Z K M Seria I. 1. Wybierz liczbę większą od zera ( jedna odpowiedź prawidłowa ) Odp B

Transkrypt

1 Z K M 2009 Seria I 1. Wybierz liczbę większą od zera ( jedna odpowiedź prawidłowa ) A) 1 7 0,(3) B) C) D) Odp B 2. Iloczyn dwóch liczb naturalnych, z których jedna jest większa od drugiej o 2, wynosi 15. Jakie to liczby? Odp. 3,5 3. Dla jakich a równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań: 2 a x 7 = 49x + a Odp: Jaka najmniejsza długość powinna mieć drabina królewicza, aby zdołał się po niej wdrapać do zamku, w którym uwięziona jest księŝniczka, jeśli mury zamku, wysokie na 8 metrów, oblewa fosa mająca w najwęŝszym miejscu 6 metrów długości. Odp: 10 metrów 5. Wyznacz masę ( m ) ze wzoru mv 2 E = + mgh 2 Odp: m = v 2E 2gh W kinie w kolejce do kasy stało siedem urodziwych dziewcząt. Kołodziejska stała w kolejce bliŝej kasy niŝ Dorota. Bezpośrednio za Karoliną stała Szychowiakówna, za którą równieŝ bezpośrednio stała Ania. Frania stałą między Broszkiewiczówną a Stasią.

2 Gawarecka stała w kolejce obok Danusi. Jadzia stała w kolejce bliŝej kasy niŝ Frydrychówna, a ta z kolei bliŝej niŝ Szczukiewiczówna. Busse śliczna dziewczyna o długich złocistych włosach i duŝych piwnych oczach rozejrzała się wokół siebie i ze zdziwieniem zauwaŝyła, Ŝe przed nią stoi tyle samo dziewcząt, co za nią. Ania i Broszkiewiczówna stały w kolejce oddzielone od siebie przez cztery inne dziewczęta. Bezpośrednio przed Szczukiewiczówną stała Ania. Dorota i Szczukiewiczówna razem chodzą do jednej klasy. Kołodziejska stała bliŝej kasy niŝ Frydrychówna. Podaj imię i nazwisko kaŝdej z dziewcząt oraz miejsce, jakie zajmowała one w kolejce do kasy. Odp: Kolejka do kasy : 1. Jadzia Broszkiewicz 2. Frania Kołodziejska 3. Stasia Frydrych 4. Karolina Busse 5. Dorota Szychowiak 6. Ania Gawarecka 7. Danusia Szczukiewicz 7. W trapezie prostokątnym, w którym kąt nachylenia jednego z ramion jest równy 60, a długość drugiego ramienia wynosi 6, a długość krótszej podstawy wynosi 10. Oblicz pole trapezu. Odp: Pole : P = 6 (10 + 3) 8. Uzupełnij: Kąt wpisany oparty na 4/9 okręgu ma miarę... Odp: Promień koła opisanego na trójkącie o bokach długości 3, 4, 5 wynosi A) 3 B) 2,5 C) 4 D) Czy to moŝliwe, Ŝeby... Wpisz T AK lub NIE. A) Okrąg miał pole równe 3 π...

3 B) Cyfra setek trzycyfrowej liczby była zerem... C) Czworokąt miał dokładnie dwa kąty rozwarty... D) Marta biegła z prędkością 25 km / h... Odp: A) nie B) nie C) tak D) tak Seria II 1. W roku 1845 pewien człowiek obchodził swoje urodziny. Powiedział on wtedy: Gdy mój wiek sprzed 15 lat pomnoŝę przez mój wiek za 15 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. W którym roku urodziła się jubilat? Odp: Wiedząc, Ŝe sinα + cosα = 1,22 oblicz sinα cosα Odp: 0, Prostokąt pocięto na cztery prostokąty, z których trzy maja pola 4, 8 i 12 jednostek kwadratowych. Jakie pole ma duŝy prostokąt? Odp: 48

4 4. Uzupełnij twierdzenie Niech a i b będą liczbami naturalnymi. Ułamek wtedy i tylko wtedy gdy... a 2 + b ab 2 jest liczbą całkowitą Odp: a=b 5. Kto jest autorem stwierdzenia: W kaŝdej wiedzy jest tyle prawdy ile jest w niej matematyki A) Pitagoras B) Immanuel Kant C) Mikołaj Kopernik D) Adam Mickiewicz Odp: B 1 6. Zapisz liczbę 1 w postaci sumy trzech ułamków o róŝnych mianownikach i 12 licznikach równych 1 ODP ½ +1/3 +1/4 x 4 7. Narysuj wykres funkcji f ( x) = + x x 4 Odp: 1 + x dla x > 4 f ( x) = 1+ x dla x < 4 8. W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD, Które przecięły się w punkcie E. Wiedząc, Ŝe AE = 9cm, EB = 4cm, CE = 3cm, oblicz długość ED Odp: 12 cm

5 9. JeŜeli do pewnej liczby dwucyfrowej dopiszemy na początku i na końcu cyfrę 1, to otrzymamy liczbę czterocyfrową 23 razy większą od danej. Wyznacz tę liczbę. Odp: Wyznacz dwie pary liczb całkowitych spełniających równanie xy = x + y Odp: (0,0) (2,2) Seria III 1. Funkcja f spełnia warunki f ( x + y ) = f (x) + f (y) i f (1 ) = 1. Oblicz f (1/4 ) Odp: f (1/4 ) = ¼ 2. W naczyniu A znajduje się 5 litrów 20 procentowego roztworu kwasu solnego, w naczyniu B 10 litrów 10 procentowego roztworu kwasu solnego. Z naczynia A przelano do naczynia B 1 litr roztworu, a następnie z naczynia B przelano z powrotem do naczynia A 1 litr roztworu. Jak zmieniła się ( ile wynosi ) procentowość roztworu w kaŝdym naczyniu.? Odp: 10, 91 %, 18,18 % RozwiąŜ nierówność: x + 2x x 0 Odp: < 0; + ) { 1} 4. Oblicz pole trapezu równoramiennego, w którym przekątna o długości 24 jest nachylona do krótszej podstawy pod kątem 30 stopni Odp: 144 3

6 5. Oprawiona ksiąŝka kosztuje 55 zł. KsiąŜka bez oprawy jest o 50 zł droŝsza niŝ koszt oprawy. Ile kosztuje ksiąŝka ( bez oprawy)? Odp: 52,50 zł 6. W dodawaniu TWO + TWO = FOUR róŝnym literom odpowiadają róŝne cyfry i na odwrót. Jeśli O zastąpimy 7, to co jakie cyfry zastępują pozostałe litery? Odp: U= 3 F=1 T= 8 W=6 7. Jeśli a + b = 15, b + c = 10, oraz a + c = 13, to które z poniŝszych zdań jest prawdziwe? A) a<b<c B) b<a<c C) c<b<a D) b<c<a Odp: C 8. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby Odp: 2 9. Uzasadnij, Ŝe równanie nie ma rozwiązań: sin x + sin 2x + sin 3x sin 2009x = 2009 Odp : Wszystkie sinusy muszą być równe 1. Co jest niemoŝliwe. 10. Redakcja śycia i nowoczesność postanowiła przeprowadzić statystyczno naukowe badania konsumpcji kawy i herbaty w Warszawie. Delegowany do tego celu dziennikarz złoŝył obszerne sprawozdanie, z którego wynikało, Ŝe : - rozmawiał ze 100 konsumentami, - kawę pija 78 z nich, - herbatę pija 71 z nich, - kawę i herbatę pija 48 rozmówców. Nikt nie uwierzył i sprawozdanie nie ukazało się w druku. Dlaczego? Odp: Tylko kawę pije 30 konsumentów ( ), tylko herbatę pije 23 ( 71-48). Zatem wszystkich konsumentów powinno być = 101. Dziennikarz podał liczb 100