Jako symbole niedeklaratywne wprowadzamy: <argument>, <argumenty>, <atom>, <form>. Regułami produkcji języka są:
|
|
- Sylwia Wolska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1.2 Logika pierwszego rzędu Język rachunku kwantyfikatorów Dokonując formalizacji języka dowolnej dziedziny wiedzy, jak zostało to pokazane w stosownym podrozdziale, dla wszystkich wyraŝeń równokształtnych, reprezentujących tę sama wiedzę, stosujemy równokształtne schematy tych wyraŝeń: reprezentacjami wyraŝeń zdaniowych są formuły, a reprezentacjami nazw są termy, natomiast reprezentacjami klas równokształtnych funktorów nazwotwórczych i zdaniotwórczych są odpowiednio symbole funkcyjne oraz symbole predykatywne i symbole spójników. Gwoli ścisłości, naleŝy dodać, Ŝe mówiąc o klasach równokształtnych wyraŝeń mówimy o wiedzy dotyczącej budowy tych wyraŝeń, a więc o pojęciach oraz związkach pomiędzy tymi pojęciami. Czy otrzymany na drodze formalizacji język moŝemy określić jako język bezkontekstowy stosując notację BNF? PokaŜemy najpierw dla rachunku kwantyfikatorów, Ŝe tak: Definicja Niech zbiór symboli terminalnych języka rachunku predykatów stanowi suma zbiorów: symboli zdań prostych S, symboli predykatywnych P, symboli stałych C oraz zmiennych V, dodatkowo C log jest zbiorem symboli spójników i kwantyfikatorów, a M zbiorem symboli pomocniczych. Przyjmujemy, Ŝe S = {true, false, p 1, p 2, }, P = {P 1 1, P 2 1,, P 1 2, P 2 2, }, gdzie indeks dolny oznacza numer danego predykatu, indeks górny oznacza liczbę przyłączanych argumentów, C = {c 1, c 2, c 3, }, V = {x 1, x 2, x 3,,}, C log = {,,,, }, M = {nawiasy (, ), przecinek}. Jako symbole niedeklaratywne wprowadzamy: <argument>, <argumenty>, <atom>, <form>. Regułami produkcji języka są: <argument>::= x c <argumenty>::= <argument> <argumenty>,<argument> <atom>::= p P(<argumenty>) <literał>::= <atom> <atom> <form>::= <literał> <form> (<form> < form>) (<form> < form>) (<form> < form>) (<form> < form>) x<form> x<form>,
2 gdzie x V, c C, p S, P P. Słowa języka określone przez symbol <form> nazywamy formułami rachunku kwantyfikatorów. Zbiór wszystkich formuł oznaczamy przez Form. Przykład Stosując zapis strzałkowy dla wywodu formuły pokaŝemy, Ŝe wyraŝenie ( x 1 x 2 P 1 2 (x 1,x 2 ) P 1 2 (c 1,x 2 )) jest formułą rachunku kwantyfikatorów: <form> (<form> < form>) ( x 1 <form> <form>) ( x 1 x 2 <form> <form>) ( x 1 x 2 <atom> <atom>) ( x 1 x 2 P 1 2 (<argumenty>) P 1 2 (<argumenty>)) ( x 1 x 2 P 1 2 (x 1,x 2 ) P 1 2 (c 1,x 2 )) Semantyka i operacje konsekwencji pełność rachunku kwantyfikatorów Dotąd rozwaŝaliśmy schematy zdań będące reprezentacjami wiedzy o tym, w jaki sposób zdania złoŝone są zbudowane ze zdań prostych. Schematy zdań są formułami języka rachunku kwantyfikatorów naleŝącymi do zbioru Form, a więc zbudowane są zgodnie z regułami produkcji określającymi symbol <form>. Nie interesowało nas, czy zdanie reprezentuje wiedzę o pewnym stanie rzeczy, określonym w ramach rozwaŝanej dziedziny wiedzy, czy nie, tj. czy podstawowe składniki budowy zdania moŝemy zinterpretować w danej dziedzinie wiedzy, czy nie. Zinterpretowanie poszczególnych składników zdania nie oznacza, Ŝe cale zdanie reprezentuje wiedzę w danej dziedzinie. Np. zdanie człowiek jest kamieniem nie reprezentuje tego, Ŝe ludzi moŝna uznać za kamienie, bo taki związek nie zachodzi, chociaŝ kaŝdy ze składników wymienionego zdania moŝna zinterpretować w sposób właściwy w dziedzinie wiedzy o otaczającym nas świecie: są ludzie, są kamienie oraz jedne pojęcia zawierają się w drugich. Gdy moŝemy rozstrzygnąć, czy zdanie reprezentuje wiedzę w danej dziedzinie wiedzy, to mówimy, Ŝe ma wartość logiczną prawdy, a gdy moŝemy rozstrzygnąć, Ŝe zdanie nie reprezentuje wiedzy, to mówimy, Ŝe ma wartość logiczną fałszu w rozpatrywanej dziedzinie wiedzy. Formułom reprezentującym zdania prawdziwe przypisujemy wartość prawdy, a formułom reprezentującym zdania fałszywe przypisujemy wartość fałszu. Polski logik Alfred Tarski w latach trzydziestych XX w. opracował metodę przypisywania wartości logicznej formułom reprezentującym zdania opisujące wiedzę określoną przez wielosortowe struktury relacyjne. Dla formuł atomowych postaci <predykat>(<argumenty>) określił funkcję spełniania, która predykatowi przyporządkowywała pewną nazwę relacji z danej struktury
3 relacyjnej a argumentum przyporządkowywała nazwy elementów naleŝące do określonych uniwersów. Otrzymany przy takim podstawieniu formuły napis, albo reprezentował wiedzę o zachodzeniu relacji, albo tej wiedzy nie reprezentował. Gdy dla formuł atomowych zachodzi w tym sensie rozumiana reprezentacja wiedzy, logicy mówią, Ŝe formuły przy danym podstawieniu są spełnione w danej strukturze relacyjnej lub Ŝe struktura ta jest modelem tych formuł. Funkcja spełniania moŝe być rozszerzona dla dowolnych formuł rachunku kwantyfikatorów, a następnie dla formuł logiki pierwszego rzędu, zawierających termy. W tym celu stosuje się pewne poniŝej opisane zasady interpretacji wartości dla złoŝonych formuł przy załoŝeniu, Ŝe znamy jak wartości logiczne przypisane są formułom atomowym. Zdolność człowieka (ogólniej agenta) do rozstrzygania czy pewne zdania są prawdziwe w rozwaŝanej dziedzinie wiedzy nazywana jest asertywnością tej dziedziny wiedzy przez danego człowieka (agenta). Z tego powodu, proste zdania uznane przez człowieka (agenta) za prawdziwe nazywane są asercjami. Nie moŝe więc dochodzić pomiędzy ludźmi do przekazywania sobie wiedzy logicznej o komunikatach dotyczących rozwaŝanej przez nich dziedziny wiedzy bez asertywności tych ludzi wobec rozwaŝanej dziedziny wiedzy. W tym kontekście istotna dopiero staje się wiedza o tym, jaka jest zaleŝność pomiędzy wartością logiczną zdania złoŝonego utworzonego przy pomocy spójników ze zdań prostych, a wartościami logicznymi tych zdań prostych. Aby móc reprezentować tego rodzaju wiedzę, wartości prawdy i fałszu oznaczymy odpowiednio symbolami 1 i 0. Niech Form* oznacza zbiór formuł zamkniętych, tj. takich które mogą być schematami pewnych asercji, a więc takimi formułami, w których wszystkie zmienne powiązane są jakimiś kwantyfikatorami, zgodnie z zasadami tworzenia schematów zdań. Określimy teraz funkcję v: Form* {0,1} poprzez podanie tablic wartości logicznych dla formuł będących schematami zdań złoŝonych oraz sformułowanie stosownych zasad prawdziwościowych dla formuł poprzedzonych kwantyfikatorami lub dla negacji tych formuł. Funkcję v: Form* {0,1} nazywamy interpretacją formuł. Stosując metajęzyk budowany jako język formalny składający się ze schematów formuł rachunku kwantyfikatorów, w którym symbole: A, B, C, oznaczają dowolne formuły, a symbole A(x), B(x), oznaczają Ŝe zmienna x jest w formułach A, B, zmienną wolną (nie związaną kwantyfikatorem), określimy funkcję interpretacji w następujący sposób. W reprezentacji standardowej, będącej wynikiem formalizacji, wiedza o zasadach określania wartości logicznej zdań złoŝonych jest zazwyczaj przedstawiana za pomocą tabel prawdziwościowych, budowanych dla schematów tych zdań. Tabele prawdziwościowe dla formuł są wzorami, według
4 których określamy wartość logiczną zdania złoŝonego w zaleŝności od wartości zdań składowych: A B A A B A B A B A B Tab Formuły, które są schematami tylko zadań prawdziwych nazywamy tautologiami, a takie, które są schematami tylko zdań fałszywych nazywamy kontrtautologiami. To czy formuła jest tautologią czy nie moŝemy sprawdzić korzystając z tabel prawdziwościowych. Np. kaŝda formuła postaci (A (B C)) ( C A) jest tautologią, gdyŝ na podstawie tabel prawdziwościowych moŝna wykazać, Ŝe przy dowolnych wartościach logicznych składowych A, B, C formuła reprezentuje zadanie prawdziwe (Tab ) ZauwaŜmy, Ŝe na podstawie tabel prawdziwościowych dla spójników zdaniowych dysponujemy następującą wiedzą: formuła A jest tautologią, gdy dowolne zdanie o schemacie A jest fałszywe, co oznacza, Ŝe A jest kontrtautologią, formuła A B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A B co najmniej jedno ze zdań o schematach A, B jest prawdziwe, w szczególności, gdy jedna z formuł A lub B jest tautologią, formuła A B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A B oba zdania schematach A, B są prawdziwe, w szczególności, gdy obie formuły A i B są tautologiami, formuła A B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A B, jeŝeli zdanie o schemacie A jest prawdziwe, to zdanie o schemacie B jest prawdziwe, w szczególności, jeŝeli formuła A jest tautologią, to B jest teŝ tautologią, formuła A B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A B oba zdania o schematach A, B mają tę samą wartość logiczną, w szczególności, gdy obie formuły A i B są tautologiami lub kontrtautologiami,
5 A B C B C C A (B C C (A (B C)) ( C A) A Tab RozwaŜmy teraz formuły poprzedzone kwantyfikatorami. Niech A(x) jest dowolną formułą, w której x jest jedyną zmienną wolną. Oznaczmy zbiór wszystkich zdań, których schematem jest ta formuła przez P, gdy wszystkie zdania tego zbioru są prawdziwe, przez F, gdy są fałszywe, a przez T, gdy niektóre zdania tego zbioru są prawdziwe, a niektóre fałszywe. Wiedzę o wartościach logicznych zdań, których schematem jest formuła xa(x) lub formuła xa(x) reprezentuje tabela A(x) xa(x) xa(x) P 1 1 F 0 0 T 0 1 Tab Wiedzę reprezentowaną przez powyŝszą tabelę, dla dowolnych funkcji interpretacji, moŝemy teŝ sformułować następująco: jeŝeli formuła xa(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła A(x) jest schematem zdań wśród których kaŝde zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie A(c), gdzie wybór termu c nie zaleŝy od formuły A(x), a jedynie od dziedziny argumentu x, jest więc dowolny, jeŝeli formuła xa(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła A(x) jest schematem zdań wśród których co najmniej jedno zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie A(c), gdzie wybór termu c zaleŝy od formuły A(x) i
6 od dziedziny argumentu x, a więc moŝe być dokonany tylko raz podczas formalizacji tekstu, jeŝeli formuła xa(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła A(x) jest schematem zdań wśród których co najmniej jedno zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie A(c), gdzie wybór termu c zaleŝy od formuły A(x) i od dziedziny argumentu x, a więc moŝe być dokonany tylko raz podczas formalizacji tekstu, jeŝeli formuła xa(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła A(x) jest schematem zdań wśród których kaŝde zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie A(c), gdzie wybór termu c nie zaleŝy od formuły A(x), a jedynie od dziedziny argumentu x, jest więc dowolny, Definicja Niech dla wyróŝnionego zbioru Atom atomów (formuł atomowych) języka rachunku kwantyfikatorów określona jest funkcja v:atom {0,1}. Rozszerzamy tę funkcję do zbioru Form* formuł wyprowadzonych z wyróŝnionych atomów za pomocą reguł produkcji gramatyki języka Form, w sposób następujący: (ZN) v( A)=1 wttw nieprawda, Ŝe v(a)=1, (ZNN) v( A)=1 wttw v(a)=1, (ZK) v(a B)=1 wttw v(a)=1 i v(b)=1, (ZNK) v( (A B))=1 wttw nieprawda, Ŝe v(a)=1 lub nieprawda, Ŝe v(b)=1, (ZA) v(a B)=1 wttw v(a)=1 lub v(b)=1, (ZNK) v( (A B))=1 wttw nieprawda, Ŝe v(a)=1 i nieprawda, Ŝe v(b)=1, (ZC) v(a B)=1 wttw nieprawda, ze v(a)=1 lub v(b)=1, (ZNK) v( (A B))=1 wttw v(a)=1 i nieprawda, Ŝe v(b)=1, (ZE) v(a B)=1 wttw v(a)=1 i v(b)=1 lub nieprawda, Ŝe v(a)=1 i nieprawda, Ŝe v(b)=1, (ZNE) v( (A B))=1 wttw nieprawda, Ŝe v(a)=1 i v(b)=1 lub v(a)=1 i nieprawda, Ŝe v(b)=1, (ZEX) v( xa(x))=1 wttw istnieje taka stała c dotąd niewystępująca nigdzie w sprawdzaniu formuł, Ŝe v(a(c))=1, (ZNEX) v( xa(x))=1 wttw dla dowolnej stałej c v( A(c))=1, (ZALLX) v( xa(x))=1 wttw dla dowolnej stałej c v(a(c))=1, (ZNALLX) v( xa(x))=1 wttw istnieje taka stała c dotąd niewystępująca nigdzie w sprawdzaniu formuł, Ŝe v( A(c))=1, to tak określoną funkcję v: Form* {1} nazywamy interpretacją rachunku kwantyfikatorów. formuł
7 Wykorzystując powyŝszą wiedzę, sprawdzanie czy schemat danego zdania jest tautologią moŝna dokonywać na dwa sposoby: 1. zbadać, czy wartość logiczna prawdziwego zdania złoŝonego o danym schemacie nie zaleŝy od wartości logicznej zdań składowych jest to sprawdzanie wprost, 2. zbadać, czy załoŝenie, Ŝe zdanie złoŝone o danym schemacie ma wartość logiczną fałszu, moŝe prowadzić do sytuacji, w której zdanie przyjmuje dwie róŝne wartości logiczne czy teŝ, w której pewne zdanie i jego negacja są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe, tzn. zachodzi sprzeczność jest to sprawdzanie nie wprost. Zastosowanie definicji do sprawdzenia tautologiczności formuły rachunku kwantyfikatorów moŝemy prowadzić dla dowolnych funkcji interpretacji w dwóch typach notacji: drzewowej i linearnego zapisu poszczególnych kroków sprawdzenia. W notacji drzewowej, kaŝdy wierzchołek drzewa jest zapisem formuły uzyskanej z formuły w poprzednim wierzchołku po zastosowaniu jednej z zasad sprawdzania wymienionych w definicji. W linearnej notacji sprawdzenia formuły, kaŝdy nowy wiersz sprawdzenia jest numerowany (etykietowany) numerem kolejnym, a zastosowanie rozwidlenia, jak w przypadku alternatywy, prowadzi do kolejnego numerowania kaŝdej z dróg, a dla kaŝdej drogi alternatywy po dopisaniu kropce, kolejnym numerowaniu następnych kroków sprawdzenia. Np. a.2 v(a B)=1, lub 2.3 v(a B)=1, b.1 v(a)=1, v(a)=1, c.1 v(b)=1, v(b)=1,. Przedstawmy schematy notacji zasad sprawdzania tautologiczności formuł wystarczających w metodzie niewprost. Te zasady wymienione są w definicji Zaprezentujemy je po lewej stronie w notacji linearnej, a z prawej strony w notacji drzewowej: Zasada negacji formuły (ZN) a: v( A)=1,. b: v(a)=0 v( A)=1 v(a)=0
8 Zasada podwójnej negacji formuły (ZNN) a: v( A)=1, b: v(a)=1 Zasada koniunkcji (ZK) a: v(a B)=1, b: v(a)=1 z a:, c: v(b)=1 z b: v( A)=1.. v(a)=1 v(a B)=1 v(a)=1 v(b)=1 Zasada wywodu rozgałęzionego dla alternatywy (ZA) a: v(a B)=1,. b: v(a)=1 (zał. dod.), c: v(b)=1 (zał. dod.), v(a)=1 v(a B)=1 v(b)=1 Zasada negacji alternatywy (ZNA) a: v( (A B))=1, b: v( A)=1 z a:, c: v( B)=1 z b: v( (A B)) v( A)=1 v( B)=1
9 Zasada wywodu rozgałęzionego dla negacji koniunkcji (ZNK) a: v( (A B))=1, b: v( A)=1 (zał. dod.), c: v( B)=1 (zał. dod.), v( (A B))=1 v( A)=1 v( B)=1 Zasada negacji implikacji (ZNC) a: v( (A B))=1, b: v(a)=1 z a:, c: v( B)=1 z b: v( (A B))=1 v(a)=1 v( B)=1 Zasada wywodu rozgałęzionego dla implikacji (ZC) a: v(a B)=1, b: v( A)=1 (zał. dod.), c: v(b)=1 (zał. dod.), v( A)=1 v(a B)=1 v(b)=1
10 Zasada wywodu rozgałęzionego dla równowaŝności (ZE) a: v(a B)=1, b: v(a B)=1 (zał. dod.), c: v( A B)=1 (zał. dod.), v(a B)=1 v(a B)=1 v( A B)=1 Zasada wywodu rozgałęzionego dla negacji równowaŝności (ZNE) a: v( (A B))=1, b: v( A B)=1 (zał. dod.), c: v(a B)=1 (zał. dod.), v( (A B))=1 v( A B)=1 v(a B)=1 Zasada kwantyfikatora egzystencjalnego (ZEX) a: v( xa(x))=1,. b: v(a(c))=1 z a:, v( xa(x))=1 dla stałej c nie uŝywanej dotąd we sprawdzaniu Zasada kwantyfikatora generalnego (ZALLX) v(a(c))=1 a: v( xa(x))=1,. b: v(a(c))=1 z a:, v( xa(x))=1 v(a(c))=1 dla dowolnej stałej c
11 Zasada negacji kwantyfikatora egzystencjalnego (ZNEX) a: v( xa(x))=1,. b: v( A(c))=1 z a:, v( xa(x))= v( A(c))=1 dla dowolnej stałej c Zasada negacji kwantyfikatora generalnego (ZNALLX) a: v( xa(x))=1,. b: v( A(c))=1 z a:, v( xa(x)) v( A(c))=1 dla stałej c nie uŝywanej dotąd we sprawdzaniu Algorytm sprawdzania tautologiczności formuł 1. RozwaŜamy negację sprawdzanej formuły. 2. Stosujemy zasady sprawdzania wartości logicznej wychodząc od negacji sprawdzanej formuły, a zasady (ZALLX), (ZNEX), pozwalające wstawić dowolne stałe stosujemy, gdy juŝ nie moŝemy zastosować zasad (NALLX), (ZEX), podstawiając juŝ wcześniej uŝyte stałe tak aby w dalszym ciągu moŝna było uzyskać wartościowania sprzeczne. 3. Sprawdzenie kończymy w danej linii sprawdzania (na drodze drzewa sprawdzania), gdy natkniemy się na sprzeczność lub otrzymamy sprawdzenie literału (atomu lub negacji atomu), a dalsze zastosowanie zasad sprawdzanie nie moŝe prowadzić do uzyskania nowych literałów. 4. Napotkanie zakończenia według pkt. 3, oraz wykazanie, Ŝe nie daje się rozstrzygnąć czy uzyskamy sprzeczność końcowego literału z jakimś członem na danej drodze dowodu - sprzeczności nie ma lub poszukiwanie jej musi prowadzić do zapętlenia rozumowania; gdy sprzeczności nie ma to sprawdzanie badanej formuły kończy się wynikiem: formuła nie jest tautologią, w przypadku zapętlenia sprawdzania zakończenie jest nierozstrzygalne. 5. Napotkanie sprzeczności w kaŝdej linii sprawdzania (drogi drzewa sprawdzania) kończy sprawdzanie tautologiczności badanej formuły wynikiem: formuła jest tautologią.
12 Przykład (((p1 p2) p1) p2) Sprawdzenie linearne 1 v( (((p1 p2) p1) p2))=1 zał. nwp, 2 v(((p1 p2) p1))=1 z 1, (NC), 3 v( p2)=1 z 1, (NC), 4.1 v((p1 p2))=1 2, zał. dod., v( p1)=1 4.1, zał. dod. W literał p1 nie pozostaje w sprzeczności z p1, gdyŝ ta formuła nie występuje przed zał , zatem badana formuła nie jest tautologią Sprawdzenie drzewowe v( (((p1 p2) p1) p2))=1 v(((p1 p2) p1))=1 v( p2)=1 v(p1 p2)=1 v( p1)=1 Literał p1 nie pozostaje w sprzeczności z literałem p1 na drodze drzewa zaznaczonej przerywana kreską: badana formuła nie jest tautologią.
13 Przykład ( (p1 p2) (p1 p2)) Sprawdzenie linearne 1 v( ( (p1 p2) (p1 p2)))=1 zał.nwp, 2.1 v(( (p1 p2) (p1 p2))=1 1, (ZNE), zał.dod., 2.2 v((p1 p2))=1 2.1, (ZNN),(ZK), 2.3 v((p1 p2))=1 2.1, (ZK), 2.4 v(p1)=1 2.3, (ZK), 2.5 v( p2)=1 2.3,(ZK), v( p1)=1 2.2, (ZK), zał. dod., 2.6 sprzeczność 2.4 z 2.6.1, v(p2)=1 2.2, (ZK), zał. dod., 2.7 sprzeczność 2.5 z 2.7.1, 3.1 v(( (p1 p2) (p1 p2))=1 1, (ZNE), zał.dod., 3.2 v(( (p1 p2))=1 3.1, (ZK), 3.3 v( (p1 p2))=1 3.1, (ZK), 3.4 v(p1)=1 3.2, (ZNC), 3.5 v( p2)=1 3.2, (ZNC), v( p1)=1 3.3, (ZNK), zał.dod., 3.6 sprzeczność 3.4 z 3.6.1, v( p2)=1 3.3, (ZNK), zał.dod., v(p2)= , (ZNN), 3.7 sprzeczność 3.5 z PoniewaŜ sprzeczności wystąpiły we wszystkich określonych przez kolejne załoŝenia dodatkowe liniach sprawdzania negacji formuły, więc badana formuła jest tautologią.
14 Sprawdzenie w notacji drzewowej v( ( (p1 p2) (p1 p2)))=1 v(( (p1 p2) (p1 p2))=1 v(( (p1 p2) (p1 p2))=1 v((p1 p2))=1 v( (p1 p2))=1 v((p1 p2))=1 v( (p1 p2))=1 v(p1)=1 v(p1)=1 v( p2)=1 v( p2)=1 v( p1)=1 v(p2)=1 v( p1)=1 v( p2)=1 v(p2)=1 Idąc od wartości literałów umieszczonych na końcach drzewa do wierzchołka wszędzie napotykamy na sprzeczności, a więc: badana formuła jest tautologią. Przykład Prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do jednego ze składników alternatywy: ( x(a B(x)) (A xb(x))).
15 Sprawdzenie w notacji linearnej 1 v( ( x(a B(x)) (A xb(x))))=1 zał.nwp, 2.1 v(( x(a B(x)) (A xb(x))))=1 1, (ZNE), zał. dod., 2.2 v( x(a B(x)))=1 2.1,(ZK), 2.3 v((a xb(x)))=1 2.1, (ZK), 2.4 v( (A B(c1)))=1 2.2,(ZNALLX), 2.5 v( A)=1 2.4, (ZNA), 2.6 v( B(c1))=1 2.4, (ZNA), v(a)=1 2.3, (ZA), zał.dod., 2.7 sprzeczność 2.5 z 2.7.1, v( xb(x))=1 2.3, (ZA), zał.dod., v(b(c1))= , (ZALLX), 2.8 sprzeczność 2.6 z 2.8.2, 3.1 v(( x(a B(x)) (A xb(x))))=1 1, (ZNE), zał. dod., 3.2 v( x(a B(x)))=1 3.1, (ZK), 3.3 v( (A xb(x)))=1 3.1, (ZK), 3.4 v( A)=1 3.3, (ZNA), 3.5 v( B(c2))=1 3.3, (ZNA), 3.6 v((a B(c2)))=1 3.2, (ZALLX), v(a)=1 3.6, (ZA),zał.dod., 3.7 sprzeczność 3.4 z 3.7.1, v(b(c2))=1 3.6, (ZA), zał.dod., 3.8 sprzeczność 3.5 z We wszystkich liniach rozgałęzień sprawdzania formuły wystąpiły sprzeczności, a więc: badana formuła jest tautologią dla dowolnych podstawień innych formuł za formułę zamkniętą A i formułę B(x).
16 Sprawdzenie w notacji drzewowej v( ( x(a B(x)) (A xb(x))))=1 v(( x(a B(x)) (A xb(x))))=1 v( ( x(a B(x)) (A xb(x))))=1 v( x(a B(x)))=1 v( x(a B(x)))=1 v((a xb(x)))=1 v( (A xb(x)))=1 v( (A B(c1))=1 v( A)=1 v( A))=1 v( xb(x))=1 v( B(c1))=1 v( B(c2))=1 v(a)=1 v( xb(x))=1 v(a B(c2))=1 v(b(c1))=1 v(a)=1 v(b(c2))=1 Idąc od wartości literałów umieszczonych na końcach drzewa do wierzchołka wszędzie napotykamy na sprzeczności, a więc: badana formuła jest tautologią dla dowolnych podstawień innych formuł za formułę zamkniętą A i formułę B(x).
17 ZauwaŜmy, Ŝe sprawdzanie tautologiczności bazuje na wnioskowaniu, tak więc opisane zasady sprawdzania moŝna precyzyjniej przedstawić w postaci następujących schematów reguł wnioskowania (wywodu, derywacji): (NN) A A (K) A B A B (NK) ( A B) A B (A) (C) (E) A B A B A B A B A B ( A B) ( A B) (NE) (NA) ( A B) A B ( A B) (NC) A B ( A B) ( A B) ( A B) (EX) xa( x) A( c) (NEX) xa( x) A( x) (ALL) xa( x) A( c) (NALL) x( Ax) A( c) Gdzie znak oznacza rozgałęzienie wywodu, a ograniczenia nałoŝone na term są takie jak poprzednio. Dla stałych c w regułach, EX, NEX, ALL, NALL stosujemy te same warunki co dla odpowiednich zasad sprawdzania. Schemat formuły na poziomą kreską oznacza, Ŝe formuła ta występuje jako wiersz dowodu, a schemat formuły napisany pod kreską poziomą, oznacza, ze formułę taka moŝemy dopisać do tekstu dowodu jako nowy jego wiersz. Logicy w XX w. system dowodzenie wykorzystujący powyŝsze reguły nazwali dla zapisu linearnego systemem tabel semantycznych, a dla notacji drzewowej metodą tabel semantycznych. Przyjmijmy, Ŝe zamiast pisać wyraŝenie mówiące o prawdziwości formuły, w tekstach sprawdzania tautologiczności formuł będziemy pisali tylko samą formułę, a nazwy zasad sprawdzania zastąpimy odpowiadającymi tym zasadom nazwami reguł wnioskowania. Wtedy tekst sprawdzania tautologiczności formuły metodą niewprost przekształcony zostanie w tekst dowodu niewprost z uŝyciem reguł wnioskowania systemu tabel semantycznych, a drzewa sprawdzania staną się tabelami semantycznymi. Otrzymamy dowód badanej formuły, tak więc ta formuła będzie tezą rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych.
18 Dokonując proponowane przekształcenie linearnego tekstu sprawdzania formuły rachunku kwantyfikatorów w Przykładzie otrzymamy następujący tekst dowodu tej formuły Przykład ( x(a B(x)) (A xb(x))). Dowód: 1 ( x(a B(x)) (A xb(x))) zał.nwp, 2.1 ( x(a B(x)) (A xb(x))) 1, (NE), zał. dod., 2.2 x(a B(x)) 2.1,(K), 2.3 (A xb(x)) 2.1, (K), 2.4 (A B(c1)) 2.2,(NALLX), 2.5 A 2.4, (NA), 2.6 B(c1) 2.4, (NA), A 2.3, (A), zał.dod., 2.7 sprzeczność 2.5 z 2.7.1, xb(x) 2.3, (A), zał.dod., B(c1) 2.8.1, (ALLX), 2.8 sprzeczność 2.6 z 2.8.2, 3.1 ( x(a B(x)) (A xb(x))) 1, (NE), zał. dod., 3.2 x(a B(x)) 3.1, (K), 3.3 (A xb(x)) 3.1, (K), 3.4 A 3.3, (NA), 3.5 B(c2) 3.3, (NA), 3.6 (A B(c2)) 3.2, (ALLX), A 3.6, (A),zał.dod., 3.7 sprzeczność 3.4 z 3.7.1, B(c2) 3.6, (A), zał.dod., 3.8 sprzeczność 3.5 z
19 Nietrudno zauwaŝyć, Ŝe zaprezentowane wyŝej reguły wywodu formuł w rachunku kwantyfikatorów pozwalają budować dowody niewprost dla tych formuł w sposób równokształtny do pokazanego sprawdzania tautologiczności tych formuł. Tak więc zachodzi Metatwierdzenie (o pełności) Formuły dowodzone w systemie tabel semantycznych są tezami systemu wttw gdy interpretowane są jako tautologie. W powyŝszym kontekście, o system tabel semantycznych nazywamy systemem pełnym. We sprawdzaniu tautologiczności dowolnej formuły zamkniętej A stosujemy pojęcie wynikania logicznego formuła A z pewnego zbioru X formuł poprzedzających ja tym sprawdzaniu, co zapisujemy: X = A. Definicja (wynikania logicznego) 1. = A = df v(a) = 1, 2. X = A = df istnieją formuły A 1, A 2,,A n X takie, Ŝe v((a 1 A 2 A n ) A) = 1. Odpowiednikiem wynikania w dowodach tez jest ich wyprowadzanie, co zapisujemy: X - A. Definicja (wyprowadzania, wywodu formuł) 3. - A = df A jest tezą, 4. X = A = df istnieją formuły A 1, A 2,,A n X takie, Ŝe formuła (A 1 A 2 A n ) A jest tezą. Metatwierdzenie System tabel semantycznych jest systemem pełnym wttw gdy dla dowolnego zbioru X formuł zamkniętych oraz dowolnej formuły zamkniętej A: X - A wttw gdy X = A. Metoda tabel semantycznych jest takŝe skuteczna do badania poprawności rozumowań prezentowanych w tekstach wyraŝających wiedzę z dowolnych dziedzin oraz do określenia szerokiej klasy formuł (tzw. klauzul hornowskich), dla których moŝliwa jest automatyzacja rozumowań przez komputery. Tak rozumiana automatyzacja jest przedmiotem programowania logicznego. Tabele praw rachunku zdań L1. (modus ponendo ponens) (((A B) A) B)
20 L2. (modus tollendo tollens) (((A B) B) A) L3. (modus tollendo ponens) (((A B) B) A) L4. (prawo transpozycji) ((A B) ( B A)) L5. (prawo redukcji do absurdu) (((A B) (A B)) A) L6. (prawo negacji implikacji) ( (A B) (A B)) L7. (prawo de Morgana dla koniunkcji) ( (A B) ( A B)) L8. (prawo de Morgana dla alternatywy) ( (A B) ( A B)) L9. (sylogizm hipotetyczny) (((A B) (B C)) (A C)) L10. (dylemat konstrukcyjny prosty) ((((A C) (B C)) (A B)) C) L11. (dylemat konstrukcyjny złoŝony) ((((A C) (B D)) (A B)) (C D)) Tablice praw rachunku kwantyfikatorów L12. (prawo de Morgana dla kwantyfikatora generalnego) ( xa(x) x( A(x))) L13. (prawo de Morgana dla kwantyfikatora egzystencjalnego) ( xa(x) x( A(x))) (prawa de Morgana dla kwantyfikatorów o ograniczonym zasięgu)
21 (x D(x)) A = df x (D(x) A), (x D(x)) A = df x (D (x) A) L14. ( (x A(x))B(x) (x A(x))( B(x))) L15. ( (x A(x))B(x) (x A(x))( B(x))) L16. (pierwsze prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na implikację) ( x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x))) L17. (drugie prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na implikację) ( x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x))) L18. ( prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na koniunkcję) ( x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x))) L19. ( prawo rozkładu kwantyfikatora egzystencjalnego na koniunkcję) ( x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x))) L20. ( prawo rozkładu kwantyfikatora egzystencjalnego na koniunkcję) ( x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x))) L21. ( prawo rozkładu kwantyfikatora egzystencjalnego na alternatywę) ( x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x))) L22. ( prawo wyłączania kwantyfikatora egzystencjalnego przed alternatywę) (( xa(x) xb(x))) x(a(x) B(x))) L23. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do następnika implikacji) ( x(a B(x)) (A xb(x))) L24. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do następnika implikacji) ( x(a B(x)) (A xb(x))) L25. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do poprzednika implikacji) ( x(a(x) B) ( xa(x) B)) L26. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do poprzednika implikacji)
22 ( x(a(x) B) ( xa(x) B)) L27. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do jednego ze składników alternatywy) ( x(a B(x)) (A xb(x))) L28. (prawo przenoszenia kwantyfikatora generalnego do jednego ze składników koniunkcji) ( x(a B(x)) (A xb(x))) L29. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do jednego ze składników alternatywy) ( x(a B(x)) (A xb(x))) L30. (prawo przenoszenia kwantyfikatora egzystencjalnego do jednego ze składników koniunkcji) ( x(a B(x)) (A xb(x))) L31. (prawo przestawiania kwantyfikatora generalnego) ( x ya(x,y) y xa(x,y)) L32. (prawo przestawiania kwantyfikatora egzystencjalnego) ( x ya(x,y) y xa(x,y)) L33. (prawo przestawiania kwantyfikatora egzystencjalnego z generalnym) ( x ya(x,y) y xa(x,y))
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowo1.2.3 Funkcjonalna pełność
1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŝenie niewrost o przypisaniu formule wartości fałszu, a następnie
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoLogiczna analiza tekstu
Logiczna analiza tekstu Większość współczesnych środków informatycznych obsługujących Internet wykorzystuje lepiej lub gorzej określone operacje i reguły logicznej analizy tekstu. W tym kontekście, znajomość
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a
Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowo2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja. 2.1 Funkcje i termy
2. Język klauzul: syntaktyka, semantyka, rezolucja 2.1 Funkcje i termy Zapoznanie się z systemami reprezentacji wiedzy logicznej ograniczyliśmy jak dotąd do rachunku kwantyfikatorów i nie były rozwaŝane
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoWybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoPODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI
Katedra Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium PROGRAMOWANIE SYSTEMÓW EKSPERTOWYCH Opracowanie: Dr hab. inŝ. Jacek Kucharski Dr inŝ. Piotr Urbanek Cel ćwiczenia
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Bardziej szczegółowoZagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoRachunek zdao i logika matematyczna
Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoDalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoReguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3
Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoLista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoPredykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoMichał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoKultura logicznego myślenia
Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne
Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne
Bardziej szczegółowo1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowo8. SKRÓCONA METODA ZERO-JEDYNKOWA
8. SKRÓCONA METODA ZERO-JEDYNKOWA W rozdziale tym poznamy skróconą metodę zero-jedynkową. Zakłada ona umiejętność określania wartości logicznych «wstecz», a pozwoli nam dość sprawnie dowieść, że (a) pewien
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która przy dowolnym podstawieniu wartości
Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która rzy dowolnym odstawieniu wartości zmiennych jest zawsze rawdziwa. Zadaniem logiki jest m.in. oisanie tych schematów za omocą
Bardziej szczegółowo