Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem algorytmów analizy falkowej

Transkrypt

1 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wydział InŜynierii Kształtowania Środowiska i Geodezji Kierunek: Geodezja i Kartografia Specjalność: Geoinformatyka Krzysztof Jakub Sośnica Nr indeksu Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem algorytmów analizy falkowej Praca magisterska wykonana w Instytucie Geodezji i Geoinformatyki Opiekun pracy: dr hab. inŝ. Andrzej Borkowski, prof. nadzw. Wrocław, czerwiec 2009

2 Pamięci mojej babci - Hildegardy 2

3 OŚWIADCZENIE OPIEKUNA PRACY Oświadczam, Ŝe niniejsza praca magisterska pt.: Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem algorytmów analizy falkowej - autorstwa Krzysztofa Sośnicy została przygotowana pod moim kierunkiem w Instytucie Geodezji i Geoinformatyki i stwierdzam, Ŝe spełnia ona warunki do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego data czytelny podpis opiekuna pracy OŚWIADCZENIE AUTORA PRACY Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, Ŝe niniejsza praca dyplomowa: została napisana przez mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami USTAWY z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z ubieganiem się o tytuł naukowy lub zawodowy wyŝszej uczelni załączona w wersji elektronicznej jest identyczna z wersją wydrukowaną data czytelny podpis autora pracy 3

4 FILTRACJA DANYCH LOTNICZEGO SKANINGU LASEROWEGO Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMÓW ANALIZY FALKOWEJ Streszczenie Na przestrzeni ostatnich lat, znaczenie skaningu laserowego jako techniki pozyskiwania informacji o fizycznej powierzchni ziemi, znacząco wzrosło. We wspomnianej technologii pomiarowej cięŝar uzyskania efektu końcowego został przeniesiony na opracowanie kameralne. Ze względu na duŝe zbiory danych skaningu laserowego poszukuje się szybkich algorytmów obliczeniowych, posiadających moŝliwości analizy danych w bardzo krótkim czasie. Kluczowym zagadnieniem przetwarzania danych lotniczego skaningu laserowego jest filtracja, czyli eliminacja wszystkich punktów, które nie naleŝą do właściwej powierzchni. W pracy magisterskiej podjęto próbę opracowania uniwersalnej metody szybkiej filtracji danych lotniczego skaningu laserowego, opartej na analizie falkowej. W tym celu opracowano algorytm dwuetapowej filtracji, realizujący proces eliminacji punktów w dziedzinie częstotliwości. Filtrację oparto na załoŝeniu, Ŝe wysokie częstotliwości sygnału, utoŝsamianego z profilami terenowymi, korespondują z obiektami na powierzchni terenu. Niskie częstotliwości, odpowiadają natomiast za ogólny przebieg powierzchni gruntu. W pierwszym etapie filtracji, opartej na filtrze dolnoprzepustowym dyskretnej transformacji falkowej, przeprowadzana jest identyfikacja wszystkich punktów znacznie odstających od powierzchni aproksymacji. Następuje redukcja wysokości punktów oraz budowa kolejnej powierzchni aproksymacji, niezaburzonej wpływem obiektów terenowych. Aproksymacja terenu przybliŝa przebieg powierzchni gruntu, dzięki czemu algorytm działa zarówno w terenie płaskim, pochyłym, jak i pagórkowatym. Testy numeryczne, opracowanego algorytmu, zostały przeprowadzone na danych rzeczywistych, pozyskanych w 2005 r. techniką skaningu laserowego w kampanii pomiarowej doliny rzeki Widawy. Wyniki filtracji danych na obiektach testowych są satysfakcjonujące. Skuteczność algorytmu oceniono na 95%, przy moŝliwości filtracji 1 miliona punktów w czasie 4,5 sekundy. Słowa kluczowe: analiza falkowa, lotniczy skaning laserowy, LIDAR, filtracja 4

5 FILTERING OF AIRBORNE LASER SCANNING DATA USING ALGORITMS OF WAVELET ANALYSIS Summary Within last years, the meaning of airborne laser scanning as the technology for gaining data about the physical surface of the earth, has grown. In ALS the process of post-processing data has got the great significance for the final result. Taking into consideration the very big datasets of airborne laser scanning, fast algorithms are needed in order to analyze data in the very short period of time. The basic aspect in processing ALS data is the filtration as the extinction all points, which do not belong to the particular surface. The thesis tried to develop a universal method of fast filtration airborne laser scanning data, based on wavelet analysis. For this purpose the algorithm of two-steps filtration, which makes the process of filtration in the domain of wavelet frequency, has been built up. In this process, high frequencies of the signal, which can be thought as the terrain profiles, correspond to surface objects. Low frequencies are basically responsible for the surface of the ground. In the first step of filtration process, based on low pass filter of discrete wavelet transform, the identification of all points, which are away from the approximation surface, is made. Then the depreciation of the height of points is done. Furthermore the construction of the final approximation surface, which is unbiased by the influence of terrain objects, finishes the process of filtration. The algorithm works properly in the flat area, as well as in hilly and mountain terrains. The method has been tested at the real data of the airborne laser scanning data from the Widawa Valley River campaign in The results of filtration are satisfactory. The accuracy of algorithm was estimated on 95%, with the possibility of filtration of 1 million of points in the period of 4.5 seconds. Keywords: wavelet analysis, airborne laser scanning, LIDAR, filtering 5

6 SPIS TREŚCI 1. Wstęp Teza i cel pracy Teza pracy Cel pracy Analiza falkowa Pojęcie ogólne Ciągła transformata falkowa Dyskretna transformata falkowa Współczynniki a i b przekształcenia falkowego Lokalizacja względem czasu i częstotliwości Pseudo-częstotliwość i szerokość pasma Transformata odwrotna Dekompozycja falkowa Funkcja falkowa i skalująca Rodzaje falek Zastosowania transformaty falkowej Transformata falkowa w elektronice Transformata falkowa w przetwarzaniu obrazów cyfrowych Transformata falkowa w ekonomii Transformata falkowa w mechanice urządzeń Transformata falkowa w medycynie Transformata falkowa w geodynamice i geodezji Transformata falkowa w teledetekcji Metody eliminacji progowej (thresholding methods) Poziom eliminacji progowej Rozdzielczośc eliminacji progowej Wartość eliminacji progowej Skaning laserowy Zasada pomiaru Dalmierz elektrooptyczny Pozycjonowanie techniką GNSS Inercjalny system nawigacyjny INS

7 Segment naziemny i pokładowy Obszary zastosowań skaningu laserowego Zalety i ograniczenia techniki Projekt Widawa jako źródło danych lotniczego skaningu laserowego Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego Przegląd algorytmów realizujących filtrację w dziedzinie współrzędnych Przegląd algorytmów realizujących filtrację w dziedzinie częstotliwości Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego oparta na filtrze dolnoprzepustowym dyskretnej transformaty falkowej Schemat algorytmu Działanie algorytmu w terenie pochyłym Filtracja falkowa a struktury terenowe Weryfikacja metody Przyjęcie załoŝeń początkowych w optymalizacji parametrów Badanie zaleŝności wartości błędów od progu I aproksymacji Badanie zaleŝności wartości błędów od progu II aproksymacji Badanie zaleŝności wartości błędów od stopnia aproksymacji Badanie wpływu rzędu falki db na wynik filtracji Badanie wpływu rodzaju i rzędu falki ortogonalnej i biortogonalnej na wynik filtracji Optymalizacja liczby punktów dla pojedynczego kroku aproksymacji Ustalenie optymalnych wartości parametrów filtracji dla róŝnych obszarów testowych Ostateczna ocena dokładności algorytmu filtracji dla parametrów średnich Wnioski Bibliografia Spis ilustracji Spis tabel

8 1. Wstęp Lotniczy skaning laserowy stanowi efektywne narzędzie do pozyskiwania informacji zarówno o fizycznej powierzchni ziemi, jak i elementach pokrycia terenu. Efektem pomiaru skaningu laserowego jest zbiór punktów o wyznaczonych współrzędnych przestrzennych w jednolitym układzie globalnym albo lokalnych (xyh, XYZ, BLH). Istnieje wiele obszarów zastosowań danych pozyskanych tą techniką, z czego do najbardziej powszechnych naleŝy zaliczyć budowę Numerycznego Modelu Terenu oraz tworzenie produktów pochodnych. W takich opracowaniach moŝna wyróŝnić obliczanie objętości mas ziemnych, wyznaczanie połoŝenia linii zalewowych, inwentaryzację sieci elektroenergetycznych, a takŝe tworzenie profili terenowych. Ze względu na szybkość pozyskiwania danych oraz ogrom zbiorów pomiarowych w lotniczym skaningu laserowym, cięŝar uzyskania efektu końcowego, został przeniesiony na opracowania kameralne chmury zarejestrowanych punktów. Kluczowe zagadnienie w przetwarzaniu danych, pochodzących ze skaningu laserowego stanowi filtracja, rozumiana jako eliminacja wszystkich punktów, nienaleŝących do określonej powierzchni. W ostatnich latach zostało opracowanych wiele algorytmów filtracji, które niestety działają stosunkowo wolno. W pracy magisterskiej podjęto próbę stworzenia programu do szybkiej filtracji danych lotniczego skaningu laserowego, opartego na transformacji falkowej dla danych w ciągach regularnych. Podstawową zaletą przedstawionego algorytmu jest duŝa efektywność obliczeniowa oraz moŝliwość stosowania róŝnych funkcji falkowych transformujących dziedzinę współrzędnych do dziedziny częstotliwości. Ponadto dzięki dobrej lokalizacji transformacji falkowej w czasie, nie ma konieczności podziału ciągu danych skaningu laserowego na podobszary, w których estymowana jest powierzchnia referencyjna, symulująca fizyczną powierzchnię terenu. Podstawowym załoŝeniem w budowie algorytmu była praca na danych oryginalnych. Efektem opracowanego dwuetapowego algorytmu filtracji danych jest aproksymacja przebiegu powierzchni ziemi, otrzymana w wyniku działania filtru dolnoprzepustowego. Schemat działania programu oparto na załoŝeniu, Ŝe wysokie częstotliwości sygnału, utoŝsamianego z profilami terenowymi, korespondują z obiektami na powierzchni terenu. Niskie częstotliwości, odpowiadają natomiast za ogólny przebieg powierzchni gruntu. Aproksymacja 8

9 terenu przybliŝa przebieg powierzchni ziemi, dzięki czemu algorytm działa zarówno w terenie płaskim, pochyłym, jak i pagórkowatym. Za dane testowe posłuŝyły dane rzeczywiste pozyskane techniką lotniczego skaningu laserowego podczas kampanii pomiarowej doliny rzeki Widawy w listopadzie 2005 r. Pomiar został wykonany przez pracowników Instytutu Geodezji i Geoinformatyki przy współpracy z naukowcami z Instytutu Nawigacji Uniwersytetu Technicznego w Stuttgarcie. W czasie pomiarów wykorzystano prototypowy skaner ScaLARS 2, a do rejestracji INS i sygnału GPS wykorzystano system Applanix POS/AV 510. W pracy przeprowadzono serię badań dokładności opracowanego algorytmu na sześciu zbiorach testowych. Wyniki filtracji danych na obiektach testowych są bardzo zadowalające. Skuteczność algorytmu oceniono na 95%, przy moŝliwości filtracji 1 miliona punktów w czasie 4,5 sekundy. Uzyskane dokładności przekroczyły nawet początkowe oczekiwania co do skuteczności działania algorytmu. Na prezentowaną metodę warto zwrócić ponadto uwagę, ze względu na fakt, iŝ jest to jedyna metoda, która działa na danych oryginalnych, w terenie równinnym i pochyłym, bez względu na pokrycie terenu, a jednocześnie jest bardzo szybka i przynosi wysokie dokładności filtracji. 9

10 2. Teza i cel pracy 2.1. Teza pracy Algorytmy analizy falkowej mogą być wykorzystane w procesie szybkiej filtracji danych pozyskanych techniką lotniczego skaningu laserowego. Proces filtracji będzie przebiegał z uwzględnieniem danych oryginalnych, wzdłuŝ profili terenowych śladu lasera dla terenów płaskich i pochyłych oraz zurbanizowanych, zadrzewionych i odkrytych. Struktury terenowe, takie jak wały, rowy, doły, powinny pozostać nienaruszone. Zakłada się, Ŝe będzie to proces wstępnej, ale szybkiej filtracji przed działaniem dokładniejszych i wolniejszych algorytmów. Odfiltrowane dane mogą stanowić podstawę budowy Numerycznego Modelu Terenu Cel pracy Celem pracy jest opracowanie programu, realizującego filtrację danych lotniczego skaningu laserowego w dziedzinie częstotliwości z wykorzystaniem algorytmów analizy falkowej. Pierwotne dane, pozyskane techniką lotniczego skaningu laserowego, stanowią chmurę punktów o wyznaczonych współrzędnych przestrzennych. W zbiorze, charakteryzującym się wielkością rzędu 10 8, znajdują się punkty zarejestrowane zarówno w wyniku odbicia wiązki lasera od fizycznej powierzchni ziemi, jak i obiektów pokrycia terenu. Celem filtracji jest pozostawienie tylko tych danych, które reprezentują powierzchnię gruntu przy jednoczesnym uwzględnieniu lokalnych struktur terenowych. Opracowany program powinien być szybki, działać na danych nieprzetworzonych oraz w miarę moŝliwości dokładny. 10

11 3. Analiza falkowa W niniejszym rozdziale zostanie zaprezentowany wstęp do analizy czasowoczęstotliwościowej sygnałów. Początkowo przetwarzanie sygnałów w dziedzinie częstotliwości odbywało się wyłącznie z wykorzystaniem transformaty Fouriera. Wzrost mocy obliczeniowej komputerów oraz zapotrzebowanie na algorytmy umoŝliwiające analizę danych, charakteryzujących się nieciągłością, doprowadził do rozwoju innego podejścia w spektralnym przetwarzaniu sygnałów mianowicie podejścia czasowo-częstotliwościowego, realizowanego przy pomocy transformaty falkowej [Barański, 2006]. Obecnie falki (ang. wavelets) mogą znaleźć zastosowanie tam, gdzie występuje analiza sygnałów zjawisk przejściowych, gdzie nie wystarczają tradycyjne metody przekształceń niezmiennych w czasie systemów liniowych, sprowadzających się do operacji splotu i przekształceń Fouriera. Dzięki dobrej lokalizacji transformaty falkowej w czasie i w częstotliwości, moŝliwy jest wybór interesujących obiektów, reprezentowanych zarówno przy pomocy długości fali, jak i właściwego połoŝenia. Inną przestrzenią zastosowań jest aproksymacja sygnału, która umoŝliwia uwypuklenie charakterystycznych elementów strukturalnych sygnałów reprezentujących określone zjawiska [Białasiewicz, 2000]. Nieciągły oraz niestacjonarny sygnał danych lotniczego skaningu laserowego stanowi doskonały obszar zastosowań transformacji falkowej. Dane zarejestrowane podczas pojedynczej kampanii pomiarowej zawierają duŝą liczbę zarejestrowanych punktów, cechujących się koniecznością filtracji, czyli identyfikacji punktów reprezentujących fizyczną powierzchnię terenu. Dzięki aproksymacji sygnału moŝliwe są uogólnienia rozwinięć falkowych, wiąŝące się z pewną utratą informacji, ale za to zapewniające bardzo efektywne wydobycie trendu reprezentowanego sygnału. Innymi słowy: aproksymacje wydobywają istotne cechy charakterystyczne sygnałów i w związku z tym stanowią nieocenione narzędzie przy analizie zawartości informacyjnej oraz prognozie przebiegu terenu. Doświadczenia, bazujące na przetwarzaniu zarówno sygnałów jednowymiarowych, jak i dwuwymiarowych (obrazy) pokazują, Ŝe nawet dla wysokiego stopnia aproksymacji, większość energii bazowego sygnału pozostaje zachowana [Białaszewicz, 2000]. Stanowi to istotny element dla opracowania danych lotniczego skaningu laserowego, gdzie nawet przy obecnej mocy obliczeniowej komputerów, szybkie przetwarzanie danych w ilości kilkuset milionów zarejestrowanych punktów staje się uciąŝliwe i czasochłonne. Naprzeciw potrzebie szybkiej filtracji wychodzi transformacja falkowa, charakteryzująca się duŝą prędkością przetwarzania ogromnych objętościowo zbio- 11

12 rów danych, pod warunkiem ich właściwego dostosowania do zasad rządzących prawami multispektralnej transformaty. Powierzchnia terenu stanowi zespół składników o róŝnym rozmiarze i konfiguracji przestrzennej. Ciąg punktów w profilach terenowych zbliŝony jest do sygnału elektrycznego. Zakłócenia występujące w przebiegu powierzchni topograficznej mogą być utoŝsamiane z szumem pojawiającym się podczas transmisji sygnału. Wykazują one najczęściej losową zmienność o niewielkiej amplitudzie i okresie. Podstawą filtracji danych lotniczego skaningu laserowego w dziedzinie czasowo-częstotliwościowej jest załoŝenie, Ŝe niskie częstotliwości reprezentują ogólny przebieg terenu, podczas gdy wysokie częstotliwości reprezentują pokrycie (drzewa, budynki, samochody, itp.) Pojęcie ogólne Falki w ogólności są zbiorem matematycznych funkcji, które spełniają określone wymagania. Nazwa falka sugeruje własność, dzięki której funkcja faluje wokół osi poziomej x, a poza określonym zakresem asymptotycznie zmierza do zera [Vidaković, 2006]. Istnieje ogromny zbiór równań matematycznych róŝnych falek i w zaleŝności od zastosowania oraz czasowej skuteczności obliczeniowej, moŝna wybrać podstawowy nośnik falki, charakteryzujący się np. gładkością albo symetrycznością. Istnieją trzy zasadnicze zalety stosowania transformaty falkowej względem transformaty Fourierowskiej. Po pierwsze: ograniczony nośnik danej falki umoŝliwia wychwycenie zjawiska (części sygnału) o charakterze lokalnym. W transformacie Fouriera poprzez ciągłość i niezmienność funkcji sinus bądź cosinus w całej dziedzinie, niewielkie zmiany częstotliwości wytwarzają zmiany wartości w całej dziedzinie czasu. W transformacie falkowej, dzięki dobrej lokalizacji w czasie, kaŝde zjawisko odnosi się do ograniczonej długością nośnika części sygnału. Po drugie: moŝliwość doboru róŝnorodnych funkcji falkowych, w szczególności niegładkich, poszerza obszar zastosowań o analizę sygnałów nieciągłych, takich jakie przykładowo zawiera ciąg danych z kampanii lotniczego skaningu laserowego. Nieciągłości i przeskoki funkcji mogą być lokalnie wykryte i właściwie przetworzone w dziedzinie częstotliwości. Po trzecie: duŝe zbiory danych, charakteryzujące się znacznym szumem pomiarowym mogą być łatwo i szybko przetransformowane poprzez dyskretną transformatę falkową. 12

13 Podczas gdy szybka transformata Fouriera (FFT) charakteryzuje się liczbą koniecznych obliczeń rzędu O(n. log 2 (n)), to szybka transformata falkowa (FWT) przy spełnieniu warunku diadyczności wymaga operacji O(n). Zaleta ta moŝe zostać wykorzystana podczas przetwarzania duŝych zbiorów danych lotniczego skaningu laserowego. Rys. 3.1 Falka Morleta określona równaniem / cos 5. PowyŜsza falka przedstawia analogię transformaty falkowej względem transformaty Fouriera parzysta funkcja cosinus przez współczynnik wygaszający / asymptotycznie dąŝy do zera, a ponad 99% energii falki znajduje się w przedziale -3<x<3, który stanowi moduł falki. Ze względu na brak funkcji skalującej falka Morleta wykorzystywana jest wyłącznie w ciągłej transformacie falkowej. Rys. 3.2 Falka meksykański kapelusz stanowiąca drugą pochodną funkcji Gaussa. Falka określona jest równaniem / 1 /. RównieŜ wykorzystywana jest tylko w ciągłej transformacie falkowej. 13

14 3.2. Ciągła transformata falkowa Ciągła transformata falkowa funkcji f(t) L 2 jest dwuwymiarowym przekształceniem całkowym, opierającym się na iloczynie badanego sygnału funkcji f(t) oraz jądra przekształcenia ψ ab (t). Wyznaczenie wartości transformacji względem współczynników falkowych a i b przekształcenia jednowymiarowego sygnału w dwuwymiarową przestrzeń czasowoczęstotliowściową odbywa się za pomocą równania [Białasiewicz, 2000]:,,, (3.1) Z powyŝszego wzoru wynika, Ŝe transformata falkowa polega na znalezieniu wartości iloczynów amplitudowych, względem współczynników czasowo-częstotliwościowych a i b. Wartość Wf (b,a) reprezentuje stopień zgodności danej falki z przebiegiem sygnału f(t) w określonym momencie czasowym t. PowyŜszy stopień zgodności przebiegu falki uzyskiwany jest poprzez iloczyn amplitudy sygnału f(t) oraz amplitudy falki ψ ab (t) w danym punkcie oraz na określonym poziomie skalowym. Moduł skanujący ψ ab (t) stanowi jądro przekształcenia, które jest generowane poprzez dylatacje i skalowanie falki podstawowej: 1 1,, (3.2) W przypadku transformaty Fouriera jądro przekształceń składa się z samej funkcji cosinus z jednym parametrem skalującym a: (3.3) Wzór 3.3 pokazuje silną analogię transformaty Fouriera względem transformaty falkowej, gdzie przekształcenia róŝnią się przede wszystkim liczbą parametrów czyli liczbą wymiarów dziedziny współczynników po transformacji. 14

15 Po podstawieniu 3.2 do równania 3.1 otrzymujemy najbardziej znany ogólny wzór na ciągłą transformatę falkową:, 1 1,, a współczynnik skali (odpowiedzialny takŝe za amplitudę falki), b współczynnik przesunięcia (dylatacja), f(t) wartość analizowanego sygnału w czasie t, Wf współczynnik falkowy zaleŝny od parametrów a i b, funkcja falkowa, jądro przekształcenia, współczynnik przeskalowania amplitudy jądra przekształcenia, 1 jednostka urojona. (3.4) W rzeczywistości nie spotyka się sygnałów o nieskończonych granicach, więc dla celów praktycznych symbol nieskończoności naleŝy zastąpić dolną i górna granicą całkowania ciągłego sygnału. Ciągła transformata falkowa znajduje swoje zastosowanie w ogólnej analizie sygnałów. Ze względu na płynne granice przejścia wartości wyznaczonych iloczynów amplitudowych, moŝliwe jest określenie przybliŝonych granic częstotliwości i momentu czasowego wystąpienia danego zjawiska w przestrzeni. Ze względu na skuteczność obliczeniową oraz moŝliwość przeprowadzania takich operacji jak eliminacja progowa (ang. thresholding), stosuje się zazwyczaj dyskretną transformatę falkową spełniającą określone warunki co do dopuszczalnych wartości współczynników jądra przekształcenia. [Vidaković, 2006] 15

16 3.3. Dyskretna transformata falkowa W wyniku dyskretyzacji parametrów przeskalowania i przesunięcia a i b ze wzoru 3.2 otrzymujemy równanie:,, (3.5) W praktycznych obliczeniach wykorzystywany jest szczególny przepadek równania 3.5 dla parametrów a 0 = 2 oraz b 0 = 1. Wówczas powstaje diadyczna ortonormalna baza falkowa przestrzeni L 2 (R): ,, (3.6) Diadyczność powyŝszego wzoru wyraŝa się w stałej skali 2, która oznacza dwukrotną zmianę długości falki przy zmianie wartości m o 1. Dzięki zmianie amplitudy falki o 2 zostaje spełniony warunek ortonormalności długość kaŝdego wektora w przestrzeni Hilberta pozostaje stała (energia falki nie ulega zmianie). Większość falek posiada dodatkową cechę ortogonalność, czyli iloczyn skalarny dwóch dowolnych wektorów w macierzy przekształceń jest równy zero Współczynniki a i b przekształcenia falkowego Zgodnie ze wzorem 3.4 w elementarnym diadycznym przekształceniu falkowym występują dwa współczynniki współczynnik skali a oraz współczynnik przesunięcia falki b. Współczynnik skali 2 decyduje o wartości pseudo-częstotliwości danej falki (czyli o długości nośnika falki). Dzięki temu, Ŝe m przyjmuje wartości z dziedziny liczb całkowitych, przekształcenie elementarne jest diadyczne o skali 2. Współczynnik a przyjmuje zawsze wartości większe od zera. Wraz ze wzrostem wartości współczynnika a, pseudoczęstotliwość falki maleje, czyli współczynnik jest odwrotnie proporcjonalny do pseudo-częstotliwości falki. Pierwszy człon w równaniu 3.6, a mianowicie: odpowiada za normalizację falki, która ma na celu utrzymanie stałej energii funkcji falkowej niezaleŝnie od skali. Normalizacja gwarantuje stałość wartości normy wektorowej elementarnego przekształcenia falkowego innymi słowy długość kaŝdego wektora w macie- 16

17 rzy przekształcenia falkowego jest stała i wynosi a, dzięki czemu moŝemy mówić o ortonormalności dyskretnej transformaty falkowej:. (3.7) DuŜe wartości parametru a (a>>1) odpowiadają szerokim funkcjom bazy i w związku z tym mogą wyizolować długotrwałe cechy dynamiki sygnału, a w szczególności jego zachowanie w stanie ustalonym. Małe wartości parametru a (0<a<1) prowadzą do wąskich funkcji bazy, które mogą identyfikować krótkotrwałe zachowania się sygnału. Falka podstawowa jest zazwyczaj filtrem środkowoprzepustowym (3.2). Rys. 3.3 ZaleŜność współczynnika a od pseudo-częstotliwości falki [Barański, 2006]. Współczynnik przesunięcia b jest odpowiedzialny za precyzyjną lokalizację falki w czasie (lub w ciągu współrzędnych). Dla przekształcenia diadycznego przyjmuje on wartości 2, czyli dla n i m naleŝących do zbioru liczb całkowitych b moŝe przyjmować wartości zarówno dodatnie (przesunięcie funkcji falkowej w kierunku dodatnich wartości x) albo ujemne (przesunięcie w kierunku liczb ujemnych). Rys. 3.4 ZaleŜność współczynnika b od przesunięcia modułu falki [Barański, 2006]. 17

18 3.5. Lokalizacja względem czasu i częstotliwości Jak juŝ wcześniej wspomniano, transformata Fouriera posiada dobrą lokalizację w dziedzinie częstotliwości, podczas gdy jest słabo zlokalizowana względem czasu. Dzieje się tak dlatego, Ŝe funkcja sinusoidalna ma energię równomiernie rozłoŝoną na całej osi częstotliwości. Natomiast dla transformaty falkowej, dzięki ograniczeniu nośnika falki podstawowej, moŝna związać długość sygnału z przedziałem czasowym, na który przypada większość energii sygnału. Dzięki czemu moŝna uzyskać w miarę precyzyjną lokalizację sygnału względem częstotliwości i czasu, ograniczoną jednak pewnymi warunkami. Ograniczenie w nieskończonej lokalizacji sygnału względem czasu i częstotliwości wypływa z zasady nieoznaczoności Heisenberga, która dotyczy relacji między rozdzielczością w dziedzinie częstotliwości, określoną przez układ funkcji, względem którego dokonujemy rozwinięcia. Poprzez rozdzielczość sygnału rozumie się minimalną liczbę próbek sygnału, potrzebną do jego reprezentacji albo liczbę próbek na jednostkę czasu. Zasada nieoznaczoności Heisenberga przedstawia się w sposób następujący [Białasiewicz, 2000]: (3.8) gdzie: 1 2 (3.9) W powyŝszych wzorach t oznacza moment czasowy badanego sygnału, częstotliwość sygnału, - transformatę Fourierowską, a i oznaczają odpowiednio odchylenie standardowe determinacji lokalizacji czasowej i częstotliwościowej. Z powyŝszej zasady płynie wniosek, iŝ Ŝaden zbiór funkcji bazowych nie moŝe zapewnić jednocześnie nieskończenie ostrej lokalizacji w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości. Innymi słowy w przypadku skalowania, rezygnując z rozdzielczości w dziedzinie częstotliwości, zyskujemy rozdzielczość w dziedzinie czasu i odwrotnie. Prawdiwość równania 3.8 zachodzi tylko dla sygnału gaussowskiego. Dowód powyŝszej zasady z wykorzystaniem nierówności Schwartza-Buniakowskiego został przedstawiony w [Białasiewicz, 2000]. 18

19 3.6. Pseudo-częstotliwość i szerokość pasma W przypadku transformaty falkowej mówienie o częstotliwości danej falki nie jest ścisłe, ze względu na brak okresowości i powtarzalnej regularności względem czasu. Stosowanie terminu częstotliwość środkowa albo pseudo-częstotliwość falki jest o wiele bardziej słuszne, gdyŝ wskazuje w pełni na przedział istotnej wartości częstotliwości, mającej znaczenie dla danego przekształcenia. Częstotliwość środkowa równa jest wartości oczekiwanej częstotliwości danej falki. Powszechnie wiadomo, Ŝe średnia arytmetyczna jest w większości przypadków najlepszym estymatorem wartości oczekiwanej, toteŝ częstotliwość środkową moŝna wyrazić równaniem [Białasiewicz, 2000]: 1 2 Ψ (3.10) Natomiast obwiednię częstotliwościową falki moŝna utoŝsamiać z szerokością pasma, czyli przedziałem, w którym falka podstawowa ma większość swojej energii, a jej transformata Fouriera jest poza tym przedziałem do pominięcia, wyraŝa się pierwiastkiem wariancji jednostkowej zakresu częstotliwości: Ψ (3.11) Rys. 3.5 Wyjaśnienie pojęcia pseudo-częstotliwości (czyli częstotliwości charakterystycznej jako przedziału częstotliwości) na przykładzie falek coif4 i db6 [Barański, 2006]. 19

20 3.7. Transformata odwrotna W ogólnym przypadku transformata odwrotna w stosunku do przekształcenia prostego 3.4 wyraŝa się wzorem [Białasiewicz, 2000]: 1 przy czym określone jest wzorem: Ψ gdzie Ψ jest transformatą Fouriera funkcji ψ. 3.12) 3.13) W praktyce transformację falkową przeprowadza się na danych dyskretnych, więc znak całki zastępuje się znakiem sumy. Dla skwantowanych, diadycznych współczynników przekształcenia falkowego odtworzenie sygnału pierwotnego zachodzi z wykorzystaniem wzoru 3.6 oraz dyskretnej postaci równania W przeciwieństwie do ciągłej, dyskretna analiza falkowa sygnału f(t) L 2 realizowana jest poprzez wyznaczenie jego dyskretnych transformat falkowych, będących iloczynami skalarnymi sygnału f i ciągu funkcji (ciągu jąder przekształcenia falkowego). Iloczyny te nazywane są współczynnikami falkowymi. Wówczas zachodzi równość definiująca dyskretną transformatę odwrotną:,, 3.14 W powyŝszym wzorze współczynniki falkowe, określają wspólne cechy sygnału f i falki. Im większa wartość współczynnika falkowego, tym większa korelacja (stopień zgodności) pomiędzy przebiegiem sygnału falki, a falką o długości zdefiniowanej poprzez m i połoŝeniu określonym poprzez n i m. DuŜa wartość współczynnika ze znakiem ujemnym świadczy o zgodności przebiegu sygnału z funkcją odwrotną co do wartości 20

21 w stosunku do funkcji falkowej. Parametr n umoŝliwia zlokalizowanie chwili, w której analiza sygnału ma być przeprowadzona. Parametr m umoŝliwia wybranie poziomu skali, czy teŝ zakresu częstotliwości, w którym widmo częstotliwości sygnału ma zostać zbadane. Argument n oznacza chwilę 2, to znaczy krok kwantyzacji w czasie 2 zmienia się wraz z poziomem skali m. Rys. 3.6 Dekompozycja falkowa jako iloczyn amplitudowy funkcji falkowej i sygnału [Barański, 2006] Przedstawiona zaleŝność 1.14 jest procesem w pełni odwracalnym. Okazuje się jednak, iŝ większość energii sygnału f jest skutecznie reprezentowana jedynie przez niewielki zbiór współczynników o największej wartości bezwzględnej. ZaleŜność ta wykorzystywana jest do kompresji sygnału. 21

22 3.8. Dekompozycja falkowa W procesie dekompozycji falkowej istotne jest rozbicie sygnału pierwotnego na dwie części składowe aproksymację i detale. Wykorzystuje się własność, Ŝe dla ustalonego m w równaniu 3.14 prawa strona reprezentuje rzut ortogonalny f na podprzestrzeń W m L 2 (R) [Vidaković i Müller, 2005]. Wówczas zachodzi związek: (3.15) Gdzie V j+1 jest ortogonalnym dopełnieniem W j+1 w przestrzeni V j. Przedstawiony związek stanowi kwintesencję reprezentacji falkowej poprzez moŝliwość wyraŝenia sygnału przez część aproksymacyjną (zawierającą niskie częstotliwości sygnału) i detal (zawierający wysokie częstotliwości). Dla baz V, cechujących się ortonormalnością, funkcja przekształcająca przestrzeń w jej rzut ortogonalny, nazywana jest funkcją skalującą. Biorąc pod uwagę zaleŝność 3.15, związek z 3.14 moŝna zapisać jako: 3.16 Przetwarzanie sygnału f przy wykorzystaniu tej reprezentacji polega na tworzeniu róŝnego rodzaju aproksymacji sygnału. Z równania 3.16 wynika, Ŝe całkowita informacja o sygnale zawarta jest w detalach d na kaŝdym poziomie reprezentacji (suma po m) oraz w aproksymacji a na najwyŝszym stopniu reprezentacji M. Sama aproksymacja uzyskiwana jest z wykorzystaniem funkcji skalującej, która zostaje przypisana kaŝdej funkcji falkowej. PowyŜsze równanie wskazuje ponadto na skokową zmianę rozdzielczości poszczególnych reprezentacji sygnału; w przekształceniu diadycznym rozdzielczość sąsiednich etapów dekompozycji róŝni się dwukrotnie. Zastępując poszczególne elementy składowe równania 3.16 poprzez całkowite reprezentacje sygnału f na danym poziomie reprezentacji uzyskujemy równanie:

23 PowyŜszą zaleŝność ograniczoną do czterech kroków dekompozycji moŝna przedstawić w sposób graficzny na wykresie [Mallat i Hwang, 1992]: SYGNAŁ ŹRÓDŁOWY APROKSYMACJA 1 DETALE 1 APROKSYMACJA 2 DETALE 2 APROKSYMACJA 3 DETALE 3 APROKSYMACJA 4 DETALE 4 Rys. 3.7 Falkowa dekompozycja sygnału według Mallata. Wielorozdzielcza reprezentacja sygnału (MRA) przeprowadzana jest iteracyjnie i wieloetapowo. Sygnał, uzyskany kaŝdorazowo w wyniku filtracji dolnoprzepustowej w poprzednim kroku, jest poddawany ponownej filtracji dolnoprzepustowej (ekstrakcja aproksymacji) i górnoprzepustowej (ekstrakcja detali). Wcześniej jednak liczba jego próbek musi zostać dwukrotnie zmniejszona. Jest to uzasadnione tym, Ŝe w wyniku kaŝdej kolejnej iteracji uzyskiwane są sygnały, których pasmo częstotliwości równa się w przybliŝeniu połowie pasma poddanego filtracji. Wówczas, przy załoŝeniu, Ŝe częstotliwość próbkowania sygnału oryginalnego była co najmniej dwukrotnie większa od jego pasma (czyli był spełniony warunek Kotielnikowa-Shanona twierdzenia o próbkowaniu), moŝna zmniejszyć dwukrotnie liczbę próbek uzyskanego sygnału, zanim dokonana zostanie kolejna iteracja. Uzyskuje się zatem powtarzającą się w kolejnych iteracjach operację dwukrotnego zmniejszania częstotliwości próbkowania sygnału dyskretnego. 23

24 W wyniku kaŝdej iteracji uzyskuje się składową wielkoczęstotliwościową, zwaną detalem D j i niepoddawaną juŝ filtracji w następnych iteracjach, oraz składową małoczęstotliwościową, zwaną aproksymacją A j analizowanego sygnału oryginalnego. Zatem proces dekompozycji sygnału jest procesem iteracyjnym wielopoziomowym, przy czym kolejne aproksymacje podlegają kolejnej dekompozycji. W ten sposób sygnał oryginalny zostaje rozłoŝony na wiele składowych o mniejszej rozdzielczości. KaŜdej następnej iteracji odpowiada indeks j o jeden wyŝszy, co odpowiada dwukrotnemu zmniejszeniu rozdzielczości. Jeśli załoŝymy, Ŝe oryginalny sygnał dyskretny naleŝy do przestrzeni V 0, to pierwsza iteracja procesu dekompozycji tego sygnału sprowadza się do jego rzutu na ortogonalne podprzestrzenie W 1 i V 1 (3.15) o dwukrotnie mniejszej rozdzielczości. Wynikiem tego rzutu są ciągi d 1 [n] i a 1 [n], reprezentujące odpowiednio, detal analizowanego sygnału i aproksymację sygnału na poziomie j=1. Indeks j wskazuje, Ŝe dany detal D j, czy teŝ dana aproksymacja A j ma rozdzielczość 2 j razy mniejszą niŝ analizowany sygnał oryginalny o rozdzielczości 2 -j. Rozdzielczość sygnału jest miarą ilości zawartej w nim informacji szczegółowej i jej zmiana następuje w wyniku operacji filtracji. Natomiast zmiana skali sygnału 2 j jest zmianą okresu próbkowania. Zmniejszenie skali, czyli zmniejszenie okresu próbkowania w wyniku zastąpienia wykładnika j przez j-1, oznacza dodanie nowych próbek sygnału w połowie okresu próbkowania 2 j. Zwiększenie skali, czyli zwiększenie okresu próbkowania w wyniku zastąpienia wykładnika j przez j+1, oznacza odrzucenie co drugiej próbki sygnału o okresie próbkowania 2 j. Wielorozdzielcza dekompozycja falkowa Mallata charakteryzuje się następującymi cechami [Białasiewicz, 2000]: 1. Detale sygnału są składowymi wysokoczęstotliwościowymi i powstają w wyniku filtracji górnoprzepustowej z wykorzystaniem funkcji falkowej, 2. Po usunięciu detali otrzymuje się aproksymację sygnału, która zachowuje jego kształt i powstaje w wyniku działania filtru dolnoprzepustowego (funkcja skalująca), 3. Wraz ze zwiększeniem indeksu poziomu rozwinięcia j udział detali w reprezentacji sygnału maleje, to znaczy wraz z maleniem rozdzielczości zmniejsza się zawartość szczegółów w aproksymacji sygnału, 4. Pełna informacja o sygnale oryginalnym jest zachowana w zbiorze złoŝonym ze wszystkich detali jego rozwinięcia i aproksymacji najniŝszego poziomu rozdzielczości. 24

25 3.9. Funkcja falkowa i skalująca Jak juŝ wcześniej wspomniano, ekstrakcja niskich częstotliwości w sygnale zachodzi z wykorzystaniem filtru dolnoprzepustowego, którego praktyczną realizację pełni funkcja skalująca. PoniewaŜ kaŝda aproksymacja stanowi podprzestrzeń przestrzeni wyjściowej, a kaŝda podprzestrzeń charakteryzuje się dwukrotnie mniejszą rozdzielczością 2, moŝna zdefiniować pojęcie funkcji skalującej i falkowej, którym nadano nazwy kwadratowych filtrów lustrzanych. Wówczas funkcja skalująca przybiera postać [Vidaković i Müller, 2006]: 2 2, 3.18 Natomiast funkcja falkowa powstaje poprzez przekształcenie funkcji skalującej, z tą róŝnicą, Ŝe filtr dolnoprzepustowy zostaje zastąpiony filtrem górnoprzepustowym o własności 1 1. Funkcja falkowa przyjmuje postać: 2 2, 3.19 NaleŜy ponadto wspomnieć, Ŝe wartość średnia funkcji falkowej zawsze jest równa zero 0, natomiast wartość średnia funkcji skalującej wynosi 2. 25

26 3.10. Rodzaje falek Istnieje cały zbiór falek, czyli funkcji matematycznych o specyficznych parametrach, co czyni je uŝytecznymi w analizie falkowej sygnałów. W zaleŝności od poŝądanej skuteczności obliczeniowej (czasu przeprowadzania obliczeń) oraz rodzaju analizowanego sygnału (ciągłość sygnału) wybiera się odpowiedni rodzaj i rząd falki. Najbardziej typowe falki wraz z podstawowymi właściwościami zostały zamieszczone w tabeli [Barański, 2006]: Nazwa falki Daubechies Coiflets Symlets Biortogonal Meyr Morleta Meksykański kapelusz Haara skrócona nazwa db coif sym bior meyr morl mexh haar rząd falki N N N N.N ortogonalność TAK TAK TAK NIE TAK NIE NIE TAK biortogonalność TAK TAK TAK TAK TAK NIE NIE TAK zwarty nośnik TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE TAK symetryczność NIE NIE NIE TAK TAK TAK TAK TAK DWT TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE TAK CWT TAK TAK TAK TAK TAK TAK TAK TAK Tab. 1.1 Podstawowe właściwości typowych funkcji falkowych. Poszczególne rodzaje falek róŝnią się właściwościami, a więc takŝe obszarem zastosowań. Generalnie cztery pierwsze zestawy falek daubechies, coiflets, symlets i biortogonalne stanowią cały zbiór funkcji, róŝniących się pomiędzy sobą rzędem, a pozostałe falka Meyra, Morleta, Haara i meksykański kapelusz są to jedynie pojedyncze funkcje. Od rzędu falki zaleŝy szybkość obliczeń im wyŝszy rząd tym większa ilość operacji obliczeniowych musi zostać przeprowadzona, gdyŝ dana falka cechuje się wówczas większą gładkością. W przypadku falek biortogonalnych rząd nie jest liczbą naturalną, ale zestawem dwóch liczb naturalnych. Ponadto do ciągłej transformaty falkowej nadaje się kaŝda istniejąca falka, natomiast do dyskretnej transformaty falkowej mogą być wykorzystane tylko te falki, które cechują się ortogonalnością oraz dodatkowo falki biortogonalne. 26

27 Spośród wszystkich falek najstarsza to falka Haara, która jest często wykorzystywana do celów dydaktycznych, jednak ze względu na właściwości rzadko stosowana w praktyce. Najczęściej do obliczeń brane są falki opracowane przez panią profesor Ingrid Daubechies, która stworzyła całe zbiory falek do dyskretnej transformaty falkowej. Falki ze zbioru daubechies zostały opisane w [Daubechies, 1992]. Cechują się tym, Ŝe posiadają zwarty nośnik o szerokości 2p-1 (gdzie p to momenty znikające). Rys. 3.8 Funkcja skalująca i falkowa jako reprezentanci rodziny daubechies db2 i db10 [Barański, 2006]. Falki rodzaju coiflets zostały opracowane takŝe przez profesor Daubechies. W znacznym stopniu eliminują one zjawisko występowania nieliniowego przesunięcia fazowego pomiędzy sygnałem na wejściu i sygnałem na wyjściu (co spowodowane jest niesymetrycznym filtrem i niesymetryczną odpowiadającą mu falką). Falki te posiadają stosunkowo małą asymetrię (jak na ortogonalną falkę o zwartym nośniku długości 3p-1). 27

28 Rys. 3.9 Funkcja skalująca i falkowa jako reprezentanci rodziny coiflets coif1 i coif3 [Barański, 2006]. Falki z rodziny symlets (takŝe opracowany przez prof. Daubechies) posiadają budowę bardzo zbliŝoną do falek daubechies, jednak róŝnią się zdecydowanie większą symetrycznością. Rys Funkcja skalująca i falkowa jako reprezentanci rodziny symlets sym2 i sym10 [Barański, 2006]. 28

29 Falki biortogonalne są to falki całkowicie symetryczne, posiadające dwa niezaleŝne filtry - dolnoprzepustowy analizy (dekompozycji) H i syntezy (składania sygnału) H'. Filtry te mogą charakteryzować się liniowym przesunięciem fazowym. Niestety odbywa się to kosztem rezygnacji z ortogonalności falek odpowiadających filtrowi H na rzecz tzw. biortogonalności. PowyŜsze uwarunkowania sprowadzają się do tego, Ŝe dekompozycja sygnału dokonywana jest w bazie falkowej H, a synteza w drugiej bazie H'. Bazy te nie są ortogonalne względem siebie, ale pary falek - jedna z bazy analizy H i druga z bazy syntezy H' - są względem siebie ortogonalne. Rys Falki z rodziny biortogonalnych bior1.3 oraz ich dwie funkcje skalujące i dwie funkcje falkowe, przy czym jedna słuŝy do dekompozycji sygnału, a druga do syntezy [Barański, 2006]. 29

30 3.11. Zastosowania transformaty falkowej Transformata falkowa znajduje swoje zastosowanie wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z czasowymi ciągami danych, względnie z ciągami danych które moŝna rozwinąć względem pewnej zmiennej niezaleŝnej. Do szczególnie interesujących obszarów wykorzystania transformacji falkowej naleŝy zaliczyć: a) w elektronice eliminację szumów (ang. de-noise) oraz kompresję sygnałów, b) w cyfrowym przetwarzaniu obrazów kompresję obrazów, c) w ekonomii badanie własności procesów ekonomicznych i finansowych, d) w mechanice urządzeń badanie właściwości eksploatacyjnych maszyn, e) w medycynie analizę regularności przebiegu elektrokardiogramu, f) w geodynamice analizę ciągów czasowych stacji permanentnych, g) w teledetekcji filtrację danych lotniczego skaningu laserowego Transformacja falkowa w elektronice Proces eliminacji szumów opiera się na załoŝeniu, Ŝe większość szumu pomiarowego zawarta jest w wysokich częstotliwościach sygnału, niskie częstotliwości reprezentują natomiast ogólny przebieg sygnału. W celu usunięcia struktur o charakterze przypadkowym (szumów) dokonuje się dekompozycji falkowej według schematu Mallata (transformacji z dziedziny czasu do dziedziny czasowo-pseudoczęstotliwościowej na wybranym poziomie), otrzymując zbiór współczynników aproksymacyjnych oraz detale z kaŝdego poziomu aproksymacji. Następnie detale na kaŝdym z poziomów aproksymacji poddawane są eliminacji progowej (ang. thresholding), w wyniku czego pozostają jedynie detale, mające istotny wpływ na ogólny przebieg sygnału, wszystkie pozostałe wartości iloczynów amplitudowych przyrównywane są do zera. Po dokonaniu syntezy sygnału (po powrocie do dziedziny czasu) otrzymuje się sygnał pozbawiony większości szumów. 30

31 Większość operacji z wykorzystaniem transformacji falkowej przebiega zgodnie z poniŝszym schematem: DANE PIERWOTNE DEKOMPOZYCJA FALKOWA PRZETWORZENIE DANYCH (ELIMINACJA PROGOWA) - odszumianie - kompresja - analiza REKONSTRUKCJA SYGNAŁU DANE PRZETWORZONE Rys Schemat przetwarzania danych w dziedzinie czasowopseudoczęstotliwościowej 31

32 Rys Przykład wielorodzielczej dekompozycji sygnału z wykorzystanie falki db4. Oznaczenia: s sygnał oryginalny, a 4 aproksymacja sygnału na poziomie 4, d 1 d 4 detale na n-tym poziomie aproksymacji. Eliminacja progowa moŝe przebiegać według wybranego algorytmu, moŝe mieć róŝną wartość na kaŝdym poziomie aproksymacji, a nawet moŝe posiadać charakter wielorozdzielczy (posiadać zmienną wartość w zaleŝności od momentu czasowego w kaŝdym poziomie aproksymacji). Rys Współczynniki dekompozycji falkowej oryginalne (powyŝej) oraz po eliminacji progowej twardej (poniŝej) [Sośnica, 2009]. 32

33 Proces kompresji przebiega bardzo podobnie do odszumiania sygnału. Jedyna róŝnica polega na tym, Ŝe w przypadku kompresji, pośrednio operuje się poziomem eliminacji progowej, a podstawowym parametrem transformacji jest współczynnik kompresji, czyli stosunek pojemności pliku po kompresji do oryginalnej pojemności pliku danych. W tym przypadku wykorzystuje się własność transformacji falkowej, polegającą na tym, Ŝe większość energii danego sygnału zawarta jest w zaledwie kilku najistotniejszych współczynnikach. Rys Sygnał oryginalny (czerwony) oraz po kompresji 20x, gdzie 95% wszystkich współczynników zostało zredukowanych do zera. Sygnał po kompresji posiada w dalszym ciągu około 99% energii sygnału pierwotnego [Sośnica, 2009]. Do innych zastosowań transformacji falkowych w elektronice i informatyce naleŝą [Musierowicz, 2003]: rozpoznawanie głosu, detekcja zwarć w systemach elektroenergetycznych, klasyfikacja dźwięków instrumentów muzycznych, identyfikacja nasycenia rdzeni transformatorów energetycznych. 33

34 Transformacja falkowa w przetwarzaniu obrazów cyfrowych Najlepszym dowodem na skuteczność działania transformacji falkowej w przetwarzaniu obrazów cyfrowych jest fakt, iŝ FBI całą swoją bazę danych z odciskami palców przechowuje w formacie, opartym na kompresji falkowej [Vidaković i Müller, 2005]. JuŜ w latach dziewięćdziesiątych ubiegłego stulecia, rozwijano formaty kompresji danych, nie tylko ze względu na optymalizację szybkości odczytu pliku, ale przede wszystkim na moŝliwość gromadzenia duŝej ilości danych na niewielkich nośnikach pamięci. Rys Porównanie formatów kompresji JPEG2000 i JPEG [źródło: Wikipedia]. JPEG2000, czyli jeden z najlepszych algorytmów kompresji stratnej obrazów cyfrowych, oparty jest właśnie na transformacji falkowej. JPEG2000, posiadający standardowe rozszerzenie.jp2, przynosi znacznie lepsze efekty kompresji, niŝ dotychczas najszerzej wykorzystany format JPEG (.jpg), który oparty jest na zwykłej transformacie cosinusowej. Transformacja cosinusowa, czyli szczególny przypadek transformacji Fouriera o współczynnikach rzeczywistych, jest ciągła w całej swojej dziedzinie, co implikuje konieczność podziału obrazu na fragmenty (np. 8x8 pikseli), w których odbywa się dekompozycja. Problem nieciągłości sygnału pojawia się na brzegu kaŝdego wydzielonego obszaru w JPEG. Natomiast dzięki lokalnej właściwości transformacji falkowej w JPEG2000, nie występuje konieczność podziału kompresowanego obrazu na podobszary. Ponadto okazuje się, Ŝe w szczególności mało gładkie falki lepiej opisują przebieg wartości pikseli obrazu, niŝ gładka i róŝniczkowalna funkcja sinusoidalna, w wyniku czego mniejsza liczba współczynników transformacyjnych wystarcza, aby w dostatecznym stopniu przedstawić dany obraz. 34

35 W cyfrowym przetwarzaniu obrazów, obraz, jako dwuwymiarowa tablica pikseli, traktowany jest jako sygnał dwuwymiarowy. W kompresji według algorytmu JPEG2000, dekompozycja odbywa się po kolumnach i wierszach obrazu, zgodnie ze schematem Mallata. W wyniku zastosowania dwuwymiarowej transformacji falkowej uzyskuje się aproksymację sygnału, detale horyzontalne, detale wertykalne oraz detale poprzeczne (diagonalne). Rys Dekompozycja falkowa obrazu. Oznaczenia: AA aproksymacja, DA detale wertykalne, AD detale horyzontalne, DD detale diagonalne. Rys Dekompozycja falkowa obrazu z wykorzystaniem falki Haara na poziomie 5 oraz obraz po rekonstrukcji i po eliminacji progowej twardej. Obcięty fragment obrazu wynika z diadyczności transformacji falkowej (liczba pikseli musi być potęgą liczby 2). 35

36 Transformacja falkowa w ekonomii W finansach i ekonomii analiza moŝe być wykorzystana do [Bruzda, 2003]: badania własności procesów ekonomicznych oraz zaleŝności między procesami w róŝnych skalach czasu (w długim i krótkim okresie), badania lokalnych i globalnych własności procesów w róŝnych rozdzielczościach (z większą bądź mniejszą dokładnością), badania sezonowości i dostosowywania sezonowego szeregów, wygładzania szeregów i wyznaczania trendów, usuwania zakłóceń, modelowania dynamiki procesów nieliniowych za pomocą sieci falkowych, badania procesów z długą pamięcią, odkrywania fraktalnej natury procesów ekonomicznych. Rys Analiza wielorozdzielcza dla WIG20 [Bruzda, 2003] Transformacja falkowa w mechanice urządzeń Profesor Białasiewicz podaje przykład, w którym wykorzystał ciągłą transformatę falkową do badania przyczyn szybkiego zuŝycia łopat turbiny wiatrowej. W wyniku analizy pojawienia się sił, napierających na łopaty turbiny w dziedzinie częstotliwości, w róŝnych momentach czasowych, okazało się, Ŝe przyczyną szybkiego zuŝycia łopat są koherentne 36

37 struktury turbulentne, wywołane przez napręŝenia Reynoldsa [Białasiewicz, 2000]. Wniosek ten został wysunięty na podstawie analizy momentu czasowego, w który napręŝenia wystąpiły (moment przejścia łopaty w pobliŝu słupa) oraz analizy częstotliwości, z jaką się pojawiały. Rys Wizualizacja współczynników ciągłej transformaty falkowej w przestrzeni czasowo-pseudoczęstotliwościowej [źródło: Wikipedia] Transformacja falkowa w medycynie Próby wykorzystania transformaty falkowej w medycynie, polegają m.in. na analizie odpowiedzi impulsowej elektrokardiogramu. Nieregularności w współczynnikach transformacyjnych, mogą obrazować niejednorodną pracę serca. W tym przypadku wykorzystuje się własność transformacji falkowej, polegającej na moŝliwości wykrywania nieciągłości struktur. PoniŜej podano przykład funkcji liniowej, w której dla dwóch argumentów przyjęto stałe wartości oraz obraz jej aproksymacji i detali po dekompozycji falkowej: y( x) = x y( x) = 510 y( x) = x 2 dla x 509 dla 510 < x 512 dla x >

38 Rys Dekompozycja falkowa funkcji na pozór liniowej, w której została wykryta ukryta nieciągłość. Oznaczenia: s sygnał oryginalny, a 5 aproksymacja sygnału na poziomie 5, d 1 d 5 detale na n-tym poziomie aproksymacji. Inne medyczne zastosowania transformacji falkowej to [Musierowicz, 2003]: redukcja zakłóceń mięśniowych w sygnale elektrokardiograficznym, identyfikacja stanu funkcjonalnego mózgu, monitorowanie tętna i oddychania. Rys Zastosowanie transformaty falkowej w celach medycznych [Musierowicz, 2003]. 38

39 Transformacja falkowa w geodynamice i geodezji Transformacja falkowa moŝe równieŝ zostać wykorzystana w analizie ciągów czasowych stacji permanentnych, celem identyfikacji okresowości występowania ruchów względem poszczególnych składowych poziomych lub składowej wysokościowej [Zając i Kontny, 2007; Zając, 2007]. Analiza falkowa słuŝy w tym przypadku do poszerzenia informacji o częstotliwości ruchów, pochodzącej z periodogramu. Ponadto transformację falkową moŝna wykorzystać do modelowania parametrów troposfery oraz analizy korelacyjnej wybranych stacji meteorologicznych [Zając i Rohm, 2008]. Rys Ciągła transformata falkowa z wykorzystaniem falki db8 na 7 poziomie aproksymacji w badaniu okresowości ruchów stacji permanentnej WROC (europejska sieć EPN), [Zając, 2007] Transformacja falkowa w teledetekcji W literaturze znajdują się przykłady wykorzystania transformacji falkowej do filtracji danych lotniczego skaningu laserowego. Wszystkie opracowania dotyczą obszarów zurbanizowanych. Ponadto transformacja falkowa jest zazwyczaj dwuwymiarowa, oparta na regularnej siatce kwadratów. Szczegóły zastosowania transformacji falkowej w filtracji danych lotniczego skaningu laserowego znajdują się w rozdziale

40 3.12. Metody eliminacji progowej (ang. thresholding methods) W dekompozycji falkowej filtr dolnoprzepustowy H jest filtrem uśredniającym sygnał, podczas gdy lustrzany filtr kwadratowy G (górnoprzepustowy) wytwarza detale sygnału. Współczynniki dekompozycji falkowej ściśle zaleŝą od elementów wysokoczęstotliwościowych. Kiedy detale przyjmują małe wartości, mogą zostać pominięte, bez istotnego wpływu na ogólny przebieg sygnału. Idea eliminacji progowej współczynników falkowych jest sposobem czyszczenia zbędnych detali, mających związek z szumem pomiarowym. Proces eliminacji progowej polega więc na redukcji tych współczynników detali, których wartość nie przekroczyła zadanego progu. Wszystkie współczynniki poniŝej ustalonego poziomu są zwykle redukowane do zera. Ze względu na szerokie spektrum zastosowań transformacji falkowej, wiele metod eliminacji progowej zostało juŝ opracowanych. Literatura nie przedstawia jasnej klasyfikacji metod, co stworzyło potrzebę własnego podziału metod thresholdingu ze względu na poziom, rozdzielczość i wartość progu. 40

41 Rys 3.24 Podział metod eliminacji progowej Poziom eliminacji progowej Najczęściej w eliminacji progowej stosuje się próg twardy albo próg miękki. Wymienione metody, ze względu na prostotę definicji i obliczeń, posiadają swoją implementację w większości programów komputerowych, wykorzystujących transformację falkową. Niestety, dla niektórych celów, eliminacja progowa miękka lub twarda moŝe się nie nadawać, ze względu na swoje niekorzystne właściwości. Eliminacja progowa twarda przeprowadzana jest według równania:,, 0 (3.21) Okazuje się jednak, Ŝe ze względu na przeskokowy charakter, eliminacja progowa twarda nie moŝe być stosowana do niektórych celów, gdyŝ po procesie progowania Ŝadne współczynniki detali nie przyjmują wartości z przedziału. 41

42 Eliminacja progowa twarda Rys Eliminacja progowa twarda. Czerwona linia oznacza oryginalne wartości detali, niebieska wartości detali po eliminacji z progiem o wartości 1. Eliminacja progowa miękka rozwiązuje problem nieciągłości funkcji poprzez przesunięcie wartości wszystkich pozostałych detali o wielkość progu:,, 0 (3.22) Detale mogą przyjmować wszystkie moŝliwe wartości, ale w wyniku przesunięcia sygnału, następuje zaburzenie przebiegu oryginalnej funkcji. NiepoŜądanym skutkiem ubocznym stosowania eliminacji progowej miękkiej jest np. zmiana kolorów w kompresji obrazów. Eliminacja progowa miękka Rys Eliminacja progowa miękka. Czerwona linia oznacza oryginalne wartości detali, niebieska wartości detali po eliminacji z progiem o wartości 1. 42

43 Rys Skutek uboczny stosowania eliminacji progowej miękkiej. Przy kompresji obrazu oryginalnego (lewy) nastąpiła zmiana kolorów (prawy obraz). Progowanie ciągłe hiperboliczne rozwiązuje problem przeskoku sygnału oraz zmiany wartości współczynników dla duŝych wartości.,, 0 (3.23) Jednak powolna zbieŝność asymptotyczna do wartości oryginalnych oraz nieróŝniczkowalny charakter funkcji w miejscu progu, moŝe mieć takŝe niekorzystny wpływ na przebieg sygnału. Eliminacja progowa hiperbliczna Rys Eliminacja progowa hiperboliczna. Czerwona linia oznacza oryginalne wartości detali, niebieska wartości detali po eliminacji z progiem o wartości 1. 43

44 Z powyŝszych względów proponuję stosowanie progu rozmytego według własnego równania. Taki sposób eliminacji progowej przynosi dobre efekty w odszumianiu i kompresji sygnałów. Eliminacja progowa rozmyta przebiega zgodnie z równaniem:,, 10 (3.24) PowyŜsza funkcja jest ciągła i róŝniczkowalna w całej swojej dziedzinie. W okolicach wartości 0 przyjmuje wartości równe zero albo bliskie zeru. Natomiast poza granicą ustalonego progu jest szybko zbieŝna do wartości oryginalnych detali,, dla wartości. Eliminacja progowa rozmyta Rys Eliminacja progowa rozmyta według własnej koncepcji. Czerwona linia oznacza oryginalne wartości detali, niebieska wartości detali po eliminacji z progiem o wartości Rozdzielczość eliminacji progowej W zaleŝności od potrzeb, moŝna stosować eliminację progową z progiem globalnym, lokalnym bądź lokalnym wielorozdzielczym. W przypadku progu globalnego wielkość na kaŝdym poziomie aproksymacji przyjmuje tę samą wartość. Takie postępowanie ma zazwyczaj miejsce, kiedy mamy do czynienia z pewnym ustalonym progiem a priori. Stosowanie progu globalnego jest wygodne w praktyce, ale mało efektywne np. w kompresji obrazów. 44

45 Próg lokalny przyjmuje róŝną wartość dla współczynników detali na kaŝdym poziomie aproksymacji. Wielkość progu moŝe zostać obliczona dla kaŝdej aproksymacji np. z wykorzystaniem algorytmu uniwersalnego. Próg lokalny wielorozdzielczy zróŝnicowany jest nie tylko względem poziomu aproksymacji, ale takŝe zaleŝy od zakresu stosowania. Innymi słowy dla detali z przedziału ; stosuje się inną wartość, niŝ dla przedziału ; Wartość eliminacji progowej Wartość eliminacji progowej moŝe zostać narzucona a priori, jeŝeli posiadamy informacje wyjściowe o parametrach sygnału. PowyŜsza wartość moŝe zostać ustalona dzięki optymalizacji z wykorzystaniem jednego ze znanych algorytmów. Jednym z najbardziej popularnych sposobów określenia poziomu progu jest stosowanie uniwersalnego progu (ang. universal threshold). Wielkość progu jest w tym przypadku ściśle uzaleŝniona od znormalizowanego odchylenia standardowego detali na kaŝdym poziomie aproksymacji: 2 log Stosowanie innych algorytmów takich jak bazujących na niezaburzonym estymatorze ryzyka Steina (ang. threshold based on Stein s unbiased estimator of risk), kwalifikowanych (ang. SURESrink), czy teŝ poprzecznego uzasadnienia (ang. cross-validation) zostało szeroko opisane w literaturze [Vidaković, 2006]. Wykorzystanie powyŝszych algorytmów przynosi lepsze efekty, lecz jest bardziej skomplikowane obliczeniowo, a co za tym idzie bardziej czasochłonne. 45

46 4. Skaning laserowy Celem lotniczego skaningu laserowego (ang. Airborne Laser Scanning) jest rejestracja precyzyjnych danych o fizycznej powierzchni ziemi oraz pokryciu terenu. Podczas pomiaru wykorzystywane jest światło laserowe, emitowane przez dalmierz elektrooptyczny, co sprawia, Ŝe skaning laserowy moŝna zaklasyfikować do aktywnych metod teledetekcji. W ostatnich latach, technika ta znajduje coraz większe zastosowanie, między innymi przy budowie precyzyjnych Numerycznych Modeli Terenu (ang. Digital Terrain Model), Numerycznych Modeli Pokrycia Terenu (ang. Digital Surface Model), przy ocenie zagroŝenia powodziowego, w badaniu parametrów drzewostanów, czy teŝ przy tworzeniu trójwymiarowych modeli obszarów zurbanizowanych. Dane skaningu laserowego rejestrowane są w sposób masowy, zwykle z częstotliwością kilkudziesięciu tysięcy pomiarów w ciągu sekundy. Pomiar odbywa się z pokładu jednostki latającej helikoptera bądź samolotu [Kurczyński, 1999] Zasada pomiaru Precyzyjne określenie połoŝenia punktów pomiarowych w lotniczym skaningu laserowym, moŝliwe jest dzięki integracji trzech technologii pomiarowych: a) dalmierza laserowego LRF (ang. Laser Range Finder), b) odbiorników sygnału GNSS (ang. Global Navigation Satellite System), c) inercjalnego systemu nawigacyjnego INS (ang. Inertial Navigation System). 46

47 Rys. 4.1 Przedstawienie zasady pomiaru z wykorzystaniem lotniczego skaningu laserowego [Gołuch i in., 2006] Dalmierz elektrooptyczny Zadaniem dalmierza laserowego jest emisja koherentnego i spolaryzowanego światła laserowego oraz odbiór wiązki świetlnej, odbitej od obiektu terenowego. Dalmierz wyznacza odległość pomiędzy aktualną pozycją samolotu, a elementem powierzchni, od której nastąpiło odbicie fali elektromagnetycznej. W większości skanerów laserowych wykorzystywany jest dalmierz impulsowy, w którym pomiar odbywa się na zasadzie rejestracji róŝnicy czasu pomiędzy emisją wiązki laserowej w emiterze, a momentem powrotu odbitej fali do odbiornika. Wówczas zarejestrowaną odległość moŝna wyrazić prostym wzorem: (4.1) 47

48 D odległość pomiędzy szczegółem terenowym, a miejscem fazowym emitera, t p moment czasowy powrotu wiązki laserowej do odbiornika w dalmierzu laserowym, t e moment czasowy emisji wiązki laserowej w dalmierzu, c prędkość światła, n współczynnik opóźnienia, wynikający z propagacji fali elektromagnetycznej w atmosferze (zaleŝny m.in. od długości fali, temperatury, ciśnienia, wilgotności powietrza, drobin zawieszonych w atmosferze). Ze względu na duŝe prędkości fal elektromagnetycznych w atmosferze (bliskie prędkości światła w próŝni) pomiar czasu musi odbywać się niezwykle precyzyjnie, aby dokładność wyznaczenia końcowej odległości była satysfakcjonująca. Z tego względu, zespół kwarcowych zegarów, zamieszczonych w dalmierzach laserowych, wspomagany jest poprzez układ kondensatorów. Kondensatory w momencie powrotu wiązki stopniowo uwalniają zgromadzone ładunki elektryczne, dzięki czemu, czas pomiaru moŝe ulec wydłuŝeniu. Niektóre skanery laserowe wykorzystują ciągłą falę elektromagnetyczną (ang. CW - continuous wave). W tym przypadku pomiar nie odbywa się na zasadzie rejestracji róŝnicy czasu, lecz określa się przesunięcie fazowe pomiędzy falą wyemitowaną, a falą powrotną. W wyniku określenia róŝnicy faz dla co najmniej dwóch długości fal elektromagnetycznych, moŝliwe jest obliczenie odległości. Skanery laserowe wyposaŝone są ponadto w urządzenia zmieniające kierunek emisji światła laserowego, dzięki czemu wiązka fali moŝe skanować teren obrotowo, wahadłowo, nutacyjnie bądź oscylacyjnie. Zmiana kierunku emisji wiązki realizowana jest poprzez odpowiednie zwierciadła albo światłowody. Dalmierze laserowe wyposaŝone są zazwyczaj w emitery pracujące w bliskiej podczerwieni, znacznie rzadziej w zakresie światła widzialnego. Fale elektromagnetyczne o długości około 1000 nm (bliska podczerwień) są prawie całkowicie absorbowane przez wodę. Dla obiektów wodnych odbity sygnał wiązki laserowej jest na tyle słaby, Ŝe rejestracja punktu na powierzchni tafli wody jest niemoŝliwa, a obszary takie stanowią strefę cienia w obrazie skaningu laserowego. W celu inwentaryzacji dna zbiorników wodnych, stosuje się lasery pracujące w zakresie światła zielonego, które odznaczają się większą przenikalnością przez ośrodki o róŝnej gęstości optycznej [Kurczyński, 1999]. 48

49 Rys. 4.2 Przykładowy skaner laserowy firmy Leica (z tyłu), urządzenie do testowania IMU (z prawej) oraz kamera fotogrametryczna do rejestracji video w trakcie lotu (z lewej) Pozycjonowanie techniką GNSS Drugim elementem pomiarowym w technologii skaningu laserowego jest odbiornik sygnału GNSS. Zazwyczaj jest to odbiornik GPS (ang. Global Positioning System), ostatnio coraz częściej wspomagany przez satelity systemu GLONASS (ros. ГЛОНАСС - ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система), a w przyszłości takŝe GALILEO. Aby osiągnąć duŝą dokładność wyznaczenia aktualnej pozycji platformy lotniczej, naleŝy wykonać pomiar róŝnicowy dgps (ang. differental GPS). W takim przypadku konieczne są minimum dwa odbiorniki sygnału satelitarnego, przy czym jeden z odbiorników umieszczony jest na punkcie o znanych współrzędnych, natomiast drugi na platformie lotniczej. Nie jest wówczas wyznaczana bezwzględna pozycja samolotu, lecz składowe wektora pomiędzy dwoma odbiornikami GNSS, dzięki czemu szereg błędów związanych m.in. z opóźnieniem zegara satelity, z propagacją fali elektromagnetycznej przez jonosferę, czy troposferę, zostaje wyeliminowany [Czarnecki, 1997]. 49

50 Inercjalny system nawigacyjny INS Trzecią technologią pomiarową, zintegrowaną w skaningu laserowym, jest inercjalny system nawigacyjny INS, realizowany przez inercjalną jednostkę pomiarową IMU (ang. Inertial Measurement Unit). Urządzenie to słuŝy do wyznaczania kątów, orientujących platformę pomiarową w przestrzeni oraz do pomiaru przyspieszenia jednostki latającej wzdłuŝ trzech osi [Borkowski i in., 2005]. Wyznaczenie elementów kątowych orientacji zewnętrznej samolotu, odbywa się dzięki układom Ŝyroskopowym zamontowanym w inercjalnej jednostce pomiarowej. Częstotliwość pracy systemu INS jest znacznie większa, niŝ częstotliwość odbioru sygnału nawigacyjnego GNSS (zazwyczaj 1 Hz). IMU prognozuje trajektorię lotu, w momentach zaniku rozwiązania GPS, a gdy takie rozwiązanie będzie znów miało miejsce, aktualna trajektoria jest korygowana względem dokładnej pozycji nawigacyjnej dgps. Dzięki integracji obu technik pomiarowych oraz okresowej eliminacji dryftu INS przez weryfikowanie pozycji GPS, uzyskuje się precyzyjną pozycję jednostki pokładowej Segment naziemny i pokładowy Ogół urządzeń, wchodzących w skład lotniczego skaningu laserowego, moŝe zostać podzielony na dwa segmenty naziemny i pokładowy, które realizują róŝne zadania. a) Segment pokładowy (latający): dalmierz laserowy LRF, system pozycjonowania trajektorii lotu, oparty na GNSS, inercjalny system nawigacyjny INS, blok rejestracji danych, system planowania i zarządzania lotem, opcjonalnie takŝe kamera pomiarowa. b) Segment naziemny: stacja referencyjna GNSS, stacja robocza, wyposaŝona w specjalistyczne oprogramowanie do transformacji i filtracji danych. 50

51 Rys. 4.3 Idea pomiaru techniką lotniczego skaningu laserowego (ALS) [Borkowski i in., 2007] W trakcie pomiaru z wykorzystaniem lotniczego skaningu laserowego, jednostka skanująca rejestruje współrzędne XYZ (WGS-84) bądź BLH, które mogą zostać przetransformowane do wybranego układu odniesienia. Dodatkową wielkość pomiarową stanowi moc odbitego sygnału, która dostarcza cennej informacji na temat pokrycia terenu. Jak wiadomo, kaŝda powierzchnia (zaleŝnie od właściwości fizycznych) ma róŝną zdolność absorpcji promieniowania laserowego. Wobec tego energia (intensywność) odbitej wiązki laserowej będzie zale- Ŝała od rodzaju powierzchni, od której się odbiła. Dzięki tej dodatkowej informacji moŝna utworzyć obraz intensywności danych skaningu laserowego, co z kolei moŝe posłuŝyć do klasyfikacji obszaru według typów uŝytkowania bądź identyfikacji obiektów liniowych czy powierzchniowych. 51

52 Rys. 4.4 Przykładowy obraz intensywności danych skaningu laserowego 4.2. Obszary zastosowań skaningu laserowego Podstawową zaletą skaningu laserowego jest moŝliwość przenikania przez pokrywę roślinną. Tam, gdzie pozyskanie informacji tradycyjnymi metodami fotogrametrycznymi byłoby niemoŝliwe (obszary zadrzewione i zakrzewione), a pomiar bezpośredni wymagałby ogromnego nakładu pracy, technologia skaningu laserowego przynosi doskonałe rezultaty. Dalmierz laserowy emituje laser, przenikający przez pokrywę roślinną, następnie rejestruje zarówno pierwsze odbicie wiązki świetlnej od korony drzewa, jak i ostatnie odbicie od powierzchni gruntu (lub ewentualnie gęstego podszytu bądź runa leśnego). Pierwsze odbicie wiązki dostarcza więc informacji o szacie roślinnej, natomiast ostatnie odbicie określa poło- Ŝenie punktu na fizycznej powierzchni terenu. Między skrajnymi odbiciami mogą mieć miejsce odbicia pośrednie. Istnieją systemy rejestrujące odbicia pośrednie obecnie do 5 odbić. Na podstawie zarejestrowanych wielokrotnych odbić moŝna określić wysokość drzew, a nawet numeryczny model wysokości pokrywy lasu względem powierzchni terenu (tzw. znormalizowany NMT), czy np. zwis kabli energetycznych. Dla impulsów, które trafią 52

53 na powierzchnię gruntu czy dach budynku nastąpi tylko jedno odbicie (pierwsze echo jest równe ostatniemu). Właściwości skaningu laserowego sprawiają, Ŝe dla obszarów zadrzewionych, zakrzewionych i lasów moŝliwa ocena wybranych parametrów drzewostanu oraz tworzenie modelu wysokościowego korony drzew (ang. Crown Height Model). Rys. 4.5 Dwukrotne odbicie wiązki lasera na obszarach pokrytych roślinnością [Kurczyński, 2004]. Skaning laserowy znajduje swoje szerokie zastosowania w pozyskiwaniu informacji o fizycznej powierzchni ziemi [Tymków i Borkowski, 2008]. Wszystkie przeznaczenia bazują jednak na tworzeniu numerycznych modeli na podstawie pomierzonych punktów. Spośród tworzonych modeli najpopularniejszym jest Numeryczny Model Terenu oraz poszerzony o pokrycie terenu (budynki, szata roślinna, kamienie, itp.) - Numeryczny Model Pokrycia Terenu. Modele mogą słuŝyć do tworzenia produktów pochodnych takich jak: obliczanie objętości mas ziemnych, tworzenie przekrojów podłuŝnych i poprzecznych obiektów wydłuŝonych, obliczanie wysokości, przewyŝszeń, spadków pomiędzy dowolnymi punktami, a takŝe inwentaryzację obiektów, takich jak linie elektroenergetyczne, drogi, wodociągi, wały przeciwpowodziowe, itp. Na terenie miast skaning laserowy moŝe być podstawą do utworzenia trójwymiarowego modelu budynków [Studencki, 2003], a następnie wykorzystania tego modelu w planowaniu przestrzennym, łączności, tworzeniu map akustycznych, czy aplikacjach do nawigacji samochodowej. W modelowaniu hydrologicznym metoda moŝe być podstawą do opracowania programu ochrony przeciwpowodziowej [Twaróg i Kostecki, 2003]. MoŜe takŝe posłuŝyć w inwentaryzacji obszarów zagroŝonych erozją i lawinami, a takŝe w opracowaniu wysokościowym morskiej strefy brzegowej. 53

54 (a) (b) (c) (d) Rys. 4.6 Przykłady zastosowania skaningu laserowego: (a) trójwymiarowy model miasta, (b) inwentaryzacja kamieniołomu (c) NMPT, (d) NMT [Kurczyński, 2004]. Dokładność NMT interpolowanego na podstawie danych lotniczego skaningu laserowego zaleŝy od wielu parametrów, a w szczególności od [Gołuch i in., 2007]: ukształtowania terenu, pokrycia terenu, stabilności nalotu, jakości danych nawigacyjnych, dokładności kalibracji, terenowej wielkości plamki śladu lasera, gęstości punktów pomiarowych, zastosowanej metody filtracji danych. 54

55 Pierwszych siedem parametrów powinno być przedmiotem badań na etapie planowania kampanii pomiarowej. Ostatni czynnik wpływający na dokładność NMT zaleŝy od przyjętego algorytmu obliczeń i stanowi przedmiot badań niniejszej pracy magisterskiej Zalety i ograniczenia techniki Zalety skaningu laserowego [Kurczyński, 2004]: pomiar odbywa się niezaleŝnie od warunków oświetleniowych (własne źródło promieniowania), skanowanie jest moŝliwe nawet przy pełnym zachmurzeniu, tylko silny deszcz lub gęsta mgła utrudniają penetrację wiązki lasera (w polskich warunkach klimatycznych prawie połowa dni w roku jest dniami lotnymi ), skaner ma unikalną zdolność przenikania przez roślinność idealna technika do pomiarów obszarów zalesionych (tworzenie NMT i NMPT), wysoka dokładność wysokościowa danych oraz wysoka gęstość danych. Ograniczenia: brak odbić od powierzchni wody (utrudnia to identyfikację linii brzegowej), brak informacji o nieciągłościach terenu (liniach szkieletowych), stosunkowo wysoki koszt sprzętu i usługi skanowania dla małych obszarów, konieczność niwelacji obszarów testowych, brak instrukcji i wytycznych technicznych, czasochłonność edycji danych (filtracja oraz modelowanie danych). 55

56 4.4. Projekt Widawa jako źródło danych lotniczego skaningu laserowego Dane zostały pozyskane podczas kampanii pomiarowej przeprowadzonej w listopadzie 2005 r. przez pracowników Instytutu Geodezji i Geoinformatyki przy współpracy z naukowcami z Instytutu Nawigacji Uniwersytetu Technicznego w Stuttgarcie (Niemcy). Celem kampanii było opracowanie NMT do modelowania hydrodynamicznego doliny rzeki Widawy [Borkowski i in., 2005]. Praca naukowa była finansowana ze środków na naukę jako projekt badawczy nr 4T12E0172. W czasie pomiarów wykorzystano prototypowy skaner ScaLARS 2, skonstruowany w Instytucie Nawigacji Uniwersytetu Technicznego w Stuttgarcie, a do rejestracji INS i sygnału GPS wykorzystano system Applanix POS/AV 510. Skaning wykonano dla ujścia rzeki Widawy, szerokość skanowania wyniosła około 2 km, przy długości pasa 20 km. W trakcie kampanii zarejestrowano 150 milionów punktów ze średnią gęstością 3 pkt/m 2. Rys. 4.7 Zdjęcia z obszaru objętego pomiarem [Borkowski i in., 2006]. 56

57 Newralgicznym elementem przedstawionej technologii skaningu laserowego był skaner laserowy ScaLARS 2 (ang. Scanning Laser Altimeter and Reflectance System). ScaLARS 2 pracuje w bliskiej podczerwieni (810 nm) oraz w przeciwieństwie do większości skanerów laserowych, wykorzystuje ciągłą falę modulowaną dwoma częstotliwościami (CW continuous wave). Pomiar odległości odbywa się zatem na podstawie analizy przesunięcia fazowego między falą wyemitowaną, a falą powrotną na kaŝdej z dwóch częstotliwości. Rys. 4.8 Budowa skanera laserowego w systemie ScaLARS [Borkowski i in., 2006]. Kolejnym charakterystycznym elementem wykorzystanego skanera jest charakter odchylania wiązki poprzez zwierciadło. W systemie ScaLARS 2 wykorzystano rotacyjne zwierciadło nutacyjne, wykonujące 20 obrotów w ciągu sekundy. Laser, dzięki modulacji lustra, zakreśla elipsy o kątach pseudostoŝkowych 27,3 o w kierunku poprzecznym do kierunku lotu oraz 15,6 o wzdłuŝ kierunku lotu. Obrazem śladu lasera na powierzchni ziemi są pseudoelipsy. Taki sposób pomiaru zapewnia lepszą penetrację badanego terenu, powoduje, Ŝe rejestracja nigdy nie odbywa się w pozycji nadirowej. Wadą takiego systemu jest nierównomierna gęstość rozkładu punktów pomiarowych, która na brzegach opracowania jest znacznie większa niŝ w centralnej części pasa skanowania, szczególnie, Ŝe skrajne części pasa posiadają podwójne pokrycie w celu eliminacji pustych przestrzeni (ang. gaps). 57

58 Rys. 4.9 Pseudoeliptyczny ślad wiązki laserowej na powierzchni terenu. Parametry techniczne systemu ScaLARS: Parametr Wartość Moc lasera 0.8 W Długość fali (IR) 810 nm Częstotliwość pomiaru (CW) 1 MHz, 10 MHz Zasięg pomiaru 750 m Średnica plamki na wyjściu 5 cm ZbieŜność wiązki 1 mrad Dokładność pomiaru (H=700 m) ±0,12 m Metoda odchylenia wiązki lustro nutacyjne Kąt odchylenia wiązki w kierunku lotu ±7,6 Kąt odchylenia wiązki w kierunku prostopadłym ±13,6 Tab. 4.1 Podstawowe parametry techniczne systemu SCALARS [Borkowski i in., 2006]. 58

59 Rys Platforma latająca AN-2 oraz skaner laserowy na pokładzie samolotu [Borkowski i in., 2006]. W czasie kampanii pomiarowej skaner był umieszczony na podwoziu samolotu AN-2. Wyznaczenie chwilowej pozycji skanera w układzie globalnym uzyskano dzięki róŝnicowym pomiarom GPS pomiędzy odbiornikiem na pokładzie samolotu, a dwoma referencyjnymi stacjami naziemnymi jednej stacji permanentnej EPN WROC oraz stacji referencyjnej ustawionej na punkcie o pomierzonych współrzędnych. W wyniku pomiaru uzyskano 150 mln. punktów, przy czym średnia odległość pomiędzy pomierzonymi punktami wyniosła 0,60 m. Po wykonaniu pomiarów bardzo waŝnym etapem była kalibracja danych (wpasowanie w układ geodezyjny). W tym celu przed nalotem wyznaczono i pomierzono tradycyjnymi metodami pola testowe w obszarze opracowania. Po zestawieniu wielkości pomierzonych bezpośrednio z wielkościami obliczonymi z danych skaningu, wyznaczono, za pomocą specjalnego oprogramowania, parametry kalibracji. W wyniku tego procesu uzyskano współrzędne BLh w układzie WGS

60 Rys Obszar objęty pomiarem z uŝyciem systemu ScaLARS [Gołuch i in., 2007]. W tabeli zestawiono najwaŝniejsze parametry opisujące kampanię pomiarową (parametry lotu, obszaru opracowania oraz ilość pozyskanych danych): Prędkość lotu 150 km/h Wysokość lotu 550 m Szerokość pasa skanowania 280 m Odstęp między osiami lotu 190 m Szerokość obszaru opracowania 2 km Długość obszaru opracowania 20 km Zarejestrowana liczba punktów 150 mln. Średnie zagęszczenie punktów pomiarowych 3 punkty / m 2 Tab. 4.2 Dane opisujące kampanię pomiarową skaningu laserowego doliny Widawy [Gołuch i in., 2007]. System ScaLARS posiada moŝliwość rejestracji intensywności odbicia promienia laserowego. W obrazie intensywności widoczne są obiekty typu: budynki, drogi, obwałowania, 60

61 ale równieŝ róŝne formy pokrycia terenu, wynikające z róŝnych form uŝytkowania. Obraz intensywności wykorzystywany jest, jako jedna z cech, do klasyfikacji form pokrycia terenu [Tymków i Borkowski, 2006]. Na etapie opracowania danych, obraz intensywności wykorzystywany jest w procesie kalibracji. Na rysunku 4.12 widać wyraźnie, Ŝe asfalt i dachy pokryte smołą bardzo słabo odbijają wiązkę lasera, natomiast jasne dachy wykonane z blachy charakteryzują się wysokim współczynnikiem odbicia. Rys Intensywność odbicia wiązki laserowej oraz ten sam obszar zobrazowany na ortoobrazie. 61

62 Na podstawie danych skaningu laserowego wygenerowany został Numeryczny Model Terenu oraz Numeryczny Model Pokrycia Terenu. Wykonano równieŝ analizę dokładnościową NMT [Gołuch i in., 2007]. Dokładność wyznaczenia wysokości na podstawie NMT jest zróŝnicowana i zaleŝy od stopnia pokrycia obszaru roślinnością. Dla obszarów zalesionych, dokładność NMT jest najgorsza i wynosi 0,46 m. Dla terenów odkrytych, ale zarośniętych trawami (wały, skarpy) dokładność wynosi 0,44 m. Dla gruntów ornych i łąk dokładność kształtuje się na poziomie 0,27 m. Najdokładniej moŝna wyznaczyć wysokości z dróg asfaltowych czy gruntowych, a więc z obiektów pozbawionych roślinności ( m NMT = 0, 17 m ). Rys Przykładowy obraz zarejestrowanych danych przekrój [Gołuch i in., 2007]. 62

63 5. Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego Wraz z rozwojem techniki, zwiększa się moŝliwość szybkiego pozyskiwania danych o powierzchni terenu, z duŝą dokładnością i rozdzielczością. W skaningu laserowym, podobnie jak w fotogrametrii, cięŝar wytworzenia końcowego produktu został przeniesiony na etap kameralny. Właściwie zaplanowana kampania pomiarowa, polegająca na zeskanowaniu badanego terenu skanerem laserowym, zlokalizowanym na platformie latającej, stanowi zaledwie jeden z etapów tworzenia ostatecznego rezultatu. Czas, który naleŝy poświęcić na kameralne opracowanie danych, jest wielokrotnie dłuŝszy w porównaniu do czasu pomiaru. Skanery laserowe rejestrują zwykle kilkanaście tysięcy punktów w przeciągu sekundy, co unaocznia ogrom końcowego zbioru danych do właściwego opracowania. Kluczowym zagadnieniem procesu opracowania danych lotniczego skaningu laserowego jest identyfikacja punktów, naleŝących do wybranych powierzchni. Zadanie to nazywane jest w literaturze filtracją (ang. filtering) albo klasyfikacją (ang. segmentation) danych. Proces filtracji moŝna postrzegać jako półautomatyczny mechanizm eliminacji wszystkich punktów, nienaleŝących do wybranej powierzchni. W wyniku ekstrakcji określonych obiektów, moŝna przykładowo wybrać z chmury punktów budynki albo roślinność. Natomiast w wyniku ekstynkcji, z chmury punktów lotniczego skaningu laserowego eliminowane są wszystkie obiekty, zarejestrowane w wyniku odbić od pokrycia terenu. W niniejszej pracy podjęto zagadnienie filtracji w celu identyfikacji punktów, naleŝących do fizycznej powierzchni ziemi, celem budowy Numerycznego Modelu Terenu. O istotności i aktualności podejmowanego tematu świadczy multum publikacji z tego zakresu. PoniŜej przedstawiono klasyfikację niektórych algorytmów filtracji danych lotniczego skaningu laserowego: 63

64 Rys. 5.1 Podział metod eliminacji filtracji danych lotniczego skaningu laserowego ze względu na sposób działania algorytmu Przegląd algorytmów realizujących filtrację w dziedzinie współrzędnych Do najczęściej stosowanych algorytmów filtracji zaliczamy: metody oparte na odpornej predykcji liniowej z asymetryczną funkcją tłumienia [Kraus i Pheifer, 2001], metody bazujące na wielomianowych powierzchniach ruchomych, z wykorzystaniem estymacji odpornej metodą M-estymatorów [Borkowski i Jóźków, 2008], metody, polegające na iteracyjnym przybliŝaniu pewnej powierzchni startowej (TIN) do danych pomiarowych [Axelson, 2000], metody wykorzystujące operatory matematycznej morfologii (kryterium spadków terenu) [Sithole i Vosselman, 2005], 64

65 metody wykorzystujące analizę skupień [Rogerro, 2001], metody bazujące na minimalizacji energii powierzchni, zaleŝnej od jej nachylenia (spadku) [Elmqvist, 2002] i w postaci uogólnionej [Borkowski, 2005]. Przegląd metod podany został w pracach: [Borkowski 2005, Sithole i Vosselman, 2004]. W drugiej z nich dokonano równieŝ weryfikacji wyników filtracji przeprowadzonych róŝnymi metodami. Z rozwaŝań przeprowadzonych w pracy [Borkowski i Jóźków, 2006] wynika, Ŝe: filtracja powinna być prowadzona w miarę moŝliwości na danych oryginalnych; algorytm powinien mieć dobre właściwości dopasowania do lokalnych struktur powierzchni terenu (wały, rowy, itp.); algorytm powinien umoŝliwiać uwzględnienie dodatkowej informacji a priori; ze względu na wielkość zbiorów danych skaningu laserowego, rzędu 10 6, nie bez znaczenia jest równieŝ złoŝoność obliczeniowa algorytmu; algorytm powinien działać na danych ze zróŝnicowanym typem pokrycia oraz ukształtowania terenu, dla terenów zadrzewionych, zurbanizowanych, jak i odsłoniętych w terenach płaskich, pagórkowatych oraz górskich. Przykładowo algorytm, wykorzystujący wielomianowe powierzchnie ruchome, który działa na zasadzie hierarchicznej, został szczegółowo opisany w [Sithole i Vosselman, 2005 oraz Borkowski i Jóźków, 2008]. Metoda wymaga podziału obszaru na mniejsze podobszary, w których powierzchnia terenu (trend) przybliŝana jest powierzchniowym wielomianem drugiego stopnia. Punkt wyjściowy dla kaŝdej powierzchni stanowi zazwyczaj punkt najniŝszy, przez który przeprowadzana jest powierzchnia wielomianowa. W kolejnym kroku, iteracyjnie dobiera się wartości funkcji wagowej tak, aby punkty pokrycia terenu nie doprowadzały do zniekształceń ogólnego przebiegu wielomianu, aproksymującego przebieg powierzchni ziemi. Modyfikacja wag następuje w kaŝdej iteracji z uwzględnieniem funkcji tłumienia Hubera, Gaussa albo Krausa. W wieloetapowej filtracji hierarchicznej wielkość bufora zmniejszana jest w kaŝdej iteracji. Metoda, wykorzystująca wielomianowe powierzchnie ruchome przynosi dobre efekty filtracji całkowity błąd kształtuje się na poziomie od 1% do 12% w zaleŝności od pokrycia i ukształtowania terenu. Poza terenami o stromych zboczach, skuteczność filtracji wynosi ponad 92%. W porównaniu z przeprowadzonymi testami ośmiu innych algorytmów [Sithole 65

66 Vosselman 2004] we wszystkich przypadkach błędy całkowite filtracji metodą wielomianowych powierzchni ruchomych zbliŝone są do błędu najlepszego z algorytmów, a niejednokrotnie są od niego mniejsze. Dodatkowymi atutami algorytmu jest moŝliwość wyboru parametrów i rodzaju funkcji tłumienia oraz dodanie punktów pewnych, będącymi na pewno punktami terenowymi. Ponadto nie jest wymagana interpolacja danych pomiarowych, gdyŝ algorytm bazuje na danych oryginalnych. Algorytmu jest stosunkowo prosty, jednak konieczność wykonywania wielu kroków iteracji w odpornej estymacji parametrów wielomianu w kaŝdym punkcie pomiarowym powoduje duŝą ilość obliczeń numerycznych, co w przypadku opracowania większych zbiorów danych niesie z sobą konieczność uŝycia duŝej mocy obliczeniowej. Rys. 5.2 Schemat filtracji hierarchicznej [Borkowski i Jóźków, 2006 za Briese, 2002]. Podsumowując, metoda wykorzystująca wielomianowe powierzchnie ruchome przynosi bardzo dobre efekty w filtracji danych lotniczego skaningu laserowego. Algorytm pracuje na danych oryginalnych w dziedzinie współrzędnych. Wadą metody jest ilość koniecznych obliczeń numerycznych, co wpływa na czas obliczeń. Filtracja kilkuset tysięcy punktów zajmuje na komputerze przeciętnej klasy kilkanaście minut, a zbiory przekraczające kilka milionów punktów muszą być dzielone na mniejsze części, aby filtracja mogła w ogóle zostać przeprowadzona. PowyŜsze wnioski jednoznacznie wskazują, Ŝe istnieje potrzeba przeprowadzenia wstępnej filtracji danych, celem minimalizacji ilości operacji numerycznych, a co za tym idzie, skrócenia czasu przetwarzania danych. Nawet jeśli taka wstępna filtracja posiadałaby gorszą dokładność, to i tak byłaby w stanie istotnie zmniejszyć liczbę iteracji, gdyŝ mniejsza 66

67 liczba błędów grubych, powoduje w M-estymacji odpornej, Ŝe szereg modyfikujący macierz wag staje się szybko zbieŝny. Co za tym idzie, wielokrotnie szybciej wielomian zostanie wpasowany w punkty terenowe, dzięki otrzymanej ostatecznej postaci macierzy wag. Wszystkie powyŝsze warunki, a w szczególności szybkość obliczeniową, zapewnia filtracja z wykorzystaniem transformacji falkowej, która stanowi przedmiot badań niniejszej pracy magisterskiej Przegląd algorytmów realizujących filtrację w dziedzinie częstotliwości Algorytm, oparty na szybkiej transformacie Fouriera (ang. Fast Fourier Transform FFT) został opracowany w Zakładzie Fotogrametrii i Informatyki Teledetekcyjnej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie [Marmol, 2002]. Filtracja, przeprowadzana jest na danych przetworzonych do regularnej siatki kwadratów metodą najbliŝszego sąsiedztwa (ang. nearest neighbor). Tak przetworzone dane transformuje się do dziedziny częstotliwości z wykorzystaniem transformacji FFT, a następnie analizuje się moc sygnału na periodogramie. Po określeniu częstotliwości odcięcia stosuje się filtry dolnoprzepustowe o skończonej odpowiedzi impulsowej (ang. Finite Impulse Response - FIR) oraz dokonuje się powrotnej syntezy sygnału do dziedziny współrzędnych. Algorytm przynosi przeciętne rezultaty, a wyniki filtracji są porównywalne do innych metod [Marmol, 2001]. Wadą metody jest ograniczona skuteczność czasowa, która wynika z konieczności przejścia do siatki GRID oraz z szybkiej transformaty Fouriera, która w porównaniu do transformacji falkowej jest szybka tylko z nazwy. W celu dokonania transformacji FFT minimalna liczba obliczeń wynosi, gdzie n to liczba punktów, podczas gdy szybka transformacja falkowa FWT wymaga wykonania obliczeń. Ponadto gładka funkcja sinusoidalna nie opisuje dobrze niestacjonarnego i nieregularnego przekroju powierzchni terenowej, a ciągłość funkcji sinus, powoduje powstanie zaburzeń nie tylko w miejscu wystąpienia, ale w całej analizowanej dziedzinie. Thuy i Mitsuharu z Azjatyckiego Instytutu Technologicznego w Tajlandii, proponują wykorzystanie transformacji falkowej do klasyfikacji obiektów terenowych [Thuy i Mitsuharu, 2001]. Na podstawie stosowania aproksymacji sygnału na danym poziomie, moŝna dokonać ekstrakcji obiektów terenowych o określonej długości (np. 1m, 2m, 4m). Algorytm pozwala na podział danych skaningu laserowego na 4 grupy: teren, budynki, autostrady 67

68 i drzewa. Krawędzie budynków wykrywane są poprzez odejmowanie aproksymacji na dwóch poziomach skalowych, co jest specyficzną realizacją filtru górnoprzepustowego. Ze względu na niską dokładność klasyfikacji obiektów, metoda wymaga niezaleŝnej nadzorowanej klasyfikacji punktów metodą K-średnich (ang. K-mean) względem składowej wysokościowej, która wspomaga proces. Ponadto autorzy zalecają w ostatnim kroku ręczną weryfikację klasyfikacji na podstawie istniejących map topograficznych. Przedstawiony algorytm przynosi dobre efekty tylko dla obszarów zurbanizowanych, gdzie nie występują większe zgrupowania drzew. Metoda została zweryfikowana tylko w terenie płaskim i ze względu na swój przebieg moŝe zostać nazwana półautomatyczną. Rys. 5.3 NMT oraz NMPT dla obszaru zurbanizowanego, uzyskane w wyniku filtracji danych skaningu laserowego z wykorzystaniem transformacji falkowej, klasyfikacji nienadzorowanej oraz ręcznej weryfikacji. [Thuy i Mitsuharu, 2001] Bartels i Wei w swojej pracy [Bartels i Wei, 2002] proponują algorytm, słuŝący ekstrakcji obiektów terenowych dla obszarów pagórkowatych z wykorzystaniem transformacji falkowej. W celu dokonania filtracji danych lotniczego skaningu laserowego, wykorzystanie absolutnych metod eliminacji progowej moŝe nie być właściwe, ze względu na nie tylko lokalne struktury terenu (wały, doły, skarpy), lecz takŝe ze względu na duŝe globalne zróŝnicowania terenowe (wzgórza, doliny). Autorzy pracy zakładają eliminację wielkoobszarowych zróŝnicowań w wysokości terenu, poprzez wielorozdzielczą dekompozycję falkową według schematu Mallata. Na wybranym poziomie dekompozycji, cały wektor aproksymacji zostaje przyrównany do zera, w wyniku czego, niskie częstotliwości, reprezentujące trend spadku terenu, zostają wyeliminowane. Pozostałe detale z kaŝdego poziomu aproksymacji, biorą 68

69 udział w syntezie sygnału, w wyniku czego, obiekty terenowe (budynki, budowle i roślinność), reprezentowane poprzez wysokie częstotliwości, zostają zachowane. Wykorzystany tutaj algorytm filtracyjny został przetestowany wyłącznie dla danych w regularnej siatce kwadratów (czyli danych przetworzonych). Synteza sygnału wymaga więc wszystkich detali poziomych, pionowych i diagonalnych (transformacja dwuwymiarowa). Drugą zasadniczą wadą podejścia jest fakt, iŝ po rekonstrukcji sygnału, obiekty płaskie, takie jak dachy budynków, zostają zniekształcone, co utrudnia albo wręcz uniemoŝliwia klasyfikację obiektów (np. odróŝnienie małej budowli od drzewa). Rys Eliminacja wzniesień i dolin dla sztucznie wygenerowanych danych. Po lewej: dane oryginalne ze strukturami terenowymi, po prawej: teren płaski wraz ze zdeformowanymi budynkami. Szczegółowy opis w tekście. [Bartels i Wei, 2002] Algorytm, zaproponowany przez Borkowskiego i Kellera, polega na wykryciu i nało- Ŝeniu maski na wszystkie budynki. Filtracja, opiera się na załoŝeniu, Ŝe budynki i budowle posiadają wielkość rzędu 2 n 2 m w dziedzinie detali dyskretnej dekompozycji falkowej [Borkowski i Keller, 2006]. Przy takim załoŝeniu, po wykonaniu dekompozycji falkowej na wybranym poziomie, wszystkie detale z wyjątkiem zakresu d n - d m redukowane są do zera. Po dokonaniu syntezy sygnału, dane składają się przede wszystkim z wygładzonych budynków. Zidentyfikowane budynki wyraźnie odstają od powierzchni aproksymacyjnej, dzięki czemu stanowią podstawę do nałoŝenia maski na dane oryginalne. W sygnale wyjściowym, wszystkie elementy, zidentyfikowane jako budynki, redukowane są do wartości średniej terenu. Po wykonaniu ostatecznego wygładzenia danych, otrzymujemy przefiltrowany sygnał z usuniętymi obiektami budowlanymi. 69

70 Algorytm przynosi bardzo dobre efekty dla obszarów zurbanizowanych, lecz ze względu na konieczność wygładzania, nieco modyfikuje dane. Ponadto przyjęcie wysokości średniej dla obszarów, gdzie nastąpiła eliminacja budynku, musi posiadać charakter lokalny dla obszarów o zróŝnicowanej rzeźbie terenu. a) b) c) d) Rys. 5.5 Filtracja danych z wykorzystaniem falek [Borkowski i Keller, 2006]. a) Dane oryginalne, b) efekt ekstrakcji budynków (budynki wykryte na podstawie określonej długości falki), c) maski nałoŝone na budynki, d) końcowy efekt filtracji po usunięciu budynków i wygładzeniu danych. 70

71 5.3. Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego oparta na filtrze dolnoprzepustowym dyskretnej transformacji falkowej Biorąc pod uwagę wszystkie wymagania stawiane filtracji danych, a w szczególności szybkość działania algorytmu, minimalizację błędów oraz uniwersalność względem pokrycia terenu, został opracowany przeze mnie algorytm filtracji danych, oparty na dyskretnej transformacji falkowej. Metoda pozwala na szybkie i skuteczne oddzielenie punktów, reprezentujących fizyczną powierzchnię ziemi od punktów, zarejestrowanych jako elementy pokrycia (drzewa, budynki, mosty), pozostawiając jednocześnie istotne elementy struktur terenowych, takie jak: wały rzeczne, doły, wzniesienia i skarpy. Ze względu na dostosowanie do globalnego przebiegu terenu, moŝna ją stosować zarówno w terenie płaskim, jak i w terenie pagórkowatym. Algorytm został zaimplementowany przeze mnie w środowisku MATLAB TM z wykorzystaniem biblioteki WaveLab. W przeciwieństwie do większości algorytmów, pracujących w dziedzinie współrzędnych, zaproponowana metoda bazuje na danych oryginalnych, wzdłuŝ śladu lasera. Filtracja posiada więc charakter jednowymiarowy, bez konieczności przeliczania współrzędnych do siatki regularnej. UmoŜliwia to lepszą identyfikację i eliminację błędów grubych (np. odbicia od ptaków) niŝ na siatce GRID, gdzie dane posiadają uśrednionych charakter. Dzięki specyfice skanera ScaLARS i ciągłości w rejestracji danych, filtracja danych odbywa się wzdłuŝ pseudoelips, stanowiących terenowy ślad lasera. Dodatkową trudność w filtracji moŝe stanowić fakt, iŝ laser nutacyjny nigdy nie rejestruje danych w pozycji nadirowej, co sprawia, iŝ nie tylko odbicia od podstaw budynków i dachów są rejestrowane, ale takŝe od ścian. Rys. 5.6 Terenowy ślad lasera systemu ScaLARS ze strukturami pokrycia terenu. 71

72 5.4. Schemat algorytmu Zasadę działania opracowanego algorytmu moŝna przedstawić na rysunku: Rys. 5.7 Schemat przebiegu filtracji dwuetapowej. Opis w tekście. Przebieg filtracji zarysowuje się następująco: 1) Dane wyjściowe stanowią ciąg wysokości punktów zarejestrowanych wzdłuŝ profili terenowych. Optymalną sytuacją jest przechowywanie wektora punktów wysokościowych w pliku binarnym, co znacznie przyspiesza obliczenia. Ponadto liczba punktów powinna być potęgą liczby 2 (przekształcenie ma charakter diadyczny). Punkty ze skaningu laserowego reprezentują róŝne elementy terenowe rys. 5.7 a) teren płaski, b) wały lub wzniesienia, c) wysokie trawy, zakrzaczenia, d) lasy, tereny zadrzewione. Mogą występować błędy grube (widoczny pojedynczy punkt ponad terenem). 2) Następuje proces dekompozycji sygnału z wykorzystaniem algorytmu Mallata. Ciąg punktów wysokościowych poddany jest transformacji falkowej dla falki ortogonalnej o określonym rodzaju i rzędzie (np. db5), w wyniku czego otrzymuje się aproksymację i detale sygnału. Następnie kaŝdorazowo dokonuje się dekompozycji aproksymacji, uzyskując w kaŝdym kroku dwukrotnie mniejszą liczbę punktów (2 n, 2 n-1, 2 n-2, 2 m+1, 2 m ). Elementy wysokoczęstotliwościowe w postaci detali redukowane są do zera, w wyniku czego otrzymuje się przybliŝony przebieg terenu. Następuje rekonstrukcja sygnału, czyli powrót do dziedziny współrzędnych. Dzięki zastosowanemu filtrowi 72

73 dolnoprzepustowemu wynikiem jest zarysowany trend terenu (linia czerwona), który w terenie odkrytym przylega do powierzchni a) i b), natomiast w terenie zakrzewionym zadrzewionym i zurbanizowanym c) i d) uśrednia przebieg sygnału. 3) Ustala się wartość eliminacji progowej twardej σ 1 (ang. hard threshold) w dziedzinie współrzędnych. Wielkość progu zaleŝy od pokrycia terenu. Niezastosowanie tego kroku spowodowałoby usunięcie punktów terenowych, które nieznacznie wystają ponad poziom falkowej aproksymacji. Na dane odstające nakładana jest maska. 4) Następuje jednostronna redukcja wszystkich elementów, odstających od powierzchni więcej niŝ σ 1. Dla danych z nałoŝoną maską następuje degradacja wysokości. Punkty nie są całkowicie usuwane, aby zachować względną regularność danych. Punkty, podlegające redukcji, mogą przyjmować nowe wysokości jako wartość średnią wysokości dla niewielkiego obszaru, ale w celu przyspieszenia działania algorytmu, przyjęto załoŝenie, Ŝe przyjmowane nowe wysokości pochodzić będą kaŝdorazowo z poprzedniego punktu, który spełnił warunek σ 1. W wyniku eliminacji usuwa się takŝe niektóre błędy grube. Ekstynkcji podlegają odbicia od koron drzew, wysokich krzewów i dachów budynków. 5) Na tym etapie otrzymuje się dane po wstępnej filtracji. Jednak jednoetapowa filtracja jest właściwa jedynie dla obszarów odkrytych i odsłoniętych oraz przy załoŝeniu braku odbić wiązki lasera od ścian budynków. Aby właściwie przefiltrować teren zadrzewiony i zakrzewiony, koniecznie trzeba przejść do punktu 6). 6) Dokonuje się powtórnej aproksymacji Mallata z wybranym rodzajem i rzędem falki, wszystkie detale przyrównuje się do zera, dokonuje się syntezy sygnału. Otrzymana aproksymacja posiada zbliŝony przebieg do poprzedniej w terenie odkrytym, natomiast w terenie zadrzewionym, znacznie lepiej od poprzedniczki opisuje przebieg powierzchni gruntu. W dziedzinie częstotliwości ustala się wartość eliminacji progowej twardej σ 2. Ostatnią czynność stanowi weryfikacja wszystkich punktów z ciągu oryginalnego, w zakresie spełniania warunku σ 2 względem uzyskanej powierzchni aproksymacji. Podsumowując, opisywany szósty punkt stanowi zespolenie czynności wykonywanych w punktach 1-5. W wyniku dwuetapowej filtracji falkowej otrzymujemy zbiór danych w dwóch postaciach; jeden stanowi lista współrzędnych X, Y, H wszystkich punktów, poszerzona o indeks (0 oznacza powierzchnię terenu, natomiast 1 obiekt na powierzchni). Drugi zbiór jest zbiorem 73

74 fakultatywnym, stawowi zbiór dwóch plików, przy czym w pierwszym zapisane są punkty powierzchni terenu, a w drugi punkty pokrycia. Rys. 5.8 Przykład jednoetapowej aproksymacji sygnału falką db5. MoŜna zauwaŝyć, Ŝe aproksymacja w większości znajduje się ponad przebiegiem terenu, co świadczy o konieczności dokonania filtracji dwuetapowej. Rys. 5.9 Porównanie przebiegu aproksymacji terenu w filtracji jednoetapowej (linia Ŝółta) i aproksymacji dwuetapowej (linia czerwona) z wykorzystaniem falki db2. Cykliczność wzniesień wynika z tego, Ŝe badany teren był pochyły. 74

75 75

76 Rys Schemat przebiegu dwuetapowej filtracji danych lotniczego skaningu laserowego. Oznaczenie symboli: oryginalna wysokość i-tego punktu, 76

77 h a1i, h a2i wysokość i-tego punktu, odpowiednio po pierwszym i drugim etapie aproksymacji falkowej, h i, h i-1 wysokość przetworzonego punktu, stanowiącego podstawę do drugiego etapu filtracji, odpowiednio wysokość i-tego punktu i wysokość poprzedniego punktu w zbiorze, k i wartość maski nałoŝonej na punkty, 1 oznacza punkt odstający, 0 punkt leŝący w pobliŝu powierzchni aproksymacji, j i końcowy indeks, nakładany na oryginalne dane, 1 oznacza pokrycie terenu, 0 powierzchnię terenu, σ 1 dopuszczalna wielkość odstępstwa od pierwszej powierzchni aproksymacyjnej, σ 1 dopuszczalna wielkość odstępstwa od ostatecznej powierzchni aproksymacyjnej. Rys Terenowy ślad lasera (kolor niebieski) wraz z naniesionymi wykrytymi elementami pokrycia terenu (kolor zielony), widok z góry i z boku. 77

78 Rys Wykryte elementy pokrycia terenu na podkładzie ortoobrazu Działanie algorytmu w terenie pochyłym Biorąc pod uwagę właściwości aproksymacyjne transformacji falkowej, moŝna wysunąć wniosek, Ŝe zaproponowany algorytm będzie się sprawdzał zarówno w terenie płaskim, jak i pagórkowatym. Teza ta została udowodniona na przykładzie danych rzeczywistych. PoniŜej znajdują się przykładowe dane z terenu, wznoszącego się w kierunku północnowschodnim. Rys Lewy obraz wysokości bezwzględne zakodowane kolorem, obraz prawy odstępstwa od powierzchni aproksymacyjnej zakodowane kolorem. Opis w tekście. Na rysunku 5.13 moŝna wyraźnie zobaczyć, iŝ dla terenu pochyłego algorytm przynosi dobre rezultaty. Na prawym obrazie kolejne kolory: niebieski, jasnoniebieski i zielony reprezentują powierzchnię gruntu, a Ŝółty i czerwony obiekty terenowe. Gdyby w filtracji brać pod uwagę tylko wysokości, to niskie budynki i drzewa w obniŝeniach zostałyby zakwalifikowane jako teren, a punkty na wzniesieniach terenu jako obiekty (obraz lewy). 78

79 5.6. Filtracja falkowa a struktury terenowe Filtracja falkowa według przedstawionego algorytmu zachowuje struktury terenowe, takie jak: wały, rowy, doły, czy teŝ koryta rzeczne. Kształt funkcji skalującej kaŝdorazowo optymalnie dopasowuje się do przebiegu elementu terenu, dzięki czemu struktury terenowe nie ulegają eliminacji. Rys Efekt filtracji dla obszaru testowego nr 3 z rzeką, drzewami i wałami rzecznymi. Widok z góry (po lewej) oraz w perspektywie (po prawej). Jak moŝna zauwaŝyć na rysunku 5.14, tylko niewielka liczba punktów na powierzchni wału została zaklasyfikowana jako obiekty terenu. Pozostała znaczna liczba punktów, która jest całkowicie wystarczająca np. do generowania NMT. Natomiast widoczne drzewa zostały skutecznie wyeliminowane. Ponadto zostały wykyte i usunięte błędy grube, widoczne jako pojedyncze wysokie punky, znacznie odstające od powierzchni terenu. Rys Przykład zastosowania przefiltrowanych danych mapa warstwicowa obszaru testowego nr 3, model wygenerowany w programie Surfer 8 demo. 79

80 Rys Model pokrycia terenu, powstały z wykorzystaniem nieprzetworzonych danych obszar testowy nr 3, model wygenerowany w programie Surfer 8 demo. Rys Model terenu, powstały z wykorzystaniem filtracji falkowej. Struktury takie jak wały, rowy, doły, wzniesienia zostały zachowane, natomiast odbicia od drzew i wysokich krzewów, jak i błędy grube zostały wyeliminowane. Obszar testowy nr 3, model wygenerowany w programie Surfer 8 demo. 80

81 5.7. Weryfikacja metody Do oceny dokładności filtracji prezentowaną metodą wykorzystano dane z kampanii pomiarowej Doliny Widawy. Zbiór sześciu obszarów testowych, reprezentujących róŝne pokrycie terenu, został wstępnie ręcznie odfiltrowany w programie Microstation. Weryfikacja, czy dany punkt reprezentuje teren, czy obiekt terenowy, nastąpiła dzięki analizie wysokości danego punktu w stosunku do wysokości podłoŝa na podkładzie ortofotomapy. Obszar testowy nr 1 reprezentuje teren zadrzewiony z zabudowaniami. W obszarze testowym nr 2 oprócz gęstej pokrywy roślinnej, występuje rzeka. Obszar nr 3 charakteryzuje się niewielkim stopniem zadrzewienia, zawiera natomiast wał rzeczny, dół oraz rów melioracyny. Obszar nr 4 zawiera gęstą zabudowę. Obszary 5 i 6 reprezentują teren pochyły z zadrzewieniami, polami uprawnymi i drogą asfaltową, przy czym w obszarze 6 występują ponadto zadudowania jednorodzinne, rolnicze i przemysłowe. Procedura weryfikacji polegała na porównaniu wyników filtracji metodą falkową z opracowanymi danymi referencyjmymi i określeniu parametrów ilościowych tego porównania, opierając się na pracy [Borkowski i Jóźków, 2008]. W wyniku filtracji otrzymano dla kaŝdej z próbek testowych dwa zbiory: - punkty sklasyfikowane jako punkty terenu zbiór A (j=0), - punkty sklasyfikowane jako punkty obiektów zbiór B (j=1). Zbiór danych referencyjnych równieŝ został podzielony na: - punkty terenu zbiór C, - punkty obiektów zbiór D. Wykonując działania na powyŝszych zbiorach, kaŝdy z punktów klasyfikowany jest do jednego z następujących zbiorów: zbiór E część wspólna zbiorów C i A (C A), są to punkty terenu zidentyfikowane prawidłowo (punkty jasnozielone); zbiór F róŝnica zbiorów C i A (C \ A), są to punkty terenu zidentyfikowane przez algorytm jako punkty obiektów (błąd filtracji typu pierwszego punkty niebieskie); zbiór G róŝnica zbiorów D i B (D \ B) są to punkty obiektów zidentyfikowane przez algorytm jako punkty terenu (błąd filtracji typu drugiego punkty czerwone); zbiór H część wspólna zbiorów D i B (D B), są to punkty obiektów zidentyfikowane prawidłowo (punkty jasnoniebieskie). 81

82 Jakość filtracji wyraŝa procentowy udział błędnie sklasyfikowanych przez algorytm punktów w całkowitej ilości punktów. Wówczas błędy filtracji typu pierwszego - 1, typu drugiego - 2 oraz całkowity obliczane są według zaleŝności:,,. ( ) Jak moŝna się przekonać na podstawie rysunku 5.18, błędy, z pozoru często występujące, w powiększeniu stanowią jedynie niewielki procent wszystkich punktów ze skaningu laserowego. Nieprawidłowo wyeliminowany punkt, nie zaburza więc ogólnego przebiegu terenu, jeśli w jego pobliŝu znajdą się inne punkty, mogące go zastąpić. Przy załoŝeniu, Ŝe filtracja falkowa ma stanowić jedynie wstępny etap szybkiej filtracji, naleŝy minimalizować błędy typu pierwszego. Błędy typu pierwszego oraz typu drugiego, najczęściej pojawiają się na obrzeŝach obiektów terenowych (np. niskie krzaki, odbicia od ścian budynków), co takŝe moŝna zauwaŝyć na rysunku Rys Wizualizacja błędów filtracji dla obszaru nr 3. Punkty zielone i jasnoniebieskie prawidłowo zakwalifikowane, punkty niebieskie i czerwone nieprawidłowo. Z prawej strony powiększenie obszaru widocznego po lewej w prostokącie. 82

83 Przyjęcie parametrów początkowych w optymalizacji parametrów W procesie optymalizacji parametrów filtracji dla obszarów testowych nr 6 i 2 przyjęto nastepujące parametry początkowe: a) Stopień aproksymacji n 1 =8 ze względu na długość terenową pojedyńczej falki. Dla najprostszej falki Haara (utoŝsamianej takŝe z falką db1), liczba punktów w procesie aproksymacji wynosi 2, więc dla 8 aproksymacji długość falki wynosi 2 8 = 256 punktów. Zakładając średnią odległość pomiędzy punktami 0,5 m, terenowa długość falki db1 wynosi 128m. 2 8 punktów stanowi około ¼ liczby punktów zarejestrowanych w czasie jednego obrotu lustra nutacyjnego (skaner ScaLARS rejestruje około 1000 punktów w czasie 1 obrotu), czyli na jeden pełen obrót lustra przypadają 4 falki rodzaju i rzędu db1. b) Liczba punktów w pojedynczym kroku n 2 = 2 15 = c) Próg dla I aproksymacji σ 1 =0,00 m. d) Próg dla II aproksymacji σ 2 =0,80 m. Próg II jest równy podwojonej minimalnej dokładności interpolacji NMT, na podstawie danych ze skanera ScaLARS 2 dla terenów zadrzewionych [Gołuch i in., 2007]. e) Falka przyjęta do aproksymacji I i II daubechies rzędu 4. Rys Obszar testowy nr 6, sprowadzony do regularnej siatki kwadratów oraz falkowa aproksymacja powierzchni terenu. 83

84 Rys Obszar testowy nr 6 (po lewej) oraz falkowa aproksymacja powierzchni terenu (po prawej). Rys Przygotowanie danych wzorcowych metodą filtracji manualnej na podkładzie ortofotomapy w programie Microstation. Po lewej - zbiór testowy nr 4 przed filtracją, po prawej - ten sam zbiór testowy po ręcznej filtracji. 84

85 Badanie zaleŝności wartości błędów od progu I aproksymacji W celu zbadania wpływu poszczególnych parametrów wyjściowych na wynik dokładności filtracji, dokonano analizy, w której kaŝdorazowo zmieniano wartość jednego paramteru, pozostawiając pozostałe parametry niezmienione. Pierwszym parametrem do zbadania był próg aproksymacji σ 1. Próg ten wyznacza dopuszczalną wartość odstępstwa od powierzchni aproksymacji, powyŝej której punkty traktowane są jako pokrycie, a nie powierzchnia terenu. I II III IV V VI VII VIII IX X XI Próg I σ 1 [m] -4,0-2,0-1,0-0,5-0,2 0,0 0,2 0,5 1,0 2,0 4,0 Próg II σ 2 [m] 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Funkcja falkowa db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 n 1 - l. aproks Czas obliczeń [s] 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 Błąd typu I [%] 32,12 24,49 9,90 3,41 3,24 2,80 2,54 2,23 1,97 1,63 1,26 Błąd typu II [%] 13,04 3,48 2,55 2,69 3,12 3,39 3,63 4,01 4,83 6,47 8,86 Błąd całkowity [%] 29,10 21,01 8,74 4,06 3,22 2,90 2,72 2,51 2,42 2,42 3,56 Tab. 5.1 dla obszaru nr 6. Badanie wpływu wartości progu I na błąd filtracji i czas obliczeń Zależność wartości błędów od wielkości progu I 35,00 Wielkość błędu wyrażona w % 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 Błąd typu I [%] Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] 0, Wartość progu I [m] Rys Badanie wpływu wartości progu I na błąd filtracji falkowej. 85

86 Wyniki pokazują, Ŝe czas obliczeń nie zaleŝy od wielkości progu I. Natomiast zarówno błąd typu I, jak i II jest ściśle zaleŝny od wartości progu I σ 1. Dla bardzo duŝych wartości progu I aproksymacja odbywa się tak, jakby pierwszy etap aproksymacji nie miał miejsca. Inaczej filtracja przebiega dla ujemnych wartości progu σ 1 mianowicie powstaje fałszywa aproksymacja, która daje złe wyniki i bardzo duŝe błędy pierwszego i drugiego rodzaju. PowyŜej wartości σ 1 =0 m moŝna dostrzec tendencję, iŝ wartość błędu pierwszego rodzaju wzrasta wraz ze wzrostem progu, natomiast wartość błędu drugiego rodzaju, wówczas maleje. Błąd całkowity nieznacznie zmienia swoje wartości, osiągając swoje minimum w przedziale pomiędzy 1 a 2 m. Z powyŝszych analiz wynika, Ŝe optymalne wartości progu σ 1, dla badanego obszaru testowego, znajdują się w przedziale σ 1 (0,0 ; 1,0), gdyŝ poza tym przedziałem, pomimo spadku wartości błędu I rodzaju, wartość błędu II rodzaju zaczyna gwałtownie wzrastać Badanie zaleŝności wartości błędów od progu II aproksymacji I II III IV V VI VII VIII IX X XI Próg I σ 1 [m] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Próg II σ 2 [m] -4,00-2,00-1,00-0,50-0,20 0,00 0,20 0,50 1,00 2,00 4,00 Funkcja falkowa db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 n 1 - l. aproks Czas obliczeń [s] 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 Błąd typu I [%] 91,05 90,96 88,75 79,25 51,69 34,81 19,76 6,69 1,32 0,04 0,00 Błąd typu II [%] 0,00 0,03 0,04 0,20 0,44 0,75 1,23 2,24 4,88 15,83 37,63 Błąd całkowity [%] 68,22 68,15 66,30 58,33 43,56 29,42 16,83 5,99 1,89 2,54 5,59 Tab. 5.2 Badanie wpływu wartości progu II na błąd filtracji i czas obliczeń, obszar nr 6. Analiza ujawnia, iŝ wartość progu σ 2 posiada kluczowe znaczenie dla filtracji falkowej. Z wykresu 5.23 moŝna wywnioskować, Ŝe wartości błędów dla σ 2 <-1,0 jest stała, a filtracja przebiega niepoprawnie. Dla progu powyŝej 2,0 m wzrasta systematycznie wartość błędu drugiego rodzaju, co świadczy o braku właściwej eliminacji punktów, naleŝących do obiektów terenowych. Optymalną wartość progu σ 2 moŝna oczytać z wykresu 5.24 w skali logarytmicznej. Wszystkie rodzaje błędów przyjmują minimalną wartość w zakresie σ 2 (0,7 ; 1,0), natomiast dla wartości 0,75 m przecinają się wykresy wszystkich rodzajów błędów, a dla 1,00 m następuje minimalizacja błędu całkowitego. 86

87 Zależność wartości błędów od wielkości progu II 100,00 Wielkość błędu wyrażona w % 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00-4,00-2,00 0,00 2,00 4,00-20,00 Wartość progu II [m] Błąd typu I [%] Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Rys Badanie wpływu wartości progu I na błąd filtracji falkowej. Zależność wartości błędów od wielkości progu II Wielkość błędu wyrażona w % (skala logarytmiczna) 100,00 10,00 1,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 0,10 0,01 Wartość progu II [m] Błąd typu I [%] Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Rys Badanie wpływu wartości progu II na błąd filtracji falkowej, wartości błędów wyraŝone są w skali logarytmicznej. 87

88 Badanie zaleŝności wartości błedów od stopnia aproksymacji n 1 Wybór odpowiedniego stopnia aproksymacji moŝe być porównany do procesu doboru odpowiedniej częstotliwości obcięcia w metodzie, wykorzystującej transformację Fouriera. Zamiast analizować przebieg periodogramu, wyznaczono optymalne wartości n 1 w sposób empiryczny. Liczba stopni aproksymacji oznacza umowną graniczną długość obiektów, dla której element pokrycia jest klasyfikowany jako obiekt terenowy, a wszystkie większe obiekty reprezentują juŝ sam teren. Dyskretna transformacja falkowa posiada charakter diadyczny, co oznacza, Ŝe jeŝeli stopień aproksymacji zwiększy się o 1, to liczba punktów w wynikowej aproksymacji zmniejszy się dwukrotnie. Dysponując zatem liczbą punktów rzędu 2 15, po aproksymacji 7 stopnia uzyska się 2 8 punktów, co oznacza, Ŝe wszystkie obiekty mniejsze niŝ ,5 m = 127 m zostaną uznane jako pokrycie terenu oraz wyeliminowane w procesie filtracji. I II III IV V VI VII VIII IX X Próg I σ 1 [m] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Próg II σ 2 [m] 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Funkcja falkowa db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 n 1 - l. aproks Czas obliczeń [s] 0,33 0,36 0,39 0,42 0,43 0,44 0,46 0,47 0,49 0,50 Błąd typu I [%] 0,31 0,65 1,17 2,25 2,41 2,36 2,30 2,42 10,32 18,17 Błąd typu II [%] 74,00 66,39 52,95 35,29 19,61 9,92 4,69 3,66 2,40 1,60 Błąd całkowity [%] 11,97 11,05 9,37 7,47 5,13 3,56 2,68 2,62 9,06 15,55 Tab. 5.3 Badanie wpływu stopnia aproksymacji na błąd filtracji i czas obliczeń dla obszaru testowego nr 6. Analizy wpływu stopnia aproksymacji na błąd filtracji i czas obliczeń, wykazały, Ŝe najkorzystniej jest przeprowadzać filtrację dla stopnia 7 albo 8. W tym zakresie wartość błędu I rodzaju jest mniejsza, niŝ błędu II rodzaju, a błąd całkowity osiąga swoje minimum. Zwiększając liczbę aproksymacji nieznacznie zwiększa się czas obliczeń, co widoczne jest na wykresie 5.26 w skali logarytmicznej. 88

89 Wielkość błędu wyrażona w % oraz czas oblliczeń w s Zależność wartości błędów od stopnia aproksymacji 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 Błąd typu I [%] Błąd typu II [%] 30,00 Błąd całkowity [%] 20,00 Czas obliczeń [s] 10,00 0, Stopień aproksymacji Rys Badanie wpływu stopnia aproksymacji na wartość błędów filtracji oraz czasu obliczeń. Wielkość błędu wyrażona w % oraz czas oblliczeń w s 16,00 4,00 1,00 0,25 Zależność wartości błędów od stopnia aproksymacji Błąd typu I [%] Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Czas obliczeń [s] Stopień aproksymacji Rys Badanie wpływu stopnia aproksymacji na wartość błędów filtracji oraz czasu obliczeń. Wielkość błędów oraz czas wyraŝono w skali logarytmicznej. 89

90 Badanie wpływu rzędu falki db na wynik filtracji W celu minimalizacji błędów filtracji oraz czasu obliczeń zbadano równieŝ wpływ rzędu najpopularniejszego zestawu falek ortogonalnych db (daubechies). Wyniki przedstawione są w tabeli 5.4. I II III IV V VI VII VIII IX X XI Próg I σ 1 [m] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Próg II σ 2 [m] 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Funkcja falkowa db1 db2 db3 db4 db5 db6 db8 db9 db14 db20 db40 n 1 - l. aproks Czas obliczeń [s] 0,46 0,46 0,46 0,46 0,46 0,47 0,51 0,48 1,31 1,78 5,02 Błąd typu I [%] 2,39 2,33 2,51 2,30 2,49 2,47 2,57 2,56 2,75 2,78 2,77 Błąd typu II [%] 4,60 5,07 4,94 4,69 4,92 5,09 4,67 4,88 4,92 4,70 4,76 Błąd całkowity [%] 2,74 2,76 2,89 2,68 2,87 2,88 2,90 2,92 3,09 3,09 3,09 Tab. 5.4 Badanie wpływu rzędu falki db na wynik filtracji dla obszaru testowego nr 6. Na podstawie tabeli i wykresu 5.27 moŝna wywnioskować, Ŝe rząd falki nie wpływa znacząco na dokładność filtracji, lecz jedynie na czas obliczeń. ZróŜnicowanie wielkości błędów jest niewielkie, osiągając swoje minimum dla falki db4, co jednak moŝe być prawidłowością tylko dla wybranego obszaru testowego. Świadczy to o tym, Ŝe falka db4 najlepiej reprezentuje przebieg fizycznej powierzchni terenu, a nie obiekty na jej powierzchni. Jeśli chodzi o czas aproksymacji, to najlepsze wyniki osiągane są dla falek niskiego rzędu. Zależność wartości błędów od rzędu falki db Wielkość błędu wyrażona w % oraz czas oblliczeń w s 6,00 4,00 2,00 0,00 Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Błąd typu I [%] Czas obliczeń [s] Stopień aproksymacji Rys Badanie wpływu rzędu falki db na wynik i czas filtracji. 90

91 Badanie wpływu rodzaju i rzędu falki ortogonalnej i biortogonalnej na wynik filtracji I II III IV V VI VII VIII IX X XI Próg I σ 1 [m] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Próg II σ 2 [m] 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Funkcja falkowa db4 coif1 coif3 coif5 sym1 sym3 sym8 bior1.1 bior2.4 bior3.7 bior6.8 n 1 - l. aproks Czas obliczeń [s] 0,46 0,49 0,48 0,48 0,47 0,43 0,44 0,53 0,49 0,51 0,51 Błąd typu I [%] 2,30 2,56 2,65 2,69 2,39 2,51 2,64 2,39 2,64 2,52 2,72 Błąd typu II [%] 4,69 5,45 4,70 4,61 4,60 4,94 4,71 4,60 5,14 4,86 4,76 Błąd całkowity [%] 2,68 3,01 2,97 3,00 2,74 2,89 2,97 2,74 3,03 2,89 3,04 Tab Badanie wpływu rodzaju i rzędu falki na wynik filtracji. Analizując wpływ róŝnych funkcji falkowych na wartość błędów i czas filtracji, moŝna stwierdzić, Ŝe zarówno rodzaj, jak i rząd falki nieznacznie wpływa na wynik filtracji. NiezaleŜnie od przyjętej rodziny falek ortogonalnych, czy teŝ biortogonalnych, wielkość błędów filtracji, podobnie jak czas obliczeń, oscylują wokół wartości średniej. Nieznacznie lepsze wyniki filtracji moŝna zaobserwować dla falek db4, sym1 oraz bior1.1. Zależność wartości błędów od rodzaju falki Wielkość błędu wyrażona w % oraz czas oblliczeń w s 6,00 4,00 2,00 0,00 Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Błąd typu I [%] Czas obliczeń [s] Rodzaj falki Rys Badanie wpływu rodzaju i rzędu falki na wynik i czas filtracji. 91

92 Optymalizacja liczby punktów dla pojedynczego kroku aproksymacji W celu zbadania wpływu liczby punktów w pojedynczym kroku na dokładność oraz szybkość filtracji, wzięto do analiz zbiór testowy nr 4, zawierający punktów. I II III IV V VI VII VIII IX X Próg I σ 1 [m] 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Próg II σ 2 [m] 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 Funkcja falkowa db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 db4 n 1 - l. aproks n 2 - l. pkt. w 1 kroku Czas obliczeń [s] 44,5 23,6 13,7 8,24 5,65 4,5 3,82 3,39 3,09 3,26 Błąd typu I [%] 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 Błąd typu II [%] 5,26 5,26 5,26 5,26 5,26 5,26 5,26 5,26 5,26 5,26 Błąd całkowity [%] 3,41 3,41 3,41 3,41 3,41 3,41 3,41 3,41 3,41 3,41 Tab. 5.6 Badanie wpływu liczby punktów w pojedynczym kroku aproksymacji. Na podstawie tabeli i wykresu, moŝna wysunąć wniosek, iŝ liczba punktów w pojedynczym kroku apkroksymacji nie wpływa na dokładność filtracji, lecz jedynie na czas obliczeń. Dla komputerów z odpowiednio duŝą ilością pamięci RAM, zwiększenie liczby punktów w 1 kroku aproksymacji zmniejsza czas obliczeń. Taka zaleŝność ma miejsce do pewnej wielkości granicznej, powyŝej której czas obliczeń wzrasta. 100 Zależność czasu obliczeń od liczby punktów w 1 kroku Czas oblliczeń w s (skala logarytmiczna) Liczba punków (skala logarytmiczna) Czas obliczeń [s] Rys ZaleŜność czasu obliczeń od liczby punktów w pojedynczym kroku aproksymacji na wykresie w skali logarytmicznej. 92

93 Ustalenie optymalnych wartości parametrów filtracji dla róŝnych obszarów testowych Dla celów badawczych wzięto 6 obszarów testowych, pochodzących z lotniczego skaningu laserowego doliny Widawy. Cztery piewsze zestawy testowe posiadają nieoptymalną organizację danych, gdyŝ zakres obszaru został ograniczony liniami prostymi, przez co punkty rejestrowane przez skaner z lustrem nutacyjnym, charakteryzują się nieciągłościami na brzegach obszaru. Obszary testowe 5 i 6 są zorganizowane w sposób optymalny szereg punktów reprezentuje ciągły zbiór danych zgodny z następstwem momentu rejestracji danego punktu przez detektor skanera. Nr obszaru test Średnia: Całkowita l. pktów n 1 - l. aproks n 2 - l. pkt. w 1 kroku Funkcja falkowa db4 db4 db4 db4 db5 db4 - Próg I σ 1 [m] 1,4 0,0 0,5 0,5 0,4 0,2 0,5 Próg II σ 2 [m] 1,20 0,75 1,40 0,70 0,85 0,80 0,95 Czas obliczeń [s] 1,33 2,77 1,12 4,54 0,29 0,45 1,75 Błąd typu I [%] 3,84 5,27 0,25 0,57 1,72 1,38 2,17 Błąd typu II [%] 17,32 5,97 5,87 3,24 7,96 5,84 7,70 Błąd całkowity [%] 7,75 5,71 0,67 2,26 2,94 2,08 3,57 Tab. 5.7 Wielkości błędów i czas filtracji dla róŝnych obszarów testowych. Wartości błędów dla różnych obszarów testowych Wielkość błędu wyrażona w % oraz czas oblliczeń w s Nr obszaru testowego średnio Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Błąd typu I [%] Czas obliczeń [s] Rys Wielkość błędów oraz czas obliczeń dla róŝnych obszarów testowych. 93

94 Dla kaŝdego spośród sześciu obszarów testowych wykonano optynalizację parametrów filtracji, celem uzyskania minimalnych wartości błędów pierwszego i drugiego rodzaju. Wartości błędów całkowitych wahały się od 0,67% do 7,75%, ze średnią wartością 3,57%. Dla obszarów testowych o optymalnej organizacji danych całkowity błąd filtracji był niŝszy od wartości średniej odpowiednio 2,94% i 2,08%. Średnie wartości optymalnych parametrów posłuŝyły do ogólnej oceny całościowej algorytmu. Z powyŝszych danych moŝna wysunąć jeszcze jedną zaleŝność czasu obliczeń od ogólnej liczby punktów w zbiorze. PowyŜsza zaleŝność posiada w przybliŝeniu charakter liniowy. Z wykresu moŝna określić przybliŝony czas procesu filtracji punktów zostaje przefiltrowanych w czasie 0,8 sekundy, a 1 milion punków w czasie około 4,5 s. 6,00 Zależność czasu obliczeń od ogólnej liczby punktów 5,00 Czas oblliczeń w s 4,00 3,00 2,00 Czas obliczeń [s] y = 5E-06x -0,039 1,00 0, Liczba punków (w tys.) Rys ZaleŜność czasu obliczeń od całkowitej liczby punktów w zbiorze wraz z regresją liniową, reprezentującą przybliŝony trend funkcji t(l). 94

95 Ostateczna ocena dokłaności algorytmu filtracji dla parametrów średnich Biorąc pod uwagę średnie wartości aproksymacji dla róŝnych obszarów testowych, wykonano ocenę dokładności algorytmu filtracji falkowej. Wyniki przedstawiono w tabeli 5.8. Nr obszaru test Średnia: Całkowita l. pktów n 1 - l. aproks n 2 - l. pkt. w 1 kroku Funkcja falkowa db4 db4 db4 db4 db4 db4 - Próg I σ 1 [m] 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 - Próg II σ 2 [m] 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 - Czas obliczeń [s] 1,33 2,77 1,12 4,54 0,29 0,45 1,75 Błąd typu I [%] 10,73 3,66 2,58 0,53 1,08 0,94 3,25 Błąd typu II [%] 13,13 7,47 0,13 5,26 9,14 6,96 7,02 Błąd całkowity [%] 11,44 6,05 2,40 3,41 2,65 1,89 4,64 Tab. 5.8 Wielkości błędów i czas filtracji dla róŝnych obszarów testowych z wykorzystaniem tych samych parametrów. Wartości błędów dla różnych obszarów testowych Wielkość błędu wyrażona w % oraz czas oblliczeń w s 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0, Nr obszaru testowego średnio Błąd typu II [%] Błąd całkowity [%] Błąd typu I [%] Czas obliczeń [s] Rys Wielkość błędów oraz czas obliczeń dla róŝnych obszarów testowych z wykorzystaniem tych samych parametrów. 95

96 Z przeprowadzonych analiz wynika, Ŝe filtracja przynosi lepsze rezultaty dla danych uporządkowanych w sposób optymalny. Średni błąd typu pierwszego dla wszystkich zestawów testowych wyniósł 3,25%, przy czym zestaw testowy 1 znacząco zawyŝył tę wartość, gdyŝ wyniósł przeszło 10%. Dla pozostałych obszarów testowych błąd typu pierwszego mieścił się w zakresie 0,53% 3,66%, co moŝna uznać za bardzo dobry wynik, szczególnie, Ŝe celem filtracji była minimalizacja liczby usuwanych punktów, naleŝacych do powierzchni terenu (czyli minamalizacja błędu typu 1). Zakres błędu typu drugiego charakteryzował się nawiększą rozbieŝnością od 0,13% dla obszaru testowego nr 3, do 13,13% dla obszaru nr 1. Niewielkie błędy w obszarze 3 mogą wynikać z nieduŝej ilości punktów, zarejestrowanych od obiektów terenowych (rys. 5.16). Natomiast obszar nr 1, reprezentuje teren silnie zadrzewiony i zakrzaczony z zabudowaniami. Błąd całkowity filtracji wyniósł od 1,89% do 11,44% ze średnią wartością 4,64%, co pozwala umieścić przedstawiony algorytm filtracji w gronie algorytmów o dobrej skuteczności. NiepodwaŜalną zaletą algorytmu jest takŝe szybkość działania wahająca się od 0,3 s do 4,5 s w zaleŝności od wielkości analizowanego zbioru. Dla skanera, pracującego z częstotliwością poniŝej 200 khz, moŝliwa jest wstępna filtracja danych w locie, jeszcze w trakcie wykonywania pomiaru. Przedstawione badania pozwalają swierdzić, iŝ algorytm przynosi bardzo dobre rezultaty w zakresie filtracji danych lotniczego skaningu laserowego. Rys Obszar testowy nr 1 przed filtracją (po lewej) oraz po wykonaniu filtracji falkowej (po prawej). 96