Część całości, czyli krótka historia ułamka

Transkrypt

1 Część całości, czyli krótka historia ułamka Historia liczenia i liczb jest prawie tak stara jak ludzkość. Poznawano i wprowadzano coraz to nowe i dokładniejsze sposoby poprawiając precyzję liczenia. Działania na ułamkach uważano dawniej za najtrudniejszy dział arytmetyki. Omawiano początkowo tylko ułamki właściwe, których licznik jest mniejszy od mianownika. Określano je zgodnie z nazwą ułamek jako część całości. Na przykład: 5 tarczy kołowej jest taką jej częścią, którą otrzymamy dzieląc ją na 5 równych części i biorąc z nich następnie części. Do ułamków więc, prowadzi dzielenie : =. Po wprowadzeniu ułamków dzielenie liczb całkowitych (z wyjątkiem dzielenia przez 0) staje się dzieleniem zawsze wykonalnym. Czy taki był historyczny rozwój ułamków? Okazuje się, że nie. U Egipcjan rozwój pojęcia ułamka szedł w innym kierunku. W papirusach stwierdzamy, że poza ułamkiem i występują tylko ułamki o liczniku. Nazywamy je ułamkami prostymi. Inne ułamki starali się Egipcjanie przedstawić w postaci sumy samych, różnych ułamków prostych. = + +, = +, = +, Godny uwagi jest fakt, że w teorii liczb udowadnia się twierdzenie o możliwości rozkładu każdego dodatniego ułamka na sumę skończonej liczby różnych ułamków prostych. Drugą charakterystyczną cechą ułamków egipskich jest niejednolity sposób ich zapisywania. 0

2 Symbole ułamków,,, są zbudowane zupełnie nieregularnie. Dopiero od można zauważyć pewną prawidłowość; - oznacza część całości, potem dodajemy mianownik np Indywidualne znaki dla ułamków o małych mianownikach spotyka się również u Babilończyków, Greków i Rzymian. U Greków -, - γ, - δ. W żadnym języku słowo ułamek nie ma nic wspólnego ze słowem dwa. W rozmaitych językach brzmi to: w języku polskim połowa, w rosyjskim połowina, łacińskim semis, niemieckim halb. Ułamki w swoim rozwoju historycznym nie powstały przez dzielenie liczb całkowitych tak, jak to robimy obecnie ze względów metodycznych w szkole podstawowej. Świadczy o tym różnorodność nazw i znaków dla ułamków o małych mianownikach. Nawet w późniejszym okresie dzielenie liczb całkowitych nie prowadziło do ułamków. W dzienniku arabskim z XII wieku n.e. znajdujemy przykład dzielenia na równe części; 00 funtów jakiegoś towaru należy podzielić pomiędzy osób. Każdy otrzymuje 9 funtów, pozostały funt wymienia się na 9 jaj, każdy otrzymuje 8, a pozostałe jaja autor proponuje dać dodatkowo temu, który dzielił, albo wymienić na sól do jaj. W tym sposobie dzielenia nie uwzględnia się ułamków, tylko doprowadza do małych reszt. Podstawą powstawania naszych ułamków jest rozwijający się od najdawniejszych czasów proces mierzenia. Początkowo mierzono na oko. Jednakże handel wymienny wymagał większej dokładności w mierzeniu. I tak powstały jednostki miary takie jak: długość stopy, szerokość dłoni, odległość od łokcia do końca wyciągniętego palca średniego. Początkowo mierzenie polegało tylko na wyznaczaniu ile razy dana jednostka mieści się w mierzonym przedmiocie, przy czym nie brano pod uwagę pozostałej reszty. W miarę upływu czasu wzrastała potrzeba dokładniejszego mierzenia. Dzielono więc na połowy, czasem na trzy równe części, czasem na. W ten sposób powstały pierwsze ułamki.

3 Były one jednak tylko konkretnymi częściami konkretnych wielkości. Ułamki, nie mają u Babilończyków znaczenia absolutnego. Odpowiadały one wielkościom pewnych konkretnych naczyń (przeważnie glinianych). Podobnie kształtował się rozwój ułamków w Egipcie. Pierwszym ułamkiem w rozwoju historycznym, był ułamek, potem, 8, dopiero później dokonano podziału na części. Rzymianie budowali ułamki na postawie swojego systemu pieniężnego. Jednostką był ars dzielący się na uncji, na przykład 7 uncji drogi to 7 drogi. Na podstawie tych rozważań można wyróżnić trzy drogi rozwojowe ułamka:. ułamek oznaczał konkretną część pewnej obranej jednostki, np. część objętości ściśle określonego naczynia, co nie było możliwe do zastosowania w stosunku do powierzchni pola.. przenoszenie symbolu ułamka z jednych wielkości na drugie, jak u Rzymian.. przejście od ułamków pewnej określonej wielkości czyli ułamków mianowanych do ułamków niemianowanych, czyli abstrakcyjnych. Przejście od ułamków prostych tj. o liczniku równym do ułamków o dowolnych licznikach odbywało się również stopniowo. Matematyk Heron z Aleksandrii (I II wiek n. e.) wprowadził ułamki dowolne; podawano symbol liczbowy licznika z przecinkiem z prawej strony u góry, a następnie dwukrotnie powtarzano symbol liczbowy mianownika z dwoma przecinkami = β ε ε 5 Matematyk grecki Difantos (III w. n. e.) wprowadził kreskę ułamkową, ale licznik i mianownik stawiał odwrotnie niż my to robimy. δ ε = 5 β γ Hindusi, znani jako odkrywcy układu dziesiątkowego pozycyjnego nie wnieśli wiele w dziedzinie ułamków. Ułamki podstawowe pisali podobnie jak my, przy czym nie stosowali kreski ułamkowej. Ale w VI wieku n. e, znali już sposób dodawania i mnożenia ułamków.

4 W tym celu posługiwali się odpowiednimi schematami. = = + Działania na ułamkach w naszej formie pojawiają się w pełni dopiero w XVII wieku. Duży krok na przód było wprowadzenie ułamków dziesiętnych. Jest to bowiem ujednolicenie mianowników, a przy jednolitych mianownikach porównywanie wielkości ułamków jest natychmiastowe. Bardzo często ułamki dziesiętne przybierają postać procentów. Jak powstały ułamki dziesiętne? Po pierwszym okresie ułamków indywidualnych Babilończycy przeszli do systemu tzw. ułamków sześdziesiątkowych (pierwszy pozycyjny układ liczbowy). W układzie tym wprowadzono rzędy: jedność drugiego rzędu =. 0, jedność trzeciego rzędu = 0. 0 = 00, jedność czwartego rzędu = = 000 itd. Analogicznie wprowadzono rzędy ułamkowe; pierwszy rząd -, drugi rząd -, trzeci rząd - = itd. Babilończycy dokonywali zapisów pismem klinowym na tabliczkach glinianych. Symbol w którym pierwsza grupa należy do pierwszego, a druga grupa do drugiego rzędu ułamkowego oznacza: 5 0 +, co po sprowadzeniu do wspólnego mianownika daje = =. Niestety zapisy na tabliczkach glinianych nie są zbyt dokładne, nie określają precyzyjnie poszczególnych rzędów ułamka, co sprowadza się do konieczności domyślania się o jaki ułamek autorowi chodziło. Ułamki sześciesiątkowe były w użyciu do późnego średniowiecza. W II w. n. e. ułamki babilońskie przedostały się do Aleksandrii. Ptolemeusz w II w. n. e. podzielił on okrąg na 0 równych części otrzymując stopień, z kolei zgodnie z numeracją babilońską stopień dzieli na 0 minut, a minutę na 0 sekund. Ułamki sześciesiątkowe przeszły do krajów Środkowego i Bliskiego Wschodu, a stamtąd do Zachodniej Europy. Do późnego średniowiecza w europejskich pracach naukowych ułamki przedstawiano w postaci sześdziesiątkowej.

5 Dopiero w 585 roku flamandzki inżynier Simon Stevin ogłosił pracę pt. La disme (jedna dziesiąta), w której omówił istotę ułamków dziesiętnych i wprowadził je do wszystkich działań arytmetycznych. Jego sposób oznaczania ułamków daleko odbiegał od dobrze nam dziś znanego sposobu. Zamiast przecinka dziesiętnego używał zera objętego kółkiem 0, a po każdej cyfrze dziesiętnej umieszczał w kółku jej rząd np. ułamek,58 zapisywał tak Astronom i matematyk niemiecki Johann Kepler (XVI XVII w.) wprowadził przecinek dziesiętny, a twórca logarytmów, matematyk szkocki John Naper kropkę dziesiętną, dotychczas jeszcze używana w Ameryce i Wielkiej Brytanii. Ułamki są takim działem matematyki, który ma wyraźny związek z życiem codziennym. Operując ułamkami, możemy adekwatnie odwoływać się do konkretnych czynności. W dzisiejszych czasach pojęcie ułamka wydaje się dość oczywiste, naturalne i niezbyt trudne, ale jak widzimy nie zawsze tak było. Uczniowie w Europie zapoznają się z pojęciem ułamka od niespełna 00 lat. Ułamki zostały wprowadzone do podręczników szkolnych dopiero w XVII i XIX wieku. 5

6 Literatura:. Encyklopedia Szkolna Matematyka., praca zbiorowa, WSiP, Warszawa, Kofler E., Z dziejów matematyki, Wiedza Powszechna, Warszawa, 9.. Kordas M., Wykłady z historii matematyki, WSiP, Warszawa, 99.. Krysicki W., Jak liczono dawniej a jak liczymy dziś, Nasza Księgarnia, Warszawa, Kulczycki S., Opowieści z dziejów liczb, WSiP, Warszawa, Więsław W., Matematyka i jej historia, Wydawnictwo Nowik, 997.