Uniwersytet Jagielloński Instytut Fizyki. Praca magisterska Procesy dekoherencji w chaotycznych układach kwantowych.

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński Instytut Fizyki Praca magisterska Procesy dekoherencji w chaotycznych układach kwantowych Marek Smaczyński opiekun pracy prof. dr hab. Karol Życzkowski Kraków, 009

2 Pragnę wyrazić moje podziękowania Prof. dr hab. Karolowi Życzkowskiemu, mojemu opiekunowi, który tą pracą umożliwił mi rozwijanie moich zainteresowań, a także za cenne wskazówki, i również uwagi, które pozwoliły osiągnąć cel do którego dążyłem. Nie sposób nie wspomnieć Wojciecha Bruzdy, który udzielał się w dyskusjach pozwalając mi rozwiać pewne wątpliwości podczas tworzenia tej pracy.

3 Spis treści.wstęp. Wprowadzenie. Plan pracy.dynamiczne układy nieodwracalne. Układ kwantowy a otoczenie. Superoperator.3 Odwzorowanie piekarza.3. Klasyczne przekształcenie piekarza.3. Kwantowe przekształcenie piekarza. Modele alternatywne.. Quasi-unitarny model przekształcenia nieuważnego piekarza.. Zmodyfikowany model przekształcenia nieuważnego piekarza 3. Analiza nieunitarnych modeli kwantowych 3. Własności spektralne superoperatora 3. Parametr nasunięcia Δ 3.3 Parametr asymetrii układu klasycznego K 3. Liczba ewolucji unitarnych L 3.5 Liczba pomiarów M 3.6 Równoczesna zmiana parametrów układu. Chaos kwantowy a sztuczna inteligencja. Wstęp. Matematyczny model neuronu.3 Architektura sieci neuronowej.3. n-warstwowe sieci jednokierunkowe.3. Sieci komórkowe. Proces uczenia sieci.5 Struktura widma superoperatora.6 Projektowanie struktury i działanie sieci neuronowych.6. Architektura i działanie wielowarstwowej sieci neuronowej.6. Proces uczenia wielowarstwowej sieci jednokierunkowej.6.3 Rezultaty działania nauczonej jednokierunkowej sieci.6. Architektura i działanie sieci Kohonena.6.5 Proces uczenia sieci Kohonena.6.6 Rezultaty działania sieci Kohonena 5. Procesy dekoherencji 5. Ewolucja układu 5. Dekoherencja 5.. Parametr nasunięcia Δ 5.. Parametr asymetrii K 5..3 Parametr L liczba ewolucji unitarnych 5.. Parametr M liczba pomiarów 6.Podsumowanie 6. Przegląd pracy 6. Najważniejsze wyniki 6.3 Dalsze perspektywy badań 3

4 . Wstęp.. Wprowadzenie Ciągle rosnące zapotrzebowanie na moc obliczeniową i także rozwój technologii sprowadza się do sytuacji, w której zaczynają dominować prawa mikroświata, a z nim pojawiają się problemy związane z chaosem kwantowym. Istnieją liczne próby stworzenia układów [], które umożliwią w przyszłości zbudowanie komputera kwantowego. Jak się okazuje złożoność tych procesów jest tak duża, że nie sposób dokonać tego na obecnym poziomie technologicznym. Jednak główną przyczyną w niemożności zbudowania komputera kwantowego jest podatność układów kwantowych na zakłócenia wynikające z oddziaływania z otoczeniem. W wyniku takiego oddziaływania układ traci koherencję, a superpozycja stanów czystych układu przechodzi w stan mieszany, który nie wykazuje zjawiska interferencji. Takie zjawisko utraty koherencji na skutek oddziaływania z otoczeniem nazywane jest dekoherencją. Przechodząc do pojęcia chaosu napotyka się problemy związane z definicją chaosu kwantowego. Chaos klasyczny sprowadza się do nieliniowego systemu wrażliwego na warunki początkowe, a nieznaczne zaburzenie układu powoduje znacznie różnicę w jego ewolucji. Chaotyczny układ klasyczny jest półdeterministyczny. Wynika to pewnej określoności zachowania w obrębie całego systemu. Nie można jednak tej formy determinizmu wyznaczać w dowolnej skali. Miarą chaosu klasycznego jest szybkość zwiększania się odległości dwóch początkowo bliskich stanów. W chaosie kwantowym te definicje nie mogą być poprawne ze względu na charakter mechaniki kwantowej. Chaos powiązany z dynamiką wewnętrzną układu wiąże się z zanikiem koherencji kwantowych w układach otwartych. Praca ta ma na celu pokazanie cech chaotycznych w widmie operatorów opisujących trzy modele przekształcenia nieunitarnego piekarza w zależności od różnych parametrów, a także zbadanie jego ewolucji w czasie.

5 .. Plan pracy Praca ta została podzielona na trzy części. Jako wstęp opisano motywacje do badań pozwalających na lepsze zrozumienie istoty chaosu kwantowego. Rozdział pracy, należący do części pierwszej poświęcony jest konstrukcji nieodwracalnej dynamiki w postaci przekształcenia piekarza. Prezentuje także strukturę klasycznego modelu opisując także jego kwantowy odpowiednik. Następnie przedstawione są trzy modele: klasyczny model przekształcenia nieuważnego piekarza, unitarny model ewolucji odwracalnej oraz autorski model zmodyfikowanego przekształcenia nieuważnego piekarza, różniący się zachowaniem od modelu badanego wcześniej. W drugiej części pracy, w rozdziale trzecim, przedstawiono analizę widma superoperatora przekształcenia dla trzech różnych modeli układu. Zwraca się uwagę na liczbę pomiarów wykonywanych podczas każdego kroku ewolucji oraz na parametr asymetrii, który redukuje zachowania chaotyczne układu klasycznego. W części trzeciej pracy, w rozdziale przedstawiono konstrukcję i sposób uczenia dwóch sieci neuronowych rozpoznających i klasyfikujących widma spektralne operatorów reprezentujących badane chaotyczne układy kwantowe. W części czwartej pracy w rozdziale 5 poddaje się analizie ewolucję układu kwantowego. W szczególności badamy, jak szybko przebiega dekoherencja układu. W zakończeniu pracy przedyskutowano otrzymane wyniki oraz przedstawiono dalsze możliwe kierunki badań, które umożliwią lepsze poznanie własności chaosu w kwantowych układach otwartych. 5

6 . Dynamiczne układy nieodwracalne.. Układ kwantowy a otoczenie Układu kwantowego nie można całkowicie odizolować od otoczenia. Dlatego analizowany układ kwantowy S opisuje się w większej strukturze U, w skład której wchodzi także otoczenie E. Mimo, że ewolucja układu U jest unitarna, system S staje się układem otwartym, a pod wpływem oddziaływania z otoczeniem E jego ewolucja w czasie staje się nieunitarna. Rys... Układ kwantowy oddziałujący z otoczeniem Stan układu kwantowego można w ogólności opisać macierzą gęstości postaci ρ = B pb Ψ b > < Ψ b b=. (.) Chcąc opisać układ otwarty, jesteśmy zmuszeni do uśredniania wartości po stanach otoczenia. Współczynniki pb reprezentują prawdopodobieństwa, gdzie każdy współczynnik jest dodatni i spełnia równanie zupełności (.). pb= b, p b 0. (.) Dodatkowo zachowany jest ślad macierzy gęstości Tr = (.3) Macierz gęstości jest operatorem hermitowskim, dodatnio określonym, ze śladem równym jeden. Stan czysty reprezentowany jest wektorem w przestrzeni Hilberta, a kwadrat operatora gęstości dla stanu czystego jest równy jemu samemu. W innym przypadku mamy do czynienia ze stanami mieszanymi. Dla stanów mieszanych elementy diagonalne macierzy gęstości mają interpretacje rozkładu gęstości prawdopodobieństwa. Układ S będzie opisany stanami mieszanymi. Ewolucja takich stanów musi też zachowywać własności operatora gęstości. Fakt zachowania nieujemności ewolucji w układzie otwartym prowadzi do tzw. odwzorowań całkowicie dodatnich. Stan układu S można wyznaczyć poprzez wysumowanie po wszystkich możliwych konfiguracjach środowiska. 6

7 .. Superoperator Brak wiedzy na temat oddziaływania otoczenia z systemem kwantowym wymusza przyjęcie innej strategii badawczej. Zamiast analizy układu U wraz z podukładami S i E buduje się nieodwracalny układ kwantowy i bada się jego dynamikę. Opis taki zakłada, że budujemy pewien analityczny operator działający w przestrzeni Hilberta przekształcający zbiór macierzy gęstości w siebie. Charakter tej korespondencji prowadzi do odwzorowań całkowicie dodatnich. Ta klasa przekształceń kwantowych jest reprezentowana przez operatory liniowe w postaci Krausa M ' = = Am Am., (.) m= gdzie operatory Am są dowolnymi operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta o wymiarze N. Operator w formie Krausa zapewnia, że ρ' jest macierzą dodatnio określona. Znany jest prosty dowód istnienia macierzy niezmienniczej ρinv przekształcenia Λ, spełniającego relację inv = inv. (.5) W przypadku M= równanie (.) opisuje ewolucję unitarną. Wraz ze wzrostem liczby M operatorów Krausa Am ewolucja układu przestaje być unitarna. Aby zapewnić zachowanie prawdopodobieństwa operatory Krausa Am spełniają warunek zupełności [5] M Am. Am= m=. (.6) Rozważając ewolucję układu kwantowego w którym dobrze określone stany przekształcane są w dobrze określone stany. Wówczas interesujące są takie operatory Λ, które przekształcają dodatnio określone macierze gęstości w inne dodatnio określone macierze gęstości. Takie operatory nazywamy dodatnimi. Jeśli dodatkowo rozszerzenie transformacji takiego odwzorowania na nieznane środowisko E o dowolnym wymiarze reprezentowane przez operator identycznościowy również powoduje dodatnie przekształcenia wówczas określa się takie odwzorowania mianem całkowicie dodatnich [5]. Dyskretne odwzorowanie '= można zapisać w postaci superoperatora Λ, reprezentowanego przez macierz o wymiarze N. ' mn= mn. (.7) 7

8 .3. Odwzorowanie piekarza Odwzorowanie piekarza jest jednym z prostszych modeli nieodwracalnej dynamiki kwantowej. Istnieje też nieodwracalny wariant opisywany przez odwzorowanie całkowicie dodatnie, które może być przydatne w badaniach nad zjawiskiem dekoherencji oraz w pracach nad zastosowaniem mechaniki kwantowej w obliczeniach kwantowych. Zarówno ten model jak i jego alternatywne wersje pozwolą na badanie chaosu za pomocą dynamiki nieodwracalnej. Przedstawione tu rozważania mają na celu wyeksponowanie cech, które można powiązać z pojęciem chaosu kwantowego. Klasyczne odwzorowanie piekarza przekształca jednostkowy kwadrat I na samego siebie. Kwadrat I można utożsamić z dwuwymiarową przestrzenią fazową, w której zarówno położenia q jak i pędy p przyjmować mogą tylko skończone wartości. Odwzorowanie piekarza polega na dwukrotnym ściskaniu w położeniach oraz dwukrotnym rozciąganiu w pędach. Bardziej formalnie takie przekształcenie można zapisać w postaci : q q [ q] p p [ p], (.) gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x..3. Klasyczne przekształcenie piekarza Model ten jest układem mieszającym się w obrębie sklejania się górnej i dolnej połówki. Rys... Klasyczne przekształcenie piekarza

9 Klasyczne przekształcenie nieuważnego piekarza Można skonstruować model nieważnego piekarza polegająca na niedokładnym przełożeniu prawej strony na górną połówkę. Wówczas dochodzi do nasunięcia się górnej części kwadratu reprezentującego przestrzeń fazową na dolną o wielkość Δ/, [ 0,], : q q [q] p p [p], (.9) Transformacja przedstawia klasyczną operację nasunięcia, która przekształca dolną połowę kwadratu I na siebie, a górną połowę przesuwa w dół o Δ/. Rys..3. Przekształcenie nieuważnego piekarza Klasyczne asymetryczne przekształcenie piekarza W 990 Saraceno [] zaproponował kolejną modyfikację standardowego przekształcenia piekarza. Dodatkową wielkość K zwany parametrem asymetrii, którego interpretację graficzną przedstawia rys. (.). W granicy nieskończonej tego parametru układ przestaje być chaotyczny, ponieważ otrzymujemy odwzorowanie kwadratu na siebie w którym nie ma obszarów nieciągłości. Klasyczne asymetryczne odwzorowanie piekarza K dane jest wzorem K : Kq p q / K (.0) K K K K : q q / K K K K K Rys... Asymetryczne przekształcenie piekarza 9

10 .3. Kwantowe przekształcenie piekarza Kwantowy odpowiednik odwzorowania piekarza zaproponowany został po raz pierwszy przez Balazsa i Vorosa w 99 [7]. Realizując kwantowe odwzorowanie piekarza należy dwukrotnie rozciągnąć stany q w przestrzeni położeń, tym samym należy dwukrotnie ścisnąć stany p w przestrzeni pędowej. Te dwie operacje generują dwie pary po N/ równań. Okazuje się, że ten układ równań można rozwiązać, gdyż N/ równań jest zależne od pozostałych, a rozwiązanie generuje unitarną macierz przekształcenia postaci B= F N. [ FN/ 0 ] 0 F N /, (.) gdzie N jest wielkością macierzy, a FN oznacza dyskretną transformatę Fouriera. Dla uproszczenia zakłada się, że warunki brzegowe są periodyczne. Transformacja z bazy położeń do bazy pędowej i odwrotnie zadana jest dyskretną transformacją Fouriera, F N mn = mn / N e ; m, n =,..., N N (.) Klasyczna operacja nasunięcia przekształca dolną połowę kwadratu I na siebie, a górną połowę przesuwa w dół o Δ/. Aby rozróżniać, czy dany stan należy do górnej czy dolnej części należy dokonywać pomiaru kwantowego na takim układzie. Dokonuje się tego wprowadzając dwa operatory rzutowe Db i Dt, które można zapisać następującej formie: 0 D b = F N. [ N / ] FN, (.3) 0 0. Dt = F N [ gdzie 0 0 ]FN, 0 N / (.) W oznacza operator jednostkowy działający w przestrzeni W-wymiarowej. Operatory rzutowe pozwalają rzutować stan z wielowymiarowej przestrzeni Hilberta na daną podprzestrzeń. Operator rzutowy P jest hermitowski i jest równy swemu kwadratowi, tzn. P =P. Kwantowe przekształcenie nieuważnego piekarza Aby zrealizować operacje przesunięcia górnej połówki układu w dół o wielkość Δ/ należy zadziałać na operator rzutowy dodatkowym operatorem translacji. Przyjmijmy, że obniżanie górnej połówki dokonujemy w przestrzeni pędów. Wówczas operator translacji w pędach V k>= k+> (.5) opisuje przesunięcie przestrzeni w górę o jedną jednostkę. 0

11 Operator generujący obniżenie o Δ/ jest potęgą macierzy permutacji N V N 0 = (.6) Wykorzystując projektor Dt zadany wzorem (.3) oraz operator V konstruujemy projektor D ' t =V N / Dt (.7) przesuwający górną połówkę w dół o wartość Δ/. Kwantowe asymetryczne przekształcenie piekarza Asymetryczne kwantowe przekształcenie będzie miało postać B K = F N. [ F N /K 0 0 F N N /K ], (.) przy czym N/K musi być liczbą całkowitą. N jest wielkością macierzy, a K jest parametrem asymetrii dla K= dostaje się standardowe przekształcenie piekarza opisane wzorem (.). Zbierając razem unitarny operator odwzorowania piekarza wraz z projektorami, w którym górny projektor został przesunięty o Δ/ otrzymujemy superoperator realizujący odwzorowanie nieuważnego piekarza B B. =D b B B. Db. Dt ' B B. Dt '. (.9) Ogólnie, działanie pełnego superoperatora można sprowadzić do dwóch kroków: a) zadziałaj unitarnym operatorem B, opisującym przekształcenie piekarza na stan ρ, b) sprawdź operatorem rzutowym gdzie znajduje się punkt po transformacji, w przypadku znalezienia go w górnej połówce zastosuj operację nasunięcia o Δ/ opisany przez operator (.6) W tym podstawowym przykładzie liczba operatorów Krausa wynosi. Iloczyny operatorów rzutowych z macierzą przekształcenia piekarza spełniają warunek zachowania śladu.

12 . Modele alternatywne Kwantowe przekształcenie nieuważnego piekarza jest odwzorowaniem nieunitarnym, nawet dla Δ=0. Jest to konsekwencją pomiaru kwantowego, realizowanego przez operatory rzutowe Dt oraz Db, które powodują utratę koherencji... Quasi-unitarny model przekształcenia nieuważnego piekarza Można jednak skonstruować taki superoperator, aby dla Δ=0 był unitarny. Operator przekształcenia piekarza jest operatorem unitarnym, dlatego muszą ulec zmianie projektory, których zadaniem jest dokonywanie pomiaru góra - dół. Konstrukcja operatora rzutowego może być sprowadzona do postaci D b=db Dt V D t = D b V N N (.0) Dt (.) Dt Istnieje bardzo prosty dowód poprawności definicji tego operatora, wystarczy skorzystać z własności zupełności operatorów Krausa D t oraz D b. Dobrane w taki sposób projektory można zinterpretować graficznie Rys..5. Quasi-unitarny model przekształcenie nieuważnego piekarza Pierwszy operator rzutowy jest zbudowany z Db oraz zrzutowanego na Dt przesunięcia. Takie dodatkowe rzutowanie nie pozwala nakładać się górnej części na dolną połówkę. Drugi operator jest zrzutowanym przesunięciem na dolną połówkę. Po dodaniu tych wyrazów następuje mieszanie się układu przy Δ>0, jednak całość jest unitarna dla Δ=0. Wynika to z własności granicznych D t = D b V N 0 D t D b V 0 D t = D b D t =0, (.) oraz 0 D b D b D t D t = D b D t =., (.3) zachowany jest również warunek zupełności (.6).

13 .. Zmodyfikowany model przekształcenia nieuważnego piekarza Zaproponowany przez autora zmodyfikowany model nieuważnego piekarza wykaże nieco inne właściwości spektralne, a co za tym idzie, inną ewolucję kwantową. W porównaniu ze standardowym odwzorowaniem, przesunięcie przestrzeni fazowej obejmuje obydwa operatory rzutowe. Dwa przesunięcia o Δ/ daję tę samą powierzchnię nakładania się obydwóch części klasycznej przestrzeni fazowej, co w podstawowym kwantowym modelu (.9). W tym wariancie modelu projektory mają postać D ' b=v N / D b (.) D ' t =V N / D t (.5) Dobrane w taki sposób projektory można zinterpretować graficznie Rys..6. zmodyfikowany model nieuważnego piekarza Dla parametru nasunięcia Δ różnego od zera wszystkie trzy modele przedstawiają nieunitarną dynamikę kwantową. W przypadku standardowego przekształcenia i modelu zaproponowanego przez autora mamy do czynienia z silnym sprzężeniem układu z otoczeniem. Tak dzieje się gdy, rozpatrujemy układ kwantowy polu elektromagnetycznym, które wymusza przejścia pomiędzy poziomami energetycznymi. 3

14 3. Analiza nieunitarnych modeli kwantowych 3. Własności spektralne superoperatora Mając skonstruowany superoperator działający na macierze gęstości zbudowane dla N-wymiarowej przestrzeni Hilberta możemy rozważyć jego problem własny = (3.) Ze względu na liniowość działania dowolnego superoperatora na stany mieszane, przedstawione jako pionowe wektory o N składowych, możemy opisać superoperator przy pomocy macierzy o wymiarze N x N ' M M = = A m A. m m= ' = = Am Am. (3.) m= gdzie Am są operatorami Krausa (.3) przekształcenia Λ. Transformacja z macierzy NxN operatora do wektora o wymiarze N x odbywa się w sposób leksykograficzny. Widmo superoperatora jest symetryczne względem osi rzeczywistej, (3.3) gdyż operator Λ przekształca macierze hermitowskie w macierze hermitowskie. Rozważmy przykładowe widmo przekształcenia nieuważnego piekarza przedstawione na płaszczyźnie zespolonej. Rys.3.. Przykładowe widmo superoperatora przekształcenia nieuważnego piekarza

15 Wszystkie widma generowane są dla wymiaru przestrzeni Hilberta równego N=6. Rys. (3.) przedstawia widmo spektralne superoperatora przekształcenia piekarza z parametrem przesunięcia Δ=/, wymiar przestrzeni Hilberta wynosi N=6. Na rys. (3.) przedstawione jest N=096 wartości własnych. Widmo zawiera jedną niezdegenerowaną wartość własną równą, a moduł żadnej innej wartości własnej i nie równa się jedności [6]. Należy podkreślić, że widmo zawiera N/ wartości zerowych związanych z blokami macierzy ρ, które są zerowane pod wpływem działania operatora. Pozostałe wartości leżą wewnątrz koła jednostkowego, przy czym przerwa spektralna 0.7 (3.) jest duża w porównaniu z / N, gdzie oznacza drugą co do wielkości modułu wartość własną BΔ. 3. Parametr nasunięcia Δ Standardowa transformacja piekarza polega na przekształceniu jednostkowego kwadratu I na płaszczyźnie (q,p) w ten sposób, że zostaje on rozciągnięty dwukrotnie w kierunku q i ściśnięty w kierunku p również o czynnik, następnie prawa połowa powstałego prostokąta jest umieszczana nad lewą. Wprowadzenie parametru Δ powoduje, że prawa część prostokąta zostanie umieszczona trochę za nisko, tak, że powstanie przekrycie lewej i prawej części o rozmiarze Δ/ patrz rys. (.3). Parametr Δ jest liczbą rzeczywistą i może przyjmować wartości z przedziału [0,]. Dla Δ=0 nie ma nasunięcia górnej połówki w modelach standardowym (wzór.9) i quasi-unitarnym zadanym przez operatory (.0) i (.) oraz przesunięcia w obrębie obu połówek w modelu zmodyfikowanym (.) i (.5). W przypadku klasycznym wszystkie trzy warianty odpowiadają standardowemu odwzorowaniu piekarza. Natomiast dla Δ>0 odwzorowanie jest nieodwracalne, a każdy punkt przestrzeni fazowej należący do zbioru q [ 0,], p [,/ ] (3.5) posiada dwa przeciwobrazy, gdzie q - przestrzeń położeń, p - przestrzeń pędów. Wpływ parametru Δ na obraz widma superoperatora jest mało znaczący. Wynika to z faktu, iż wzrost parametru Δ powoduje większy obszar przekrywania stanów. Rys (3.), (3.3), (3.) przedstawia widma trzech modeli przekształcenia piekarza z parametrami K=, L=, M=, odpowiednio kolejne widma dla parametru Δ=0, /, /. 5

16 a) b) c) Rys. 3. Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, K=, L=, M= oraz a) Δ =0, b) Δ =/, c) Δ =/ Wzrost parametru Δ dla kolejnych widm z rys. 3. wpływa na symetrię widma na płaszczyźnie zespolonej 0 symetria sześciokątna a) 0 symetria k ołowa b) (3.6) Rozkład kątowy wartości własnych w widmie nie zmienia się, a druga na moduł wartość własna wyznaczająca przerwę spektralną oscyluje nieznacznie w granicy %. a) b) c) Rys. 3.3 Widma superoperatora zmodyfikowanego przekształcenia piekarza (wzór.,.5) dla parametrów N=6, K=, L=, M= oraz a) Δ =0, b) Δ =/, c) Δ =/ Rys. (3.) zawiera widma quasi-unitarnego przekształcenia piekarza (.6-.7). W tym przypadku symetrie przy Δ=0 nie są uwydatnione. Należy przypomnieć, że standardowe przekształcenie nieuważnego piekarza (.9) przesuwa górną połówkę przestrzeni fazowej na dół o wartość Δ/. Natomiast zmodyfikowany model przesuwa górną połówkę o wartość Δ/ w dół i jednocześnie przesuwa dolną połówkę przestrzeni fazowej o wielkości Δ/ w górę rys. (.6). Zwraca uwagę fakt, iż wielkość przestrzeni mieszającej jest w obu modelach taka sama. Przy czym mieszanie w standardowym modelu odbywa się w obrębie jednego operatora rzutowego, natomiast zmodyfikowany model miesza stany w 6

17 obrębie dwóch podprzestrzeni. Operator rzutowy symuluje akt pomiaru, który zaburza układ kwantowy oraz łamie symetrie. a) b) c) Rys 3. Widma superoperatora quasi-unitarnego przekształcenia piekarza (wzór.0,.) dla parametrów N=6, K=, L=, M= oraz a) Δ =0, b) Δ =/, c) Δ =/ Widmo superoperatora dla modelu quasi-unitarnego przekształcenia piekarza (wzór.0,.) nie wykazuje wrażliwości na zmianę parametru Δ dla Δ> Parametr asymetrii układu klasycznego K Aby jakościowo przeanalizować wpływ dynamiki chaotycznej na widmo nieodwracalnego układu kwantowego zadanego przekształceniem całkowicie dodatnim można wyznaczyć wartości własne superoperatorów odpowiadających asymetrycznemu przekształceniu piekarza złożonemu z operacją nasunięcia zadana wzorem. '. '., K =D b, B K B. K Db, Db, B K B K Db, (3.6) Przypadek układu z K= odpowiada standardowemu przekształceniu piekarza. Wraz ze wzrostem parametru K układ staje się coraz mniej chaotyczny. Można zaobserwować, że przerwa spektralna maleje a wartości własne zajmują gęsto coraz większy obszar koła jednostkowego. Jednak dla K>=3 występuje rozrzedzenie gęstości w środku koła, to znaczy pozostaje duża liczba wartości skupiona wokół zera (nadal N/ wartości własnych superoperatora jest dokładnie równych zero), ale pozostałe wartości zbliżają się do okręgu jednostkowego, a nieliczny zbiór zajmuje pozostałą część powierzchni koła o promieniu równym jeden. Rys. (3.5), (3.6), (3.7) przedstawia widma superoperatorów dla trzech modeli przekształcenia piekarza z parametrami Δ=/, L=, M= oraz parametrem K=, 6, 6 7

18 a) b) c) Rys 3.5 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, L=, M= oraz a) K=, b) K=6, c) K=6 Rys. (3.5) przedstawia jeszcze jedną ciekawą własność. Mianowicie wzrost parametru K powoduje zanik nieunitarności odwzorowania przez co wartości własne superoperatora zbliżają się do okręgu jednostkowego. Analizując dokładnie ostatnie widmo z rys. (3.5) widać przesuniecie wywołane przyciąganiem się wartości własnych do wartości własnej =. a) b) c) Rys 3.6 Widma superoperatora zmodyfikowanego przekształcenia piekarza (wzór.,.5) dla parametrów N=6, Δ=/, L=, M= oraz a) K=, b) K=6, c) K=6 Porównując modele z rys. (3.5) i rys. (3.6) widzimy, że przy tym samym parametrze K, model zmodyfikowany przekształcenia piekarza (mieszanie stanów w obrębie dwóch połówek) ma więcej wartości własnych na moduł bliższych zeru. Ten efekt widać porównując dwa środkowe widma z rys. (3.5) i (3.6) dla K=6. Zasługuje na uwagę również fakt, iż w modelu zmodyfikowanym mamy całe grupy punktów przyciągających rozłożonych równomiernie na kole jednostkowym, przez co nie ma przesunięcia widma, jak w przypadku modelu standardowego przekształcenia piekarza. Jednocześnie, spowolnione tempo wzrostu uporządkowania układu dla zwiększającego się parametru K powoduje, że struktura ułożenia wartości własnych na moduł bliskich jeden jest rozmyta.

19 a) b) c) Rys 3.7 Widma superoperatora quasi-unitarnego przekształcenia piekarza (wzór.0,.) dla parametrów N=6, Δ=/, L=, M= oraz a) K=, b) K=6, c) K=6 Rys. (3.7) przedstawia widmo superoperatora quasi-unitarnego przekształcenia piekarza. Własności tego widma: K rozkład o symetrii kołowej K [,3 ] punkt przyciągania (3.7) K 3 równomiernie rozłożone punkty przyciągania na kole jednostkowym Dla każdego modelu, gdy parametr asymetrii K dąży do nieskończoności (należy pamiętać, iż N/K musi być liczną całkowitą) układ osiąga uporządkowanie przestaje wykazywać cechy chaotyczności niezależnie od parametru Δ. Wówczas obszar mieszania się stanów zachodzi w obrębie całej przestrzeni fazowej. Zdefiniowana wcześniej przerwa spektralna =, która pokazuje jak zachodzi proces dekoherencji już po pierwszym kroku ewolucji, wykazuje liniową zależność od parametru asymetrii K. Przeksztalcenie piekarza N=6 Delta=0.5 0, 0, N=6 Delta=0.5 Przeksztalcenie piekarza 0, 0, 0,0 0, 0, 0,6 0,6 0, 0, γ γ 0,0 0, 0, 0,0 0,0 0,0 0,0 0,06 0,06 0,0 0,0 K K Rys 3. Zależność przerwy spektralnej od parametru asymetrii K w modelu standardowym 9

20 Rys. (3.7) pokazuje że zależność przerwy spektralnej od parametru asymetrii K dla standardowego modelu przekształcenia piekarza jest w pierwszym przybliżeniu liniowa i nie zależy od parametru nasunięcia Δ. Sytuacja przedstawia się inaczej, jeśli weźmie się pod uwagę model zmodyfikowany. Rys. (3.) pokazuje, że przy wzroście parametru mieszania zależność przerwy spektralnej od parametru asymetrii ma charakter nieliniowy. Zmodyfikowane przeksztalcenie piekarza 0,35 Zmodyfikowane przeksztalcenie piekarza N=6 Delta=0.5 0,30 N=6 Delta=0.5 0,0 0,5 0,5 0,5 γ γ 0,0 0,0 0,0 0,05 0,05 0, ,00 6 K K Rys 3. Zależność przerwy spektralnej od parametru asymetrii K w modelu zmodyfikowanym Zależność przerwy spektralnej od parametru asymetrii K przedstawiona jest na rys. (3.9) dla modelu quasi-unitarnego (.0,.). Dla dwóch różnych wartości parametrów nasunięcia Δ wraz ze wzrostem parametru asymetrii K maleje stopień chaosu w układzie klasycznym oraz maleje wielkość przerwy spektralnej. 0,35 0,35 Quasi-unitarne przeksztalcenie piekarza 0,30 Quasi-unitarne przeksztalcenie piekarza 0,30 N=6 Delta=/ 0,5 N=6 Delta=/ 0,5 0,0 γ γ 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,05 0,05 0,00 0,00 K K Rys 3.9 Zależność przerwy spektralnej od parametru asymetrii K w modelu quasi-unitarnym Procesy dekoherencji zachodzące w procesie ewolucji układu nieunitarnego można określić w sposób jakościowy stosując metodę badania widma, w którym bierze się pod uwagę wielkość przerwy spektralnej =. Pozwala to zbadać, jak zachowuje chaotyczny układ kwantowy w czasie oraz jak szybko stan kwantowy dąży do stanu stacjonarnego inv = inv. 0

21 3. Liczba ewolucji unitarnych L Proces ewolucji przekształcenia piekarza polega na działaniu operatora B na macierz gęstości, po którym następuje akt kwantowego pomiaru. Powyższy model opisany postacią Krausa (wzór.) jest odwzorowaniem nieunitarnym. Zobaczmy więc, co się stanie, gdy pomiar kwantowy nie będzie zgodny z dynamiką wewnętrzną układu. Postulaty mechaniki kwantowej głoszą, iż układ kwantowy ulega dekoherencji na skutek oddziaływania z otoczeniem. Oddziaływanie z otoczeniem realizuje się przez działanie operatorów pomiaru na macierz gęstości przekształconą przez unitarną transformację B. W takim razie układ będzie słabo oddziaływał z otoczeniem, jeżeli transformacja wewnętrzna zachodzi częściej niż dokonany pomiar góra - dół. Algebraicznie można przedstawić taką sytuację w postaci operatora B podniesionego do potęgi L, co daje unitarny operator BL. Wówczas całkowite przekształcenie piekarza zawierające operatory transformacji BL oraz operatory rzutowe można zapisać w postaci:, L = Db, B L B L. D b,. Db, ' B L B L. D b, '. (3.) Rys (3.0), (3.), (3.) przedstawiają widma trzech modeli przekształcenia piekarza z parametrami Δ=/, K=, M=, odpowiednio dla parametru L=, 6, 6. Wszystkie trzy modele w podstawowej konfiguracji parametrów tzn. Δ=/, K=, L=, M= wykazywały podobne cechy, mianowicie N/ wartości zerowych, duża koncentracja wartości własnych w pobliżu zera, druga na moduł wartość własna około Obliczenia numeryczne wskazują, iż zwiększanie parametru L do nieskończoności powoduje, że wartości własne gromadzą się na kole o promieniu bliskim drugiej na moduł wartości własnej. a) b) c) Rys 30 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, M= oraz a) L=, b) L=6, c) L=6

22 a) b) c) Rys 3. Widma superoperatora zmodyfikowanego przekształcenia piekarza (wzór.,.5) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, M= oraz a) L=, b) L=6, c) L=6 a) b) c) Rys 3. Widma superoperatora quasi-unitarnego przekształcenia piekarza (wzór.0,.) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, M= oraz a) L=, b) L=6, c) L=6 Rys. (3.3), (3.), (3.5) pokazują zależności przerwy spektralnej od parametru ilości transformacji wewnętrznych L dla trzech modeli przekształcenia piekarza. Należy zwrócić wagę, iż większy parametr mieszania Δ powoduje stabilne wysycanie się przerwy spektralnej do utworzenia struktury subunitarnej. Ze wzoru 3.6 wynika, że dla małych wartości Δ widmo superoperatora traci symetrię kołową. Symetria kołowa zapewnia równomierny rozkład wiodących wartości własnych, przez co druga na moduł wartość własna staje się stabilna ze względu na małą zmianę parametrów układu.

23 N=6 Delta=0.5 0,30 0,30 0, 0, 0,6 0,6 0, 0, 0, N=6 Delta=0.5 Przeksztalcenie piekarza γ γ Przekzstalcenie piekarza 0, 0,0 0,0 0, 0, 0,6 0, L L Rys 3.3 Zależność przerwy spektralnej od liczby L transformacji unitarnych w modelu standardowym N=6 Delta=0.5 Zmodyfikowane przeksztalcenie piekarza 0,30 Zmodyfikowane przeksztalcenie piekarza 0,30 0, 0,6 0,6 γ γ 0, N=6 Delta=0.5 0, 0, 0, 0, 0,0 0,0 0, L L Rys 3. Zależność przerwy spektralnej od liczby L transformacji unitarnych w modelu zmodyfikowanym 0,30 Quasi-unitarne przeksztalcenie piekarza N=6 Delta=/ 0, Quasi-unitarne przeksztalcenie piekarza 0,9 0,7 0, N=6 Delta=/ 0,6 γ γ 0,7 0,5 0,6 0, 0,5 0,3 0, 0, L L Rys 3.5 Zależność przerwy spektralnej od liczby L transformacji unitarnych w modelu quasiunitarnym 3

24 Zwiększanie liczby transformacji unitarnych L istotnie wpływa na charakter widma superoperatora. Wartość przerwy spektralnej wpływa na cały proces dekoherencji układu. 3.5 Liczba pomiarów M Superoperator realizujący standardowe przekształcenie zawiera dwa projektory, ponieważ potrzebujemy rozróżniać czy stan znajduje się w górnej czy dolnej połowie przestrzeni. W poprzednim podrozdziale opisany jest parametr L związany z dynamiką wewnętrzną układu. Zobaczmy co się stanie, jeżeli będzie się częściej wykonywać pomiar kwantowy nad układem. Parametr M będzie oznaczać liczbę operatorów rzutowych, tj. operatorów Krausa w postaci (.). Algebraicznie przekształcenie piekarza będzie miało postać M.. = D m B B D m. (3.9) m= W standardowym przekształceniu piekarza dwa operatory rzutowe generowały pomiar góra - dół. Stosowanie M projektorów dzieli przestrzeń fazową na M ortogonalnych podprzestrzeni. Rys. (3.6), (3.7), (3.) przedstawiają widma trzech modeli przekształcenia piekarza z parametrami Δ=/, K=, L=, odpowiednio dla parametru M=, 6, 6. Na pierwszych widmach rys. (3.6), (3.7), (3.) widać odwzorowania trzech układów z parametrem M=, które nieznacznie różnią się od widm standardowych modeli. Pozostałe widma przy parametrach odpowiednio M=6,6 wskazują, że duże oddziaływanie z otoczeniem niszczy układ kwantowy. Wielokrotny pomiar niszczy strukturę widma poza wiodącą wartością własną wszystkie inne wartości własne dążą do zera, a widma superoperatorów dla różnych modeli nie dają się rozróżnić. a) b) c) Rys 3.6 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, L= oraz a) M=, b) M=6, c) M=6

25 a) b) c) Rys 3.7 Widma superoperatora zmodyfikowanego przekształcenia piekarza (wzór.,.5) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, L= oraz a) M=, b) M=6, c) M=6 a) b) c) Rys 3. Widma superoperatora quasi-unitarnego przekształcenia piekarza (wzór.0,.) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, L= oraz a) M=, b) M=6, c) M=6 Wyniki numeryczne wskazują, iż liczba niezerowych wartości własnych jest uzależniona od liczby pomiarów i wynosi N = M 0 (3.0) Zerowanie niektórych wartości własnych przez operatory rzutowe powoduje, że średnio druga na moduł wartość jest mniejsza niż w standardowych odwzorowaniach, co sprawia, iż rośnie przerwa spektralna. 5

26 N=6 Delta=0.5 0,9 0,9 Przeksztalcenie piekarza 0, 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 γ γ 0, N=6 Delta=0.5 Przeksztalcenie piekarza 0, 0, 0,3 0,3 0, 0, M M Rys 3.9 Zależność przerwy spektralnej od liczby pomiarów M w modelu standardowym N=6 Delta=0.5 0,9 N=6 Delta=0.5 Zmodyfikowane przeksztalcenie piekarza 0,50 Zmodyfikowane przeksztalcenie piekarza 0, 0,5 0,0 0,6 0,35 γ γ 0,7 0,30 0,5 0,5 0, 0,0 0,3 0,5 0, M M Rys 3.0 Zależność przerwy spektralnej od liczby pomiarów M w modelu zmodyfikowanym Rys. (3.0) przedstawia zależność przerwy spektralnej od liczby pomiarów M w zmodyfikowanym modelu. 0,7 0,7 Quasi-unitarne przeksztalcenie piekarza Quasi-unitarne przeksztalcenie piekarza 0,6 0,6 N=6 Delta=/ 0,5 0, γ N=6 Delta=/ 0,5 γ 0, 0,3 0,3 0, 0, 0, 0, 0,0 0,0-0, M M Rys 3. Zależność przerwy spektralnej od liczby pomiarów M w modelu quasi-unitarnym 6

27 3.6 Równoczesna zmiana parametrów układu W pracy tej analizowane są struktury widm trzech modeli przekształcenia piekarza uzależnionych od czterech parametrów. Najmniejszy wpływ na strukturę widma ma parametr nasunięcia Δ, dlatego w tym podrozdziale nie będzie brany pod uwagę. Najbardziej interesujące są kombinacje zmiany parametrów K-M, L-M, K-L, ponieważ pokazują, jak manipulowanie pewnymi wielkościami wpływa na zachowanie układu oraz na jego ewolucje w czasie. Ponieważ uzyskane wyniki nie są bardzo czułe na wybór poszczególnego wariantu analizowanego modelu, zamieszczone widma dotyczą standardowego przekształcenia nieuważnego piekarza zdefiniowanego wzorem (.9) Jednoczesna zmiana parametrów L oraz M a) b) c) Rys 3.3 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, oraz a) L=6 i M=, b) L=6 i M=6, c) L=6 i M=6 Rys. (3.3) przedstawia widma standardowego modelu przekształcenia piekarza z parametrami Δ=/, K=, odpowiednio dla parametrów L=6 oraz M=, L=6 oraz M=, L=6 oraz M=6. Przypadek L>> odpowiada znikomemu oddziaływaniu z otoczeniem. Wraz z jednoczesnym wzrostem parametru M, gdy układ staje się coraz bardziej chaotyczny, można zaobserwować strukturę subunitarną. Dla L dążącego do nieskończoności powinno się otrzymać w widmie okrąg o promieniu R M = Wyniki numeryczne pokazują, że 0 równym wielkości parametru, M. (3.) otrzymuje się strukturę subunitarną o promieniu R = dla 0. (3.) Rys. (3.) przedstawia zależność widma subunitarnego od liczby pomiarów w modelu standardowym. 7

28 Zaleznosc promienia widma subunitarnego od ilosci pomiarow M 0, Przeksztalcenie piekarza 0,7 0,6 a b 0,5 R Dane: R(M) Model: Baker map Rownanie: y = a*x^b ±0.03 ± , 0,3 0, 0, M Rys 3. Zależność promienia widma subunitarnego R= = od liczby pomiarów w standardowym modelu przekształcenia nieuważnego piekarza Jednoczesna zmiana parametrów K oraz L Rys. (3.3) przedstawia widma standardowego modelu przekształcenia piekarza z parametrami Δ=/, M=, odpowiednio dla parametrów L=6 oraz K=3, L=6 oraz K=6, L=3 oraz K=6. a) b) c) Rys 3.5 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, M=, oraz a) K=3 i L=6, b) K=6 i L=6, c) K=6 i L=3 Jednoczesna zmiana parametrów K oraz M Można pokazać, iż kombinacja parametrów K i M dla K> oraz M> odpowiada sytuacji w której wzrost parametru K zmniejsza chaos w układzie, ale jednocześnie wzrost liczby operatorów pomiaru M zwiększa sprzężenie układu z otoczeniem. Algebraicznie wzrost parametru K powoduje zanik nieunitarności odwzorowania - wartości własne zbliżają się do okręgu jednostkowego. Natomiast wzrost parametru M - oznacza zerowanie niektórych wartości własnych superoperatora, co odpowiada natychmiastowej dekoherencji w układzie kwantowym.

29 a) b) c) Rys 3. Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, L=, oraz a) K=6 i M=, b) K=3 i M=, c) K=6 i M=6 Rys 3. przedstawia widma standardowego modelu przekształcenia piekarza z parametrami Δ=/, L=, odpowiednio kolejne widma dla parametrów K=6 oraz M=, K=3 oraz M=, K=6 oraz M=6. Kolejno na widmach można dostrzec więcej zerowych wartości wywołanych działaniem M operatorów rzutowych. Pomimo wzrostu parametru M w kolejnych widmach utrzymanie wysokiej wartości parametru K powoduje, że przerwa spektralna jest mała, a pozostałe wartości własne dążą do punktu = odpowiadającego stanowi niezmienniczemu. 9

30 . Chaos kwantowy a sztuczna inteligencja. Wstęp Dążenie człowieka do uczynienia swoich narzędzi coraz doskonalszymi i wydajniejszymi zaowocowało badaniami, których przedmiotem jest obdarzenie maszyn zbiorem zachowań i postaw pozwalających na kreatywną pracę i umiejętność adaptacji do zmieniających się warunków otoczenia. Obserwacje niedoścignionego wzoru, jakim jest ludzki mózg oraz podstawowych komórek z jakich się składa (neuronów), doprowadziły do prób modelowania niedużych układów połączonych neuronów. Układy te, zwane w literaturze jako sztuczne sieci neuronowe (SNN), wykazują pewne cechy zbliżone do cech mózgu. Są nimi np. zdolność uczenia się i kojarzenia. Okazuje się, iż sieć oparta na bardzo prostym modelu neuronu, posiadającą kilka wejść i wyjść, także posiada wyżej wspomniane zdolności. Generalnie funkcjonowanie sztucznej sieci neuronowej (SNN) polega na jej wcześniejszym nauczeniu przy wykorzystaniu odpowiedniego zbioru danych związanych z danym zagadnieniem. Podczas uczenia sieci na jej elementy wejściowe podawane są odpowiednio przygotowane informacje wejściowe zawarte w tzw. ciągu uczącym, następnie na wyjście podawana jest wartość reprezentująca oczekiwaną odpowiedź. Jest to jedna z wielu metod uczenia SNN. Ciąg uczący może zawierać dziesiątki, setki a nawet tysiące różnych wzorców. Wzorce te zwykle są danymi z przeszłości, na które znana jest już reakcja. Oczekiwanym efektem uczenia sieci jest przystosowanie sieci do generowania prawidłowych odpowiedzi na przedstawiane jej informacje wejściowe. W wyniku uczenia następuje dostrojenie dużej ilości parametrów sieci tzw. wag. Istotą działania sieci jest fakt, że poszczególne neurony są ze sobą powiązane połączeniami będącymi odpowiednikiem połączeń synaptycznych. To co ulega modyfikacji to wagi połączeń. Moc przetwarzania informacji w sieci neuronowej wynika z faktu, iż poszczególne neurony mogą przetwarzać informacje jednocześnie. Ponieważ wyjścia neuronów danej warstwy zależą jedynie od wyjść neuronów warstwy poprzedniej (czyli neurony każdej warstwy są niezależne), to możliwe jest zastosowanie równoległego przetwarzania danych. Ludzki mózg był inspiracją do budowy sieci neuronowych. Ten skomplikowany układ, gromadzący i przetwarzający informacje pod wieloma względami działa lepiej i skuteczniej od najpotężniejszych komputerów. Struktura i działanie SNN przypomina strukturę i działanie układu nerwowego. Zauważyć trzeba, iż inspiracje biologiczne dotyczą tylko ogólnych zasad funkcjonowania sztucznych sieci neuronowych. W rzeczywistości działanie SNN w większości modeli opiera się na czysto matematycznych koncepcjach dostosowanych do aktualnie rozwiązywanego problemu. Działanie sieci neuronowej ma więc niewiele wspólnego ze swoim neurofizjologicznym pierwowzorem. Sieciom neuronowym zwykle nadaje się określoną strukturę. Jej jednostki neurony grupowane są w większe układy zwane warstwami. Cała struktura wewnętrzna wraz z określeniem sposobu propagacji sygnału miedzy neuronami, tworzy tzw. architekturę sieci. Wiedza o sposobie rozwiązania danego problemu przechowywana jest w wewnętrznej strukturze wagach sieci. Współczynniki wagowe są zazwyczaj przydzielane na drodze losowania i zmieniane w procesie treningowym, zmierzającym do nauczenia sieci neuronowej identyfikacji wzorców albo odwzorowania przekształceń. 30

31 . Matematyczny model neuronu Podstawowymi elementami z których buduje się sztuczne sieci neuronowe są sztuczne neurony. Oczywiście sztuczne neurony są bardzo uproszczonymi modelami komórek nerwowych występujących w przyrodzie. x x w w Σ wn e ϕ y xn Rys. Model neuronu Rozważmy schemat przedstawiony na rys. (.), gdzie X=(x,...,xn) wektor sygnału wejściowego, W=(w,...,wn) wektor wag, a wektor Y to sygnał wyjściowy. Jak widać na przedstawionym schemacie, model sztucznego neuronu składa się z dwóch bloków: - bloku sumowania - bloku aktywacji Funkcja e jest funkcją agregującą, której wartość jest sumą ważoną wejść (neuron liniowy) lub odległością pomiędzy wektorem wejściowym i wektorem wag (neuron radialny). Najczęściej stosowaną funkcją agregującą jest liniowa kombinacja wartości wejściowych zadana wzorem n e= X i W i= X, W (.) i Sygnał e poddawany jest przetwarzaniu przez blok aktywacji, który w zależności od potrzeb może być opisywany różnymi funkcjami. Do najważniejszych funkcji aktywacji należą y=ke funkcja liniowa (.) unipolarna funkcja skoku jednostkowego y= dla h y=0 dla h (.3) bipolarna funkcja skoku jednostkowego y =sgn e (.) funkcja sigmoidalna y= exp e (.5) funkcja tangensoidalna y=tg h e exp e =, exp e (.6) gdzie jest dowolnym rzeczywistym parametrem. Funkcja aktywacji o postaci tangensoidalnej jest najbardziej zbliżona do 3

32 charakterystyki biologicznego neuronu, gdzie jest zadanym parametrem. Jeżeli to funkcja y dąży do funkcji signum (.)..3 Architektura sieci neuronowej Architektura sieci zależy od sposobu połączenia neuronów tej sieci oraz kierunku przepływu sygnałów w sieci. Istnieje bardzo wiele rodzajów sieci neuronowych : n-warstwowe sieci jednokierunkowe (np. perceptron), sieci rekurencyjne (np. sieć Hopfielda), sieci komórkowe (np. sieć Kohonena). Ta część pracy ma celu analizę widm spektralnych za pomocą sieci neuronowej. W analizie spektralnej widm superoperatora opisującego nieunitarną ewolucję kwantową wykorzystywane są 3-warstwowa jednokierunkowa sieć neuronowa oraz sieć Kohonena..3. n-warstwowe sieci jednokierunkowe Sieci jednokierunkowe charakteryzują się ściśle określonym kierunkiem przepływu sygnałów od pewnego ustalonego wejścia do wyjścia, na którym sieć podaje ustalone rozwiązanie. W tego typu sieci nie ma rekurencyjnych połączeń wstecznych, tzw. sprzężeń zwrotnych. Rys. Architektura n-warstwowej sieci jednokierunkowej wg E. Richer-Wąs wyk. Sieci neuronowe Architekturę n-warstwowej sieci jednokierunkowej (rys.) można podzielić na: - warstwę wejściową, - n warstw ukrytych, - warstwę wyjściową. Zadaniem elementów w warstwie wejściowej jest wstępne przetworzenie sygnału wejściowego X=[x,..., xn], które może obejmować normalizację lub skalowanie sygnałów. Zasadnicze przetwarzanie neuronowe obrazu wejściowego odbywa się w warstwach ukrytych oraz w warstwie wyjściowej. Warstwy te zbudowane są z elementów 3

33 przetwarzających, które stanowią modele sztucznych neuronów m. in. zaprezentowane w podrozdziale.. Należy zauważyć, że połączenia pomiędzy poszczególnymi warstwami są zaprojektowane tak, że każdy element warstwy poprzedniej jest połączony z każdym elementem warstwy następnej. Połączeniom tym są przypisane odpowiednie współczynniki wag, które są modyfikowane w procesie uczenia sieci neuronowej..3. Sieci komórkowe Budowa sieci komórkowych na przykładzie sieci Kohonena jest wzorowana na topologicznych właściwościach mózgu ludzkiego. Sieci te znane są pod nazwą samoorganizujących się map cech (SOM). Sieci zaproponowane przez Kohonena w 9 roku posiadają dwie warstwy neuronów: warstwę wejściową oraz warstwę wyjściową rys. (.3). Rys.3 Architektura sieci Kohonena opracowana przez Sue Yeon Syn Warstwa wejściowa zbudowana jest z tylu neuronów, ile zmiennych opisują wektory danych wejściowych. Neurony tej warstwy nie przetwarzają wprowadzonych do sieci danych, a tylko przekazują sygnał wejściowy do neuronów warstwy wyjściowej. Warstwa wyjściowa sieci składa się z pewnej ustalonej liczby N neuronów wyposażonych w radialną funkcję aktywacji wyznaczającą potencjał postsynaptyczny. Neurony radialne obliczają kwadrat odległości pomiędzy dwoma punktami w N-wymiarowej przestrzeni określonej przez liczbę wejść. Punkty, pomiędzy którymi wyznaczana jest odległość, odpowiadają odpowiednio wektorowi opisującemu sygnał wejściowy oraz wektorowi wag neuronu wektory wag spełniają zatem rolę wzorców sygnałów. 33

34 . Proces uczenia sieci neuronowej Jedną z najważniejszych cech sieci neuronowych jest zdolność uczenia się, czyli zdolność do samodzielnego dostosowania współczynników wagowych. Dzięki temu takie sieci mają charakter sztucznej inteligencji i potrafią przystosować się do zmieniających się warunków. Celem uczenia jest taki dobór wag w poszczególnych neuronach, aby sieć mogła rozwiązywać stawiane przed nią problemy. Sam proces uczenia sieci neuronowej sprowadza się do wyznaczenia takiego zbioru wartości wag W, dla którego określona w przestrzeni wag funkcja błędu E(W) osiąga minimum rys. (.). Najczęściej stosowaną formułą służącą do obliczania błędu jest suma kwadratów różnic pomiędzy wartością oczekiwaną przez nauczyciela (di) i wartością na wyjściu sieci (yi) N E = d i y i i (.) Rys. Proces minimalizacji funkcji błędu Adaptacja wag odbywa się w kolejnych cyklach i można ją przedstawić wzorem w ij k =wij k w ij k (.) gdzie k oznacza numer cyklu uczącego, w ij k jest starą wagą, a w ij k nową wagą. Problem doboru odpowiednich wag sprowadza się do wyznaczenia wartości przyrostu wartości wag. Należy tak dobierać przyrost wag aby nie wpaść w ekstremum lokalne. Z punktu widzenia systemu uczącego można wyróżnić: a) uczenie z nadzorem Uczenie sieci w tym przypadku odbywa się pod nadzorem zewnętrznego nauczyciela. Sygnałom wejściowym towarzyszą żądane wartości sygnałów wyjściowych. Wagi są dobierane w ten sposób, aby minimalizować błąd sieci, czyli różnicę sygnału wyjściowego sieci i żądanego przez nauczyciela poprawnego sygnału wyjściowego. W kolejnych cyklach uczących sieć dobiera się wagi w ten sposób, aby jej odpowiedzi były możliwie najbardziej zbliżone do prawidłowej odpowiedzi. 3

35 b) uczenie z krytykiem Metoda uczenia z krytykiem jest podobna do metody uczenia pod nadzorem z tą różnicą, że nie występuje informacja o żądanych wartościach na wyjściu, a jedynie informacja, czy podjęta przez system akcja daje wyniki pozytywne czy negatywne. Jeżeli działanie daje wynik pozytywny to następuje wzmocnienie tendencji do właściwego zachowania się systemu w przyszłości. c) uczenie bez nadzoru (uczenie samoorganizujące się) W uczeniu samoorganizującym się neurony współzawodniczą ze sobą, aby stać się aktywnymi. W uczeniu konkurencyjnym (WTA Winner Takes All) tylko jeden neuron może być aktywny. Reszta neuronów pozostaje w spoczynku. Grupa neuronów współzawodniczących otrzymuje te same wektory sygnałów wejściowych. W zależności od wartości wag synaptycznych poszczególnych neuronów sygnały na ich wejściach różnią się między sobą. Zwycięża ten neuron, którego wartość wyjściowa jest największa. Neuron ten przyjmuje na swoim wyjściu wartość, a pozostałe 0. Neuron zwycięzca dostaje prawo do aktualizacji swoich wag, czyli do dalszego uczenia się..5 Struktura widma superoperatora W poprzednim rozdziale dotyczącym analizy widma superoperatora można zauważyć różne grupy struktur widm superoperatora tworzonych przez wartości własne na płaszczyźnie zespolonej. Biorąc pod uwagę tak dużą różnorodność struktur spektralnych, które mają bezpośredni wpływ na przebieg ewolucji superoperatora w czasie oraz proces dekoherencji w układzie kwantowym opisywanym przez ten superoperator, pojawia się pytanie, czy można utworzyć taki zbiór parametrów, których interpretacja jasno określałaby grupę do jakiej należy dana struktura widma superoperatora? Zaproponujmy grupę parametrów [U,S,G,P] odpowiadających kolejno U [ 0, ] stopniowi unitarności S [ 0, ] stopniowi subunitarności G [ 0, ] stopniowi gradientu P [0, ] stopniowi mieszania stanów Parametry struktury U, S, G, P zostały tak dobrane w ten sposób, aby odpowiadały za parametry w uogólnionym kwantowym przekształceniu piekarza scharakteryzowanym przez parametr asymetrii K, ilość pomiarów M, liczbę wewnętrznych transformacji unitarnych L oraz parametr nasunięcia Δ (wzór.9). Te parametry w sposób kluczowy determinują własności uzyskanych widm według relacji K U, M S, L G, P (.9) Należy zaznaczyć, iż na każdy parametr struktury mają wpływ pozostałe parametry modelu przekształcenia piekarza, aczkolwiek w znikomym stopniu. 35

36 U stopień unitarności Stopień unitarności U, zależny głównie od parametru asymetrii K stwierdza w jak dużym stopniu widmo superoperatora podobne jest do widma operatora unitarnego, w którym wartości własne leżą na kole jednostkowym w płaszczyźnie zespolonej. Dla U=0 widmo nie będzie przedstawiało w żadnym stopniu cechy unitarności, dla U= widmo superoperatora będzie unitarne. Przyjmuje, że parametr struktury U=0 dla widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (o parametrach K=, L=, M=, Δ=/), gdzie max = 0.66 i zależny jest od max. Aby U [0,] można przyjąć wzór empiryczny U max =3 max 0,66 (.0) a) b) Rys.5 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, L=, M= oraz a) K=6, b) K=6 Rys. (.5) przedstawia widma superoperatora dla których parametr stopnia unitarności U po zastosowaniu wzoru (.0) będzie wynosił odpowiednio dla K =6 U =0,55 oraz K =6 U =0,95. S stopień subunitarności Stopień subunitarności S stwierdza, w jak dużym stopniu w widmie superoperaora wygenerowała się struktura subunitarna w postaci koncentracji wartości własnych w pobliżu pewnego koła o promieniu R mniejszym od. Wartość parametru S będzie wyliczana w oparciu o liczbę wartości własnych na moduł bliskich max =, co można zapisać w postaci S k =k [0,] jeśli # max ~ k% # max 0 (.) 36

37 a) b) Rys.6 Widma superoperatora standardowego przekształcenia piekarza (wzór.9) dla parametrów N=6, Δ=/, K=, oraz a) L=6 i M=, b) L=6 i M=6 Struktury subunitarne są generowane w widmie kwantowego przekształcenia piekarza tylko przy parametrze L N, a promień tej struktury uzależniony jest od parametru liczby pomiarów M (wzór 3.). Parametr stopnia subunitarności wyznacza się empirycznie w oparciu o wzór.. Z rys. (.6) wynika, iż dla obrazka a) i b) o parametrach opisanych powyżej wartość parametru stopnia subunitarności można dobrać odpowiednio S=0.7 oraz S=0.6. Należy zwrócić uwagę, iż parametr stopnia subunitarności zależy także od parametru asymetrii K oraz parametru ilości transformacji unitarnych L w kwantowym przekształcenia piekarza. Dla L>> generuje się w widmie superoperatora wzrost gęstości wartości własnych w funkcji odległości od środka układu współrzędnych przechodząc w postać struktury subunitarnej. Również dla parametru K>> oraz K<N tworzy się struktura subunitarna w widmie superoperatora, ponieważ wartości własne dążą do osiągnięcia równomiernego rozkładu na kole jednostkowym, jednak promień tej struktury jest mniejszy od. G - stopień gradientu Stopień wielkości gradientu G określa jak zmienia się radialna gęstość rozkładu w widmie superoperatora. Parametr G może przyjmować wartości z zakresu [0,], które oznaczają G=0 G=0,5 G= gęstość szybko maleje gęstość stała gęstość szybko rośnie (.) 37