Ludolfina. Dlaczego w marcu obchodzimy Święto Liczby Pi? Liczba Pi w księdze rekordów Guinnessa. Wydanie specjalne

Transkrypt

1 Michał Chmara, Grzegorz Mazur (I GA) Gimnazjum nr 25 z Oddziałami Dwujęzycznymi im. Stanisława Staszica w Sosnowcu Wydanie specjalne Dlaczego w marcu obchodzimy Święto Liczby Pi? W dniu 14 marca będziemy obchodzić Dzień Liczby Pi. Datę święta wybrano na 14 marca z powodu skojarzenia z pierwszymi cyframi rozszerzenia dziesiętnego liczby pi, jako że data 14 marca zapisywana jest w USA jako Święto to zostało zapoczątkowane w1988 r. przez pracownika Naukowego San Francisco Exploratiorium, Larry ego Shaw. Święto zaczęło zdobywać popularność, aż w 2009 roku stało się oficjalne w USA uchwałą Izby Reprezentantów. Samo święto oczywiście obchodzone jest w przymrużeniem oka i chodzi wyłącznie o spopularyzowanie matematyki poprzez jej najbardziej popularną stałą. W Polsce obchodzimy również Dzień aproksymacji Pi w dniu 22 lipca. Ten dzień wybrano według zapisu daty 22/7 3,1428 Ważne tematy: Skąd pochodzi nazwa π. Niesamowity japoński komputer Liczba π źródłem inspiracji nie tylko dla matematyków Liczba Pi - co o niej wiemy Liczba Pi w księdze rekordów Guinnessa 3 października 2006 Recytacja zajęła mu roku Akira Haraguchi 16 godzin. Pobił tym wyrecytował samym swój rekord cyfr po przecinku z 1995 r., gdzie liczby π. wyrecytował cyfr po przecinku tej liczby.

2 Str. 2 Liczba π - co o niej wiemy Liczba π jest stałą matematyczną wyrażającą stosunek długości obwodu koła do jego średnicy. Najstarsze próby oszacowania wartości liczby pochodzą z Babilonu. Na tablicy datowanej na lata p.n.e. pojawia się przybliżona wartość liczby π = 3,125. Na nieco późniejszym papirusie Ahmesa, zwanym również papirusem Rhinda (ok r. p.n.e.), zatytuowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach, znajduje się następujący przepis na obliczenie π : Odrzuć od średnicy jej część dziewiątą i zbuduj kwadrat o boku równym pozostałej części, będzie on równoważny z kołem. Na tej podstawie można stwierdzić, że starożytni Egipcjanie przyjmowali wartość liczby π = 3,1605. Na ciekawy fakt zwrócili uwagę badacze piramidy Cheopsa. Stwierdzili oni, że iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy piramidy przez jej wysokość jest równy 3,1416, co jest zadziwiająco dokładnym przybliżeniem liczby π. Trudno jednak z całą pewnością stwierdzić, czy jest to tylko przypadek, czy też efekt świadomych obliczeń ówczesnych uczonych wykorzystujących znajomość wartości liczby. Szacunkowe przybliżenie liczby π można również znaleźć w biblijnej Drugiej Księdze Kronik: Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci (2 Krn 4,2). Na tej podstawie można oszacować liczbę π = 3.

3 Str. 3 Liczby π - co o niej wiemy Metoda aproksymacji liczby π Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2 π r, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu. Metoda aproksymacji przez całe stulecia jej stosowania w starożytności i w średniowieczu doprowadziła do znacznego postępu w przybliżeniu wartości liczby π. Dokładność oszacowania liczby π zależna była od tego, z ilu boków składał się wielokąt wpisany i opisany na danym okręgu im więcej wielokąt miał boków, tym dokładniejszy był pomiar, bo wtedy obwód wielokąta najbardziej pokrywał się z obwodem koła. Pierwszym matematykiem, który tę metodę z powodzeniem praktykował, był Archimedes. Do swoich obliczeń wykorzystał on wielokąt o 96 bokach i uzyskał w ten sposób przybliżenie sięgające dwóch miejsc po przecinku π = 3,14. Jeszcze dokładniejszy wynik osiągnął chiński matematyk Liu Hui w III w. n.e. Z prawdziwie chińską cierpliwością rozpoczął on od wpisywania w okrąg wielokąta o 192 bokach, aż doszedł do wpisywania wielokąta o 3072 bokach i otrzymał wartość liczby π = 3, Inny chiński uczony używający metody aproksymacji, Zu Chongzhi, około 500 r. n.e. obliczył wartość π = 3, i było to do czasów nowożytnych najdokładniejsze przybliżenie liczby π. Metodę zapoczątkowaną przez Archimedesa z powodzeniem stosował również Ludolf van Ceulen ( ), który większość swojego życia poświęcił próbom przybliżania wartości liczby π. Jego osiągnięciem było ustalenie liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku.

4 Str. 4 Liczby π - co o niej wiemy Liczba π coraz bardziej znana Największą wiedzę dotyczącą wyznaczania liczby π przynoszą czasy nowożytne. Johann Heinrich Lambert w 1767 roku udowodnił, że π jest liczbą niewymierną, czyli taką, której nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb rzeczywistych. W 1882 roku niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną, czyli że nie może być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Tym samym udowodnione zostało, że kwadratura koła, czyli konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła, nie jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki. Wobec tego, że koło o promieniu równym jednostce długości ma pole π, zagadnienie skonstruowania takiego kwadratu sprowadza się do skonstruowania odcinka o długości π jako boku poszukiwanego kwadratu. Odcinek ten jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy odcinek o długości π jest konstruowalny. Dowód Lindemanna o niekonstruowalności kwadratury koła stanowi ostateczne rozwiązanie jednego z ciekawszych zagadnień matematycznych starożytności. Jednocześnie wciąż podejmowane były próby ustalenia jak największego rozwinięcia dziesiętnego liczby π. I tak w 1853 roku Rutherford wyliczył 440 miejsc po przecinku, Shanks w 1874 roku 527 miejsc po przecinku, Ferguson w 1946 roku 620 miejsc po przecinku. W późniejszych czasach wartość liczby π ustalana była już tylko przy użyciu komputerów. W 1949 roku za pomocą komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, w 1961 roku, używając komputera IBM 7090, ustalono miejsc po przecinku. W 2002 roku matematycy z Uniwersytetu Tokijskiego, korzystając z pomocy superkomputera, odczytali w liczbie π 1,24 biliona miejsc po przecinku.

5 Str. 5 William Jones Leonhard Euler Aby przykuć uwagę czytelników, umieść tutaj Ludolph van Ceulen Niektórzy myślą, że grecka litera π nawiązuje Krótki rodowód nazwy do imienia Pitagorasa, ale naprawdę pochodzi ona od greckiego słowa perimetron" lub "periferia' (obwód, obrzeże). To oznaczenie pojawiło się w 1706 roku w rozprawie angielskiego matematyka Williama Jonesa pt. "Synopsis Palmariorum Mathsos" ("Nowe wprowadzenie do matematyki"), a weszło do powszechnego Inną nazwą liczby π jest ludolfina na cześć Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na przełomie XVI i XVII wieku obliczył wartość liczby π do 35 miejsca po przecinku, co było absolutnym rekordem tamtych czasów. użytku, gdy zaczął je stosować od 1736 roku słynny matematyk Leonhard Euler. Wynik 3, wyryto na jego nagrobku. Liczba π w biblii Biblia, trzeba przyznać, niestety, mocno myli się w tym względzie. Z liczbą π spotykamy się w opisie budowy świątyni króla Salomona: "Sporządził też kadź odlewną wyobrażającą morze, okrągłą, długości dziesięciu łokci od krawędzi do krawędzi (...), obwód zaś jej wynosił trzydzieści łokci" (Pierwsza Księga Królewska 7, 23). To oznacza, że zdaniem natchnionego autora Starego Testamentu kadź miała obwód 30 i średnicę 10 łokci, co - po podzieleniu daje π=3.

6 Str. 6 Niesamowity japoński komputer Aktualny oficjalny rekord w obliczaniu kolejnych miejsc rozwinięcia liczby Pi wynosi 13.3 bilionów miejsc po przecinku (13.3x10^12) osiągnięty 7 października 2014 roku po 208 dniach wykonywania obliczeń i 182 godzinach weryfikacji przez japoński komputer pod kryptonimem houkouonchi. W celu zobrazowania ogromu liczby powiedzmy, że wyraża ona odległość w metrach. Co oznaczałoby przebycie takiej drogi? To odległość od Ziemi do Słońca. 44-krotna (ponad). Tam i z powrotem. W jakim celu wylicza się π z coraz większą dokładnością? Wyłącznie dla sportu. Z punktu widzenia matematyki niczemu to nie służy. Nie ma to także żadnego praktycznego znaczenia. Znajomość już 47 miejsc po przecinku wystarcza, by wykreślić okrąg opisujący cały widoczny Wszechświat i nieróżniący się od doskonałego kształtu więcej niż o średnicę protonu Czego jeszcze nie wiemy o π? Pozostało jeszcze kilka zagadek, nad którymi się głowią matematycy. Na przykład nie wiadomo wciąż, czy liczbą przestępną jest π π. Do dziś też nie wiemy, czy w nieskończonym ciągu rozwinięcia dziesiętnego π pojawia się zestaw cyfr

7 Str. 7 William Shanks Największy pechowiec Przed epoką komputerów obliczanie π było niezwykle żmudnym zadaniem. W 1874 roku angielski matematyk William Shanks po 30 latach pracy uroczyście ogłosił, że obliczył 707 cyfr π po przecinku. Jego wynik uchodził za rekordowy aż do 1944 roku, kiedy to inny angielski matematyk wykazał, że Shanks pomylił się na 528. miejscu i dalej już wszystkie podane przez niego cyfry były błędne. To znaczy, że ostatnie dziesięć lat życia Shanks mógł z powodzeniem spędzić na pożyteczniejszym zajęciu. Pi-ematy to wiersze (i teksty), które mają pomóc w zapamiętaniu jak największej liczby cyfr π. Zasada ich tworzenia jest prosta - liczba liter w kolejnych wyrazach tekstu odpowiada kolejnym cyfrom rozwinięcia dziesiętnego π np.. Już i Lato i Deyna strzelili do bramki obcej dwa karne. Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha, gdy on tak wypuścił cios szacha, że zdobyć musi Pi -ematy na ratunek w zapamiętywaniu cel gry krzyknął Gol na Mundial Argentyna." Najwspanialszym osiągnięciem w tej dyscyplinie jest chyba opowiadanie Michaela Keitha, opublikowane w 1986 roku w magazynie "The Mathematical Intelligencer". Daje ono rozwinięcie dziesiętne liczby π aż do 402. miejsca po przecinku. Redaktorzy pisma, zachęcając do ułożenia jeszcze dłuższego tekstu, ostrzegają przed miejscem 601., gdzie pojawiają się trzy kolejne zera (zera w piematach są oznaczane znakami przestankowymi różnymi od kropki), oraz przed miejscem tam znajduje się z rzędu sześć dziewiątek i ósemka Słynne osoby urodzone w dniu liczby Pi 1794 r.- Józef Bem - polski generał, uczestnik powstania listopadowego 1804 r. - Johann Strauss (ojciec) - austriacki kompozytor 1854 r. - Thomas Marshall - amerykański polityk, 28 wiceprezydent USA 1879 r. - Albert Einstein - niemiecki fizyk, matematyk; laureat Nagrody Nobla 1882 r. - Wacław Sierpiński - polski matematyk 1945 r.- Bethuel Pakalitha Mosisili - sotyjski polityk, obecny premier Lesotho 1955 r. - Daniel Bertoni - argentyński piłkarz, mistrz świata r. - Albert II Grimaldi - obecny książę Monako 1979 r. - Nicolas Anelka - francuski piłkarz, mistrz Europy 2000

8 Str. 8 Nagroda Nobla za liczbę π - czy to możliwe? Oczywiście. Wisława Szymborska - nasza poetka wysławiała π w jednym z wierszy z tomu "Wielka liczba": Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia Cały się tekst: w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście wyborcza.pl/1,75400, ,3_i mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci _14_krotkich_historii_o_liczbi szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy e_pi Bo_dzis_jej.html#ixzz4 obwód w biodrach dwa palce szarada i 1B57MQDq szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania. Informacje zawarte w gazetce pochodzą z wielu stron zamieszczonych w internecie.