WSTĘP.

Transkrypt

1

2 WSTĘP System ELITMAT TEAM LEADER SPACE wspierający nauczanie matematyki w szkołach podstawowych, gimnazjach oraz szkołach ponadgimnazjalnych jest skierowany do uczniów i uczennic oraz nauczycieli i nauczycielek z całego kraju. Zakłada powstanie w szkołach grup ELITMAT TEAM prowadzonych przez ELITMAT LEADERÓW w oparciu o materiały dydaktyczne dostępne na portalu edukacyjnym ELITMAT SPACE Rozkład treści programowych jest dokumentem przeznaczonym w szczególności dla ELITMAT LEADERÓW. Jest w nim zawarty podział wszystkich zagadnień na poszczególne etapy edukacyjne wraz z celami edukacyjnymi oraz szczegółową tematyką. W celu ułatwienia pracy z wykorzystaniem materiałów dydaktycznych przy każdym z zagadnień została umieszczona informacja, w jakiej formie materiały omawiające dane zagadnienie można odnaleźć na portalu, gdzie został dokonany tożsamy podział na poszczególne działy w obrębie etapu edukacyjnego. Zagadnienia ujęte w niniejszym rozkładzie obejmują zarówno treści z podstawy programowej, jak również zgodnie z celem projektu i założeniem systemu ELITMAT T-L-S, zostały one poszerzone o dodatkowe treści wykraczające poza podstawę programową. Zagadnienie dotyczące treści pozaprogramowych zostały dobrane poprzez zebranie informacji i analizę większości konkursów i olimpiad matematycznych w Polsce i w Europie, które odbyły się w ciągu ostatnich kilkunastu lat. Dodatkowo treści w czwartym etapie edukacyjnym korelują z zagadnieniami programu początkowych lat studiów na kierunkach ścisłych i są uzupełnieniem powstałej w wyniku cięć programowych niespójności między szkołą ponadgimnazjalną a wymaganiami uczelni wyższych. Dla łatwości odszukania konkretnych materiałów w poszczególnych działach tematycznych została zawarta informacja o korelacji z konkretnym punktem z podstawy programowej. Podział treści, jak i charakter materiałów dydaktycznych pozwala więc na ich wykorzystanie zarówno podczas zajęć lekcyjnych, jak również na zajęciach dodatkowych w grupach ELITMAT TEAM oraz do samodzielnej pracy w domu na podstawie wskazówek nauczyciela/nauczycielki, które może przekazywać uczniom i uczennicom on-line.

3

4 RODZAJE MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH DOSTĘPNE NA PORTALU MATEMATYKA INNEGO WYMIARU ANIMACJE LEKCJA KONSPEKT Z ZAKRESU KONSPEKT METOD EFEKTYWNEJ NAUKI PLANSZA INTERAKTYWNA PLANSZA STATYCZNA ZADANIE ON-LINE ZADANIE INTERAKTYWNE GRA GRA STRATEGICZNA

5

6 I E T A P E D U K A C Y J N Y R a m o w y r o z k ł a d m a t e r i a ł u I. Liczby arabskie (korelacja z 1-8 punktem podstawy programowej) II. Miary (korelacja z 9-12 punktem podstawy programowej) III. Liczby rzymskie (korelacja z 13 punktem podstawy programowej) IV. Kalendarz (korelacja z 14 punktem podstawy programowej) V. Zegar (korelacja z 15 punktem podstawy programowej) VI. Elementy geometrii (korelacja z punktem podstawy programowej)

7

8 Treści kształcenia i cele edukacyjne

9

10 I. LICZBY ARABSKIE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Doskonalenie sprawności rachunkowej poprzez rozwiązywanie zadań o podwyższonym stopniu trudności. Rozwijanie zdolności dostrzegania relacji (mniejszości, większości) między liczbami. Doskonalenie umiejętności budowania liczb według ustalonego warunku. Odkrywanie cech podzielności liczb. Dostrzeganie własności różnych rodzajów liczb. Kształtowanie umiejętności dostrzegania prawidłowości w układzie liczb. Rozwijanie logicznego myślenia za pomocą łamigłówek matematycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Działania w zbiorze liczb naturalnych w zakresie (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) Systemy zapisywania liczb: pozycyjny a niepozycyjny dziesiętny Nazwy cyfr w liczbie

11 Nazewnictwo dużych liczb Kolejność wykonywania działań Sztuka szybkiego liczenia: mnemotechniczna tabliczka mnożenia system mnożenia na palcach graficzna tabliczka mnożenia Porównywanie liczb Cechy podzielności przez 2, 3,4, 5, 10 Rodzaje ciekawych liczb: liczby doskonałe liczby lustrzane liczby palindromiczne liczby parzyste i nieparzyste Zależności liczbowe w życiu codziennym np. cena, ilość, wartość, temperatura Liczbowe kwadraty magiczne 2 x 2 i 3 x 3

12 Proste ułamki o mianownikach 2, 3, 4 Obliczenia pieniężne w sytuacjach codziennych i niestandardowych

13 II. MIARY CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności matematycznych w zadaniach dotyczących życia codziennego. Nauka praktycznego wykorzystania matematyki. Wykształcenie umiejętności planowania rozwiązania problemu matematycznego i realizacji tego planu. Doskonalenie umiejętności posługiwania się jednostkami miar i wag. Kształtowanie umiejętności zamieniania jednostek z mianownikami 2 i 4. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Historia miar i wag Jednostki długości, pojemności, wagi Zamiana prostych jednostek (kg; dag; g; l; ml; k, m; cm; mm) oraz jednostek z mianownikiem 2 i 4 Zadania problemowe dotyczące miar

