Wykład 7. Obliczenia wytrzymałościowe prętów skręcanych. Skręcanie sprężyste i sprężysto - plastyczne.

Transkrypt

1 Wykład 7. Obliczenia wytrzymałościowe prętów skręcanych. Skręcanie sprężyste i sprężysto - astyczne. Zadanie. Załóżmy, że pręt składa się z dwóch odcinków o długościach jak na rysunku poniżej, nie precyzując kształtu przekrojów na każdym z odcinków, przyjmiemy, że na odcinku AC sztywnośc skrętna wynosi zaś na odcinku CE jest równa s. Zakładamy, że zamocowania te są tak skonstruowane, że występują w nich jedynie momenty skręcające (oczywiście nawet gdyby były to pełne utwierdzenia przestrzenne to i tak inne siły i momenty różne od skręcającego byłyby równe zeru). Obliczyć momenty utwierdzenia w punktach A i E. Narysować wykres momentu skręcającego i wykres kąta skręcenia. A B C E 3 Rysunek 7.. Pręt skręcany - dane. Problem jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny (dysponujemy jednym równaniem - sumą momentów na oś pręta, niewiadome zaś są dwie: A i E. Wobec tego uwolnimy myślowo jedną stronę pręta (w przekroju E) od więzu i obciążymy nieznanym momentem X. Aby schemat kinematyczny nie uległ zmianie - napiszemy warunek na kąt obrotu w tym miejscu: E (X, B, )=0 (7.) E Jest kątem skręcenia pręta względem przekroju początkowego, w którym mamy A =0. Zadanie potratujemy jako superpozycje dwóch zadań statycznie wyznaczalnych a oraz b, przedstawioną schematycznie na Rysunku A B C E + A B C E X Rysunek 7. Superpozycja: schemat podstawowy i schemat obciążony niewiadomym momentem utwierdzenia la obu tych zadań łatwo obliczyć moment skręcający w kolejnych przekrojach. Wykresy momentów skręcających przedstawia Rysunek 7.3a. Aby zapisać warunek (7.) należy użyć wzorów znanych z poprzednich wykładów:

2 d = = d = dx s dx s s la stałego momentu skręcającego można napisać przyrost kąta pomiędzy punktami P i Q leżącymi w odległości l PQ od siebie: x PQ = PQ lub = l PQ PQ s la momentu zmiennego można sumy zamienić na całki. Przyrost kąta między punktami x 0 i x jest wobec tego polem pod fragmentem wykresu momentów w tym przedziale: x ( ξ ) ( x ) = ( x ) + dξ 0 Wyniki obliczeń kątów obrotu w punktach B, C,, E podane są poniżejrysunku 7.3a x0 s s [L] X 4 Rys. 7.3a. oment skrecający na schemacie podstawowym B 4L = 5L = L C 5L = = E s Rys. 7.3b. oment skrecający od niewiadomej X B = XL = + XL XL XL = c XL = + [L] XL E s s [L] C E B C E B [L] Rys. 7.3c. Kąt skręcenia na schemacie podstawowym Rys. 7.3d. Kąt skręcenia od niewiadomej X 5L L XL XL warunek (7.): ( ) + ( X ) = + + = 0 s s X= ( 5 Js + J) Js + J

3 Rys. 7.3e. Całkowity kąt skręcenia: superpozycja dwu wykresów przedstawionych powyżej. Rys. 7.3f. Wypadkowy moment skręcający, superpozycja dwu wykresów przedstawionych na Rys. 7.3a i 7.3b.. ( 3 Js J) Js + J ( 5 Js + J) Js + J ( 3 Js + 7 J) Js + J Rys. 7.3g. Wykres momentu skręcającego na pręcie zamocowanym dwustronnie 4 L ( Js + J) G L( 5 Js + J) Js ( Js + J) G L( 3 Js + 7 J) J ( Js + J) G Rys. 7.3h. Wykres kąta skręcenia na pręcie zamocowanym dwustronnie Rysunek 7.3. Pręt skręcany - rozwiązanie. Wykresy narysowano dla wartości Js=J. 3

4 Zadanie. la pręta jak w zadaniu przyjąć przekroje na odcinkach AC i C odpowiednio: prostokątny i cienkościenny zamknięty, tak jak to pokazano na Rysunku 7.4. Obliczyć momenty utwierdzenia w punktach A i E. Narysować wykres momentu skręcającego i wykres kąta skręcenia. Narysować wykresy naprężeń stycznych w obu przekrojach. la ćwiczenia - wykonać obliczenia tak jak to zaleca sie w zadaniu powyżej i wynik sprawdzić stosując wzory wyprowadzone w zadaniu. 3/ (3/) d d =0d Rysunek 7.4. Przekroje pręta Obliczamy odpowiednie sztywności skrętne. la przekroju prostokątnego znajdujemy w/g wzoru i tablicy z podręcznika (Wytrzymałość ateriałów, Jakubowicz, Orłoś) lub z tablic inżynierskich: dla h/b=3/ α=0.346, β=0.94, η= Wskaźnik sztywności na skręcanie J=βb 4 =0.94 4, Sztywność skrętna J=0.94 G 4 Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie W=αb 3 = la przekroju cienkościennego korzystamy z wzorów Bredta. Przyjmujemy, że podane wymiary są wymiarami boków osi centralnej przekroju stąd: A 0 =.5, ds = = = 75 δ d d d d d Wskaźnik sztywności na skręcanie J=4 (.5 ) /75=0. 4, Sztywność skrętna Js=0. G 4 Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie W=*.5 d= (zauważmy, że na pierwszy przekrój zużyto 4 razy więcej materiału, uzyskując tylko niewiele ponad dwukrotnie większą sztywność i wskaźnik wytrzymalości) ożna teraz obliczyć rozkład momentów wzdłuż pręta oraz, przy okazji, - kąt skręcenia (postępując jak w zadaniu poprzednim):

5 L G L G L G 4 Rys Wykres momentu skręcającego i kąta skręcenia dla zadania nr. aksymalne naprężenie dla przekroju prostokątnego: τ max =Μ/W=.9Μ/ =8.44 / 3 τ=ημ/w= μ/ =7.5 / 3 aksymalne naprężenie dla przekroju cienkościennego: τ max =Μ/W=.079Μ/0.5 3 =7.9 / / / / / 3 Rysunek 7.6. Wykresy naprężeń stycznych przy skręcaniu Zadanie 3. la pręta jak w zadaniu przyjąć przekroje na odcinkach AC i C odpowiednio: cienkościenny otwarty i cienkościenny zamknięty, tak jak to pokazano na Rysunku 7.7. Obliczyć momenty utwierdzenia w punktach A i E. Narysować wykres momentu skręcającego i wykres kąta skręcenia. Narysować wykresy naprężeń stycznych w obu przekrojach. d d =0d Rysunek 7.7. Przekroje pręta Obliczamy odpowiednie sztywności skrętne. la przekroju cienkościennego otwartego (wzory z wykładu nr 4) sztywność skrętna: 4 J = ( d ( ) 3 ) 3 + d = Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie W= /d=

6 la przekroju cienkościennego korzystamy z wzorów Bredta. Przyjmujemy, że podane wymiary są wymiarami boków osi centralnej przekroju stąd: A 0 =, ds = = 3 = 60 δ d d d d d Wskaźnik sztywności na skręcanie J=4 ( ) /60= , Sztywność skrętna Js= G 4 Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie W=* d=0. 3. (zauważmy, że przekrój otwarty o geometrii podobnej jest niemal 00 razy słabszy!) ożna teraz obliczyć rozkład momentów wzdłuż pręta orazkąt skręcenia (postępując jak w zadaniu nr ): L G 4 Rys Wykres momentu skręcającego i kąta skręcenia dla zadania nr 3. aksymalne naprężenie dla przekroju cienkościennego otwartego: τ max =Μ/W=.5Μ/ =0.9 / 3 Występuje wzdłuż każdego z boków grubszych odcinków przekroju (o szerokości d). aksymalne naprężenie dla przekroju cienkościennego: τ max =Μ/W=.477 Μ/0. 3 =4.77 / 3 Występuje na cieńszym fragmencie przekroju, wykres jest podobny do tego z zadania nr. 6

7 Skręcanie sprężysto - astyczne. Zadanie 4. Załóżmy, że pręt składa się z dwóch odcinków o długościach i przekrojach jak na rysunku poniżej, obciążonych momentem skręcającym, którego parametr wzrasta do pewnej wartości graniczne. Wraz ze wzrostem obciążenia zewnętrznego wzrastają też naprężenia, osiągając wartość graniczną τ, stałą na pewnych obszarach przekroju pręta. W momencie gdy uastyczni się cały przekrój, moment wypadkowy wynosi a kąt obrotu takiego przekroju względem innego - nieuastycznionego - wzrasta nieograniczenie. W ten sposób tworzy się przegub astyczny. Należy obliczyć wartość graniczną graniczne, przy której pojawi się w konstrukcji pierwszy mechanizm. A B C 3 E (3/) =0d Rysunek 7.7. Pręt skręcany - dane. Aby ocenić do jakiej wartości graniczne może wzrosnąć, przeanalizujmy kinematykę odcinków pręta pomiędzy dwoma przegubami astycznymi. Rozpatrzymy trzy możliwe przypadki powstania mechanizmu. Są one pokazane na rysunku 7.8. la każdego z nich zapiszemy bilans prac, w którym uwzględnimy pracę momentów zewnętrznych na kącie obrotu odcinak pręta traktowanego jako bryła sztywna i pracę momentów astycznych w przegubach astycznych. Bilans ten powinien być dodatni aby umożliwić pewną dyssypację mocy w przegubach astycznych związaną z procesem uastycznienia materiału. Obliczenie momentów astycznych w przekrojach. Korzystamy z analogii wzgórza piaskowego. oment astyczny jest podwójną objętością równo-nachylonego do płaszczyzny stoku usypanego nad przekrojem skręcanym. Tangens kąta nachylenia jest równy danemu τ. la przekroju lewego (okrąg): π = π τ = τ = 0. 48τ 3 4 la przekroju prawego (prostokąt): 7 = τ + τ = τ = τ 3 4 Rozpatrzymy teraz kinematykę trzech możliwych schematów zniszczenia: - symbol przegubu astycznego 7

8 Schemat nr : A B C 3 E ( + ) 0 gr więc τ Schemat nr : A B C 3 E C E 3 ( + 4 ) 0 gr więc τ Schemat nr 3: A B C 3 E 3 ( + 3 ) 0 gr więc τ Rozwiązaniem jest oczywiście minimalne: graniczne gr gr gr gr = min{,, } = = τ 3 Zauważmy, że rozpatrywanie stanu nr 3 można było łatwo wykluczyć. Na tej samej zasadzie nie wzięto pod uwagę przypadków przegubu astycznego za punktem C w schemacie i 3. 8