CELE ANALIZY CZYNNIKOWEJ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CELE ANALIZY CZYNNIKOWEJ"

Transkrypt

1 ANALIZA CZYNNIKOWA... stanowi zespół metod i procedur statystycznych pozwalających na badanie wzajemnych relacji między dużą liczbą zmiennych i wykrywanie ukrytych uwarunkowań, ktore wyjaśniają ich występowanie. Pozwala na sprowadzenie dużej liczby badanych zmiennych do znacznie mniejszej liczby wzajemnie niezależnych (nieskorelowanych) czynników. Wyodrębnione czynniki mają inną interpretację merytoryczną jednocześnie zachowując znaczną część informacji zawartych w zmiennych pierwotnych.

2 ANALIZA CZYNNIKOWA Przykład 1. Ocena nowej czekolady za pomocą zestawu 20 pytań, w których badani oceniali wiele jej różnych cech (smak, zapach, konsystencja, kolor, kształt, opakowanie itp.) Wykorzystując analizę czynnikową można sprawdzić, czy możliwe jest wyodrębnienie kilku ogólnych, ukrytych czynników, warunkujących stosunek respondentów do nowego produktu (np. wymiary "łącznej oceny smaku i zapachu" czy wyglądu).

3 ANALIZA CZYNNIKOWA Przykład 2. kwestionariusz dotyczący satysfakcji klientów danej firmy zwykle zawiera wiele pytań dotyczących różnych aspektów działania firmy analizowanie każdego pytania osobno pozwala uzyskać wiele szczegółowych informacji Zastosowanie analizy czynnikowej pozwala zaś na uzyskanie ogólnego, syntetycznego obrazu powodów wpływających na satysfakcję klientów / identyfikujących generalne nastawienie klientów.

4 CELE ANALIZY CZYNNIKOWEJ Redukcja liczby zmiennych bez istotnej straty zawartych w nich informacji Transformacja układu zmiennych w jakościowo nowy układ czynników głównych Tworzenie skal i miar złożonych z kilku pytań Ustalanie wag określających znaczenie, jakie należy przypisać poszczególnym zmiennym i czynnikom w trakcie analiz Ortogonalizacja przestrzeni, w której rozpatrywane są obiekty, będące przedmiotem badań

5 CELE ANALIZY CZYNNIKOWEJ Wykrywanie ukrytych związków między zmiennymi formułowanie i weryfikacja hipotez dotyczących istnienia i charakteru prawidłowości kształtujących związki między zjawiskami Opis zjawisk w kontekście nowych kategorii zdefiniowanych przez czynniki Prezentacja graficzna zbioru obserwacji wielowymiarowych

6 CELE ANALIZY CZYNNIKOWEJ Kiedy stosować? cel eksploracyjny rozpoznanie struktury zbioru danych gdy nie dysponujemy potencjalnym modelem głębokiej struktury czynników wyjaśniających związki między danymi dla zastosowania wykrytych czynników w dalszych analizach wielowymiarowych dla jednoznacznego wyliczenia wartości skal reprezentujących wymiary mierzone przez zestaw zmiennych

7 OGÓLNY PODZIAŁ METOD ANALIZY CZYNNIKOWEJ A. Model "klasyczny" analizy czynnikowej (podział wariancji całkowitej zmiennych na dwie części: wariancję wspólną i wariancję specyficzną) klasyczna analiza czynnikowa analiza kanoniczna B. Model "komponentowy" analizy czynnikowej (nieuwzględnianie struktury wariancji) metoda głównych składowych analiza współzależności

8 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Kroki: 1. wyodrębnienie czynników 2. rotacja czynników w celu łatwiejszej interpretacji Analiza czynnikowa to metoda modelowania liniowego Wymaga danych mierzonych na skali interwałowej, ale mogą być też skale Likerta (min. 5-cio punktowe) Bazuje na korelacji i kowariancji między zmiennymi.

9 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Przedmiot analizy: macierz danych, zawierająca n realizacji m zmiennych: X = [ ] x ij, x ij 0, j i = = 1,2,..., m 1,2,..., n W wyniku standaryzacji wartości zmiennych uzyskujemy zmienne o wartości oczekiwanej równej zero i jednostkowym odchyleniu standardowym: Z =[ z ij ]

10 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Zakładamy, że pomiędzy zmiennymi X j zachodzą związki, których siłę i kierunek określają współczynniki korelacji liniowej Pearsona zawarte w macierzy korelacji: R n 1 1 = ij ip ij... n n [ r ] = Z' Z = z z ( p, j = 1 m) i= 1

11 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ W analizie czynnikowej przyjmuje się, że źródłem wzajemnych zależności między zmiennymi są ukryte wspólne czynniki, które można uznać za nośniki tej samej informacji. Możliwe jest zatem ich wyodrębnienie i zastąpienie nowymi, syntetycznymi zmiennymi. Ale zakładamy też, że nie cała wariancja zmiennych jest powodowana tymi ukrytymi czynnikami każda zmienna pierwotna charakteryzuje się też pewnymi specyficznymi właściwościami.

12 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Podstawą identyfikacji składników wspólnych i specyficznych jest w analizie czynnikowej podział wariancji poszczególnych zmiennych na wariancję wspólną i specyficzną: h j 2 - zasób zmienności wspólnej - część wariancji objaśniona przez czynniki wspólne w j 2 - zasób zmienności swoistej - pozostałość po odjęciu zasobu zmienności wspólnej od wariancji całkowitej

13 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Dalsze założenia: - czynniki wspólne nie są skorelowane ze sobą - czynniki specyficzne również nie są ze sobą skorelowane - czynniki wspólne nie są skorelowane z czynnikami specyficznymi - czynniki wspólne są zestandaryzowane, E(Fj)=0 i Var(Fj)=1

14 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Model analizy czynnikowej można zapisać w postaciw postaci układu równań liniowych: gdzie: Z = AF + BU Z - macierz j standaryzowanych zmiennych pierwotnych A - macierz ładunków czynnikowych czynników wspólnych F - macierz czynników wspólnych B - macierz ładunków czynnikowych czynników specyficznych U - macierz czynników specyficznych

15 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Zatem każda z obserwowalnych zmiennych Z jest funkcją liniową zmiennych nieobserwowalnych (czynników wspólnych) oraz pojedynczej zmiennej specyficznej: k Z = j l =1 a jl F l b j U j gdzie: m - liczba zmiennych pierwotnych k - liczba czynników głównych (wspólnych) Z j - j-ta zmienna standaryzowana (pierwotna) F l - l-ty czynnik wspólny U j - j-ty czynnik swoisty a jl ładunek czynnikowy l-tego czynnika Fl w j-tej zmiennej obserwowalnej

16 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ W celu wyznaczenia współczynników modelu ładunków czynnikowych w kolejnym kroku zastępuje się w macierzy R elementy głównej przekątnej zasobami zmienności wspólnej (usuwamy z równania składnik reprezentujący wariancję specyficzną) ~ R = r~ = r dla i j ij ij r~ = h 2 dla i = j ij j i otrzymujemy tzw. zredukowaną macierz korelacji R

17 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ h j 2 ustala się na poziomie: średniej arytmetycznej najwyższego co do modułu współczynnika korelacji j-tej zmiennej z pozostałymi h 2 j = max [ r ij ], i <> j korelacji przeciętnej h j 2 = m 1 k 1 i= 1 r ij

18 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Zatem podstawowe zadanie analizy czynnikowej sprowadza się do rozwiązania równania: ~ R = T AA ze względu na macierz A, czyli wyznaczenia ładunków czynnikowych składników wspólnych.

19 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Uporządkowane malejąco wartości własne macierzy ~ R λ = l oraz odpowiadające im wektory własne V: V = v ] ( j = 1... m) posłużą do wyznaczenia ładunków czynnikowych l-tego czynnika w zmiennych pierwotnych: a l jl [ λ ] (l = [ jl = λ 1 m [ j = m) v v jl 2 jl ] 1/ 2

20 PROCEDURA ANALIZY CZYNNIKOWEJ Kolejne wartości i wektory własne posłużą do uzyskania ładunków czynnikowych kolejnych czynników. Ładunki te odzwierciedlają korelację pierwotną i l-tym wspólnym czynnikiem. pomiędzy j-tą zmienną Znalezienie tego rozwiązania kończy właściwą analizę czynnikową.

21 ROTACJA CZYNNIKÓW Uzyskana macierz ładunków czynnikowych A nie jest jednym możliwym rozwiązaniem analizy czynnikowej. Poprzez obrót układu wzajemnie ortogonalnych osi - czynników głównych - można wygenerować nieskończenie wiele różnych macierzy ładunków. Dokonanie takiej rotacji pozwala często na takie ustalenie osi, aby odpowiadająca mu macierz ładunków zapewniła możliwie najłatwiejszą interpretację czynników.

22 ROTACJA CZYNNIKÓW Rotacja polega na znalezieniu ortogonalnej macierzy S (macierzy transformacji) spełniającej warunek: A 1 T = S A 0 T gdzie: A 0,A 1 - to wyjściowa i końcowa macierz ładunków,

23 ROTACJA CZYNNIKÓW Elementy macierzy transformacji S określają kąty, o jakie należy obrócić układ osi - czynników wspólnych tak, aby: - zmaksymalizować liczbę ładunków zerowych w każdej kolumnie macierzy czynników - zmaksymalizować korelacje między jak najmniejszą liczbą zmiennych, a każdym wyodrębnionym czynnikiem głównym

24 ROTACJA CZYNNIKÓW Innymi słowy - rotacja polega na sprowadzeniu struktury ładunków czynnikowych do prostej struktury, w której punkty reprezentujące zmienne skupiają się wokół osi czynników. Istotne jest, że wskutek rotacji zasoby zmienności wspólnej hj2 określające udział wszystkich czynników wspólnych w wyjaśnianiu wariancji zmiennej Xj nie ulegają zmianie.

25 ROTACJA CZYNNIKÓW Najczęściej stosuje się procedury rotacji ortogonalnej, z których najbardziej znanymi są varimax i quartimax. VARIMAX upraszcza interpretację czynników (minimalizuje liczbę zmiennych potrzebnych do wyjaśnienia danego czynnika) QUARTIMAX upraszcza interpretację zmiennych (minimalizuje liczbę czynników potrzebnych do wyjaśnienia danej zmiennej).

26 WYZNACZENIE WARTOŚCI CZYNNIKÓW Na koniec najczęściej potrzebny jest sposób wyznaczenia wartości poszczególnych czynników dla kolejnych obserwacji. Obliczanie realizacji czynników wspólnych odbywa się w oparciu o formułę: F = A T Z

27 ILE CZYNNIKÓW? Problemem w stosowaniu analizy czynnikowej jest określenie liczby czynników głównych Najczęściej spotykane techniki określania liczby czynników wspólnych to: a/ metoda "wartości własnej (lambda) większej od jedności" b/ metoda procentu wariancji tłumaczonej przez czynniki główne c/ metoda testu osypiska

28 ILE CZYNNIKÓW? a/ metoda "wartości własnej (lambda) większej od jedności" najczęściej spotykana jej podstawą jest to, że każdy czynnik powinien wyjaśniać zmienność co najmniej jednej zmiennej pierwotnej. Metoda ta powinna być stosowana gdy ilość zmiennych jest większa od 20. Gdy liczba zmiennych jest mniejsza istnieje tendencja wyodrębniania zbyt małej ilości czynników.

29 ILE CZYNNIKÓW? b/ metoda procentu wariancji tłumaczonej przez czynniki główne do ogólnej liczby wybranych czynników zalicza się te czynniki, które w sumie wyjaśniają 75%, 80% lub 90% wariancji, a żaden następny nie tłumaczy więcej niż 5% wariancji.

30 ILE CZYNNIKÓW? c/ metoda testu osypiska polega na sporządzeniu wykresu, na którym na osi poziomej wyznaczana jest ilość czynników a na osi pionowej - uzyskane wartości własne. Podstawowym zadaniem jest znalezienie "punktów załamania", w których rozpoczynają się kolejne "rumowiska" (w tych punktach zmienia się kąt załamania krzywej). Punkty te określają liczbę czynników kwalifikujących się do dalszej analizy. Metoda ta jest nieco bardziej "liberalna" niż metoda >1, pozwala włączyć do dalszej analizy nieco większą liczbę czynników.

31 NAZWY CZYNNIKÓW Nadawanie nazw nowym zmiennym (czynnikom) na bazie ładunków czynnikowych: należy wyodrębnić zmienne o najwyższych ładunkach czynnikowych względem danych czynników i poprzez analizę nazw zmiennych znaleźć wspólne ich odniesienie do danego, głębszego wymiaru

32 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH A n al i za g łó w n y ch sk ł ad o w y ch (ang. principal components analysis) j est m eto d ą tran sf o rm acj i zm i en n y ch p i erw o tn y ch w e w zaj em n i e o rto g o n al n e, n o w e zm i en n e, tzw. główne składowe.

33 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Redukcja wymiaru przestrzeni cech, uporządkowanie ich na podzbiory (główne składowe) jest przydatna głównie ze względu na możliwość zinterpretowania relacji między składowymi, graficznej prezentacji konfiguracji porównywanych zmiennych, a wreszcie uporządkowania tych zmiennych według przyjętych cech.

34 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH W analizie głównych składowych rozwiązywany problem można przedstawić następująco:

35 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Wszystkie zmienne pierwotne są poddane standaryzacji, a to oznacza, że ich wariancje są równe jedności (koła reprezentujące zmienne pierwotne mają jednakową średnicę). Nowa zmienna powinna wyjaśniać maksymalną ilość wariancji zmiennych pierwotnych (jej wariancja jest przedstawiona na rysunku obszarem zacieniowanym). Wariancja tej nowej zmiennej wyjaśniającej pewną ilość zmienność zmiennych pierwotnych jest nazywana jej wartością własną (eigenvalue).

36 PROCEDURA METODY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Przedmiot analizy jak poprzednio: macierz danych, zawierająca n realizacji m zmiennych: X = [ ] x ij, x ij j = 1,2,..., m 0, i = 1,2,..., n W wyniku standaryzacji wartości zmiennych uzyskujemy zmienne o wartości oczekiwanej równej zero i jednostkowym odchyleniu standardowym: Z =[ z ij ]

37 PROCEDURA METODY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Zakładamy, że pomiędzy zmiennymi X j zachodzą związki, których siłę i kierunek określają współczynniki korelacji liniowej Pearsona zawarte w macierzy korelacji: R n 1 1 = ij ip ij... n n [ r ] = Z' Z = z z ( p, j = 1 m) i= 1 Przy czym punkt wyjścia stanowi nieprzekształcona macierz korelacji

38 PROCEDURA METODY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Podstawowe równanie metody głównych składowych można zapisać w postaciw postaci układu równań liniowych: Z T = AG T G = A T Z gdzie: Z - macierz j standaryzowanych zmiennych pierwotnych A - macierz ładunków czynnikowych składowych głównych G - macierz składowych głównych

39 PROCEDURA METODY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Zatem każdy z wyodrębnionych czynników głównych G l jest liniową kombinacją obserwowalnych zmiennych Z: k G = l i=1 m j=1 a i j Z j gdzie: m liczba zmiennych pierwotnych k liczba składowych głównych (wszystkich skłądowych jest tyle ile zmiennych pierwotnych) Z j j-ta zmienna standaryzowana (pierwotna) G l l-ta skłądowa główna a jl ładunki czynnikowe

40 PROCEDURA METODY GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Rozwiązanie polega, podobnie jak poprzednio, na wyznaczeniu ładunków ajl, tak aby składowa główna wyjaśniała maksymalną część wariancji zmiennych pierwotnych. Każda l-ta główna składowa jest liniowa kombinacją zmiennych pierwotnych i wyjaśnia i-tą część całkowitej zmienności.

41 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Pierwsza główna składowa G 1 jest taką kombinacją dla której wariancja próbkowa jest największa i wyraża się wzorem: S 2 G1 = m m i = 1 j = 1 a i1 a j1 S ij i jest największa wśród wszystkich kombinacji liniowych takich, że: a 1 T a1 =1 (warunek jednoznacznego wyznaczenia wektora współczynników).

42 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Druga główną składową można przedstawić w sposób analogiczny. Jest ona kombinacja liniową zmiennych pierwotnych maksymalizującą wariancję przy warunkach: a T 1 a1 =1 oraz a T 1 a2 = 0 Drugi z nich zapewnia ortogonalność powstałych składowych. Konsekwencją tego jest sumowanie się kolejnych wariancji głównych składowych do wariancji całkowitej.

43 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH Znaczenie i użyteczność składowej głównej jest mierzona wielkością wyjaśnianej przez nią całkowitej zmienności. I tak, jeśli w układzie sześciu zmiennych pierwsza składowa wyjaśnia np. 85% zmienności, to znaczy to, że prawie cała zmienność tego układu da się przedstawić na prostej zamiast w sześciu wymiarach.

44 METODA GŁÓWNYCH SKŁADOWYCH W efekcie powstaje nam tyle głównych składowych, ile było początkowo zmiennych (podobnie jak czynników w klasycznej analizie czynnikowej): nadal mamy układ m-wymiarowy. Ale w praktyce ograniczamy się do kilku pierwszych głównych składowych, które wyjaśniają z góry ustaloną część wariancji całkowitej, np. 75%.

45 Własności głównych składowych - są liniową kombinacją obserwowalnych zmiennych - są ortogonalne względem siebie - kolejne składowe wyjaśniają malejącą ilość łącznej wariancji zmiennych - suma wariancji składowych jest równa sumie wariancji zmiennych pierwotnych

46 PCA / FA Obie służą sprowadzaniu informacji zawartych w wielu zmiennych do stosunkowo niewielkiej liczby wyjaśniających je wymiarów. Pomimo że w praktyce wyniki uzyskiwane przy pomocy obu z nich są zbliżone, to nie są to warianty tej samej metody, ale różne metody oparte na odmiennych założeniach.

47 PCA / FA Analiza czynnikowa Analiza głównych składowych Ch. Spearman (1904), L.L. Thurstone (1913) H. Hotteling (1933) Obejmuje pewną część wariancji zmiennych, zwaną wariancją wspólną Obejmuje wariancję całkowitą zmiennych orientacja kowariancyjna: punktem wyjścia orientacja wariancyjna: punktem wyjścia jest jest zredukowana macierz korelacji zwykła macierz korelacji Zmienna pierwotna jest funkcją czynników wspólnych i swoistych Główna składowa jest funkcją zmiennych pierwotnych Celem analizy jest identyfikacja ukrytych zmiennych Czynniki mogą być zarówno niezależne, jak i skorelowane Celem analizy jest uproszczenie struktury danych Główne składowe są zawsze niezależne

ANALIZA CZYNNIKOWA Przykład 1

ANALIZA CZYNNIKOWA Przykład 1 ANALIZA CZYNNIKOWA... stanowi zespół metod i procedur statystycznych pozwalających na badanie wzajemnych relacji między dużą liczbą zmiennych i wykrywanie ukrytych uwarunkowań, ktore wyjaśniają ich występowanie.

Bardziej szczegółowo

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Kolejna z analiz wielozmiennowych Jej celem jest eksploracja danych, poszukiwanie pewnych struktur, które mogą utworzyć wskaźniki

Kolejna z analiz wielozmiennowych Jej celem jest eksploracja danych, poszukiwanie pewnych struktur, które mogą utworzyć wskaźniki Analiza czynnikowa Kolejna z analiz wielozmiennowych Jej celem jest eksploracja danych, poszukiwanie pewnych struktur, które mogą utworzyć wskaźniki Budowa wskaźnika Indeks był banalny I miał wady: o Czy

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki wielowymiarowej

Elementy statystyki wielowymiarowej Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych

Bardziej szczegółowo

Analiza składowych głównych idea

Analiza składowych głównych idea Analiza składowych głównych idea Analiza składowych głównych jest najczęściej używanym narzędziem eksploracyjnej analizy danych. Na metodę tę można spojrzeć jak na pewną technikę redukcji wymiarowości

Bardziej szczegółowo

Stosowana Analiza Regresji

Stosowana Analiza Regresji Stosowana Analiza Regresji Wykład VIII 30 Listopada 2011 1 / 18 gdzie: X : n p Q : n n R : n p Zał.: n p. X = QR, - macierz eksperymentu, - ortogonalna, - ma zera poniżej głównej diagonali. [ R1 X = Q

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Za pomocą analizy rzetelności skali i wspólczynnika Alfa- Cronbacha ustalić, czy pytania ankiety stanowią jednorodny zbiór.

Zadanie 1. Za pomocą analizy rzetelności skali i wspólczynnika Alfa- Cronbacha ustalić, czy pytania ankiety stanowią jednorodny zbiór. L a b o r a t o r i u m S P S S S t r o n a 1 W zbiorze Pytania zamieszczono odpowiedzi 25 opiekunów dzieci w wieku 8. lat na następujące pytania 1 : P1. Dziecko nie reaguje na bieżące uwagi opiekuna gdy

Bardziej szczegółowo

10. Redukcja wymiaru - metoda PCA

10. Redukcja wymiaru - metoda PCA Algorytmy rozpoznawania obrazów 10. Redukcja wymiaru - metoda PCA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. PCA Analiza składowych głównych: w skrócie nazywana PCA (od ang. Principle Component

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej: Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych. Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna

Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych. Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna 1 Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna Spis treści Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Wstęp teoretyczny.... 2 Przykład... 2 Podstawowe pojęcia... 2 Założenia analizy

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Analiza czynnikowa Analiza głównych składowych

Analiza czynnikowa Analiza głównych składowych Analiza czynnikowa Analiza głównych składowych Wielowymiarowa Analiza Danych z wykorzystaniem pakietu SPSS Joanna Ciecieląg, Marek Pęczkowski WNE UW Wskazniki Metryczne Kategorialne Modelowanie strukturalne

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA. dr inż. Aleksander Astel

ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA. dr inż. Aleksander Astel ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA dr inż. Aleksander Astel Gdańsk, 22.12.2004 CHEMOMETRIA dziedzina nauki i techniki zajmująca się wydobywaniem użytecznej informacji z wielowymiarowych

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów: Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Analiza CONJOINT mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu w schematach

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Współczynniki korelacji czastkowej i wielorakiej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017

Współczynniki korelacji czastkowej i wielorakiej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017 STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Regresja krzywoliniowa 2 Model potęgowy Model potęgowy y = αx β e można sprowadzić poprzez zlogarytmowanie obu stron równania

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych Statystyka Opisowa analiza zjawisk masowych Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x i ) odpowiadających im

Bardziej szczegółowo

10. Podstawowe wskaźniki psychometryczne

10. Podstawowe wskaźniki psychometryczne 10. Podstawowe wskaźniki psychometryczne q analiza własności pozycji testowych q metody szacowania mocy dyskryminacyjnej q stronniczość pozycji testowych q własności pozycji testowych a kształt rozkładu

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje Metodologia badań psychologicznych Lucyna Golińska SPOŁECZNA AKADEMIA NAUK Wykład 12. Korelacje Korelacja Korelacja występuje wtedy gdy dwie różne miary dotyczące tych samych osób, zdarzeń lub obiektów

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa Analiza Korespondencji. Wielowymiarowa Analiza Danych z wykorzystaniem pakietu SPSS. Joanna Ciecieląg, Marek Pęczkowski WNE UW

Wielowymiarowa Analiza Korespondencji. Wielowymiarowa Analiza Danych z wykorzystaniem pakietu SPSS. Joanna Ciecieląg, Marek Pęczkowski WNE UW Wielowymiarowa Analiza Korespondencji Wielowymiarowa Analiza Danych z wykorzystaniem pakietu SPSS Joanna Ciecieląg, Marek Pęczkowski WNE UW ANALIZA KORESPONDENCJI opisowa i eksploracyjna technika analizy

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Hierarchiczna analiza skupień

Hierarchiczna analiza skupień Hierarchiczna analiza skupień Cel analizy Analiza skupień ma na celu wykrycie w zbiorze obserwacji klastrów, czyli rozłącznych podzbiorów obserwacji, wewnątrz których obserwacje są sobie w jakimś określonym

Bardziej szczegółowo

Szukanie struktury skali mierzącej problematyczne zachowania finansowe.

Szukanie struktury skali mierzącej problematyczne zachowania finansowe. Szukanie struktury skali mierzącej problematyczne zachowania finansowe. Celem poniższej analizy było stworzenie skali mierzącej problematyczne zachowania finansowej. Takie zachowania zdefiniowano jako

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Korelacja i regresja Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/30 Ostrożnie z interpretacją p wartości p wartości zależą od dwóch rzeczy

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności zjawisk Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.

Bardziej szczegółowo

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji - weryfikacja założeń

Analiza regresji - weryfikacja założeń Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska

Agnieszka Nowak Brzezińska Agnieszka Nowak Brzezińska jeden z algorytmów regresji nieparametrycznej używanych w statystyce do prognozowania wartości pewnej zmiennej losowej. Może również byd używany do klasyfikacji. - Założenia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 9 Analiza skupień wielowymiarowa klasyfikacja obiektów Metoda, a właściwie to zbiór metod pozwalających na grupowanie obiektów pod względem wielu cech jednocześnie.

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa SYLABUS A. Informacje ogólne

Statystyka opisowa SYLABUS A. Informacje ogólne Statystyka opisowa SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod Język Rodzaj Rok

Bardziej szczegółowo

Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji

Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji Analiza składników podstawowych - wprowadzenie (Principal Components Analysis

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WIELOPOZIOMOWA JAKO NARZĘDZIE WSPARCIA POLITYK PUBLICZNYCH

ANALIZA WIELOPOZIOMOWA JAKO NARZĘDZIE WSPARCIA POLITYK PUBLICZNYCH ANALIZA WIELOPOZIOMOWA JAKO NARZĘDZIE WSPARCIA POLITYK PUBLICZNYCH - Adrian Gorgosz - Paulina Tupalska ANALIZA WIELOPOZIOMOWA (AW) Multilevel Analysis Obecna od lat 80. Popularna i coraz częściej stosowana

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza

ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ Joanna Bryndza Wprowadzenie Jednym z kluczowych problemów w szacowaniu poziomu ryzyka przedsięwzięcia informatycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o

Bardziej szczegółowo

Statystyka SYLABUS A. Informacje ogólne

Statystyka SYLABUS A. Informacje ogólne Statystyka SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod Język Rodzaj Dziedzina

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Regresja i Korelacja

Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja W przyrodzie często obserwujemy związek między kilkoma cechami, np.: drzewa grubsze są z reguły wyższe, drewno iglaste o węższych słojach ma większą gęstość, impregnowane

Bardziej szczegółowo

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ Korelacja oznacza fakt współzależności zmiennych, czyli istnienie powiązania pomiędzy nimi. Siłę i kierunek powiązania określa się za pomocą współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD?

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD? EWD co to jest? Metoda EWD to zestaw technik statystycznych pozwalających oszacować wkład szkoły w końcowe wyniki egzaminacyjne. Wkład ten nazywamy właśnie edukacyjną wartością dodaną. EWD jest egzaminacyjnym

Bardziej szczegółowo