1.2.3 Funkcjonalna pełność

Transkrypt

1 1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŝenie niewrost o przypisaniu formule wartości fałszu, a następnie jej sprawdzanie zgodnie z przyjętym algorytmem, dokonywane jest dla dowolnych funkcji interpretacji w ten sam sposób, tj. dla wszystkich funkcji sprawdzenia są równokształtne. Ten stan rzeczy spowodowany jest równokształtnością zasad sprawdzania podanych w definicji funkcji interpretacji dla wszystkich funkcji interpretacji. Powstaje pytanie, czy funkcję interpretacji moŝna określić podając mniejszą liczbę zasad sprawdzania. Ponadto wiedza logiczna reprezentowana przez tabele prawdziwościowe określone dla spójników oraz kwantyfikatorów wskazuje, Ŝe wiedzę o jednych spójnikach moŝna określić uŝywając w metajęzyku tabel prawdziwościowych dla innych spójników. Podobnie jest wiedzą logiczną formuł, które stają się zamknięte przez dopisanie do nich stosownych kwantyfikatorów. Np. dla wszystkich funkcji wartościowań mamy v(a B) =v( ( A B)), v( xa) = v( x( A)). Takie określenie wartości logicznych dla koniunkcji oraz kwantyfikatora egzystencjalnego, pozwala uprościć funkcjonalnie rachunek kwantyfikatorów do rachunku dla formuł budowanych z formuł atomowych za pomocą znaków:,,. Więcej, moŝemy pokazać, Ŝe dla rachunku zdań, otrzymamy wtedy system funkcjonalnie pełny, tj. kaŝda funkcja Boolowska B:{0,1} {0,1} {0,1} = {0,1} n {0,1}, reprezentuje pewną formułę Ψ(p 1,p 2, p n ) rachunku zdań, do napisania której uŝyto jedynie symboli: p 1,p 2, p n,,, w taki sposób, Ŝe v(ψ(p 1,p 2, p n )) = B(v(p 1 ), v(p 2 ),,v(p n )). Systemami funkcjonalnie pełnymi są takŝe systemy zbudowane z formuł atomowych oraz 1) spójników:,, 2) spójników:,, 3) spójników:,,. Formuły rachunku zdań mogą być zapisane równowaŝnie w systemie trzecim, jako koniunkcje alternatyw pewnych literałów lub jako alternatywy koniunkcji pewnych literałów, a wtedy te ich równowaŝne postacie nazywamy postaciami kanonicznymi tych formuł, odpowiednio: koniunkcyjno-alternatywną, alternatywno-koniunkcyjną. Gdy formuły te pisane są równowaŝnie w systemie, którego język budowany jest z formuł atomowych oraz symbolu negacji i koniunkcji, to równowaŝną im postać nazywamy redukcyjną postaci kanoniczną.

2 1.2.4 RównowaŜność logiczna formuł ZauwaŜmy takŝe, Ŝe metoda sprawdzania tautologiczności zastosowana do dowolnej formuły zamkniętej prowadzi do wyznaczenia tej samej wartości logicznej, gdy dowolne formuły zamknięte zawarte w tej formule zastąpimy formułami posiadającymi dla dowolnej funkcji interpretacji te same wartości logiczne co zastąpione formuły. WaŜna jest zatem następująca definicja: Definicja (równowaŝność logiczna formuł) Dwie zamknięte formuły φ i ϕ rachunku kwantyfikatorów są równowaŝne logicznie wttw gdy dla wszystkich interpretacji v, v(φ)= v(ϕ). Klasę wszystkich równowaŝnych logicznie formuł zamkniętych traktujemy jako pojęcie (wiedzę) o interpretacji logicznej formuł. Metatwierdzenie (o zasadzie ekstensjonalności dla równowaŝności) Dwie równowaŝne logicznie formuły A i B moŝemy wzajemnie zastępować we wszystkich formułach zamkniętych, w których formuły A, B występują nie zmieniając dla dowolnej funkcji interpretacji wartości tych funkcji. Przechodząc do zapisów dowodów formuł moŝemy więc wprowadzić nową regułę wnioskowania, zwaną regułą ekstensjonalności dla równowaŝności: Metatwierdzenie (regułą ekstensjonalności dla równowaŝności EXE) Niech dla formuły Φ, zapis Φ[X] oznacza tę formułę z wyróŝnionymi w tej formule miejscami, w których występuje zamknięta formuła X. JeŜeli w tekście dowodu akceptowane są formuła Φ[X] oraz równowaŝność A B formuł zamkniętych A,B, to do dowodu moŝemy dopisać akceptację równowaŝności Φ[A/X] Φ[B/X], gdzie człony równowaŝności powstały przez zastąpienie: raz X przez A (zapis A/X), a drugi raz X przez B (zapis B/X). UŜywając notację stosowaną w zapisach reguł wnioskowania, powyŝsze sformułowanie reguły moŝemy zapisać następująco: (EXE) Φ[ X ] ( A B) Φ[ X / A] Φ[ X / B].

3 Wskazania słuŝące do budowy systemów dowodzenia Znajomość wiedzy o interpretacji logicznej oraz budowie formuł pozwala na: 1. podzielenie klasy formuł o tej samej interpretacji logicznej na podklasy formuł wśród których istnieje formuła będąca najprostszym schematem budowy dla pozostałych formuł w danej podklasie; dla tautologii taką formułę traktujemy w metajęzyku jako schemat prawa logicznego, 2. dołączenie do zbioru reguł wnioskowania reguły ekstensjonalności dla równowaŝności i rozpoczynanie dowodów od formuł równokształtnych z pewnymi prawami logicznymi ( formuły te nazwiemy aksjomatami systemu), 3. wybranie moŝliwie najmniej licznego zbioru aksjomatów, pozwalającego na wyprowadzenie moŝliwie wielu tez logicznych: odpowiedzieć na pytanie, czy rozwaŝany system jest aksjomatyzowalny, tj. czy moŝna wskazać zbiór (najlepiej skończony) zbiór aksjomatów, z których wyprowadzimy wszystkie tezy systemu, 4. w celu uproszczenia języka, dla niektórych schematów formuł, wprowadzenie skrótowych oznaczeń (tzw. skrótów definicyjnych), 5. ustalenie schematów tworzenia dowodu (np. wprost, niewprost, Systemy załoŝeniowego, logiczne pierwszego itp.). rzędu oraz teorie Wymienione wskazania słuŝące do budowy systemów dowodzenia umoŝliwiają określenie zbioru T formuł rachunku kwantyfikatorów będących tezami wyprowadzonymi ze zbioru aksjomatów A z uŝyciem reguł wnioskowania naleŝących do zbioru reguł R. PoniewaŜ reguły wnioskowania są relacjami określonymi na zbiorze formuł, więc rozwaŝamy tu pewnego rodzaju systemy relacyjne (struktury relacyjne). Definicja (systemu logicznego pierwszego rzędu) System <Form*,T,A,R> określony przez zbiór T formuł zamkniętych rachunku kwantyfikatorów będących tezami wyprowadzonymi ze zbioru aksjomatów A z uŝyciem reguł wnioskowania naleŝących do zbioru reguł R nazywamy systemem logicznym pierwszego rzędu lub logiką pierwszego rzędu.

4 Dla dowolnego systemu logicznego pierwszego rzędu moŝna przyjąć zgodnie z wiedzą o interpretacji formuł pewne schematy tworzenia dowodu, reprezentujące wiedzę o sprawdzaniu wartości logicznych formuł. Najprostszym schematem tworzenia dowodu jest sekwencyjne stosowanie reguł wnioskowań. Szczególnymi regułami są 1) reguły ustalające formuły jako aksjomaty, 2) reguły dopisujące do dowodu formuły będące podstawieniami praw logicznych, 3) reguła dedukcji, pozwalająca do dowodu dopisać implikację jeśli wcześniej wyprowadzony został poradnik implikacji, a następnie wyprowadzony (wywiedziony) następnik implikacji, 4) reguła dowodu niewprost pozwalająca do dowodu dopisać formułę z negacji której otrzymano sprzeczność (lub formułę false). Schematy tworzenia dowodu określają relację wyprowadzenia -. Operacja ta pozwala zdefiniować następującą operację Cn określoną na zbiorach formuł zamkniętych: Definicja (operacja konsekwencji) Niech dla systemu <Form*,T,A,R> ustalone są schematy tworzenia dowodu. Dla dowolnego X Form* Cn(X) = {F Form*: X A - F}. Gdzie X A - F oznacza wyprowadzenie formuły F ze zbioru X A przy wykorzystaniu reguł wnioskowania w systemie <Form*,T,A,R>, zgodnie ze schematami tworzenia dowodu. Wniosek Dla dowolnych X, Y Form* 1. Cn(A) = T, 2. X Cn(X), 3. jeśli X Y, to Cn(X) Cn(Y), 4. Cn(Cn(X)) = Cn(X). Operator przyporządkowujący dowolnym zbiorom formuł zamkniętych pewne zbiory formuł i spełniający warunki 2-4 zwany jest operatorem Kuratowskiego. Niekiedy zbiór formuł zamkniętych z operatorem Kuratowskiego utoŝsamiany jest z określeniem logiki jako systemu konsekwencji (w szczególności systemu dedukcji). Pierwsze badania takich systemów były prowadzone przez polskiego logika Alfreda Tarskiego. Do dzisiaj w tej dziedzinie badań jest wiele problemów nierozwiązanych.

5 Wniosek a) System tabel semantycznych z regułą dowodu niewprost jest logiką pierwszego rzędu, b) W systemie tabel semantycznych zbiór aksjomatów jest pusty : Cn( ) = T. Przykład (system hilbertowski ) Do najprostszych systemów logicznych pierwszego rzędu naleŝy system hilbertowski (zaprezentowany w 1928 r. w pracy D. Hilberta, W. Ackermanna). Aksjomaty Dla dowolnych formuł A,B,C Form* Aks.1 (A (B A)). Aks.2 ((A (B C)) ((A B) (A C))). Aks.3 (( B A) (A B)). Dla dowolnej stałej a Aks.4 ( xa(x) A(a)). Aks.5 ( x(a B(x)) (A xb(x))), pod warunkiem, Ŝe zmienna x nie występuje w formule A jako zmienna wolna. Reguły wnioskowania (dowodzenia) (modus ponens - MP) A A B B A( a) (reguła generalizacji) xa( x) jeśli a jest dowolnie ustaloną stałą.

6 1.2.6 Teorie formalne Ludzkość przez tysiąclecia swojej historii opanowywała środki pozyskiwania wiedzy, zróŝnicowane w czasie i dostępie do zdobyczy kulturowych i cywilizacyjnych oraz umoŝliwiające grupowanie obiektów w klasy (pojęcia) wykorzystywane w działalności praktycznej i poznawczej. Tak rodziły się wszelkie dziedziny wiedzy, którymi współcześnie się posługujemy w Ŝyciu codziennym i społecznym. Pojawienie się systemów logicznej wiedzy pozwoliło człowiekowi odnieść się do takich obiektów jak dziedziny wiedzy i ich reprezentacje (głównie językowe). Systemy logiczne pierwszego rzędu odsłoniły nam wiedzę nie tylko o budowie zdań, ale takŝe wiedzę o interpretacji formuł w systemach reprezentacji wiedzy: potrafimy określić klasy zdań równokształtnych, a takŝe klasy formuł tautologicznych - zawsze interpretowalnych (dla dowolnej funkcji interpretacji). Jakie korzyści poznawcze odnosimy dysponując wiedza logiczną? Posiadanie wiedzy logicznej prowadzi do znacznego powiększenia efektywności poznawczej człowieka: wystarczy, Ŝe dysponuje on interpretacjami schematów zdań atomowych danej dziedziny reprezentacji wiedzy, rozumianej jako struktura relacyjna, lub przyjmuje te zdania za pewniki (aksjomaty), wtedy podstawienia praw logicznych lub konsekwencje wyróŝnionych formuł atomowych, umoŝliwiają otrzymać schematy zdań reprezentujących wiedzę w danej dziedzinie wiedzy: zdań prawdziwych, zdań będących twierdzeniami danej dziedziny wiedzy. Definicja (teoria w ujęciu semantycznym) Dowolny zbiór formuł mających pewną interpretację w danej dziedzinie wiedzy, rozumianej jako struktura relacyjna, nazywamy teorią formalną w ujęciu semantycznym tej dziedziny wiedzy. Definicja (teoria w ujęciu syntaktycznym) Dowolny zbiór formuł będących schematami zdań przyjmowanej w pewnym systemie reprezentacji wiedzy jako pewniki reprezentujące wiedzę w danym systemie wiedzy lub konsekwencje tych schematów, nazywamy teoria formalna w ujęciu syntaktycznym tej dziedziny wiedzy. Definicja (modelu zbioru formuł) Dowolny zbiór formuł ma model w pewnej strukturze relacyjnej, jeśli jest interpretowalny w tej strukturze (istnieje funkcja interpretacji dowolnych formuł atomowych wyznaczająca zachodzenie pomiędzy obiektami odpowiadającymi argumentom tych formuł atomowych relacji struktury przypisanych tym formułom).

7 Z definicji modelu zbioru formuł oraz definicji teorii formalnej w ujęciu semantycznym wynika Metatwierdzenie KaŜda teoria w ujęciu semantycznym posiada model w pewnej strukturze relacyjnej. PoniewaŜ zbiór formuł posiadających model w strukturze relacyjnej jest zarazem zbiorem posiada formuł o wartości logicznej prawdy, więc nie zachodzi pomiędzy tymi formułami sprzeczność (nie wyprowadzi się z tych formuł, Ŝe dla pewnej formuły A jest: A i nieprawda Ŝe A), więcej, poniewaŝ zasady sprawdzania tautologiczności jak i reprezentujące te zasady reguły wnioskowania prowadzą od formuły prawdziwej do formuły prawdziwej, więc wszystkie zbiory formuł wyprowadzonych z formuł posiadających model, takŝe posiadają model. Zatem dobrze uzasadnione są następujące meta twierdzenia: Metatwierdzenie KaŜdy zbiór formuł posiadających model jest niesprzeczny. Metatwierdzenie KaŜda teoria formalna w ujęciu semantycznym posiada pewien model Metatwierdzenie KaŜda teoria formalna w ujęciu syntaktycznym posiada model jeśli jej aksjomaty (schematy pewników) posiadają model. Metatwierdzenie KaŜda teoria (tak w ujęciu semantycznym jak i syntaktycznym) posiadająca model jest niesprzeczna. To co zostało wyŝej powiedziane o teoriach moŝna, takŝe powiedzieć o systemach logicznych. W szczególności Zbiór wszystkich tez systemu hilbertowskiego logiki pierwszego rzędu jest teorią w ujęciu syntaktycznym: niesprzeczną i posiadająca model w dowolnej strukturze relacyjnej. Uwaga: ze względu na to, Ŝe kaŝda teoria w ujęciu semantycznym posiada model, najczęściej modelach teorii mówi się dla teorii w ujęciu syntaktycznym, dlatego w dalszym ciągu mówiąc w skrócie o teoriach będziemy je rozwaŝali w ujęciu syntaktycznym.

8 1.2.7 Teorie zupełne i rozstrzygalne Definicja (teoria zupełna) Niech T(U) będzie teorią, a zbiór U T(U) będzie zbiorem jej aksjomatów. Teorię T(U) nazywamy zupełną wttw, gdy U - A lub U - A, dla dowolnej zamkniętej formuły A. Intuicyjnie wydawałoby się, Ŝe najbardziej podstawowe teorie matematyczne są zupełne. Okazuje się, ze nie. Jedno z najwaŝniejszych twierdzeń metalogicznych XX w. udowodnionych przez Kurta Gödla w 1930 r. pokazało, Ŝe teoria liczb naturalnych sformułowana aksjomatycznie przez Peano moŝe nie być teorią zupełną. Metatwierdzenie (Gödla o niezupełności) Niech NT będzie zbiorem aksjomatów teorii liczb naturalnych. Jeśli teoria T(NP) jest niesprzeczna, to nie jest zupełna. JeŜeli teorię T(NT) uznamy za niesprzeczną, to Metatwierdzenie KaŜdą teorię, w której moŝemy zinterpretować teorię liczb naturalnych naleŝy zaliczyć do teorii, które nie są zupełne. Czy sprawdzenie zupełności teorii jest algorytmicznie zawsze moŝliwe? JeŜeli przyjmiemy hipotezę Churcha, Ŝe algorytmiczne jest wszelkie działanie dające się opisać arytmetycznie i tym samym dające się zrealizować na abstrakcyjnej maszynie obliczeniowej Turinga, to okaŝe się potrzebne nowe pojęcie Definicja (rozstrzygalności teorii) Niech T będzie teorią. Teoria T jest rozstrzygalna wttw, gdy istnieje algorytm, który dla dowolnej formuły zamkniętej A pozwala stwierdzić, czy A T, czy teŝ A T. Stąd natychmiast wynika, Ŝe Metatwierdzenie Teoria liczb naturalnych jest nierozstrzygalna. Przyjecie hipotezy Churcha prowadzi do wielu zaskakujących (paradoksalnych) zestawień twierdzeń:

9 Metatwierdzenie (lemat Lindenbauma) Niech T będzie teoria niesprzeczną. Wówczas istnieje niesprzeczna i zupełna teoria T T. Metatwierdzenie Niech T będzie teorią niesprzeczną i rozstrzygalną. Wówczas istnieje niesprzeczna, zupełna i rozstrzygalna teoria T T. Przyjmijmy dodatkowo definicję Definicja Teoria T jest aksjomatyzowalna,jeśli istnieje zbiór aksjomatów U tej teorii oraz algorytm, który dla podanej formuły A pozwala stwierdzić, czy A U, czy teŝ nie. Metatwierdzenie Niech T będzie teorią. Jeśli T jest teorią zupełna i nierozstrzygalną, to nie jest teorią aksjomatyzowalną. Metatwierdzenie Niech T będzie teorią. Jeśli T jest teorią aksjomatyzowalną i nierozstrzygalną, to nie jest teorią zupełną. Na podstawie powyŝszych twierdzeń i definicji, Alonzo Church w latach trzydziestych XX w. pokazał, wskazując interpretację teorii liczb naturalnych w logice pierwszego rzędu, Ŝe Metatwerdzenie Logika pierwszego rzędu jako całość nie jest rozstrzygalna. W tym, jak wykazał to Interesujące jest to, Ŝe niektóre podsystemy logiki pierwszego rzędu są teoriami rozstrzygalnymi. Np. w pewnej monografii W. Ackermanna wymienione są następujące teorie: (a) rachunek zdań (b) formuły zawierające jedynie predykaty jednoargumentowe, (c) formuły poprzedzone jedynie kwantyfikatorami generalnymi (ogólnymi), (d) formuły poprzedzone jedynie kwantyfikatorami egzystencjalnymi), (e) formuły, w których wszystkie kwantyfikatory generalne stoją przed egzystencjalnymi.