METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ"

Transkrypt

1 Tomasz Rolski Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ Walim,

2 Plan wykładu: Coś o generatorach, Statystyczne opracowanie wyników, Coś o redukcji wariancji, Problemy matematyki finansowej, Symulacja ruchu Browna, Symulacja geometrycznego ruchu Browna, Użycie metody warst. Slide 2/??

3 Rysunek 1: Kostka z Eurandom Ogólny schemat generowania liczb losowych: Slide 3/??

4 (S,s 0,f,U,g), gdzie S jest skończoną przestrzenią stanów, s 0 S jest wartościa początkową rekurencji s i+1 = f(s i ), gdzie f : S S, natomiast U skończoną przestrzenią wartości oraz g : S U. Wtedy mówimy, że (S,s 0,f,U,g) jest generatorem liczb losowych (GLL). Slide 4/??

5 Example[Metoda kongruencji liniowej] Najprostszym przykładem GLL jest ciąg U n zadany przez X n /M, gdzie Należy wybrać X n+1 = (ax n +c) mod M. (1) M, moduł; 0 < M a, mnożnik; 0 a < M c, krok 0 c < M X 0, wartość początkowa; 0 X 0 < M. Aby otrzymać ciąg z przedziału (0,1) musimy teraz wybrać U n = X n /M. Ciąg (X n ) ma okres nie dłuższy niż M. Slide 5/??

6 Example Java X i+1 = ( X i +11) mod 2 48 U i = (2 27 X 2i / X 2i+1 /2 21 )/2 53. VB X i = ( X i ) mod 2 24 U i = X i /2 24. Excel U i = (0.9821U i ) mod 1. Slide 6/??

7 MATLAB rand randn randperm(n) W dalszym ciągu przez (U 1,U 2,... ędziemy oznaczali ciąg iid o rozkładzie jednostajnym U(0,1). Slide 7/??

8 Dobroć generatorów. Na przykładzie generatorów w MATLABIE. Generujemy U 1,... i niech X n odległość pomiędzy wielkościami mniejszymi niż δ. (X n ) jest ciągiem iid rozkładzie geometrycznym. rand( state,0); n = 5*10^7; delta =.01; runs = diff(find(rand(n,1)<delta))-1; y = histc(runs, 0:100)./ length(runs); plot(0:100,(1-delta).^(0:100).*delta, k--, 0:100,y, b- ); title( Distribution of run lengths ) xlabel( Run Length ); ylabel( Relative Frequency ); legend({ Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution }) Slide 8/??

9 Dla metody state możemy zaobserwować tajemniczą odchyłkę przy k = 27; patrz rys x 10 3 Distribution of run lengths 10 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 9 Relative Frequency Run Length Rysunek 2: Histogram pojawiania się małych wielkości; generator state, n = , δ = 0.01 Slide 9/??

10 10 x 10 3 Distribution of run lengths 9 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 8 Relative Frequency Run Length Rysunek 3: Histogram pojawiania się małych wielkości; generator twister, n = , δ = 0.01 Slide 10/??

11 Dla kontrastu symulacja jeśli zamiast odstępów pomiędzy liczbami mniejszymi od δ = 0.01 rozważamy odstępy pomiędzy liczbami większymi od δ = x 10 3 Distribution of run lengths 10 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 9 Relative Frequency Run Length Rysunek 4: Histogram pojawiania się dużych wielkości; generator state, n = , δ = 0.01 Slide 11/??

12 Testowanie generatorów testy równomierności sprawdzający czy wygenerowane liczby są równomiernie rozmieszczone między zerem a jedynką, test serii podobnie jak równomierności tylko dla kolejnych t-rek, test odstępów notujemy odstępy pomiędzy liczbami losowymi, które nie należą do [a, b], gdzie 0 a < b 1, i sprawdzamy zgodność z rozkładem geometrycznym. Slide 12/??

