HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW SAMOWZBUDNYCH
|
|
- Józef Lewicki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELOWANIE INŻYNIERKIE IN X 4, s. 5-3, Gliwice HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH ANDRZEJ TEFAŃKI, JERZY WOJEWODA, AGNIEZKA CHUDZIK, TOMAZ KAPITANIAK Katedra Dynamiki Maszyn, Politechnika Łódzka p.lodz.pl, p.lodz.pl, p.lodz.pl treszczenie. Tematem niniejszego artykułu jest porównawcze zestawienie typowych cech tzw. atraktora hiperbolicznego (lub quasi-hiperbolicznego) z własnościami atraktora klasycznego ciernego oscylatora samowzbudnego z dodatkowym zewnętrznym napędem harmonicznym. Zaprezentowana analiza pokazuje, że główną wspólną cechą obu tych atraktorów jest ich stateczność strukturalna (mimo ich chaotycznego charakteru), która objawia się niską wrażliwością dynamiki układu oraz struktury przestrzeni fazowej na zmiany (przynajmniej niewielkie) parametrów równań różniczkowych.. WPROWADZENIE Na przestrzeni ostatnich kilku dziesięcioleci wśród naukowców z różnych dziedzin, znacznie wzrosło zainteresowanie teorią nieliniowych układów dynamicznych oraz chaosem deterministycznym. Zaowocowało to przeniknięciem dynamiki nieliniowej do innych obszarów badawczych, w których dotąd nie miała ona zastosowania, jak np. biologia, ekonomia, chemia, a nawet mechanika kwantowa. Jednym z bardziej interesujących aspektów matematycznej teorii chaosu jest koncepcja hiperboliczności [,,4,,4]. Według istniejących definicji [] chaotyczny atraktor hiperboliczny, a ściślej mówiąc jednorodnie hiperboliczny, składa się wyłącznie z orbit typu siodłowego, gdzie kierunki stateczny i niestateczny są jednoznacznie zdefiniowane (rys. a). Ponadto rozmaitości stateczna i niestateczna są tego samego wymiaru i nie są styczne do siebie w przestrzeni fazowej (rys. b), czyli przecinają się tylko transwersalnie. Własności te powodują, że atraktor hiperboliczny jest stateczny strukturalnie (mimo chaotycznego charakteru), co objawia się niską wrażliwością dynamiki układu oraz struktury przestrzeni fazowej na zmiany (przynajmniej niewielkie) parametrów równań różniczkowych. Możliwe jest również istnienie tzw. atraktorów quasi-hiperbolicznych, które niejako słabiej spełniają matematyczne kryteria hiperboliczności []. Istnienie hiperbolicznych atraktorów w układach mechanicznych zostało dotąd częściowo potwierdzone (jest to tylko dosyć mocne przypuszczenie) w jednym przypadku [6,7] (patrz rozdz. ), lecz rozwiązanie to jest nieprzydatne w kontekście zastosowań. Jednak szczegółowa analiza numeryczna klasycznego ciernego oscylatora samowzbudnego z napędem harmonicznym (rys. 5) wykazała stateczność strukturalną odpowiedzi w pewnych zakresach ruchu chaotycznego, podobnie jak w przypadku typowego rozwiązania
2 6 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK hiperbolicznego. Rozwiązanie to wydaje się mieć również znaczenie z punktu widzenia realnej praktyki inżynierskiej. Oscylator pokazany na rys. 5 modeluje wiele rzeczywistych procesów dynamicznych oraz urządzeń inżynierskich. Drgania samowzbudne wywołane tarciem suchym pojawiają się w wielu, jeśli nie we wszystkich, układach/konstrukcjach mechanicznych kołach, hamulcach, zaworach, cylindrach, łożyskach, przekładniach itp. Najczęściej zjawisko to jest postrzegane jako niekorzystne, ponieważ jego skutkiem jest wzrost zużycia materiałów części maszyn. Urządzenia takie