METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ
|
|
- Przybysław Łukasik
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tomasz Rolski Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ Walim,
2 Plan wykładu: Coś o generatorach, Statystyczne opracowanie wyników, Coś o redukcji wariancji, Problemy matematyki finansowej, Symulacja ruchu Browna, Symulacja geometrycznego ruchu Browna, Użycie metody warst. Slide 2/??
3 Rysunek 1: Kostka z Eurandom Ogólny schemat generowania liczb losowych: Slide 3/??
4 (S,s 0,f,U,g), gdzie S jest skończoną przestrzenią stanów, s 0 S jest wartościa początkową rekurencji s i+1 = f(s i ), gdzie f : S S, natomiast U skończoną przestrzenią wartości oraz g : S U. Wtedy mówimy, że (S,s 0,f,U,g) jest generatorem liczb losowych (GLL). Slide 4/??
5 Example[Metoda kongruencji liniowej] Najprostszym przykładem GLL jest ciąg U n zadany przez X n /M, gdzie Należy wybrać X n+1 = (ax n +c) mod M. (1) M, moduł; 0 < M a, mnożnik; 0 a < M c, krok 0 c < M X 0, wartość początkowa; 0 X 0 < M. Aby otrzymać ciąg z przedziału (0,1) musimy teraz wybrać U n = X n /M. Ciąg (X n ) ma okres nie dłuższy niż M. Slide 5/??
6 Example Java X i+1 = ( X i +11) mod 2 48 U i = (2 27 X 2i / X 2i+1 /2 21 )/2 53. VB X i = ( X i ) mod 2 24 U i = X i /2 24. Excel U i = (0.9821U i ) mod 1. Slide 6/??
7 MATLAB rand randn randperm(n) W dalszym ciągu przez (U 1,U 2,... ędziemy oznaczali ciąg iid o rozkładzie jednostajnym U(0,1). Slide 7/??
8 Dobroć generatorów. Na przykładzie generatorów w MATLABIE. Generujemy U 1,... i niech X n odległość pomiędzy wielkościami mniejszymi niż δ. (X n ) jest ciągiem iid rozkładzie geometrycznym. rand( state,0); n = 5*10^7; delta =.01; runs = diff(find(rand(n,1)<delta))-1; y = histc(runs, 0:100)./ length(runs); plot(0:100,(1-delta).^(0:100).*delta, k--, 0:100,y, b- ); title( Distribution of run lengths ) xlabel( Run Length ); ylabel( Relative Frequency ); legend({ Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution }) Slide 8/??
9 Dla metody state możemy zaobserwować tajemniczą odchyłkę przy k = 27; patrz rys x 10 3 Distribution of run lengths 10 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 9 Relative Frequency Run Length Rysunek 2: Histogram pojawiania się małych wielkości; generator state, n = , δ = 0.01 Slide 9/??
10 10 x 10 3 Distribution of run lengths 9 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 8 Relative Frequency Run Length Rysunek 3: Histogram pojawiania się małych wielkości; generator twister, n = , δ = 0.01 Slide 10/??
11 Dla kontrastu symulacja jeśli zamiast odstępów pomiędzy liczbami mniejszymi od δ = 0.01 rozważamy odstępy pomiędzy liczbami większymi od δ = x 10 3 Distribution of run lengths 10 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 9 Relative Frequency Run Length Rysunek 4: Histogram pojawiania się dużych wielkości; generator state, n = , δ = 0.01 Slide 11/??
12 Testowanie generatorów testy równomierności sprawdzający czy wygenerowane liczby są równomiernie rozmieszczone między zerem a jedynką, test serii podobnie jak równomierności tylko dla kolejnych t-rek, test odstępów notujemy odstępy pomiędzy liczbami losowymi, które nie należą do [a, b], gdzie 0 a < b 1, i sprawdzamy zgodność z rozkładem geometrycznym. Slide 12/??
13 Zgodność z rozkładem jednostajnym; test λ Kołmogorowa Generujemy liczby U 1,...,U n, i definiujemy odpowiadającą im dystrybunatę empiryczną ˆF n (t) = 1 n n 1(U i t), 0 t 1. i=1 Pamiętając, że naszą hipotezą jest rozkład jednostajny U(0,1), tj. F(t) = t dla t (0,1), naszą statystyką testową jest D n = sup ˆF n (t) t. 0 t 1 Twierdzenia Gliwienko Cantelli: D n 0. Natomiast unormowane zmienne nd n K(t). Mamy λ 0.1 = 1.224, λ 0.05 = oraz λ 0.01 = 1.628, gdzie 1 K(λ α ) = α. Slide 13/??
14 Algorytm dla D n. U (1),...,U (n) - statystyka porządkowa. D + n D n ( i = max 1 i n = max 1 i n ) n U (i), ( U (i) i 1 n ). Wtedy D n = max(d + n,d n). Slide 14/??
15 Generowanie losowej permutacji ciągu 1,..., N ALGORYTM 1. podstaw t = N oraz A[i] = i dla i = 1,..., N ; 2. generuj liczbȩ losow a u pomiȩdzy 0 i 1; 3. podstaw k = 1 + tu ; zamień A[k] z A[t]; 4. podstaw t = t - 1; jeśli t > 1, to powrót do kroku 2; w przeciwnym razie stop i A[1],..., A[N ] podaj a losow a permutacjȩ. Złożoność algorytmu jest O(N ). Slide 15/??
16 Feller, t.1; rozdz. 3. Gracz A i B. Rzuty symetryczn a monet a. w n-tym rzucie wygrywa A jeśli 1 = orzeł, w przeciwnym razie -1= reszka wygrywa B S n wygrana A po n rzutach Pytania: Jak wygl adaj a oscylacje S n (n = 0,1,...,N) S 0 = 0. Demonstracja w MATLABIE - plik rand_walk_simple.m Jakie jest prawdopodobieństwo P(α,β), że przy N rzutach bȩdziemy nad kresk a w przedziale pomiȩdzy 100α% a 100β% procent czasu? L + N łączny czas prowadzenia przez A Slide 16/??
17 Rysunek 5: Histogram dla L ; R = , 25 klas Slide 17/??
18 Przykładowa symulacja prostego symetrycznego błądzenia przypadkowego. M PLIK dem2-1.m N=100; xi=2*floor(2*rand(1,n))-1; A=triu(ones(N)); y=xi*a; for i=2:n+1 s(i)=y(i-1); end s(1)=0; x=1:n+1; plot(x,s) Slide 18/??
19 Analiza statystyczna wyników. Chcemy obliczyć wartość I o której wiemy, że można przedstawić w postaci I = EY dla pewnej liczby losowej Y, takiej, że EY 2 <. Niech Y 1,...,Y n będą niezależnymi replikacjami liczby losowej Y i będziemy rozważać estymatory Ŷ n = 1 n n Y j. j=1 Slide 19/??
20 Estymator În jest nieobiążony t.j. EŶ n = I, mocno zgodny to znaczy z prawdopodobieństwem 1 zachodzi zbieżność dla n Ŷ n I, co pociąga ważną dla nas słabą zgodność, to znaczy, że dla każdego b > 0 mamy P( Ŷn I > b) 0. Slide 20/??
21 Zauważmy, że Ŷ n Y b oznacza, że błąd bezwzględny nie przekracza b. Dla każdego b i liczby 0 < α < 1 istnieje n 0, t.ż. P(Ŷn b I Ŷn +b) 1 α, n n 0. A więc z prawdopodobieństwem większym niż 1 α szukana wielkość I należy do przedziału losowego [Ŷn b,ŷn +b] i dlatego α nazywa się poziomem istotności. Z CTG n P j=1 Y j EY 1 x Φ(x), σ Y n gdzie σ Y = VarY 1. Niech z 1 α/2 będzie α/2 kwantylem rozkładu normalnego. Slide 21/??