14 III. LICZBY RZYMSKIE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Doskonalenie umiejętności zapisywania i odczytywania liczb w systemie rzymskim. Zapoznanie z elementami historii rozwoju systemów liczbowych na przykładzie liczb rzymskich. Rozwijanie umiejętności logicznego myślenia. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Historia liczb rzymskich Sposoby zapisywania liczb rzymskich ze znakami I, V, X, L, C Zadania logiczne z wykorzystaniem liczb rzymskich Zamiana liczb rzymskich na arabskie

15 IV. KALENDARZ CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Doskonalenie umiejętności obliczeń kalendarzowych poprzez rozwiązywanie zadań o podwyższonym stopniu trudności. Kształtowanie umiejętności matematycznych w zadaniach dotyczących życia codziennego. Nauka praktycznego wykorzystania matematyki. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Historia kalendarza Rodzaje kalendarzy Jednostki kalendarzowe np. kwartał, rok, dekada, wiek, milenium Oś czasu Podział miesięcy na pory roku Określanie wieku wydarzeń historycznych Rok przestępny Obliczanie numeru porządkowego dnia roku

16 V. ZEGAR CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności matematycznych w zadaniach dotyczących życia codziennego. Nauka praktycznego wykorzystania matematyki. Wykształcenie umiejętności planowania rozwiązania problemu matematycznego i realizacji tego planu. Doskonalenie umiejętności obliczeń zegarowych poprzez rozwiązywanie zadań o podwyższonym stopniu trudności. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Jednostki czasu (godzina, minuta, sekunda, doba itd.) Posługiwanie się częściami jednostek czasu - pół godziny, kwadrans w zadaniach praktycznych Zależności geometryczne wzajemnego położenia wskazówek Obliczenia rachunkowe z wykorzystaniem tarczy zegara Odczytywanie poprawnej godziny w systemie analogowym i cyfrowym

17 VI. ELEMENTY GEOMETRII CELE EDUKACYJNE Doskonalenie umiejętności rozwiązywania zadań geometrycznych o podwyższonym stopniu trudności. Rozwijanie logicznego myślenia oraz wyobraźni za pomocą łamigłówek matematycznych. TEMATYKA Kształtowanie umiejętności odkrywania i badania własności figur geometrycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Rodzaje i własności podstawowych figur geometrycznych Alfabet geometryczny (punkt, prosta, półprosta, odcinek, łamana) Prostopadłość i równoległość odcinków i prostych Wskazywanie i rozróżnianie figur symetrycznych Łamigłówki geometryczne z wykorzystaniem patyczków lub zapałek Origami

18 Tangramy i stomachiony

19

20 I I E T A P E D U K A C Y J N Y R a m o w y r o z k ł a d m a t e r i a ł u I. Liczby naturalne (korelacja z 1, 2 i 14 punktem podstawy programowej) II. Liczby całkowite (korelacja z 3 i 14 punktem podstawy programowej) III. Ułamki zwykłe i dziesiętne (korelacja z 4, 5 i 14 punktem podstawy programowej) IV. Matematyka w obliczeniach praktycznych (korelacja z 12 i 13 punktem podstawy programowej) V. Algebra (korelacja z 6 i 14 punktem podstawy programowej) VI. Geometria (korelacja z 7 11 i 14 punktem podstawy programowej)

21

22 Treści kształcenia i cele edukacyjne

23

24 I. LICZBY NATURALNE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Doskonalenie umiejętności rachunkowych oraz sprawnego poruszania się w zbiorze liczb naturalnych w oparciu o własności, działania, analogie i algorytmy. Kształtowanie umiejętności definiowania i posługiwania się definicjami. Doskonalenie sprawności rachunkowej. Rozwijanie logicznego myślenia za pomocą łamigłówek matematycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Zbiory liczbowe Pozycyjne a niepozycyjne systemy liczbowe Niedziesiątkowe systemy liczbowe Liczby naturalne w systemie dziesiątkowym: charakterystyka zasad dziesiątkowego systemu pozycyjnego. Nazywanie kolejnych rzędów (J, D, S, ) oraz grup rzędów (tysiące, miliony, miliardy, biliony, ) zapis słowny i cyfrowy liczb, związki między tymi zapisami wyodrębnienie w danej liczbie kolejnych rzędów i jej zapis w postaci sumy iloczynów

25 kolejnych liczb wyrażonych cyframi J, D, S Działania na liczbach naturalnych w systemie dziesiątkowym Nazwy wielkich liczb Złota proporcja Ciekawe liczby trójkątne, kwadratowe Rodzaje liczb: rzymskie pierwsze palindromiczne doskonałe lustrzane bliźniacze Badanie podzielności liczb: podzielność przez liczby od 2 do 10 niestandardowe cechy podzielności

26 Sztuka szybkiego liczenia

27 II. LICZBY CAŁKOWITE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie umiejętności dostrzegania i wykorzystywania własności liczb w zakresie zbioru liczb całkowitych. Kształtowanie umiejętności sprawnego posługiwania się liczbami całkowitymi w oparciu o własności, działania, analogie i algorytmy. Doskonalenie sprawności rachunkowej w zakresie zbioru liczb całkowitych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Liczby przeciwne Liczby parzyste i nieparzyste Liczby całkowite na osi liczbowej termometr jako oś liczbowa Porównywanie liczb całkowitych Potęga liczby całkowitej o wykładniku naturalnym: obliczanie ostatniej cyfry potęg

28 III. UŁAMKI ZWYKŁE I DZIESIĘTNE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie umiejętności posługiwania się ułamkami w sytuacjach realistycznych i czysto matematycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Graficzna postać ułamków Działania na ułamkach: dodawanie ułamków zwykłych odejmowanie ułamków zwykłych mnożenie ułamków zwykłych niewłaściwych sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika rozszerzanie ułamka do postaci ułamka niewłaściwego skracanie ułamków zwykłych wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego

29 Liczby odwrotne Graficzna postać procentu Przybliżenia ułamków

30 IV. MATEMATYKA W OBLICZENIACH PRAKTYCZNYCH CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie i rozwijanie umiejętności rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem jednostek masy, długości, pojemności, czasu, prędkości i temperatury. Nabycie umiejętności rozwiązywania problemów otwartych i stawiania pytań. Prezentowanie postawy twórczej w sytuacjach nowych. Analizowanie, planowanie i przeprowadzanie prostych badań statystycznych. Odczytywanie i odnajdowanie informacji z różnych źródeł. Ich analizowanie, selekcjonowanie, przetwarzanie i interpretowanie. Opisywanie zebranych danych, doświadczeń, procesów środkami matematycznymi, analizowanie i wyciąganie wniosków. Korzystanie z różnorodnych technik informacyjnych, umiejętność poruszania się w chaosie informacji. Dostrzeganie zjawisk i procesów o otaczającym świecie, analizowanie ich skutków i opisywanie przebiegu. Matematyzacja sytuacji realnych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Jednostki monetarne:

31 krajowe i zagraniczne historyczne Jednostki masy, długości, pojemności i temperatury: posługiwanie się jednostkami miar i umiejętność ich zamiany odczyt temperatury na skali Prędkość droga czas w zadaniach praktycznych Zegar i kalendarz: obliczenia zegarowe i kalendarzowe historia i rodzaje kalendarzy obliczenia rachunkowe z wykorzystaniem tarczy zegara odczytywanie godzin obliczenia dotyczące numeru porządkowego dnia roku Proste zagadnienia z wykorzystaniem procentów w ujęciu praktycznym

32 V. ALGEBRA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Wdrażanie do operowania językiem matematycznym. Kształtowanie umiejętności zapisu zjawisk rzeczywistych w sposób symboliczny za pomocą znaków i symboli matematycznych. Rozwijanie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym. Nauka systematyzacji danych. Dobieranie odpowiedniego modelu matematycznego do danej nowej sytuacji, stosowanie poznanych wzorów i zależności, przetwarzanie tekstu zadania na działania arytmetyczne, równania i nierówności. Kształtowanie i rozwijanie umiejętności rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu trudności w oparciu o wiedzę na temat wyrażeń algebraicznych, równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Stosowanie metod szybkiego liczenia w praktyce Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych Zamiana form słownych na wzory Opisywanie przy użyciu wyrażeń algebraicznych sytuacji realnych Opisywanie przy użyciu wyrażeń algebraicznych związków między różnymi wielkościami

33 Przekształcanie wzorów Wykorzystywanie wzorów do rozwiązywania zadań Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą

34 VI. GEOMETRIA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie wyobraźni i intuicji geometrycznej. Odkrywanie, badanie i znajomość obiektów geometrycznych (na płaszczyźnie i w przestrzeni) i ich klasyfikacja. Formułowanie logicznych reguł w oparciu o wzajemne relacje między obiektami geometrycznymi. Znajomość i wykonywanie podstawowych konstrukcji geometrycznych. Kształtowanie umiejętności rozwiązywania zadań geometrycznych o podwyższonym stopniu trudności. Rozwijanie logicznego myślenia oraz wyobraźni poprzez rozwiązywanie łamigłówek geometrycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Wielokąty i ich własności: suma kątów wielokąta (trójkąta, czworokąta) wielokąty foremne cechy charakterystyczne określonych rodzajów wielokątów Konstrukcje geometryczne:

35 konstrukcja symetralnej odcinka konstrukcja trójkąta równobocznego konstrukcja sześciokąta foremnego Obliczanie pól i obwodów wielokątów Dowody na pola figur (równoległoboku, rombu, trapezu, trójkąta) Trójkąty i ich rodzaje: podział ze względu na boki podział ze względu na kąty Koła i okręgi: własności i charakterystyczne odcinki okrąg opisany na trójkącie okrąg wpisany w trójkąt pole pierścienia kołowego Kąty i ich rodzaje:

36 podział ze względu na położenie (wierzchołkowe, odpowiadające, naprzemianległe, przyległe) podział ze względu na miarę (zerowy, prosty, wklęsły, półpełny, pełny) Równanie zegara zależności kątów środkowych między wskazówkami w zależności od określonej godziny Ostrosłupy rodzaje brył i ich siatki Graniastosłupy rodzaje brył i ich siatki Wielościany foremne: nazwy (czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan) siatki wielościanów foremnych zadania praktyczne z sześcianem Jednostki powierzchni Obliczanie pól powierzchni i objętości Układ współrzędnych: podstawowe wiadomości o układzie współrzędnych zaznaczanie punktów na układzie

37 Kwadratura koła Tangramy i stomachiony różne rodzaje tangramów Kostka Bedlam Fraktale w matematyce i przyrodzie Geometryczne łamigłówki logiczne

38 I I I E T A P E D U K A C Y J N Y R a m o w y r o z k ł a d m a t e r i a ł u I. Liczby wymierne (korelacja z 1 i 2 punktem podstawy programowej) II. III. IV. Procenty (korelacja z 5 punktem podstawy programowej) Potęgi (korelacja z 3 punktem podstawy programowej) Pierwiastki (korelacja z 4 punktem podstawy programowej) V. Wyrażenia algebraiczne (korelacja z 6 punktem podstawy programowej) VI. Równania, nierówności i układy równań (korelacja z 7 punktem podstawy programowej) VII. VIII. IX. Funkcje (korelacja z 8 punktem podstawy programowej) Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa (korelacja z 9 punktem podstawy programowej) Figury płaskie (korelacja z 10 punktem podstawy programowej) X. Bryły (korelacja z 11 punktem podstawy programowej)

39

40 Treści kształcenia i cele edukacyjne

41

42 I. LICZBY WYMIERNE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Dostrzeganie własności różnych rodzajów liczb. Poznawanie historii liczb z uwzględnieniem ewaluacji i rozwoju systemów liczbowych. Poznawanie i doskonalenie technik szybkiego liczenia w pamięci. Poznawanie niestandardowych cech podzielności liczb. Dostrzeganie zależności matematycznych w świecie przyrody na podstawie ciągu Fibonacciego. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Systemy pozycyjne i niepozycyjne Pozycyjne systemy liczbowe (dziesiętny, dwójkowybinarny, trójkowy, ósemkowy, szesnastkowy) Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne, w tym okresowych Zaokrąglanie i szacowanie wyrażeń arytmetycznych Cechy podzielności liczb - standardowe cechy podzielności oraz podzielność przez 7, 11, 13, 37, 101, 143, 1001 oraz przez liczby będące liczbą złożoną z liczb charakteryzujących daną podzielność Wykazywanie podzielności liczb i wyrażeń Rodzaje zbiorów liczbowych, w tym w szczególności:

43 liczby pierwsze na wagę złota - metody wyznaczania liczb pierwszych, własności liczb pierwszych i ich zastosowanie liczby względnie pierwsze liczby złożone liczby doskonałe liczby niedoskonałe liczby bliźniacze liczby lustrzane liczby zaprzyjaźnione liczby palindromiczne liczby nadmierne liczby Fermata liczby jedynkowe liczby pitagorejskie liczby trójkątne

44 Ciąg Fibonacciego budowa struktur fizycznych czyli przyroda najlepszą matematyczką Techniki szybkiego liczenia w pamięci: system wedyjski, np. mnożenie w pamięci liczb typu 28 x 22, 43 x 47 wraz z zastosowaniem do ułamków dziesiętnych algorytm mnożenia w pamięci liczb z zakresu 11-19, np. 11 x 15 algorytm szybkiego mnożenia liczb bliskich 100 i 1000, np. 98 x 97, 1002 x 1005 wraz z zastosowaniem do ułamków

45 II. POTĘGI CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności wykorzystywania zależności i analogii matematycznych. Kształtowanie umiejętności szybkiego liczenia. Nauka obserwacji i wnioskowania na podstawie tych obserwacji. Poznanie narzędzi matematycznych wspierających wiele dziedzin nauki (notacja wykładnicza). Poznawanie zastosowań systemów liczbowych w technice informacyjnej, inżynierii, bezpieczeństwie oraz innych nowoczesnych technologiach. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Rodzaje potęg o wykładniku: naturalnym całkowitym wymiernym Własności potęg o: tym samym wykładniku tej samej podstawie Dowodzenie z wykorzystaniem szacowania i zależności liczbowych:

46 dowody na porównywanie liczb, np. która liczba jest większa czy Sztuka szybkiego potęgowania: algorytm obliczania w pamięci kwadratów liczb z ostatnią cyfrą 5, np.25 2 algorytm obliczania w pamięci kwadratów liczb bliskich 100 i 1000, np , Własności wielkich potęg: znajdowanie ostatnich cyfr wielkich potęg Notacja wykładnicza podstawowe narzędzie naukowca Potęgowanie fundamentem systemów pozycyjnych, w tym: zasady budowy systemu pozycyjnego - binarnego zamiana systemu dziesiętnego na binarny i odwrotnie zastosowanie systemu binarnego najważniejszy system technologii informacyjnej opartej na wiedzy

47 III. PIERWIASTKI CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności wykorzystywania zależności i analogii matematycznych. Kształtowanie umiejętności szybkiego liczenia. Nauka obserwacji i wnioskowania na ich podstawie. Poznanie niekonwencjonalnych sposobów znajdowania wartości liczbowych pierwiastków. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Własności pierwiastków: dziedzina pierwiastka Różne działania na pierwiastkach: o tych samych stopniach korelacja między potęgami a pierwiastkami Historia liczb niewymiernych pierwiastek z 2 jako najbardziej strzeżone w starożytności matematyczne tabu Pitagorejczyków Szukanie przybliżeń pierwiastków, których wynik nie jest liczbą wymierną za pomocą porównań Pierwiastki jako brama geometrii na przykładzie odcinków o niewymiernych długościach ślimak Teodorosa

48 Złoty podział czyli boska proporcja: różne konstrukcje złotej liczby

49 IV. PROCENTY CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności matematycznych w zadaniach dotyczących życia codziennego. Nauka praktycznego wykorzystania matematyki. Wykształcenie umiejętności planowania rozwiązania problemu matematycznego i realizacji tego planu. Kształcenie poprawności językowej używania terminu procentu i punktu procentowego. Nauka stosowania różnego rodzaju arkuszy kalkulacyjnych do złożonych obliczeń procentowych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Procenty i promile: ilustracja graficzna procentu Procent a punkt procentowy: porównywanie względem procentów porównywanie względem punktów procentowych Dokonywanie analizy na podstawie wykresów i diagramów procentowych Zadania praktyczne czyli procenty wokół nas podatki, lokaty, zmiany cen, procent składany

50 Skład procentowy w różnych dziedzinach życia

51 V. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności zapisu zjawisk rzeczywistych w sposób symboliczny za pomocą znaków i symboli matematycznych. Rozwijanie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym. Nauka systematyzacji danych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Wyrażenia algebraiczne jako uniwersalny język wszelkich zjawisk: opisywanie za pomocą wyrażeń algebraicznych związków między różnymi wielkościami od szczegółu do ogółu czyli opisywanie własności liczb z wykorzystaniem różnych przekształceń wyrażeń algebraicznych wyrażenia algebraiczne jako narzędzie porządkowania danych i redukcji ich zapisu do prostszej postaci Wzory skróconego mnożenia: drugiego stopnia wraz z dowodem geometrycznym trzeciego stopnia z wyprowadzaniem wzorów dwumian Newtona a trójkąt Pascala

52 Techniki szybkiego liczenia w pamięci z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia, np. 32 2, 91 2, 89 2

53 VI. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności zapisu zjawisk rzeczywistych w sposób symboliczny za pomocą znaków i symboli matematycznych. Rozwijanie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym przez zapisywanie ich równaniem matematycznym, nierównością lub układem równań. Nauka systematyzacji danych. Rozwijanie umiejętności stosowania równań, nierówności i układów równań w sytuacjach problemowych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Zapisywanie związków między wielkościami za pomocą równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym związków między wielkościami wprost proporcjonalnymi i odwrotnie proporcjonalnymi Sprawdzanie czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Zapisywanie związków między nieznanymi wielkościami za pomocą układu równań pierwszego stopnia z dwiema lub więcej niewiadomymi Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema i więcej niewiadomymi różnymi metodami algebraicznymi, w tym metodą

54 wyznaczników (Cramera) Opisywanie i rozwiązywanie zadań osadzonych w kontekście praktycznym za pomocą równań lub układów równań Proste równania niezupełne drugiego stopnia Typy układów równań ze szczególnym uwzględnieniem znajdowania rozwiązań w przypadku układów nieoznaczonych Dowody na wykazywanie równań i nierówności Wizualizacja przedziałów liczbowych: ograniczonych nieograniczonych

55 VII. FUNKCJE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie dostrzegania i identyfikowania zależności funkcyjnych we wszechświecie. Wnioskowanie na podstawie obserwacji i analizy struktur dynamicznych w otaczającym świecie i przełożenie na matematyczny obiekt abstrakcji. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Funkcja jako szczególny rodzaj przyporządkowania: sposoby przedstawiania funkcji dziedzina i zbiór wartości funkcji zależności funkcyjne w życiu codziennym Funkcje liniowe: czy wykres funkcji liniowej zawsze jest prostą? wykresy funkcji liniowej korelacja wzajemnego położenia dwóch prostych i liczby rozwiązań układu równań proste równoległe i proste prostopadłe w układzie współrzędnych wartość bezwzględna funkcji liniowej

56 symetria funkcji liniowej w układzie współrzędnych Wykresy funkcji nieliniowych: kwadratowa wykładnicza odwrotna liniowa z wartością bezwzględną sinus cosinus pierwiastek kwadratowy z x signum Entier Wykres funkcji jako podstawowe narzędzia przedstawiania danych gospodarczych, ekonomicznych, społecznych i większości dziedzin nauki

57 VIII. STATYSTYKA OPISOWA I WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Nabycie umiejętności zbierania, selekcjonowania i przedstawiania danych. Wnioskowanie zależności na podstawie analizy danych. Rozwijanie umiejętności przewidywania szansy wystąpienia określonego wyniku w pewnym zdarzeniu. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Charakterystyka próby statystycznej za pomocą średniej arytmetycznej, mediany, dominanty, wariancji, odchylenia standardowego Zasada szufladkowa Dirichleta Elementy teorii gier i rachunku prawdopodobieństwa: podstawowe własności rachunku prawdopodobieństwa ocena możliwości wygranej (osiągnięcia sukcesu) na podstawie obserwacji warunków początkowych zbioru probabilistycznego dobór właściwej strategii na podstawie analizy

58 rachunku szans w celu osiągnięcia sukcesu

59 IX. FIGURY PŁASKIE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie wyobraźni geometrycznej. Poznawanie spójności matematyki na podstawie rozwoju geometrii na przestrzeni wieków. Kształtowanie umiejętności stosowania najkrótszych dróg rozwiązania w zadaniach geometrycznych. Rozwijanie intuicji matematycznej. Nauka logicznego argumentowania. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Związek między kątami środkowym a wpisanym opartymi na tym samym łuku. Rodzaje kątów Przekształcenia geometryczne: symetria osiowa symetria środkowa przesunięcie o wektor obrót o dany kąt jednokładność o środku S i skali k

60 Koło i okrąg: graficzne przedstawienie liczby π koło a okrąg charakterystyczne odcinki pierścień kołowy długość łuku okręgu pole wycinka koła Trójkąty: boki trójkąta o kątach 30 o, 60 o, 90 o boki trójkąta o kątach 45 o, 45 o, 90 o funkcje trygonometryczne w trójkącie środek ciężkości w trójkącie - barycentrum zależność między wysokością trójkąta a innymi odcinkami własności trójkąta równobocznego ortocentrum

61 trójkąt egipski i trójki pitagorejskie wzór Herona Wielokąty foremne nawiązanie do przyrody. Również wielokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu Własności n-kątów w tym n-kątów foremnych: liczba przekątnych suma miar kątów kąty wewnętrzne w n-kącie foremnym korelacja n-kątów i okręgów wpisanych i opisanych Wielokąty dowody matematyczne w odniesieniu do: pól obwodów kątów własności przekątnych, wysokości, dwusiecznych, symetralnych, środkowych Stosowanie twierdzenia Pitagorasa:

62 ślimak Teodorosa czyli zobaczyć i dotknąć niewymierność za pomocą konstrukcji odcinków o długościach niewymiernych historia tw. Pitagorasa Twierdzenia: Talesa Ptolemeusza Vivianiego Stewarta Konstrukcje geometryczne: trójkąta równobocznego sześciokąta foremnego symetralnej odcinka Kwadratura koła i inne wielkie problemy matematyki (trysekcja kąta, podwojenie sześcianu) Złoty i srebrny podział odcinka Fraktale

63 dywan i trójkąt Sierpińskiego Planimetria w układzie współrzędnych: punkty symetryczne w układzie współrzędnych punkty kratowe wzór Picka długość odcinka w układzie współrzędnych

64 X. BRYŁY CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności wnioskowania na podstawie obserwacji brył. Dostrzeganie własności i wspólnych cech określonych rodzajów brył. Rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Kształtowanie umiejętności praktycznego wykorzystania własności figur przestrzennych. Poznawanie niestandardowych brył i ich zależności. Wykorzystanie technik komputerowych do rysowania brył. Zapoznanie z historią i ewolucją matematyki na podstawie rozwoju geometrii przestrzennej. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Powstawanie brył obrotowych Przekroje brył obrotowych Ostrosłupy przekroje i kąty Graniastosłupy przekroje i kąty Obliczanie w wykorzystaniem twierdzeń do obliczania pól całkowitych i objętości graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych Zależności i własności wielościanów foremnych (platońskich):

65 siatki wielościanów Zależności i własności wielościanów półforemnych (archimedesowych): siatki wielościanów Własności antygraniastosłupów Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych Nietypowe bryły obrotowe, np. hiperboloida obrotowa

66 I V E T A P E D U K A C Y J N Y R a m o w y r o z k ł a d m a t e r i a ł u I. Elementy logiki i teorii zbiorów II. III. IV. Zbiór liczb rzeczywistych (korelacja z 1 punktem podstawy programowej) Wyrażenia algebraiczne (korelacja z 2 punktem podstawy programowej) Równania i nierówności (korelacja z 3 punktem podstawy programowej) V. Funkcja (korelacja z 4 punktem podstawy programowej) VI. VII. VIII. IX. Ciągi (korelacja z 5 punktem podstawy programowej) Trygonometria (korelacja z 6 punktem podstawy programowej) Planimetria i (korelacja z 7 punktem podstawy programowej) Geometria w układzie współrzędnych (korelacja z 8 punktem podstawy programowej) X. Stereometria (korelacja z 9 punktem podstawy programowej) XI. XII. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (korelacja z 10 punktem podstawy programowej) Elementy statystyki opisowej (korelacja z 10 punktem podstawy programowej)

67 XIII. XIV. Rachunek różniczkowy (korelacja z 11 punktem podstawy programowej) Rachunek całkowy

68 Treści kształcenia i cele edukacyjne

69

70 I. ELEMENTY LOGIKI I TEORII ZBIORÓW CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności dowodzenia praw logicznych. Kształtowanie umiejętności negowania zdania złożonego. Rozwijanie umiejętności wnioskowania matematycznego. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność zdań Suma, iloczyn i różnica zbiorów Prawa de Morgana Prawa rachunku zdań: prawo podwójnego przeczenia prawo łączności koniunkcji prawo łączności alternatywy prawo zaprzeczenia implikacji

71 prawo przechodniości implikacji Prawa rachunku zbiorów: przemienność sumy zbiorów przemienność iloczynu zbiorów łączność sumy zbiorów łączność iloczynu zbiorów rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów wnioski z praw rozdzielności

72 II. ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Dostrzeganie własności różnych rodzajów liczb. Poznawanie historii liczb z uwzględnieniem ewolucji i rozwoju systemów liczbowych. Kształtowanie umiejętności wykorzystywania zależności liczbowych. Poznawanie większych zbiorów liczbowych niż zbiór liczb rzeczywistych i ich zastosowania w praktyce. Umiejętność szacowania i porównywania skomplikowanych wartości liczbowych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Niedziesiętne systemy liczbowe Notacja wykładnicza Potęgowanie o wykładniku wymiernym i niewymiernym odnajdywanie ostatnich cyfr potęg Działania na pierwiastkach znajdowanie przybliżeń pierwiastków

73 Wartość bezwzględna z liczby Własności i zależności logarytmiczne Działania modulo n Małe twierdzenie Fermata Wielkie Twierdzenie Fermata Nietypowe zależności procentowe Ciekawe własności liczb: liczby trójkątne liczby pierwsze liczby względnie pierwsze liczby złożone liczby doskonałe liczby niedoskonałe liczby nadmierne

74 liczby jedynkowe liczby Fermata liczby bliźniacze liczby zaprzyjaźnione złota liczba liczby pitagorejskie Arytmetyczne ułamki łańcuchowe Niestandardowe cechy podzielności liczb (przez 7, 11, 13, 37, 101, 143, 1001) dowody dotyczące podzielności liczb Techniki szybkiego liczenia w pamięci: system wedyjski, np. mnożenie w pamięci liczb typu 28 x 22, 43 x 47 wraz z zastosowaniem do ułamków dziesiętnych algorytm mnożenia w pamięci liczb z zakresu 11-19, np. 11 x 15

75 algorytm szybkiego mnożenia liczb bliskich 100 i 1000, np. 98 x 97, 1002 x 1005 wraz z zastosowaniem do ułamków Zbiór liczb rzeczywistych jako podzbiór liczb zespolonych: własności i proste działania na liczbach zespolonych

