BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 42, s , Gliwice 2012 BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS MARIAN KLASZTORNY, JERZY MAŁACHOWSKI, PAWEŁ DZIEWULSKI, DANIEL NYCZ, PAWEŁ GOTOWICKI Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wojskowa Akademia Techniczna mklasztorny@wat.edu.pl Streszczenie. Przedmiotem badań eksperymentalnych i modelowania numerycznego jest piana ze stopu aluminium, o porach zamkniętych (nazwa handlowa Alporas), o gęstości 0.22 g/cm3 i kompozycji Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. Na podstawie danych literaturowych przyjęto, że piana jest izotropowa po homogenizacji. Przeprowadzono próby wytrzymałościowe ściskania jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego oraz ścinania w płaszczyźnie prostopadłej do arkusza piany. Pianę po homogenizacji opisano modelem materiałowym MAT_026 w systemie LS-Dyna. Do walidacji eksperymentalnej modelowania numerycznego procesów quasi-statycznych w elementach z piany Alporas zaproponowano próbę ściskania jednokierunkowego statycznego pod kątem 20 do osi próbki sześciennej (jednoczesne ściskanie, ścinanie i zginanie). Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności (wymaganego w przypadku modelu MAT_026) krzywej ścinania w funkcji odkształcenia objętościowego do krzywej ściskania również w funkcji odkształcenia objętościowego, przy której uzyskano zgodność symulacji z eksperymentem. 1. WSTĘP Piana aluminiowa o porach zamkniętych należy do materiałów znajdujących coraz szersze zastosowania militarne i cywilne ze względu na specyficzne właściwości materiałowe, m.in. mała gęstość, wysoka wytrzymałość względna, wysoka sztywność względna, wysoka względna absorpcja energii, stabilność wymiarów, dobra obrabialność mechaniczna, absorpcja dźwięku, odporność ogniowa, nietoksyczność, łatwy recykling. Piana aluminiowa o porach zamkniętych jest materiałem z mikrostrukturą o losowych parametrach. W modelowaniu numerycznym najczęściej stosuje się homogenizację, tj. zastąpienie materiału niejednorodnego w skali mikro materiałem jednorodnym w skali makro. Podstawową próbą eksperymentalną pian metalowych jest jednoosiowe ściskanie. Typowa krzywa odkształcenie naprężenie zawiera strefę nieliniową sprężystą (z małymi deformacjami plastycznymi), strefę quasi-liniową plateau oraz nieliniową strefę zagęszczania materiału. Obserwuje się bardzo mały efekt Poissona w dwóch pierwszych strefach oraz efekt prawie całkowitej nieściśliwości piany całkowicie zagęszczonej. W przypadku próby rozciągania jednokierunkowego obserwuje się strefę nieliniową sprężystą (z małymi deformacjami plastycznymi), lokalną strefę nieliniową plastyczną oraz pękanie piany aluminiowej (zerwanie próbki).

2 98 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI Zagadnienie modelowania konstytutywnego metali spienionych, w tym pian o porach zamkniętych ze stopów aluminium, jest rozwijane od ponad 20 lat. W większości prac piana metalowa modelowana jest jako jednorodne continuum materialne, m.in. [1-13]. Równolegle rozwijane są metody modelowania mikrostrukturalnego, m.in. [14,15]. Gibson i in. [1] zastosowali teorię plastyczności przyrostowej, niezależną od prędkości odkształceń, ze stowarzyszonym prawem płynięcia i wzmocnieniem izotropowym do sformułowania równania powierzchni płynięcia piany metalowej jako continuum izotropowego. Autorzy przyjęli teorię dużych deformacji i tensor odkształceń logarytmicznych. Zaproponowany trójparametrowy model fenomenologiczny został zaimplementowany w systemie ABAQUS. Gibson i Ashby [2] opracowali formuły analityczne do predykcji naprężeń plateau i modułu Younga piany metalowej, w których rozdzielono wpływ ścianek (zależność liniowa od względnej gęstości) i naroży porów zamkniętych (zależność w potędze 1,5 dla lub 2 dla modułu Younga od względnej gęstości). Andrews i in. [3] porównali wyniki eksperymentalnych testów ściskania i rozciągania pian aluminiowych, wytwarzanych w różnych technologiach, z modelami ośrodków komórkowych o porach otwartych i zamkniętych. Przeprowadzono eksperymentalny test zginania 4- punktowego belki z piany Alporas i wykorzystano go do walidacji modelu MES z mikrostrukturą. Opracowano formuły analityczne określające moduł Younga i naprężenia plateau pian o gęstościach względnych poniżej 20%. Sheni in. [4] wykazali, że piana Alporas (kompozycja Al+1,5%Ca+1,5%Ti) o porach zamkniętych i gęstości 0,23 g/cm 3 jest wrażliwa na prędkości odkształceń przy ściskaniu, co uzasadniają mikroinercją ścianek porów. Badania przeprowadzili dla prędkości odkształceń w przedziale [10-3 ; 2, ] s -1. Autorzy wyznaczyli formułę potęgową określającą względne naprężenie plateau w funkcji prędkości odkształceń i względnej gęstości. W rozpatrywanym przedziale prędkości odkształceń naprężenia plateau wzrastają do 45%. Miller [5] zaproponował opis powierzchni płynięcia homogenizowanej piany aluminiowej izotropowej, wykazującej różne granice plastyczności przy jednoosiowym rozciąganiu i ściskaniu. Autor uwzględnił umocnienie przy zagęszczaniu piany oraz efekt Poissona. Model nie obejmuje rozciągania piany. Testy walidacyjne dotyczyły ściskania próbki naciętej obustronnie oraz wciskania indentera sferycznego. Olurin i in. [6] przedstawili wyniki badań eksperymentalnych dwóch pian ze stopu aluminium o porach zamkniętych (Alporas i Alcan), a także wyniki badań wiązkości pękania próbek z ostrymi nacięciami. Badano piany o gęstościach =0,20; 0,30; 0,40 g/cm 3. Badania obejmowały testy rozciągania i ściskania jednokierunkowego w trzech kierunkach. Wykazano, że piana Alporas jest materiałem quasi-izotropowym. Onck [7] przedstawił badania numeryczne jednoosiowego ściskania próbki prostopadłościennej z piany aluminiowej Alporas, naciętej obustronnie. Zastosowano model fenomenologiczny piany opracowany przez Deshpande a i Flecka w pracy [8]. Model ten jest rozszerzeniem kryterium płynięcia von Misesa poprzez wprowadzenie naprężeń hydrostatycznych do naprężeń ekwiwalentnych. Motz i Pippan[9] opisali próbę rozciągania piany Alporas o gęstościach =0,25; 0,40 g/cm 3, przeprowadzoną na próbkach wiosełkowych o przekroju części środkowej mm 2. Analizowali lokalne deformacje i rozwój pęknięć. Hanssen i in. [10] opracowali bazę danych eksperymentalnych obejmującą testy kalibracyjne piany aluminiowej, testy walidacyjne piany aluminiowej oraz testy strukturalne na prętach i belkach z rdzeniem z piany aluminiowej. Powyższą bazę wykorzystano do walidacji modeli konstytutywnych o numerach 26, 63, 75, 126 w systemie LS-Dyna oraz 5 innych modeli piany. Badania eksperymentalne ograniczono do testów quasi-statycznych oraz

3 BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 99 testów dynamicznych przy niskiej prędkości odkształceń rzędu 10 1 s -1. Badania dotyczą piany aluminiowej produkcji Hydro Aluminium AS (materiał bazowy AlSi8Mg, nazwa handlowa 1997 foam), o gęstościach =0,10 0,50 g/cm 3. Próbki prostopadłościenne wycinano z uwzględnieniem układu xyz, gdzie x kierunek odlewania ciągłego, y kierunek prostopadły do odlewania ciągłego, z kierunek grubości arkusza piany. Wykazano, że piana 1997 foam wykazuje znaczną ortotropię. Testy kalibracyjne obejmowały ściskanie i rozciąganie jednokierunkowe, ściskanie dynamiczne na młocie udarowym, ściskanie hydrostatyczne, rozciąganie materiału litego. Testy walidacyjne obejmowały wciskanie indentera, obciążenie diagonalne, ściskanie dwustopniowe. Testy strukturalne obejmowały ściskanie pręta i zginanie 3-punktowe belki, wypełnionych pianą aluminiową. Opracowano formuły analityczne do opisu krzywych naprężenie odkształcenie objętościowe w jednoosiowym ściskaniu i hydrostatycznym ściskaniu i wyznaczono stałe materiałowe w zależności od gęstości piany. Kontynuacją pracy [10] jest praca [11], w której rozszerzono model konstytutywny Deshpande a i Flecka poprzez dodanie dwóch kryteriów pękania. Pierwsze kryterium dotyczy odkształceń plastycznych objętościowych przy rozciąganiu hydrostatycznym, a drugie sformułowano na dla energii odkształceń plastycznych. Rozszerzony model autorzy zaimplementowali w systemie LS-Dyna jako procedurę własną. Uwzględnili również niejednorodność właściwości piany po homogenizacji, przez wprowadzenie statystycznego rozkładu gęstości elementów skończonych piany. Badania numeryczne i eksperymentalne weryfikacyjne dotyczą piany Hydro Aluminium Wyniki testów eksperymentalnych piany Hydro Aluminium (stop Al, Si, FE, Cu, Ni) w złożonych stanach obciążenia, a także w prostych przypadkach wytrzymałościowych, zaprezentowano w pracy [12]. Gęstość piany wynosiła =0,26 g/cm 3. Wariacje stałych materiałowych piany poddano analizie statystycznej Weibulla. Aly [13] przedstawił wyniki badań eksperymentalnych testu ściskania piany Alporas, w zakresie temperatur C. Badano piany o gęstościach 0,25; 0,29, 0,36 g/cm 3. Zgodnie z oczekiwaniami, wpływ temperatury i gęstości piany na stałe materiałowe jest znaczny. Georgi i in. [14] rozwinęli modelowanie mikrostrukturalne piany aluminiowej AlSi10Mg o gęstości średniej =0,43 g/cm 3, z porami zamkniętymi, przy zastosowaniu MES. W modelowaniu deterministycznym zastosowali wielościany Kelvina, a w modelowaniu losowym klatki elipsoidalne o losowych rozmiarach, lokalizacji i orientacji. Badania ukierunkowano na wpływ gęstości i efekt skali. Inne podejście do modelowania mikrostrukturalnego piany aluminiowej (o porach otwartych) prezentują autorzy pracy [15]. Zastosowano technikę skanowania CT do identyfikacji losowej geometrii próbek piany przed i w czasie próby ściskania jednokierunkowego. Przeprowadzono modelowanie numeryczne tej próby z wykorzystaniem przestrzennie zeskanowanej próbki przed przyłożeniem obciążenia. Chmura punktów została przetransformowana na model rastrowy z użyciem 8-węzłowych elementów 3D. Celem pracy było określenie podstawowego mechanizmu niszczenia piany w strefie naprężeń plateau. W niniejszej pracy przedmiotem badań eksperymentalnych i modelowania numerycznego jest piana ze stopu aluminium o porach zamkniętych, o nazwie handlowej Alporas, o gęstości 0,22 g/cm 3 i kompozycji Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. Na podstawie literatury przyjęto, że piana po homogenizacji jest izotropowa. Przeprowadzono próby wytrzymałościowe ściskania jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego oraz ścinania w płaszczyźnie prostopadłej do arkusza piany. Wyniki poddano obróbce statystycznej. Pianę po homogenizacji opisano modelem materiałowym MAT_026 w systemie LS-Dyna. Do walidacji eksperymentalnej modelowania numerycznego procesów quasi-statycznych w elementach z piany Alporas zaproponowano próbę ściskania jednokierunkowego statycznego pod kątem 20 do osi próbki sześciennej (jednoczesne ściskanie, ścinanie

4 100 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI i zginanie). Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności krzywej ścinania w funkcji odkształcenia objętościowego i krzywej ściskania w funkcji odkształcenia objętościowego, przy której uzyskano zgodność symulacji z eksperymentem. 2. BADANIA EKSPERYMENTALNE IDENTYFIKACYJNE Badania dotyczą piany aluminiowej Alporas, produkowanej przez firmę Gleich GmbH w Kaltenkirchen, Niemcy. Stop aluminium Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti ma gęstość =0,22 g/cm 3 i pory zamknięte o średnim rozmiarze 4,0 mm (średnica zastępcza). Dodatek Ca wzmacnia wiskotyczność piany, a dodatek Ti w postaci pudru wodorkowego jest czynnikiem spieniającym. W tabeli 1 zestawiono stałe materiałowe piany Alporas podane w karcie materiałowej producenta [16]. Indeks dolny u dotyczy materiału spienionego w postaci wyjściowej. Tabela 1. Stałe materiałowe piany Alporas w karcie materiałowej producenta [16] wartość jednostka gęstość 0.25 g/cm 3 moduł Younga E u 0.7 GPa moduł ścinania G u 0.3 GPa wytrzymałość na ścinanie R sh 1.2 MPa wytrzymałość na rozciąganie R t 1.6 MPa naprężenie plateau przy ściskaniu 1.5 MPa stała Poissona materiału litego s Badania identyfikacyjne statyczne przeprowadzono na maszynie INSTRON 8802 z prędkością 20 mm/min (prędkość odkształcenia normalnego 6, s -1 ). Wymiary przekrojów próbek prostopadłościennych piany aluminiowej są przyjmowane przez innych badaczy od mm 2 do mm 2 [1-15]. Powszechnie uważa się, że efekt skali jest wyeliminowany, jeśli wymiar próbki jest większy od 7d, gdzie d średni rozmiar porów. Próba ściskania jednokierunkowego statycznego została przeprowadzona dla dwóch wariantów wymiarów próbek: mm 3, mm 3 (ściskanie w kierunku trzeciego wymiaru, odpowiadającego kierunkowi grubości arkusza piany). Na rys. 1 przedstawiono przebiegi - (naprężenie inżynierskie normalne ściskające odkształcenie inżynierskie normalne ściskające) dla próbek poddanych testom ściskania do wartości 80% odkształcenia próbki prostopadłościennej. W rozpatrywanym zakresie odkształceń efekt Poissona jest bardzo mały, stąd nie ma konieczności eliminacji sił tarcia na styku próbki z płytami ściskającymi. Rozrzut wykresów pokazanych na rys. 1 jest mały. Na podstawie tych wykresów można wyznaczyć początkowy moduł Younga materiału spienionego (z pominięciem próbek nr 2 i 4), naprężenia plateau, odkształcenie zagęszczenia oraz odkształcenie odpowiadające pełnemu sprasowaniu piany. Uplastycznienie piany nie przebiega równomiernie w całej objętości próbki; zamykają się kolejne warstwy porów, rozmieszczone losowo. Naprężenia plateau, reprezentujące dyssypację (absorpcję) energii przy ściskaniu jednoosiowym, zostały zdefiniowane w pracy [17], zgodnie z poniższymi wzorami: - efektywność dyssypacji energii: (1)

5 BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS warunek określający odkształcenie zagęszczenia: - naprężenie plateau: (2) (3) gdzie: naprężenie normalne odpowiadające bieżącemu odkształceniu normalnemu materiału homogenizowanego, odkształcenie zagęszczenia. Wartość naprężenia plateau można oszacować jako średnie naprężenie w przedziale 5-30% odkształcenia normalnego, a odkształcenie zagęszczenia odpowiada w przybliżeniu podwójnej wartości naprężenia plateau [6, 18]. Odkształcenie objętościowe inżynierskie odpowiadające pełnemu sprasowaniu piany może być oszacowane ze wzoru [10] (4) gdzie: gęstość początkowa piany, gęstość materiału litego. 10 s [MPa] s_01 s_02 s_03 s_04 s_05 s_ ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Rys. 1. Przebiegi - próby ściskania jednokierunkowego próbek mm 2 piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) Próbę rozciągania jednokierunkowego statycznego przeprowadzono na 6 próbkach przedstawionych na rys. 2. Są to próbki wiosełkowe o przekroju poprzecznym mm 2 w części pomiarowej. Powierzchnie wiosełek mocowanych w uchwytach maszyny wytrzymałościowej wzmocniono żywicą epoksydową. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi - odpowiadające 4 próbkom (dwie próby uznano za nieudane). Rozrzut wykresów pokazanych na rys. 3 jest większy niż w próbie ściskania jednokierunkowego. Materiał po homogenizacji (w skali makro) zachowuje się w sposób nieliniowo sprężysto kruchy. Na podstawie wykresu średniego można wyznaczyć początkowy moduł Younga przy rozciąganiu jednokierunkowym oraz oszacować wytrzymałość na rozciąganie. Oszacowanie odkształceń normalnych rozciągających niszczących nie jest możliwe w ramach modelu continuum jednorodnego. Uplastycznieniu ulega najsłabsza warstwa porów, quasi-prostopadła do osi próbki, której odkształcenia e [-]

6 102 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI normalne w kierunku osi próbki narastają gwałtownie aż do zerwania próbki. Odkształcenie inżynierskie normalne rozciągające jest obliczane na podstawie przesunięcia trawersy w odniesieniu do długości pomiarowej 150 mm, a więc jest wielokrotnie mniejsze od rzeczywistego odkształcenia normalnego rozciągającego niszczącego. Rys. 2. Kształt i wymiary geometryczne próbek o przekroju mm 2 piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ), poddanych rozciąganiu jednokierunkowemu (w kierunku odlewania) 1,8 1,5 s [MPa] 1,2 0,9 s_01 s_02 s_03 s_06 0,6 0, ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Rys. 3. Przebiegi - próby rozciągania jednokierunkowego czterech próbek wiosełkowych o przekroju poprzecznym mm 2 piany Alporas ( =0,22 g/cm 3 ) Celowe są dalsze badania udokładniające wyniki próby rozciągania, np. poprzez przeprowadzenie ich na próbkach sześciennych mm 3 przyklejonych do płyt oprzyrządowania próby, podobnie jak w pracach [10,11]. Próbę ścinania statycznego piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) przeprowadzono według normy [19] na 5 próbkach. Podczas próby materiał próbki nie jest w stanie czystego ścinania, jednak zastosowana długość próbki powoduje minimalizację wpływu naprężeń normalnych. Próbki mają wymiary mm i są przyklejone cienką warstwą żywicy epoksydowej do stalowych płyt obciążających (rys. 4). Podczas próby rejestrowano przemieszczenie oraz siłę obciążającą. Naprężenie styczne, odkształcenie styczne i moduł ścinania obliczono ze wzorów klasycznej wytrzymałości materiałów [19]: e [-]

7 t [MPa] BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 103 (5) gdzie: τ naprężenie styczne [MPa], P obciążenie [N], L długość próbki [mm], b szerokość próbki [mm], odkształcenie postaciowe, przemieszczenie płyty ruchomej [mm], grubość próbki [mm], moduł ścinania [MPa], przyrost siły odpowiadający początkowej quasi-liniowej części wykresu [N], przyrost przemieszczenia płyty ruchomej odpowiadający początkowej quasi-liniowej części wykresu [mm]. Wytrzymałość na ścinanie R sh obliczono jako średnią z maksymalnych naprężeń stycznych. Moduł ścinania wyznaczono metodą regresji liniowej. Rys. 4. Próbka piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) do testu ścinania według normy [19] 1,75 1,5 1,25 spacimen_3 spacimen_4 spacimen_5 1 0,75 0,5 0, ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 Rys. 5. Przebiegi dla trzech prób ścinania piany Alporas ( =0,22 g/cm 3 ) według [19] Na rys. 5 pokazano przebiegi dla trzech próbek (dwie próby uznano za nieudane). W przypadku próbek Nr 3 i 4 widoczny jest początkowy luz oprzyrządowania. Na krawędziach poprzecznych próbek Nr 3 i 5 (wymiar b) wystąpił efekt karbu. W chwili osiągnięcia maksymalnego naprężenia stycznego inżynierskiego próbki te zaczęły odrywać się od płyt stalowych. Piana Alporas w próbie ścinania zachowuje się jak materiał nieliniowo sprężysto plastyczny. Celowe są dalsze badania udokładniające wyniki próby ścinania, np. poprzez zastosowanie mocniejszego kleju i dodatkowe wzmocnienie linii karbu. Stałe materiałowe wyznaczone z opisanych prób wytrzymałościowych zestawiono w tabeli 2. W nawiasach podano odchylenia standardowe. Symbolem t oznaczono odkształcenie normalne inżynierskie niszczące przy rozciąganiu (zerwanie próbki). g [-]

8 104 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI Tabela 2. Stale materiałowe piany Alporas ( =0.22 g/cm3) wyznaczone z badań własnych Wymiarypróbki [mm] [GPa] [GPa] [MPa] [MPa] [MPa] [-] (0.024) (0.05) (0.017) (0.03) (0.003) 1.28 (0.33) (0.03) (0.006) Na podstawie przeprowadzonych badań eksperymentalnych identyfikacyjnych oraz wyników zestawionych w tabeli 2 sformułowano następujące wnioski dotyczące piany aluminiowej Alporas o gęstości =0.22 g/cm 3 (gęstość względna 0.08): 1) Zgodnie z literaturą, stałe materiałowe silnie zależą od gęstości piany. Wartości dwóch pierwszych stałych okazały się jednak znacznie niższe od wartości katalogowych zawartych w tabeli 1. 2) W przypadku próby ściskania, efekt skali jest również mierzalny w przedziale b= mm, gdzie b jest wymiarem poprzecznym przekroju próbki. Świadczy to o pewnym niewielkim efekcie Poissona również w strefie quasi-liniowej sprężystej. 3) Moduł Younga do symulacji można przyjąć jako wartość średnią dla próbek o wymiarach mm 3 i mm 3, tzn GPa. Aby uwzględnić w przybliżeniu nieliniowość (mikrouplastycznienia) również w strefie pierwszej, należy przyjąć sieczny, a nie styczny moduł Younga na poziomie GPa. 4) Wyniki w zakresie stałych mogą być wyznaczone dokładniej poprzez odpowiednie modyfikacje prób rozciągania jednokierunkowego i ścinania, opisane przy omawianiu wyników tych prób. 5) Stałem materiałowe piany Alporas o gęstości =0.22 g/cm 3 charakteryzują się pewnym rozrzutem wartości, który powinien być uwzględniony w symulacjach elementów złożonych (próbki z ostrymi nacięciami, wciskanie indentera). Można to uzyskać, symulując metodą Monte Carlo losowe fluktuacje gęstości piany wokół wartości średniej. 3. BADANIA EKSPERYMENTALNE WALIDACYJNE Próba walidacyjna ściskania jednokierunkowego statycznego pod kątem 20 do osi próbki z piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) została przeprowadzona na próbkach sześciennych mm 3, z wykorzystaniem specjalnych głowic kątowych. Próbki zabezpieczono przed przesuwem poprzecznym (poślizgiem) za pomocą występów w stalowych płytach głowic. Na rys. 6 pokazano zdjęcia, w wybranych położeniach trawersy, z testu odpowiadającego próbce nr 1. Można wykazać, że inżynierskie odkształcenie kątowe w płaszczyźnie pionowej, obliczone na podstawie ilorazu przemieszczenia poprzecznego próbki do aktualnej długości próbki, wynosi (6) gdzie:, przemieszczenie pionowe trawersy, długość próbki (mierzona prostopadle do powierzchni głowic) w czasie eksperymentu.

9 BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 105 Na rys. 7 przedstawiono wykresy F-s (pionowa siła ściskająca pionowe przemieszczenie trawersy) dla 5 próbek. Widoczna jest dobra zgodność jakościowa i ilościowa wykresów dla poszczególnych próbek. próbka nieodkształcona początek strefy plateau = 0.2 rad = 0.4 rad = 0.6 rad = 0.8 rad Rys. 6. Kolejne etapy próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20 do osi próbki mm 3, wykonanej z piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) 4. OPIS MODELU MATERIAŁOWEGO Do modelowania numerycznego testu walidacyjnego wybrano model materiałowy MAT_026 (MAT_HONEYCOMB), zaimplementowany w systemie LS-Dyna, dostosowany m.in. modelowania do materiałów spienionych [20,21]. Powierzchnia płynięcia, umocnienie odkształceniowe (ewolucja przy powierzchni płynięcia) oraz płynięcie odkształceń plastycznych opisują następujące równania [10,20,21]: (7) gdzie: składowe naprężeń Cauchy ego, krzywe naprężenie-odkształcenie w stanach jednoosiowych/ jednopłaszczyznowych, naprężenia plateau w stanach jednoosiowych / jednopłaszczyznowych, funkcje umocnienia w stanach jednoosiowych / jednopłaszczyznowych, odkształcenie objętościowe inżynierskie,

10 F [kn] 106 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI funkcje płynięcia, potencjał płynięcia s_01 s_02 s_03 s_04 s_ s [mm] Rys. 7. Wykresy F-s (siła czynna pionowa przemieszczenie pionowe trawersy) dotyczące próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20 do osi próbki sześciennej mm 3, wykonanej z piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) Piana, ogólnie ortotropowa, jest opisana w układzie xyz przez 6 niezależnych kryteriów plastyczności (7) 1. Umocnienie (7) 2 jest tylko funkcją odkształcenia objętościowego inżynierskiego. Zgodnie ze wzorami (7) 3 rozwój odkształceń plastycznych następuje tylko w kierunku / płaszczyźnie przyłożonego naprężenia. Model MAT_026 wymaga deklaracji krzywych ściskania w kierunkach x,y,z oraz krzywych ścinania w płaszczyznach xy, xz, yz, w funkcji odkształcenia objętościowego inżynierskiego. W deklaracji krzywych dokonuje się ekstrapolacji w tył wykresu plateau aż do. Krzywe ścinania w funkcji odkształcenia objętościowego nie zostały zinterpretowane w podręcznikach [20,21]. Domyślnie krzywa ścinania materiału izotropowego w skali makro jest równa krzywej ściskania jednokierunkowego. W przypadku piany izotropowej model MAT_026 wymaga deklaracji m.in. następujących krzywych i parametrów: krzywa ściskania jednokierunkowego w funkcji, krzywa ścinania jednopłaszczyznowego w funkcji, moduł Younga i moduł ścinania materiału spienionego (wartości początkowe), moduł Younga, stała Poissona, granica plastyczności materiału litego. W strefie plateau oraz w strefie zagęszczenia moduły E, G zmieniają się liniowo w funkcji. 5. MODELOWANIE NUMERYCZNE PRÓBY WALIDACYJNEJ Modelowanie numeryczne próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20 do osi próbki wykonanej z piany Alporas o gęstości względnej 0.08 przeprowadzono, używając solveraexplicit LS-Dyna v971 i modelu materiałowego MAT_026. W modelowaniu wykorzystano średni przebieg krzywej ściskania jednokierunkowego F-s wzdłuż osi próbki, pokazany na rys. 8. Krzywą deklaruje się za pomocą zbioru punktów wykresu, przy

11 F [kn] BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 107 czym zgodnie z opisem krzywej w [21] odcinek krzywoliniowy w przedziale s=0 2.5 mm zastępuje się ekstrapolacją wstecz krzywoliniowego wykresu w strefie plateau. W wyniku otrzymuje się krzywą o rzędnych zestawionych w tabeli 3. Wartości parametrów modelu MAT_026, przyjęte w symulacji, zestawiono w tabeli 4. Indeksy u,s oznaczają odpowiednio konfigurację początkową i skompresowaną s [mm] Rys. 8. Średni przebieg F-s próby ściskania jednokierunkowego próbek mm 3, wykonanych z piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ) Tabela 3. Współrzędne punktów deklarujących wykresy Nr punktu s [mm] F [kn] [-] [MPa]

12 108 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI Tabela 4. Wartości parametrów modelu MAT_026 [21] LS- Dyna Stałamateriałowa Wartośćdomyślna Wartość zadeklarowana Jednostka RO g/cm 3 E E s GPa PR s SIGY MPa VF V s MU EAAU EBBU E u GPa ECCU GAAU GBBU G u GPa GCCU TSEF 0 - SSEF g sh 0 - Stałe materiału litego (moduł Younga E s, stała Poissona s i granica plastyczności ) przyjęto na podstawie pracy [7], przy czym wartość jest wartością średnią. Objętość względną przy pełnym skompresowaniu V s przyjęto równą gęstości względnej na podstawie wzoru (4). Stała jest współczynnikiem lepkości piany (wartość defaultowa). Stałe g sh są odkształceniami normalnym i stycznym, którym odpowiada zniszczenie i erozja piany. Parametry te przyjęto o wartości defaultowej 0, eliminującej zniszczenie i erozję, które w przeprowadzonej eksperymentalnej próbie walidacyjnej nie występują. Erozję zbyt silnie zdeformowanych elementów skończonych można zadeklarować przy pomocy opcji MAT_ADD_EROSION [21]. W rozpatrywanym teście walidacyjnym tak duże deformacje również nie występują. Symulację próby walidacyjnej przeprowadzono na modelu numerycznym pokazanym na rys. 9. Model ten ma 8000 elementów sześciościennych typu solid, o 24 stopniach swobody (ELFORM 1), z jednym punktem całkowania. Zastosowano kontrolę Hurglass typu 2. Zastosowano podpory sztywne typu RIGIDWALL_PLANAR oraz wymuszenie kinematyczne quasi-statyczne (RIGIDWALL_ GEOMETRIC_FLAT_MOTION). Dolna powierzchnia sztywna (kolor czerwony) jest nieruchoma w czasie trwania procesu. Górna powierzchnia sztywna (kolor zielony) przemieszcza się w kierunku z globalnego układu współrzędnych z prędkością narastającą w czasie według wzoru [11] gdzie: T czas trwania procesu wymuszenia kinematycznego (40 ms), maksymalne przemieszczenie pionowe trawersy (40 mm). Wymuszenie kinematyczne prędkością według wzoru (8) gwarantuje eliminację impulsu początkowego i zachowanie quasi-statyczne próbki w czasie ruchu trawersy mm. Współczynnik tarcia Coulomba między spienionym aluminium a płytami sztywnymi oszacowano na poziomie 0.8. Siła nacisku pionowego płyty sztywnej jest obliczana jako suma odpowiednich sił węzłowych. Czas CPU jednego testu wynosił w przybliżeniu 1 godzinę. Kalibracja modelu numerycznego polegała na testowaniu wartości współczynnika proporcjonalności wykresu do. Wyniki kalibracji pokazano na rys. 10. (8)

13 F [kn] BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 109 Wykalibrowana wartość wynosi. Porównanie pod względem ilościowym i jakościowym wybranych stanów deformacji próbki, uzyskanych z symulacji i eksperymentu, pokazano na rys. 11, 12. Widoczna jest dobra zgodność wyników symulacji z eksperymentem. Dodatkowo testowano wartość defaultową, dla której otrzymano znaczne odchylenie (do góry) wykresu F-s od wykresów eksperymentalnych oraz stany deformacji próbki znacznie odbiegające od wyników eksperymentalnych pokazanych na rys. 6. Rys 9. Model numeryczny próbki sześciennej piany Alporas mm experiment Rs=0,2 Rs=0,35 Rs=0, s [mm] Rys 10. Wykresy numeryczne F-s dla wybranych wartości współczynnika wyników eksperymentalnych (próbki nr 1,2,3,5), na tle

14 F [kn] F [kn] 110 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI 16 s=28,8 mm experiment FEM s [mm] Rys. 11. Symulacja próby ściskania jednoosiowego pod kątem 20 do osi próbki z piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ). Położenie odpowiadające odkształceniu postaciowemu inżynierskiemu 0.6 rad. Porównanie stanu deformacji próbki z symulacji i eksperymentu 16 s=38,8 mm experiment FEM s [mm] Rys. 12. Symulacja próby ściskania jednoosiowego pod kątem 20 do osi próbki z piany Alporas ( =0.22 g/cm 3 ). Położenie odpowiadające odkształceniu postaciowemu inżynierskiemu 0.8 rad. Porównanie stanu deformacji próbki z symulacji i eksperymentu Na podstawie przeprowadzonych symulacji sformułowano następujące wnioski: 1) Model MAT_026, zaimplementowany w systemie LS-Dyna, jest adekwatny do modelowania piany aluminiowe Alporas w przypadku struktur pianowych z dominującym ściskaniem i ścinaniem. Model tej jest przydatny np. w symulacjach struktur energochłonnych z warstwą piany Alporas. 2) Wykalibrowano wartość współczynnika proporcjonalności wykresu do wykresu, dla której wykres numeryczny F-s jest zgodny jakościowo i ilościowo ze średnim wykresem eksperymentalnym. 3) Uzyskano dobrą zgodność stanów deformacji próbki z symulacji i eksperymentu w całym przedziale zmienności przemieszczenia pionowego trawersy.

15 BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS PODSUMOWANIE W pracy rozwinięto modelowanie numeryczne pian aluminiowych o porach zamkniętych jako izotropowego continuum jednorodnego. Badania eksperymentalne i numeryczne odnoszą się do piany aluminiowej Alporas o gęstości =0.22 g/cm 3 (gęstość względna 0.08). Przeprowadzono badania eksperymentalne identyfikacyjne w zakresie próby ściskania jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego i ścinania jednopłaszczyznowego. Utworzono bazę danych potrzebnych do zadeklarowania parametrów i wykresów dla modelu materiałowego piany MAT_026 zaimplementowanego w systemie LS-Dyna. Stałe materiałowe materiału litego odpowiadającego badanej pianie aluminiowej zaczerpnięto z literatury. Wskazano na potencjalne możliwości modyfikacji prób identyfikacyjnych w kierunku uściślenia wyników badań. Zaproponowano próbę eksperymentalną walidacyjną w formie ściskania jednokierunkowego pod kątem 20 do osi pionowej próbki pianowej sześciennej mm 3. W trakcie próby występuje ściskanie, ścinanie i zginanie próbki. W procesie walidacji bada się zgodność ilościową i jakościową wykresów F-s (siła ściskające pionowa przemieszczenie pionowe trawersy) oraz stanów deformacji próbki, z symulacji i eksperymentu. Przeprowadzono modelowanie numeryczne i symulację próby walidacyjnej w systemie LS-Dyna z zastosowaniem modelu materiałowego MAT_26. Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności wykresu do wykresu, dla której zgodność jakościowa i ilościowa wyników symulacji z eksperymentem jest najlepsza. Interpretacja fizyczna wykresu pozostaje nadal otwarta. LITERATURA 1. Gibson L.J. et al.: Failure surfaces for cellular materials under multiaxial loads I: Modeling. International Journal of Mechanical Sciences 1989, 31(9), p Gibson L.J., Ashby M.F.: Cellular solids, structures and properties. Cambridge: University Press, Andrews E. et al.: Compressive and tensile behaviour of aluminum foams. Materials Science and Engineering 1999, A270, p Shen J. et al.: Compressive behaviour of closed-cell aluminum foams at high strain rates. Composites: Part B, 2010, 41, p Miller R.E.: A continuum plasticity model for the constitutive and indentation behaviour of foamed metals. Int. J. Mechanical Sciences 2000, 42, p Olurin O.B. et al.: Deformation and fracture of aluminum foams. Materials Science and Engineering 2000, A291, p Onck P.R.: Application of a continuum constitutive model to metallic foam DENspecimens in compression. Int. J. Mechanical Sciences 2001, 43, p Deshpande V.S., Fleck N.A.: Isotropic constitutive models for metallic foams. J. Mechanics and Physics of Solids 2000, 48, p Motz C., Pippan R.: Deformation behavior of closed-cell aluminium foams in tension. Acta Mater. 2001, 49, p Hanssen A.G. et al.: Validation of constitutive models applicableto aluminium foams, Int. J. Mechanical Sciences 2002, 44, p A. Reyes et al.: Constitutive modeling of aluminum foam including fracture and statistical variation of density. European Journal of Mechanics A/Solids 2003, 22, p

16 112 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI 12. Blazy J.S. et al.: Deformation and fracture of aluminium foams under proportional and non proportional multi-axial loading: statistical analysis and size effect. Int. J. Mechanical Sciences 2004, 46, p Aly M.S.: Behavior of closed cell aluminium foams upon compressive testing at elevated temperatures: Experimental results. Materials Letters,2007, 61, p De Giorgi M. et al.: Aluminum foams structural modelling. Computers and Structures 2010, 88, p Miedzinska D. et al.: Numerical and experimental aluminum foam microstructure testing with the use of computer tomography. Comput. Mater. Sci. 2012, doi: / j.commatsci Li Q.M. et al.: Compressive strain at the onset of the densification of cellular solids. J Cell. Plast. 2006, 42(5), p Raj R.E., Daniel B.S.S.: Customization of closed-cell aluminum foam properties using design of experiments. Materials Science and Engineering 2011, A528, p LS-Dyna.Theoretical manual, compiled by J.O. Hallquist, LSTC, Livermore, CA, USA, LS_DYNA v971/r4 Beta. Keyword User's Manual. LSTC, Livermore, CA, USA, alporas.pdf ALPORAS (karta materiałowa). 21. ASTM C Standard Test Method for Shear Properties of Sandwich Core Materials, EXPERIMENTAL INVESTIGATIONS AND MODELLING OF ALPORAS ALUMINIUM FOAM Summary.The study presents the experimental investigations and numerical modelling of closed-cell aluminium alloy foam (trade name Alporas), with 0.22 g/cm 3 density and structural composition Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. The considerations are under assumption of homogenization and isotropy of the foam material. Three basic strength tests have been conducted, i.e. the unidirectional compressive test, the unidirectional tensile test, the shear test in the plane perpendicular to the foam sheet. The homogenized foam has been described with MAT_26 material model implemented in FE code LS-Dyna. In order to validate experimentally numerical modelling of quasi-static processes in elements made of Alporas foam the unidirectional compressive static test at 20 angle with respect to the specimen axis (simultaneous compression, shear and bending) is proposed. The coefficient expressing proportionality of the shear curve vs. volumetric strain to the compression curve vs. volumetric strain has been determined, at which the simulation and the experiment are in good conformity. Praca wykonana w ramach projektu rozwojowego na rzecz bezpieczeństwa i obronności Nr O R , finansowanego w latach przez NCBiR.