22 Stąd lim P( z 1 α/2 < n n j=1 Y j EY 1 σ Y n z 1 α/2 ) = 1 α. A więc, po pewnych przekształceniach P(Ŷ n z 1 α/2 σ Y n I Ŷ n +z 1 α/2 σ Y n ) 1 α, skąd mamy fundamentalny związek wiążący n,α,σy 2 : σ Y b = z 1 α/2. (2) n W teorii Monte Carlo α = 0.05 skąd z tablic możemy odczytać, że z = Slide 22/??
23 Metody obniżania wariancji. 1. metoda warstw, 2. metoda zmiennych antytetycznych, 3. metoda wspólnych liczb losowych, 4. metoda zmiennych kontrolnych, 5. warunkowa metoda MC, 6. metoda losowania istotnościowego. Slide 23/??
24 Metoda zmiennych antytetycznych Rozpatrzmy teraz n zmiennych losowych Y 1,Y 2,...,Y n, przy czym n jest parzyste. Ponadto zakładamy, że pary (Y 2i 1,Y 2i ) i, i = 1,...,n/2 są niezależne o jednakowym rozkładzie, zmienne losowe (Y j ) n j=1 brzegowy co Y. mają ten sam rozkład Niech n j=1 Ŷ = Y j n będzie naszym estymatorem. Będziemy porównywać ten estymator z zgrubnym estymatorem Ŷ CMC = 1 n n j=1 Y j gdzie Y 1,Y 2,... są niezależnymi replikacjami Y. Dlatego estymatora wariancja jest VarY/n. Zauważmy, że jeśli będziemy rozpatrywać Slide 24/??
25 estymator to jego wariancja Ŷ = n j=1 Y j n Var(Ŷ ) n = Var(Y 1+Y 2 2 ) n/2 = 1 2n (2Var(Y)+2cov(Y 1,Y 2 )) = 1 2n (2Var(Y)+2Var(Y 1)Corr(Y 1,Y 2 )) = 1 n Var(Y)(1+Corr(Y 1,Y 2 )). A więc Corr(Y 1,Y 2 )) powinno być ujemne. W praktyce aby to osiągnąć stsuje sie zmienne antytetyczne. Przykładem pary takich zmiennych jest F 1 (U),F 1 (1 U), gdzie F jest dystrybunatą Y. Slide 25/??
26 Przykład symulacji antytetycznej Mamy N zadań do wykonania. czasy zadan... Mamy do dyspozycji c = 2 serwerów. Możemy te zadania wykonać na dwa sposoby: według najdłuższego zadania (Longest Processing Time First - LPTF), lub najkrótszego zadania (Shortest Processing Time First - SPTF). Decyzje podejmuje się w momentach zakończenia poszczególnych zadań. Celem jest policzenie EC SPTF, EC LPTF, gdzie C jest czasem do zakończenia ostatniego zadania. Slide 26/??
27 Na przykład, niech N = 5 i c = 2 oraz zadania są wielkości 3,1,2,4,5. wg SPTF: zaczynamy z zadaniami wielkości 1 i 2 i po jednej jednostce czasu resztowe wielkości tych zadań są 3,0,1,4,5 a więc mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Postępując tak dalej widzimy, że C SPTF = 9. wg. LPTF zaczynamy z zadaniami wielkości 4 i 5 i po 4-ch jednostkach czasu resztowe wielkości tych zadań są 3,1,2,0,1 a więc mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Postępując tak dalej widzimy, że C LPTF = 8. Inne FIFO, ALT Slide 27/??
28 Czasy zadań są logu 1, logu 2,..., log(u N ), natomiast w symulacji antytetycznej log(1 U 1 ), log(1 U 1 ), logu 2, log(1 U 2 ),... W tablicy 1 podajemy wyniki dla C, dla N = 10 zadań, z m = 1000 replikacjami; s jest odchyleniem standardowym Var(C), oraz b jest połową długości przedziału ufności na poziomie α = 0.05 (czyli można rzec błąd). dyscyplina I s b FCFS SPTF LPTF FCFSanthy SPTFanthy LPTFanthy Tablica 1: SzacowanieC przy użyciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = Slide 28/??
29 Dla porównania w tablicy poniżej są wyniki z m = replikacjami. Wszystkie symulacje są robione na tych samych liczbach pseudolosowych, ponieważ algorytmy zaczynają się od rand( state,0). dyscyplina I s b FCFS SPTF LPTF FCFSanthy SPTFanthy LPTFanthy Tablica 2: SzacowanieC przy użyciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = Slide 29/??
30 Metoda warstw Cel I = EY. Niech A 1,...,A m będzie rozbiciem IR warstwami. Oznaczmy prawdopodobieństwo wylosowania warstwy p j = P(Y A j ) (to przyjmujemy za znane i dodatnie) oraz y j = E[Y Y A j ] (j = 1,...,m) (oczywiście to jest nieznane bo inaczej nie trzeba by nic obliczać). Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite EY = p 1 y p m y m. Slide 30/??
31 Metoda warstw: Potrafimy losowac Y j = d (Y Y A j ). n będzie ogólną liczbą replikacji, n j replikacji Y j w warstwie j; n = j n j Slide 31/??
32 Niech Y j 1,...,Y j n j będą więc replikacjami Y j w warstwie j. Definiujemy jako estymator y j. Ŷ j = 1 n j n j i=1 Y j i Niech σ 2 j = VarY j będzie wariancją w warstwie j. Zauważmy, ż Estymator Ŷ j jest nieobciążonym y j oraz VarŶ j = σ2 j n. Następnie definiujemy estymator warstwowy (nieobciążony) Ŷ str = p 1 Ŷ p m Ŷ m. Slide 32/??
33 Mamy oraz EŶ str = p 1 EŶ p m EŶ m m EY1 Y Ai = p i = EY = I. p i i=1 σstr(n 2 1,...,n m ) = nvarŷ str m = n p 2 jvarŷ j = p 2 1 j=1 n σ p 2 n m σm 2. n 1 n m Wielkość σ 2 str(n 1,...,n m ) będziemy nazywać wariancją estymatora warstwowego. A więc VarŶ str = σ2 str(n 1,...,n m ) n. Slide 33/??
34 Symulacja procesów matematyki finansowej Realizacje badanych tutaj procesów są ciągłe, i dlatego czegoś takiego nie można wylosować na komputerze. Możemy zjedynie wylosować realizację (X(0),X(t 1 ),...,X(t n )) w momentach 0 = t 0 < t 1 <... < t n T. Będziemy przyjmowali, ze t 1 <... < t n. Example Niech {S(t),0 t T} będzie ewolucją ceny akcji - geometrycznych ruch Browna. Najbardziej popularną jest opcja możliwości zakupu akcji za cenę K jeśli cena w chwili T spełnia warunek S(T) K, w przeciwnym razie rezygnację z zakupu. Jest to tzw opcja europejska call. Inną opcją jest tzw. azjatycka gdzie zamiast wartości S(T) bierzemy po uwagę uśrednioną ceną T 0 S(s)ds/T. Slide 34/??
35 W takimi razie korzyść kupującego jest (S(T) K) + lub T ( 0 S(s)ds/T K) +. r bezryzykownym natężeniem stopy procentowej, to cena takich opcji byłaby e rt E(S(T) K) + lub e rt E ( T 0 S(s)ds ) T K +. Slide 35/??
36 Ponieważ nie mamy możliwości symulacji realizacji {S(t),0 t T} więc symulujemy S(0),S(T/N),...,S(T). Dla opcji azjatyckiej będziemy obliczali jej cenę za pomocą N Y = e rt S(jT/N))/T K. j=1 A więc estymator zdefiniowany przez Y nie będzie nieobciążony, mimo, że rozkład (S(0),S(1/N),...,S(T)) jest dokładny. + Slide 36/??
37 Jednakże nie zawsze jesteśmy w stanie symulować rozkład dokładny, ze względu na to, że nie znamy tego rozkładu ani procedury jego generowania. W przypadku gdy proces S(t) jest zadany przez stochastyczne równanie różniczkowe, to istnieje procedura numeryczna, generowania aproksymacji S(0), S(T/N),..., S(T), który to wektor ma jedynie rozkład przybliżony do S(0),S(T/N),...,S(T). Będzie to metoda Eulera lub jej rozwinięcie zwane metodą Milsteina. Możemy interpolować S(0), S(T/N),..., S(T) do procesu { S(t),0 t T} w sposób ciągły i następnie badać jak szybko dąży do zera błąd postaci lub E T 0 E sup 0 t T S(t) S(t) p dt S(t) S(t) dt. Innym błędem zbadanym teoretycznie jest e s (N) = E S(1) S(1). Slide 37/??
38 Ruch Browna Ruch Browna ma przyrosty niezależne. Realizację B(t) (0 t T) symulujemy w punktach 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = T. Korzystając z tego, że B(t i ) B(t i 1 ) = d ti t i 1 Z i, gdzie Z 1,...,Z n są iid standardowe normalne. Bardziej ogólny model to ruch Browna z dryfem BM(µ, σ), gdzie dryf µ IR i współczynnikem dyfuzji σ > 0. Taki proces definiujemy przez X(t) = σb(t) + µt gdzie B(t) jest standardowym ruchem Browna. W języku stochastycznych równań różniczkowych dx(t) = µdt+σdb(t). Slide 38/??
39 Most Browna i inna konstrukcja ruchu Browna Przedstawimy teraz inną konstrukcję ruchu Browna, korzystając z mostu Browna. Rozpatrzmy (B(s), B(t), B(u)), gdzie 0 u < s < t. Rozkład B(s) pod warunkiem B(u) = x i B(t) = y jest normalny z średnią oraz wariancją (t s)x+(s u)y (t u) (s u)(t s). (t u) W szczególności B(t+h) pod warunkiem B(t) = x i B(t+2h) = y ma średnią (x+y)/2 i wariancję h/2. Slide 39/??
40 Będziemy zakładać, że T = 1. Naszym celem jest wygenerowanie b k 0,...,b k 2 k 1,bk 2 k mający łączny rozkład taki jak Algorytm: (B(0),...,B((2 k 1)/2 k ),B(1)). 1. Generuj b 0 0,b 0 1, gdzie b 0 0 = 0 oraz b 1 0 N(0,1). 2. Mając wygenerowane b k 1 j,(j = 1,...,2 k 1 ), zauważamy, że b k 2j = bk 1 j,(j = 1,...,2 k 1 ), natomiast dla j = 2j + 1, generujemy b k i N(y,2 k 1 ), gdzie y = 1 2 (bk 1 j +b k 1 j+1 ). Slide 40/??
41 Reprezentację standardowego ruchu Browna. Niech Z 0, Z i,j ;l = 1,2,...,j = 1,...,2 l 1 iid N(0,1). Definiujemy b k (t) jako 0 (t)z 0 + k l=1 Zauważmy, że l (l+1)/2 i=1 (b k (0),b k (1/2 k ),...,b k (1)) ma taki sam rozkład, jak l,i (t)z l,i, t [0,1]. (B(0),...,B((2 k 1)/2 k ),B(1)). Można pokazać, że dla k mamy zbieżność prawie wszędzie do procesu 0 (t)z 0 + l=1 l (l+1)/2 i=1 l,i (t)z l,i, t [0,1]. Ten proces ma ciągłe trajektorie i spełnia warunki ruchu Browna. Slide 41/??
