METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ"

Transkrypt

1 Tomasz Rolski Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski METODY MONTE CARLO W INŻYNIERII FINANSOWEJ Walim,

2 Plan wykładu: Coś o generatorach, Statystyczne opracowanie wyników, Coś o redukcji wariancji, Problemy matematyki finansowej, Symulacja ruchu Browna, Symulacja geometrycznego ruchu Browna, Użycie metody warst. Slide 2/??

3 Rysunek 1: Kostka z Eurandom Ogólny schemat generowania liczb losowych: Slide 3/??

4 (S,s 0,f,U,g), gdzie S jest skończoną przestrzenią stanów, s 0 S jest wartościa początkową rekurencji s i+1 = f(s i ), gdzie f : S S, natomiast U skończoną przestrzenią wartości oraz g : S U. Wtedy mówimy, że (S,s 0,f,U,g) jest generatorem liczb losowych (GLL). Slide 4/??

5 Example[Metoda kongruencji liniowej] Najprostszym przykładem GLL jest ciąg U n zadany przez X n /M, gdzie Należy wybrać X n+1 = (ax n +c) mod M. (1) M, moduł; 0 < M a, mnożnik; 0 a < M c, krok 0 c < M X 0, wartość początkowa; 0 X 0 < M. Aby otrzymać ciąg z przedziału (0,1) musimy teraz wybrać U n = X n /M. Ciąg (X n ) ma okres nie dłuższy niż M. Slide 5/??

6 Example Java X i+1 = ( X i +11) mod 2 48 U i = (2 27 X 2i / X 2i+1 /2 21 )/2 53. VB X i = ( X i ) mod 2 24 U i = X i /2 24. Excel U i = (0.9821U i ) mod 1. Slide 6/??

7 MATLAB rand randn randperm(n) W dalszym ciągu przez (U 1,U 2,... ędziemy oznaczali ciąg iid o rozkładzie jednostajnym U(0,1). Slide 7/??

8 Dobroć generatorów. Na przykładzie generatorów w MATLABIE. Generujemy U 1,... i niech X n odległość pomiędzy wielkościami mniejszymi niż δ. (X n ) jest ciągiem iid rozkładzie geometrycznym. rand( state,0); n = 5*10^7; delta =.01; runs = diff(find(rand(n,1)<delta))-1; y = histc(runs, 0:100)./ length(runs); plot(0:100,(1-delta).^(0:100).*delta, k--, 0:100,y, b- ); title( Distribution of run lengths ) xlabel( Run Length ); ylabel( Relative Frequency ); legend({ Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution }) Slide 8/??

9 Dla metody state możemy zaobserwować tajemniczą odchyłkę przy k = 27; patrz rys x 10 3 Distribution of run lengths 10 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 9 Relative Frequency Run Length Rysunek 2: Histogram pojawiania się małych wielkości; generator state, n = , δ = 0.01 Slide 9/??

10 10 x 10 3 Distribution of run lengths 9 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 8 Relative Frequency Run Length Rysunek 3: Histogram pojawiania się małych wielkości; generator twister, n = , δ = 0.01 Slide 10/??

11 Dla kontrastu symulacja jeśli zamiast odstępów pomiędzy liczbami mniejszymi od δ = 0.01 rozważamy odstępy pomiędzy liczbami większymi od δ = x 10 3 Distribution of run lengths 10 Expected (Geometric) Distribution Actual Distribution 9 Relative Frequency Run Length Rysunek 4: Histogram pojawiania się dużych wielkości; generator state, n = , δ = 0.01 Slide 11/??

12 Testowanie generatorów testy równomierności sprawdzający czy wygenerowane liczby są równomiernie rozmieszczone między zerem a jedynką, test serii podobnie jak równomierności tylko dla kolejnych t-rek, test odstępów notujemy odstępy pomiędzy liczbami losowymi, które nie należą do [a, b], gdzie 0 a < b 1, i sprawdzamy zgodność z rozkładem geometrycznym. Slide 12/??

13 Zgodność z rozkładem jednostajnym; test λ Kołmogorowa Generujemy liczby U 1,...,U n, i definiujemy odpowiadającą im dystrybunatę empiryczną ˆF n (t) = 1 n n 1(U i t), 0 t 1. i=1 Pamiętając, że naszą hipotezą jest rozkład jednostajny U(0,1), tj. F(t) = t dla t (0,1), naszą statystyką testową jest D n = sup ˆF n (t) t. 0 t 1 Twierdzenia Gliwienko Cantelli: D n 0. Natomiast unormowane zmienne nd n K(t). Mamy λ 0.1 = 1.224, λ 0.05 = oraz λ 0.01 = 1.628, gdzie 1 K(λ α ) = α. Slide 13/??

14 Algorytm dla D n. U (1),...,U (n) - statystyka porządkowa. D + n D n ( i = max 1 i n = max 1 i n ) n U (i), ( U (i) i 1 n ). Wtedy D n = max(d + n,d n). Slide 14/??

15 Generowanie losowej permutacji ciągu 1,..., N ALGORYTM 1. podstaw t = N oraz A[i] = i dla i = 1,..., N ; 2. generuj liczbȩ losow a u pomiȩdzy 0 i 1; 3. podstaw k = 1 + tu ; zamień A[k] z A[t]; 4. podstaw t = t - 1; jeśli t > 1, to powrót do kroku 2; w przeciwnym razie stop i A[1],..., A[N ] podaj a losow a permutacjȩ. Złożoność algorytmu jest O(N ). Slide 15/??

16 Feller, t.1; rozdz. 3. Gracz A i B. Rzuty symetryczn a monet a. w n-tym rzucie wygrywa A jeśli 1 = orzeł, w przeciwnym razie -1= reszka wygrywa B S n wygrana A po n rzutach Pytania: Jak wygl adaj a oscylacje S n (n = 0,1,...,N) S 0 = 0. Demonstracja w MATLABIE - plik rand_walk_simple.m Jakie jest prawdopodobieństwo P(α,β), że przy N rzutach bȩdziemy nad kresk a w przedziale pomiȩdzy 100α% a 100β% procent czasu? L + N łączny czas prowadzenia przez A Slide 16/??

17 Rysunek 5: Histogram dla L ; R = , 25 klas Slide 17/??

18 Przykładowa symulacja prostego symetrycznego błądzenia przypadkowego. M PLIK dem2-1.m N=100; xi=2*floor(2*rand(1,n))-1; A=triu(ones(N)); y=xi*a; for i=2:n+1 s(i)=y(i-1); end s(1)=0; x=1:n+1; plot(x,s) Slide 18/??

19 Analiza statystyczna wyników. Chcemy obliczyć wartość I o której wiemy, że można przedstawić w postaci I = EY dla pewnej liczby losowej Y, takiej, że EY 2 <. Niech Y 1,...,Y n będą niezależnymi replikacjami liczby losowej Y i będziemy rozważać estymatory Ŷ n = 1 n n Y j. j=1 Slide 19/??

20 Estymator În jest nieobiążony t.j. EŶ n = I, mocno zgodny to znaczy z prawdopodobieństwem 1 zachodzi zbieżność dla n Ŷ n I, co pociąga ważną dla nas słabą zgodność, to znaczy, że dla każdego b > 0 mamy P( Ŷn I > b) 0. Slide 20/??

21 Zauważmy, że Ŷ n Y b oznacza, że błąd bezwzględny nie przekracza b. Dla każdego b i liczby 0 < α < 1 istnieje n 0, t.ż. P(Ŷn b I Ŷn +b) 1 α, n n 0. A więc z prawdopodobieństwem większym niż 1 α szukana wielkość I należy do przedziału losowego [Ŷn b,ŷn +b] i dlatego α nazywa się poziomem istotności. Z CTG n P j=1 Y j EY 1 x Φ(x), σ Y n gdzie σ Y = VarY 1. Niech z 1 α/2 będzie α/2 kwantylem rozkładu normalnego. Slide 21/??