76 III. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności zapisu zjawisk rzeczywistych w sposób symboliczny za pomocą znaków i symboli matematycznych. Rozwijanie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym. Nauka systematyzacji danych. Kształtowanie umiejętności wyprowadzania wzorów algebraicznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Wyrażenia algebraiczne jako uniwersalny język wszelkich zjawisk: opisywanie za pomocą wyrażeń algebraicznych związków między różnymi wielkościami opisywanie własności liczb z wykorzystaniem różnych przekształceń wyrażeń algebraicznych, np. wykazywanie własności wyrażeń algebraicznych wyrażenia algebraiczne jako narzędzie porządkowania danych i redukcji ich zapisu do prostszej postaci Wzory skróconego mnożenia: drugiego stopnia trzeciego stopnia

77 wyprowadzanie wzorów dowolnego stopnia z użyciem trójkąta Pascala i symbolu Newtona Techniki szybkiego liczenia w pamięci z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia Przekształcanie wyrażeń algebraicznych i doprowadzanie do prostszej postaci Dziedzina wyrażeń algebraicznych Wielomiany i ich własności: wielomiany trzeciego stopnia rozkład na czynniki dzielenie wielomianów, w tym zadania z parametrem tw. Bezout pierwiastki wielomianu (w tym k krotne)

78 IV. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności zapisu zjawisk rzeczywistych w sposób symboliczny za pomocą symboli matematycznych. Rozwijanie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym przez zapisywanie ich równaniem matematycznym, nierównością lub układem równań. Nauka systematyzacji danych. Rozwijanie umiejętności stosowania równań, nierówności i układów równań w sytuacjach problemowych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Równania i nierówności wymierne Rozwiązywanie nierówności w układzie współrzędnych Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z trzema i więcej niewiadomymi różnymi metodami algebraicznymi: wzorów Cramera, w tym z parametrem z uwzględnieniem przypadków gdy układ jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny metodą macierzową Macierze: obliczanie wyznaczników

79 dodawanie i odejmowanie macierzy mnożenie macierzy przez skalar rozwinięcie Laplace a macierz odwrotna mnożenie kolumny lub wiersza macierzy a wartość wyznacznika mnożenie macierzy Równania i nierówności, w tym z wartością bezwzględną i parametrem: pierwszego stopnia kwadratowe wielomianowe wykładnicze logarytmiczne Wzory Viete a dla funkcji kwadratowej Zapisywanie związków między nieznanymi wielkościami za pomocą układu równań

80 pierwszego, drugiego czy trzeciego stopnia z dwiema lub więcej niewiadomymi Typy układów równań (oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne) ze szczególnym uwzględnieniem znajdowania rozwiązań szczególnych dla określonych parametrów Wizualizacja przedziałów liczbowych: ograniczonych nieograniczonych

81 V. FUNKCJE WŁASNOŚCI I RODZAJE CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie dostrzegania i identyfikowania zależności funkcyjnych we wszechświecie. Wnioskowanie na podstawie obserwacji i analizy struktur dynamicznych w otaczającym świecie i przełożenie na matematyczny obiekt abstrakcji. Znajdowanie zależności na podstawie różnego rodzaju funkcji. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Czy każda krzywa jest funkcją? ciekawe rodzaje funkcji: liść Kartezjusza Konchoida ślimak Pascala Wyznaczanie dziedzin funkcji Funkcje okresowe oraz wykresy ) oraz na postawie wykresów funkcji trygonometrycznych Rodzaje przekształceń wykresów funkcji: symetria osiowa względem osi OX i OY

82 symetria środkowa względem dowolnego punktu translacja z wartością bezwzględną Wykresy i własności funkcji oraz ich przekształceń: liniowej kwadratowej wykładniczej logarytmicznej potęgowej wymiernej na przykładzie funkcji homograficznej signum z częścią całkowitą (entier) Zadania optymalizacyjne Zadania dotyczące funkcji i ilości rozwiązań w zależności od parametru

83 VI. CIĄGI CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształtowanie umiejętności zapisywania wyrażeń o postaci nieskończonej do postaci wyrażeń algebraicznych. Rozwijanie umiejętności rozwiązywania zadań na dowodzenie. Posługiwanie się własnościami ciągów w życiu codziennym (procent składany). TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Rodzaje ciągów liczbowych: ciągi arytmetyczne ciągi geometryczne Ciągi zdefiniowane rekurencyjnie Granica ciągu liczbowego: twierdzenie o trzech ciągach Granica ciągu jako liczba Eulera Szereg geometryczny Ciąg Fibonacciego

84 Oprocentowanie lokat i kredytów (procent prosty i składany) Fraktale: dywan i trójkąt Sierpińskiego

85 VII. TRYGONOMETRIA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie umiejętności rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu trudności, wymagających niekonwencjonalnych pomysłów i metod z zastosowaniem trygonometrii. Kształcenie umiejętności wnioskowania za pomocą tożsamości trygonometrycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Rodzaje funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cotangens): koło trygonometryczne jak powstaje sinus i cosinus wykresy i przekształcenia funkcji trygonometrycznych parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych Funkcje odwrotne do trygonometrycznych Tożsamości trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

86 Funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta Wzory redukcyjne

87 VIII. PLANIMETRIA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie wyobraźni geometrycznej. Kształcenie umiejętności dobierania właściwego twierdzenia geometrycznego do konkretnej sytuacji problemowej. Kształtowanie umiejętności wykonywania konstrukcji geometrycznych o podwyższonym stopniu trudności. Historia starożytnej matematyki greckiej ze szczególnym uwzględnieniem nierozwiązywalnych problemów matematycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Historia starożytnej geometrii: kwadratura koła podwojenie sześcianu na podstawie poszukiwania pierwiastka trzeciego stopnia z liczby 2 trysekcja kąta Konstrukcja długości niewymiernych Fraktale Złoty podział czyli boska proporcja Wielokąty:

88 własności wielokątów wielokąty foremne twierdzenie Picka Trójkąty: twierdzenie o symetralnych boków trójkąta różne rodzaje wzorów na pola m.in. wzór Herona twierdzenie o środkowych trójkąta twierdzenie o dwusiecznych trójkąta środek ciężkości trójkąta - barycentrum twierdzenie Talesa twierdzenie Cevy twierdzenie Vivianiego twierdzenie van Aubela twierdzenie Stewarta twierdzenie sinusów

89 twierdzenie cosinusów trójkąt egipski i trójki pitagorejskie boki trójkąta o kątach 30 o, 60 o, 90 o boki trójkąta o kątach 45 o, 45 o, 90 o Czworokąty i ich własności: czworokąt opisany na okręgu czworokąt wpisany w okrąg twierdzenie Ptolemeusza Koło i okrąg własności, równania okręgu i nierówności koła oraz odcinki i proste charakterystyczne: prosta i okrąg Eulera długość łuku okręgu pole wycinka koła Przekształcenia geometryczne: symetria osiowa

90 symetria środkowa przesunięcie o wektor obrót o dany kąt jednokładność o środku S i skali k

91 IX. GEOMETRIA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Rozwijanie wyobraźni geometrycznej. Kształtowanie umiejętności używania języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. Kształtowanie interpretacji pojęć matematycznych. Doskonalenie umiejętności operowania pojęciami matematycznymi w zakresie geometrii na płaszczyźnie kartezjańskiej. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Prosta przechodząca przez dwa punkty Równoległość i prostopadłość prostych Odległość punktu od prostej Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka Długość odcinka w układzie współrzędnych Pole trójkąta w układzie współrzędnych

92 Okrąg w postaci kanonicznej Przekształcenia w układzie współrzędnych: symetria osiowa względem osi układu współrzędnych symetria środkowa względem początku układu współrzędnych Wektory w układzie współrzędnych - działania na wektorach

93 X. STEREOMETRIA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Poznawanie rozwoju geometrii na przestrzeni wieków. Stosowanie twierdzeń geometrycznych do rozwiązywania zadań praktycznych np. obliczania pól powierzchni czy objętości. Poznanie brył: środkowosymetrycznych, osiowosymetrycznych, płaszczyznowo - symetrycznych. Kształtowanie umiejętności rozwiązywania nietypowych zadań geometrycznych, dotyczących brył, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem poznanych twierdzeń. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Graniastosłupy rodzaje i ich własności oraz obliczanie m. in. pól powierzchni, objętości i charakterystycznych długości i kątów Ostrosłupy rodzaje i ich własności oraz obliczanie m. in. pól powierzchni, objętości i charakterystycznych długości i kątów Przekroje płaskie graniastosłupów i ostrosłupów Wielościany foremne i półforemne oraz ich własności

94 Bryły obrotowe rodzaje i ich własności oraz obliczanie m. in. pól powierzchni, objętości i charakterystycznych długości i kątów Krzywe stożkowe

95 XI. KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Doskonalenie umiejętności rozwiązywania nietypowych zadań dotyczących kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem poznanych twierdzeń. Nabycie umiejętności zbierania, selekcjonowania i przedstawiania danych. Wnioskowanie zależności na podstawie analizy danych. Rozwijanie umiejętności przewidywania szansy wystąpienia określonego wyniku w pewnym zdarzeniu. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Najważniejsze narzędzia kombinatoryki: permutacje permutacje z powtórzeniami kombinacje wariacje z powtórzeniami wariacje bez powtórzeń

96 Zadania kombinatoryczne Zasada szufladkowa Dirichleta Prawdopodobieństwo klasyczne Prawdopodobieństwo całkowite schemat drzewa probabilistycznego Suma i iloczyn prawdopodobieństw Schemat Bernoulliego

97 XII. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Nabycie umiejętności zbierania, selekcjonowania i przedstawiania danych. Wnioskowanie zależności na podstawie analizy danych. Nauka interpretowania parametrów statystycznych dla danych empirycznych. Rozwijanie umiejętności przewidywania szansy wystąpienia określonego wyniku w pewnym zdarzeniu. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Charakterystyka próby statystycznej za pomocą parametrów: średniej arytmetycznej średniej ważonej mediany dominanty wariancji odchylenia standardowego

98 Diagramy statystyczne

99 XIII. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Nauka wykorzystywania własności rachunku różniczkowego do optymalizowania danych w określonych problemach matematycznych występujących w życiu codziennym. Kształcenie umiejętności nowych działań matematycznych. Rozwijanie umiejętności badania własności funkcji przy wykorzystaniu rachunku różniczkowego. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Definicja pochodnej i iloraz różnicowy na wykresie Twierdzenia i wzory dotyczące pochodnej funkcji Obliczanie pierwszych i drugich pochodnych, w tym pochodnych złożonych Zastosowanie rachunku pochodnych: styczna do wykresu funkcji monotoniczność i ekstrema funkcji punkty przegięcia oraz wklęsłość i wypukłość funkcji badanie przebiegu zmienności wielomianów

100 optymalizacja z wykorzystaniem pochodnych

101 XIV. RACHUNEK CAŁKOWY CELE EDUKACYJNE TEMATYKA Kształcenie umiejętności nowych działań matematycznych. Stosowanie rachunku całkowego w życiu codziennym. Poszerzenie horyzontów matematycznych. TEMATYKA SZCZEGÓŁOWA DOSTĘPNE FORMY MATERIAŁÓW DYDAKTYCZNYCH Definicja całki nieoznaczonej Wzory i obliczenia całek elementarnych Sposoby obliczania całek nieoznaczonych przez: podstawienie części Całka oznaczona Całka jako narzędzie doskonałe do obliczania np. pól powierzchni na podstawie całki oznaczonej

102