gdzie i oznacza wspó rz dn przestrzenn oraz rzut momentu spinowego na wybran o (kierunek w przestrzeni). Hamiltonian takiego uk adu

Transkrypt

1 Fizyka 2 Wyk ad W7 1 Nierozróznialno cz stek w mechanice kwantowej (copyright: wi kszo ilustracji pochodzi ze strony oraz z Wikipediii) Dotychczas rozpatrywali my jedynie uk ady zawieraj ce tylko 1 kwantow cz stk. Gdy mamy N cz stek funkcja falowa układu zale y od wszystkich wspó rz dnych wszystkich cz stek: (1,2,3,.,i,...N), gdzie i oznacza wspó rz dn przestrzenn oraz rzut momentu spinowego na wybran o (kierunek w przestrzeni). Hamiltonian takiego uk adu H ˆ =T ˆ +V ˆ +Wˆ ; ^ T T i ; V gdzie T jest operatorem energii kinetycznej, V i jest jednocz stkowym operatorem energii potencjalnej W ˆ = W( ˆ i, j ) jest operatorem energii oddzia ywania (te rodzaj energii potencjalnej) i,jinej Rozwi zanie N-cz stkowego równania Schrödingera z wy ej opisanym hamiltonian w ogólnosci okazuje si niezwykle trudne. Konieczne s drastyczne przybli enia. Podstawowe przybliżenie: przybliżenie jednocz stkowe: zak ada si, e uk ad mo na opisa kombinacjami liniowymi jednocz stkowych funkcji falowych (np. funkcji falowych wspólrz dnych tylko 1 elektronu) i ^ ^ i ^ V i

2 Fizyka 2 Wyk ad W7 2 Tak wi c (1,2,3,., i,...n) zapisuje si ( konstruuje si ) za pomoc funkcji (i), gdzie i s wspó rz dnymi (wraz ze zmienn spinow ) dowolnej cz stki w uk adzie. Jest to bezpo rednia konsekwencja (wyra enie) zasady nieodró nialno ci cz stek w mechanice kwantowej - cz stek nie da si ledzi jako cz stka 1 lub 2 ( Marek czy Wacek ). Skoro cz stki s nierozró nialne to hamiltonian musi by niezmienniczy wzgl dem wzajemnych przestawie wspó rz dnych cz stek. W konsekwencji: G sto prawdopodobie stwa musi te by niezmiennicza wzgl dem takich przestawie. 2 2 (1,2,3,...,i,...,j,...,N) = (1,2,3,..., j,..., i,..., N) A inaczej: (1,2,3,...,i,...,j,...,N)= (1,2,3,..., j,..., i,..., N) Zakaz Paulliego: Paulli doszedł do wniosku, że znak jaki nale y wybra zale y od spinu cz stki Dla fermionów (cz stek, których rzut spinu na wyró niony kierunek jest wielokrotno ci 2 ) znak - co daje nam antysymetryczn funkcje falow

3 Fizyka 2 Wyk ad W7 3 Przyk ad dla dwóch fermionów Dla elektronów w cz steczce sk adaj cej si z dwóch atomów a i b funkcja falowa w przybli eniu jednocz stkowym 1 (1,2) = ( a(1) b(2) a(2) b(1) ) 2 Widzimy, e fermionom odpwiada antysymetryczna funkcja falowa: (2,1) = - (1,2) Uwaga: 1 oraz 2 to symboliczne oznaczenie wszystkich współrzędnych elektronu włącznie ze współrzędną spinową. Przyk ad: dla dwóch bozonów (np. dla fononów) funkcja falowa w przybli eniu jednocz stkowym 1 (1,2) = ( a(1) b(2)+ a(2) b(1) ) 2 Widzimy, e bozonom odpowiada symetryczna funkcja falowa: (2,1) = (1,2) Wniosek: zakaz Pauliego gdy 1 = 2 tzn wszystkie liczby kwantowe obu fermionów s równe - funkcja falowa uk adu znika!