13 Zgodność z rozkładem jednostajnym; test λ Kołmogorowa Generujemy liczby U 1,...,U n, i definiujemy odpowiadającą im dystrybunatę empiryczną ˆF n (t) = 1 n n 1(U i t), 0 t 1. i=1 Pamiętając, że naszą hipotezą jest rozkład jednostajny U(0,1), tj. F(t) = t dla t (0,1), naszą statystyką testową jest D n = sup ˆF n (t) t. 0 t 1 Twierdzenia Gliwienko Cantelli: D n 0. Natomiast unormowane zmienne nd n K(t). Mamy λ 0.1 = 1.224, λ 0.05 = oraz λ 0.01 = 1.628, gdzie 1 K(λ α ) = α. Slide 13/??

14 Algorytm dla D n. U (1),...,U (n) - statystyka porządkowa. D + n D n ( i = max 1 i n = max 1 i n ) n U (i), ( U (i) i 1 n ). Wtedy D n = max(d + n,d n). Slide 14/??

15 Generowanie losowej permutacji ciągu 1,..., N ALGORYTM 1. podstaw t = N oraz A[i] = i dla i = 1,..., N ; 2. generuj liczbȩ losow a u pomiȩdzy 0 i 1; 3. podstaw k = 1 + tu ; zamień A[k] z A[t]; 4. podstaw t = t - 1; jeśli t > 1, to powrót do kroku 2; w przeciwnym razie stop i A[1],..., A[N ] podaj a losow a permutacjȩ. Złożoność algorytmu jest O(N ). Slide 15/??

16 Feller, t.1; rozdz. 3. Gracz A i B. Rzuty symetryczn a monet a. w n-tym rzucie wygrywa A jeśli 1 = orzeł, w przeciwnym razie -1= reszka wygrywa B S n wygrana A po n rzutach Pytania: Jak wygl adaj a oscylacje S n (n = 0,1,...,N) S 0 = 0. Demonstracja w MATLABIE - plik rand_walk_simple.m Jakie jest prawdopodobieństwo P(α,β), że przy N rzutach bȩdziemy nad kresk a w przedziale pomiȩdzy 100α% a 100β% procent czasu? L + N łączny czas prowadzenia przez A Slide 16/??

17 Rysunek 5: Histogram dla L ; R = , 25 klas Slide 17/??

18 Przykładowa symulacja prostego symetrycznego błądzenia przypadkowego. M PLIK dem2-1.m N=100; xi=2*floor(2*rand(1,n))-1; A=triu(ones(N)); y=xi*a; for i=2:n+1 s(i)=y(i-1); end s(1)=0; x=1:n+1; plot(x,s) Slide 18/??

19 Analiza statystyczna wyników. Chcemy obliczyć wartość I o której wiemy, że można przedstawić w postaci I = EY dla pewnej liczby losowej Y, takiej, że EY 2 <. Niech Y 1,...,Y n będą niezależnymi replikacjami liczby losowej Y i będziemy rozważać estymatory Ŷ n = 1 n n Y j. j=1 Slide 19/??

20 Estymator În jest nieobiążony t.j. EŶ n = I, mocno zgodny to znaczy z prawdopodobieństwem 1 zachodzi zbieżność dla n Ŷ n I, co pociąga ważną dla nas słabą zgodność, to znaczy, że dla każdego b > 0 mamy P( Ŷn I > b) 0. Slide 20/??

21 Zauważmy, że Ŷ n Y b oznacza, że błąd bezwzględny nie przekracza b. Dla każdego b i liczby 0 < α < 1 istnieje n 0, t.ż. P(Ŷn b I Ŷn +b) 1 α, n n 0. A więc z prawdopodobieństwem większym niż 1 α szukana wielkość I należy do przedziału losowego [Ŷn b,ŷn +b] i dlatego α nazywa się poziomem istotności. Z CTG n P j=1 Y j EY 1 x Φ(x), σ Y n gdzie σ Y = VarY 1. Niech z 1 α/2 będzie α/2 kwantylem rozkładu normalnego. Slide 21/??

22 Stąd lim P( z 1 α/2 < n n j=1 Y j EY 1 σ Y n z 1 α/2 ) = 1 α. A więc, po pewnych przekształceniach P(Ŷ n z 1 α/2 σ Y n I Ŷ n +z 1 α/2 σ Y n ) 1 α, skąd mamy fundamentalny związek wiążący n,α,σy 2 : σ Y b = z 1 α/2. (2) n W teorii Monte Carlo α = 0.05 skąd z tablic możemy odczytać, że z = Slide 22/??

23 Metody obniżania wariancji. 1. metoda warstw, 2. metoda zmiennych antytetycznych, 3. metoda wspólnych liczb losowych, 4. metoda zmiennych kontrolnych, 5. warunkowa metoda MC, 6. metoda losowania istotnościowego. Slide 23/??

24 Metoda zmiennych antytetycznych Rozpatrzmy teraz n zmiennych losowych Y 1,Y 2,...,Y n, przy czym n jest parzyste. Ponadto zakładamy, że pary (Y 2i 1,Y 2i ) i, i = 1,...,n/2 są niezależne o jednakowym rozkładzie, zmienne losowe (Y j ) n j=1 brzegowy co Y. mają ten sam rozkład Niech n j=1 Ŷ = Y j n będzie naszym estymatorem. Będziemy porównywać ten estymator z zgrubnym estymatorem Ŷ CMC = 1 n n j=1 Y j gdzie Y 1,Y 2,... są niezależnymi replikacjami Y. Dlatego estymatora wariancja jest VarY/n. Zauważmy, że jeśli będziemy rozpatrywać Slide 24/??

25 estymator to jego wariancja Ŷ = n j=1 Y j n Var(Ŷ ) n = Var(Y 1+Y 2 2 ) n/2 = 1 2n (2Var(Y)+2cov(Y 1,Y 2 )) = 1 2n (2Var(Y)+2Var(Y 1)Corr(Y 1,Y 2 )) = 1 n Var(Y)(1+Corr(Y 1,Y 2 )). A więc Corr(Y 1,Y 2 )) powinno być ujemne. W praktyce aby to osiągnąć stsuje sie zmienne antytetyczne. Przykładem pary takich zmiennych jest F 1 (U),F 1 (1 U), gdzie F jest dystrybunatą Y. Slide 25/??

26 Przykład symulacji antytetycznej Mamy N zadań do wykonania. czasy zadan... Mamy do dyspozycji c = 2 serwerów. Możemy te zadania wykonać na dwa sposoby: według najdłuższego zadania (Longest Processing Time First - LPTF), lub najkrótszego zadania (Shortest Processing Time First - SPTF). Decyzje podejmuje się w momentach zakończenia poszczególnych zadań. Celem jest policzenie EC SPTF, EC LPTF, gdzie C jest czasem do zakończenia ostatniego zadania. Slide 26/??

27 Na przykład, niech N = 5 i c = 2 oraz zadania są wielkości 3,1,2,4,5. wg SPTF: zaczynamy z zadaniami wielkości 1 i 2 i po jednej jednostce czasu resztowe wielkości tych zadań są 3,0,1,4,5 a więc mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Postępując tak dalej widzimy, że C SPTF = 9. wg. LPTF zaczynamy z zadaniami wielkości 4 i 5 i po 4-ch jednostkach czasu resztowe wielkości tych zadań są 3,1,2,0,1 a więc mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Postępując tak dalej widzimy, że C LPTF = 8. Inne FIFO, ALT Slide 27/??

28 Czasy zadań są logu 1, logu 2,..., log(u N ), natomiast w symulacji antytetycznej log(1 U 1 ), log(1 U 1 ), logu 2, log(1 U 2 ),... W tablicy 1 podajemy wyniki dla C, dla N = 10 zadań, z m = 1000 replikacjami; s jest odchyleniem standardowym Var(C), oraz b jest połową długości przedziału ufności na poziomie α = 0.05 (czyli można rzec błąd). dyscyplina I s b FCFS SPTF LPTF FCFSanthy SPTFanthy LPTFanthy Tablica 1: SzacowanieC przy użyciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = Slide 28/??

29 Dla porównania w tablicy poniżej są wyniki z m = replikacjami. Wszystkie symulacje są robione na tych samych liczbach pseudolosowych, ponieważ algorytmy zaczynają się od rand( state,0). dyscyplina I s b FCFS SPTF LPTF FCFSanthy SPTFanthy LPTFanthy Tablica 2: SzacowanieC przy użyciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = Slide 29/??

30 Metoda warstw Cel I = EY. Niech A 1,...,A m będzie rozbiciem IR warstwami. Oznaczmy prawdopodobieństwo wylosowania warstwy p j = P(Y A j ) (to przyjmujemy za znane i dodatnie) oraz y j = E[Y Y A j ] (j = 1,...,m) (oczywiście to jest nieznane bo inaczej nie trzeba by nic obliczać). Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite EY = p 1 y p m y m. Slide 30/??

31 Metoda warstw: Potrafimy losowac Y j = d (Y Y A j ). n będzie ogólną liczbą replikacji, n j replikacji Y j w warstwie j; n = j n j Slide 31/??

32 Niech Y j 1,...,Y j n j będą więc replikacjami Y j w warstwie j. Definiujemy jako estymator y j. Ŷ j = 1 n j n j i=1 Y j i Niech σ 2 j = VarY j będzie wariancją w warstwie j. Zauważmy, ż Estymator Ŷ j jest nieobciążonym y j oraz VarŶ j = σ2 j n. Następnie definiujemy estymator warstwowy (nieobciążony) Ŷ str = p 1 Ŷ p m Ŷ m. Slide 32/??

33 Mamy oraz EŶ str = p 1 EŶ p m EŶ m m EY1 Y Ai = p i = EY = I. p i i=1 σstr(n 2 1,...,n m ) = nvarŷ str m = n p 2 jvarŷ j = p 2 1 j=1 n σ p 2 n m σm 2. n 1 n m Wielkość σ 2 str(n 1,...,n m ) będziemy nazywać wariancją estymatora warstwowego. A więc VarŶ str = σ2 str(n 1,...,n m ) n. Slide 33/??

34 Symulacja procesów matematyki finansowej Realizacje badanych tutaj procesów są ciągłe, i dlatego czegoś takiego nie można wylosować na komputerze. Możemy zjedynie wylosować realizację (X(0),X(t 1 ),...,X(t n )) w momentach 0 = t 0 < t 1 <... < t n T. Będziemy przyjmowali, ze t 1 <... < t n. Example Niech {S(t),0 t T} będzie ewolucją ceny akcji - geometrycznych ruch Browna. Najbardziej popularną jest opcja możliwości zakupu akcji za cenę K jeśli cena w chwili T spełnia warunek S(T) K, w przeciwnym razie rezygnację z zakupu. Jest to tzw opcja europejska call. Inną opcją jest tzw. azjatycka gdzie zamiast wartości S(T) bierzemy po uwagę uśrednioną ceną T 0 S(s)ds/T. Slide 34/??

35 W takimi razie korzyść kupującego jest (S(T) K) + lub T ( 0 S(s)ds/T K) +. r bezryzykownym natężeniem stopy procentowej, to cena takich opcji byłaby e rt E(S(T) K) + lub e rt E ( T 0 S(s)ds ) T K +. Slide 35/??

36 Ponieważ nie mamy możliwości symulacji realizacji {S(t),0 t T} więc symulujemy S(0),S(T/N),...,S(T). Dla opcji azjatyckiej będziemy obliczali jej cenę za pomocą N Y = e rt S(jT/N))/T K. j=1 A więc estymator zdefiniowany przez Y nie będzie nieobciążony, mimo, że rozkład (S(0),S(1/N),...,S(T)) jest dokładny. + Slide 36/??

37 Jednakże nie zawsze jesteśmy w stanie symulować rozkład dokładny, ze względu na to, że nie znamy tego rozkładu ani procedury jego generowania. W przypadku gdy proces S(t) jest zadany przez stochastyczne równanie różniczkowe, to istnieje procedura numeryczna, generowania aproksymacji S(0), S(T/N),..., S(T), który to wektor ma jedynie rozkład przybliżony do S(0),S(T/N),...,S(T). Będzie to metoda Eulera lub jej rozwinięcie zwane metodą Milsteina. Możemy interpolować S(0), S(T/N),..., S(T) do procesu { S(t),0 t T} w sposób ciągły i następnie badać jak szybko dąży do zera błąd postaci lub E T 0 E sup 0 t T S(t) S(t) p dt S(t) S(t) dt. Innym błędem zbadanym teoretycznie jest e s (N) = E S(1) S(1). Slide 37/??

38 Ruch Browna Ruch Browna ma przyrosty niezależne. Realizację B(t) (0 t T) symulujemy w punktach 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = T. Korzystając z tego, że B(t i ) B(t i 1 ) = d ti t i 1 Z i, gdzie Z 1,...,Z n są iid standardowe normalne. Bardziej ogólny model to ruch Browna z dryfem BM(µ, σ), gdzie dryf µ IR i współczynnikem dyfuzji σ > 0. Taki proces definiujemy przez X(t) = σb(t) + µt gdzie B(t) jest standardowym ruchem Browna. W języku stochastycznych równań różniczkowych dx(t) = µdt+σdb(t). Slide 38/??

39 Most Browna i inna konstrukcja ruchu Browna Przedstawimy teraz inną konstrukcję ruchu Browna, korzystając z mostu Browna. Rozpatrzmy (B(s), B(t), B(u)), gdzie 0 u < s < t. Rozkład B(s) pod warunkiem B(u) = x i B(t) = y jest normalny z średnią oraz wariancją (t s)x+(s u)y (t u) (s u)(t s). (t u) W szczególności B(t+h) pod warunkiem B(t) = x i B(t+2h) = y ma średnią (x+y)/2 i wariancję h/2. Slide 39/??

40 Będziemy zakładać, że T = 1. Naszym celem jest wygenerowanie b k 0,...,b k 2 k 1,bk 2 k mający łączny rozkład taki jak Algorytm: (B(0),...,B((2 k 1)/2 k ),B(1)). 1. Generuj b 0 0,b 0 1, gdzie b 0 0 = 0 oraz b 1 0 N(0,1). 2. Mając wygenerowane b k 1 j,(j = 1,...,2 k 1 ), zauważamy, że b k 2j = bk 1 j,(j = 1,...,2 k 1 ), natomiast dla j = 2j + 1, generujemy b k i N(y,2 k 1 ), gdzie y = 1 2 (bk 1 j +b k 1 j+1 ). Slide 40/??

41 Reprezentację standardowego ruchu Browna. Niech Z 0, Z i,j ;l = 1,2,...,j = 1,...,2 l 1 iid N(0,1). Definiujemy b k (t) jako 0 (t)z 0 + k l=1 Zauważmy, że l (l+1)/2 i=1 (b k (0),b k (1/2 k ),...,b k (1)) ma taki sam rozkład, jak l,i (t)z l,i, t [0,1]. (B(0),...,B((2 k 1)/2 k ),B(1)). Można pokazać, że dla k mamy zbieżność prawie wszędzie do procesu 0 (t)z 0 + l=1 l (l+1)/2 i=1 l,i (t)z l,i, t [0,1]. Ten proces ma ciągłe trajektorie i spełnia warunki ruchu Browna. Slide 41/??

42 Geometryczny ruch Browna Przypuśmy, że gdzie B(t) jest SBM. X(t) = X(0)exp(σB(t)+ηt) Stosując wzór Ito do X(t) = f(b(t),t), gdzie f(x,t) = ξexp(σx+ηt) mamy dx(t) = = t f(b(t),t)dt+ x f(b(t),t)db(t)+ 1 2 = (η +σ 2 /2)X(t)dt+σX(t)dB(t). Podstawiając µ = η +σ 2 /2 widzimy, że stochastyczne równanie różniczkowe dx(t) = µx(t)dt+σx(t)db(t) z warunkiem początkowym X(0) = ξ ma rozwiązanie X(t) = ξexp((µ σ 2 /2)t+σB(t)). Ten proces nazywamy geometrycznym ruchem Browna X(t) ( GBM(µ,σ)). 2 x 2f(B(t) Slide 42/??

43 Algorytm. Wartości X w punktach 0 = t 0 < t 1 <... < t n spełniają rekurencję X(t i+1 ) = = X(t i )exp((µ 1 2 σ2 )(t i+1 t i )+σ t i+1 t i Z i+1 ) z Z 1,...,Z n iid N(0,1). Slide 43/??

44 Materiał z tego wykładu i dużo więcej jest w: [1] Asmussen, S. & Glynn, P. Stochastic Simulation. Springer, [2] Glasserman, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, [3] Rolski, T. Symulacje Stochastyczne i Teoria Monte Carlo, Skrypt IM UWr dostępny na rolski/skrypty.html Slide 44/??

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 0/5 () Nazwa Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka () Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot ()

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo

Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo Tomasz Rolski Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Wrocław styczeń, 2013 Wersja v2.4 drukowana w dniu 20 stycznia 2013 r. Spis treści I Wstęp 3 1 O

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa WYCENA OPCJI EUROPEJSKIEJ I AMERYKAŃSKIEJ W MODELACH DWUMIANOWYCH I TRÓJMIANOWYCH COXA-ROSSA-RUBINSTEINA I JARROWA-RUDDA Joanna Karska W modelach dyskretnych wyceny opcji losowość wyrażana jest poprzez

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Symulacje Monte Carlo w obliczeniach inżynierskich Nazwa w

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2016 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2016 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Dana jest następująca macierz wypłat gry o sumie zero: Podaj rozwiązanie tej gry. M = 3 2 2 2 3 4 5 2 3 3 2 2 4 2 0 3 3 3 Kredyt ma być spłacany na początku roku

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Symulacja w przedsiębiorstwie

Symulacja w przedsiębiorstwie Symulacja w przedsiębiorstwie Generowanie liczb losowych Cel Celem laboratorium jest zapoznanie się z funkcjami generowania liczb pseudolosowych w środowisku Ms Excel. Funkcje te są podstawą modeli symulacyjnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są

Bardziej szczegółowo

Algorytmy zrandomizowane

Algorytmy zrandomizowane Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik

Bardziej szczegółowo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Autor: Dominik Winnicki Spis treści Opis problemu... 2 Wstęp teoretyczny... 2 Liczby Haltona... 4 Liczby Sobol a... 4 Ocena uzyskanych ciągów Haltona i Sobol

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Symulacyjne metody wyceny opcji amerykańskich

Symulacyjne metody wyceny opcji amerykańskich Metody wyceny Piotr Małecki promotor: dr hab. Rafał Weron Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej Wrocław, 0 lipca 009 Metody wyceny Drzewko S 0 S t S t S 3 t S t St St 3 S t St St

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3 Matlab, zajęcia 3. Pętle c.d. Przypomnijmy sobie jak działa pętla for Możemy podać normalnie w Matlabie t=cputime; for i=1:20 v(i)=i; e=cputime-t UWAGA: Taka operacja jest bardzo czasochłonna i nieoptymalna

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo