Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom rozszerzony Styczeń Schemat oceniania

Transkrypt

1 Materiał ćwiczeniowy z ateatyki Pozio rozszerzony Styczeń Scheat oceniania

2 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Zadanie ( pkt) RozwiąŜ nierówność 6 I sposób rozwiązania (wyróŝnienie na osi liczbowej przedziałów) WyróŜniay na osi liczbowej przedziały: ( ),, ),, ), Rozwiązujey nierówności w poszczególnych przedziałach i w kaŝdy przedziale bierzey część wspólną tego przedziału z otrzyany zbiore rozwiązań nierówności ( ), ), ), 6 W ty przypadku rozwiązanie nierówności jest ), 6 W ty przypadku rozwiązanie nierówności jest, 6 Brak rozwiązania Łącząc otrzyane rozwiązania, podajey ostateczną odpowiedź: lub zapisujey odpowiedź: Zbiore rozwiązań nierówności jest, II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) Zapisujey cztery przypadki: 6 Ø 6, nieoŝliwe 6 ), Łącząc otrzyane rozwiązania, podajey ostateczną odpowiedź: lub zapisujey odpowiedź: Zbiore rozwiązań nierówności jest,

3 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Scheat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt zdający wyróŝni na osi liczbowej przedziały (, ),,),, ) albo zapisze cztery przypadki: JeŜeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajey punktów Podobnie punktów otrzyuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki (patrz teŝ uwaga ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np I (, ) 6 II, ) 6 III, ) 6 Uwagi JeŜeli zdający rozwiąŝe nierówności w poszczególnych przedziałach i na ty zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzyywanych wyników z poszczególnyi przedziałai, to otrzyuje punkty JeŜeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąŝe nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, Ŝe czwarty przypadek jest nieoŝliwy i na ty zakończy lub nie wyznacza części wspólnej otrzyywanych wyników z poszczególnyi przedziałai, to otrzyuje punkty Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkai, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąŝe wszystkie trzy nierówności i wyznaczy części wspólne otrzyanych wyników z poszczególnyi przedziałai tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzeci przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający poprawnie rozwiąŝe nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzyanych wyników z poszczególnyi przedziałai i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąŝe nierówności i wyznaczy części wspólne otrzyanych wyników z poszczególnyi przedziałai tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, Ŝe czwarty jest nieoŝliwy, popełni błąd w trzeci przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze odpowiedź:, We wszystkich rozwaŝanych przypadkach zdający oŝe rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie doknięte) JeŜeli natoiast rozwaŝy wszystkie nierówności

4 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony ostre (przedziały otwarte), to przyznajey za całe zadanie o pkt niej, niŝ gdyby wyróŝnił wszystkie przedziały poprawnie III sposób rozwiązania (graficznie) WyróŜniay na osi liczbowej przedziały: (, ) Zapisujey wzór funkcji ( ) bezwzględnej, np, f I ( ) ( ) f II, ) ( ), f III ) ( ) f,,),, ) w poszczególnych przedziałach bez wartości Przekształcay wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci f ( ) a b : lub f, f I ( ) ( ) f II,) ( ) f III, ) ( ) ( ) dla dla dla (, ), ), ) Rysujey wykres funkcji f i prostą o równaniu y 6 Odczytujey odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej o równaniu y 6 : i Podajey arguenty, dla których f ( ) 6 :,

5 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Scheat oceniania III sposobu oceniania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt,,,),, ) Zdający wyróŝni przedziały: ( ) JeŜeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajey punktów za całe zadanie Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np I (, ) f ( ) lub f II,) f ( ) III, ) f ( ) ( ) dla dla dla (, ), ), ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y 6 JeŜeli zdający poprawnie narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y 6 oraz z rozwiązania wynika, Ŝe rozwiązuje nierówność, a nie równanie, i na ty poprzestanie lub błędnie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to otrzyuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze odpowiedź:, We wszystkich rozwaŝanych przypadkach zdający oŝe rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie doknięte) Wyagay tylko, aby te przypadki wyczerpywały wszystkie liczby rzeczywiste JeŜeli natoiast rozwaŝa nierówności ostre (przedziały otwarte), tak, Ŝe nie wyczerpują one wszystkich liczb rzeczywistych, to przyznajey za całe zadanie o punkt niej, niŝ gdyby wyróŝnił wszystkie przedziały poprawnie 5

6 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Zadanie ( pkt) Wieloian ( ) b c W jest podzielny przez trójian kwadratowy Wyznacz współczynniki b i c wieloianu W() I sposób rozwiązania Wyznaczay pierwiastki trójianu : 9 Zate ( )( ) Z podzielności wieloianu ( ) b c Ŝe i są pierwiastkai W ( ) W ( ) Z twierdzenia Bèzout wynika, Ŝe W ( ) W przez trójian wynika, Rozwiązujey układ równań otrzyując kolejno ( ) b ( ) c ( ) b c b c 8 b c b c 5 b c b b c 5 c Współczynniki b i c wieloianu W() są równe: b i c Scheat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego do rozwiązania zadania pkt Wyznaczenie pierwiastków trójianu : i Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt ( ) b ( ) c ( ) Zapisanie układu równań: b c Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkai, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie układu równań z błęde rachunkowy Rozwiązanie pełne pkt b Rozwiązanie układu równań: c 6

7 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Uwagi JeŜeli zdający popełni błąd rachunkowy, w wyniku którego otrzya inny układ równań niŝ podany i konsekwentnie do tego rozwiąŝe zadanie, to otrzyuje punkty JeŜeli natoiast zdający poprzestanie na zapisaniu układu, w który jedno równanie jest błędne, a drugie poprawne, to otrzyuje punkt JeŜeli zdający w rozwiązaniu popełni więcej niŝ jeden błąd rachunkowy, to oŝe otrzyać aksyalnie punkty za całe rozwiązanie II sposób rozwiązania Wykonujey dzielenie wieloianu ( ) b c W przez trójian kwadratowy ( b c ) : ( ) ( b ) ( c ) ( b ) ( b ) b ( b c ) b b Reszta z dzielenia jest równa R ( ) ( b c ) b PoniewaŜ ( ) przez, więc R ( ) Rozwiązujey równanie ( b c ) b b c b c c c b b b b Zate współczynniki b i c wieloianu W() są równe: b i c W jest podzielny Scheat oceniania II sposobu rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wykonanie dzielenia wieloianu W ( ) b c przez trójian kwadratowy i zapisanie reszty z dzielenia: ( b c ) b Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkai, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt b c Zapisanie układu równań: b Rozwiązanie pełne pkt c Rozwiązanie układu równań: b 7

8 Zadanie ( pkt) Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony tg Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin cos Rozwiązanie π Wyznaczay dziedzinę równania: cos, więc kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą Korzystając ze związków iędzy funkcjai trygonoetrycznyi przekształcay równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonoetryczna: sin tg sin cos cos sin cos sin cos sin sin / cos cos sin sin sin ( ) sin sin Rozwiązujey równanie trzeciego stopnia sin sin sin sin ( ) sin lub sin sin sin lub sin kπ π kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą tg π Rozwiązaniai równania sin są : kπ lub kπ cos, gdzie k jest liczbą całkowitą Scheat oceniania Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zapisanie równania w zaleŝności od jednej funkcji trygonoetrycznej, np sin sin sin ( sin ) lub sin sin Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt π Rozwiązanie równania sin lub sin : kπ lub kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą 8

9 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Rozwiązanie pełne pkt tg π Rozwiązanie równania sin : kπ lub kπ cos, gdzie k jest liczbą całkowitą Uwagi JeŜeli zdający poprawnie przekształci równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonoetryczna bez Ŝadnych załoŝeń i na ty poprzestanie, to przyznajey punkt JeŜeli zdający rozwiąŝe zadanie bez Ŝadnych załoŝeń, to przyznajey aksyalnie punkty tg JeŜeli zdający popełni błąd przy przekształcaniu równania sin cos do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonoetryczna, otrzya równanie trzeciego stopnia i konsekwentnie rozwiąŝe zadanie do końca, to przyznajey punkty JeŜeli zdający rozwiązując równanie sin uwzględni tylko rozwiązanie dodatnie, to za całe zadanie przyznajey aksyalnie punkty Zadanie ( pkt) Narysuj wykres funkcji f ( ), a następnie narysuj wykres funkcji ( ) f ( ) Rozwiązanie W układzie współrzędnych rysujey wykres funkcji ( ) przesunięcie wykresu funkcji f o wektor u [, ] f ( ) f ( ) i otrzyujey wykres funkcji ( ) f ( ) g f Następnie wykonujey, otrzyując wykres funkcji Wykorzystując własności wartości bezwzględnej przekształcay wykres funkcji g 9

10 Scheat oceniania Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt f Narysowanie wykresu funkcji ( ) Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Narysowanie wykresu funkcji f przesuniętej o wektor [, ] [ ] v, v lub o wektor Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Narysowanie wykresu funkcji f przesuniętej o wektor [, ] u Rozwiązanie pełne pkt Narysowanie wykresu funkcji g ( ) f ( ) Zadanie 5 ( pkt) Dany jest okrąg o równaniu y y 5 Napisz równania stycznych do tego okręgu, przechodzących przez początek układu współrzędnych I sposób rozwiązania Proste styczne do okręgu y y 5, przechodzące przez początek układu współrzędnych, ają równanie postaci y By wyznaczyć współczynnik kierunkowy, rozwiązujey układ równań y y y 5 y ( ) 5 y ( ) ( ) 5 Rozwiązujey równanie ( ) ( ) 5 ( ( ) ) ( ) Aby styczne istniały Zate rozwiązujey równanie 8 8 ( 8 8) lub lub Styczne do okręgu y y 5 opisują równania: y i y

11 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Scheat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt y Zapisanie układu równań y y 5 Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadoą ( ) ( ) 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie warunku istnienia stycznych: 8 8 lub Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie równań prostych stycznych: y i y II sposób rozwiązania Proste styczne do okręgu y y 5, przechodzące przez początek układu współrzędnych, ają równanie postaci y S a, b okręgu i długość jego proienia r: Wyznaczay współrzędne środka ( ) 5 y y 5 5, ( 5) ( y ) Zate ( 5, ) S i r Odległość środka okręgu S od stycznej y jest równa długości proienia okręgu Obliczay odległość punktu S od prostej y 5 ( ) Zate ( 5 ) ( ) Stąd 5 Po przekształceniach otrzyujey Zate lub Styczne do okręgu y y 5 opisują równania: y i y, skąd ( ) ) Scheat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wyznaczenie współrzędnych środka S ( a, b) okręgu i długości jego proienia r: S 5, i r ( )

12 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt 5 ( ) Zapisanie odległości środka okręgu od prostych stycznych do niego: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 5 ( ) Przekształcenie równania do postaci równania kwadratowego: ) lub ( ) Rozwiązanie pełne pkt Rozwiązanie równania i zapisanie równań prostych stycznych do okręgu: y i y Zadanie 6 ( pkt) WykaŜ, Ŝe w dowolny równoległoboku sua kwadratów długości przekątnych jest równa suie kwadratów długości wszystkich boków I sposób rozwiązania Wykonujey rysunek i wprowadzay oznaczenia Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD otrzyujey BD a b ab cosα Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC otrzyujey ( 8 α ) a b abcosα AC a b ab cos Dodając te równości stronai otrzyujey ( a ) BD AC a b ab cos a b ab cos a b b α α Zate BD AC ( a b ) Scheat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt zapisanie zaleŝności wynikającej z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD: BD a b ab cosα

13 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony albo zapisanie zaleŝności wynikającej z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC: ( 8 α ) a b abcosα AC a b ab cos Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zapisanie zaleŝności wynikającej z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD i trójkąta ABC: BD a b ab cosα i AC a b ab cos( 8 α ) a b abcosα Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie suy kwadratów długości suy przekątnych BD AC a b abcosα a b ab cosα Rozwiązanie pełne pkt Wykazanie, Ŝe BD AC ( a b ) II sposób rozwiązania (rachunek wektorów) Wykonujey rysunek i wprowadzay oznaczenia: AB a AD b b Korzystając z rachunku wektorowego otrzyujey AC a b BD b a Stąd AC BD AC BD ( a b ) ( b a ) ( AB ) a b a b b a AD Zate AC BD ( AB AD ) Scheat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt zapisanie zaleŝności wynikającej z rachunku wektorowego dla wektora AC : albo AC a b a

14 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony zapisanie zaleŝności wynikającej z rachunku wektorowego dla wektora BD : BD b a Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zapisanie zaleŝności wynikającej z rachunku wektorowego dla wektorów AC a b i BD b a AC i BD : Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie suy kwadratów długości suy przekątnych z wykorzystanie iloczynu skalarnego AC BD AC BD ( a b ) ( b a ) a b a b b a Rozwiązanie pełne pkt Wykazanie równości: AC BD ( AB AD ) III sposób rozwiązania Uieszczay równoległobok w układzie współrzędnych w taki sposób, by (, ) B (,), C ( a, b), D ( a, b) A, Kwadraty długości raion są równe AB i Sua kwadratów przekątnych jest równa AC BD a b AD ( a) b ( a ) b a a a a b a b ( a b ) ( AB AD ) Zate AC BD ( AB AD ) Scheat oceniania III sposobu oceniania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Uieszczenie równoległoboku w układzie współrzędnych i przyporządkowanie,, C a, b D a, b wierzchołko współrzędnych: np A ( ), B ( ), ( ), ( ) Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zapisanie kwadratów długości boków AB i AD : AB i a b AD

15 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie suy kwadratów długości przekątnych i wykorzystanie wzorów skróconego noŝenia do przekształcenie wyraŝenia : ( a) b ( a ) b a a a a b AC BD Rozwiązanie pełne pkt Wykazanie równości: AC BD a b ( a b ) ( AB AD ) Zadanie 7 ( pkt) Oblicz wartość funkcji ( ) f dla arguentu log log log 5,, I sposób rozwiązania Obliczay wartość liczby log 8 log log, log, log 5 log, 8 log, log 5 log 5 log, log, log 8 log, Zate log (,) log 8 log 5 log,6 log log 5, log, log, log, f dla Obliczay wartość funkcji ( ) : ( ) f log, log, Scheat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie wzoru na potęgę wyraŝenia logarytowanego i zaianę podstawy logarytu przy przekształceniu wszystkich logarytów do logarytów o podstawie : log 8 log log, log, log 5 log, 8 log, log 5 log 5 log, log, Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Wykonanie działań na logarytach i przekształcenie wyraŝenia do postaci: log(,) log, log, log 5 log, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie wartości : Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie wartości funkcji f ( ) dla : f ( ) 5

16 II sposób rozwiązania Obliczay wartość liczby log, log Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony, log 5 log, 8 log, log 5 log log, 5 8 log, 8 log, log, log, 5 log, log 5, Zate f dla Obliczay wartość funkcji ( ), 8 log : ( ) f, log log, 5 Scheat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie wzoru na potęgę wyraŝenia logarytowanego i zaianę podstawy logarytu przy przekształceniu wszystkich logarytów do logarytów o podstawie,: log, 5 log, log, log 5 log, 8 log, log 5 log, 8 log, log Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Wykonanie działań na logarytach i przekształcenie wyraŝenia do postaci: 8 log, log, log 5 log, 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie wartości : Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie wartości funkcji f ( ) dla : f ( ),, Zadanie 8 (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości paraetru, dla których sua odwrotności pierwiastków równania ( ) ( ) jest większa od Rozwiązanie Wieloian ( ) ( ) a pierwiastki, jeŝeli i b ac 6 9 [ ( )] ( )( ) ( ) 5 5 PoniewaŜ, więc ( ) 6

17 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony 7 a b a b, Pierwiastki wieloianu ( ) ( ) istnieją dla,, Wyznaczay suę odwrotności pierwiastków wieloianu ( ) ( ) korzystając ze wzorów Viete`a Wyznaczay wartości paraetru, dla których pierwiastki wieloianu ( ) ( ) spełniają warunek > > > > > ( )( ) >, Zate, -,5

18 Scheat oceniania Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie warunków istnienia pierwiastków równania ( ) ( ) i warunku wynikającego z treści zadania:,, > Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Doprowadzenie do postaci nierówności kwadratowej 5 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie nierówności 5 5 i równania :,, Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkai, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie nierówności > :, Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi:, Uwagi JeŜeli zdający rozwiąŝe nierówność >, to przyznajey za całe zadanie aksyalnie punkty JeŜeli zdający nie uwzględni warunku, to za całe zadanie przyznajey punktów Zadanie 9 ( pkt) Ciąg ( a b, c), jest ciągie arytetyczny Sua jego wyrazów jest równa 8 JeŜeli pierwszą z liczb zniejszyy o 5%, a trzecią zwiększyy o 5%, to otrzyay trzy kolejne wyrazu ciągu geoetrycznego Wyznacz liczby a, b, c I sposób rozwiązania Ciąg ( a, b, c) jest ciągie arytetyczny i a b c 8 Z własności ciągu arytetycznego a c otrzyujey b Ciąg a a, b, c c jest ciągie geoetryczny Zate b a c 8

19 Wyznaczay liczby a b c 8 a c b 9 b ac 8 a 8 b c 8 b b 9 b ac 8 a 8 b c b 6 9 b ac 8 a c b ( c) c Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony a, b, c rozwiązując układ równań a c b 6 c c Rozwiązanie równania kwadratowego c c jest c lub c 8 a 8 a Zate b 6 lub b 6 c c 8 Scheat oceniania do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie własności ciągu arytetycznego (geoetrycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np b a c albo b a c 9

20 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony JeŜeli zdający poyli własności ciągu arytetycznego z własnościai ciągu geoetrycznego, to za całe rozwiązanie otrzyuje punktów Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytetycznego i geoetrycznego) i zapisanie układu równań uoŝliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np a b c 8 a c b 9 b ac 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadoą c, np c c i wyznaczenie jego rozwiązań: c, c 8 albo przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadoą a, np a a i wyznaczenie jego rozwiązań: a, a 8 albo poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie tylko jednej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadoą do równania kwadratowego z błęde rachunkowy, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzyane równanie kwadratowe a dwa pierwiastki rzeczywiste) JeŜeli w trakcie doprowadzania układu równań do równania kwadratowego zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzya równanie ające niej niŝ dwa rozwiązania, to otrzyuje punkty za całe zadanie Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie szukanych liczb: a, b 6, c 8 lub a 8, b 6, c JeŜeli zdający poprawnie rozwiąŝe układ równań i popełni błąd w zredagowaniu odpowiedzi, na przykład: a lub a 8, b 6, c lub c 8, to otrzyuje punkty II sposób rozwiązania Oznaczay: przez a pierwszy wyraz ciągu arytetycznego, a przez r róŝnicę tego ciągu Wówczas b a r, c a r Wtedy a r 8, czyli a r 6 9 Z własności ciągu geoetrycznego zapisujey równanie, np ( a r) a( a r), 8

21 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony a r 6 a następnie zapisujey układ równań: ( ) 9 a r a ( a r ) 8 Z pierwszego równania wyznaczay a 6 r i podstawiay do drugiego równania 9 Otrzyujey równanie kwadratowe z niewiadoą r: ( 6 r r) ( 6 r)( 6 r r) lub 8 r Rozwiązując równanie, otrzyujey dwa rozwiązania: r, r Następnie obliczay a, b, c a a 8 Szukanyi liczbai są: b 6 lubb 6 c 8 c Scheat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń: a - pierwszy wyraz ciągu arytetycznego, a r róŝnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np a r 8 lub a r 6 JeŜeli zdający poyli własności ciągu arytetycznego z własnościai ciągu geoetrycznego, to za całe rozwiązanie otrzyuje punktów Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytetycznego i geoetrycznego) i zapisanie układu równań uoŝliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np a r 6 ( ) 9 a r a ( a r ) 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadoą r, np 9 ( 6 r r) ( 6 r)( 6 r r) lub r i wyznaczenie jego rozwiązań: 8 r, r albo poprawne rozwiązanie równania kwadratowego: r, r ; odrzucenie jednego z rozwiązań, np r i poprawne wyznaczenie tylko jednej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadoą do równania kwadratowego z błęde rachunkowy, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzyane równanie kwadratowe a dwa pierwiastki rzeczywiste)

22 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony JeŜeli w trakcie doprowadzania układu równań do równania kwadratowego zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzya równanie ające niej niŝ dwa rozwiązania, to otrzyuje punkty za całe zadanie Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie szukanych liczb: a, b 6, c 8 lub a 8, b 6, c JeŜeli zdający poprawnie rozwiąŝe układ równań i popełni błąd w zredagowaniu odpowiedzi, np: a lub a 8, b 6, c lub c 8, to otrzyuje punkty Zadanie ( pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa trójkątnego prawidłowego jest równa 6 Jego objętość jest równa 9 Wyznacz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa Rozwiązanie Rysujey ostrosłup prawidłowy trójkątny i wprowadzay oznaczenia S b H h s b C A h p O D a a Z treści zadania wynika, Ŝe a 6 i V 9 PoniewaŜ objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wyraŝa się wzore a a V H, więc H 9 Przekształcay równanie i obliczay długość wysokości ostrosłupa H: H B

23 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony a Wysokość w trójkącie równoboczny, który jest podstawa ostrosłupa jest równa h p Zate wysokość podstawy a długość h p Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa do boków trójkąta SOD, obliczay wysokość H ściany bocznej: h p h s Stąd h s Zate h s Wysokość ściany bocznej ostrosłupa a długość h s h s Scheat oceniania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wykonanie rysunku ostrosłupa oraz zaznaczenie wysokości ściany bocznej i wysokości podstawy ostrosłupa Nie wyagay rysunku, jeŝeli z dalszych obliczeń wynika, Ŝe zdający poprawnie interpretuje treść zadania Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt a Zapisanie równania H 9 i obliczenie długości wysokości ostrosłupa: H Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie zaleŝności uoŝliwiającej wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej H ostrosłupa, np h p h s Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie długości wysokości h ściany bocznej ostrosłupa: h s Oceniay na punkty równieŝ rozwiązanie zadania do końca z błędai nieprzekreślającyi poprawności rozwiązania, np błędy rachunkowe s Zadanie ( pkt) Wśród dziesięciu losów loteryjnych znajduje się jeden los z główną wygraną oraz dwa losy uprawniające do wylosowania następnego losu Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przy zakupie jednego losu Rozwiązanie Rysujey drzewo dla danego doświadczenia losowego Opisujey gałęzie drzewa odpowiednii wartościai prawdopodobieństw Pogrubione gałęzie ilustrują zdarzenie A opisane w treści zadania

24 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony 7 Pusty los 7 9 Kolejne losowanie 9 9 Wygrana Pusty los Wygrana Kolejne losowanie Wygrana Pusty los Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe 5 P ( A) MoŜey narysować drzewo inteligentne - pogrubione gałęzie na rysunku Scheat oceniania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający narysuje drzewo i na ty zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zdający narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i na ty zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Uwagi Oceniay rozwiązanie na punktów, gdy w dalszej części rozwiązania zdający doda prawdopodobieństwa wzdłuŝ gałęzi zaiast noŝyć albo noŝy otrzyane iloczyny zaiast dodawać Dopuszcza się błąd w zapisaniu prawdopodobieństwa na jednej gałęzi drzewa (traktujey jako błąd nieuwagi) JeŜeli zdający opisze prawdopodobieństwa tylko na istotnych gałęziach, to kwalifikujey to do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania JeŜeli zdający narysuje inteligentne drzewo i opisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach, to kwalifikujey rozwiązanie do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania JeŜeli rozwiązujący popełni błąd rachunkowy lub nieuwagi i na ty zakończy, to otrzyuje punkty

25 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający wskaŝe na drzewie właściwe gałęzie (np pogrubienie gałęzi lub zapisanie prawdopodobieństw tylko na istotnych gałęziach) JeŜeli zdający nie wskaŝe na drzewie odpowiednich gałęzi, ale z dalszych obliczeń oŝna wywnioskować, Ŝe wybiera właściwe gałęzie Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie prawdopodobieństwa: P ( A) 8 JeŜeli zdający wyznaczy P ( A) > lub P ( A), to przyznajey punktów za całe zadanie Zadanie (5 pkt) Dany jest równoraienny trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna a długość Bok AB prostokąta ABCD zawiera się w przeciwprostokątnej tego trójkąta, zaś punkty C i D naleŝą do przyprostokątnych Oblicz długości boków prostokąta ABCD wiedząc, Ŝe kwadrat długości jego przekątnej AC a wartość najniejszą z oŝliwych Rozwiązanie Rysujey trójkąt prostokątny oraz prostokąt ABCD Wprowadzay oznaczenia boków w trójkącie: a przyprostokątne trójkąta, b przeciwprostokątna P C a B b A Q a D R Przeciwprostokątna trójkąta a długość b Przeciwprostokątna b jest równa b AB Bok prostokąta AB opisuje zaleŝność AB, gdzie (,) Korzystając z twierdzenia Pitagorasa kwadrat długości przekątnej AC oŝey opisać funkcją: f ( ) ( ) Stosując wzór skróconego noŝenia, przekształcay wzór funkcji f do postaci f ( ) 5 8 Otrzyana funkcja jest funkcją kwadratową, której raiona paraboli skierowane są ku górze, b 8 więc najniejszą wartość przyjuje dla w a 5 5

26 Okręgowa Koisja Egzainacyjna w Poznaniu Materiał ćwiczeniowy z ateatyki - pozio rozszerzony Zate prostokąt ABCD a boki długości: AD BC i 5 8 AB CD 5 5 Scheat oceniania Rozwiązanie, w który postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt ZauwaŜenie, Ŝe trójkąty PQR, CBP, RAD są trójkątai prostokątnyi równoraiennyi Rozwiązanie, w który jest istotny postęp pkt Zapisanie zaleŝności opisującej długość boku AB : AB,, gdzie ( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie kwadratu długości przekątnej AC w postaci trójianu kwadratowego: f 5 8 ( ) Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkai, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Wyznaczenie, dla którego f ( ) 5 8 przyjuje wartość najniejszą: 5 Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie długości boków prostokąta ABCD: AD BC i AB CD 5 5 6