22 Stąd lim P( z 1 α/2 < n n j=1 Y j EY 1 σ Y n z 1 α/2 ) = 1 α. A więc, po pewnych przekształceniach P(Ŷ n z 1 α/2 σ Y n I Ŷ n +z 1 α/2 σ Y n ) 1 α, skąd mamy fundamentalny związek wiążący n,α,σy 2 : σ Y b = z 1 α/2. (2) n W teorii Monte Carlo α = 0.05 skąd z tablic możemy odczytać, że z = Slide 22/??

23 Metody obniżania wariancji. 1. metoda warstw, 2. metoda zmiennych antytetycznych, 3. metoda wspólnych liczb losowych, 4. metoda zmiennych kontrolnych, 5. warunkowa metoda MC, 6. metoda losowania istotnościowego. Slide 23/??

24 Metoda zmiennych antytetycznych Rozpatrzmy teraz n zmiennych losowych Y 1,Y 2,...,Y n, przy czym n jest parzyste. Ponadto zakładamy, że pary (Y 2i 1,Y 2i ) i, i = 1,...,n/2 są niezależne o jednakowym rozkładzie, zmienne losowe (Y j ) n j=1 brzegowy co Y. mają ten sam rozkład Niech n j=1 Ŷ = Y j n będzie naszym estymatorem. Będziemy porównywać ten estymator z zgrubnym estymatorem Ŷ CMC = 1 n n j=1 Y j gdzie Y 1,Y 2,... są niezależnymi replikacjami Y. Dlatego estymatora wariancja jest VarY/n. Zauważmy, że jeśli będziemy rozpatrywać Slide 24/??

25 estymator to jego wariancja Ŷ = n j=1 Y j n Var(Ŷ ) n = Var(Y 1+Y 2 2 ) n/2 = 1 2n (2Var(Y)+2cov(Y 1,Y 2 )) = 1 2n (2Var(Y)+2Var(Y 1)Corr(Y 1,Y 2 )) = 1 n Var(Y)(1+Corr(Y 1,Y 2 )). A więc Corr(Y 1,Y 2 )) powinno być ujemne. W praktyce aby to osiągnąć stsuje sie zmienne antytetyczne. Przykładem pary takich zmiennych jest F 1 (U),F 1 (1 U), gdzie F jest dystrybunatą Y. Slide 25/??

26 Przykład symulacji antytetycznej Mamy N zadań do wykonania. czasy zadan... Mamy do dyspozycji c = 2 serwerów. Możemy te zadania wykonać na dwa sposoby: według najdłuższego zadania (Longest Processing Time First - LPTF), lub najkrótszego zadania (Shortest Processing Time First - SPTF). Decyzje podejmuje się w momentach zakończenia poszczególnych zadań. Celem jest policzenie EC SPTF, EC LPTF, gdzie C jest czasem do zakończenia ostatniego zadania. Slide 26/??

27 Na przykład, niech N = 5 i c = 2 oraz zadania są wielkości 3,1,2,4,5. wg SPTF: zaczynamy z zadaniami wielkości 1 i 2 i po jednej jednostce czasu resztowe wielkości tych zadań są 3,0,1,4,5 a więc mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Postępując tak dalej widzimy, że C SPTF = 9. wg. LPTF zaczynamy z zadaniami wielkości 4 i 5 i po 4-ch jednostkach czasu resztowe wielkości tych zadań są 3,1,2,0,1 a więc mamy teraz zadanie z N = 4 i c = 2. Postępując tak dalej widzimy, że C LPTF = 8. Inne FIFO, ALT Slide 27/??

28 Czasy zadań są logu 1, logu 2,..., log(u N ), natomiast w symulacji antytetycznej log(1 U 1 ), log(1 U 1 ), logu 2, log(1 U 2 ),... W tablicy 1 podajemy wyniki dla C, dla N = 10 zadań, z m = 1000 replikacjami; s jest odchyleniem standardowym Var(C), oraz b jest połową długości przedziału ufności na poziomie α = 0.05 (czyli można rzec błąd). dyscyplina I s b FCFS SPTF LPTF FCFSanthy SPTFanthy LPTFanthy Tablica 1: SzacowanieC przy użyciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = Slide 28/??