42 Geometryczny ruch Browna Przypuśmy, że gdzie B(t) jest SBM. X(t) = X(0)exp(σB(t)+ηt) Stosując wzór Ito do X(t) = f(b(t),t), gdzie f(x,t) = ξexp(σx+ηt) mamy dx(t) = = t f(b(t),t)dt+ x f(b(t),t)db(t)+ 1 2 = (η +σ 2 /2)X(t)dt+σX(t)dB(t). Podstawiając µ = η +σ 2 /2 widzimy, że stochastyczne równanie różniczkowe dx(t) = µx(t)dt+σx(t)db(t) z warunkiem początkowym X(0) = ξ ma rozwiązanie X(t) = ξexp((µ σ 2 /2)t+σB(t)). Ten proces nazywamy geometrycznym ruchem Browna X(t) ( GBM(µ,σ)). 2 x 2f(B(t) Slide 42/??
43 Algorytm. Wartości X w punktach 0 = t 0 < t 1 <... < t n spełniają rekurencję X(t i+1 ) = = X(t i )exp((µ 1 2 σ2 )(t i+1 t i )+σ t i+1 t i Z i+1 ) z Z 1,...,Z n iid N(0,1). Slide 43/??
44 Materiał z tego wykładu i dużo więcej jest w: [1] Asmussen, S. & Glynn, P. Stochastic Simulation. Springer, [2] Glasserman, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, [3] Rolski, T. Symulacje Stochastyczne i Teoria Monte Carlo, Skrypt IM UWr dostępny na rolski/skrypty.html Slide 44/??
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoWykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.
Wykład 14 Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Rozkład chi-kwadrat Suma kwadratów n-zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standardowym ma rozkład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoMetoda Monte Carlo i jej zastosowania
i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie
Bardziej szczegółowoGenerowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoZakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoKorzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 0/5 () Nazwa Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka () Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot ()
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia
Bardziej szczegółowoMetody redukcji wariancji
Metody redukcji wariancji Michał Kołodziejczyk 26 maja 2009 Spis treści 1 Przedstawienie problemu 1 2 Metody redukcji - opis teoretyczny 2 2.1 Metoda Antithetic Variates...............................
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoWykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoSymulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo
Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo Tomasz Rolski Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Wrocław styczeń, 2013 Wersja v2.4 drukowana w dniu 20 stycznia 2013 r. Spis treści I Wstęp 3 1 O
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoGenerowanie liczb o zadanym rozkładzie. ln(1 F (y) λ
Wprowadzenie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie wejście X U(0, 1) wyjście Y z zadanego rozkładu F (y) = 1 e λy y = ln(1 F (y) λ = ln(1 0,1563 0, 5 0,34 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoW4 Eksperyment niezawodnościowy
W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA STOSOWANA Nazwa w języku angielskim APPLIED STATISTICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowo5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie
5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie Przeprowadziliśmy 200 powtórzeń przebiegu próbnika dla tego samego zestawu parametrów modelowych co w Rozdziale 1, to znaczy µ = 0, s = 10, v = 10, n i = 10 (i = 1,...,
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoModel Blacka-Scholesa
WYCENA OPCJI EUROPEJSKIEJ I AMERYKAŃSKIEJ W MODELACH DWUMIANOWYCH I TRÓJMIANOWYCH COXA-ROSSA-RUBINSTEINA I JARROWA-RUDDA Joanna Karska W modelach dyskretnych wyceny opcji losowość wyrażana jest poprzez
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoMetoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10
Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowodr Jerzy Pusz, st. wykładowca, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK303 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoCałkowanie metodą Monte Carlo
Całkowanie metodą Monte Carlo Plan wykładu: 1. Podstawowa metoda Monte Carlo 2. Metody MC o zwiększonej efektywności a) losowania ważonego b) zmiennej kontrolnej c) losowania warstwowego d) obniżania krotności
Bardziej szczegółowoQuantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE
JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Symulacje Monte Carlo w obliczeniach inżynierskich Nazwa w
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowo