nr 58 styczeñ/luty/2011 Czasopismo dla nauczycieli cena 8,40 z³ ISSN Listy z Antwerpii Skàd wiadomo, ýe Jak ustawiã dziaùo?

Transkrypt

1 styczeñ/luty/2011 nr 58 Czasopismo dla nauczycieli cena 8,40 z³ ISSN Listy z Antwerpii Skàd wiadomo, ýe Jak ustawiã dziaùo?

2 ZOSTAŃ PRENUMERATOREM MATEMATYKI W SZKOLE Wersja papierowa Matematyki w Szkole jest dostępna jedynie w prenumeracie, którą można zamówić na dwa sposoby (informacje na temat wersji elektronicznej znajdują się na stronie 1) dokonać płatności przelewem internetowym, na poczcie lub w banku. W tym przypadku: cena jednego numeru wynosi 8,40 zł, a cena rocznej prenumeraty obejmującej pięć numerów 42,00 zł, prosimy pamiętać o wpisaniu naszych danych, które podaliśmy na dole strony (wzór blankietu jest dostępny na stronie swoich danych oraz zamawianych numerów pisma, jeżeli prenumerata jest opłacana i odbierana przez instytucję (np. szkołę), w rubryce NAZWA ZLECENIODAWCY należy wpisać nazwę, adres oraz NIP tej instytucji, jeżeli adres płacącego za prenumeratę jest inny niż odbiorcy gazety (np. gmina kupuje czasopismo dla szkoły), prosimy zgłaszać to indywidualnie faksem na numer , podając adres płatnika i odbiorcy, a w rubryce NAZWA ZLECENIODAWCY wpisywać dane instytucji płacącej za pismo (a nie odbierającej). 2) zapłacić przy odbiorze pierwszego numeru. W tym przypadku: należy wypełnić i przesłać Zamówienie na roczną prenumeratę Matematyki w Szkole (formularz dostępny na stronie cena prenumeraty jednego kompletu wynosi 51,50 zł (w tym 9,50 zł koszt pobrania), czasopisma będą wysyłane w osobnych przesyłkach, a opłata za prenumeratę będzie dokonywana przy odbiorze pierwszej przesyłki, formularz Zamówienie na roczną prenumeratę Matematyki w Szkole prosimy przesłać faksem na numer lub pocztą na adres: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 52, skrytka pocztowa 59. Wszelkie pytania i wątpliwości lub chęć zakupu numerów archiwalnych prosimy zgłaszać drogą elektroniczną (prenumerata@gwo.pl) lub telefonicznie ( ). Dane do przelewu: NAZWA ODBIORCY: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe sp. z o.o Gdańsk, Grunwaldzka 413 RACHUNEK ODBIORCY: NAZWA ZLECENIODAWCY: imię, nazwisko i adres osoby opłacającej prenumeratę lub nazwa, adres oraz NIP instytucji (np. szkoły), która opłaca i odbiera prenumeratę TYTUŁ PRZELEWU: MS NR 58-62, liczba kompletów KWOTA: 42 zł liczba kompletów

3 Tu trzeba myśleć Obserwowałem kiedyś przypadkiem, jak mój kolega wuefista prowadził lekcję. Chłopcy z zapałem grali w piłkę, a nauczyciel dawał im rady zza linii boiska. Nie był zadowolony ze swoich uczniów i w końcu zdenerwowany krzyknął: To nie matematyka, tu trzeba myśleć!. Ten żart jest bardziej gorzki, niż się to wydawało mojemu koledze. Niestety, na wielu lekcjach matematyki nie trzeba myśleć, wystarczy wiedzieć jak to się robi. I nie jest to wada wyłącznie polskich szkół. Te same problemy istnieją w wielu innych krajach, ale polska szkoła ma swoją specyfikę. Opublikowane właśnie wyniki kolejnej edycji badań PISA pokazują, że nasi gimnazjaliści wypadają zupełnie nieźle w porównaniu z uczniami z innych krajów. Zwłaszcza jeśli się weźmie pod uwagę nakłady finansowe na oświatę w różnych państwach. Okazuje się, że umiejętności matematyczne sprawdzane testami PISA nasi uczniowie opanowali na takim samym poziomie jak uczniowie francuscy, angielscy, norwescy czy szwedzcy, a wyraźnie lepsi są od Hiszpanów, Włochów czy Amerykanów. Postęp w porównaniu z poprzednimi badaniami widać niemal w każdym obszarze. Wyjątkiem są zadania, w których trzeba się wykazać umiejętnością samodzielnego myślenia. Jest to oczywiście umiejętność z wyższej półki, nie wszystkie zadania są dla wszystkich osiągalne. Kłopot polega na tym, że nawet najlepsi polscy uczniowie radzą sobie gorzej niż najlepsi uczniowie z innych krajów. Dokładniejszy opis wyników badania PISA znajdą Państwo w artykule Franciszki Janowskiej (s. 4 7), a pomysłów na lekcje ćwiczące umiejętność rozumowania warto szukać w artykułach z działu Temat numeru. W pozostałych artykułach też sporo praktycznych rad. Nawet Jacek Lech w kolejnym liście z Antwerpii (s ) zajął się konkretnymi zadaniami matematycznymi podanymi w taki sposób, że aby w ogóle zacząć je rozwiązywać, trzeba pomyśleć. (Po)myślności zatem życzę na Państwa lekcjach. (ms58) str. 2

4 SPIS TREŚCI EDUKACJA Franciszka Janowska PISA Stefan Turnau Jedynie słuszne rozwiązanie? 8 Michał Szurek Rozwiąż tak, a nie inaczej! 10 Jacek Lech Jestem przeciw, a nawet za 12 TEMAT NUMERU ROZUMOWANIE Jerzy Janowicz Skąd wiadomo, że Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Zabawy z patyczkami do liczenia 17 Janusz Karkut Zadania na rozumowanie 19 Bogumiła Nowak Nauczyć myślenia 22 List od Czytelnika 23 Dariusz Laskowski O pożytkach z zadań bez rozwiązania, cz NAUCZANIE MATEMATYKI Marcin Braun Kto się nie zna na zegarku? 26 Maria Czerska Lepsze wyniki 29 Marcin Braun Jak ustawić działo? 32 Anna Butryn Zabawa w matematykę 34 Bożenna Kukier Lekcje, które się pamięta. Kopuły geodezyjne 37 Jacek Lech Listy z Antwerpii 39 Artur Kril Na pełnym morzu 43 List od Czytelnika 46 Agnieszka Piecewska-Łoś Trzynaście ksiąg. Złoty podział 47 Mam pomysł 50 MATERIAŁY Wiesława Janista, Elżbieta Mrożek, Marta Szymańska Karty pracy dla słabych uczniów, cz Adam Wojaczek Minikartkówki, cz Adam Wojaczek Zestawy maturalne arkusz 8 59 ZOSTATNIEJŁAWKI Skąd to się bierze 62 KONKURS. Architekt 64 szkoła podstawowa gimnazjum szkoła ponadgimnazjalna

5 14 TEMAT NUMERU SKĄD WIADOMO, ŻE... Jerzy Janowicz Jest to fundamentalne pytanie od zawsze stawiane przez filozofów, logików i... dobrze nauczanych uczniów. Roztrząsanie zawiłych struktur logicznych oraz ich naturę filozoficzną zostawmy w zaciszu sal uniwersyteckich i zajmijmy się logiką uprawianą przez naszych podopiecznych. Każde dziecko prowadzi rozumowanie według własnego systemu logicznego, na który składają się fakty uznawane przez nie za prawdziwe oraz reguły wnioskowania. To, że czasami uczniowski sposób myślenia jest błędny lub naiwny, wynika z tego, że albo przesłanki nie zawsze są prawdziwe, albo zasady wnioskowania są niepoprawne. Niezależnie od trendów edukacyjnych, kształcenie umiejętności myślenia jest zasadniczym celem nauczania w szkole, a lekcje matematyki odgrywają tu szczególną rolę. Wiele umiejętności nabywanych w szkole podstawowej czy na początku gimnazjum to algorytmy, których uzasadnienie polega na wykonaniu kilku kroków logicznych wiodących od wiedzy znanej i uznanej za prawdziwą do jakościowo nowego tworu (wzór, konstrukcja, schemat). Tych kilka kroków uczniowie zazwyczaj wykonują wspólnie z nauczycielem. Mają więc poczucie bezpieczeństwa intelektualnego, wiedzą, że nie zabrną w ślepą uliczkę. Ich wysiłek intelektualny jest nakierowany przede wszystkim na to, aby poznawaną czynność zrozumieć, zapamiętać i uczynić funkcjonalną. Jest to bardzo ważne i potrzebne, ale czuje się tu niedosyt aktywności poznawczej ucznia. Ideałem byłoby, gdyby role się odwróciły nauczyciel byłby obserwatorem, a uczniowie samodzielnie budowaliby mosty łączące dotychczasową wiedzę z nową. Niestety, nie jest to łatwe do osiągnięcia, ale na tyle cenne, że należy tej umiejętności poświęcić w procesie nauczania jak najwięcej uwagi. Uczenie prowadzenia rozumowania w szkole podstawowej może się odbywać jedynie poprzez ćwiczenia na materiale praktycznym. W najprostszym przypadku rozumowanie uzasadniające określony fakt może przebiegać od znanych i prawdziwych stwierdzeń do nowego elementu wiedzy, którego prawdziwość ma być uznana. Jest to tzw. rozumowanie dedukcyjne. Można także rozumować w przeciwnym kierunku, zaczynając od faktu, który należy dowieść, szukać dla niego uzasadnień, dochodząc do systemu przesłanek uznanych za prawdziwe. To rozumowanie redukcyjne. Oto kilka przykładów wraz z propozycjami rozwiązania. Ucząc uczniów rozumowania, pokażmy, że czasami istnieją różne drogi dojścia do rozwiązania danego zadania. Dedukcja Przykład 1 Uzasadnij bez obliczania dokładnej wartości, że suma jest mniejsza od Zapiszmy kolejne kroki rozumowania: 1. Każda liczba dwucyfrowa jest mniejsza od Jeśli liczba trzycyfrowa ma w rzędzie setek cyfrę 1, to jest mniejsza od Jeśli liczba trzycyfrowa ma w rzędzie setek cyfrę 2, to jest mniejsza od 300.

6 TEMAT NUMERU Jeśli liczba trzycyfrowa ma w rzędzie setek cyfrę 3, to jest mniejsza od Suma liczb mniejszych odpowiednio od 100, 200, 300, 400 jest mniejsza od = Przykład 2 Uzasadnij, że trójkąt ABO jest równoboczny. Przesłanki mogą być następujące: 1. Wszystkie promienie okręgu mają tę samą długość. 2. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają takie same miary. 3. Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa Jeśli kąt między ramionami ma miarę 60, to suma miar pozostałych kątów jest równa Jeśli kąt między ramionami ma miarę 60, to miara każdego z dwóch pozostałych kątów też jest równa Wszystkie kąty trójkąta ABO mają taką samą miarę. Wniosek: Trójkąt ABO jest równoboczny. Przykład 3 W szare pola diagramu wpisano cyfry nieparzyste, a w białe pola cyfry parzyste tak, że otrzymano poprawny zapis dodawania, a uzyskana suma była największą z możliwych. Ile jest równa ta suma? Podaj przykładowe uzupełnienie diagramu. Przeanalizujmy następujące przesłanki: 1. Suma liczby parzystej i nieparzystej jest nieparzysta. 2. Suma dwóch liczb parzystych albo dwóch nieparzystych jest liczbą parzystą. 3. Jeśli suma liczb dwucyfrowych jest trzycyfrowa, to w rzędzie setek jest cyfra Jeśli cyfra dziesiątek wyniku jest nieparzysta, to musi być sumą cyfry parzystej i nieparzystej oraz nie może być przeniesienia dziesiętnego z dodawania jedności. 5. Największą cyfrą nieparzystą jest jest największą liczbą, jaką można otrzymać sumując jednocyfrową liczbę parzystą i jednocyfrową liczbę nieparzystą. Rozumowanie można też zacząć od tego, że suma będzie największa, gdy w rzędach dziesiątek będą cyfry 8 i 9. Redukcja Redukcja jest sztuką zadawania właściwych pytań. Zobaczmy, jak rozumowanie tego typu można prowadzić na przykładzie trzech problemów z poziomu szkoły podstawowej. Przykład 4 Uzasadnij, że czworokąt, który jest jednocześnie rombem i prostokątem, to kwadrat. Szukając przesłanek, postawmy sobie następujące pytania: 1. Jaki czworokąt jest kwadratem? Odpowiedź: Każdy czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty proste, jest kwadratem. Na jej podstawie robimy kolejny krok wstecz (w kierunku posiadanej wiedzy) i stawiamy następne pytania:

7 16 TEMAT NUMERU 2. Czy czworokąt, który jest jednocześnie rombem i prostokątem, ma wszystkie boki jednakowej długości? Odpowiedź: Tak, bo jest rombem. 3. Czy czworokąt, który jest jednocześnie rombem i prostokątem, ma wszystkie kąty proste? Odpowiedź: Tak, bo jest prostokątem. Pozytywne odpowiedzi na oba pytania wynikają bezpośrednio z posiadanej przez nas wiedzy o badanym czworokącie, co kończy proces rozumowania. Przykład 5 Bez wykonywania dzielenia uzasadnij, że liczba dzieli się przez 6. Tu także, cofając się od badanego problemu do przesłanek będących elementami dotychczasowej wiedzy, zadawać będziemy odpowiednie pytania: 1. Kiedy liczba naturalna dzieli się przez 6? Odpowiedź: Liczba naturalna dzieli się przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i przez 3. Na podstawie tej odpowiedzi formułujemy kolejne pytania: 2. Co świadczy o tym, że liczba dzieli się przez 2? Odpowiedź: Parzysta cyfra jedności w tym przypadku cyfra Co świadczy o tym, że liczba dzieli się przez 3? Odpowiedź: Suma cyfr podzielna przez 3 w tym przypadku 33. Doszliśmy do stwierdzeń, które oceniamy jako prawdziwe na podstawie dotychczasowej wiedzy, więc problem możemy uznać za rozwiązany. Przykład 6 Na rysunku przedstawiono trapez ABCD. Uzasadnij, że trójkąty ABC i ABD mają jednakowe pola. Pierwsze pytanie, które należy zadać, to: 1. Kiedy dwa trójkąty mają jednakowe pola? Poprawna odpowiedź: Trójkąty mają jednakowe pole, gdy iloczyn boku i wysokości mu odpowiadającej jest w obu trójkątach taki sam. Niestety, odpowiedź jest zbyt ogólna. Należy postawić kolejne pytania: 2. Kiedy iloczyn boku i wysokości mu odpowiadającej w obu trójkątach jest taki sam? Tu odpowiedzi mogą być różne. Trzeba więc postawić pytanie pomocnicze: 2. Czy w sytuacji przedstawionej na rysunku są jakieś przesłanki świadczące o tym, że te iloczyny mogą być równe? Odpowiedź: Podstawy obu trójkątów są sobie równe. Wysokości obu trójkątów są jednakowej długości, bo są równe wysokości trapezu. Odpowiedź na to pytanie pozwala utworzyć ciąg logiczny uzasadniający tezę sformułowaną w treści zadania. Uczenie prowadzenia poprawnego rozumowania jest procesem żmudnym, a skuteczność nauczania w znacznym stopniu zależy od predyspozycji osobowościowych każdego ucznia. Niemniej jednak ranga tej kompetencji jest tak wielka, że należy szukać wszelkich możliwych zasobów oddziaływań dydaktycznych doskonalących tę umiejętność. Podkreśliło ją również ministerstwo przez umieszczenie rozumowania w nowej podstawie programowej matematyki dla II, III i IV etapu edukacyjnego jako jednego z kilku głównych ogólnych celów kształcenia matematycznego.

8 62 Z OSTATNIEJ ŁAWKI SKĄD TO SIĘ BIERZE Od wielu nauczycieli słyszę, że nigdy nie było takiej liczby biurokratycznych papierków, którymi muszą się w szkole zajmować, jak ostatnio. Jeśli nie każe im się wypełniać nowej ankiety lub tabeli, to na pewno jest do napisania jakiś plan, program lub sprawozdanie. Dokładnie takie same narzekania słychać w pokoju nauczycielskim od lat, więc niezbyt poważnie traktowałem te głosy. W końcu jednak postanowiłem zbadać problem naukowo. Ponieważ teraz niemal nic ciekawego nie robi się w oświacie bez unijnego wsparcia (finansowego), więc i ja napisałem odpowiedni projekt, wpisujący się we właściwy program oraz priorytet, z wystarczająco skomplikowanym numerem i rozbudowaną nazwą. Na przygotowanie wniosku straciłem dwa miesiące i ryzę papieru. Musiałem wypełnić dziesiątki tabel i dowiedziałem się, że teraz tak będzie co kwartał, bo takie są wymagania Unii. W ten prosty sposób już na samym początku badań odkryłem, że sporą porcję biurokracji otrzymujemy w pakiecie z projektami unijnymi, a pieniądze wyłożone na walkę z biurokracją (temu miał służyć mój projekt) sprzyjają jej rozwojowi. Potwierdziła się zatem zasada sformułowana przeze mnie w jednym z wcześniejszych artykułów na tych łamach: Pierwsza zasada Matematołka Ilość biurokracji rośnie wprost proporcjonalnie do ilości pieniędzy wydanych na jej zwalczanie. Komputery Jedną z głównych zalet komputerów miało być zmniejszenie liczby dokumentów papierowych w urzędowym obiegu. Może gdzieś na świecie się to sprawdza. W oświacie nie. Aby zmniejszyć biurokrację w mojej szkole, kupiono dla administracji szkolnej komputer i oprogramowanie. Szybko przejął go wicedyrektor (bo dyrektor już miał służbowy komputer, ale nie miał czasu nauczyć się oprogramowania) i żeby wykazać, że zakup był pożyteczny, stworzył w Excelu dziesiątki tabel, których wypełnienie przez wszystkich pracowników jest niezbędne, jego zdaniem, dla właściwego funkcjonowania szkoły oraz usatysfakcjonowania wizytatorów oraz innych urzędników oceniających szkołę. Z takich przykładów wywodzę następną zasadę:

9 Z OSTATNIEJ ŁAWKI 63 Druga zasada Matematołka Czas spędzony przez urzędnika przy komputerze zmniejsza ilość czasu, który ten urzędnik przeznacza na myślenie. Ukryte źródło Skąd wicedyrektor bierze pomysły na swoje tabele? Nauczyciele byli przekonani, że są to wymagania ministerstwa. Tak zresztą tłumaczyła się dyrekcja. Zacząłem sprawdzać. Niemal w każdym przypadku kolejnego szkolnego papierka trudno było ustalić, kto to wymyślił. Przy kilku największych idiotyzmach dzwoniłem do MEN. Za każdym razem ministerstwo twierdziło, że to nie ono. Tak było na przykład w wypadku planów wynikowych i dziwacznych reguł wypełniania dzienników zjawisk, które pojawiły się kilka lat temu. Okazało się, że minister edukacji wydał nawet oświadczenie, iż zmuszanie nauczycieli do produkowania uciążliwych i nikomu niepotrzebnych planów wynikowych nie wynika z ogólnopolskich (ministerialnych) przepisów oświatowych, lecz jest jedynie inicjatywą lokalną. Czy rzeczywiście ministerstwo nigdy nie jest źródłem biurokracji? Odkryłem, że czasem staje się źródłem nieświadomym. W jednej ze szkół nauczyciele otrzymali do wypełnienia krótką tabelę. Właściwie chodziło o odpowiedź na jedno pytanie, ale żeby dokument skierowany do nauczycieli wyglądał poważniej, pytanie obudowano tabelą o jednym wierszu i kilku kolumnach. Pytanie brzmiało: W jaki sposób przebiega na lekcjach twojego przedmiotu realizacja podstaw programowych w zakresie zagadnień związanych z nauczaniem i wychowaniemwkontekścieprawczłowieka? Jak nauczyciele sobie z tym poradzili, opowiem następnym razem. Teraz opiszę, jak odkryłem, skąd się to wzięło. Przyjąłem hipotezę, że dyrekcja sama tego nie wymyśliła, więc wpisałem całą frazę do wyszukiwarki internetowej i... bingo! Oprócz kilkudziesięciu stron szkół i kuratoriów oraz forum dyrektorów wyskoczyła strona MEN, a na niej tekst: Priorytet Ministra Edukacji Narodowej w roku 2008/2009 Skuteczność realizacji podstaw programowych w zakresie zagadnień związanych z nauczaniem i wychowaniem wkontekścieprawczłowieka. Poznajecie? To tylko jeden z wielu przykładów, który sugeruje, że zjawiska zachodzące w oświacie są silnie chaotyczne w sensie matematycznej teorii chaosu. Mówi o tym moja trzecia zasada: Trzecia zasada Matematołka Drobny ruch skrzydeł (lub jakiegokolwiek innego organu) ministerstwa edukacji w Warszawie powoduje w krótkim czasie huragan biurokracji w najbardziej nawet odległej szkole. Zasadę tę można rozciągnąć na inne, poza ministerstwem, urzędy oświatowe (kuratoria, wydziały oświaty czy nawet ośrodki doskonalenia nauczycieli). Wszystkie są potencjalnymi źródłami silnego chaosu. Ciąg dalszy w następnym numerze. Uwaga! Redakcja nie odpowiada za Matematołka. Matematołek nie odpowiada za nic.

10 Dlaczegotenauczyciel wybrał Matematykę zplusem? Sprawdź to.sprawdź NAS! Zamówbezpł atnemateriał ydlacał ejklasy. Przeprowadź próbnelekcje. Oceń,czywartouczyć zmatematyką zplusem. Zamówjuż teraz.telefon