Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015
|
|
- Piotr Kołodziej
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1
2 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki służące do wykrywania i badania prawidłowości w otaczającej nas rzeczywistości. Prawo Dane pełne Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna Eksperyment Dane częściowe Rysunek 1: Schemat zakresu zastosowań rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej Rachunek prawdopodobieństwa na podstawie jakiegoś prawa (pełnej informacji o danych) określa szanse uzyskania konkretnego wyniku doświadczenia (danych częściowych). Statystyka matematyczna na podstawie wyników doświadczenia (danych częściowych) wnioskuje na temat praw ogólnych (danych pełnych) stosując aparat matematyczny rachunku prawdopodobieństwa. Przykład 1.1 (Rachunek prawdopodobieństwa). Jaka jest szansa wyrzucenia takiej samej liczby oczek w dwóch rzutach rzetelną kostką do gry? Partię A popiera 20% dorosłych obywateli. Jaka jest szansa, że wśród losowo wybranych 100 obywateli partię A popiera mniej niż 15 osób? Przykład 1.2 (Statystyka matematyczna). W 100 seriach dwóch rzutów kostką do gry 24 razy uzyskano tę samą liczbę oczek. Co możemy powiedzieć o rzetelności tej kostki? Wśród losowo wybranych 100 obywateli partię B popiera 15 osób. Co możemy powiedzieć o poparciu dla tej partii wśród ogółu obywateli? 1.1 Metoda Monte Carlo Eksperyment losowy - proces którego wyniku nie można z góry przewidzieć. Metoda Monte Carlo to technika służąca do symulacji eksperymentu losowego za pomocą ciągu liczb losowych Metoda MC umożliwia przybliżone rozwiązanie większości problemów z zakresu prawdopodobieństwa i statystyki.
3 Symulacje Monte Carlo Aby przeprowadzać symulacje MC konieczny jest jakiś język programowania zawierający dwa elementy: pętlę oraz generator liczb losowych np.: klasyczne języki programowania: FORTRAN, C, Pascal, Java, C++ interpretery biurowych arkuszy kalkulacyjnych: OpenOffice, Excel środowiska obliczeniowe: Matlab, Mathematica, SAS, ROOT pakiety statystyczne: Statistica, SPSS, S-plus, R Liczby pseudolosowe w C W standardowej bibliotece C znajduje się generator liczb pseudolosowych rand Funkcja int rand(void) generuje liczbę całkowitą z przedziału 0-RAND_MAX. Przykład 1.3 (liczby pseudolosowe w C). Wynik. int N = 5; // liczba losowań for( int i = 0; i < N; ++i) { printf("%d. liczba pseudolosowa to %d\n", i, rand()); } printf("liczba pseudolosowa z przedziału <1, 6> to %d\n", rand()%6 +1); 0. liczba pseudolosowa to liczba pseudolosowa to liczba pseudolosowa to liczba pseudolosowa to liczba pseudolosowa to Liczba pseudolosowa z przedziału <1, 6> to 5 Użycie operatora modulo (%) umożliwia generowanie liczb z mniejszego zakresu. Np. rand()%6+1 symuluje wynik rzutu kostką do gry. Symulacja rzutów kostka do gry Symulację rzutów kostką do gry wraz z opracowaniem graficznym poniższego rysunku wykonamy za pomocą polecenia: root adamczyk/stat/makro/rys_2.c W wyniku rzutu kostką do gry na jej górnej ściance pojawia się jedna z liczb od 1 do 6. Pojawienie się konkretnej liczby jest zdarzeniem losowym. Ilość wyrzuconych oczek to dyskretna zmienna losowa. Nie jesteśmy w stanie przewidzieć wyniku poszczególnego rzutu kostką, ale jeśli dokonamy długiej serii rzutów to zauważymy pewną prawidłowość. Polega ona na tym, że częstość zajścia zdarzenia losowego waha się wokół jakiejś stałej wartości. Prawidłowość ta leży u podstaw częstościowej definicji prawdopodobieństwa. Przedostatni wykres jest dobrym przybliżeniem rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej będącej wynikiem rzutu kostką. 2
4 rzutow rzutow rzutow Rysunek 2: Częstość wyników dla 10 2, 10 3 i 10 6 symulacji rzutu kostką do gry. Ciągła linia odpowiada teoretycznemu prawdopodobieństwu 1/6 pojawienia się konkretnej liczby oczek w pojedyńczym rzucie. Ostatni wykres przedstawia częstość pojawienia sie jednego oczka w funkcji liczby rzutów 2 Prawdopodobieństwo Analizując eksperyment losowy jesteśmy zainteresowani jego możliwymi wynikami. Definicja 2.1 (Przestrzeń zdarzeń). Przestrzenią zdarzeń, Ω, nazywamy zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego. Definicja 2.2 (Zdarzenia elementarne). Zdarzeniami elementarnymi nazywamy taką specyfikację wyników eksperymentu która spełnia warunki: rozłączność - zdarzenie elementarne wyklucza zajście inngo zdarzenia el.; zupełność - wszystkie zdarzenia elementarne wyczerpują wszystkie możliwe wyniki eksp.; Przestrzeń zdarzeń opisaną za pomocą zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych Przykład 2.1 (Dwa rzuty sześcienną kostką do gry). Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Ω 1 = {(x y) : x y { }} 3
5 Ω 1 = (1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) (1 6) (2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5) (2 6) (3 1) (3 2) (3 3) (3 4) (3 5) (3 6) (4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5) (4 6) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4) (5 5) (5 6) (6 1) (6 2) (6 3) (6 4) (6 5) (6 6) Ω 1 = 6 2 = 36 Przykład 2.2 (Suma oczek dwóch rzutów kostką do gry). Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Wyniki można przedstawić jako sumę wyrzuconych oczek. Ω 2 = { } Ω 2 = 11 Przykłady 2.1 i 2.2 pokazują, że dla tego samego eksperymentu losowowego możemy na różne sposoby wybrać przestrzeń zdarzeń elementarnych. Są to przykłady przestrzeni o skończonej ilości zdarzeń elementarnych. Przykład 2.3 (Nieskończona seria rzutów kostką). Rzucamy kostką do gry tak długo aż wypadnie 6 oczek. Wynik tego eksperymentu możemy opisać ilością wykonanych rzutów. Ω = {1 2 3 } Ω = (przeliczalna) Przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór liczb naturalnych bez zera. Jest to przykład przestrzeni o nieskończonej ale przeliczalnej ilości zdarzeń elementarnych. Przykład 2.4 (Rzut lotką do tarczy). Rzucamy lotką do tarczy o promieniu R. lub Ω = {(x y) : x 2 + y 2 R 2 } r = x 2 + y 2 ; Ω = {r : r [0 R]} Ω = (nieprzeliczalna) Przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór o nieskończonej i nieprzeliczalnej ilości zdarzeń elementarnych. Ze względu na liczbę zdarzeń elementarnych, przestrzenie zdarzeń elementarnych dzielimy na: skończone (przykłady 2.1, 2.2) nieskończone przeliczalne (przykład 2.3) nieprzeliczalne (przykład 2.4) 4
6 Definicja 2.3 (Zdarzenie losowe). Zdarzeniem losowym, A, nazywamy każdy podzbiór przestrzeni Ω, A Ω. Przykład 2.5 (Rzut dwiema kostkami). A-suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 5. A = {(1 1); (1 2); (1 3); (2 1); (2 2); (3 1)}; A Ω 1 A jest podzbiorem przestrzeni zdarzeń elementarnych z przykładu 2.1. W przestrzeni z przykładu 2.2 to samo zdarzenie jest podzbiorem złożonym z trzech zdarzeń elementarnych: Przykład 2.6 (Rzut dwiema kostkami). B-w dwóch rzutach kostką wypadła ta sama liczba oczek A = {2 3 4} A Ω 2 B = {(1 1); (2 2); (3 3); (4 4); (5 5); (6 6)}; B Ω 1 B nie da się przedstawić jako podzbioru przestrzeni Ω 2 B jest podzbiorem przestrzeni zdarzeń elementarnych z przykładu 2.1. W przestrzeni z przykładu 2.2 to samo zdarzenie nie jest podzbiorem przestrzeni zdarzeń elementarnych w tym sensie nie jest ono zdarzeniem losowym w tej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Jeżeli wynikiem eksperymentu jest zdarzenie elementarne zawarte w podzbiorze reprezentowanym przez zdarzenie losowe A to mówimy, że zdarzenie A zaszło. Relacje między zdarzeniami losowymi Definicja 2.4 (Zawieranie się zdarzeń). Zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B, A B, jeśli każde zdarzenie elementarne należące do zbioru A należy do zbioru B Definicja 2.5 (Równość zdarzeń). Zdarzenie A i B są równe, A = B, gdy A B i B A. Definicja 2.6 (Zdarzenie pewne). Jeśli zdarzenie losowe A jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych, A = Ω, to zdarzenie takie nazywamy pewnym Definicja 2.7 (Zdarzenie niemożliwe). Jeśli zdarzenie A jest zbiorem pustym, A =, to nazywamy je zdarzeniem niemożliwym. 5
7 Operacje na zdarzeniach Definicja 2.8 (Suma zdarzeń). Sumą (alternatywą) zdarzeń, A B, nazywamy zdarzenie zawierające te i tylko te zdarzenia elementarne które należą do któregokolwiek ze zdarzeń A i B Definicja 2.9 (Iloczyn zdarzeń). Jloczynem (koniunkcją) zdarzeń, A B, nazywamy zdarzenie zawierające te i tylko te zdarzenia elementarne które należą do obu zdarzeń A i B. Definicja 2.10 (Rozłączność zdarzeń). Zdarzenia A i B nazywamy rozłącznymi gdy A B =. Definicja 2.11 (Różnica zdarzeń). Różnicą zdarzeń, AB, nazywamy zdarzenie zawierające te i tylko te zdarzenia elementarne, które należą do zdarzenia A i nie należą do zdarzenia B. Definicja 2.12 (Zdarzenie przeciwne). Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A c = Ω A Twierdzenie 2.1 (Prawa rozdzielności). (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) 6
8 Twierdzenie 2.2 (Prawa De Morgana). (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Obowiązują pozostałe prawa teorii mnogości: prawa przemienności i łączności sumy i iloczynu. Wszystkie te prawa wynikają z definicji działań na zbiorach i ich prawdziwość można łatwo udowodnić samodzielnie. Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo zdarzenia A można określić na wiele sposobów. Najbardziej popularne to: Definicja częstościowa n N (A) P (A) = lim N N Definicja klasyczna (logiczna) oparta o aksjomaty Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo zdarzenia obliczane jest na podstawie wydedukowanych na drodze logicznego wnioskowania prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych. Definicja subiektywna (współczesna, Bayesowska) Prawdopodobieństwo to miara stopnia zaufania w to że zderzenia zaszło lub zajdzie. Definicja częstościowa prawdopodobieństwa jest podstawą metody Monte Carlo. Definicja klasyczna będzie podstawą większości kolejnych wykładów. O definicji subiektywnej wspomnę zaledwie kilka razy. Współcześnie większość matematyków przyznaje, że definicja częstościowa oraz klasyczna nie definiują pojęcia prawdopodobieństwa a jedynie określają praktyczne sposoby jego obliczania. Definicja subiektywna definiuje prawdopodobieństwo ale definicja ta jest nie do przyjęcia przez naukowców którzy uważają że prawdopodobieństwo jest wielkością absolutną niezależną od stanu naszej obecnej wiedzy. Problemy te obrazują następujące przykłady: Jakie jest prawdopodobieństwo, że jutro będzie padał śnieg w Krakowie; Jakie jest prawdopodobieństwo, że w Krakowie padał deszcz w czasie bitwy pod Grunwaldem? Z punktu widzenia definicji częstościowej oraz klasycznej obu tym zdarzeniem możemy przypisać prawdopodobieństwo 0 lub 1. Problem polega na tym, że w chwili obecnej nie wiemy która z tych dwóch możliwości była (będzie) zrealizowana. Definicja subiektywna usuwa tę niedogdność przypisując tym zdarzeniom prawdopodobieństwo na podstawie stanu naszej obecnej wiedzy. Definicja 2.13 (Pewniki rachunku prawdopodobieństwa (aksjomaty Kołmogorowa)). Miarą prawdopodobieństwa jest funkcja, P (A), przyporządkowująca każdemu zdarzeniu losowemu A Ω liczbę rzeczywistą w taki sposób, że: 1. P (A) 0 2. P (Ω) = 1 3. P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) + jeśli A 1 A 2 A 3... są parami rozłączne. Twierdzenie 2.3 (Operacje na prawdopodobieństwie). Niech A B C Ω P (A c ) = 1 P (A) P ( ) = 0 A B P (A) P (B) 7
9 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) +P (A B C) Dowody oparte o pewniki Kołmogorowa obowiązują na ćwiczeniach. Ostatnie dwa twierdzenia nosza nazwę zasady włączeń i wyłączeń odpowiednio dla dwóch i trzech zdarzeń losowych. Przykład 2.7 (Zasada włączeń i wyłączeń). Wybieramy jedną z liczb z pr. 1/120. Jakie jest pr. wybrania liczby podzielnej przez 2 lub 3 lub 5? A k - wybrano liczbę podzielną przez k P (A 2 ) = 1 2 P (A 3 ) = 1 3 P (A 5 ) = 1 5 P (A 2 A 3 ) = P (A 6 ) = 1 6 P (A 2 A 5 ) = P (A 10 ) = 1 10 Twierdzenie 2.4 (Zasada włączeń i wyłączeń). Niech A 1 A 2... A n Ω P (A 3 A 5 ) = P (A 15 ) = 1 15 P (A 2 A 3 A 5 ) = P (A 30 ) = 1 30 P (A 2 A 3 A 5 ) = = P (A 1 A 2 A n ) = +. n P (A k ) i=1 n P (A i A j ) i<j n i<j<k P (A i A j A k ) ( 1) n+1 P (A 1 A 2 A n ) 8
10 Dowód na drodze indukcji matematycznej na ćwiczeniach. Twierdzenie 2.5 (Funkcja prawdopodobieństwa). Niech Ω = {ω 1 ω 2... } będzie skończoną lub przeliczalna przestrzenia zdarzeń elementarnych. Każda nieujemna funkcja f(ω) spełniająca warunek unormowania: f(ω) = 1 ω Ω definiuje prawdopodobieństwo P (A), A Ω w postaci P (A) = f(ω) ω A spełniające pewniki Kołmogorowa Dowód. 1. P (A) = ω A f(ω) 0 2. P (Ω) = ω Ω f(ω) = 1 3. P (A 1 A 2 A 3 ) = ω A 1 A 2 A 3 f(ω) = f(ω) + f(ω) + f(ω) + ω A 1 ω A 2 ω A 3 = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) + Wniosek 1 (Przeliczalna przestrzeń zdarzeń elementarnych). Niech Ω = {ω 1 ω 2... } będzie przeliczalną przestrzenią zdarzeń elementarnych. P (ω i ) = f(ω i ) = p i P (Ω) = i P (ω i ) = i p i = 1 P (A) = P (ω i ) = i:ω i A i:ω i A p i Liczby p i nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na przestrzeni Ω. Znając rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni zdarzeń elementarnych możemy obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego. W pewnych sytuacjach szczególnie prosto zaproponować na podstawie logicznego wnioskowania postać rozkładu prawdopodobieństwa na przestrzeni zdarzeń elementarnych. 9
11 Twierdzenie 2.6 (Prawdopodobieństwo kombinatoryczne). Niech Ω = {ω 1 ω 2... ω N } będzie skończoną przestrzenia równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych. Jeśli zdarzeniu losowemu A odpowiada zbiór zdarzeń elementarnych o liczebności K to P (A) = K N Dowód. 1 = P (Ω) = P (A) = p 1 = p 2 = = p N = C N p i = NC C = 1 N = p i i=1 k:ω k A p k = k:ω k A 1 N = K N Przykład 2.8 (Rzut rzetelną kostką do gry). Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A - wyrzucenia 6 oczek w rzucie rzetelną kostką do gry? Ω = { } A = {6} P (A) = 1/6 Przykład 2.9 (Prawdopodobieństwo kombinatoryczne). Rzucamy dwukrotnie rzetelną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A - wypadła jedna reszka i jeden orzeł? Ω = {(O O); (R O); (O R); (R R)} A = {(R O); (O R)} P (A) = 1 2 Ω = {0 1 2} A = {1} P (A) = 1 3 Założenie o równym prawdopodobieństwie zdarzeń elementarnych jest bardzo istotne. Zdarzenia elementarne przestrzeni Ω nie są równie prawdopodobne. Istnieje analogiczne twierdzenie do twierdzenia 2.5 dla przypadku nieprzeliczalnej przestrzeni zdarzeń elementarnych w którym sumy przechodzą w całki. Operacja przejścia granicznego nakłada w tym przypadku dodatkowe wymagania na funkcję f(ω) oraz na same zdarzenia elementarne o których nie będę wspominał. 10
12 0.5 Prawdopodobienstwo Ilosc orlow Rysunek 3: Wyniki symulacji MC rzutu dwiema monetami. Rozkład prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych będących liczbą wyrzuconych orłów w rzucie dwiema monetami. Twierdzenie 2.7 (Funkcja gęstości prawdopodobieństwa). Niech Ω = {ω} będzie nieprzeliczalną przestrzenia zdarzeń elementarnych. Każda nieujemna funkca f(ω) spełniajaca warunek unormowania f(ω) = 1 f(ω)dω = 1 Ω ω Ω definiuje prawdopodobieństwo P (A), A Ω P (A) = f(ω) P (A) = ω A spełniające pewniki Kołmogorowa. A f(ω)dω Odpowiednikiem prawdopodobieństwa kombinatorycznego dla nieprzeliczalnych przestrzeni zdarzeń elementarnych jest prawdopodobieństwo geometryczne. Twierdzenie 2.8 (Prawdopodobieństwo geometryczne). Niech Ω = {ω} będzie nieprzeliczalna przestrzenia równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych a A zdarzeniem losowym A Ω. Jeśli zbiory Ω i A maja interpretację geometryczna (np. linia, płaszczyzna, obszar trójwymiarowy,...) o skończonej mierze geometrycznej Ω = dω A = dω Ω A (np. długość, powierzchnia, objętość,... ) to: P (A) = A Ω 11
13 Dowód. 1 = Ω f(ω)dω = C P (A) = A f(ω) = C Ω dω = C Ω C = 1 Ω = f(ω) dω = A Ω f(ω)dω = 1 Ω A Przykład 2.10 (Prawdopodobieństwo geometryczne). Rzucamy lotką do tarczy o promieniu R. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A- punkt trafienie leży w odległości mniejszej niż R/2 od środka tarczy? 3 Kombinatoryka Ω = {(x y) : x 2 + y 2 < R 2 } Ω = πr 2 A = {(x y) : x 2 + y 2 < (R/2) 2 } A = πr 2 /4 P (A) = A Ω = 1 4 Prawdopodobieństwo kombinatoryczne zdarzenia A wymaga obliczenia ilości zdarzeń elementarnych sprzyjących temu zdarzeniu oraz liczebności przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Ich ręczne liczenia jest niepraktyczne. Dlatego stosowanie tego twierdzenia wymaga wypracowania technik obliczania liczebności konkretnych zbiorów zdarzeń elementarnych. Dział matematyki zajmujący się tymi zagadnieniami nazywamy kombinatoryką. Większość zagadnień kombinatorycznych daje się sprowadzić do kilku sposobów wybierania rozróżnialnych elementów z n-elementowego zbioru np. A = {a 1 a 2... a n }; Wszystkie obiekty makroświata są potencjalnie rozróżnialne; Takie same obiekty możemy ponumerować dzięki czemu stają się rozróżnialne; Jeśli po wykonaniu eksperymentu nie będziemy zwracać uwagi na numeracje, to musimy dojść do tych samych wyników które otrzymamy bez rozróżniania takich samych obiektów. Nierozróżnialne obiekty pojawiąja się w mechanice kwantowej. Twierdzenie 3.1 (Eksperyment k-stopniowy). Jeśli jakiś eksperyment można przedstawić jako k-stopniową procedurę, przy czym i-ta operacja może być wykonana na l i (i = 1... k) sposobów to eksperyment można wykonać na l 1 l 2 l k sposobów. Przykład 3.1 (Czterocyfrowe liczby parzyste). Ile jest różnych czterocyfrowych liczb parzystych. Należy założyć, że zero nie występuje na pierwszym miejscu a każda cyfra może się powtarzać dowolną ilość razy. Rozwiazanie. Kolejne cyfry możemy wybrać na 9,10,10 i 5 sposobów zatem: Liczba parzystych liczb czterocyfrowych = = 4500 Definicja 3.1 (Wariacje z powtórzeniami). Uporządkowany ciąg k-elementów wybranych ze zbioru A ze zwracaniem nazywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeniami. 12
14 Twierdzenie 3.2 (Wariacje z powtórzeniemi). Liczba możliwych k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami elementów zbioru n-elementowego wynosi V k n = nk Dowód. Jest to k-stopniowy eksperyment. i-ta operacja może być wykonana na l i = n sposobów. V k n = l 1 l 2 l k = n k Przykład 3.2 (Liczba aminokwasów). Każda trójka spośród czterech nukleotydów A, C, T i G koduje jeden aminokwas w łańcuchu nici DNA. Ile jest możliwych a priori różnych aminokwasów? Rozwiazanie. Każda 3-wyrazowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru czterech nukleotydów A = {A C T G} potencjalnie koduje jeden aminokwas. Ich liczba wynosi zatem V 3 4 = 4 3 = 64 Definicja 3.2 (Wariacje bez powtórzeń). Uporządkowany ciąg k-elementów wybranych ze zbioru A bez zwracania nazywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń. Twierdzenie 3.3 (Wariacje bez powtórzeń). Liczba możliwych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń elementów zbioru n-elementowego wynosi V k n = n (n k) Dowód. Jest to k-stopniowy eksperyment. i-ta operacja może być wykonana na l i = n i + 1 sposobów. V k n = l 1 l 2 l k = n (n 1) (n k + 1) = n (n k) Definicja 3.3 (Permutacje bez powtórzeń). Jeśli k = n to wybieranie bez zwracania wyczerpuje wszystkie elementy zbioru n-elementowego. Wariacje n-wyrazowe bez powtórzeń elementów ze zbioru n-elementowego nazywamy permutacjami bez powtórzeń. P n = V n n = n (n n) = n Definicja 3.4 (Permutacje z powtórzeniami). Uporządkowany ciąg k-elementów wybranych ze zbioru A, przy czym kolejne elementy zbioru A powtarzają się odpowiednio k 1 k 2... k n razy (k = k 1 + k k n ), nazywamy k-wyrazową permutacją z powtórzeniami odpowiednio k 1 k 2... k n -krotnymi kolejnych elementów zbioru A. W wariacjach z powtórzeniami elementy zbioru mogą się powtarzać dowolną ilość razy; W permutacjach z powtórzeniami krotności każdego elementu są ściśle określone. 13
15 Przykład 3.3 (Słowo STATYSTYKA). Ile różnych słów można ułożyć ze zbioru A = {S T A Y K} w których kolejne litery powtarzają się dokładnie razy? Rozwiazanie. Rozważmy permutacje bez powtórzeń 10-literowego zbioru rozróżnialnych liter: B = {S 1 S 2 T 1 T 2 T 3 A 1 A 2 Y 1 Y 2 K 1 } gdzie te same litery zostały ponumerowane. Po usunięciu numerów przykładową permutacją (z powtórzeniami) jest słowo ST AT Y ST Y KA Słowo STATYSTYKA pojawi się razy wśród permutacji elementów zbioru B. Zatem liczba permutacji z powtórzeniami zbioru A wynosi: Twierdzenie 3.4 (Permutacje z powtórzeniami). Liczba możliwych k-wyrazowych permutacji n-elementowego zbioru z powtórzeniami, odpowiednio k 1 k 2... k n - krotnymi kolejnych elementów tego zbioru wynosi (k = k 1 + k k n ) Dowód. k P k1k2...kn k = k 1 k 2 k n Permutacje z powtórzeniami A = {a 1 a 2... a n } odpowiednio k 1 k 2... k n -krotne zastępujemy: permutacjami bez powtórzeń B = {b 1 b 2 b k }, gdzie k i rozróżnialnych elementów zbioru B odpowiada elementowi a i ; k = k 1 + k k n Każda permutacja z powtórzeniami zbioru A powtarza się k 1 k 2 k n -krotnie wśród permutacji bez powtórzeń zbioru B. Zatem P P k1k2...kn k k k = = P k1 P k2 P kn k 1 k 2 k n 14
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoSpis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
wykład : Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa STTYSTYK OPISOW Wanda Olech Katedra Genetyki i Ochrony Zwierząt Statystyka zajmuje się Zjawiskami losowymi - które bada przez doświadczenie U podstaw współczesnej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowo3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Statystyka Pierwotnie oznaczała stan rzeczy (od status) i do XVIII wieku używana dla określenia zbioru wiadomości o państwie Statystyka
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoPo co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji
ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna
9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej
Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowo