Czasopismo dla nauczycieli

Transkrypt

1 oklad 1-4 Ms 55 nr 55 maj/czerwiec/2010 Czasopismo dla nauczycieli cena 8 z³ ISSN Co to jest poziom morza? Problem urodzin Amerykañski porz¹dek na mapie

2 ZOSTAŃ PRENUMERATOREM MATEMATYKI W SZKOLE Wersja papierowa Matematyki w Szkole jest dostępna jedynie w prenumeracie, którą można zamówić na dwa sposoby (informacje na temat wersji elektronicznej znajdują się na stronie 1) dokonać płatności przelewem internetowym, na poczcie lub w banku. W tym przypadku: cena jednego numeru wynosi 8,00 zł, a cena rocznej prenumeraty obejmującej pięć numerów 40,00 zł, prosimy pamiętać o wpisaniu naszych danych, które podaliśmy na dole strony (wzór blankietu jest dostępny na stronie swoich danych oraz zamawianych numerów pisma, jeżeli prenumerata jest opłacana i odbierana przez instytucję (np. szkołę), w rubryce NAZWA ZLECENIODAWCY należy wpisać nazwę, adres oraz NIP tej instytucji, jeżeli adres płacącego za prenumeratę jest inny niż odbiorcy gazety (np. gmina kupuje czasopismo dla szkoły), prosimy zgłaszać to indywidualnie faksem na numer , podając adres płatnika i odbiorcy, a w rubryce NAZWA ZLECENIODAWCY wpisywać dane instytucji płacącej za pismo (a nie odbierającej). 2) zapłacić przy odbiorze pierwszego numeru. W tym przypadku: należy wypełnić i przesłać Zamówienie na roczną prenumeratę Matematyki w Szkole (formularz dostępny na stronie cena prenumeraty jednego kompletu wynosi 49,50 zł (w tym 9,50 zł koszt pobrania), czasopisma będą wysyłane w osobnych przesyłkach, a opłata za prenumeratę będzie dokonywana przy odbiorze pierwszej przesyłki, formularz Zamówienie na roczną prenumeratę Matematyki w Szkole prosimy przesłać faksem na numer lub pocztą na adres: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 52, skrytka pocztowa 59. Wszelkie pytania i wątpliwości lub chęć zakupu numerów archiwalnych prosimy zgłaszać drogą elektroniczną (prenumerata@gwo.pl) lub telefonicznie ( ). Dane do przelewu: NAZWA ODBIORCY: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe sp. z o.o Gdańsk, Grunwaldzka 413 RACHUNEK ODBIORCY: NAZWA ZLECENIODAWCY: imię, nazwisko i adres osoby opłacającej prenumeratę lub nazwa, adres oraz NIP instytucji (np. szkoły), która opłaca i odbiera prenumeratę TYTUŁ PRZELEWU: MS NR 56-60, liczba kompletów KWOTA: 40 zł liczba kompletów

3 Matematyka w geografii Nasi uczniowie chodzą nie tylko na lekcje matematyki to nie jest zbyt odkrywcze stwierdzenie. Czy jednak zdajemy sobie sprawę, jak wiele matematyki jest na tych innych lekcjach? Łatwo się zgodzimy, że uczniowie korzystają z niej na fizyce. Zdarza się nawet, że pojęcia matematyczne pojawiają się najpierw na fizyce (np. wektory), a dopiero potem na lekcjach matematyki. A co się dzieje na zajęciach z chemii, geografii czy biologii? Nawet gdy zajrzy się tylko do podstaw programowych tych przedmiotów, widać, że jest tam sporo matematyki. A gdy przejrzymy podręczniki do chemii czy geografii, szybko się zorientujemy, że te same matematyczne problemy na lekcjach z różnych przedmiotów uczniowie rozwiązują za każdym razem inaczej. Trudno się dziwić, że czasem im się to wszystko plącze. Może w takim razie nauczyciele matematyki powinni wiedzieć, jakiej matematyki uczą chemicy czy geografowie? Tematem tego numeru jest Matematyka i geografia. W prezentowanych artykułach zobaczą Państwo nie tylko to, jak z matematyki korzystają geografowie, ale przede wszystkim znajdą Państwo wiele pomysłów na ciekawe i pożyteczne lekcje matematyki. Nie mówiąc już o nieznanych, zaskakujących informacjach: Czy wiedzą Państwo na przykład, jak się mierzy poziom morza, skoro różne akweny mają różne poziomy? Jeśli nie, to proszę zajrzeć do artykułu Marcina Brauna na stronach Oprócz tematu numeru znajdą też Państwo omówienie innych interesujących zagadnień. Polecam szczególnie artykuł Michała Szurka (s ), pokazujący, że banalna z pozoru bryła kula ma dużo ciekawych własności, zarówno takich, które są dostępne dla ucznia szkoły podstawowej, jak i takich, które zainteresują licealistę. Proszę też pamiętać o naszych stałych rubrykach: listach z Antwerpii i z Wisconsin, o Trzynastu księgach, Śladami Euklidesa, no i o Matematołku. Życzę przyjemnej lektury i miłych wakacji! (ms55) str. 2

4 SPIS TREŚCI EDUKACJA Jacek Lech Listy z Antwerpii 4 List od Czytelnika 6 Aleksandra Golec Listy z Wisconsin 8 TEMAT NUMERU MATEMATYKA I GEOGRAFIA Jerzy Janowicz Geo-metria i geo-grafia 10 Marcin Braun Co to jest poziom morza? 13 List od Czytelnika 17 Marzenna Grochowalska O gradusach, stopniach i związkach 18 Jacek Lech Amerykański porządek na mapie 21 Marcin Braun Jak duży jest Księżyc? 25 NAUCZANIE MATEMATYKI Michał Szurek Sfera zainteresowań czy kula u nogi? 27 Aneta Góra Piramidy 31 Marcin Braun Kości, paradoks i złota liczba 33 Zdzisław Nuczuński Problem urodzin 35 Agnieszka Piecewska-Łoś Trzynaście ksiąg. Prostokąty zamiast nawiasów 37 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Palindromy liczbowe 39 Marzena Filipowicz-Chomko, Edward Zych Śladami Euklidesa. Wielościany Archimedesa 41 List od Czytelnika 44 Artur Kril A tu tyka matematyka 45 Michał Kremzer Kwadrat liczby naturalnej 51 MATERIAŁY Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Wielkie możliwości kartoników. Równania z jedną niewiadomą 52 Jolanta Wojtoń Karty pracy dla słabych uczniów, cz Adam Wojaczek Zestawy maturalne arkusz 5 59 ZOSTATNIEJŁAWKI Naiwna ciotka Unia 62 KONKURS. Hashi 64 szkoła podstawowa gimnazjum szkoła ponadgimnazjalna

5 TEMAT NUMERU JAK DUŻY JEST KSIĘŻYC? Marcin Braun Nieziemska okazja do prostych rachunków z podobieństwa i trygonometrii W tablicach astronomicznych można łatwo sprawdzić, że nasz naturalny satelita ma średnicę około 3500 km. Jednak, gdy obserwujemy go z Ziemi, z odległości wynoszącej średnio 384 tys. km, wydaje się mniejszy. To znaczy jak duży? Wielu osobom widoczna na niebie wielkość Księżyca kojarzy się z wymiarami jabłka, arbuza, a nawet dyni1. widziana z daleka i mniejsza z bliska wyglądają na równie duże. Otóż oznacza to, że kąt widzenia jest taki sam. Możemy więc skorzystać z proporcji: x 3500 km = 25 cm km x 2,3 mm fot. Patryk Fąs Która z tych odpowiedzi jest prawidłowa? Najpierw powinniśmy ustalić, z jakiej odległości mielibyśmy patrzeć na jabłko czy dynię. Wybierzmy więc odległość najlepszego widzenia taką, w jakiej młody człowiek2 najczęściej trzyma przed oczami książkę. Przyjmuje się, że powinna być ona równa 25 cm. Teraz będziemy mogli znaleźć właściwą odpowiedź. Najpierw jednak trzeba przypomnieć, co to znaczy, że większa rzecz Księżyc zatem wygląda tak, jakby był taki mały: O. Trudno w to uwierzyć, prawda? Skoro nie tak łatwo uwierzyć, a w danych astronomicznych i w obliczeniach błędów nie widzimy, możemy ten wynik sprawdzić doświadczalnie. Wystarczy w księżycową noc wyjść z domu z kartką, w której wcześniej wycięliśmy okrągły otwór o średnicy 2 mm. Gdy zbliżymy kartkę do oka na jakieś 25 cm, powinniśmy w tej maleńkiej dziurce zobaczyć cały Księżyc. Lekcje o podobieństwie Ciekawostka na temat wielkości Księżyca i propozycja jej sprawdzenia pasowałyby raczej do pisma Astronomia na podwórku. Wróćmy więc do szkolnej rzeczywistości. Standard wymagań egzaminacyjnych dla zakresu podstawowego zawiera następujący punkt: (ms55) str

6 26 TEMAT NUMERU [7b) Zdający] wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym. Konteksty praktyczne pojawiały się już do tej pory, sądzę jednak, że warto do nich dołączyć wielkość Księżyca widzianego na niebie. Choćby dlatego, że wynik obliczeń jest tak daleki od intuicji. Zanim opuścimy podobieństwo, by zająć się innym zagadnieniem, możemy zadać jeszcze jedno pytanie: Słońce znajduje się w odległości około 150 mln km od Ziemi. Ile razy Słońce jest większe od Księżyca? Aby znaleźć odpowiedź, trzeba wykorzystać podaną wcześniej odległość z Ziemi do Księżyca oraz przypomnieć sobie, że Księżyc i Słońce obserwowane z Ziemi wydają się obserwatorowi równie duże. Trygonometria Obliczyliśmy, że Księżyc widać z Ziemi pod takim kątem, jak literę O z odległości 25 cm. Jaka jest miara tego kąta? Widzimy, że: tg γ 2 = ,0046, a stąd za pomocą kalkulatora obliczamy, że: γ 0,5. A zatem Księżyc widać na niebie pod kątem około pół stopnia 3. Znowu niespodzianka: tak mały kąt trudno byłoby nawet narysować na kartce. Tangens w pamięci Przejdźmy teraz do zakresu rozszerzonego. Wiadomo, że sinus małego kąta równy jest w dobrym przybliżeniu jego mierze łukowej. Tak samo jest z tangensem (skoro cosinus jest bliski jedności): γ sin γ tg γ 2tg γ 2 Ta ostatnia wielkość to stosunek średnicy Księżyca do jego odległości od Ziemi. Wynosi on , czyli nieco mniej niż Jest to niewielka liczba, więc można skorzystać z przybliżenia i powiedzieć, że kąt γ ma trochę mniej niż 1 radiana. Ponieważ 100 zaś 1 radian to nieco mniej niż 60 1,kąt 100 radiana wynosi trochę mniej niż 0,6 powiedzmy około połowy stopnia. Tym razem obliczyliśmy to w pamięci, bez tablic, kalkulatora czy choćby działań pisemnych! Po to powstała trygonometria Im więcej ciekawych zastosowań matematyki, tym bardziej jest ona dla uczniów interesująca. Ważne jednak, aby nie były to zastosowania wymyślane na siłę, lecz sytuacje, w których matematyka rzeczywiście się przydaje. Trygonometria powstała właśnie po to, aby wykonywać obliczenia przydatne w astronomii. Przez całe wieki rozwijali ją głównie astronomowie, a nie miłośnicy czystej matematyki. Trudno więc o bardziej naturalny przykład zastosowania. 1 W szczególnych okolicznościach zajmuje nawet pół świata brzmiała najciekawsza wypowiedź, jaką słyszałem. Drugie pół to osoba, z którą go oglądamy. 2 Jak wiadomo, starsi trzymają książkę coraz dalej od oczu. 3 Poprawność wyniku można sprawdzić w tablicach astronomicznych.

7 NAUCZANIE MATEMATYKI 31 PIRAMIDY Aneta Góra W poprzednim numerze Matematyki w Szkole pisałam na temat chain sudoku. Tym razem zachęcam do zapoznania się z piramidami. To na razie mało popularna łamigłówka logiczna, ale warto pokazać ją uczniom może zaczną wyszukiwać w internecie lub w prasie mniej znane zagadki. Piramidy przypominają sudoku, ale tym razem kilka liczb jest wpisanych na zewnątrz kwadratu. Oto przykładowa plansza o wymiarach 4 4 oraz zasady 1 : widać cztery piramidy, a więc w pola należy wpisaćkolejnoliczby1,2,3,4: Jeśli obok diagramu jest wpisana liczba 2, to wtedy wiersz możemy uzupełnić na przykład tak: Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie zaczynamy od uzupełnienia wiersza, obok którego jest wpisana liczba 4. Liczby od 1 do n należy tak wpisać do diagramu o wymiarach n n, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie każda z nich wystąpiła dokładnie raz. Wpisana do diagramu liczba oznacza wysokość piramidy zbudowanej w danym polu. Na przykład: W drugiej kolumnie pod liczbą 3 musimy wpisać liczbę 4. Liczby umieszczone na zewnątrz planszy informują, ile piramid jest widocznych w danym rzędzie czy kolumnie z tego miejsca (wyższe piramidy zasłaniają niższe). Na przykład: jeśli obok planszy 4 4 znajduje się liczba 4, oznacza to, że z tego miejsca

8 32 NAUCZANIE MATEMATYKI Następnie liczbę 4 wpisujemy w ostatnim polu pierwszego rzędu i dalej w odpowiednim polu czwartego wiersza. W czwartym wierszu z lewej strony liczby 4 wpisujemy 1 (można łatwo sprawdzić, że 2 nie może się znaleźć w tym polu). W internecie można znaleźć gotowe diagramy do uzupełnienia, ale lepiej je przygotować samodzielnie. Wystarczy narysować planszę o wymiarach n n, wpisać ołówkiem rozwiązanie i umieścić kilka liczb na zewnątrz kwadratu. Następnie trzeba wymazać liczby wpisane wewnątrz kwadratu i sprawdzić, czy łamigłówka ma tylko jedno rozwiązanie. Podczas lekcji uczniowie mogą przygotować takie diagramy samodzielnie albo w grupach, a potem wymieniać się nimi lub rozwiązywać wspólnie na forum klasy. Można także poprosić uczniów, żeby spróbowali opracować strategię rozwiązywania tego typu zagadek. Oto dwa diagramy przygotowane przeze mnie: Postępując zgodne z zasadą, że liczby w rzędach i kolumnach nie mogą się powtarzać, uzupełniamy dalej kwadrat. Wpisanie pozostałych liczb nie powinno uczniom sprawić problemu. 1 Łamigłowka pochodzi ze strony glowki.net/img/rodzaje lamiglowek.pdf.

9 oklad 1-4 Ms 55 nr 55 maj/czerwiec/2010 Czasopismo dla nauczycieli cena 8 z³ ISSN Co to jest poziom morza? Problem urodzin Amerykañski porz¹dek na mapie