Miary zmienności STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 6 marca 2018

Transkrypt

1 STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 6 marca 2018

2 1

3 MIARY ZMIENNOŚCI (inaczej: rozproszenia, rozrzutu, zróżnicowania, dyspersji) informuja o zróżnicowaniu jednostek zbiorowości ze względu na wartość badanej cechy. Podział: miary pozycyjne, miary klasyczne.

4 Inny podział: miary bezwzględne (inaczej: absolutne), miary względne.

5 Pozycyjne miary zmienności

6 Pozycyjne miary zmienności ROZSTEP MIEDZYKWARTYLOWY jest to różnica pomiędzy trzecim i pierwszym kwartylem. Wzór: R 0 = Q 3 Q 1. Rozstęp międzykwartylowy mierzy zakres zmienności 50% środkowych jednostek pozostałych po odrzuceniu 25% najniższych i 25% najwyższych pomiarów.

7 Pozycyjne miary zmienności

8 Pozycyjne miary zmienności POZYCYJNY TYPOWY OBSZAR ZMIENNOŚCI CECHY Jednostki typowe to te, których wartości cechy mieszcza się w przedziale (Me Q,Me + Q).

9 Klasyczne miary zmienności

10 Klasyczne miary zmienności WŁASNOŚCI: odchylenie przeciętne jest zawsze liczba nieujemna: d 0, d = 0 w przypadku braku zróżnicowania cechy (tj. gdy wszystkie pomiary sa takie same), im WIEKSZA jest WARTOŚĆ odchylenia przeciętnego, tym SILNIEJSZE jest ZRÓŻNICOWANIE zbiorowości ze względu na badana cechę, odchylenie przeciętne jest wielkościa MIANOWANA (wyrażone jest w takich samych jednostkach miary jak badana cecha).

11 Klasyczne miary zmienności

12 Klasyczne miary zmienności Wzór ten możemy przekształcić do wygodniejszej do stosowania postaci: WŁASNOŚCI: ( 1 s 2 = n n i=1 ) xi 2 x 2. wariancja jest zawsze liczba nieujemna: s 2 0, s 2 = 0 w przypadku braku zróżnicowania (tj. gdy wszystkie pomiary sa takie same), im WIEKSZA jest WARTOŚĆ wariancji, tym SILNIEJSZE jest ZRÓŻNICOWANIE zbiorowości ze względu na badana cechę, wariancja jest wielkościa mianowana, ale wyrażona w jednostkach miary badanej cechy podniesionych do kwadratu. Nie daje się zatem intuicyjnie zinterpretować.

13 Klasyczne miary zmienności

14 Klasyczne miary zmienności WŁASNOŚCI: odchylenie standardowe jest zawsze liczba nieujemna: s 0, s = 0 w przypadku braku zróżnicowania (tj. gdy wszystkie pomiary sa takie same), im WIEKSZA jest WARTOŚĆ odchylenia standardowego, tym SILNIEJSZE jest ZRÓŻNICOWANIE zbiorowości ze względu na badana cechę, odchylenie standardowe jest wielkościa mianowana, wyrażona w takich samych jednostkach miary jak badana cecha, odchylenie standardowe jest zawsze większe od odchylenia przeciętnego s > d, pomiędzy odchyleniem standardowym, przeciętnym a ćwiartkowym zachodzi zwiazek: s > d > Q.

15 Klasyczne miary zmienności

16 Klasyczne miary zmienności KLASYCZNY TYPOWY OBSZAR ZMIENNOŚCI CECHY Jednostki typowe to te, których wartości cechy mieszcza się w przedziale (x s,x + s). Przykład.

17 Współczynniki zmienności

18 Współczynniki zmienności POZYCYJNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI określa, jaki procent mediany stanowi odchylenie ćwiartkowe. Wzór: V Q = Q Me 100%. WŁASNOŚCI: V Q 0%, V Q = 0%, jeżeli zbiorowość nie jest w ogóle zróżnicowana, wyższa wartość współczynnika zmienności świadczy o silniejszym zróżnicowaniu cechy, czyli o niejednorodności zbiorowości.

19 Współczynniki zmienności

20 Współczynniki zmienności KLASYCZNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI określa, jaki procent średniej arytmetycznej stanowi odchylenie standardowe. Wzór: V s = s x 100%. WŁASNOŚCI: V s 0%, V s = 0%, jeżeli zbiorowość nie jest w ogóle zróżnicowana, wyższa wartość współczynnika zmienności świadczy o silniejszym zróżnicowaniu cechy, czyli o niejednorodności zbiorowości.

21 Współczynniki zmienności

22 Wariancja i odchylenie standardowe w szeregu rozdzielczym punktowym: s 2 = 1 n k i=1 lub ze wskaźnikami struktury: s 2 = k i=1 ( 1 (x i x) 2 n i lub s 2 = n (x i x) 2 ω i lub s 2 = ( k badź z udziałami procentowymi: s 2 = k i=1 k i=1 i=1 ( 1 (x i x) 2 p i lub s 2 = 100 x 2 i n i ) x 2, x 2 i ω i ) x 2, k i=1 x 2 i p i ) x 2.

23

24 RÓWNOŚĆ WARIANCYJNA Wariancję ogólna wyznacza się na podstawie równości wariancyjnej. Można udowodnić, że wariancja ogólna jest suma dwóch składników: wariancji wewnatrzgrupowej si 2 (jest to średnia ważona wariancji poszczególnych grup), wariancji międzygrupowej s 2 (x i ) (jest to wariancja średnich arytmetycznych poszczególnych grup).

25

26 Zatem całościowy wzór na obliczenie wariancji ogólnej: s 2 = 1 n Przykład. Rozkład normalny. k i=1s 2 i n i + 1 n k i=1 (x i x) 2 n i.

27 REGUŁA CZEBYSZEWA W dowolnym rozkładzie co najmniej 1 1 jednostek k 2 zbiorowości znajduje się w przedziale (x ks,x + ks), przy czym twierdzenie to jest prawdziwe dla k > 1. Zatem w przedziale: (x 2s,x + 2s) leży co najmniej 3 4, czyli co najmniej 75% jednostek zbiorowości, (x 3s,x + 3s) leży co najmniej 8 9, czyli co najmniej 89% jednostek zbiorowości, (x 4s,x + 4s) leży co najmniej 15 16, czyli co najmniej 93,75% jednostek zbiorowości, (x 5s,x + 5s) leży co najmniej 24 25, czyli co najmniej 96% jednostek zbiorowości. Przykład zastosowania.