: Jeżeli cztery z pięciu punktów nie leżą na prostej to krzywa stożkowa zostanie wyznaczona Łuk i Wycinek Koła Uwaga: Wielkość algebraiczna łuku jest jego długością. Wielkość wycinka jest jego polem. Półokrąg Zaznaczając dwa punkty A i B tworzysz półokrąg oparty na odcinku AB. Łuk o danych końcach zatoczony ze środka Zaznaczając trzy punkty M, A i B tworzysz łuk zatoczony z punktu M, punkt początkowy A i końcowy B łuku. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na łuku. Wycinek koła o danym środku i przechodzący przez dwa punkty Zaznaczając punkty M, A i B tworzysz wycinek koła o środku w punkcie M, punkt początkowy A i punkt końcowy B. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na wycinku koła. Łuk przechodzący przez trzy punkty Zaznaczając trzy punkty tworzysz łuk przechodzący przez te punkty.

22 Wycinek kołowy wyznaczony przez trzy punkty na łuku Zaznaczając trzy punkty na łuku tworzysz wycinek kołowy z tymi punktami na łuku Liczba i Kąt Odległość lub długość Ten tryb umożliwia podanie odległości między dwoma punktami, prostymi lub punktem i prostą. Podaje również długość odcinka lub obwód okręgu. Pole Ten tryb podaje pole wielokąta, okręgu, elipsy w postaci dynamicznie zmieniającego się tekstu w oknie algebry. Nachylenie Ten tryb podaje nachylenie prostej w oknie algebry poprzez dynamicznie zmieniający się tekst. Suwak Uwaga: W GeoGebra suwak jest graficzną reprezentacja niezależnej liczby lub kąta. Kliknij w pustym miejscu obszaru roboczego aby utworzyć suwak dla liczby lub kąta. Pojawiające się okno umożliwia określić nazwę, przedział [min, max] liczby lub kąta, jak również określenie orientacji i szerokości suwaka (w pikselach). Uwaga: Jeśli chcesz łatwo utworzyć suwak dla istniejącej niezależnej liczby lub kąta możesz to zrobić poprzez wyświetlenie obiektu (zobacz Menu kontekstowe; zobacz tryb Pokaż / ukryj obiekt). Położenie suwaka może być bezwzględne na ekranie lub określone przez układ współrzędnych. (zobacz Właściwości odpowiedniej liczby lub kąta).

23 Kąt Ten tryb umożliwia tworzenie kąt między trzema punktami kąt między dwoma odcinkami kąt między dwoma prostymi kąt między dwoma wektorami wszystkie wewnętrzne kąty wielokąta Wszystkie te kąty mają miarę od) do 180. Jeśli chcesz pozwolić na kąt wklęsły wybierz właściwe ustawienie w Oknie dialogowym właściwości. Kąt o danej mierze Zaznacz dwa punkty A i B i wpisz miarę kąta do pojawiającego się okna. Ten tryb tworzy punkt C i kąt α, gdzie α jest katem ABC Zmienne Boolowskie Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty Klikając w obszar roboczy tworzone jest pole wyboru (zmienna boolowska) dające możliwość wyświetlenia lub ukrycia kilu obiektów. W pojawiającym się oknie możesz określić, których obiektów ma dotyczyć pole wyboru Miejsce Geometryczne Miejsce geometryczne Zaznacz punkt B zależny od innego punktu A. Następnie kliknij punkt A. Zostanie narysowane miejsce geometryczne. Uwaga: Punkt B musi być punktem obiektu (np. prostej, odcinka, okręgu). Przykład: Wpisz f(x) = x^2 2 x 1 do pola wprowadzania Utwórz nowy punkt A na osi X (zobacz tryb Nowy Punkt; zobacz polecenie Punkt).

24 Utwórz punkt B = (x(a), f (x(a))) zależny od punktu A. Wybierz tryb Miejsce geometryczne i kolejno kliknij na punkt B i punkt A. Przesuwaj punkt A wzdłuż osi X i obserwuj ruch punktu B po miejscu geometrycznym Przekształcenia Geometryczne Są dostępne następujące przekształcenia geometryczne dla punktów, prostych, stożkowych, wielokątów i obrazów. Symetria względem punktu Najpierw zaznacz obiekt do odbicia. Następnie kliknij na punkt, który ma być środkiem symetrii. Symetria względem prostej Najpierw zaznacz obiekt do odbicia. Następnie kliknij na prostą, która ma być osią symetrii. Obrót o kąt względem punktu Najpierw zaznacz obiekt do obrotu. Kliknij punkt, który będzie środkiem obrotu. Następnie w oknie dialogowym określ kąt obrotu. Przesuń obiekt o wektor Najpierw zaznacz obiekt do przesunięcia. Następnie kliknij wektor przesunięcia. Jednokładność Najpierw zaznacz obiekt do przekształcenia. Wskaż punkt, który będzie środkiem jednokładności. Następnie wpisz do okna dialogowego wartość skali.

25 Tekst Tekst Możesz tworzyć statyczny i dynamiczny tekst lub formuły LaTeX w oknie geometrii. Klikając w obszarze roboczym wskazujesz lokalizację dla nowotworzonego tekst. Klikając na punkt uzależniasz położenie nowotworzonego tekstu od tego punktu. Następnie, w pojawiającym się oknie możesz wpisać tekst. Uwaga: Możliwe jest użycie wartości obiektów do tworzenia dynamicznych tekstów. Wprowadzane To jest teks Punkt A = + A a = + a + cm Opis tekst prosty (statyczny) tekst dynamiczny z użyciem współrzędnych punktu A tekst dynamiczny z użyciem długości odcinka a Pozycja tekstu może być bezwzględna lub określona względem układu współrzędnych (zobacz Właściwości tekstu). Formuły LaTeX W GeoGebra możesz stosować formuły. Aby to zrobić zaznacz pole wyboru Formuła LaTeX w oknie dialogowym trybu Tekst i wprowadź swoją formułę w składni LaTeX. Tutaj znajdziesz objaśnienie kilku ważnych poleceń LaTeX. Więcej informacji znajdziesz w dokumentacji LaTeX. Polecenie LaTeX a \cdot b \frac{a}{b} \sqrt{x} \sqrt[n]{x} \vec{v} \overline{ab} Rezultat a b a b x n x AB

26 Polecenie LaTeX Rezultat x^{2} 2 x a_{1} a 1 \sin\alpha + \cos\beta sin α+ cos β \int_{a}^{b} x dx b xdx a \sum_{i=1}^{n} i^2 i = i 1 n 2

27 Obrazy Wstaw obraz Ten tryb umożliwia wstawienie obrazu do twojej konstrukcji. Klikając w obszarze roboczym wskazujesz położenie lewego dolnego rogu wstawianego obrazu. Klikając na punkt, poprzez ten punkt określasz położenie lewego dolnego rogu wstawianego obrazu. Następnie, poprzez okno dialogowe możesz określić skąd pobrać plik-obraz Właściwości Obrazów Pozycja Położenie obrazu może bezwzględne lub względne, określone względem układu współrzędnych (zobacz Właściwości obrazu). Ten drugi sposób jest realizowany poprzez podanie trzech punktów narożnych. To daje możliwość dostosowania skali, obrotu i możliwość zniekształceń obrazów. Narożnik 1 (pozycja lewego dolnego rogu obrazu) Narożnik 2 (pozycja prawego dolnego rogu obrazu) Uwaga: Ten róg obrazu tylko wtedy może zostać określony, jeżeli wcześniej został określony róg 1. Daje możliwość sterowania szerokością obrazu. Narożnik 3 (pozycja lewego górnego rogu obrazu) Uwaga: Ten róg obrazu tylko wtedy może zostać określony, jeżeli wcześniej został określony róg 1. Daje możliwość sterowania wysokością obrazu. Uwaga: Zobacz także Róg Przykład: Utwórz trzy punkty A, B i C, aby zbadać ich rolę punktów narożnych. Ustaw punkt A jako pierwszy a punkt B jako drugi róg obrazu. Przeciągając punkty A i B w trybie Przesuń możesz łatwo obserwować ich wpływ. Ustaw punkt A jako pierwszy a punkt C jako drugi róg. Zbadaj jak ich przeciąganie wpływa na obraz.

28 W końcu ustalając wszystkie trzy punkty narożne możesz obserwować jak przeciąganie punktów zniekształca obraz. Już wiesz jak wpłynąć na położenie i wielkość obrazu. Jeżeli chcesz obraz umieścić w określonym miejscu i ustalić szerokość na 3 a wysokość na 4 możesz to zrobić w następujący sposób: róg 1: A róg 2: A + (3, 0) róg 4: A + (0, 4) Uwaga: Jeśli przeciągniesz punkt A w trybie pożądana wielkość. Przesuń, utrzymuje Obraz w tle Obraz można usytuować w tle poprzez wybranie Obraz w tle (zobacz Właściwości obrazu). Obraz w tle położony jest pod osiami układu współrzędnych i w żaden sposób nie da się go zaznaczyć myszą. Uwaga: Wybranie Właściwości z menu Edycja umożliwia zmianę ustawień obrazu w tle. Przezroczystość Obraz możesz uczynić przezroczystym aby widzieć obiekty lub osie położone pod nim. Przezroczystość obiektu możesz modyfikować w ustawieniach obrazu wypełnienie wybierając wielkość między 0 % a 100 % (zobacz Właściwości obrazu).

29 4. Wprowadzenie do Algebry W tym rozdziale wyjaśnimy, jak z użyciem klawiatury tworzyć i modyfikować obiekty w GeoGebrze Uwagi Ogólne Wartości, współrzędne i równania swobodnych i zależnych obiektów są wyświetlane w oknie algebry (po lewej stronie). Swobodne obiekty nie zależą od innych obiektów i można je całkowicie zmienić. Możesz tworzyć i modyfikować obiekty używając pola wprowadzania na dole okna GeoGebry (zobacz Bezpośrednie wprowadzanie; zobacz Polecenia). Uwaga: Zawsze po zapisaniu definicji w polu wprowadzania, naciskaj klawisz Enter Zmiana Wartości Swobodne obiekty mogą być modyfikowane a zależne nie. Aby manipulować wartościami obiektów swobodnych, należy nowe wartości wprowadzić w polu wprowadzania (zobacz Bezpośrednie wprowadzanie). Przykład: Jeśli chcesz zmienić wartość istniejącej liczby a = 3, wpisz w polu wprowadzania a = 5 i naciśnij klawisz Enter. Uwaga: Alternatywnie, możesz dokonać zmiany w oknie algebry wybierając Przedefiniuj z Menu kontekstowe lub podwójnie klikając na obiekcie w trybie Przesuń Animacja Możesz zmienić liczbę lub kąt wybierając tryb Przesuń. Następnie kliknij na liczbę lub kąt i naciskaj klawisz + lub. Przytrzymanie któregoś z tych klawiszy pozwala uzyskać animację. Przykład: Jeżeli współrzędne punktu zależą od liczby k jak w przykładzie P = (2 k, k), wtedy, wraz z ciągłą zmianą liczby k punkt P będzie się przemieszczał wzdłuż prostej.

30 W trybie Przesuń możesz przesuwać swobodne obiekty używając klawiszy strzałek (zobacz Animacja; zobacz tryb Przesuń). Uwaga: Możesz dostosować wielkość przyrostu używając Okno Dialogowe Własności dla danego obiektu. Skróty: Ctrl + klawisz strzałki wprowadza zmiany o 10 jednostek Alt + klawisz strzałki wprowadza zmiany o 100 jednostek Uwaga: Punkt na prostej może również zostać przesunięty wzdłuż prostej z użyciem klawisza + lub (zobacz Animacja) Bezpośrednie Wprowadzanie GeoGebra rozpoznaje liczby, kąty, punkty, wektory, segmenty, proste, stożkowe, funkcje, parametry krzywych. My teraz wyjaśnimy, jak wprowadzać współrzędne lub równania tych obiektów w polu wprowadzania. Uwaga: Możesz również używać indeksów w nawach obiektów, dla przykładu A 1 lub S AB otrzymujemy przez wprowadzenie as A_1 i s_{ab} Liczby i Kąt W liczbach i kątach używany jest symbol. oddzielający całości od części dziesiętnych. Przykład: Wprowadź liczbę r wpisując r = Uwaga: Możesz również używać stałej π i stałej Eulera e w wyrażeniach i obliczeniach wybierając je z rozwijanego menu po prawej stronie pola wprowadzania. Kąty występują w stopniach ( ) lub radianach (rad). Stała π może występować w radianach i może być użyta jako pi. Przykład: Kąt α może być zapisany w stopniach (α = 60) lub w radianach (α = pi/3).

31 Uwaga: GeoGebra wszystkie wewnętrzne obliczenia wykonuje w radianach. Symbol oznacza stałą π/180 używaną do zamiany stopni na radiany. Suwaki i klawisze strzałek Liczby i kąty swobodne mogą zostać pokazane w oknie geometrii w postaci suwaków (zobacz tryb Suwak). Możesz także zmieniać liczby i kąty w oknie algebry przy pomocy klawiszy strzałek (zobacz Animacja). Ograniczenie wielkoścido Przedziału Liczby i kąty swobodne mogą zostać ograniczone do przedziału [min, max] (zobacz Okno Dialogowe Własności). Ten przedział jest wykorzystywany także dla Suwaka. Dla każdego kąta zależnego możesz określić, czy to ma być kąt wklęsły czy nie (zobacz Okno Dialogowe Własności) Punkt i Wektor Punkt i wektor mogą być określone poprzez współrzędne kartezjańskie lub biegunowe (zobacz Liczby i Kąty). Uwaga: Nazwy pisane dużymi literami dotyczą punktów, natomiast małymi odnoszą się do wektorów. Przykład: Wprowadź dla punktu P lub wektora v współrzędne kartezjańskie P = (1, 0) lub v = (0, 5). Aby użyć współrzędnych biegunowych wprowadź: P = (1; 0 ) lub v = (5; 90 ) Prosta Prosta może być wprowadzona w postaci równania liniowego x i y lub w postaci parametrycznej. W obu przypadkach możesz użyć wcześniej zdefiniowanych zmiennych (np. liczby, punkty, wektory). Uwaga: Możesz wprowadzić nazwę prostej, wpisując ją na początku ze znakiem dwukropka. Przykład: Wpisując g : 3x + 4y = 2 wprowadzasz nazwę prostej g i równanie prostej.

32 Zdefiniuj parametr t (t = 3) przed wprowadzeniem prostej g w parametrycznej postaci g: X = (-5, 5) + t (4, - 3). Wprowadź parametry m = 2 i b = -1. Następnie wprowadź równanie g: y = m x + b otrzymasz prostą g, gdzie y zapisane jest w postaci kierunkowej równania prostej OśX i OśY Dwie osie współrzędnych są dostępne w poleceniach pod nazwami: OśX i OśY. Przykład: Polecenie Prostopadła[A, OśX] konstruuje prostą równoległą do osi OX przechodzącą przez punkt A Stożkowa Stożkowa jest wprowadzana jako równanie kwadratowe w x i y. Główne zdefiniowane zmienne (np. liczby, punkty, wektory) mogą być używane. Nazwę stożkowej wprowadzamy wpisując ją przed znakiem dwukropka. Przykład: Elipsa ell: ell: 9 x^ y^2 = 144 Hiperbola hyp: hyp: 9 x^2 16 y^2 = 144 Parabola par: par: y^2 = 4 x Okrąg k1: k1: x^2 + y^2 = 25 Okrąg k2: k2: (x 5)^2 + (y+2)^2 = 25 Uwaga: Jeśli wcześniej zdefiniujesz dwa parametry a = 4 i b = 3, możesz wprowadzić elipsę jako ell: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^ Funkcja Zmiennej x Aby wprowadzić funkcję, używamy wcześniej zdefiniowanych zmiennych (np. liczby, punkty, wektory) oraz innych funkcji. Przykład: Funkcja f: f(x) = 3 x^3 x^2 Funkcja g: g(x) = tan(f(x)) Funkcja nie nazwana sin(3 x) + tan(x)

33 Wszystkie wewnętrzne funkcje (np. sin, cos, tan) zostały opisane w sekcji o operacjach arytmetycznych (zobacz Operacje Arytmetyczne). W programie GeoGebra możesz stosować polecenia w celu uzyskania Całki i Pochodnej funkcji. Możesz także użyć poleceń f (x) lub f (x), aby otrzymać pochodne funkcji wcześniej zdefiniowanych. f(x). Przykład: Najpierw zdefiniuj funkcję f jako f(x) = 3 x^3 x^2. Następnie wpisz g(x) = cos(f (x + 2)), aby uzyskać funkcję g. Ponadto, funkcje mogą być przesunięte o wektor (zobacz polecenie Przesunięcie) a swobodna funkcja może być przesunięta myszką (zobacz tryb Przesuń). Ograniczenie Funkcji do przedziału Aby ograniczyć funkcję do przedziału [a, b], użyj polecenia Funkcja (zobacz polecenie Funkcja) Lista Obiektów Używając nawiasów klamrowych, możesz stworzyć listę obiektów (np. punktów, odcinków, okręgów). Przykład: L = {A, B, C} otrzymasz listę, która składa się z trzech wcześniej zdefiniowanych punktów A, B i C. L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} otrzymasz listę składającą się z wprowadzonych punktów bez nazw Operacje Arytmetyczne Przy wprowadzaniu liczb, współrzędnych lub równań (zobacz Bezpośrednie Wprowadzanie) możesz używać wyrażeń arytmetycznych z nawiasami. W GeoGebra są dostępne następujące operacje: Operacja Wprowadź dodawanie + odejmowanie -

34 Operacja Wprowadź mnożenie * lub spacja iioczyn skalarny * lub spacja dzielenie / potęgowanie ^ lub 2 silnia! funkcja Gamma gamma( ) nawiasy ( ) współrzędna x x( ) współrzędna y y( ) wartość bezwzględna abs( ) znak sgn( ) pierwiastek sqrt( ) pierwiastek sześcienny cbrt( ) liczba losowa z przedziału od 0 do 1 random( ) funkcja wykładnicza exp( ) lub e x logarytm (naturalny o podstawie e) ln( ) lub log( ) logarytm o podstawie 2 ld( ) logarytm o podstawie 10 lg( ) cosinus cos( ) sinus sin( ) tangens tan( ) arcus cosinus acos( ) arcus sinus asin( ) arcus tangens atan( ) cosinus hiperboliczny cosh( ) sinus hiperboliczny sinh( ) tangens hiperboliczny tanh( ) funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego acosh( ) funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego asinh( ) funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego atanh( ) największa liczba całkowita mniejsza lub równa danej liczbie floor( ) najbliższa liczba całkowita większa lub równa danej liczbie ceil( ) najbliższa liczba całkowita mniejsza, większa bądź równa danej liczbie round( ) Przykład:

35 Środek M między punktami A i B możesz otrzymać wprowadzając M = (A + B) / 2 Długość wektora v może być obliczona poprzez użycie l = sqrt(v * v) Uwaga: W GeoGebrze możesz przeprowadzać operacje również na punktach i wektorach Zmienne Boolowskie Możesz w GeoGebra używać zmiennych boolowskich prawda i fałsz. Przykład: Wpisz c lub b = fałsz do pola wprowadzania a następnie naciśnij klawisz Enter. Pole Wyboru i Klawisze Strzałek Niezależne zmienne boolowskie mogą być pokazane w obszarze roboczym w postaci pola wyboru (zobacz tryb Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty). Zmienne boolowskie możesz zmieniać również w oknie algebry przy pomocy klawiszy strzałek (zobacz Animacja) Operacje Logiczne Możesz używać w GeoGebrze następujących operacji logicznych: Operacja Przykład Wprowadź równa się lub == liczby, punkty, a b lub a == proste, stożkowe b a, b nie równa się lub!= liczby, punkty, a b lub a!= b proste, stożkowe a, b mniejszy niż < a < b liczby a, b większy niż > a > b liczby a, b mniejszy lub równy większy równy lub lub <= lub >= a b lub a <= b liczby a, b a b lub a >= b liczby a, b i a b wielkości boolowskie a, b

36 Operacja Przykład Wprowadź boolowskie a, b lub a b wielkości boolowskie a, b nie lub! a lub!a wielkości wielkości boolowskie a równoległy a b proste a, b prostopadły a b proste a, b

37 4.3. Polecenia Poprzez polecenia możemy tworzyć nowe i modyfikować istniejące obiekty. Poprzez komendy możesz wprowadzać nazwy etykiet stosując =. W poniższym przykładzie nowy punkt zostaje nazwany S. Przykład: Aby uzyskać punkt przecięcia dwóch prostych g i h wprowadź S = Przecięcie[g, h] (zobacz polecenie Przecięcie). Uwaga: Możesz także użyć indeksy w nazwach obiektów: A 1 lub S AB wprowadzając odpowiednio A_1 lub s_{ab} Polecenia Ogólne Relacja Relacja[obiekt a, obiekt b]: wyświetla okno z informacją o relacji między obiektem a i obiektem b. Uwaga: To polecenie pozwala dowiedzieć się, czy dwa obiekty są równe, czy punkt leży na prostej lub na stożkowej, lub czy prosta jest styczna czy przecina stożkową. Usuń Usuń[obiekt a]: Usuwa obiekt i wszystkie obiekty zależne od niego. Element Element[lista L, liczba n]: element n-ty listy L Polecenia Boolowskie Jeżeli[warunek, a, b]: daje w wyniku obiekt a jeśli tylko warunek jest prawdziwy, i obiekt b jeśli warunek jest fałszywy. Jeżeli[warunek, a]: daje w wyniku obiekt a jeśli warunek jest prawdziwy, i nieokreślony obiekt gdy fałszywy.

38 Liczba Długość Długość[wektor v]: Długość wektora v Długość [punkt A]: Odległość A od początku układu współrzędnych Długość [funkcja f, liczba x1, liczba x2]: Długość wykresu funkcji f między liczbami x1 i x2 Długość [funkcja f, punkt A, punkt B]: Długość wykresu funkcji f między dwoma punktami A i B na wykresie Długość [krzywa c, liczba t1, liczba t2]: Długość krzywej c między liczbami t1 i t2 Długość [krzywa c, punkt A, punkt B]: Długość krzywej c odległość między dwoma punktami A i B leżącymi na krzywej Długość [lista L]: Długość listy L (liczba elementów listy) Pole Pole[punkt A, punkt B, punkt C,...]: Pole wielokąta określonego przez punkty A, B, C Pole[stożkowa c]: Pole krzywej c (okrąg lub elipsa) Odległość Odległość[punkt A, punkt B]: Odległość między punktem A i B Odległość[punkt A, prosta]: Odległość punktu A od prostej g Odległość[prosta g, prosta h]: Odległość między prostą g i h. Uwaga: Odległość prostych przecinających się wynosi 0. To polecenie ma sens dla prostych równoległych. Funkcja Modulo ResztaDzielenia[liczba a, liczba b]: Reszta z dzielenia liczby a przez b Całość z Dzielenia Div[liczba a, liczba b]: Całość z ilorazu liczby a przez liczbę b.

39 Nachylenie Nachylenie[prosta g]: Nachylenie prostej g. Uwaga: To polecenie rysuje trójkąt nachylenia, którego wielkość może być zmieniona (zobacz Okno Dialogowe Własności). Krzywizna Krzywizna[punkt A, funkcja f]: Krzywizna funkcji f w punkcie A Krzywizna[punkt A, krzywa c]: Krzywizna krzywej c w punkcie A Promień Promień[okrąg c]: Promień okręgu c Obwód Krzywej ObwódKrzywej [stożkowa c]: Podaje obwód stożkowej c (okręgu lub elipsy) Obwód obwód[wielokąt poly]: Obwód wielokąta poly Parametr Parametr[parabola p]: Parametr paraboli p (odległość kierownicy i ogniskowej) DługośćOsiWielkiej DługośćOsiWielkiej[stożkowa c]: Długość osi małej krzywej stożkowej DługośćOsiMałej DługośćOsiMałej[stożkowa c]: Długość drugiej osi krzywej stożkowej Mimośród Mimośród[stożkowa c]: Mimośród stożkowej c Całka Całka[funkcja f, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona funkcji f(x) od a to b. Uwaga: To polecenie zaznacza również obszar pomiędzy wykresem funkcji a osią OX. Całka[funkcja f, funkcja g, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona różnicy funkcji f(x) - g(x) od a do b. Uwaga: Polecenie to zaznacza również obszar między wykresami funkcji f i g.

40 Uwaga: Zobacz Całka Nieoznaczona DolnaSuma DolnaSuma[funkcja f, liczba a, liczba b, liczba n]: Dolna suma funkcji f w przedziale [a, b] z n prostokątami. Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty dolnej sumy. GórnaSuma GórnaSuma[funkcja f, liczba a, liczba b, liczba n]: Górna suma funkcji f w przedziale [a, b] z n prostokątami. Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty górnej sumy. Iteracja Iteracja[funkcja f, liczba x0, liczba n]: n tą iteracją funkcji f z rozpoczynając od wielkości x0. Przykład: Po zdefiniowaniu f(x) = x^2 poleceniem Iteracja[f, 3, 2] otrzymujesz następujący rezultat (3 2 ) 2 = 81 Minimum i Maksimum Min[liczba a, liczba b]: Minimum z liczb a i b Max[liczba a, liczba b]: Maksimum z liczb a i b Stosunek Afiniczny StosunekAfiniczny[punkt A, punkt B, punkt C]: Zwraca stosunek afiniczny λ trzech punktów współliniowych A, B i C, gdzie C = A + λ * AB StosunekAnharmoniczny StosunekAnharmoniczny[punkt A, punkt B, punkt C, punkt D]: Stosunek anharmoniczny λ trzech współliniowych punktów A, B, C i D, gdzie λ = StosunekAfiniczny[B, C, D] / StosunekAfiniczny[A, C, D] Kąt Kąt Kąt[wektor v1, wektor v2]: Kąt między dwoma wektorami v1 i v2 (od 0 do 360 )

41 Kąt[prosta g, prosta h]: Kąt pomiędzy wektorami kierunkowymi dwóch prostych g i h (od 0 do 360 ) Kąt[punkt A, punkt B, punkt C]: Kąt tworzony jest przez BA i BC (od 0 od 360 ). Punkt B jest wierzchołkiem. Kąt[punkt A, punkt B, kąt alpha]: Kąt o mierze α rysowany z punktu A z wierzchołkiem B. Uwaga: Punkt jest również tworzony poleceniem Obrót[A, alpha, B]. Kąt[stożkowa c]: Kąt skrętu stożkowej względem osi (zobacz polecenie Osie) Kąt[wektor v]: Kat między osią X i wektorem v Kąt[punkt A]: Kąt pomiędzy osią X i pozycją wektora punktu A Kąt[liczba n]: Zamiana liczby n w kąt (rezultat między 0 i 2pi) Kąt[wielokąt poly]: Wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta poly Punkt Punkt Punkt[prosta g]: Punkt na prostej g Punkt[stożkowa c]: Punkt na stożkowej c (np. okręgu, elipsie, hiperboli) Punkt[funkcja f]: Punkt na wykresie funkcji f Punkt[wielokąt poly]: Punkt na wielokącie poly Punkt[wektor v]: Punkt na wektorze v Punkt[punkt P, wektor v]: Punkt P przesunięty o wektor v Punkt Środkowy i Środek PunktŚrodkowy[punkt A, punkt B]:Punkt środkowy punktów A i B PunktŚrodkowy[odcinek s]: Punkt środkowy odcinka s PunktŚrodkowy[stożkowa c]: Centrum stożkowej c (np. okrąg, elipsa, hiperbola) Ogniskowa Ogniskowa[stożkowa c]: (Wszystkie) ogniska stożkowej c Wierzchołek Wierzchołek[stożkowa c]: (Wszystkie) wierzchołki stożkowej c

42 ŚrodekCiężkości ŚrodekCiężkości[wielokąt poly]: Środek ciężkości wielokąta poly Przecięcie Przecięcie[prosta g, prosta h]: Punkt przecięcia prostej g i prostej h Przecięcie [prosta g, stożkowa c]: Wszystkie punkty przecięcia prostej g i stożkowej c (maks. 2) Przecięcie [prosta g, stożkowa c, liczba n]: n-ty punkt przecięcia prostej g i stożkowej c Przecięcie [stożkowa c1, stożkowa c2]: Wszystkie punkty przecięcia stożkowych c1 i c2 (maks. 4) Przecięcie [stożkowa c1, stożkowa c2, liczba n]: n- ty punkt przecięcia stożkowych c1 i c2 Przecięcie [wielomian f1, wielomian f2]: Wszystkie punkty przecięcia wielomianów f1 i f2 Przecięcie [wielomian f1, wielomian f2, liczba n]: n-ty punkt przecięcia funkcji f1 i f2 Przecięcie [wielomian f, prosta g]: Wszystkie punkty przecięcia wielomianu f i prostej g Przecięcie [wielomian f, prosta g, liczba n]: n-ty punkt przecięcia wielomianu f i prostej g Przecięcie [funkcja f, funkcja g, punkt A]: Punkt przecięcia funkcji f i g z punktem początkowym A (metoda Newtona) Przecięcie [funkcja f, prosta g, punkt A]: Punkt przecięcia funkcji f i prostej g z punktem początkowym A (metoda Newtona) Uwaga: Zobacz także tryb Przecięcie dwóch obiektów Pierwiastek Pierwiastek[wielomian f]: Wszystkie pierwiastki wielomianu f (jako punkty) Pierwiastek [funkcja f, liczba a]: Jeden pierwiastek funkcji f z wartością początkową a (metoda Newtona) Pierwiastek [funkcja f, liczba a, liczba b]: Jeden pierwiastek funkcji f w przedziale [a, b] (regula falsi)

43 Ekstremum Ekstremum[wielomian f]: Wszystkie lokalne ekstrema wielomianu f (jako punkty) PunktPrzegięcia PunktPrzegięcia [wielomian f]: Wszystkie punkty przegięcia wielomianu f Wektor Wektor Wektor[punkt A, punkt B]: Wektor z punktu A do punktu B Wektor[punkt A]: Wektor z początku układu współrzędnych do punktu A Kierunek Kierunek[prosta g]: Wektor kierunkowy, wektor leżący na prostej g. Uwaga: Dla prostej o równaniu ax + by = c otrzymamy wektor (b, - a). Wektor Jednostkowy WektorJednostkowy[prosta g]: Wektora kierunkowy o długości 1 prostej g WektorJednostkowy [wektor v]: Wektor o długości 1, kierunek i zwrot danego wektora v Wektor Prostopadły WektorProstopadły[prosta g]: Wektor prostopadły do prostej g. Uwaga: Prosta o równaniu ax + by = c ma wektor prostopadły (a, b). WektorProstopadły[wector v]: Wektor prostopadły do wektora v. Uwaga: Wektor o współrzędnych (a, b) ma wektor prostopadły (- b, a). Prostopadły Wektor Jednostkowy ProstopadłyWektorJednostkowy [prosta g]: prostopadły do prostej g o długości 1 ProstopadłyWektorJednostkowy [wektor v]: prostopadły do wektora v o długości 1 Wektor Krzywizny Wektor Wektor WektorKrzywizny[punkt A, funkcja f]: Wektor krzywizny funkcji f w punkcie A

44 WektorKrzywizny [punkt A, krzywa c]: Wektor krzywizny krzywej c w punkcie A Odcinek Odcinek Odcinek[punkt A, punkt B]: Odcinek pomiędzy punktami A i B Odcinek[punkt A, liczba a]: Odcinek o długości a z punktu A. Uwaga: Również tworzony jest punkt końcowy odcinka Półprosta Półprosta Półprosta [punkt A, punkt B]: Półprosta z punktu A przechodząca przez punkt B Półprosta [punkt A, wektor v]: Półprosta z punktu A z wektorem kierunkowym v Wielokąt Wielokąt Wielokąt[punkt A, punkt B, punkt C,...]: Wielokąt określony przez punkty A, B, C, Wielokąt [punkt A, punkt B, liczba n]: Wielokąt foremny o n wierzchołkach (zawierających punkty A i B) Prosta Prosta Prosta[punkt A, punkt B]: Prosta przechodząca przez dwa punkty A i B Prosta [punkt A, prosta g]: Prosta przechodząca przez punkt A i równoległa do prostej g Prosta [punkt A, wektor v]: Prosta przechodząca przez punkt A i o wektorze kierunkowym v Prostopadła Prostopadła [punkt A, prosta g]: Prosta przechodząca przez punkt A równoległa do prostej g Prostopadła [punkt A, wektor v]: Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła do wektora v

45 SymetralnaOdcinka SymetralnaOdcinka [punkt A, punkt B]: Symetralna odcinka AB SymetralnaOdcinka [odcinek s]: Symetralna odcinka s Dwusieczna Dwusieczna[punkt A, punkt B, punkt C]: Dwusieczna kata zdefiniowanego przez punkty A, B i C. Uwaga: Punkt B jest wierzchołkiem kata. Dwusieczna[prosta g, prosta h]: Dwusieczna kąta między prostymi g i h. Styczna Styczna[punkt A, stożkowa c]: (Wszystkie) styczne w punkcie A krzywej stożkowej c Styczna[prosta g, stożkowa c]: (Wszystkie) styczne krzywej stożkowej c i równoległe do g Styczna[liczba a, funkcja f]: Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie, dla którego x = a Styczna[punkt A, funkcja f]: Styczna do wykresu funkcji f(x), przy x = x(a) Styczna[punkt A, krzywa c]: Styczna do krzywej c w punkcie A Asymptota Asymptota [hiperbola h]: Asymptota hiperboli h Kierownica Kierownica[parabola p]: Kierownica paraboli p Osie Osie[stożkowa c]: Wielka i mała oś krzywej stożkowej c OśWielka OśWielka[stożkowa c]:oś wielka krzywej stożkowej c OśMała OśMała[stożkowa c]: Oś mała krzywej stożkowej c Biegunowa Biegunowa[punkt A, stożkowa c]: Biegunowa punktu A względem stożkowej c

GeoGebra dynamiczne oprogramowanie matematyczne 1

GeoGebra dynamiczne oprogramowanie matematyczne 1 dr Joanna Kandzia Nauczanie matematyki przez doświadczenia i eksperymenty, wykorzystanie TIK podczas zajęć dydaktycznych GeoGebra dynamiczne oprogramowanie matematyczne 1 Jest to dynamiczne oprogramowanie

Bardziej szczegółowo

Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym.

Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Po uruchomieniu Geogebry (wersja 5.0) Pasek narzędzi Cofnij/przywróć Problem 1: Sprawdź co się stanie, jeśli połączysz

Bardziej szczegółowo

GeoGebra Help. Oficjalny Podręcznik 3.2. Markus Hohenwarter and Judith Hohenwarter www.geogebra.org

GeoGebra Help. Oficjalny Podręcznik 3.2. Markus Hohenwarter and Judith Hohenwarter www.geogebra.org GeoGebra Help Oficjalny Podręcznik 3.2 Markus Hohenwarter and Judith Hohenwarter www.geogebra.org GeoGebra Help 3.2 Ostatnio modyfikowany: listopad 16, 2009 Autorzy Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org

Bardziej szczegółowo

Animacje z zastosowaniem suwaka i przycisku

Animacje z zastosowaniem suwaka i przycisku Animacje z zastosowaniem suwaka i przycisku Animacja Pole równoległoboku Naukę tworzenia animacji uruchamianych na przycisk zaczynamy od przygotowania stosunkowo prostej animacji, za pomocą, której można

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

RYSUNEK TECHNICZNY I GEOMETRIA WYKREŚLNA INSTRUKCJA DOM Z DRABINĄ I KOMINEM W 2D

RYSUNEK TECHNICZNY I GEOMETRIA WYKREŚLNA INSTRUKCJA DOM Z DRABINĄ I KOMINEM W 2D Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Zakład Informacji Przestrzennej Inżynieria Środowiska INSTRUKCJA KOMPUTEROWA z Rysunku technicznego i geometrii wykreślnej RYSUNEK TECHNICZNY

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012 Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować

Bardziej szczegółowo

Rysowanie precyzyjne. Polecenie:

Rysowanie precyzyjne. Polecenie: 7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

O czym należy pamiętać?

O czym należy pamiętać? O czym należy pamiętać? Podczas pracy na płaszczyźnie możliwe jest wprowadzanie współrzędnych punktów w następujących układach: - układ współrzędnych kartezjańskich: x, y służy do rysowania odcinków o

Bardziej szczegółowo

narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania.

narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania. Elementy programu Paint Aby otworzyć program Paint, należy kliknąć przycisk Start i Paint., Wszystkie programy, Akcesoria Po uruchomieniu programu Paint jest wyświetlane okno, które jest w większej części

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie GeoGebry w realizacji zagadnień związanych z trygonometrią 13. Wykresy funkcji sin x i cos x Paweł Perekietka 13

Zastosowanie GeoGebry w realizacji zagadnień związanych z trygonometrią 13. Wykresy funkcji sin x i cos x Paweł Perekietka 13 . Spis treści 1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 3. 3.1. Wstęp Katarzyna Winkowska-Nowak, Edyta Pobiega, Robert Skiba 11 Zastosowanie GeoGebry w realizacji zagadnień związanych z

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy

Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Podstawowe informacje o skoroszycie Excel jest najczęściej wykorzystywany do tworzenia skoroszytów. Skoroszyt jest zbiorem informacji, które są przechowywane w

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

IRONCAD. TriBall IRONCAD Narzędzie pozycjonujące

IRONCAD. TriBall IRONCAD Narzędzie pozycjonujące IRONCAD IRONCAD 2016 TriBall o Narzędzie pozycjonujące Spis treści 1. Narzędzie TriBall... 2 2. Aktywacja narzędzia TriBall... 2 3. Specyfika narzędzia TriBall... 4 3.1 Kula centralna... 4 3.2 Kule wewnętrzne...

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Temat: Konstrukcja prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do danej prostej k.

Temat: Konstrukcja prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do danej prostej k. Temat: Konstrukcja prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do danej prostej k. Cel: Uczeń, przy użyciu programu GeoGebra, stworzy model konstrukcji prostej prostopadłej i wykorzysta go w zadaniach

Bardziej szczegółowo

Wstęp Arkusz kalkulacyjny Za co lubimy arkusze kalkulacyjne Excel

Wstęp Arkusz kalkulacyjny Za co lubimy arkusze kalkulacyjne Excel SPIS TREŚCI Wstęp... 7 1 Arkusz kalkulacyjny... 11 Za co lubimy arkusze kalkulacyjne... 14 Excel 2007... 14 2 Uruchamianie programu... 17 3 Okno programu... 21 Komórka aktywna... 25 4 Nawigacja i zaznaczanie...

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 1 KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 2 KONSTRUKCJA CZWOROKĄTA KONSTRUKCJA OKRĘGU KONSTRUKCJA STYCZNYCH

KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 1 KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 2 KONSTRUKCJA CZWOROKĄTA KONSTRUKCJA OKRĘGU KONSTRUKCJA STYCZNYCH Wstęp Ten multimedialny program edukacyjny zawiera zadania konstrukcyjne pozwalające na samodzielne ćwiczenie i sprawdzenie wiadomości w zakresie konstrukcji podstawowych figur geometrycznych. Jest przeznaczony

Bardziej szczegółowo

Co to jest arkusz kalkulacyjny?

Co to jest arkusz kalkulacyjny? Co to jest arkusz kalkulacyjny? Arkusz kalkulacyjny jest programem służącym do wykonywania obliczeń matematycznych. Za jego pomocą możemy również w czytelny sposób, wykonane obliczenia przedstawić w postaci

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA INŻYNIERSKA INSTRUKCJA PODSTAWOWE KOMENDY AUTOCADA - TRÓJKĄTY

GRAFIKA INŻYNIERSKA INSTRUKCJA PODSTAWOWE KOMENDY AUTOCADA - TRÓJKĄTY Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Zakład Informacji Przestrzennej Inżynieria Środowiska GRAFIKA INŻYNIERSKA INSTRUKCJA PODSTAWOWE KOMENDY AUTOCADA - TRÓJKĄTY Prowadzący

Bardziej szczegółowo

ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU

ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę

Bardziej szczegółowo

CorelDRAW. wprowadzenie

CorelDRAW. wprowadzenie CorelDRAW wprowadzenie Źródło: Podręcznik uŝytkownika pakietu CorelDRAW Graphics Suite 12 Rysowanie linii 1. Otwórz program CorelDRAW. 2. Utwórz nowy rysunek i zapisz go w swoich dokumentach jako [nazwisko]_1.cdr

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny EXCEL

Arkusz kalkulacyjny EXCEL ARKUSZ KALKULACYJNY EXCEL 1 Arkusz kalkulacyjny EXCEL Aby obrysować tabelę krawędziami należy: 1. Zaznaczyć komórki, które chcemy obrysować. 2. Kursor myszy ustawić na menu FORMAT i raz kliknąć lewym klawiszem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

EXCEL wprowadzenie Ćwiczenia

EXCEL wprowadzenie Ćwiczenia EXCEL wprowadzenie Ćwiczenia 1. Nadaj nazwę arkuszowi Ćwiczenie 1 W lewej, dolnej części okna programu znajdują się nazwy otwartych arkuszy programu (Arkusz 1..). Zmiana nazwy, w tym celu należy kliknąć

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1 Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny 2010 dla WINDOWS cz. 1 Slajd 1 Slajd 2 Ogólne informacje Arkusz kalkulacyjny podstawowe narzędzie pracy menadżera Arkusz kalkulacyjny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4: Edycja obiektów

Ćwiczenie 4: Edycja obiektów Ćwiczenie 4: Edycja obiektów Aplikacja ArcMap nadaje się do edycji danych równie dobrze jak do opracowywania map. W tym ćwiczeniu rozbudujesz drogę prowadzacą do lotniska łącząc jej przedłużenie z istniejącymi

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1. OPEN OFFICE RYSUNKI

1. OPEN OFFICE RYSUNKI 1. 1 1. OPEN OFFICE RYSUNKI 1.1 Wiadomości podstawowe Po uruchomieniu programu Draw okno aplikacji wygląda jak na poniższym rysunku. Składa się ono z głównego okna, w którym edytuje się rysunek oraz czterech

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1 Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1 Slajd 1 Excel Slajd 2 Ogólne informacje Arkusz kalkulacyjny podstawowe narzędzie pracy menadżera Arkusz

Bardziej szczegółowo

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3 Zakres podstawowy Zakres rozszerzony dział temat godz. dział temat godz,. KLASA 1 (3 godziny tygodniowo) - 90 godzin KLASA 1 (5 godzin tygodniowo) - 150 godzin I Zbiory Zbiory i działania na zbiorach 2

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

Tworzenie nowego rysunku Bezpośrednio po uruchomieniu programu zostanie otwarte okno kreatora Nowego Rysunku.

Tworzenie nowego rysunku Bezpośrednio po uruchomieniu programu zostanie otwarte okno kreatora Nowego Rysunku. 1 Spis treści Ćwiczenie 1...3 Tworzenie nowego rysunku...3 Ustawienia Siatki i Skoku...4 Tworzenie rysunku płaskiego...5 Tworzenie modeli 3D...6 Zmiana Układu Współrzędnych...7 Tworzenie rysunku płaskiego...8

Bardziej szczegółowo

Przemysław Kajetanowicz Ćwiczenia

Przemysław Kajetanowicz Ćwiczenia Przemysław Kajetanowicz Ćwiczenia 14.02.2016 Uwaga: do wykonania poniższych ćwiczeń wymagana jest Geogebra w wersji 5 (ćwiczenia zostały przetestowane w wersji 5.0.82.0-3D). Funkcjonalność widoku 3D 1.

Bardziej szczegółowo

AutoCAD 1. Otwieranie aplikacji AutoCAD 2011. AutoCAD 1

AutoCAD 1. Otwieranie aplikacji AutoCAD 2011. AutoCAD 1 AutoCAD 1 Omówienie interfejsu programu AutoCAD (menu rozwijalne, paski przycisków, linia poleceń, linia informacyjna, obszar roboczy); rysowanie linii i okręgu; rysowanie precyzyjne z wykorzystaniem trybów

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Automatyczna animacja ruchu

Ćwiczenie 1 Automatyczna animacja ruchu Automatyczna animacja ruchu Celem ćwiczenia jest poznanie procesu tworzenia automatycznej animacji ruchu, która jest podstawą większości projektów we Flashu. Ze względu na swoją wszechstronność omawiana

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kliknięcie ikony W wierszu poleceń pojawi się pytanie o punkt początkowy rysowanej linii:

1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kliknięcie ikony W wierszu poleceń pojawi się pytanie o punkt początkowy rysowanej linii: Uruchom program AutoCAD 2012. Utwórz nowy plik wykorzystując szablon acadiso.dwt. 2 Linia Odcinek linii prostej jest jednym z podstawowych elementów wykorzystywanych podczas tworzenia rysunku. Funkcję

Bardziej szczegółowo

Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt

Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt Zadanie: Utwórz szablon rysunkowy składający się z: - warstw - tabelki rysunkowej w postaci bloku (według wzoru poniżej)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1: Pierwsze kroki

Ćwiczenie 1: Pierwsze kroki Ćwiczenie 1: Pierwsze kroki z programem AutoCAD 2010 1 Przeznaczone dla: nowych użytkowników programu AutoCAD Wymagania wstępne: brak Czas wymagany do wykonania: 15 minut W tym ćwiczeniu Lekcje zawarte

Bardziej szczegółowo

ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:

ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: KLASA II GIMNAZJUM Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

4.Arkusz kalkulacyjny Calc

4.Arkusz kalkulacyjny Calc 4.Arkusz kalkulacyjny Calc 4.1. Okno programu Calc Arkusz kalkulacyjny Calc jest zawarty w bezpłatnym pakiecie OpenOffice.org 2.4. Można go uruchomić, podobnie jak inne aplikacje tego środowiska, wybierając

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

EXCEL. Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6. Instrukcja. dla Gimnazjum 36 - Ryszard Rogacz Strona 20

EXCEL. Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6. Instrukcja. dla Gimnazjum 36 - Ryszard Rogacz Strona 20 Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6 Tworzenie diagramów w arkuszu Excel nie jest sprawą skomplikowaną. Najbardziej czasochłonne jest przygotowanie danych. Utworzymy następujący diagram (wszystko

Bardziej szczegółowo

- biegunowy(kołowy) - kursor wykonuje skok w kierunku tymczasowych linii konstrukcyjnych;

- biegunowy(kołowy) - kursor wykonuje skok w kierunku tymczasowych linii konstrukcyjnych; Ćwiczenie 2 I. Rysowanie precyzyjne Podczas tworzenia rysunków często jest potrzeba wskazania dokładnego punktu na rysunku. Program AutoCad proponuje nam wiele sposobów zwiększenia precyzji rysowania.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa Narysujmy trójkąt prostokątny: przy pomocy narzędzia Odcinek między dwoma punktami poprowadźmy odcinek AB, następnie przy pomocy narzędzia Proste prostopadłe utwórzmy prostą do niego

Bardziej szczegółowo

Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2. Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta

Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2. Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2 Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta Opracowanie: mgr inż. Aleksandra Miętus na podstawie książki Autocad 2000 ćwiczenia praktyczne. wyd. Helion

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT INFORMATYKI STOSOWANEJ MODELOWANIE CZĘŚCI Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU SOLID EDGE

INSTYTUT INFORMATYKI STOSOWANEJ MODELOWANIE CZĘŚCI Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU SOLID EDGE INSTYTUT INFORMATYKI STOSOWANEJ MODELOWANIE CZĘŚCI Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU SOLID EDGE Łódź 2012 1 Program Solid Edge ST (Synchronous Technology) umożliwia projektowanie urządzeń technicznych w środowisku

Bardziej szczegółowo

Cel: Uczeń, przy użyciu programu GeoGebra, stworzy model symetrii osiowej i pozna jej własności

Cel: Uczeń, przy użyciu programu GeoGebra, stworzy model symetrii osiowej i pozna jej własności Temat: Symetria osiowa z GeoGebra Cel: Uczeń, przy użyciu programu GeoGebra, stworzy model symetrii osiowej i pozna jej własności Podstawa programowa Informatyka IV. Wykorzystanie komputera oraz programów

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

TWORZENIE SZEŚCIANU. Sześcian to trójwymiarowa bryła, w której każdy z sześciu boków jest kwadratem. Sześcian

TWORZENIE SZEŚCIANU. Sześcian to trójwymiarowa bryła, w której każdy z sześciu boków jest kwadratem. Sześcian TWORZENIE SZEŚCIANU Sześcian to trójwymiarowa bryła, w której każdy z sześciu boków jest kwadratem. Sześcian ZADANIE Twoim zadaniem jest zaprojektowanie a następnie wydrukowanie (za pomocą drukarki 3D)

Bardziej szczegółowo

Oficyna Wydawnicza UNIMEX ebook z zabezpieczeniami DRM

Oficyna Wydawnicza UNIMEX ebook z zabezpieczeniami DRM Oficyna Wydawnicza UNIMEX ebook z zabezpieczeniami DRM Opis użytkowy aplikacji ebookreader Przegląd interfejsu użytkownika a. Okno książki. Wyświetla treść książki podzieloną na strony. Po prawej stronie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3: Rysowanie obiektów w programie AutoCAD 2010

Ćwiczenie 3: Rysowanie obiektów w programie AutoCAD 2010 Ćwiczenie 3: Rysowanie obiektów w programie AutoCAD 2010 1 Przeznaczone dla: nowych użytkowników programu AutoCAD Wymagania wstępne: brak Czas wymagany do wykonania: 15 minut W tym ćwiczeniu Lekcje zawarte

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II POTĘGI zna pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym umie zapisać potęgę w postaci iloczynu umie zapisać iloczyn jednakowych

Bardziej szczegółowo

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 2c: wpisy oznaczone jako: (PI) PLANIMETRIA I, (SA) SUMY ALGEBRAICZNE, (FW) FUNKCJE WYMIERNE, (FWL) FUNKCJE

Bardziej szczegółowo

Arkusz strona zawierająca informacje. Dokumenty Excela są jakby skoroszytami podzielonymi na pojedyncze arkusze.

Arkusz strona zawierająca informacje. Dokumenty Excela są jakby skoroszytami podzielonymi na pojedyncze arkusze. ARKUSZ KALKULACYJNY Arkusz strona zawierająca informacje Dokumenty Excela są jakby skoroszytami podzielonymi na pojedyncze arkusze. Obszar roboczy fragment ekranu, na którym dokonywane są obliczenia Wiersze

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Symetrie) zna pojęcie punktów symetrycznych względem prostej, umie rozpoznawać figury

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

TWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH

TWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH R O Z D Z I A Ł 2 TWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH Rozdział ten poświęcony będzie dokładnemu wyjaśnieniu, w jaki sposób działają polecenia służące do rysowania różnych obiektów oraz jak z nich korzystać.

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

Zaznaczanie komórek. Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM

Zaznaczanie komórek. Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM Zaznaczanie komórek Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM Aby zaznaczyć blok komórek które leżą obok siebie należy trzymając wciśnięty LPM przesunąć kursor rozpoczynając od komórki

Bardziej szczegółowo

Kopiowanie, przenoszenie plików i folderów

Kopiowanie, przenoszenie plików i folderów Kopiowanie, przenoszenie plików i folderów Pliki i foldery znajdujące się na dysku można kopiować lub przenosić zarówno w ramach jednego dysku jak i między różnymi nośnikami (np. pendrive, karta pamięci,

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo