EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 01

2 Zadanie 1. (1 p.) Dane są dwie urny z kulami. W każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i 4 kule czarne. W drugiej urnie są kule białe i kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A B. 5. C D. 5. IV. Użycie i tworzenie strategii. 10.R Uczeń korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Rozwiązanie (I sposób) Rozwiązujemy zadanie metodą drzewa I II 5 B C B C Następnie obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: = Odp.: C. Rozwiązanie (II sposób) Niech U 1 i U oznaczają odpowiednio zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z pierwszej urny i zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z drugiej urny. Zdarzenia U 1 i U spełniają warunki: 1. U 1 U =,. U 1 U = Ω,. P (U 1 ) = 6 = 1 > 0, 4. P (U ) = 4 6 = > 0. Rozważmy zdarzenie B polegające na wylosowania kuli białej. XII/

3 Prawdopodobieństwo tego zdarzenia możemy obliczyć, korzystając ze wzoru P (B) = P (B U 1 ) P (U 1 )+P (B U ) P (U ), gdzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że losujemy z pierwszej urny, jest równe P (B U 1 ) = 1 i prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, 5 że losujemy z drugiej urny, jest równe P (B U ) = 5. Obliczamy P (B) = = Odp.: C. Zadanie. (1 p.) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a n ) określony wzorem a n = ( ) n dla n = 1,,,... Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 1 A.. B.. C D. 1. IV. Użycie i tworzenie strategii. 5.R Uczeń rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy. Rozwiązanie Pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu są odpowiednio równe: a 1 =, q = 1. 1 Ponieważ q = < 1, więc mamy S = a 1 1 q = 1 1 =. 1 Odp.: D. Zadanie. (1 p.) Liczba ( 1 )15 jest równa A. 75. B C D XII/

4 IV. Użycie i tworzenie strategii. 1.4 Uczeń oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. Rozwiązanie Obliczamy, korzystając z działań na potęgach ( 1 ) ( 9 ) 1 = = + 15 = 015. Odp.: C. Zadanie 4. (1 p.) Dane są dwa okręgi: okrąg o 1 o równaniu x +(y 1) =5 oraz okrąg o o równaniu (x 1) +y =9. A. Te okręgi przecinają się w dwóch punktach. B. Te okręgi są styczne. C. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o 1 leży w całości wewnątrz okręgu o. D. Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o leży w całości wewnątrz okręgu o 1. IV. Użycie i tworzenie strategii. 8.5R Uczeń posługuje się równaniem okręgu (x a) +(y b) = r oraz opisuje koła za pomocą nierówności. Rozwiązanie (I sposób) Szkicujemy oba okręgi w jednym układzie współrzędnych i stwierdzamy, że drugi okrąg leży w całości wewnątrz pierwszego. XII/4

5 Odp.: D. Rozwiązanie (II sposób) Wyznaczamy środki i promienie okręgów odpowiednio S 1 = (0,1) i R = 5 oraz S = (1,0) i r =. Obliczamy S 1 S = (1 0) +(0 1) = oraz R r = 5 =. Stwierdzamy, że zachodzi warunek S 1 S < R r, tzn. okręgi są rozłączne wewnętrznie i drugi okrąg leży w całości wewnątrz pierwszego. Odp.: D. Zadanie 5. (1 p.) Suma sinα+sinα jest dla każdego α równa A. sin4α. B. sin4α. C. sinαcosα. D. sinαcosα. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 6.5R Uczeń stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów. Rozwiązanie (I sposób) Korzystamy ze wzoru sinα+sinβ = sin α+β Mamy zatem cos α β. Odp.: C. sinα+sinα = sinα+sinα = sin α+α cos α α = sinα cosα. Rozwiązanie (II sposób) Korzystamy ze wzorów sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ oraz cosα = cos α 1. Mamy zatem sinα = sin(α+α) = sinαcosα+cosαsinα = sinαcosα+sinαcos α = = sinα(4cos α 1). XII/5

6 A stąd otrzymujemy: sinα+sinα = sinα+sinα(4cos α 1) = sinα(1+4cos α 1) = = 4sinαcos α = (sinαcosα)cosα = sinαcosα. Odp.: C. Zadanie 6. ( p.) Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie x+57 = x 9. Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby n. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji..9r Uczeń rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną o poziomie trudności nie wyższym niż: x+1 =, x+ + x 5 > 1. Rozwiązanie (I sposób) Przyjrzyjmy się interpretacji geometrycznej rozważanego równania. Na osi liczbowej dane są dwa punkty A i B o współrzędnych: A = 57 oraz B = 9. Szukamy takich punktów X, dla których odległość od punktu B jest dwukrotnie większa od odległości od punktu A. Są dwa takie punkty X. Ponieważ odległość od A do B jest równa 96, więc jeden z nich (nazwijmy go X 1 ) leży w odległości 96 na lewo od punktu A, drugi zaś (nazwijmy go X ) leży w odległości 96 = na prawo od punktu A. Ponieważ = 15 oraz 57+ = 5, więc szukaną liczbą n jest n = 15 oraz n = 15. W karcie odpowiedzi kodujemy cyfry: 1, 5,. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p. gdy zakoduje cyfry: 1, 5,. Rozwiązanie (II sposób) zapisanie trzech przypadków Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, 57, ( 57, 9), 9, + ). Rozwiązujemy równania w poszczególnych przedziałach i sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do danego przedziału. XII/6

7 x (, 57 x ( 57,9) x 9, + ) ( x 57)= x+9 x = x = 15 (x+57) = x+9 x = x = 75 x = 5 Stąd wynika, że n = 15 oraz n = 15. Zatem kodujemy cyfry: 1, 5,. Albo: (x+57) = x 9 x = x = 15 Równanie nie ma rozwiązania w tym przedziale. Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, 57, ( 57, 9, (9, + ). Zauważamy, że jeżeli w przedziale (, 57 istnieje najmniejsza liczba całkowita spełniająca to równanie, to jest to szukana liczba n. Rozwiązujemy dane równanie w przedziale (, 57 : stąd x = 15. ( x 57) = x+9, x = 9+114, Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest liczba n = 15, więc n = 15. Zatem kodujemy cyfry: 1, 5,. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p. gdy zakoduje cyfry: 1, 5,. Rozwiązanie (III sposób) własności wartości bezwzględnej Zapisujemy równanie x+57 = x 9 w postaci: (x+57) = x+9 lub (x+57) = x 9 x = x = x = 75 x = 15 x = 5 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest liczba n = 15, więc n = 15. Zatem kodujemy cyfry: 1, 5,. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p. gdy zakoduje cyfry: 1, 5,. XII/7

8 Zadanie 7. ( p.) Oblicz granicę ciągu lim n n 5n+ (8n+7)(n+4). Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 5.R Uczeń oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1 n, 1 o działaniach na granicach ciągów. n oraz z twierdzeń Rozwiązanie Ta granica jest równa lim n n 5n+ (8n+7)(n+4) = lim n 5 n + n ( 8+ 7 n ) ( 1+ 4 n W karcie odpowiedzi należy zatem zakodować cyfry, 7, 5. Schemat oceniania ) = 8 = 0,75. Zdający otrzymuje p. gdy zakoduje pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy: cyfry, 7, 5. Zadanie 8. ( p.) Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = x 8 x +6 dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11.R Uczeń oblicza pochodne funkcji wymiernych. XII/8

9 Rozwiązanie Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mamy f (x) = (x 8) (x +6) (x 8)(x +6) (x +6) = x +6 x(x 8) (x +6) = Zatem f ( 1 ) = ( ) = = x +6 x +16x (x +6) = x +16x+6 (x +6) ( 5 4 ) = = = 0,5. W karcie odpowiedzi należy zakodować cyfry, 5,. Schemat oceniania Zdający otrzymuje p. gdy zakoduje cyfry, 5,. Zadanie 9. ( p.) Oblicz log 4 7 log (log ). Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1.R Uczeń stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. Rozwiązanie log log (log ) = log log = log = log 4 =,75. Schemat oceniania Zdający otrzymuje p. gdy odpowiednio zakoduje cyfry:, 7, 5. Zadanie 10. ( p.) Punkty P 1,P,P,...,P,P 4 dzielą okrąg na 4 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P 11 P i P 1 P 16. XII/9

10 P P P 4 P 1 P P 0 P 1 P P4 P 19 A P 5 P 18 P 6 P 17 P 7 P 16 P 8 P 15 P 9 P 14 P 1 P 1 P 11 P 10 Udowodnij, że <) P 16 AP 11 = 60. V. Rozumowanie i argumentacja. 7.1 Uczeń stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Rozwiązanie (I sposób) Narysujmy cięciwę P 1 P 11. P P P 4 P 1 P P 0 P 1 P P4 P 19 A P 5 P 18 P 6 P 17 P 7 P 16 P 8 P 15 P 9 P 14 P 1 P 1 5 Kąt wpisany P 11 P 1 P 16 jest oparty na krótszym łuku P 16 P 11. Łuk ten stanowi okręgu. Zatem 4 kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę = 75. Stąd wynika, że kąt wpisany oparty na tym łuku ma miarę 7,5. Podobnie stwierdzamy, że kąt wpisany P 1 P 11 P jest oparty na łuku stanowiącym 4 okręgu, a więc ma miarę,5. Stąd wynika, że P 11 P 10 <) P 11 AP 16 = 180 (180,5 7,5 ) = 60. XII/10

11 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zdający obliczy miarę jednego z dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P 11 P 16 lub P 1 P : <) P 16 P 1 P 11 = 7,5, <) P 1 P 11 P =,5. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Zdający obliczy miary dwóch kątów wpisanych, opartych na łukach P 11 P 16 oraz P 1 P : <) P 16 P 1 P 11 = 7,5, <) P 1 P 11 P =,5. Rozwiązanie pełne p. Zdający obliczy miarę kąta P 11 AP 16. Rozwiązanie (II sposób) Zauważmy najpierw (zobacz rysunek), że jeżeli łuki AD i BC są równe, przy czym punkty C i D leżą po tej samej stronie prostej AB, to proste AB i CD są równoległe. D C A B Wynika to wprost z równości kątów BAC i ACD (kąty wpisane oparte na równych łukach). Ponieważ punkty P 1 i P oraz P 8 i P 11 wyznaczają łuki o tej samej długości, więc cięciwa P 1 P 8 jest równoległa do P 11 P. XII/11

12 P P P 4 P 1 P P 0 P 1 P P4 P 19 A P 5 P 18 P 6 P 17 P 7 P 16 P 8 P 15 P 9 P 14 Kąt wpisany P 8 P 1 P 16 jest oparty na krótszym z łuków P 8 P 16, który stanowi więc <) P 8 P 1 P 16 = = 60. P 1 P 1 P 11 P = 1 okręgu, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zdający narysuje cięciwę P 1 P 8 i zapisze, że jest ona równoległa do cięciwy P 11 P. Rozwiązanie pełne p. Zdający obliczy miarę kąta P 11 AP 16. Zadanie 11. ( p.) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 0x 4mx+18m 4x+1m 5. V. Rozumowanie i argumentacja..r Uczeń rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem. Rozwiązanie (I sposób) Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny do postaci: 0x 4mx+18m 4x 1m+5 0. Sposób trikowy polega na odpowiednim grupowaniu: 0x 4mx+18m 4x 1m+5 = (x 1) +(m ) +(4x m). XII/1

13 Ponieważ (x 1) +(m ) +(4x m) 0, więc dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność: 0x 4mx+18m 4x+1m 5. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Zdający doprowadzi wyrażenie do postaci (x 1) + (m ) + (4x m) i na tym poprzestanie lub wyciągnie błędny wniosek, np. taki, że wyrażenie jest dodatnie dla dowolnych liczb x i m. Rozwiązanie pełne p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Rozwiązanie (II sposób) Inny sposób polega na potraktowaniu wyrażenia 0x 4mx+18m 4x 1m+5 jako trójmianu kwadratowego zmiennej x z parametrem m: 0x 4mx+18m 4x 1m+5 = 0x (4m+4)x+ ( 18m 1m+5 ). Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m: = (4m+4) 4 0 (18m 1m+5 ) = 864m +115m 84 = 96(m ). Zatem dla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zdający zapisze, że rozważa trójmian kwadratowy i obliczy jego wyróżnik. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Zdający pokaże, że wyróżnik trójmianu 0x (4m+4)x+ ( 18m 1m+5 ) jest niedodatni lub obliczy wyróżnik kwadratowy trójmianu 864m +115m 84. Rozwiązanie pełne p. Zdający zapisze wniosek dotyczący trójmianu 0x (4m+4)x+ ( 18m 1m+5 ) : Trójmian ten ma dodatni współczynnik przy x oraz niedodatni wyróżnik dla każdego m, zatem dla każdego x (i dla każdego m) wartość tego trójmianu jest nieujemna. Zadanie 1. ( p.) Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: 0, 1,,, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo p k otrzymania liczby k jest dane wzorem: p k = k Rozważamy dwa zdarzenia: XII/1

14 zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1,, 5}, zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {,, 4, 5, 6}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P (A B ). III. Modelowanie matematyczne. 10.R Uczeń oblicza prawdopodobieństwo warunkowe. Rozwiązanie Obliczamy: p 0 = 1 64, p 1 = 6 64, p = 15 64, p = 0 64, p 4 = 15 64, p 5 = 6 64, p 6 = Korzystamy teraz ze wzoru P (A B )= P (A B). Zdarzenie A B polega na wylosowaniu jednej P (B) z liczb:, 5. P (A B) = p +p 5 = 6 64, P (B) = p +p +p 4 +p 5 +p 6 = Stąd wynika, że P (A B ) = = , Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Obliczenie prawdopodobieństw p,...,p 6 : p = 15 64, p = 0 64, p 4 = 15 64, p 5 = 6 64, p 6 = Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Obliczenie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A B lub zdarzenia B: P (A B) = 6 57, P (B) = Rozwiązanie pełne p. Obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A B ) zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B: P (A B ) = 6 57 = 0, Uwaga 1. Zdający może tylko obliczyć prawdopodobieństwa p, p,...,p 6. XII/14

15 Uwaga. Zdający może obliczyć prawdopodobieństwa p 0, p 1,...,p 6 korzystając bezpośrednio z definicji symbolu Newtona. Zadanie 1. ( p.) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y =mx+(m+) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0,0) i promieniu r =. III. Modelowanie matematyczne. 8.6R Uczeń wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu. Rozwiązanie (I sposób) Dla żadnego parametru m prosta o równaniu y = mx+(m+) nie jest równoległa do osi Oy. Wynika stąd, że jeśli taka prosta przecina okrąg, to współrzędne x obu punktów przecięcia są różne. To znaczy, że do stwierdzenia, czy któraś z rozważanych prostych przecina okrąg w dwóch punktach, wystarczy stwierdzić, czy równanie x +(mx+(m+)) = 9 z niewiadomą x i parametrem m ma dwa rozwiązania. Przekształćmy to równanie: x +(mx+(m+)) = 9, x +m x +m(m+)x+(m+) 9 = 0, ( m +1 ) x +m(m+)x+4m +1m = 0. Ponieważ m +1 0, więc dla każdego m jest to równanie kwadratowe. Ma ono dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest dodatni. Obliczamy zatem ten wyróżnik: = 4m (m+) 4 ( m +1 ) ( 4m +1m ) = = 4m ( m(m+) 4 ( m +1 ) (m+) ) = = 4m ( 4m +1m +9m 4m 1m 4m 1 ) = = 4m(5m 1) Wyróżnik jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 1. Zatem rozważana prosta 5 przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 1 5. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zapisanie równania x +(mx+(m+)) = 9. XII/15

16 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Obliczenie wyróżnika równania kwadratowego ( m +1 ) x +m(m+)x+4m +1m = 0 i stwierdzenie, że wyróżnik równania powinien być dodatni: = 4m (5m 1), > 0. Rozwiązanie pełne p. Prosta y = mx + (m+) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 1 5. Rozwiązanie (II sposób) Dowolna prosta będzie miała dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem, jeżeli odległość środka okręgu od danej prostej będzie mniejsza od promienia okręgu. Zapisujemy równanie danej prostej w postaci ogólnej: mx y +(m+) = 0. Wyznaczamy odległość punktu S = (0,0) od danej prostej: d = m+ m +1. Odległość ma być mniejsza od promienia, zatem m+ m +1 <. Rozwiązujemy nierówność równoważną m+ < m +1. Obie strony nierówności są nieujemne, więc (m+) < 9 ( m +1 ). Stąd 5m +1m < 0. Rozwiązaniem nierówności 5m +1m < 0 jest m < 0 lub m > 1 5. Prosta y = mx + (m+) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 1 5. Uwaga Zdający może rozwiązać nierówność m+ m +1 < w dwóch przedziałach: m < i m. Ostatecznym rozwiązaniem będzie suma rozwiązań nierówności w każdym z przedziałów. 1. Jeżeli m < to m < m +1. Obie strony nierówności są nieujemne, wobec tego ( m ) < 9 ( m +1 ). Stąd 5m + 1m < 0. Dla m < rozwiązaniem nierówności 5m +1m < 0 jest m <.. Jeżeli m to m + < m +1. Obie strony nierówności są nieujemne, wobec tego (m+) < 9 ( m +1 ). Stąd 5m + 1m < 0. Dla m 5m +1m < 0 jest m < 0 i m > 1 5. rozwiązaniem nierówności XII/16

17 Rozwiązaniem nierówności m+ 1 < jest zatem suma rozwiązań, czyli m < 0 lub m > m Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Wyznaczenie odległości środka okręgu od danej prostej: d = m+ m +1 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Przekształcenie nierówności wymiernej m+ m +1 < do nierówności kwadratowej 5m +1m<0 Rozwiązanie pełne p. Prosta y = mx + (m+) przecina dany okrąg w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy m < 0 lub m > 1 5. Zadanie 14. ( p.) Dana jest parabola o równaniu y = x +1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej. Wyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A. IV. Użycie i tworzenie strategii. 11.R Uczeń korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej. Rozwiązanie (I sposób) Styczna do paraboli o równaniu y = f (x) w punkcie A = (x 0,f (x 0 )) ma równanie postaci y = ax+b, gdzie współczynnik kierunkowy a jest równy a = f (x 0 ). W naszym przypadku f (x) = x +1 oraz x 0 =. Mamy zatem f (x) = x, skąd dostajemy a = = 6. Punkt A ma współrzędne (,f ()), czyli A = (,10). Prosta o równaniu y = 6x + b ma przechodzić przez punkt A, a więc 10 = 6 + b. Zatem b = 8 i ostatecznie równanie stycznej ma postać y = 6x 8. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Wyznaczenie pochodnej funkcji f (x) = x +1: f (x) = x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: a = f () = 6. XII/17

18 Rozwiązanie pełne p. Wyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x +1 w punkcie A: y = 6x 8. Rozwiązanie (II sposób) Prosta nierównoległa do osi paraboli będzie styczna do tej paraboli, jeżeli ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny. Obliczamy współrzędne punktu A: A = (, 10). Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkt A: y = ax+10 a. Ta prosta nie jest równoległa do osi paraboli, więc układ równań y = x +1 y = ax+10 a ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeżeli równanie kwadratowe x + 1 = ax + 10 a ma jedno rozwiązanie. Przekształcamy równanie do postaci x ax+a 9 = 0. Obliczamy wyróżnik równania kwadratowego: = a 1a + 6. Zatem równanie ma jedno rozwiązanie, jeżeli wyróżnik jest równy zeru. Rozwiązujemy równanie a 1a+6=0, czyli (a 6) =0. Jedynym rozwiązaniem tego równania jest a = 6. Równanie prostej stycznej do paraboli y = x +1 w punkcie A ma postać y = 6x 8. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zapisanie równania x +1 = ax+10 a. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Obliczenie wyróżnika równania kwadratowego x ax+a 9 = 0 oraz wyznaczenie wartości a, dla której = 0, czyli a = 6. Rozwiązanie pełne p. Wyznaczenie równania stycznej do paraboli y = x +1 w punkcie A: y = 6x 8. Zadanie 15. ( p.) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę α > 45 (zobacz rysunek). Wyznacz objętość tego ostrosłupa. XII/18

19 a α a IV. Użycie i tworzenie strategii. 9.6 Uczeń stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości. Rozwiązanie (I sposób) najpierw wysokość ściany bocznej H h a Wysokość h ściany bocznej jest równa h = a tgα. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że wysokość H ostrosłupa jest równa ( ) a a H = h = tg α 1 Objętość V tego ostrosłupa jest więc równa α a V = a 6 tg α 1. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zdający wyznaczy wysokość h ściany bocznej tego ostrosłupa: h = a tgα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. XII/19

20 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Zdający wyznaczy wysokość H tego ostrosłupa: H = a tg α 1 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne p. Zdający wyznaczy objętość V tego ostrosłupa V = a 6 tg α 1. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze objętość ostrosłupa w postaci V = 1 (a ) ( ) a, a tgα to otrzymuje punkty.. Co bardziej dociekliwi zdający mogą zauważyć, że tg α 1 = cosα cos α. Wtedy: wysokość H ostrosłupa przyjmuje postać H = objętość ostrosłupa przyjmuje postać V = a cosα, cosα a cosα. 6cosα Rozwiązanie (II sposób) najpierw krawędź boczna H b Długość b krawędzi bocznej tego ostrosłupa jest równa b = wynika, że wysokość H ostrosłupa jest równa a α a a. Z twierdzenia Pitagorasa cosα ( ) a a H = b = 4cos α a = a 1 cos α = a cosα. cosα cosα Objętość V tego ostrosłupa jest więc równa V = a cosα. 6cosα XII/0

21 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zdający wyznaczy długość b krawędzi bocznej tego ostrosłupa: b = a i na tym zakończy cosα lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Zdający wyznaczy wysokość H tego ostrosłupa: H = a cosα cosα i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne p. Zdający wyznaczy objętość V tego ostrosłupa: V = a cosα. 6cosα Uwaga Jeżeli zdający zapisze objętość ostrosłupa w postaci V = 1 a ( ) ( ) a a, to otrzymuje cosα punkty. Uwaga do treści zadania W każdym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt α jest większy od 45. Ta dodatkowa informacja wpisana w treści zadania ma na celu zwrócenie zdającym uwagi na to, że nie będzie sprawdzane badanie warunku rozwiązywalności zadania w zależności od miary kąta α. Uzasadnienie geometryczne tego warunku wymagałoby odrębnego rozumowania. Najprostsze takie rozumowanie wygląda następująco: czyli α > 90, a więc α > 45. <) ABE + <) CBE > <) ABC, S D C A a To rozumowanie wykracza poza obecną podstawę programową, gdyż nie ma w niej twierdzenia o tym, że suma dwóćh kątów płaskich trójścianu jest większa od trzeciego kąta płaskiego. Zadanie 16. (6 p.) Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą równości MB = AM oraz LC = AL. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek). XII/1 α α B a

22 C L S K A M B Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS. IV. Użycie i tworzenie strategii. 7.5R Uczeń znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. Rozwiązanie (I sposób) Oznaczmy literami x i y pola trójkątów AMS i ALS, czyli P AMS = x i P ALS = y. C A L y x S M Trójkąty AMC i BMC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C, więc y P AMC P BMC = AM BM = 1, czyli P BMC = P AMC. x K B Stąd P AMC = 1 P ABC = = 0. Podobnie P AMS = AM P BMS BM = 1, czyli P BMS = P AMS = x. Trójkąty ALB i CLB mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B, więc P ALB = AL P CLB CL = 1, czyli P CLB = P ALB. XII/

23 Stąd Podobnie P ALB = 1 4 P ABC = = P ALS = AL P CLS CL = 1, czyli P CLS = P ALS = y. Otrzymaliśmy więc P AMC = P AMS +P ALS +P CLS = x+y +y = x+4y, czyli x+4y = 0. Analogicznie P ALB = P AMS +P ALS +P BMS = x+y +x = x+y, czyli x+y = 165. Pozostaje rozwiązać układ równań x+4y = 0 x+y = 165. Rozwiązaniem tego układu jest x = 40 i y = 45. Zatem P AMS = x = 40, P ALS = y = 45, P BMS = x = 80, P CLS = y = 15. Uwaga Możemy równie łatwo obliczyć pola pozostałych dwóch trójkątów, tj. CKS i BKS. C A L y x S M y Oznaczając pola tych trójkątów odpowiednio przez w i z oraz zauważając, podobnie jak poprzednio, że P BKA = P BKS x+z, czyli P CKA P CKS 4y +w = z w, a więc w x 10+z 180+ = z w, XII/ z K B

24 otrzymujemy 10w +zw = 180z +zw, w = z. Wystarczy teraz zauważyć, że P BCS = 660 x 4y = = 60, czyli w +z = 60. Stąd w = 60 z, więc (60 z) = z, czyli z = 144 i w = 16. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p. Zdający stwierdzi lub wykorzysta fakt, że stosunek pól dwóch trójkątów o wspólnej wysokości jest równy stosunkowi długości podstaw, na jakie ta wysokość została opuszczona i zapisze, np.: P MBC = P AMC. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p. Zdający obliczy pole jednego z trójkątów: AMC, BMC, ALB, CLB albo wyznaczy pole trójkąta BMS w zależności od pola trójkąta AMS: P BMS = x albo wyznaczy pole trójkąta CLS w zależności od pola trójkąta ALS: P CLS = y. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Zdający zapisze układ równań pozwalający obliczyć pola trójkątów AM S i ALS, np. x+4y=0 i x+y = 165. Uwaga Jeżeli zdający zapisze tylko jedno równanie z dwiema niewiadomymi, np. x+4y = 0, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) p. Zdający obliczy pole jednego z trójkątów AMS lub ALS: x = 40, y = 45 albo obliczy pola wszystkich trójkątów: AM S, ALS, BM S i CLS popełniając błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne p. Zdający obliczy pola trójkątów AMS, ALS, BMS i CLS: P AMS = 40, P BMS = 80, P ALS = 45, P CLS = 15. XII/4

25 Zadanie 17. (6 p.) Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. IV. Użycie i tworzenie strategii. 10.1R Uczeń wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. Rozwiązanie Wszystkie liczby stucyfrowe o sumie cyfr równej 4 możemy podzielić na 7 grup w zależności od tego, jakie cyfry występują w zapisie dziesiętnym tych liczb: I Liczba , w której po cyfrze 4 następuje 99 zer: jest 1 taka liczba, II Liczby postaci , w których po cyfrze występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 1, stojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb, III Liczby postaci , w których po cyfrze występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra, stojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb, IV Liczby postaci , w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra, stojąca na jednym z 99 możliwych miejsc: jest 99 takich liczb, V Liczby postaci , w których po cyfrze występuje 97 cyfr 0 i dwie cyfry 1, stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest 99 = = = 4851 VI takich liczb, Liczby postaci lub , w których po cyfrze 1 występuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i (w dowolnej kolejności), stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest 99 = = = 970 takich liczb, VII Liczby postaci , w których po cyfrze 1 występuje 96 cyfr 0 i trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc: jest takich liczb. 99 = = = Łącznie zatem mamy = takich liczb. Schemat oceniania W rozwiązaniu można wyróżnić etapy: XII/5

26 Pierwszy wstępny: zauważenie, że należy rozpatrzyć przypadki i zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której pierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer (grupa I). Drugi składający się z rozważenia czterech przypadków: 1. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci , w których po cyfrze występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra 1 oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci , w których po cyfrze występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra oraz ile jest stucyfrowych liczb postaci , w których po cyfrze 1 występuje 98 cyfr 0 i jedna cyfra (grupy II, III i IV),. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci , w których po cyfrze występuje 97 cyfr 0 i dwie cyfry 1 stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc (grupa V),. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci oraz , w których po cyfrze 1 występuje 97 cyfr 0 oraz cyfry 1 i (w dowolnej kolejności), stojące na dwóch miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc (grupa VI), 4. obliczenie, ile jest stucyfrowych liczb postaci , w których po cyfrze 1 występuje 96 cyfr 0 i trzy cyfry 1, stojące na trzech miejscach wybranych z 99 możliwych miejsc (grupa VII). Trzeci obliczenia końcowe: obliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p. Realizacja pierwszego etapu rozwiązania zapisanie, że jest jedna stucyfrowa liczba, której pierwszą cyfrą jest 4 a po niej następuje 99 zer. Pokonanie zasadniczych trudności zadania p. Realizacja drugiego etapu rozwiązania zdający otrzymuje po jednym punkcie za obliczenie ile jest stucyfrowych liczb w każdym z wymienionych przypadków, odpowiednio: 1. ( 99 ) = 97, 99. = = = 4851, ( ) 99. = = = 970, ( ) = = = W tej części rozwiązania zdający może otrzymać od 0 punktów do 4 punktów. Rozwiązanie pełne p. Obliczenie, ile jest wszystkich stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4: jest takich liczb. XII/6

27 Uwaga Zadanie można ( rozwiązać ) powołując się na nietrudne do udowodnienia twierdzenie, ( ) że dla n+k n+k k 9 istnieje liczb n-cyfrowych o sumie cyfr równej k. (Istnieje ciągów k 1 k 1 (a 1,...,a n ) takich, że a 1,...,a n są liczbami całkowitymi, a 1 0, a,...,a n 0 oraz a a n =k). W naszym przypadku mamy n = 100 i k = 4: n+k k 1 = 10 = = = Zadanie 18. (7 p.) Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość. III. Modelowanie matematyczne 11.6R Uczeń stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. Ogólny schemat oceniania Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego za pomocą rachunku różniczkowego składa się z trzech etapów: 1. Zbudowanie modelu matematycznego ( p.).. Zbadanie tego modelu ( p.).. Wyciągnięcie wniosków, końcowe obliczenia itp. (1 p.). W pierwszych dwóch etapach można wyróżnić następujące części: XII/7

28 1.a) wybór zmiennej i wyrażenie za pomocą tej zmiennej wielkości, które będą potrzebne do zdefiniowania funkcji, 1.b) zdefiniowanie funkcji jednej zmiennej, 1.c) określenie dziedziny tej funkcji,.a) wyznaczenie pochodnej,.b) obliczenie miejsc zerowych tej pochodnej,.c) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja posiada wartość najmniejszą/największą. Za poprawne rozwiązanie każdej z powyższych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część danego etapu została zrealizowana bezbłędnie. Rozwiązanie (I sposób) Oznaczmy literą x długość boku kwadratowych naroży. Podstawa pudełka ma wymiary (80 x) (50 x). Wysokość pudełka jest równa x. Zatem objętość wyraża się wzorem czyli V = (80 x) (50 x) x, V = ( x 100x+4x ) x = 4x 60x +4000x = 4(x 65x +1000x). Naszym zadaniem jest obliczenie, dla jakiego x (spełniającego nierówności 0 < x < 5) funkcja f określona wzorem f(x) = x 65x +1000x przyjmuje największą wartość. Obliczamy pochodną tej funkcji: f (x) = x 10x Następnie znajdujemy miejsca zerowe tej pochodnej: = = = 4900, x 1 = = 10, x = 10+70,. 6 6 Pierwiastek x nie spełnia nierówności 0 < x < 5. Zatem jedynym argumentem podejrzanym o ekstremum lokalne w rozważanym przedziale jest x 1 = 10. Ponieważ oraz f (x) > 0 dla x < 10 f (x) < 0 dla x > 10, więc w przedziale (0, 10 funkcja f jest rosnąca i w przedziale 10, 5) jest malejąca. Stąd wynika, że w punkcie x = 10 funkcja f przyjmuje największą wartość. Szukana objętość jest zatem równa V = (80 0) (50 0) 10 = cm. XII/8

29 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów, opisanych ogólnie na stronie 7. 1.a) Oznaczenie literą np. x długości boku kwadratowych naroży, zapisanie długości podstawy pudełka (80 x) i szerokości podstawy pudełka (50 x). 1.b) Zapisanie objętości jako funkcji zmiennej wysokości pudełka x: V = (80 x) (50 x) x. 1.c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać wysokość pudełka: 0 < x < 5..a) Obliczenie pochodnej wprowadzonej funkcji np. f : f (x) = x 10x b) Obliczenie miejsc zerowych: x 1 = 10, x = 1..c) Stwierdzenie, że f (x) > 0 dla 0 < x < 10 oraz f (x) < 0 dla 10 < x < 5, więc w przedziale (0, 10 funkcja f jest rosnąca i w przedziale 10, 5) jest malejąca. Stąd wynika, że dla x = 10 funkcja f przyjmuje największą wartość w dziedzinie (0, 5).. Zapisanie, że długość boku kwadratowych naroży jest równa 10 cm i obliczenie największej objętości: V = (80 0) (50 0) 10 = cm. Rozwiązanie (II sposób) Oznaczmy literą x długość podstawy pudełka. Długość boku kwadratowych naroży (więc również wysokość pudełka) jest wtedy równa 80 x, zaś szerokość podstawy pudełka: x. Zatem objętość wyraża się wzorem V = (x 0) 80 x x, dla 0 < x < 80 V (x) = 0,5x (x 0) (80 x) = 0,5(80x x 400x+0x ) = 1 x x 100x. Obliczamy, dla jakiego argumentu funkcja objętości przyjmuje największą wartość. V (x) = x +110x 100. Wyznaczamy miejsca zerowe tej pochodnej: = , = 4900, x 1 = = 40, x = = 60. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x = 60. Ponieważ V (x) > 0 dla 0 < x < 60 oraz V (x) < 0 dla 60 < x < 80, więc w przedziale (0, 60 funkcja V jest rosnąca i w przedziale 60, 80) jest malejąca. Stąd wynika, że dla x=60 funkcja V przyjmuje największą wartość w dziedzinie (0,80). Długość boku kwadratowych naroży jest równa szukana objętość jest równa (60 0) = cm. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów, opisanych ogólnie na stronie 7. = 10 cm, 1.a) Oznaczenie literą np. x długości boku podstawy pudełka, zapisanie szerokości podstawy pudełka x i wysokości pudełka 80 x. XII/9

30 1.b) Zapisanie objętości jako funkcji zmiennej długości podstawy pudełka x: V =(x 0) 80 x x. 1.c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać długość podstawy pudełka: 0 < x < 80..a) Obliczenie pochodnej funkcji V : V (x) = x +110x 100..b) Obliczenie miejsc zerowych: x 1 = 40, x = 60..c) Stwierdzenie, że V (x) > 0 dla 0 < x < 60 oraz V (x) < 0 dla 60 < x < 80, więc w przedziale (0, 60 funkcja V jest rosnąca i w przedziale 60, 80) jest malejąca. Stąd wynika, że dla x = 60 funkcja V przyjmuje największą wartość w dziedzinie (0, 80).. Obliczenie długości boku kwadratowych naroży = 10 cm. Obliczenie największej objętości: V = (60 0) = cm. Rozwiązanie (III sposób) Oznaczmy literą x szerokość podstawy pudełka. Długość boku kwadratowych naroży (więc również wysokość pudełka) jest wtedy równa 50 x, zaś długość podstawy pudełka: x. Zatem objętość wyraża się wzorem V = (x+0) 50 x x, dla 0 < x < 50. V (x) = 0,5x (x+0) (50 x) = 0,5(50x x 1500x 0x ) = 1 x +10x 750x. Obliczamy dla jakiego argumentu funkcja objętości przyjmuje największą wartość. V (x) = x +0x 750. Wyznaczamy miejsca zerowe tej pochodnej: =4900, x 1 = 0 70 = 50, x = 0+70 =0. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x = 0. Ponieważ V (x) > 0 dla 0 < x < 0 oraz V (x) < 0 dla 0 < x < 50, więc w przedziale (0, 0 funkcja V jest rosnąca i w przedziale 0, 50) jest malejąca. Stąd wynika, że dla x = 0 funkcja V przyjmuje największą wartość w dziedzinie (0,50). Długość boku kwadratowych naroży jest równa 50 0 = 10 cm, szukana objętość jest równa V = (0+0) = cm. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów, opisanych ogólnie na stronie 7. 1.a) Oznaczenie literą np. x szerokości podstawy pudełka, zapisanie długości podstawy pudełka x i wysokości pudełka 50 x. 1.b) Zapisanie objętości jako funkcji zmiennej długości podstawy pudełka x: V =(x+0) 50 x x. XII/0

31 1.c) Zapisanie warunków, jakie musi spełniać szerokość podstawy pudełka: 0 < x < 50..a) Obliczenie pochodnej funkcji V : V (x) = x +0x 750..b) Obliczenie miejsc zerowych: x 1 = 0 70 = 50, x = 0+70 = 0..c) Stwierdzenie, że V (x) > 0 dla 0 < x < 0 oraz V (x) < 0 dla 0 < x < 50, więc w przedziale (0, 0 funkcja V jest rosnąca i w przedziale 0, 50) jest malejąca. Stąd wynika, że dla x = 0 funkcja V przyjmuje największą wartość w dziedzinie (0, 50).. Obliczenie długości boku kwadratowych naroży 50 0 = 10 cm. Obliczenie największej objętości: V = = cm. XII/1

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej o dowolnym

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY V TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY V TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY V TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Rachunek prawdopodobieństwa. Uczeń: Uczeń: 1-2 Permutacje. - zna symbol n!; - stosuje

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań

TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Poziom nauczania: Gimnazjum, klasa II Przedmiot: Matematyka Dział: Równania i układy równań Czas trwania: 45 minut Wykonała: Joanna Klimeczko TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Liczba punktów za

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy. Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje

Bardziej szczegółowo

Zadania z parametrem

Zadania z parametrem Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

KARTY PRACY UCZNIA. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie. samodzielnej pracy ucznia. Zawarte w nich treści są ułożone w taki sposób,

KARTY PRACY UCZNIA. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie. samodzielnej pracy ucznia. Zawarte w nich treści są ułożone w taki sposób, KARTY PRACY UCZNIA Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie opracowanie: mgr Teresa Kargol, nauczyciel matematyki w PSP nr 162 w Łodzi Karty pracy to materiały pomocnicze, które mogą służyć do samodzielnej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Klasa I ZAKRES PODSTAWOWY. Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13. 1. Liczby rzeczywiste

MATEMATYKA Klasa I ZAKRES PODSTAWOWY. Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13. 1. Liczby rzeczywiste Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13 MATEMATYKA Klasa I /nauczyciel M.Tatar/ ZAKRES PODSTAWOWY Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite,

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE PITAGORASA

TWIERDZENIE PITAGORASA PODSTAWY > Figury płaskie (2) TWIERDZENIE PITAGORASA Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA TYPY GRAFÓW c.d. Graf nazywamy dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory, tak że żadne dwa wierzchołki należące do tego samego podzbioru nie są sąsiednie. G

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony. MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt]

Bardziej szczegółowo

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora. Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt):

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2014/2015 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wyznaczyć ich położenie w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRACA KLASOWA PO REALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA W KLASIE 4

PRACA KLASOWA PO REALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA W KLASIE 4 PRACA KLASOWA PO REALZACJ PROGRAMU NAUCZANA W KLASE 4 PLAN PRACY KLASOWEJ Nr zad. Czynności sprawdzane Cele / Wymagania Odniesienie do podstawy programowej Odpowiedzi 1 zapisywanie liczby w systemie dziesiątkowym

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą

Bardziej szczegółowo

ETAP I KONKURSU MATEMATYCZNEGO CONTINUUM

ETAP I KONKURSU MATEMATYCZNEGO CONTINUUM ETAP I KONKURSU MATEMATYCZNEGO CONTINUUM DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Drogi gimnazjalisto! Serdecznie dziękujemy, że zdecydowałeś się na wzięcie udziału w naszym konkursie. Test (tzw. wielokrotnego wyboru) składa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 - (7 punktów) Iloczyn składników Jeśli zapis liczby 22 w postaci sumy zawiera składnik 1, lepiej pogrupować go z innym składnikiem

Zadanie 3 - (7 punktów) Iloczyn składników Jeśli zapis liczby 22 w postaci sumy zawiera składnik 1, lepiej pogrupować go z innym składnikiem Zadanie 1 - (7 punktów) Latające kartki Ponieważ są 64 liczby od 27 do 90 włącznie, mamy 64 strony, czyli 16 kartek (16= 64 : 4). Pod stroną 26. znajdują się strony 24., 22.,..., 4. i 2. wraz z ich nieparzystymi

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2014 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka)

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2014 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2014 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Zestaw standardowy zawierał 23 zadania, w tym 20 zadań zamkniętych i 3 zadania otwarte. Wśród zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

Test całoroczny z matematyki. Wersja A

Test całoroczny z matematyki. Wersja A Test całoroczny z matematyki klasa IV Wersja A Na kartce masz zapisanych 20 zadań. Opuść więc te, których rozwiązanie okaże się zbyt trudne dla Ciebie. Wrócisz do niego później. W niektórych zadaniach

Bardziej szczegółowo

Trenuj przed sprawdzianem! Matematyka Test 4

Trenuj przed sprawdzianem! Matematyka Test 4 mię i nazwisko ucznia...................................................................... Klasa............... Numer w dzienniku.............. nformacja do zadań od 1. do 3. Historia telewizji w Polsce

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 3 TECHNIKUM LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA. 1. Oblicz: a) b) c) d) e)* f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) r)

BAZA ZADAŃ KLASA 3 TECHNIKUM LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA. 1. Oblicz: a) b) c) d) e)* f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) r) BAZA ZADAŃ KLASA 3 TECHNIKUM LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA 1 Oblicz: a) b) c) d) e)* f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) r) s) 2 Wykaż, że liczba jest liczbą wymierną 3Wykaż, że liczba jest liczbą całkowitą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli Centralna Komisja Egzaminacyjna 05 Publikacja opracowana przez zespół koordynowany przez Renatę

Bardziej szczegółowo

s n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

s n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny. Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie a n = a + a 2 + a 3 + () Liczby a n, n =, 2,... nazywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę n s n = a k (2) nazywamy n-tą sumą częściową

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI Kryteria ocen 1. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: Posiadł wiedzę i umiejętności obejmujące pełny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach

Bardziej szczegółowo

POTĘGI WYMAGANIA EDUKACYJNE. Uczeń: określa definicję potęgi o wykładniku ujemnym szacuje wartość potęgi o wykładniku ujemnym

POTĘGI WYMAGANIA EDUKACYJNE. Uczeń: określa definicję potęgi o wykładniku ujemnym szacuje wartość potęgi o wykładniku ujemnym POTĘGI P-PODSTAWOWE ocena dop i dst WYMAGANIA EDUKACYJNE PP-PONADPODSTAWOWE ocena db i bdb ( wymagania z poziomu P i PP) W-WYKRACZAJĄCE ocena cel (wymagania z poziomu P, PP i W) zamienia potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III budownictwo ZAKRES ROZSZERZONY (105 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III budownictwo ZAKRES ROZSZERZONY (105 godz.) YMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III budownictwo ZARES ROZSZERZONY (105 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry);

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Geometria Wykreślna Wykład 3

Geometria Wykreślna Wykład 3 Geometria Wykreślna Wykład 3 OBRÓT PUNKTU Z obrotem punktu A związane są następujące elementy obrotu: - oś obrotu - prosta l, - płaszczyzna obrotu - płaszczyzna, - środek obrotu - punkt S, - promień obrotu

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2012/2013

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2012/2013 Etap szkolny 13 listopada 2012 r. Godzina 10.00 Kod ucznia Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw zawiera 7 stron. Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi. 2. Na tej stronie i

Bardziej szczegółowo

Całka potrójna. Całka potrójna po prostopadłoscianie. f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1)

Całka potrójna. Całka potrójna po prostopadłoscianie. f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1) Całka potrójna Całka potrójna po prostopadłoscianie Rozważmy prostopadłościan = {(x, y, z) R 2 : a x b, c y d, p z q}, gdzie a, b, c, d, p, q R, oraz funkcję trzech zmiennych f : R ograniczoną w tym prostopadłościanie.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

I. LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE

I. LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE I LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE Analizując dany problem uzyskuje się zadanie projektowe w postaci pewnego zbioru danych Metoda morfologiczna, która została opracowana w latach 1938-1948 przez amerykańskiego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie

Ćwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie Ćwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie 1. Wprowadzenie W wielu zagadnieniach dotyczących sterowania procesami technologicznymi niezbędne jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU

O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Autor: Edward Stachowski Materiały konferencyjne

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. 1. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Klasa 1. 1. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 1 w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Klasa 1. 1. LICZBY RZECZYWISTE

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyk zkres podstwowy Proponowny rozkłd mteriłu kl. I (100 h) Temt lekcji Liczb 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby nturlne 1 2. Liczby cłkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo