Koła i okręgi w różnych metrykach na płaszczyźnie wizualizacja za pomocą programu GeoGebra

Transkrypt

1 Tomasz Karolak Koła i okręgi w różnych metrykach na płaszczyźnie wizualizacja za pomocą programu GeoGebra 1. Wprowadzenie Przyzwyczailiśmy się do tego, że koło jest okrągłe. Stwierdzenie to wydaje się tautologią, a sam przymiotnik okrągły pochodzi od rzeczownika okrąg, czyli od brzegu koła. Już na poziomie języka (choć nie we wszystkich językach) widać tu oczywistość. Okrągłe koło jest ponadto dobrodziejstwem mechaniki i techniki, tak więc trudno nam wyobrazić sobie inny jego kształt. Na wykładach analizy matematycznej studenci dowiadują się, że koło nie zawsze musi być okrągłe, a w pewnych warunkach może być nawet kwadratowe. Jest tak w przestrzeni R 2 z określoną metryką taksówkową. Celem tego artykułu jest prezentacja konstrukcji przedstawiających wizualizację kół i okręgów w trzech dobrze znanych metrykach na płaszczyźnie: metryce taksówkowej, metryce rzeki i metryce kolejowej. 2. Kwadratowe koło, czyli koło w metryce taksówkowej Poruszając się samochodem w mieście nie mierzymy odległości w linii prostej, lecz zgodnie z długością faktycznie pokonanej trasy. W mieście, w którym ulice tworzą prostokątną siatkę (jak na przykład w niektórych dzielnicach Nowego Jorku), mierzona w taki sposób odległość dwóch punktów jest sumą długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest zwykła (czyli euklidesowa) odległość tych punktów (rys. 1). Łatwo się przekonać, że okrąg ma w tej metryce kształt konturu kwadratu (rys. 2), zaś koło kształt pełnego kwadratu ograniczonego tym konturem. W przypadku zbliżonym do rzeczywistości, gdy ulice tworzą siatkę o określonej gęstości, najłatwiej rozważać takie okręgi i koła, w których środkiem jest punkt położony na skrzyżowaniu ulic. W przypadku idealnym możemy wyobrazić sobie, że sieć ulic jest całkowicie gęsta, tzn. przez każdy punkt przechodzą dwie wzajemnie prostopadłe ulice. Wówczas każdy punkt jest skrzyżowaniem, a koło ma kształt idealnego kwadratu. y B = (7, 6) 4 6 A = (1, 2) Rysunek 1. Prostokątne miasto. Odległość punków A i B liczona jest wzdłuż ulic i wynosi = 10 jednostek. 1

2 y 1 3 O = (4, 4) Rysunek 2. Okrąg i koło w metryce taksówkowej. Wszystkie wyróżnione punkty są równo oddalone od punktu O. Rysunek 3. Wizualizacja koła i okręgu w metryce taksówkowej Przygotowanie konstrukcji (rys. 3) przedstawiającej kwadratowe koło i okrąg jest bardzo proste. Zrobimy to tak, by użytkownik mógł modyfikować punkt będący środkiem koła (O) i wartość promienia (suwak r). Te dwa obiekty wprowadzamy jako obiekty swobodne, a następnie definiujemy kolejno: punkt A będący obrazem punktu O w translacji o wektor (r, 0), punkt B będący obrazem punktu O w translacji o wektor (0, r), kwadrat, którego dwoma kolejnymi wierzchołkami są punkty A i B. Lista tych obiektów (widok algebry z opcją pokaż definicje ) widoczna jest na rys.??. Punkty A i B najwygodniej jest wprowadzić korzystając z pola wprowadzenia. Wystarczy wpisać następujące definicje: A = ((O) + r, y(o)) B = ((O), y(o) + r)) Kwadrat najwygodniej jest narysować korzystając z funkcji Wielokąt foremny. Aby nasza konstrukcja mogła przedstawiać zarówno koło, jak i okrąg (koło jest pełnym kwadratem, okrąg jego brzegiem), wprowadzamy pole wyboru typu pokaż/ukryj obiekt i od jego wartości uzależniamy pojawianie się kwadratu poly1. Na koniec rysujemy jeszcze pomocniczy odcinek (na rysunku 3 jest to odcinek e) i włączamy opcję pokazywania jego długości, by ukazać, że promień koła jest równy połowie przekątnej kwadratu. 2