29 Dla porównania w tablicy poniżej są wyniki z m = replikacjami. Wszystkie symulacje są robione na tych samych liczbach pseudolosowych, ponieważ algorytmy zaczynają się od rand( state,0). dyscyplina I s b FCFS SPTF LPTF FCFSanthy SPTFanthy LPTFanthy Tablica 2: SzacowanieC przy użyciu CMC i anthy; N = 10, liczba replikacji m = Slide 29/??

30 Metoda warstw Cel I = EY. Niech A 1,...,A m będzie rozbiciem IR warstwami. Oznaczmy prawdopodobieństwo wylosowania warstwy p j = P(Y A j ) (to przyjmujemy za znane i dodatnie) oraz y j = E[Y Y A j ] (j = 1,...,m) (oczywiście to jest nieznane bo inaczej nie trzeba by nic obliczać). Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite EY = p 1 y p m y m. Slide 30/??

31 Metoda warstw: Potrafimy losowac Y j = d (Y Y A j ). n będzie ogólną liczbą replikacji, n j replikacji Y j w warstwie j; n = j n j Slide 31/??

32 Niech Y j 1,...,Y j n j będą więc replikacjami Y j w warstwie j. Definiujemy jako estymator y j. Ŷ j = 1 n j n j i=1 Y j i Niech σ 2 j = VarY j będzie wariancją w warstwie j. Zauważmy, ż Estymator Ŷ j jest nieobciążonym y j oraz VarŶ j = σ2 j n. Następnie definiujemy estymator warstwowy (nieobciążony) Ŷ str = p 1 Ŷ p m Ŷ m. Slide 32/??

33 Mamy oraz EŶ str = p 1 EŶ p m EŶ m m EY1 Y Ai = p i = EY = I. p i i=1 σstr(n 2 1,...,n m ) = nvarŷ str m = n p 2 jvarŷ j = p 2 1 j=1 n σ p 2 n m σm 2. n 1 n m Wielkość σ 2 str(n 1,...,n m ) będziemy nazywać wariancją estymatora warstwowego. A więc VarŶ str = σ2 str(n 1,...,n m ) n. Slide 33/??

34 Symulacja procesów matematyki finansowej Realizacje badanych tutaj procesów są ciągłe, i dlatego czegoś takiego nie można wylosować na komputerze. Możemy zjedynie wylosować realizację (X(0),X(t 1 ),...,X(t n )) w momentach 0 = t 0 < t 1 <... < t n T. Będziemy przyjmowali, ze t 1 <... < t n. Example Niech {S(t),0 t T} będzie ewolucją ceny akcji - geometrycznych ruch Browna. Najbardziej popularną jest opcja możliwości zakupu akcji za cenę K jeśli cena w chwili T spełnia warunek S(T) K, w przeciwnym razie rezygnację z zakupu. Jest to tzw opcja europejska call. Inną opcją jest tzw. azjatycka gdzie zamiast wartości S(T) bierzemy po uwagę uśrednioną ceną T 0 S(s)ds/T. Slide 34/??

35 W takimi razie korzyść kupującego jest (S(T) K) + lub T ( 0 S(s)ds/T K) +. r bezryzykownym natężeniem stopy procentowej, to cena takich opcji byłaby e rt E(S(T) K) + lub e rt E ( T 0 S(s)ds ) T K +. Slide 35/??

36 Ponieważ nie mamy możliwości symulacji realizacji {S(t),0 t T} więc symulujemy S(0),S(T/N),...,S(T). Dla opcji azjatyckiej będziemy obliczali jej cenę za pomocą N Y = e rt S(jT/N))/T K. j=1 A więc estymator zdefiniowany przez Y nie będzie nieobciążony, mimo, że rozkład (S(0),S(1/N),...,S(T)) jest dokładny. + Slide 36/??

37 Jednakże nie zawsze jesteśmy w stanie symulować rozkład dokładny, ze względu na to, że nie znamy tego rozkładu ani procedury jego generowania. W przypadku gdy proces S(t) jest zadany przez stochastyczne równanie różniczkowe, to istnieje procedura numeryczna, generowania aproksymacji S(0), S(T/N),..., S(T), który to wektor ma jedynie rozkład przybliżony do S(0),S(T/N),...,S(T). Będzie to metoda Eulera lub jej rozwinięcie zwane metodą Milsteina. Możemy interpolować S(0), S(T/N),..., S(T) do procesu { S(t),0 t T} w sposób ciągły i następnie badać jak szybko dąży do zera błąd postaci lub E T 0 E sup 0 t T S(t) S(t) p dt S(t) S(t) dt. Innym błędem zbadanym teoretycznie jest e s (N) = E S(1) S(1). Slide 37/??

38 Ruch Browna Ruch Browna ma przyrosty niezależne. Realizację B(t) (0 t T) symulujemy w punktach 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = T. Korzystając z tego, że B(t i ) B(t i 1 ) = d ti t i 1 Z i, gdzie Z 1,...,Z n są iid standardowe normalne. Bardziej ogólny model to ruch Browna z dryfem BM(µ, σ), gdzie dryf µ IR i współczynnikem dyfuzji σ > 0. Taki proces definiujemy przez X(t) = σb(t) + µt gdzie B(t) jest standardowym ruchem Browna. W języku stochastycznych równań różniczkowych dx(t) = µdt+σdb(t). Slide 38/??

39 Most Browna i inna konstrukcja ruchu Browna Przedstawimy teraz inną konstrukcję ruchu Browna, korzystając z mostu Browna. Rozpatrzmy (B(s), B(t), B(u)), gdzie 0 u < s < t. Rozkład B(s) pod warunkiem B(u) = x i B(t) = y jest normalny z średnią oraz wariancją (t s)x+(s u)y (t u) (s u)(t s). (t u) W szczególności B(t+h) pod warunkiem B(t) = x i B(t+2h) = y ma średnią (x+y)/2 i wariancję h/2. Slide 39/??

40 Będziemy zakładać, że T = 1. Naszym celem jest wygenerowanie b k 0,...,b k 2 k 1,bk 2 k mający łączny rozkład taki jak Algorytm: (B(0),...,B((2 k 1)/2 k ),B(1)). 1. Generuj b 0 0,b 0 1, gdzie b 0 0 = 0 oraz b 1 0 N(0,1). 2. Mając wygenerowane b k 1 j,(j = 1,...,2 k 1 ), zauważamy, że b k 2j = bk 1 j,(j = 1,...,2 k 1 ), natomiast dla j = 2j + 1, generujemy b k i N(y,2 k 1 ), gdzie y = 1 2 (bk 1 j +b k 1 j+1 ). Slide 40/??

41 Reprezentację standardowego ruchu Browna. Niech Z 0, Z i,j ;l = 1,2,...,j = 1,...,2 l 1 iid N(0,1). Definiujemy b k (t) jako 0 (t)z 0 + k l=1 Zauważmy, że l (l+1)/2 i=1 (b k (0),b k (1/2 k ),...,b k (1)) ma taki sam rozkład, jak l,i (t)z l,i, t [0,1]. (B(0),...,B((2 k 1)/2 k ),B(1)). Można pokazać, że dla k mamy zbieżność prawie wszędzie do procesu 0 (t)z 0 + l=1 l (l+1)/2 i=1 l,i (t)z l,i, t [0,1]. Ten proces ma ciągłe trajektorie i spełnia warunki ruchu Browna. Slide 41/??

42 Geometryczny ruch Browna Przypuśmy, że gdzie B(t) jest SBM. X(t) = X(0)exp(σB(t)+ηt) Stosując wzór Ito do X(t) = f(b(t),t), gdzie f(x,t) = ξexp(σx+ηt) mamy dx(t) = = t f(b(t),t)dt+ x f(b(t),t)db(t)+ 1 2 = (η +σ 2 /2)X(t)dt+σX(t)dB(t). Podstawiając µ = η +σ 2 /2 widzimy, że stochastyczne równanie różniczkowe dx(t) = µx(t)dt+σx(t)db(t) z warunkiem początkowym X(0) = ξ ma rozwiązanie X(t) = ξexp((µ σ 2 /2)t+σB(t)). Ten proces nazywamy geometrycznym ruchem Browna X(t) ( GBM(µ,σ)). 2 x 2f(B(t) Slide 42/??

43 Algorytm. Wartości X w punktach 0 = t 0 < t 1 <... < t n spełniają rekurencję X(t i+1 ) = = X(t i )exp((µ 1 2 σ2 )(t i+1 t i )+σ t i+1 t i Z i+1 ) z Z 1,...,Z n iid N(0,1). Slide 43/??

44 Materiał z tego wykładu i dużo więcej jest w: [1] Asmussen, S. & Glynn, P. Stochastic Simulation. Springer, [2] Glasserman, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, [3] Rolski, T. Symulacje Stochastyczne i Teoria Monte Carlo, Skrypt IM UWr dostępny na rolski/skrypty.html Slide 44/??

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo

Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo Tomasz Rolski Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Wrocław styczeń, 2013 Wersja v2.4 drukowana w dniu 20 stycznia 2013 r. Spis treści I Wstęp 3 1 O

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Autor: Dominik Winnicki Spis treści Opis problemu... 2 Wstęp teoretyczny... 2 Liczby Haltona... 4 Liczby Sobol a... 4 Ocena uzyskanych ciągów Haltona i Sobol

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo 1. Opis problemu Celem pracy jest policzenie jednodniowej wartości narażonej na ryzyko (Value-at- Risk) portfela składającego

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Karta Instytut Pedagogiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 011/01 Kierunek studiów: Matematyka Profil: Ogólnoakademicki Forma

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d.

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Oprócz zmiennych i wektorów strukturami danych w R są: macierze; ramki (ang. data frames); listy; klasy S3 1 Macierze Macierze

Bardziej szczegółowo

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3 Matlab, zajęcia 3. Pętle c.d. Przypomnijmy sobie jak działa pętla for Możemy podać normalnie w Matlabie t=cputime; for i=1:20 v(i)=i; e=cputime-t UWAGA: Taka operacja jest bardzo czasochłonna i nieoptymalna

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5)

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5) Przykład 0. Gra polega na jednokrotnym rzucie symetryczną monetą, przy czym wygrywamy 1 jeżeli wypadnie orzeł oraz przegrywamy 1 jeżeli wypadnie reszka. Nasz początkowy kapitał wynosi 5. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka Biomatematyka Załóżmy, że częstości genotypów AA, Aa i aa w całej populacji wynoszą p 2, 2pq i q 2. Wiadomo, że czynnik selekcyjny sprawia, że osobniki o genotypie aa nie rozmnażają się. 1. Wyznacz częstości

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA FINANSOWA

MATEMATYKA FINANSOWA Matematyka Finansowa, 05 06 2006 1 Andrzej Spakowski MATEMATYKA FINANSOWA matematyka finansów i ubezpieczeń. Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego Wspó lczesna, szeroko rozumiana MF opisuje

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU (część I, 2013/2014)

KARTA MODUŁU (część I, 2013/2014) UNIWERSYTET ROLNICZY IM. HUGONA KOŁŁĄTAJA W KRAKOWIE KARTA MODUŁU (, 013/014) Moduł Informatyczne podstawy projektowania składa się z dwóch przedmiotów: Informatyczne podstawy projektowania (), Informatyczne

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Quick Launch Manual:

Quick Launch Manual: egresja Odds atio Quick Launch Manual: regresja logistyczna i odds ratio Uniwesytet Warszawski, Matematyka 28.10.2009 Plan prezentacji egresja Odds atio 1 2 egresja egresja logistyczna 3 Odds atio 4 5

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo