Matematyczny model gry w mafię - dalsze wyniki

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyczny model gry w mafię - dalsze wyniki"

Edward Tomczyk
7 lat temu
Przeglądów:

1 MISMaP UW: FUW + MIMUW Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego Proseminarium licencjackie Teoria gier 5 czerwca 2009

2 1 Gra w mafię Cel i metodologia 2 Niektóre wyniki w(c, m) 3 4 Możliwe zastosowania Bibliografia W praktyce...

3 Gra w mafię Gra w mafię Cel i metodologia Gra towarzyska dla 4-30 osób Uczestnicy są rozlosowani pomiędzy mafię i miastowych Mafia zna się wzajemnie, miasto - nie Naprzemienne tury: dzień i noc W dzień ginie osoba wybrana przez całą społeczność na drodze demokratycznego głosowania (lincz) W nocy ginie osoba wskazana przez mafię (jeden miastowy)

4 Cel i metodologia Gra w mafię Cel i metodologia Cel: Określenie ile powinno być mafii m na daną liczbę uczestników n, by szansa jej wygrana wynosiła 50% Badanie dynamiki gry

5 Cel i metodologia Gra w mafię Cel i metodologia Cel: Określenie ile powinno być mafii m na daną liczbę uczestników n, by szansa jej wygrana wynosiła 50% Badanie dynamiki gry Metodologia: Rozważanie najprostszego modelu Pominięcie części psychologicznej Opisanie stanu gry przez liczbę miastowych c i mafii m

6 Niektóre wyniki Niektóre wyniki w(c, m) Strategią dominującą jest linczowanie losowej osoby

7 Niektóre wyniki Niektóre wyniki w(c, m) Strategią dominującą jest linczowanie losowej osoby W grze o ustalonej początkowej liczbie miastowych c i mafii m, szanse wygrania tej drugiej zachowują się jak w(c, m) m c+m

8 Niektóre wyniki Niektóre wyniki w(c, m) Strategią dominującą jest linczowanie losowej osoby W grze o ustalonej początkowej liczbie miastowych c i mafii m, szanse wygrania tej drugiej zachowują się jak w(c, m) m c+m (asymptotyka, nie proporcjonalność) Funkcja w(c, m) ma pewne nieintuicyjne dyskretne własności

9 w(c, m) Niektóre wyniki w(c, m) w c,m c liczba miastowych m liczba mafii 100 Ząbki nie są błędem numerycznym ani graficznym! Granica w(c + 1, m)/w(c, m) po odpowiedniej parzystości c to π 2

10 Startujemy z całkowitą liczba graczy N, pośród których jest M członków mafii

11 Startujemy z całkowitą liczba graczy N, pośród których jest M członków mafii Co dobę giną dokładnie dwie osoby, co daje n(t) = N 2t

12 Startujemy z całkowitą liczba graczy N, pośród których jest M członków mafii Co dobę giną dokładnie dwie osoby, co daje n(t) = N 2t p m (t) oznacza prawdopodobieństwo, że w turze t jest dokładnie m członków mafii; oczywiście p m (0) = δ mm

13 Startujemy z całkowitą liczba graczy N, pośród których jest M członków mafii Co dobę giną dokładnie dwie osoby, co daje n(t) = N 2t p m (t) oznacza prawdopodobieństwo, że w turze t jest dokładnie m członków mafii; oczywiście p m (0) = δ mm p m (t + 1) = (N 2t) m p m (t) + m + 1 N 2t N 2t p m+1(t) Ciągi p m (t) możemy z łatwością wyliczyć na komputerze...

14 dla N = 50 i M = t

15 Można rozważyć jak ewoluuje średnia liczba mafii z czasem M m (t) = mp m (t) m=0

16 Można rozważyć jak ewoluuje średnia liczba mafii z czasem m (t) = M mp m (t) m=0 Z bezpośredniego rachunku otrzymujemy m (t + 1) = N 2t 1 m (t) N 2t

17 Można rozważyć jak ewoluuje średnia liczba mafii z czasem m (t) = M mp m (t) m=0 Z bezpośredniego rachunku otrzymujemy m (t + 1) = N 2t 1 m (t) N 2t Powyższe jest ściśle spełnione póki N 2t m 0, zatem m (t) (N 1)!!/(N 2t 1)!! M (N)!!/(N 2t)!!

18 Równania rekurencyjne rozwiązuje się trudno...

19 Równania rekurencyjne rozwiązuje się trudno......ale możemy przybliżyć r. rekurencyjne r. różniczkowym! p m (t + 1) p m (t) =1 p m (t + ) p m (t) 0 d dt p m(t)

20 Równania rekurencyjne rozwiązuje się trudno......ale możemy przybliżyć r. rekurencyjne r. różniczkowym! p m (t + 1) p m (t) =1 p m (t + ) p m (t) 0 d dt p m(t) Gdy 1 jest bliskie 0 (t.j. gdy pochodne funkcji p m (t) niewiele się zmieniają na przedziale o długości 1), możemy napisać p m (t + 1) p m (t) d dt p m(t)

21 - równanie i rozwiązanie Otrzymujemy układ r. różniczkowych na ewolucję p m (t) d dt p m(t) = m N 2t p m(t) + m + 1 N 2t p m+1(t)

22 - równanie i rozwiązanie Otrzymujemy układ r. różniczkowych na ewolucję p m (t) d dt p m(t) = m N 2t p m(t) + m + 1 N 2t p m+1(t) Przechodząc przez funkcję tworzącą P(t, z) = M m=0 p m(t)z m i rozwiązując odpowiednie r. różniczkowe cząstkowe otrzymujemy p m (t) = ( ) ( ) M m ( ) m M 1 1 2t 1 2t m N N

23 Możliwe zastosowania Możliwe zastosowania Bibliografia W praktyce... Eksperymenty psychologiczne Modele bardziej zaawansowanych gier towarzyskich (Ktulu?) Poszukiwanie i opis podobnych zjawisk w socjologii i ekonomii (łapówkarstwo, terroryzm, opozycja)

24 Bibliografia Możliwe zastosowania Bibliografia W praktyce... mafia/ H.W. de Haan, W.H. Hesselink, G.R.R. de Lavalette, An abstract multi-agent framework applied to a social interaction game, M. Braverman, O. Etesami, E. Mossel, Mafia: A Theoretical Study Of Players and Coalitions in a Partial Information Environment (2006, arxiv.org) (2008, Annals of Applied Probability) E. Yao, A Theoretical Study of Mafia Games (2008, arxiv.org)

25 W praktyce... Możliwe zastosowania Bibliografia W praktyce...

26 W praktyce... Możliwe zastosowania Bibliografia W praktyce... Dziękuję za uwagę!

Podobne dokumenty

Matematyczny model gry w mafię

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Migdał Nr albumu: 234522 Matematyczny model gry w mafię Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA W RAMACH MIĘDZYWYDZIAŁOWYCH INDYWIDUALNYCH