mogą się zachowywać nieregularnie i chaotycznie ze względu na silną nieliniowość związaną z tarciem. Jednak strukturalna stateczność atraktora takiego układu czyni go niewrażliwym na zakłócenia zewnętrzne i drobne zmiany parametrów, a więc może być traktowana jako korzystne zjawisko stabilizujące pracę oscylatora w zakresach ruchu chaotycznego. (a) (b) Rys.. Hiperboliczna orbita siodłowa (punkt P na mapie Poincaré) wraz z jej rozmaitościami stateczną s oraz niestateczną u (a) oraz przypadek styczności tych rozmaitości w przestrzeni fazowej (b). W kolejnym rozdziale przedstawiono zwięzły literaturowy przegląd atraktorów hiperbolicznych i quasi-hiperbolicznych. Rozdział trzeci zawiera analizę stateczności strukturalnej atraktora wymuszanego oscylatora samowzbudnego z tarciem Coulomba. W ostatnim rozdziale zaprezentowano dyskusję przeprowadzonej analizy oraz wnioski końcowe i kierunki dalszych badań.. ATRAKTORY HIPERBOLICZNE I QUAI-HIPERBOLICZNE Najbardziej znane przykłady jednorodnie hiperbolicznych atraktorów to sztuczne matematyczne konstrukcje w postaci odwzorowań danych równaniami różnicowymi, np. solenoid male a-williamsa (-W solenoid pokazany na rys. a) lub atraktor Płykina (rys. b) [-3,4,5]. Wydaje się, że matematyczna teoria hiperbolicznego chaosu nie została z sukcesem zastosowana do realnego obiektu fizycznego, pomimo że koncepcje tej teorii są szeroko używane w celu interpretacji zachowań chaotycznych rzeczywistych układów nieliniowych. Jednak takich układów o złożonej dynamice, np. wymuszane oscylatory typu Duffinga, model Rösslera itp., nie można zaliczyć do kategorii układów hiperbolicznych [,]. Zwykle ruch chaotyczny obserwowany w takich układach ma związek z istnieniem tzw. quasi-atraktora (zwanego czasem również pseudoatraktorem), gdzie chaotyczne trajektorie typu siodłowego koegzystują ze statecznymi orbitami okresowymi o wysokiej okresowości. W układach fizycznych brak hiperboliczności jest często maskowany
3 HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH 7 obecnością szumu. W kilku przypadkach, np. model Lorenza [] czy odwzorowanie Henona [5] (rys. c), dla pewnych odpowiednich wartości parametrów wykazuje znamiona tzw. quasihiperboliczności, co oznacza, że w takich przypadkach typowe kryteria hiperboliczności nie są spełnione we wszystkich szczegółach []. Znaczącą pozycją w tej tematyce jest również praca hilnikowa i Turaeva [4], gdzie rozważane są możliwe mechanizmy bifurkacyjne prowadzące do narodzin atraktora hiperbolicznego. W literaturze problemu można również znaleźć kilka prac traktujących o przykładach jednorodnie hiperbolicznej dynamiki układów opisanych równaniami rózniczkowymi (potoków fazowych). W pracy [6] autorzy (Hunt i MacKay) przedstawiają nawet specyficzny układ złożony z trzech połączonych mimośrodowo dysków (ang. triple linkage), którego analiza pozwala przypuszczać, że posiada on atraktor hiperboliczny. W innej pracy Hunta [7] można znaleźć propozycję skonstruowanego sztucznie trójwymiarowego potoku fazowego, którego mapa Poincaré jest atraktorem typu Płykina. Niestety ten przykład jest zdecydowanie zbyt skomplikowany by zrealizować go w formie stanowiska doświadczalnego. Podobny atraktor typu Płykina został również zidentyfikowany w układzie opisującym dynamikę neuronów [3]. (a) (b) (c) Rys.. Jednorodnie hiperboliczne atraktor Płykina (a) oraz quasi-hiperboliczne odwzorowanie Henona (b).
4 8 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK (a) (b) Rys. 3. Portret fazowy (a) oraz mapa Poincaré (b) atraktora układu (). Jednak znaczący postęp w poszukiwaniu hiperboliczności w układach fizycznych dokonał się dopiero w ostatnich latach za sprawą prac Kuzniecowa i jego zespołu [8,9]. Zaprojektowali oni prosty przykład nieautonomicznego potoku fazowego, w którym w widoczny sposób pojawia się dziwny, hiperboliczny atraktor. Model ten może zostać wykonany jako rzeczywisty obwód elektroniczny. kłada się on z dwóch oscylatorów typu Van der Pola sprzężonych w sposób opisany następującymi równaniami: & = ω, & y& = ω + y& = ω y = ω y + [ Acos(πt / T) ] + ( ε / ω ) y cos( ω t), [ Acos(πt / T ) y ] y + ( ε / ω ). () Rys. 4. Największy wykładnik Lapunowa λ układu () w funkcji parametru A. Portret fazowy oraz mapa Poincaré układu () przedstawione są na rys. 3. Mapa Poincaré tego układu (rów. ) jest atraktorem tego samego typu co -W solenoid (rys. a), choć osadzonym w czterowymiarowej, a nie jak -W solenoid w trójwymiarowej, przestrzeni fazowej. Natomiast rys. 4 obrazuje przebieg największego wykładnika Lapunowa układu () w funkcji jednego z jego parametrów. Widać, że wartość tego wykładnika utrzymuje względnie stałą wartość w całym zakresie zmian parametru, co świadczy o stateczności strukturalnej atraktora układu ().
5 HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH 9 3. CIERNY OCYLATOR AMOWZBUDNY Z WYMUZENIEM KINEMATYCZNYM W poszukiwaniu rzeczywistych układów mechanicznych wykazujących własności hiperboliczne lub podobne do nich, rozważmy typowy mechaniczny oscylator samowzbudny []. Oscylator ten składa się z masy umieszczonej na poruszającym się ze stałą prędkością pasie transportowym, połączonej za pomocą sprężyny z działającym na nią zewnętrznym wymuszeniem harmonicznym, jak pokazano na rys. 5. Dynamika takiego układu jest opisana za pomocą następującego równania różniczkowego drugiego rzędu: m&& = k( U cosωt) + εfn fcsign( v), () gdzie zastosowano następujące oznaczenia: m masa analizowanego oscylatora [kg], k sztywność sprężyny [N/m], Ω częstość wymuszenia [s - ], U amplituda wymuszenia [m], F N siła docisku wymuszenia [N], v =& v B prędkość masy względem pasa [m/s], v B prędkość pasa [m/s], f C współczynnik tarcia kinetycznego (Coulomba) [-]. Natomiast ε to bezwymiarowa stała pozwalająca na sterowanie siłą docisku normalnego, w symulacjach przyjęto ε =.. Rys. 5. Oscylator samowzbudny z wymuszeniem harmonicznym. Przejście z fazy styku do poślizgu i odwrotnie są określane poprzez monitorowanie wartości siły przywracającej oraz maksymalnej wartości siły tarcia statycznego. Wystąpienie fazy przywierania jest opisane następującą nierównością: k ( ( t) U ( t) ) < εf f N, (3) gdzie f to współczynnik tarcia statycznego. Rys. 6. Portret fazowy oraz mapa Poincaré układu (); F N /k = 4.7; λ =.5.
6 3 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK (a) (b) Rys. 7. Wykres bifurkacyjny układu () w trójwymiarowej perspektywie (a) oraz przebieg największego wykładnika Lapunowa (b) w tym samym przedziale parametru kontrolnego (F N /k). Wprowadzając: ω = k m (częstość drgań własnych), = F N /k (ugięcie statyczne), a następnie dzieląc równanie () przez iloczyn k, otrzymujemy następujący układ równań różniczkowych I-go rzędu: & =, gdzie: τ = ωt, =, & & 3 Ω η =, ω = = η, u + u U = cos d d = = dτ dτ ω, ( ) + εf sign() v, 3 v =, C ( v & ) 3 B = ητ, ω &, d = dt ω (4) to bezwymiarowe parametry i zmienne. Podczas fazy styku równania (4) redukują sie do postaci: & = v & =, & =., 3 η (5) gdzie v = v B /ω to bezwymiarowa prędkość pasa. We wszystkich obliczeniach numerycznych przyjęto następujące wartości parametrów: v B =. [m/s], U =.5 [m], η =.969, f =.4, f C =.5. Natomiast = F N /k to zmienny parametr bifurkacyjny. Wyniki tych obliczeń zaprezentowano na rys. 6 oraz 7. Widzimy, że mapa Poincaré, pokazana na tle portretu fazowego na rys. 6, układa w zamkniętą krzywą, co jest charakterystyczne dla regularnych systemów quasi-okresowych (atraktor w formie dwuwymiarowego torusa). Jednak w tym przypadku torus jest zdeformowany przez nieciągłość w fazie styku, a mapa ta ma strukturę zbioru Cantora, co wskazuje na ruch chaotyczny (dodatni dominujący wykładnik Lapunowa). Na rys. 7a widzimy wykres bifurkacyjny w perspektywie trójwymiarowej, która pozwala zaobserwować niewrażliwość struktury tego wykresu na zmiany parametru w zakresie chaotycznym (nakładające się mapy Poincaré zrzutowane na dolną poziomą płaszczyznę fazową). Natomiast na rys. 7b widzimy
7 HIPERBOLICZNE CECHY ATRAKTORÓW UKŁADÓW AMOWZBUDNYCH 3 przebieg największego wykładnika Lapunowa w tym samym przedziale parametru kontrolnego F N /k. Obliczanie wykładników Lapunowa układu z nieciągłością spowodowaną tarciem wymaga zastosowania algorytmów numerycznych umożliwiających przejście przez zaburzenie trajektorii w postaci nieciągłości charakterystyki tarcia przy zerowej wartości prędkości względnej. W rozpatrywanym przypadku wykładnik ten został oszacowany przy pomocy synchronizacyjnej metody estymacji wykładników Lapunowa, która została wcześniej opracowana przez autorów [6,7]. 4. PODUMOWANIE I WNIOKI Na podstawie przedstawionych w rozdziale własności atraktorów hiperbolicznych oraz analizy numerycznej ciernego oscylatora samowzbudnego (rozdz. 3) możemy stwierdzić, że najprawdopodobniej oscylator ten nie jest układem hiperbolicznym w sensie klasycznej teorii jednorodnej hiperboliczności z powodu nieciągłości, ponieważ w fazie styku następuje degeneracja struktury przestrzeni fazowej. Owa deformacja prowadzi do ruchu chaotycznego na torusie w pewnych zakresach parametrów oscylatora (). Ruch chaotyczny na klasycznym dwuwymiarowym torusie jest niemożliwy w świetle twierdzenia Poincaré-Bendiona [3]. Jednak w rozpatrywanym przypadku twierdzenie to nie ma zastosowania ze względu na nieciągłość przyleganie-poślizg. Mapy w postaci domykających się pętli (rys. 6) o strukturze fraktalnej są typowe dla układów z atraktorami hiperbolicznymi (rys. a, 3b). Rozmaitość niestateczna punktów siodłowych ma wtedy kierunek styczny do zarysu mapy, natomiast kierunek stateczny jest w przybliżeniu do niej prostopadły. Kolejną wspomnianą cechą atraktorów hiperbolicznych jest ich stateczność strukturalna przy zmianach parametru, co powoduje, że również dodatni wykładnik Lapunowa jest mało wrażliwy na te zmiany (rys. 4). Podobną własność możemy zaobserwować również w rozważanym układzie na rys. 7a i 7b. Łatwo zauważyć, że największy wykładnik Lapunowa nie zmienia się znacząco (oscyluje wokół wartości.5 na rys. 7b) w badanym zakresie ruchu chaotycznego, co można powiązać ze statecznością struktury torusa obserwowaną na rys. 7a. Zatem te wyniki stanowią pewne przesłanki do stwierdzenia, że rozpatrywany atraktor oscylatora ciernego () posiada cechy podobne do własności atraktora hiperbolicznego lub przynajmniej quasi-hiperbolicznego. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 8- w ramach projektu badawczego nr N N LITERATURA. Afraimovich V.., Bykov V. V., hilnikov L. P.: Dokłady Akademii Nauk 977, 34, s Anishchenko V.., Astakhov V. V., Neiman A. B., Vadisova T. E., chimansky-geier L.: Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems. Berlin, Heidelberg : pringer Verlag,. 3. Belykh V., Belykh I., Mosekilde E.: Hyperbolic Plykin attractor can eist neuron models. International Journal of Bifurcation and Chaos 5, 5, Eckmann J.-P., Ruelle D.: Ergodic theory of chaos and strange attractors. Review of Modern Physics 985, 57, Henon M.: A two dimensional map with a strange attractor. Commun. Math. Phys. 976, 5,
8 3 A. TEFAŃKI, J. WOJEWODA, A. CHUDZIK, T. KAPITANIAK 6. Hunt T. J., MacKay R..: Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor. Nonlinearity 3, 6, Hunt T. J.: PhD thesis, University of Cambridge,. 8. Kuznetsov. P.: Eample of a Physical ystem with a Hyperbolic Attractor of the male- Williams Type, Physical Review Letters 95, 5, Kuznetsov. P., ataev I. R.: Hyperbolic attractor in a system of coupled nonautonomous Van der Pol oscillators: Numerical test for epanding and contracting cones. Physics Letters A, 365, 7, Lorenz E.N.: Deterministic nonperiodic flow. J. Atmospheric ciences 963, (), Ott E.: Chaos in dynamical systems. Cambridge: University Press, Popp K. and telter P.: Non-linear oscillations of structures induced by dry friction. In: Non-linear Dynamics in Engineering ystems 99, ed. W. chiehlen, pringer, New York. 3. chuster H.G.: Chaos deterministyczny. Warszawa : Wyd. Nauk. PWN, hilnikov L. P., Turaev D. V.: Dokłady Akademii Nauk 995, 34, male.: Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematical ociety 967, 73, p tefański A., Kapitaniak T.: Estimation of the dominant Lyapunov eponent of nonsmooth systems on the basis of maps synchronization. Chaos olitons & Fractals 5, 3, Wojewoda J., tefański A., Wiercigroch M., Kapitaniak T.: Estimation of Lyapunov eponents for a system with sensitive friction model. Archive of Applied Mechanics 9, 79, HYPERBOLIC PROPERTIE OF ATTRACTOR OF ELF-EXCITED YTEM ummary. The theme of this paper is a comparative summary of typical characteristics of so-called hyperbolic attractor (or quasi-hyperbolic) with the properties of attractor of classical self-ecited friction oscillator with an additional eternal harmonic drive. The presented analysis shows that the main common feature of these attractors is their structural stability (in spite of their chaotic nature), which is manifested by a low sensitivity of system dynamics and structure of the phase-space for changes of parameters (at least modest) in differential equations.
TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoPolitechnika Łódzka Wydział Mechaniczny Instytut obrabiarek i technologii budowy maszyn. Praca Magisterska
Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny Instytut obrabiarek i technologii budowy maszyn Adam Wijata 193709 Praca Magisterska na kierunku Automatyka i Robotyka Studia stacjonarne TEMAT Modyfikacje charakterystyk
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr X ANALIZA DRGAŃ SAMOWZBUDNYCH TYPU TARCIOWEGO
Ćwiczenie nr X ANALIZA DRGAŃ SAMOWZBUDNYCH TYPU TARCIOWEGO Celem ćwiczenia jest zbadanie zachowania układu oscylatora harmonicznego na taśmociągu w programie napisanym w środowisku Matlab, dla następujących
Bardziej szczegółowoZastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji. Karol Jastrzębski
Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji Karol Jastrzębski kjastrze@elka.pw.edu.pl Plan prezentacji Teoria chaosu wprowadzenie Cechy sygnału chaotycznego Obwód Chuy oscylator
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoUniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym
Uniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym Oskar Amadeusz Prośniak pod opieką prof. dr hab. Karola Życzkowskiego 29 września 2015 Instytut Fizyki UJ 1 Wstęp Celem tej
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoChaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu
: miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 27.08.14 : miary i kryteria chaosu Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej
Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej dr inż. Olgierd Małyszko Katedra Elektroenergetyki i Napędów Elektrycznych, Wydział Elektryczny Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE DYNAMIKI CHAOTYCZNEJ W ŚRODOWISKU MATLAB-SIMULINK
Piotr Modzelewski Wiesław Citko Akademia Morska w Gdyni MODELOWANIE DYNAMIKI CHAOTYCZNEJ W ŚRODOWISKU MATLAB-SIMULINK Systemy dynamiczne opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi stanowią efektywny
Bardziej szczegółowoPodręcznik. Przykład 1: Wyborcy
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI. 2. TEORIA I KRYTERIA PODOBIEŃSTWA Literatura: MODEL I MODELOWANIE... 39
SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 9 1. SYSTEMY... 13 Literatura:...22 2. TEORIA I KRYTERIA PODOBIEŃSTWA... 25 Literatura:...37 3. MODEL I MODELOWANIE... 39 3.1. WPROWADZENIE...39 3.2. MODELOWANIE MATEMATYCZNE...43
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoThe Lorenz System and Chaos in Nonlinear DEs
The Lorenz System and Chaos in Nonlinear DEs April 30, 2019 Math 333 p. 71 in Chaos: Making a New Science by James Gleick Adding a dimension adds new possible layers of complexity in the phase space of
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe Differential equations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia
Bardziej szczegółowoNIELINIOWE UKŁADY DYNAMICZNE PROBLEM NADAL OTWARTY
Dr inż. Agnieszka A. CHUDZIK Politechnika Łódzka Katedra Dynamiki Maszyn NIELINIOWE UKŁADY DYNAMICZNE PROBLEM NADAL OTWARTY Streszczenie: W pracy przedstawiono zjawisko wystąpienia synchronizacji oscylatorów
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoPodkowa Smale a jako klasyk chaosu
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska Konstrukcja odwzorowania
Bardziej szczegółowoUkłady dynamiczne i całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych, układy nieliniowe i chaotyczne
Układy dynamiczne i całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych, układy nieliniowe i chaotyczne Zagadnienia: Układy dynamiczne przykłady Całkowanie równań ruchu (Euler, Runge-Kutta) Wykładniki Lyapunowa,
Bardziej szczegółowoDynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych
Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ
Bardziej szczegółowoANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne
J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym eksperymencie
Bardziej szczegółowoDWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS
Proceedings of the 5 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 19-20, 2006 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laborat orium. Zaliczenie na ocenę. egzamin
Wydział Elektroniki PWr KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Metody matematyczne automatyki i robotyki Nazwa w języku angielskim: Mathematical methods of automation and robotics Kierunek studiów: Automatyka
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim WSTĘP DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoSpecjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa
Arkadiusz Neubauer IV rok, Fizyka z Informatyką. Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa 1 Problem fizyczny W poniższej pracy przedstawiono numeryczną metodę obliczania widma Lapunowa
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoMECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia
MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Drgania Mechaniczne Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 1 S 0 5 61-1_0 Rok: III Semestr: 5 Forma studiów: Studia stacjonarne
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowo(R) przy obciążaniu (etap I) Wyznaczanie przemieszczenia kątowego V 2
SPIS TREŚCI Przedmowa... 10 1. Tłumienie drgań w układach mechanicznych przez tłumiki tarciowe... 11 1.1. Wstęp... 11 1.2. Określenie modelu tłumika ciernego drgań skrętnych... 16 1.3. Wyznaczanie rozkładu
Bardziej szczegółowoDOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 33, s. 7-34, Gliwice 007 DOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA ANDRZEJ BUCHACZ, SŁAWOMIR ŻÓŁKIEWSKI Instytut Automatyzacji
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: IM 1 S 0 2 24-0_1 Rok: I Semestr: 2 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoProjekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne
Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek
Bardziej szczegółowoPRACE IPPT IFTR REPORTS 2/2001 INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK
PRACE IPPT IFTR REPORTS 2/2001 INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK WARSZAWA 2001 ISSN 0208-5658 Redaktor Naczelny: prof dr hab Józef Joachim Telega Praca recenzowana Praca wpłynęła
Bardziej szczegółowoPRACA DYPLOMOWA Magisterska
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych PRACA DYPLOMOWA Magisterska Studia stacjonarne dzienne Semiaktywne tłumienie drgań w wymuszonych kinematycznie układach drgających z uwzględnieniem
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoEliminacja drgań przy wykorzystaniu dynamicznego tłumika drgań z inerterem o zmiennej inertancji
Eliminacja drgań przy wykorzystaniu dynamicznego tłumika drgań z inerterem o zmiennej inertancji Przemysław Perlikowski Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka 23.06.2017 IPPT PAN Warszawa Współautorzy
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoKierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka ubezpieczeniowa Rocznik: 2016/2017 Język wykładowy: Polski
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych zjawisk fizycznych
Ryszard Myhan Modelowanie zjawiska tarcia suchego Suwaka porusza się w poziomych prowadnicach, gdzie x=x(t) oznacza przesunięcie suwaka względem nieruchomej prowadnicy w kierunku zgodnym z kierunkiem siły
Bardziej szczegółowoAnaliza efektywności autoparametrycznego wahadłowego tłumika drgań
Krzysztof Kęcik Andrzej Mitura Jerzy Warmiński Analiza efektywności autoparametrycznego wahadłowego tłumika drgań Abstrakt: W pracy przedstawiono analizę dynamiki autoparametrycznego układu składającego
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoModelowanie komputerowe układów złożonych
Modelowanie komputerowe układów złożonych Prowadzący: Adam Lipowski Zakład Fizyki Kwantowej, Segment G-III, p. 205 e-mail: lipowski@amu.edu.pl tel. 5062/5156 Plan 1) Wstęp 2) Dynamika układów nieliniowych
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13
SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoANALIZA BELKI DREWNIANEJ W POŻARZE
Proceedings of the 5 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 19-20, 2006 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu
Bardziej szczegółowoMatematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r.
Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Historia kierunku Matematyka Stosowana utworzona w 2012 r. na WPPT (zespół z Centrum im. Hugona Steinhausa) studia
Bardziej szczegółowo3. MODELOWANIE NIELINIOWYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH
3. MODELOWANIE NIELINIOWYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH 3.. Wprowadzenie Analiza systemów dynamicznych ma podstawowe znaczenie w technice. Ich modelowanie jest być może zasadniczym sposobem poznawania otaczającej
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut
Bardziej szczegółowoPRACE IPPT IFTR REPORTS 5/2001 INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK
PRACE IPPT IFTR REPORTS 5/2001 INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK WARSZAWA 2001 ISSN 0208-5658 Redaktor Naczelny: prof. dr hab. Józef Joachim Telega Praca recenzowana Praca
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoWIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów
LABORATORIUM WIBROAUSTYI MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowoWYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM
WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM 1. Wprowadzenie do zajęć. Równania Lagrange'a II rodzaju Ćwiczenie wykonywane na podstawie rozdziału 3 [1] 2. Drgania swobodne
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład 4 Podstawy teorii przepływów turbulentnych Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i
J. Szantyr Wykład 4 Podstawy teorii przepływów turbulentnych Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNY MODEL PANEWKI POPRZECZNEGO ŁOśYSKA ŚLIZGOWEGO. CZĘŚĆ 3. WPŁYW ZUśYCIA PANEWKI NA ROZKŁAD CIŚNIENIA I GRUBOŚĆ FILMU OLEJOWEGO
Paweł PŁUCIENNIK, Andrzej MACIEJCZYK TEORETYCZNY MODEL PANEWKI POPRZECZNEGO ŁOśYSKA ŚLIZGOWEGO. CZĘŚĆ 3. WPŁYW ZUśYCIA PANEWKI NA ROZKŁAD CIŚNIENIA I GRUBOŚĆ FILMU OLEJOWEGO Streszczenie W artykule przedstawiono
Bardziej szczegółowoSYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW
Romuald Mosdorf Joanicjusz Nazarko Nina Siemieniuk SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW EKONOMICZNYCH Z ZASTOSOWANIEM TEORII CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO Gospodarka rynkowa oparta jest na mechanizmach i instytucjach
Bardziej szczegółowodr hab. Andrzej Krawiecki rezonans fal spinowych, rezonans stochastyczny, sieci ewoluujące, sieci złożone
Dynamika Uk adów Nieliniowych 24 Wykład Wprowadzenie Pokaz: wahadło matematyczne liniowe i nieliniowe symulacja wahadła matematycznego Nazwa dziedziny: teoria chaosu dynamika układów nieliniowych Jest
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoSprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej. Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15
Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 =============================================== =========================
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D-3
POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN Ćwiczenie D-3 Temat: Obliczenie częstotliwości własnej drgań swobodnych wrzecion obrabiarek Konsultacje: prof. dr hab. inż. F. Oryński
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoANALIZA DYNAMIKI PROSTEGO OBWODU ELEKTRYCZNEGO NIECAŁKOWITEGO RZĘDU Z MEMRYSTOREM
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 73 Electrical Engineering 3 Mikołaj BUSŁOWICZ* ANALIZA DYNAMIKI PROSTEGO OBWODU ELEKTRYCZNEGO NIECAŁKOWITEGO RZĘDU Z MEMRYSTOREM W pracy rozpatrzono
Bardziej szczegółowoAnaliza korespondencji
Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoMatematyczny opis układu napędowego pojazdu szynowego
GRZESIKIEWICZ Wiesław 1 LEWANDOWSKI Mirosław 2 Matematyczny opis układu napędowego pojazdu szynowego WPROWADZENIE Rozważmy model układu napędowego pojazdu szynowego. Model ten dotyczy napędu jednej osi
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2014/2015 Kod: EIT s Punkty ECTS: 4. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Systemy dynamiczne Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EIT-1-309-s Punkty ECTS: 4 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Informatyka Specjalność:
Bardziej szczegółowoDYNAMIC STIFFNESS COMPENSATION IN VIBRATION CONTROL SYSTEMS WITH MR DAMPERS
MARCIN MAŚLANKA, JACEK SNAMINA KOMPENSACJA SZTYWNOŚCI DYNAMICZNEJ W UKŁADACH REDUKCJI DRGAŃ Z TŁUMIKAMI MR DYNAMIC STIFFNESS COMPENSATION IN VIBRATION CONTROL SYSTEMS WITH MR DAMPERS S t r e s z c z e
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoDynamika regularna i chaotyczna w uk³adach technicznych z tarciem i uderzeniami
Osi¹gniêcia Nauki i Techniki Kierunki Rozwoju i Metody KONWERSATORIUM POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ Wk³adka nr 11 do Miesiêcznika Politechniki Warszawskiej nr 4/2007 Redaktor merytoryczny Stanis³aw Janeczko
Bardziej szczegółowoAnaliza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: Liczba punktów: wykład, ćwiczenia W, C 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Bardziej szczegółowoNIEPEWNOŚĆ W OKREŚLENIU PRĘDKOŚCI EES ZDERZENIA SAMOCHODÓW WYZNACZANEJ METODĄ EKSPERYMENTALNO-ANALITYCZNĄ
NIEPEWNOŚĆ W OKREŚLENIU PRĘDKOŚCI EES ZDERZENIA SAMOCHODÓW WYZNACZANEJ METODĄ EKSPERYMENTALNO-ANALITYCZNĄ Karol SZTWIERTNIA 1, Marek GUZEK, Janusz JANUŁA 3 Streszczenie Przedmiotem artykułu jest niepewność
Bardziej szczegółowoWpływ nieliniowości elementów układu pomiarowego na błąd pomiaru impedancji
Wpływ nieliniowości elementów układu pomiarowego na błąd pomiaru impedancji Wiesław Miczulski* W artykule przedstawiono wyniki badań ilustrujące wpływ nieliniowości elementów układu porównania napięć na
Bardziej szczegółowo