Transkrypt

1 Przykładowe zadania konkursowe Konkurs Matematyczny Euklides 1. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które spełniają każdą z dwóch nierówności: x 1, 7 4 x 0, 75 ( 1, 75) i x + - 0,8(3x + 6) < 0.. Proste o równaniach y = ax + b i y = bx + a + 1 przecinają się w punkcie A = (;3). Wyznacz punkty przecięcia tych prostych z osią OX. 3. Jeśli pewną liczbę podzielimy przez 3 i do ilorazu dodamy dzielną i dzielnik, to otrzymamy 163. Jaka to liczba? 4. Punkty A = (1;), B = (-1;-1), C = (5;) są wierzchołkami trójkąta. a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A. b) Wyznacz współrzędne punktu D tak, aby czworokąt ABCD był równoległobokiem. 5. Na statku pewnego kapitana było 31 marynarzy o średniej wieku 3 lata. Jeśli doliczy się wiek kapitana, to średnia wieku załogi wzrośnie do 4 lat. Ile lat miał kapitan? 6. Sprawdź równość: Jedno z rozwiązań równania: acx + (a bc)x b =0 z niewiadomą x jest równe 4. Liczby: a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie równania. 8. Cięciwą okręgu o równaniu x + y + 4x y 0 = 0 jest odcinek AB zawarty w prostej o równaniu x + y 6 = 0. Oblicz pole trójkąta ABO, gdzie O jest środkiem okręgu. 9. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe takie, że po wpisaniu liczby 5 między cyfry każdej z nich otrzymujemy liczbę 11 razy większą Wykaż, że jeżeli a > 0, to a. a 11. Dla jakich liczb całkowitych a i b funkcje y = x + b i y = ax + 3 mają to samo miejsce zerowe. 1. Oblicz wartość wyrażenia: Pan Bak jest właścicielem 00 akcji Rako i Lizy. Pewnego dnia zysk na jednej akcji Rako wynosił 1 zł., a na jednej akcji Lizy - zł. Pan Bak obliczył, że w tym dniu miałby o 40 zł. Większy zysk, gdyby był właścicielem tylu akcji Rako, ile miał Lizy, a Lizy tyle, ile - Rako. Ile akcji każdej firmy posiadał pan Bak? Sprawdź, prawdziwość wyrażenia: Na egzaminie z matematyki 15% liczby osób egzaminowanych nie rozwiązało ani jednego zadania, 144 rozwiązały zadania ale popełniły przy tym różnego rodzaju błędy. Liczba osób, które rozwiązały zadania bezbłędnie jest1 razy większa od liczby osób, które nie rozwiązały ani jednego zadania. 3 Ile osób brało udział w tym egzaminie? 16. Jeżeli kwadrat pewnej liczby naturalnej dwucyfrowej podzielimy przez połowę tej liczby i dodamy 36, a otrzymaną sumę podzielimy przez, to otrzymamy liczbę utworzoną z tych samych cyfr, lecz ustawionych w odwrotnej kolejności. Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że cyfra dziesiątek jest dwa razy większa od różnicy obu cyfr. 17. Dane są okręgi oo1, 4, oo, 1 styczne wewnętrznie. Narysuj okręg styczny wewnętrznie do okręgu o promieniu 4 zaś zewnętrznie do okręgu o promieniu 1. Jaką liczbą może być promień poszukiwanego okręgu? 18. Sporządź wykres funkcji: y x 3. Dla jakich wartości parametru m równanie x 3 m posiada trzy różne rozwiązania. 19. Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 11 dają resztę Leśna szkółka doświadczalna ma kształt prostokąta, którego przekątna jest o 1 m dłuższa od dłuższego boku prostokąta. Gdyby powiększyć o 3m każdy wymiar tego prostokąta, to przekątna zwiększyłaby się o 4m. Oblicz wymiary szkółki.

2 1. Oto rozkład jazdy autobusu szkolnego z miejscowości A do D: 7 00 Wyjazd autobusu z miejscowości A Postój w miejscowości B Przejazd z B do C Postój w miejscowości C 8 00 Dotarcie autobusu do miejscowości D a) przedstaw na układzie współrzędnych zależność drogi od czasu jazdy autobusu wiedząc, że z A do B jest 15 km, z B do C 1 km, a z C do D autobus jedzie z prędkością 60 km/h b) oblicz prędkość autobusu na trasie z A do B c) jaką odległość pokonał autobus na całej trasie?. Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 85,60 zł. Podatek VAT na ten towar podniesiono do %. Oblicz o ile procent wzrosła cena tego towaru? 3. Dane są dwa okręgi. Środkiem pierwszego okręgu jest punkt O = (,4) a promień ma długość 5. Drugi okrąg dany jest równaniem x + y x 8y + 16 = 0. Zbadaj rachunkowo wzajemne położenie tych okręgów. Sporządź odpowiedni rysunek. 4. Wykaż, że liczby 3 1 są liczbami przeciwnymi. 5 i Oblicz pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu r = cm wiedząc, że ramię tego trapezu ma 6cm. 6. Pod budowę domu należało wykopać 8000 m 3 ziemi. Praca została wykonana na 8 dni przed terminem, gdyż robotnicy przekraczali każdego dnia plan wydobycia ziemi o 50 m 3 ziemi. Ile dni zaplanowano na wykonanie tej pracy? 7. Po dwukrotnej obniżce ceny, za każdym razem o ten sam procent, telewizor kosztuje 810 zł. Przed obniżką kosztował 1000zł. O jaki procent dokonywano każdorazowo obniżki ceny telewizora? Wykaż, że liczby i są liczbami odwrotnymi Dane są dwa okręgi. Środkiem pierwszego okręgu jest punkt O = (1,3) a promień ma długość 4. Drugi okrąg dany jest równaniem x + y 6x 4y + 4 = 0. Zbadaj rachunkowo wzajemne położenie tych okręgów. Sporządź odpowiedni rysunek. 30. Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe 96 cm. Ramię trapezu ma długość 1 cm. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez. 31. Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 53,50 zł. Podatek VAT na ten towar podniesiono do %. Oblicz o ile procent wzrosła cena tego towaru? 3. Górnośląski węgiel kamienny pozostawia po spaleniu 1% popiołu, a węgiel dąbrowicki %. Oblicz, ile procent popiołu pozostanie po spaleniu mieszanki, w której stosunek wagowy węgla górnośląskiego do dąbrowickiego jest równy 1 : Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 8cm i 10 cm wiedząc, że przekątne tego trapezu przecinają się pod kątem prostym. 34. Rozwiąż nierówność: x 6x 9 x Dla jakiej wartości parametru m punkt przecięcia się prostych: x y = m + 4 i x + y = m 3 należy do prostej x y + 4 = Wykaż, że trójkąty ABC i A B C są przystające jeżeli środkowa CD w trójkącie ABC jest równa środkowej C D w trójkącie A B C, a kąty DCB i D C B oraz CDA i C D A są odpowiednio przystające. 37. Kasia i Wojtek, świeżo poślubieni mieszkańcy Trójmiasta, postanowili mieć czwórkę dzieci. Kasi marzą się trzej chłopcy i jedna dziewczynka zaś Wojtkowi dwie dziewczynki i dwóch chłopców. Wiedząc, że w Trójmieście na 1000 niemowląt rodzi się średnio 50 chłopców, oceń czyje marzenie ma większą szansę na spełnienie. 38. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji x 3y = i 3x + y = 10 oraz osią OX. 39. W klasie jest 48 uczniów. Z nich: 31,5% uprawiało tylko koszykówkę, 56 1 % tylko siatkówkę, reszta 4 nie uprawiała żadnej gry w piłkę. Ilu uczniów było w każdej grupie, jeżeli 5 uczniów uprawiało oba sporty? 40. Znajdź m, jeżeli prosta przechodząca przez punkty: (4;1) i (m;) ma współczynnik kierunkowy Oblicz miary kątów AOB i BOC wiedząc, że ich suma ma wartość 10 o, a przedłużenie półprostej OA dzieli kąt BOC na połowy.