4 Fizyka 2 Wyk ad W7 4 Przyk ad: Fermiony i bozony w pobliżu temperatury bezwzględnego zera. Rysunek obok przedstawia obraz dwóch chmur dwóch różnych (stabilnych) izotopów litu: litu 6 oraz litu 7 wytworoznych w Rice University (USA) w ultraniskich temperaturach. Lit 7 jest bozonem a lit 6 jest fermionem. Izotopy różnią się liczbą nukleonów w jadrze (własności chemiczne natomiast są identyczne). nk to temperatura 10-9 K! W eksperymencie (sławna kondensacja Bose- Einsteina) ściskano obie chmury starając się zmniejszyć ich rozmiary. Jak widać rozmiary chmury bozonów można zmniejszyć o wiele łatwiej niż chmurę fermionów. To właśnie zakaz Paulliego uniemożliwia zbliżenie się fermionów do siebie: gdyby nastąpiło dalsze zbliżenie funkcja falowa układu fermionów musiałaby zniknąć czyli atomy musiałyby przestać istnieć. Zakaz Paulliego obowiązuje jedynie fermiony i dlatego własności statystyczne tych dwóch rodzajów cząstek są istotnie różne.

5 Fizyka 2 Wyk ad W7 5 Wybrane zastosowania mechaniki kwantowej Technologia mikrostruktur bardzo szybko si rozwija: Przyk ad Nanogitara Electron-microscope image of the world's smallest guitar, based roughly on the design for the Fender Stratocaster, a popular electric guitar. Its length is 10 millionths of a meter-- approximately the size of a red blood cell and about 1/20th the width of a single human hair. Its strings have a width of about 50 billionths of a meter (the size of approximately 100 atoms). Plucking the tiny strings would produce a high-pitched sound at the inaudible frequency of approximately 10 megahertz. Made by Cornell researchers with a single silicon crystal, this tiny guitar is a playful example of nanotechnology, in which scientists are building machines and structures on the scale of billionths of a meter to perform useful technological functions and study processes at the submicroscopic level. (Image courtesy Dustin W. Carr and Harold G. Craighead, Cornell.)

6 Fizyka 2 Wyk ad W7 6 Najbardziej popularnym przyk adem zastosowania efektu tunelowego jest pó przewodnikowa {hiperlink: dioda Zenera (zob. też złącze p-n {hiperlink: Pod wp ywem napi cia przy o onego w kierunku zaporowym efektywna szeroko przerwy zabronionej staje si tak cienka, e no niki tuneluj przez ni tak jak w analizowanych przez nas symulacjach zjawiska tunelowego. Prowadzi to do gwa townego wzrostu nat enia pr du p ynacego przez diod (przebicie lawinowe na żółto).

7 Fizyka 2 Wyk ad W7 7 Przyk ad: Kwantowym tranzystor tunelowy (1997) Quantum Tunneling Transistor Schematic diagram of a quantum tunneling transistor, an on-off switch that exploits an electron's ability to pass through normally impenetrable energy barriers. The various contacts and gates adjust the voltage between the upper quantum well (labelled "top QW") and the lower quantum well ("bottom QW"), both made of gallium arsenide and having thicknesses of just 150 Angstroms (where 1 Angstrom equals meters). Adjusting the voltage in the right way allows the electrons in the top QW to "tunnel through" an ordinarily insurmountable barrier (made of aluminum gallium arsenide, depicted as a sawtoothed energy barrier in the leftmost diagram) to the bottom QW. Tunneling occurs when the top QW and bottom QW accept electrons with the same energy and momentum states. (Figure courtesy Sandia National Laboratories) This research was described at the 1997 IEEE International Electron Device Meeting in Washington, DC, December 7-10, 1997.

8 Fizyka 2 Wyk ad W7 8 Przyk ad: nanotrioda (1999) lampa elektronowa o rozmiarach nanometrowych Schematyczny rysunek pokazuje przekrój triody opracowanej przez Driskill-Smith et al., I opublikowanej w Applied Physics Letters, w listopadzie nm = 10-9 m St d nawet bardzo ma e napi cie daje ogromne pole wewn trz elementu: 1 V napi cia przy o onego odpowiada 10 MV/m nat enia pola pomiedzy katod a anod. Wewnątrz elementu jest wysoka próżnia.

9 Fizyka 2 Wyk ad W7 9 Mikroskop tunelowy Zjawisko tunelowe zosta o wykorzystane w 1982 roku do budowy skanuj cego mikroskopu tunelowego. Pr d p yn cy przez z cze tunelowe (rz du na) zale y silnie (zale no ekspotencjalnie malejąca!) od odleg o ci czubka sondy od powierzchni: Zmiana o 0.1 nm (10-10 m) wywo uje 10-krotn zmian nat enia pr du. Sond przesuwa si wzd u powierzchni tak steruj c jej po o enie aby nat enie pr du by o sta e. Wymagania kontroli sta o ci pr du mo na przeliczy na odleg o czyli kszta t powierzchni.

10 Fizyka 2 Wyk ad W7 10 Tunelowy mikroskop skaningowy jest czuły na g sto elektronów na powierzchni badanego materia u.

11 Fizyka 2 Wyk ad W7 11 Trzy nietypowe przykłady Obraz obok przedstawia widok fal elektronowych rozbijajacych si na 2 defektach o rozmiarach pojedy czych atomów na powierzchni kryszta u miedzi. Oczywiscie widzimy sta y wzór przestrzenny bo powstaj fale stoj ce dzi ki interferencji. Inaczej nie było by nic widać bo fale elektronowe mają dużą częstość i prędkośća obraz w mikroskopie tunelowym powstaje powoli. Czubkiem sondy mikroskopu tunelowego mo na te przemieszcza atomy i rozmieszcza je w dowolny sposób. Liczyd o z kulek atomów w gla (C60 tzw. fulleren) {hyperlink: {hyperlink: Fulereny mają ciekawe własności elektronowe, optyczne oraz mogą służyć jako mikronośniki przenoszące molekuły farmaceutycznie czynne wewnątrz organizmu.

12 Fizyka 2 Wyk ad W7 12 Stadion z atomów elaza na powierzchni miedzi: stworzony dla obserwacji fal elektronowych w obszarze ograniczonym

13 Fizyka 2 Wyk ad W7 13 Istniej wielorakie rozwini cia skaningowego mikroskopu tunelowego: Mikroskopia si atomowych Mikroskopia si rezonansu magnetycznego: Mikroskopia taka daje 3-wymiarowe, nieniszcz ce i bezwyjmowania ze rodowiska rodzimego obrazy atomów, moleku, defektów cia sta ych, domieszek w pó przewodnikach oraz wirusów. Delikatna d wignia z krzemu ma na ko cu s adowe ilo ci materia u ferromagnetycznego. Widoczna w tle cewka wywo uje oddzia ywania czubka sondy z nawet ladowymi ilo ciami jonów w próbce, które posiadaj moment magnetyczny - to wystarczy aby mikroskop si rezonansu magnetycznego pozwoli zobrazowa próbk. Mikroskop taki mierzy si y rz du N.

14 Fizyka 2 Wyk ad W7 14 Nadprzewodnictwo (szkic) W metalach przewodzą elektrony w paśmie przewodnictwa. Zgodnie z zakazem Paulliego wszystkie poziomy energetyczne tego pasma są zajęte od dna pasma przewodnictwa do pewnego poziomu tzw. poziomu Fermiego. Elektrony blisko wierzchołka pasma przewodnictwa (ale głębiej poniżej poziomu Fermiego) jest trudno przyspieszyć (zwiększyć ich energię kinetyczną) bo sąsiednie poziomy energetyczne są zajęte. Elektrony w pobliżu poziomu Fermiego można przyspieszyć bo nad nimi są wolne poziomy energetyczne. Dlatego to elektrony w pobliżu poziomu Fermiego biorą udział w przewodnictwie.

15 Fizyka 2 Wyk ad W7 15 W niskich temperaturach, bliskich zera bezwzględnego, pojedyncze elektrony w trakcie przewodzenia prądu elektrycznego zaburzają strukturę sieci krystalicznej: ujemny ładunek elektronu przyciąga dodatnie jony sieci krystalicznej. W ten sposób pod wpływem przepływem prądu po sieci krystalicznej rozchodzą się zaburzenia w postaci fali drgania sieci krystalicznej tzw. fonony. Obecność fononu wysłanego przez jeden elektron wpływa na ruch drugiego elektronu. W normalnych temperaturach prowadzi to do wzrostu oporności elektrycznej: ruch elektronów rozpraszany jest na fononach i średnia prędkość elektronów maleje zmniejsza się natężenie prądu przy stałym napięciu. W niskich temperaturach i w takich materiałach, w których oddziaływanie elektronu z siecią krystaliczną jest silne (słabe przewodniki, duża oporność właściwa), może dojść do przyciągającego oddziaływania dwóch elektronów za pośrednictwem wysyłanych przez nie fononów. Efekt jest złożony: aby doszło do przyciągania 2 elektronów między sobą musi zostać zniwelowane odpychanie między nimi na skutek: jednoimiennych ładunków obu elektronów na skutek oddziaływania Kulomba odpychającego oddziaływania ich spinów

16 Fizyka 2 Wyk ad W7 16 Pierwszego oddziaływania nie da się usunąć. Drugie znika gdy spiny ustawią się antyrównolegle. Wtedy elektrony w paśmie przewodnictwa o energiach bliskich energii Fermiego mogą łączyć się w pary (pary Coopera) ze spinami ustawionymi antyrównolegle. Elektron jest fermionem i podlega zakazowi Paulliego. Para Coopera ma wypadkowy spin 0 i podwójny ładunek elementarny (jest bozonem). Nie podlega zakazowi Paulliego więc: a) wszystkie pary gromadzą się na jednym poziomie energetycznym i są oddzielone od reszty (niesparowanych) elektronów wąską przerwą energetyczną E g b) tak zgrupowane w pary elektrony łatwo ulegają przyspieszeniu pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego i nie wykazują oporu elektrycznego. Zjawisko to nazywa się nadprzewodnictwem {hyperlink: Własności nadprzewodnictwa (przykład) Inne zjawisko fizyki niskich temperatur zachodzi w ciekłym Helu w temp. ok. 2 K to nadciekłość {hyperlink: }

17 Fizyka 2 Wyk ad W7 17 Nadprzewodnictwo znajduje wiele zastosowań m.in.: a) nadprzewodzące uzwojenia magnesów rezonatorów MRI dzięki zerowej oporności można zmniejszyć straty na ciepło normalnie związane z przepływem prądu elektrycznego (ciepło Joule a- Lenza) b) nadprzewodzące kable energetyczne na razie w planach bo w takich kablach płyną bardzo duże natężenia prądu i ich pole magnetyczne może zniszczyć stan nadprzewodnictwa (pole to zmienia wzajemne ustawienie spinów pary Coopera w końcu niszcząc ją). c) czułe magnetometry SQUID wykorzystujące nadprzewodzące złącza Josephsona wykorzystywane w magnetokardiografii i magnetoenecefalografii d) niezwykle stabilne i niskoszumne generatory wysokiej częstotliwości stosowane m.in. w technikach pomiarowych. Od odkrycia w 1908 roku nadprzewodnictwa w rtęci temperatura krytyczna, w której stan nadprzewodnictwa ulega zniszczeniu na skutek rozerwania par Coopera pod wpływem drgań cieplnych znacznie została podwyższona. Nowe materiały ceramiczne są nadprzewodzące już w temperaturach ciekłego azotu.

18 Fizyka 2 Wyk ad W7 18 Kropki kwantowe S to ma e ograniczone obszary cia a sta ego (np. pó przewodnika) o rozmiarach od kilku nm do kilku mikronów. Nanotechnologia pozwala nam stosunkowo swobodnie kszta towa kszta t i rozmiary takich objektów. Mie ci si w nich od 1000 do 10 2 atomów wraz z ich elektronami. Oznacza to, e w przypadku kropki kwantowej w pó przewodniku mo e by (w zale no ci od rozmiaru i warunków zewn trznych) od pojedynczego do kilku tysi cy wolnych elektronów zamkni tych w kropce jak w pude ku. W asno ci elektronowe kropek kwantowych s nadspodziewanie podobne do w asno ci elektronowych atomów. W szczególno ci ograniczenie rozmiarów we wszystkich trzech kierunkach naraz oznacza skawntowane widmo energii kropki. Z tego względu cz sto mówimy o sztucznych atomach.

19 Fizyka 2 Wyk ad W7 19 Je eli zaopatrzy kropk w kontakty to mo na za pomoc napi cia zmienia liczb elektronów w kropce (podobnie jak to by o w tranzystorze tunelowym). Oznacza to, e mo na - zmieniaj c napięcie porusza si jakby po tablicy Mendelejewa {hyperlink: wytwarzaj c wewn trz kropki ró n liczb elektronów. O tym jednak jakie w asno ci szczegó owe b d mia y elektrony wewn trz kropki kwantowej decyduje symetria i posta funkcyjna potencja u dzia aj cego na nie.

20 Fizyka 2 Wyk ad W7 20 Przyk ad: dla kropki o podstawie okr g ej na rysunku powy ej potencja jaki dzia a na elektron jest proporcjonalny do r 2 a wi c jest bardzo podobny oscylatorze harmonicznym. Jednak e jest to taki 2-wymiarowy oscylator i to daje nieco inne w asno ci. Funkcje falowe obliczone dla takiej kropki kwantowej s nastepuj ce:

21 Fizyka 2 Wyk ad W7 21 Na rysunku pokazano obok w asno ci sztucznego atomu jaki si otrzymuje z kropki kwantowej o okr g ej podstawie. Na górnym rysunku wida jak zwi kszanie napi cia powoduje skokowy wzrost pr du p yn cego przez kropk (tunelowanie!) na skutek tego, e energia elektronów zrównuje si z kolejnymi poziomami energii dozwolonej kropki. Pr d tunelowy nie pop ynie dopóki nie zostanie dostarczona energia na pokonanie kulombowskiego odpychania pomi dzy elektronami wewnątrz kropki a tymi, które maj do niej wp yn. potencjału). Cz sto wytwarza si te kropki kwantowe z gazu elektronów swobodnych w strukturach pó przewodnikowych przez przy ożenie napi cia o odpowiedniej symetrii przestrzennej (drutu i kropki kwantowe). W takich uk adach jednak opis zjawisk jest bardziej skomplikowany ze względu na bardziej złożony rozkład potencjału (nie są to prostokątne studnie

22 Fizyka 2 Wyk ad W7 22 Obecnie technologia pozwala na samoczynne tworzenie si sieci kropek kwantowych w trakcie chemicznych procesów technologicznych. Zamiast 1 kropki można na przykład uzyskać strukturę rastrową jak na rysunku poniżej. Taki układ kropek kwantowych może być wykorzystany jaki panel ekranu komputerowego lub telewizyjnego. Kropki są położone tak blisko siebie, że elektrony tunelują z jednej do drugiej. Tworzy się wtedy wspólna struktura elektronowa tzw. supersieć: wewnątrz kropki znajduje się wiele atomów ale periodyczność makroskopowej struktury ułożenia kropek powoduje wspólne pasma energetyczne elektronów. Oprócz supersieci wytworzonych z kropek kwantowych można uzyskać podobny efekt układając bardzo cienkie (1, 2 atomowe) warstwy różnych atomów jedne na drugich. Poszczególne warstwy razem tworzą też supersieć i posiadają nowe, niespotykane w przyrodzie własności.