3 B A Rysunek 4. Metryka kolejowa. Odległość puntków nieleżących na jednym torze jest równa sumie długości dwóch odcinków. 3. Odcinek kolejowy Metrykę kolejową, zwaną też metryką metra paryskiego, można sobie wyobrazić na przykładzie gęstej sieci torów kolejowych o jednym wspólnym węźle. Aby przedostać się z punktu A do punktu B położonego przy innym torze kolejowym, należy przedostać się do węzła kolejowego, tam obrać właściwy tor i nim pokonać drugi etap podróży. Odległość dwóch punktów jest w takim przypadku sumą dwóch odcinków: od pierwszego punktu do węzła i od węzła do drugiego punktu (rys. 4). Oczywiście w sytuacji, gdy dwa punkty leżą na jednym torze, po tej samej stronie węzła, ich odległość mierzy się normalnie (czyli zgodnie z metryką euklidesową). Zanim przejdziemy do narysowania koła i okręgu w tej metryce, stwórzmy prostą konstrukcję pozwalającą narysować w niej odcinek, czyli najkrótszą drogę łączącą dwa punkty. W przypadku, gdy punkty te nie leżą na jednej prostej, odcinek ten jest łamaną przechodzącą przez węzeł kolejowy; w przypadku przeciwnym jest to zwykły euklidesowy odcinek. Wprowadźmy więc obiekty swobodne: punkt W, który będzie naszym węzłem oraz punkty A i B. Odcinkiem kolejowym będzie albo odcinek AB, albo łamana będąca sumą odcinków AW i W B. Narysujmy więc najpierw odcinek AB. Powinien on być widoczny tylko w przypadku, gdy punkty A, B i W są współliniowe. Przypomnijmy, że współliniowość punktów A = ( A, y A ), B = ( B, y B ) i W = ( W, y W ) można sprawdzić za pomocą warunku Wprowadzamy więc pomocniczą zmienną W y W 1 B y B 1 A y A 1 = 0. d = Wyznacznik[{{(W), y(w), 1}, {(B), y(b), 1}, {(A), y(a), 1}}] Teoretycznie powinniśmy teraz sprawdzić, czy d = 0 i pod tym warunkiem wyświetlić odcinek AB. Niestety, w praktyce ten sposób zawodzi. Ponieważ punkty są wprowadzone dowolnie i użytkownik może zmieniać ich położenie, jest prawie niemożliwe, by trafić na punkty idealnie współliniowe. Pewnym ułatwieniem mogłoby być odpowiednie ustawienie przyciągania obiektów, jednak prowadziłoby to do ograniczenia dowolności wyboru punktów. Wprowadzimy więc małe oszustwo i zamiast warunku d = 0 będziemy badać warunek d < a, gdzie a jest pewną małą liczbą, którą można ustalić eksperymentalnie; sprawdziłem, że dobrym przybliżeniem jest a = 0,15 dla tej wartości punkty, które wyglądają na współliniowe są tak traktowane. Tak więc punkty A, B i W będziemy uważać za współliniowe, gdy wspomniany wyżej wyznacznik ma wartość większą od 0,15 i mniejszą od 0,15. W tym przypadku rysujemy odcinek AB, w przypadku zaś przeciwnym (ogólnym) łamaną AW B. Wprowadzamy więc zmienną boolowską przypadekogolny = d < -(0.15) d >

4 Rysunek 5. Warunek wyświetlania odcinka AB. Rysunek 6. Odcinek kolejowy. Przypadek ogólny i jej negację ustawiamy jako warunek wyświetlania odcinka AB (rys. 5) 1. Następnie rysujemy odcinki AW i BW i dla każdego z nich definiujemy warunek wyświetlania przypadekogolny tym razem oczywiście bez negacji. W efekcie dotychczasowych działań w zależności od położenia naszych punktów otrzymamy odcinek (gdy punkty będą prawie współliniowe ) lub łamaną (w przeciwnym przypadku). Wprowadźmy jeszcze pole tekstowe, w którym wyświetlona będzie kolejowa odległość punktów A i B. Ponieważ mamy dwa przypadki, umieścimy dwa pola tekstowe jedno na drugim, a każde z nich będzie wyświetlane w zależności od wartości zmiennej boolowskiej przypadekogolny. W pierwszym, ogólnym przypadku, wpisujemy "d(a, B) = " + a + " + " + b + " = " + (a + b) zaś w przypadku punktów współliniowych po prostu "d(a, B) = " + c Zwróćmy uwagę, że w pierwszym z powyższych zapisów symbol + jest użyty w dwóch znaczenia: konkatenacji łańcuchów oraz operatora arytmetycznego. Po umieszczeniu obu pól tekstowych w tym samym miejscu będziemy mieli wrażenie, że jest to jedno pole tekstowe, zmieniające się w zależności od tego, który z przypadków zachodzi. Rysunki 6 oraz 7 przedstawiają ostateczny kształt tej konstrukcji. 4. Okrągły lizak, czyli koło w metryce kolejowej Przypomnijmy na prostym przykładzie, jaki kształt mają koło i okrąg w metryce kolejowej. Rozważmy okrąg o środku w punkcie A = (3, 4) i promieniu długości 7. Jest oczywiste, że na torze punktu A (czyli na prostej łączącej punkty (0, 0) i A) znajdziemy dwa punkty oddalone od A o 7 jednostek; oba należą do naszego okręgu. Ponieważ odległość punktu A od początku układu współrzędnych wynosi 5 jednostek i jest o 2 jednostki mniejsza od promienia okręgu, na każdym z pozostałych torów 1 Innym w zasadzie równoważnym sposobem sprawdzenia współliniowości punktów A, B i W jest wprowadzenie niewidocznego trójkąta ABW i rozważenie jego pola; dla wartości bardzo bliskich zera (znów konieczne jest przybliżenie!) uznajemy przypadek szczególny. 4

5 Rysunek 7. Odcinek kolejowy. Przypadek szczególny punktów prawie współliniowych y 7 3 A = (3, 4) 2 Rysunek 8. Okrąg o środku w punkcie (3, 4) i promieniu 5 w metryce kolejowej znajdziemy po dwa punty należące do okręgu: leżą one na zwykłym, euklidesowym okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 2. Tak więc kolejowy okrąg ma w tym przypadku kształt okręgu z wyrzuconym punktem (rys. 8). Widzimy też łatwo, że kolejowe koło stanowi wypełnienie tego okręgu, ma więc kształt okrągłego lizaka z patyczkiem (rys. 9). W analizowanej sytuacji promień okręgu był większy niż odległość jego środka od węzła kolejowego. W przypadku przeciwnym, jak łatwo się przekonać, okrąg jest zbiorem dwupunktowym, a koło odcinkiem. Przejdźmy do skonstruowania kolejowych kół i okręgów w Geogebrze. Prezentowana konstrukcja jest z pełni ogólna, czyli można w niej uzyskać zarówno koła i okręgi w kształcie lizaków, jak i zdegradowane do odcinków (rys. 10). Jak zwykle, konstrukcję rozpoczynamy od obiektów swobodnych. Są nimi: punkt W węzeł, dla ułatwienia przyjmijmy, że ma on współrzędne (0, 0); punkt A, położony dowolnie środek koła lub okręgu; suwak odpowiadający liczbie r, czyli promieniowi; ustawiamy zakres np. od 0 do 15; pole wyboru typu pokaż/ukryj obiekt przełącznik między kołem a okręgiem. Kolejne kroki konstrukcji przebiegają następująco: 1. Rysujemy tor punktu A, czyli prostą przechodzącą przez W i A. 2. Wyznaczamy okrąg c o środku w punkcie A i promieniu r. 3. Zaznaczamy punktu przecięcia tych dwóch obiektów: punkt B bliżej węzła W i punkt C po drugiej stronie (rys. 11). Ukrywamy okrąg c. 4. Rysujemy lizak, czyli okrąg (d) zdefiniowany jako Okrąg[W, r - Odległość[A, W]] 5

6 y A = (3, 4) Rysunek 9. Koło o środku w punkcie (3, 4) i promieniu 5 w metryce kolejowej Rysunek 10. Koło w metryce kolejowej może mieć kształt lizaka albo odcinka Z definicji tego okręgu wynika, że będzie on określony tylko wtedy, gdy r > AW, nie musimy więc zajmować się warunkami wyświetlania. 5. Ponieważ w Geogebrze nie ma możliwości warunkowego wypełniania obiektu kolorem, rysujemy drugi identyczny okrąg. W tym celu wyznaczamy najpierw punkty przecięcia okręgu d z prostą a i przez jeden z tych punktów prowadzimy okrąg o środku w punkcie W. Okrąg ten wypełniamy kolorem (Właściwości Styl). Wyświetlanie tego okręgu uzależniamy od zaznaczenia opcji Pokaż koło. 6. Rysujemy symbol wyrzuconego punktu, czyli zaznaczamy punkt przecięcia okręgu d i prostej a (ten leżący między W i A) za pomocą pustego kółeczka (Właściwości Styl). Ponieważ wyrzucony punkt powinien być zaznaczony tylko w przypadku okręgu, ustalamy jego warunek wyświetlania jako f = false (rys. 12). 7. Rysujemy patyczek czyli odcinek łączący dwa wcześniej wyznaczone punkty przecięcia. Ponieważ patyczek należy do koła, a nie należy do okręgu, jego wyświetlanie uzależniamy od zaznaczenia opcji Pokaż koło. Efekt końcowy wraz z listą obiektów przedstawia rysunek Odcinek w metryce rzeki Metrykę rzeki można wyobrazić sobie na przykładzie krainy, przez którą płynie rzeka mająca kształ linii prostej. Wszystkie drogi w tej krainie są prostopadłe do rzeki i prowadzą do jej brzegu. Tak więc, aby przedostać się z punktu A do punktu B (nieleżącego przy tej samej drodze), należy najpierw przedostać się do rzeki, następnie przepłynąć nią do drogi, na której leży punkt B i tą drogą pokonać ostatni etap podróży (rys. 14). Oczywiście w przypadku, gdy punkty A i B leżą na tej samej drodze, nie trzeba w ogóle płynąć rzeką; w takim przypadku albo się do niej nie dochodzi, albo tylko przeprawia się na drugi brzeg. Odległość rozumianą jako długość najkrótszej drogi odbytej zgodnie z tymi zasadami nazywa się metryką rzeki. Odległość ta bywa też nazwana metryką wieżowca; w tej interpretacji rolę 6

7 Rysunek 11. Konstrukcja kolejowego koła, kroki 1 3 Rysunek 12. Konstrukcja kolejowego koła, krok 7. Rysunek 13. Konstrukcja kolejowego koła, efekt końcowy 7

8 y A = (1, 3) B = (6, 2) Rysunek 14. Metryka rzeki. Rzeką jest oś. Odległość punktów A i B wynosi = 10. Rysunek 15. Odcinek w metryce rzeki, warunek wyróżniający przypadek ogólny dróg pełnią windy w tzw. mrówkowcu natomiast rzeką jest chodnik łączący wejścia do kolejnych klatek schodowych. Zacznijmy od konstrukcji odcinka w tej metryce. Odcinek ma tu kształt zwykłego, euklidesowego odcinka (gdy jego końce leżą na tej samej drodze) lub łamanej złożonej z trzech euklidesowych odcinków (w przeciwnym przypadku); dwa z nich do fragmenty dróg, jeden jest fragmentem rzeki. Stworzenie tej konstrukcji jest w pełni analogiczne do konstrukcji odcinków kolejowych, a nawet łatwiejsze, ponieważ przy założeniu, że rzeką jest oś przypadek szczególny można rozpoznać bezpośrednio porównując współrzędne punktów (rys. 15). Pomijając więc dokładny opis konstrukcji przedstawiam końcowy efekt z listą zdefiniowanych obiektów (rys. 16, 17). 6. Kwadratowy lizak, czyli koło w metryce rzeki Aby wyobrazić sobie okrąg (na przykład o środku w punkcie O = (6, 4) i promieniu 7), znajdźmy kilka punktów oddalonych od wybranego środka o 7 jednostek. Łatwo znaleźć dwa takie punkty na drodze punktu (6, 4) (czyli na prostej o równaniu = 6 oraz dwa na rzece, a następnie wiele innych położonych na innych drogach (rys. 18). Łatwo więc zauważyć, że punkty położone na rzecznym Rysunek 16. Odcinek w metryce rzeki, przypadek ogólny 8

9 Rysunek 17. Odcinek w metryce rzeki, przypadek szczególny punktów na tej samej drodze y 1 O = (6, 4) Rysunek 18. Okrąg o środku w punkcie O = (6, 4) i promieniu 7 w metryce rzeki. Wszystkie wyznaczone punkty leżą w jednakowej odległości od punktu O. okręgu utworzą kwadrat, którego jedna przekątna zawarta jest w rzece, a druga w drodze punktu O. Do szukanego okręgu nie należy jednak ten wierzchołek kwadratu który leży najbliżej (w sensie euklidesowym) punktu O; na drodze punktu O jest za to inny punkt okręgu, po drugiej stronie środka. Z kolei koło o tym samym środku i promieniu ma kształt wypełnionego kwadratu z doklejonym odcinkiem (rys. 19). Konstrukcja takich kół i okręgów w Geogebrze jest w dużej mierze analogiczna do konstrukcji kół w metryce kolejowej. Podobnie jak poprzednio zakładamy, że rzeką jest oś. Wprowadzamy obiekty swobodne: punkt O, położony dowolnie środek koła lub okręgu; suwak odpowiadający liczbie r, czyli promieniowi; ustawiamy zakres np. od 0 do 15; pole wyboru typu pokaż/ukryj obiekt przełącznik między kołem a okręgiem. Poniżej podaję zwięzły opis kolejnych kroków konstrukcji. Kompletną listę obiektów oraz efekt końcowy przedstawia rys. 22; nazwy podane poniżej czcionką maszynową są zgodne z nazwami używanymi na tymże rysunku. 1. Rysujemy drogę (czyli prostą prostopadłą do osi ) przechodzącą przez punkt O (prosta e). 2. Zaznaczamy rzut prostokątny punktu O na oś (punkt F) i rysujemy odcinek OF (odcinek f). 3. Rysujemy okrąg (okrąg g) o środku w punkcie F i promieniu r f. Uwaga. Zauważmy, że okrąg ten jest zdefiniowany tylko w przypadku, gdy f > r; w przypadku przeciwnym okrąg w metryce rzeki jest zdegradowany do dwóch punktów, a koło do odcinka. Dzięki oparciu konstrukcji o okrąg g (który później ukryjemy), nie musimy troszczyć się oddzielne rozważenie przypadku f r. 4. Zaznaczamy punkty (punkty G i H) przecięcia okręgu g z osią. 9

10 y O = (6, 4) Rysunek 19. Koło o środku w punkcie O = (6, 4) i promieniu 7 w metryce rzeki Rysunek 20. Puste kółko oznaczające wyrzucony punkt i odpowiadający mu warunek wyświetlania 5. Zaznaczamy punkty (punkty E i I) przecięcia okręgu g z prostą e. Uwaga. W przypadku, gdy rysujemy okrąg, punkty te powinny zostać zaznaczone jako wyrzucone wierzchołki kwadratu (por. rys. 18). W tym celu wyświetlamy je jako puste kółeczka (Właściwości Styl), a następnie odpowiednio konfigurujemy warunki wyświetlania: powinien być widoczny ten spośród dwóch punktów, który leży po tej samej stronie osi, co punkt O. Oczywiście punkt ten nie jest widoczny w przypadku koła, a także w przypadku, gdy promień okręgu nie jest większy od odległości punktu O od osi. Koniunkcja tych warunków prowadzi do ustawień jak na rys. 20 (oczywiście dla drugiego punktu należy zmienić zwrot pierwszej nierówności). 6. Rysujemy boki kwadratu GEHI. 7. Rysujemy kwadrat GEHI i ustawiamy jego wyświetlanie pod warunkiem zaznaczenia opcji Rysuj koło 8. Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OI; wyznaczamy punkt przecięcia tego okręgu z prostą c (punkt L) (można również wyznaczyć ten punkt korzystając np. z symetrii środkowej). 9. Rysujemy patyczek czyli odcinek LJ, a następnie jego obraz w symetrii względem osi. Ustawiamy warunki wyświetlania, aby odcinek LJ był widoczny wtedy, gdy punkt O leży na górnej półpłaszczyźnie, a obraz w symetrii w przypadku przeciwnym (rys. 21). 10

11 Rysunek 21. Okrąg w metryce rzeki, krok 9. Pozycja patyczka zależy od położenia środka O. Rysunek 22. Konstrukcja koła w metryce rzeki oraz lista obiektów. 7. Zakończenie Przedstawione powyżej konstrukcje mogą zainteresować nie tylko studentów poznających zagadnienia metryk w ramach zajęć z analizy matematycznej. Temat metryk i związanych z nimi kształtów kół i okręgów jest również wdzięcznym motywem do przeprowadzenia zajęć popularyzujących matematykę w szkołach na różnych poziomach. Kilkukrotnie miałem okazję prezentować te zagadnienia uczniom (od szkoły podstawowej do średniej), wykorzystując m.in. prezentowane konstrukcje, co zawsze spotykało się z dużym zainteresowaniem uczniów. Uczniom, którzy pracują już w GeoGebrze, warto zaproponować samodzielne wykonanie tych konstrukcji lub ich uproszczonych szczególnych przypadków. 11