3 4. Wykonaj działania: AB, AB, AB, BA gdy: A = {x: xr x x x } 4 i B = {x: xr 4x (1 x)(x + 1)< (x+3) } 43. Sadownik miał posadzić 00 drzewek owocowych w określonym terminie. Sadząc każdego dnia o 5 drzewek więcej niż było przewidziane w planie, sadzenie zakończył na dwa dni przed terminem. Ile dni trwało sadzenie drzew? 44. Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 10 dm 3 wypływa w pierwszej minucie 5 dm 3 cieczy, a w każdej następnej o 50 cm 3 mniej niż w poprzedniej. Po ilu minutach naczynie będzie opróżnione do połowy? 45. Rozwiąż równania: a) b) x x x x 8 x 7 x Sprawdź, czy liczba jest wymierna? 47. Ojciec postanowił podzielić swój majątek między synów. Najstarszy syn dostał 1 tysiąc i 10 1 pozostałej części majątku. Drugi dostał tysiące i 10 1 pozostałego majątku, i tak dalej, aż rozdzielił majątek pomiędzy wszystkich synów. Po takim podziale okazało się, że każdy z synów otrzymał taką samą kwotę. Ilu było synów i jaką kwotę rozdzielił ojciec? 48. Wyznacz liczbę jaką można wstawić w miejsce a, aby liczba x była wymierna, jeśli: 3 1 x a Dany jest wierzchołek A = (0,3) trójkąta ABC oraz środki D = (, 3) i E = (1,) odpowiednio boków AB oraz AC. Sprawdź rachunkowo, czy kąt nachylenia boku BC do osi OX jest ostry, czy rozwarty? y x 4 x Rozwiąż graficznie układ równań. y x Statek wycieczkowy, płynąc z prądem rzeki, pokonuje trasę z miasta A do miasta B w ciągu dwóch godzin, natomiast z powrotem płynie o pół godziny dłużej. Ile czasu będzie płynąć tratwa z miasta A do miasta B? 5. Dla jakich wartości m wykres funkcji f(x) = (0,5m3)x + m 1 a) przecina oś rzędnych powyżej osi OX b) ma miejsce zerowe równe (3) c) jest równoległy do wykresu funkcji y m 1x Zapisz funkcję kwadratową w postaci ogólnej wiedząc, że jej miejscem zerowym jest 3 oraz przyjmuje wartość największą równą 1 dla argumentu Wyznacz dziedzinę funkcji: f ( x) x 8x x x 55. Podstawy trapezu równoramiennego są równe 6cm i 10 cm. Przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długość przekątnej tego trapezu. 56. W sklepie są cukierki czekoladowe w cenie 8 zł, 1 zł i 16 zł za kilogram. Kupiec chce sprzedać mieszankę tych cukierków w cenie 11 zł za kilogram. Ile kilogramów cukierków w cenie 1 zł i 16 zł musi dołożyć do 10 kg cukierków po 8 zł, aby otrzymać 30 kg mieszanki? 57. Do dwóch okręgów o promieniach długości 3 cm i 10 cm poprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi znajdują się po różnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów jest równa 39 cm. Oblicz długość odcinka między punktami styczności. 58. Dana jest funkcja x 4 f ( x). x a) Sporządź wykres funkcji f. b) Określ ilość rozwiązań równania f(x)=m ze względu na wartość m R. c) Rozwiąż nierówność f(x) >. 59. Prosta o równaniu y = 0,5x + 3 przecina parabolę y = x 4x + 3 w punktach A i B. a) Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie C jest wierzchołkiem danej paraboli jest prostokątny. b) Oblicz pole trójkąta ABC. m Sprawdź, dla jakich wartości m istnieje kąt taki, że cos. m Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze x. Wielomian ma trzy pierwiastki takie, że drugi jest razy większy od pierwszego, a trzeci jest 4 razy większy od pierwszego.

4 Wiadomo, że wartość wielomianu w punkcie 0 jest równa (64). Oblicz pierwiastki tego wielomianu oraz podaj współczynnik przy x. 6. Dla jakiej najmniejszej wartości m punkt A = (m, m) należy do prostej l prostopadłej do prostej k o równaniu x + 3y + 30 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1, ). Oblicz odległość punktu A od prostej k. 63. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 6, a suma ich kwadratów jest równa 364. Wyznacz te liczby. 64. Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 30 o. Oblicz miarę kąta między wysokością a środkową, poprowadzonymi z wierzchołka kąta prostego. 65. W dwóch zbiornikach A i B znajduje się woda. Ze zbiornika A przepompowano do zbiornika B tyle wody, że ilość wody w B podwoiła się. Następnie ze zbiornika B przepompowano do zbiornika A tyle wody, że ilość wody w A potroiła się. Okazało się wówczas, że w obu zbiornikach jest po 450 litrów wody. Oblicz, ile wody było na początku w każdym zbiorniku. 66. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A = (, ), B = (4, 4). a) Wyznacz punkt przecięcia prostej AB z prostą 3x + 4y = 5. b) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB. 67. Liczbę naturalną t n nazywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych początkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: t 1 = 1, t = 1 + = 3, t 3 = = 6, t 4 = = 10 itd. Stosując tę definicję: a) Wyznacz liczbę t 7, b) Ułóż odpowiednie równanie i zbadaj czy liczba 766 jest liczbą trójkątną c) Wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną. 68. Dana jest funkcja określona za pomocą zbioru par uporządkowanych x, x 1; x N x a) Określ zbiór wartości funkcji, b) Sporządź wykres funkcji, c) Wyznacz wszystkie argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość Pewien kierowca kupuje regularnie benzynę za 700 zł. Po podwyżce ceny benzyny o 3 grosze za litr stwierdził, że otrzymał o 3 litry mniej. Jaka jest cena benzyny po podwyżce? 70. Jacek podjął pracę chałupniczą polegającą na składaniu długopisów. Pierwszego dnia złożył 0 długopisów, ale każdego następnego dnia będzie składać o dwa więcej niż poprzedniego. a) Ile długopisów złoży Jacek w szesnastym dniu pracy? b) Oblicz, ile zarobi Jacek, w ciągu miesiąca (miesiąc ma 30 dni), jeżeli za jeden długopis otrzyma 30 groszy. 71. W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku AB, punkt K jest środkiem boku AD. Pole trójkąta CKM jest równe 3 cm. Jakie pole ma ten kwadrat? 7. Między przystaniami A i B odległymi o 6 km płynie rzeka z prędkością 5km/h. Wioślarz przepłynął tą rzeką od przystani A do przystani B i z powrotem w czasie 3 godz. i 30 minut. Z jaką prędkością płynie ten wioślarz w wodzie stojącej? 73. Ze 100 kg mleka o zawartości 3,8% tłuszczu odciągnięto 10 kg śmietanki zawierającej 0% tłuszczu. Ile procent tłuszczu zawiera odtłuszczone mleko? 74. Funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość równą 8 dla argumentu równego 3. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 5. Zapisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej i sporządź jej wykres. 75. Jeżeli jeden z boku kwadratu zwiększymy dwukrotnie, a drugi zmniejszymy o 1 cm, to otrzymamy prostokąt o polu większym od pola tego kwadratu o 8 cm.oblicz długość boku kwadratu. 76. Wyznacz największą liczbę całkowitą niespełniającą nierówności: x 3 3 x Dwaj bracia mają razem 31 lat. Ich ojciec jest trzy razy starszy od młodszego syna. Za 10 lat wszyscy razem będą mieli 103 lata. Ile lat ma każdy z nich? 78. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz kącie ostrym naprzeciw boku a. Wiedząc, że 4 17 cos : 17 a) oblicz tg, b) oblicz wartość wyrażenia a b. a b a b 79. Hotel dysponuje 70 pokojami. Opłata za wynajęcie jednego pokoju w tym hotelu jest równa 460 zł za dobę. Hotel udziela specjalnej zniżki firmom rezerwującym więcej niż 40 pokoi. Wówczas opłata za dobę, za każdy wynajęty przez firmę pokój, jest niższa o 5 zł pomnożone przez liczbę zarezerwowanych pokoi powyżej 40. Ile pokoi powinna wynająć firma, żeby hotel osiągnął maksymalny możliwy przychód za dobę? 80. Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 6 i 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz obwód trapezu. 7

5 81. Linia tramwajowa ma długość 15 km. Po zwiększeniu prędkości o 3km/h każdy kurs tramwaju jest o pół godziny krótszy niż poprzednio (kursem nazywa się przebieg tramwaju od przystanku początkowego do końcowego i z powrotem). Oblicz prędkość tramwaju przed zmianą. 8. Dana jest funkcja x 4x 6, dla x f ( x) 4x, dla x a) Narysuj wykres funkcji f i podaj jej maksymalne przedziały monotoniczności. b) Wyznacz rachunkowo miejsca zerowe funkcji f. 83. Dane są dwa wierzchołki trójkąta ABC A = (1; 1), C = (7; 11) oraz punkt przecięcia się jego wysokości P ;. Oblicz: a) współrzędne wierzchołka B, b) pole trójkąta ABC, 3 9 c) długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A. 84. Liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest równy. Wartość wielomianu W(x) = x 3 + ax + bx + c dla argumentu jest równa 4. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x +1). 85. W trójkąt równoramienny ABC, w którym AB 4, BC AC 0 wpisujemy prostokąty tak, że jeden bok prostokąta zawiera się w boku AB, a dwa pozostałe wierzchołki należą do ramion trójkąta. Podaj wymiary prostokąta o największym polu Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach 3 cm i 10 cm. Znajdź: a) obwód tego trójkąta, b) pole koła opisanego na tym trójkącie. 3 x x x Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji: f (x) x 3 x Pole rombu jest równe 60 cm. Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takie dwa kąty o mierze, że 8 tg. Oblicz: 15 a) długość boku rombu, b) pole koła wpisanego w ten romb. 89. Miejscem zerowym wielomianu W(x) = x 3 + ax 6x jest liczba (1). a) Oblicz a. b) Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu. c) Rozwiąż nierówność W(x) x + x. 90. Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne płacąc producentowi za sztukę 100 zł i sprzedaje 40 sztuk aparatów po 160 zł. Właściciel oszacował, że każda obniżka aparatu o 1 zł zwiększa liczbę sprzedawanych aparatów o jedną sztukę. Jaką powinien ustalić cenę, aby jego zysk był największy? Oblicz ten zysk. 91. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30 o, wysokość i środkowa poprowadzone z wierzchołka kąta prostego dzielą go na trzy kąty równe. 9. Rozwiąż układ równań: x y x y 3 5 y x x y Wyznacz x, dla którego liczby (x 1)(x + 1); (x ) ; x 11(x 1) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę oraz wyznacz ogólny wyraz ciągu. 94. Rozwiąż równanie: 3 x. 3 4 x x 95. Dla jakich wartości xr wartości funkcji f ( x) są nie większe od wartości funkcji x 1 8 g ( x) 3 3x 96. Dla jakich wartości x ciąg liczb: x, x, x + w podanej kolejności jest: a) ciągiem arytmetycznym, b) ciągiem geometrycznym.

6 97. Współczynniki a, b, c równania ax + bx +c = 0 tworzą ciąg arytmetyczny, którego suma jest równa 7,5. Jednym z pierwiastków tego równania jest liczba 4. Znajdź drugi pierwiastek równania. 98. Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (a n), w którym: a 5 = 5, a 3 + a 8 = Z danych GUS wynika, że średnia powierzchnia mieszkania w mieście w 1999 roku wynosiła 56m, natomiast na wsi 7 m. Wiedząc, że w 1999 roku mieszkania na wsi stanowiły 33% wszystkich mieszkań, oblicz średnią powierzchnię ogółu mieszkań w Polsce Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5 : 3. Oblicz pole rombu. Opracowała: mgr Agnieszka Zawadzka