Piotr Bigaj MEMETYCZNY ALGORYTM GLOBALNEGO PLANOWANIA ŚCIEŻKI Z OGRANICZENIAMI RUCHU DLA ROBOTA MOBILNEGO O NIEHOLONOMICZNYM UKŁADZIE JEZDNYM

Transkrypt

1 INSTYTUT BADAŃ SYSTEMOWYCH, POLSKA AKADEMIA NAUK Piotr Bigaj MEMETYCZNY ALGORYTM GLOBALNEGO PLANOWANIA ŚCIEŻKI Z OGRANICZENIAMI RUCHU DLA ROBOTA MOBILNEGO O NIEHOLONOMICZNYM UKŁADZIE JEZDNYM Streszczenie rozprawy doktoskiej Promotor: Prof. dr hab. inż. Janusz Kacprzyk Warszawa 2013

2 Spis Treści: 1. Postawienie zadania Cel pracy Teza pracy Struktura pracy Wprowadzenie do Globalnego Planowania Ścieżki Istota algorytmów ewolucyjnych Opis Platformy IBIS Proponowany algorytmu memetycznego Globalnego Planowania Ścieżki Testy numeryczne HugeMazeMap MarsMap Podsumowanie Literatura

3 1. Postawienie zadania Jednym z najczęściej rozpatrywanych w literaturze zagadnień związanych z autonomią robotów mobilnych jest pokonanie przez robota trasy od punktu startowego do docelowego z jednoczesnym omijaniem przeszkód. W przypadku tak postawionego zadania jedyną metodą postępowania jest rozbicie zadania na dwie następujące po sobie części: globalne planowanie trajektorii (ścieżki), oraz lokalne planowanie trajektorii ruchu robota i jej realizacja. Lokalne planowanie trajektorii jest zadaniem, które polega na zebraniu informacji dotyczących bliskiego otoczenia robota, budowie reprezentacji środowiska, lokalizacji robota w środowisku oraz zaplanowaniu ominięcia występujących przeszkód. Każdy z elementów tej sekwencji czynności dotyczy innych aspektów i wymaga innych narzędzi. W przypadku lokalnego planowania prędkości, robot na podstawie odczytów z sensorów otoczenia ma dostęp do wiedzy jedynie na temat swojego najbliższego otoczenia. Omijanie to powinno być wykonane w sposób bezkolizyjny oraz w możliwie najkrótszym czasie. Jako kryterium jakości oprócz czasu może być przyjęta np. odległości robota od występujących przeszkód. Lokalne planowanie trajektorii [20-24] jest zadaniem, które polega na zebraniu informacji dotyczącej bliskiego otoczenia robota, budowie reprezentacji środowiska, lokalizacji robota i zaplanowaniu ominięcia występujących w reprezentacji przeszkód. Każdy z elementów tej sekwencji dotyczy innych aspektów i wymaga innych narzędzi. W przypadku lokalnego planowania trajektorii robot, na podstawie odczytu z sensorów otoczenia, ma dostęp do wiedzy jedynie na temat swojego najbliższego środowiska. Najbliższe otoczenie jest w tym wypadku rozumiane jako obszar, którego wymiary są tego samego rzędu wielkości, co wymiary robota. Oczywiście, najciekawszą z naukowego punku widzenia częścią lokalnego planowania trajektorii jest omijania przeszkód. Omijanie to powinno być wykonane w sposób bezkolizyjny oraz w możliwie najkrótszym czasie. Kryterium jakości może być, oprócz czasu, np. odległość robota od występujących przeszkód, którą należy maksymalizować. Zadanie Globalnego Planowania Ścieżki (ang. Global Path Planning) [25-27] zostało sformułowane przez Giesbreachta [28] jako proces używający danych dotyczących terenu zadanych a priori w celu obliczenia lub odnalezienia bezkolizyjnej i optymalnej drogi z punktu początkowego do końcowego. Są także inne spojrzenia, np. Yi-nan [29] twierdzi, że globalne planowanie ścieżki to znajdowanie najbardziej rozsądnej ścieżki od punktu początkowego do końcowego. Ogólnie należy powiedzieć, że algorytmy globalne biorą pod uwagę ogólną sytuacje, w której znajduje się robot, i na podstawie tych danych wyznaczają zbiór punktów, w których robot powinien się kolejno znaleźć, aby dotrzeć z punktu początkowego do docelowego. Oznacza to, że algorytm musi posiadać wiedzę na temat obszaru, w którym ruch autonomiczny ma mieć miejsce. Informacja ta jest najczęściej reprezentowana jako mapa terenu, na której zaznaczone są przeszkody statyczne. Globalne planowanie ścieżki robota polega w tym przypadku na wyznaczeniu trasy, którą ma podążać robot, aby ociągnąć punkt docelowy, przy założeniu jakiegoś kryterium jakości. Algorytmy globalnego planowania ścieżki są kluczowym elementem w realizacji autonomii pojazdów bezzałogowych, w szczególności robotów. Globalne planowanie ścieżki jest procesem powolnym, wymagającym dużych nakładów obliczeniowych i nie obejmuje takich aspektów, jak np. stabilność pojazdu podczas wykonywania ruchu, czy problemu małych, dynamicznych przeszkód, gdyż te aspekty są przewidziane w module wykonującym Lokalne Planowanie Trajektorii. Rezultatem działania algorytmu Globalnego Planowania Ścieżki jest więc zbiór punktów, w których powinien znaleźć się robot, aby w końcu dotrzeć do celu. Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że każda reprezentacja środowiska (mapa) jest dyskretna, a co za tym idzie ścieżka jest zbiorem skończonym i nie-gęstym. Tymczasem fizyczny ruch robota jest ciągły, dlatego globalne planowanie 3

4 ścieżki musi posiadać tzw. subplaner, tj. algorytm, który poprowadzi robota pomiędzy kolejnymi punktami ścieżki. Globalne Planowanie Ścieżki robota mobilnego można przeprowadzić biorąc pod uwagę układ napędowy robota oraz skomplikowanie jego modelu. Z punktu widzenia układu napędowego mówi się więc o tym, w jaki sposób robot może się poruszać najczęściej podział ten doprowadza do dwóch ogólnych kategorii: robotów z napędem holonomicznym (zwany często po prostu robotem holonomicznym) oraz robotów nieholonomicznych. W pierwszym przypadku, robot (holonomiczny) traktowany jest jako punkt (tzw. robot punktowy). W drugiej grupie planowanie ścieżki bierze pod uwagę rzeczywiste wymiary robota i strukturę kinematyczno-dynamiczną, oraz często obok zbioru kolejnych punktów które są wynikiem działania algorytmu dostarcza np. danych o maksymalnych bezpiecznych dynamicznych parametrach ruchu. Rozbicie zagadnienia autonomicznej realizacji ruchu robota mobilnego na aspekt globalny i lokalny odpowiada rzeczywistemu rozwiązywaniu problemu przez człowieka. Dla przykładu, chcąc odnaleźć najszybszą drogę między dwoma punktami, człowiek prowadzący samochód posługuje się mapą planując globalnie ścieżkę, a następnie jedzie po wybranej wcześniej drodze, reagując na przeszkody w postaci pieszych, dziur na ulicach czy świateł drogowych. Konieczność zastosowania globalnych algorytmów planowania ścieżki robota zależy bezpośrednio od charakteru środowiska docelowego. Środowiska o małym skomplikowaniu (Rys. 1a), które nie zawierają specyficznych artefaktów, jak np. ślepe zaułki czy obszary tras o ujemnym przyroście odległości od celu, czyli takie, w którym ograniczenie percepcji wynika tylko z ograniczeń sprzętowych zastosowanych proprioreceptorów, nie wymagają stosowania algorytmów globalnych. W środowiskach ustrukturyzowanych lub mieszanych oraz w przypadku ogólnym użycie algorytmu globalnego planowania ścieżki jest niezbędne ze względu na ograniczoną percepcję robota i możliwość zakleszczenia w tzw. ślepych zaułkach (Rys. 1b). W przypadku ogólnym stosowanie algorytmów globalnego planowania ścieżki jest nieodłączną częścią autonomii robotów mobilnych [7, 8, 32-34]. Potencjalne możliwości zakleszczeni a robota a b Rys. 1. Robot holonomiczny oznaczony kolorem zielonym ma dotrzeć do punktu docelowego (kolor czerwony. Niebieski okrąg wyznacza granicę percepcji robota. a) Środowisko w którym bazując jedynie na lokalnej nawigacji robot dotrze do celu b) Sytuacja w której należy zastosować algorytm globalny ze względu na konieczność wykonania ruchu niemonotonicznego Cel pracy 1 Istnieją algorytmy lokalne, które potrafią przeprowadzić robota przez środowisko o podobnym charakterze. Przykładem takiego algorytmu jest algorytm BUG oraz jego modyfikacje jednak ścieżka otrzymana w wyniku działania takiego algorytmu jest wysoce nieoptymalna. 4

5 Celem pracy jest zaproponowanie nowego algorytmu globalnego planowania ścieżki robota mobilnego dla przypadku zastosowania map o zgrubnej dekompozycji komórkowej. Cel ten zostanie osiągnięty przy wykorzystaniu inspirowanych biologicznie algorytmów memetycznych, Rozpatrzony zostanie przypadek ogólny, tzn. podane zostanie rozwiązanie zadania dla robota punktowego (holonomicznego), a następnie pokazane zostanie zastosowanie opracowanego algorytmu dla robota nieholonomicznego, a konkretnie dla szczególnego przypadku robota klasy IBIS produkowanej przez Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów (PIAP). Jak to zostało wykazane w rozprawie, zadanie Globalnego Planowania Ścieżki można sprowadzić do minimalizacji funkcji dopasowania, która wyraża dobroć ścieżki. 3. Teza pracy Algorytmy inspirowanie biologiczne, a w szczególności hybrydowe algorytmy genetyczne algorytmy memetyczne, mogą być efektywnym narzędziem do globalnego planowania ścieżki robotów zarówno w przypadku holomicznych jak nieholonomicznych robotów mobilnych. 4. Struktura pracy Praca przedstawia kompleksowo zagadnienia dotyczące globalnego planowania ścieżki robotów mobilnych. Omówione są w niej aktualne rozwiązania problemu ogólnego dla punktowego robota holonomicznego oraz zaproponowane przez autora rozwiązanie za pomocą algorytmu memetycznego dla map o zgrubnej dekompozycji komórkowej oraz parametryzacja tego algorytmu. Algorytm ten zastosowany jest dla dwóch przypadków rozwiązania zadania planowania: ogólnym dla robota holonomicznego i szczególnym dla nieholonomicznego robota klasy IBIS. Praca składa się z siedmiu rozdziałów oraz spisu literatury. Rozdział pierwszy stanowi przedstawienie celu pracy oraz jej tezy. Rozdział drugi obejmuje dokładny opis problemu, omówienie możliwych reprezentacji środowiska za pomocą map oraz przedstawienie aktualnego stanu literatury dotyczącego globalnego planowania ścieżki i stosowanych do tego celu metod. W rozdziale trzecim przedstawiono istotę algorytmów ewolucyjnych w szczególności algorytmów genetycznych i memetycznych. W rozdziale czwartym przedstawiony jest robot IBIS oraz omówiona zostaje opracowana przez autora metoda lokalnego planowania ruchu robota. Rozdział piąty zawiera szczegółowy opis proponowanego memetycznego algorytmu Globalnego Planowania Ścieżki wraz z omówieniem wszystkich operatorów genetycznych i memetycznych poszukiwania i naprawy genotypu. Rozdział szósty jest poświęcony prezentacji wyników testów numerycznych i eksperymentu z udziałem robota IBIS oraz interpretacji wyników. W dalszych punktach przedstawiona zostanie zawartość kolejnych rozdziałów rozprawy pomijając wprowadzający rozdział pierwszy. Postawienie zadania, cel i teza rozprawy doktorskiej zostały zaprezentowane odpowiednio w rozdziałach 0, 2, 0 niniejszego streszczenia Wprowadzenie do Globalnego Planowania Ścieżki Definicja globalnego planowania ścieżki podawana w literaturze [7, 35, 36] nie jest definicją ścisłą. Wynika to z faktu istnienia związku planowania globalnego z lokalnym. W tej pracy przyjmuje się następującą definicję: Globalne planowania ścieżki robota mobilnego jest to proces, który na bazie informacji o pewnym fizycznym otoczeniu, zwanej mapą, oraz współrzędnych punktów: początkowego i docelowego, znajduje ścieżkę reprezentowaną przez uporządkowany zbiór punktów z tej mapy, w których to punktach powinien się kolejno znaleźć się robot, aby dotrzeć od punktu początkowego do końcowego, a pomiędzy tymi punktami możliwy jest ruch wyznaczony zgodnie z algorytmami lokalnego planowania trajektorii. 5

6 Definicja ta określa dane wejściowe i wyjściowe procesu. Wejściem jest mapa, czyli reprezentacja pewnego fizycznego obszaru, oraz zbiór 2 punktów: początkowego i docelowego. Wyjściem jest natomiast uporządkowany zbiór punktów z mapy reprezentujący trajektorię. Ta ogólna, abstrakcyjna definicja nie rozpatruje sposobu reprezentacji danych wejściowych oraz wyjściowych, przestrzeni planowania, przestrzeni poszukiwania, opisu robota, przestrzeni konfiguracji problemu itd. Jednym z krytycznych elementów przy opracowywaniu algorytmu Globalnego Planowanie Ścieżki jest sposób reprezentacji przestrzeni S, tj. odpowiednia budowa mapy. W literaturze spotyka się trzy główne sposoby budowy map: 1) Dekompozycja komórkowa 2) Reprezentacja drogowa (grafowa), 3) Reprezentacja wirtualnych sił pola. Dekompozycja komórkowa została wprowadzona w 1983 roku przez Brooksa i Lozano-Pereza [37] i jest reprezentacją najczęściej używaną [38]. Dzieli ona przestrzeń S na zbiór nienakładających się na siebie obszarów, które reprezentują pewną cechę środowiska. W swojej najprostszej postaci w mapie binarnej - wartość ta określa, czy dana komórka zawiera przeszkodę, czy jest wolna. W innych przypadkach wartość ta może być interpretowana jako bezwzględna wysokość terenu, przejezdność, koszt energetyczny osiągnięcia danej komórki itp. W reprezentacji drogowej (grafowej) wierzchołkami grafu są punkty w przestrzeni S i dla którego krawędzie zawierają ściśle określone i ustalone z góry przejścia. Graf w reprezentacji topologicznej rozmieszcza wierzchołki w identyfikowanych lokalizacjach punktach orientacyjnych. Aby rozwiązać zadanie planowania ścieżki dla reprezentacji grafowej należy ułożyć graf poprzez znalezienie jego wierzchołków, a następnie znaleźć przejście przez niego. Globalne planowanie ścieżki dla grafu może być właściwie dowolną kombinacją metody wyszukiwania wierzchołków oraz metod przeszukiwania grafu. Przewagą użycia grafu nad dekompozycją jest najczęściej liczba punktów dla których planista musi wyszukać ścieżkę. Jego poważną wadą jest trudność uaktualnienie grafu w przypadku map dynamicznych lub przy wykorzystaniu metod typu SLAM (Simultaneus Localisation and Mapping). Równocześnie dobór wierzchołków grafu jest krytyczny. Brak istotnych wierzchołków w grafie może powodować nierozwiązywalność grafu lub nieoptymalną drogę. Właściwie wszystkie metody metryczne grafowe używają artefaktów typu róg przeszkody lub skrzyżowanie przedłużeń boków. Trzecią grupą reprezentacji są siły wirtualnych pól. Algorytmy bazujące na takiej reprezentacji zostały pierwszy raz zastosowane przez Khatiba [39] do lokalnego planowania ruchu, a następnie rozwinięte przez Latombe a (np.[17]) Siły pól na mapie powstają przez przyporządkowanie każdemu punktowi (najczęściej dla przybliżonej dekompozycji komórkowej) wektora siły. Wektor ten jest superpozycją dwóch wektorów: odpychającego robota od przeszkód i przyciągającego do celu tj. tworzy on linie sił pola w którym porusza się punktowy robot. Moduł wektora jest tym większy im robot znajduje się przeszkody/celu. Pola potencjalne mają poważną wadę, istnienie lokalnych minimów, gdzie robot może utknąć, lub wpaść w oscylacje. Problem lokalnych minimów może być rozwiązany na dwa sposoby: używając technik, które pomogą wyprowadzić robota z takiego minimum lub używając pola, które minimów nie posiada [40]. Praca Koditzhka [41] udowadnia, że nie da się zbudować takiego pola, które nie zawierałoby minimów, gdyż zawsze będziemy mieli do czynienia z punktem siodłowym pomiędzy dwoma przeszkodami. 6

7 Wybór metody reprezentacji przestrzeni poszukiwań S ukierunkowuje wybór algorytmu. W literaturze najczęściej stosowane są następujące algorytmy: 1. Algorytmy metod drogowych: a. Graf widzialności [42-45] b. Diagram Voronoia [46-48] c. Metoda dróg probabilistycznych [49, 50] d. Metoda RERT (Rapidly Exploring Random Trees) [51-54] 2. Metody pól potencjałowych a. Metoda funkcji nawigacyjnych [40, 41, 55] b. Metoda Depth-First dla pól potencjałowych [17, 56] c. Metod Best-First dla pól potencjałowych [17, 57] d. Grupa metod fal czołowych [58-60] 3. Metody oparte na grafie: a. Przeszukiwanie Depth-First [61, 62] b. Przeszukiwanie Breadth-First [63] c. Metoda Uniform-Cost [64] d. Algorytm Trulla [65-67] 4. Metody heurystyczne: a. Metoda A* i pochodne [14, 68, 69] b. Metody inspirowane biologicznie. [14, 70] Porównanie i zestawienie najważniejszych metod Globalnego Planowania Ścieżki znajduje się w tabeli poniżej. 7

8 Tabela 1. Zestawienie metod Globalnego Planowania Ścieżki wraz z określeniem optymalności, kompletności wad i zalet metod. Nazwa metody Graf Widzialności (Visibility graph) Metody Triangulacyjn e (Triangulation methods) Diagram Voronoi (Voronoi diagrams) Mapy probabilistycz ne (Probabilistic roadmaps) Rok Główni twórcy reprezentacja przestrzeni konfiguracji C- Space 1969 Lozano-Pérez, Wesley, Nilsson Dwuwymiarowa, ale koncepcje widzialności może zostać łatwo rozwinięta na dowolną liczbę wymiarów Złożoność Kompletność Optymalność Zalety Wady ( + ) TAK TAK w sensie długości ścieżki 1984 Lee, Preparata Dwuwymiarowa () TAK NIE, jeżeli technika relaksacji ścieżki została użyta to wynik jest identyczny z grafem widzialności Shamos, Dwu(trój)wymiarow () TAK TAK (w sensie a maksymalizacji odległości od przeszkód) 1996 Kavraki Bez ograniczeń Nie może Probabilistycznie NIE jedynie zostać rozwiązania określona 2 suboptymalne Prostota obliczeń Niska złożoność obliczeniowa. Mapa nie musi mieć kształtu prostokąta. Łatwość implementacji przy użyciu techniki dziel i rządź. Łatwość implementacji ścieżki dla robota o kształcie dysku. Duża ilość metod próbkowania mapy. Możliwość aplikacji dla robotów nieholonomicznych, Łatwość w określaniu odległości pomiędzy niepozycyjnymi konfiguracjami. Uwzględnia jedynie wypukłe wielokątne przeszkody. Działa tylko dla map binarnych. Tylko optymalizacja jednokryterialna. Robot traktowany jako punkt. Głównie do środowisk statycznych Uwzględnia jedynie wypukłe wielokątne przeszkody. Działa tylko dla map binarnych. Robot traktowany jako punkt. Głównie do środowisk statycznych. Wymaga techniki relaksacji ścieżki. Ścieżka nie optymalna. Jedynie trójwymiarowa przestrzeń C-Space. Głównie do środowisk statycznych. Kosztowna obliczeniowo a każda iteracja zajmuje więcej czasu. Wynikowa ścieżka nie jest gładka potrzebna jest dodatkowa technika wygładzania. Głównie do środowisk statycznych. Pola potencjałów (Potential fields) 1986 Khatib Trójwymiarowa (jedynie pozycja) Nie może zostać określona NIE NIE Łatwość i intuicyjność implementacji, duża wydajność. Wynikowe ścieżki są gładkie. Problem lokalnych minimów wymaga stosowania dodatkowych technik. Trudność w adaptacji do wielowymiarowych przestrzeni konfiguracji. Głównie do środowisk statycznych. Potrzebuje wcześniejszej dekompozycji komórkowej Metody fal czołowych (Wavefront planners) Depth-first search Breadth-first search Uniform cost search i algorytm 1991 Latombe, Barraquand, Brock maksymalnie czterowymiarowa Bez ograniczeń, ale koszt przejścia musi zostać określony 1959 Dijkstra Bez ograniczeń, ale koszt przejścia musi zostać określony () TAK TAK Łatwość implementacji. Może uwzględniać koszt przejścia pomiędzy konfiguracjami. ( + ) Wymaga techniki wygładzania. Oblicza ścieżki, które przechodzą bardzo blisko przeszkód, więc wymaga implementacji zachowań typu podążanie wzdłuż ściany. Głównie do środowisk statycznych TAK TAK Łatwość implementacji Nie optymalne rozwiązania zależne od rozgałęzienia i głębokości grafu. Jedynie dla grafu o dodatnich kosztach przejścia. ( ) TAK TAK Łatwość implementacji. Liczone są jednocześnie ścieżki dla każdego wierzchołka grafu. Jedynie dla grafu o dodatnich kosztach przejścia. 2 Podstawą są procesy stochastyczne 8

9 Dijkstry Algorytm Trulla A* i jego warianty 1991 Mitchell Bez ograniczeń, ale koszt przejścia musi zostać określony 1968 Hart, Nillson Bez ograniczeń, ale koszt przejścia i heurystyka musi zostać określony Nie może zostać określona co najmniej (h ()) TAK NIE Łatwość połączenia z algorytmami planowania lokalnej trajektorii TAK TAK Niska czasowa złożoność obliczeniowa, łatwość implementacji Potrzebuje wcześniejszej dekompozycji. Ścieżki są podobne do tych liczonych przez metody fal czołowych. Ścieżki nie są gładkie. Może być użyty do trójwymiarowych przestrzeni konfiguracji, ze względu na trudności w zdefiniowaniu heurystyki. Algorytmy genetyczne 1991 Xiao, Michalewicz Bez ograniczeń Nie może zostać określona NIE NIE Kilka ścieżek liczonych równocześnie. Większość operatorów można zrównoleglić; Możliwość uwzględnienia wielu kryteriów; Może być użyty do dynamicznych środowisk Trudność w implementacji. Używa dużej ilości zasobów komputera. Głównie do planowania off-line Algorytmy kolonii mrówkowych 1991 Dorigo, Hoos, Stützle Bez ograniczeń, ale odpowiednia funkcja depozycji feromonu musi zostać określona Nie może zostać określona NIE NIE Kilka suboptymalnych ścieżek liczonych jednocześnie; Może być użyty do środowisk dynamicznych Kosztowna obliczeniowo. Nowe metody są trudne w implementacji. 9

10 4.2. Istota algorytmów ewolucyjnych Biologicznie inspirowane algorytmy ewolucyjne są często stosowanymi metodami w zadaniach poszukiwania, optymalizacji i uczenia maszynowego [71-74]. Należą do klasy meta-meurystyk i jak każda heurystyka nie gwarantują znalezienia rozwiązania optymalnego, co więcej: nie gwarantują znalezienia jakiegokolwiek rozwiązania [75]. Pomimo tego faktu algorytmy ewolucyjne są stosowane na szeroką skalę dla problemów, dla których nie ma efektywnych metod deterministycznych, lub dla których istniejące metody są zbyt złożone obliczeniowo lub czas ich wykonania jest zbyt długi [76]. W praktyce rezultaty działania algorytmów ewolucyjnych są bardzo dobre. Algorytmy ewolucyjne dzielą się na cztery główne kategorie: Algorytmy Genetyczne, Strategie Ewolucyjne, Programowanie Ewolucyjne i Programowanie Genetyczne. Metody te różnią się głównie sposobem reprezentacji osobnika, operatorami krzyżowania i mutacji oraz typowymi aplikacjami. Żadna z tych metod nie bazuje na pojedynczym kandydacie do rozwiązania, ale raczej na grupie takich kandydatów zwanej populacją. Oznacza to, że jednocześnie algorytm wykonuje operacje na kilku kandydatach poprzez wymianę częściowych rozwiązań pomiędzy kandydatami w populacji. Ogólny schemat każdej metody bazującej na algorytmach ewolucyjnych znajduje się poniżej na rysunku poniżej (Rys. 2). Nowym podejściem stosowanym RODZICE w grupie algorytmów ewolucyjnych są Wybór rodziców algorytmy memetyczne. Są one Inicializacja (najczęściej) rozszerzeniem Algorytmów Genetycznych ze wszystkimi zaletami POPULACJA Rekombinacja wynikającymi ze stosowania operatora krzyżowania. W przeciwieństwie do klasycznych algorytmów ewolucyjnych Zakończenie algorytmy memetyczne wykorzystują wiedzę a priori o problemie, który się aktualnie rozwiązuje, przez co Selekcja POTOMSTWO przyspieszają poszukiwania, a jednocześnie zwiększają szansę na Mutacja znalezienie lepszego rozwiązania. Algorytmy memetyczne podnoszą jakość procesu poszukania, Rys. 2. Ogólny schemat algorytmu ewolucyjnego gdyż jak to zostało pokazane przez Harta i Belewa [77] czy Wolperta i Macready ego [78], jakość ta jest odbiciem ilości dostępnej wiedzy a priori jaką algorytm wykorzystuje. Teza ta jest znana jako twierdzenie No free lunch [78-82]. Ogólnie rzecz ujmując, poprawa działania algorytmu uzyskiwana jest przez zastosowanie innych metod heurystycznych, aproksymacji, metod lokalnego poszukiwania, specjalizowanych operatorów krzyżowania i mutacji, zaawansowanych metod utrzymywania różnorodności i generowania populacji inicjującej itp. [83]. Przykładowe metody hybrydyzacji klasycznego algorytmu genetycznego znajdują się poniżej na Rys

11 Rys. 3.Ogólny schemat algorytmów ewolucyjnych wraz z przykładowymi sposobami hybrydyzacji 4.3. Opis Platformy IBIS IBIS w wersji komercyjnej (Rys. 4a) jest robotem do zastosowań pirotechnicznych i bojowych. Przystosowany został do operacji w trudnym i zróżnicowanym terenie takim, jak piach, śnieg czy podłoże skalne. Duża prędkość robota umożliwia dynamiczne przeprowadzanie akcji. Manipulator zapewnia duży zasięg działania, a zastosowane rozwiązania napędów zapewniają płynność ruchu każdego członu w pełnym zakresie prędkości. Podstawowe dane techniczne robota są następujące: masa: 295 kg, wymiary (długość x szerokość x wysokość): 1,3 m x 0,85 m x 0,95 m, prędkość maksymalna: 10km/h, maksymalny udźwig manipulatora: 30 kg, maksymalny zasięg manipulatora: 3,15 m. [84]. Filmy prezentujące możliwości działania komercyjnej wersji robota w trybie teleoperacji znajdują się pod adresem [85]. 11

12 a b Rys. 4. Robot IBIS: a wersja komercyjna z manipulatorem, b wersja do badań autonomii Każde z sześciu kół robota ma niezależny napęd typu direct-drive a źródłem zasilania jest pakiet akumulatorów litowo-polimerowych o pojemności nominalnej 100[Ah] pozwalających na nieprzerwaną pracę robota przez 8 godzin. Koła przednie połączone są wspólną osią, która ma możliwość ograniczonego obrotu wokół osi wzdłużnej robota (nie ma możliwości obrotu względem osi poprzecznej robota). Pozostałe koła są połączone wahaczem parami po każdej ze stron robota. Wahacze mają możliwość ograniczonego obrotu względem osi poprzecznej robota. Taka konstrukcja zawieszenia zapewnia w większości przypadków kontakt wszystkich kół z podłożem, a co za tym idzie sprawne pokonywanie nierówności terenu, dużą stabilność podczas jazdy oraz optymalne rozłożenie mocy na wszystkie koła. Robot ma zaimplementowaną lokalna metodę planowania trajektorii bazującą za 4 podzachowaniach: algorytm Breitenberga [20] (podzachowanie 0) oraz zmodyfikowany algorytm typu Vector Field Histogram [22] (podzachowanie 1). Dwa pozostałe podzachowania wiążą się z ustawianiem robota na odpowiedni azymut (podzachowanie 2) oraz podzachowanie prędkości liniowej (podzachowanie 3). Dokładny opis algorytmu wraz z badaniami symulacyjnymi i eksperymentami znaleźć można w [86, 87]. Aby algorytm Globalnego Planowania Ścieżki mógł zaplanować ścieżkę dla robota o konkretnych możliwościach terenowych musi on znać uproszczony model robota. Model ten jest wejściem do algorytmu memetycznego (Rys. 8) i określa pewne krytyczne wartości, których planowana ścieżka nie może przekroczyć. Opisuje on następujące cechy (w nawiasach podano wartości dla robota IBIS): 1) Typ struktury (nieholonomiczna). Opisuje, czy dany robot ma strukturę kinematyczną holonomiczną czy nieholonomiczną. Wartość ta w połączeniu z promieniami skrętu jest używana do określenia naruszenia tzw. zasady Gładkości Ściezki. 2) Wymiary zewnętrzne (0.89m x 1.35m x 1.1m) oraz obszar bezpieczny (0.4m x 0.7m x 1.1m). Określają wspólnie w jakiej odległości od przeszkód robot może się swobodnie poruszać nie naruszając tzw. zasady Naruszenie Przeszkody. 3) Promienie skrętu (0.7m). Promień ten określa dostępne możliwe konfiguracje robota po aktualnej. Razem z typem struktury określa, czy zasada Gładkości Ściezki została naruszona. 4) Nominalna i aktualna pojemność baterii/pojemność zbiornika paliwa (100Ah,100Ah). Określa jaki jest poziom dostępnej energii robota na pokonanie zadanej ścieżki. Wspólnie z parametrem średnie zużycie energii określa, czy dana ścieżka jest wykonalna. 5) Średnie zużycie energii ([4000,10000,16000,20000][ ]). Jest to średnie zużycie elergii/paliwa dla odpowiednio 25%,50%,75%,100% obciążenia elementów napędowych 12

13 robota. Wartości pośrednie są interpolowane liniowo, a obciążenie jest tożsame z kątem nachylenia, pod który robot podjeżdża. Jest to bardzo zgrubny szacunek, ale zupełnie wystarczający dla określenia, czy ścieżka o danej długości i przebiegu jest wykonalna. 6) Maksymalne kąty pochylenia i przechylenia ( [Rad]). Jest to maksymalny wzniesienie, pod które robot może podjechać nie tracąc stabilności dynamicznej. Parametr ten w modelu nie oznacza, że stabilność będzie wyliczana w trakcie planowania ścieżki, ale że sprawdzany będzie jedynie warunek przekroczenia takiego nachylenia. Model ten, jakkolwiek uproszczony, zawiera najistotniejsze z punktu widzenia aplikacyjnego parametry niezbędne do zaplanowania ścieżki. Zestaw parametrów jest dobrany w taki sposób, aby za pomocą odpowiedniego doboru wartości można było zaplanować ścieżkę zarówno dla idealnego punktowego holonomicznego robota jak i dla robota o strukturze kinematycznej np. samochodu Proponowany algorytmu memetycznego Globalnego Planowania Ścieżki Prezentowany algorytm korzysta z map o zgrubnej dekompozycji komórkowej lub map rastrowych. Taki rodzaj map został wybrany przez autora ze względu na łatwą dostępność map dla obszarów naturalnych dla całego świata (np. GoogleMaps ). Rys. 5. Ogólny schemat algorytmu globalnego planowania ścieżki na bazie algorytmu memetycznego. Wejściem do algorytmu (Rys. 5) są pliki map, plik modelu robota oraz plik skali. Ten ostatni jest używany do przeliczenia współrzędnych rastrowych na współrzędne używane przez robota do globalnej lokalizacji (w przypadku robota IBIS jest to WGS84). W najprostszym przypadku występuje tylko jeden plik zawierający mapę przeszkód. Dokładny opis tej części algorytmu, która jest odpowiedzialna za rekalkulację mapy oraz analizę przejezdności, można znaleźć w pracy w streszczeniu zostanie przedstawiona jedynie część związana z algorytmem memetycznym. Każda iteracja algorytmu prowadzi do utworzenia nowej/nowych populacji. Populacja jest zbiorem osobników z których każdy reprezentuje jedną ścieżkę. Każda populacja jest określona wektorem: 13

14 =,,,,!," #,..," %&',( ),*,( ),*,+,( ),,+,( ),,, (1) gdzie: Numer populacji (algorytm jest wielopopulacyjny) Typ populacji; wyróżnia się dwa typy populacji: generacyjna i optymalizacyjna Numer generacji Liczba osobników populacji " #,..,s L&' osobniki populacji: wektory zgodne z (4)! Różnorodność populacji p Q,R,p Q,R,S Prawdopodobieństwo krzyżowania ( ),,+,( ),,, Prawdopodobieństwa mutacji Różnorodność populacji jest liczona jako: (2)! = %&' YZ# WX(" Y) 1, "^ `+(" a,"^)>`c WX(")= \ 1 i (3) 2d,d= e,e,"^ e `+(","^) `c i opisuje ile różnych osobników znajduje się w populacji. Jest to parametr, który jest maksymalizowany w trakcie działania algorytmu. Podstawowym rozwiązaniem w prezentowanym algorytmie jest osobnik " będący wektorem: "= k +,l +,X +,m +,n +, +, +,e + (4) gdzie: k + genotyp osobnika o zmiennej długości l + fenotyp osobnika o zmiennej długości X + funkcja kosztu osobnika, opisana ogólnie równaniem (12) m + ilość segmentów danego osobnika n + długość danego osobnika tj. v&s n(")= op( Yq' Y ) s +(t Yq' t Y ) s +(u Yq' u Y ) s YZ# + naruszenia zasad mapy + wiek danego osobnika w populacji liczony w generacjach e + wektor naprawialności (5) Całość obliczeń algorytmu memetycznego przeprowadzana jest w przestrzeni dekompozycji komórkowej. Jest to związane z brakiem konieczności kodowania zmiennoprzecinkowego genotypu oraz fenotypu jak i przechowywania w pamięci ich wartości co znacznie wpływa na ograniczenie niezbędnych zasobów obliczeniowych. Dla kodowania genotypu przyjęto permutację losowych wektorów ruchu, która to permutacja ma zmienną długość tj. 14

15 k + =( #,.., wx &') (6) y =( y,t y,z y ) (7) Układ współrzędnych wektorów M j jest układem odnoszącym się do pikseli mapy i dlatego wartości x j, y j są całkowite. Wartość V j określa naruszenia zasad i przyjmuje wartości -1 dla niezdefiniowanej naruszalności -2 dla segmentu nie naruszającego zasady lub numer identyfikacyjny konkretnego naruszenia z wektora V s. Fenotyp danego osobnika jest fenotypem w dziedzinie dekompozycji komórkowej i ma postać numeryczną: l + =({ #,..,{ vx ) (8) ( ), =0 (9) } y y y { y = ~ o Y, ot Y, ou Y,, >0 i } YZ# YZ# YZ# oraz graficzną w postaci jednej z warstw mapy (powiemy o tym później). Wektor V s jest wektorem naruszeń i ma postać: + =(( #+, #+, #+,e #+ ),( '+, '+, '+,e '+ ),,( +, +, +,e + )) (10) gdzie: I Vs numerem identyfikacyjnym do którego odnosi się v j segmentu M j B Vs E Vs początek i koniec naruszenia 0 ` Œ "užwž WŽ (Œ W Ž ` t "ą"wž WŽ ( d u "Ž Ž W e Y+ =Š 1 ` Œ "užw (Œ W Ž ` t "ą"wž WŽ ( d u "Ž Ž W i (11) Funkcja przystosowania f (minimalizowana)jest następującej postaci: š..' š..s.'.s. X(")=W w w n + +W + (") +W ) ) + (") + oe Y+ + w o`( Y+, Y+ ) YZ#. (12) YZ# gdzie: C(s) -jest pewną funkcja kosztu, zależną od mapy d funkcja odległości pomiędzy dwoma punktami w,, ),, w wagi dobrane są zgodnie z założeniem i dobierane są w każdej generacji 3. W klasycznym algorytmie genetycznym typu SGA brak jest mechanizmów poprawiania genotypu poprzez lokalne poszukiwanie. Przy wykorzystaniu takiego algorytmu pojawia się problem włączenia jego wyniku do funkcji f (12). W praktyce stosowane są trzy podejścia: Lamarcka, Baldwina oraz mieszane. Podejście Lamarcka polega na tym, że genotyp nowego osobnika jest zastępowanym tym, który powstał po lokalny poszukiwaniu. Baldwin z kolei proponuje podejście, że genotyp powinien pozostać w niezmienionej formie, a jedynie wartość funkcji f powinna zostać zastąpiona. Podejście mieszane proponuje zastąpić wartość każdej funkcji f przy zastępowaniu genotypu z pewnym 3 Wagi, w są zmienne, pozostałe nie ulegają zmianie 15

16 prawdopodobieństwem. W wyniku wielu porównań [88-91] teoretycznych i doświadczeń numerycznych, w niniejszej pracy zdecydowano się na podejście Lamarcka. Na rysunku poniżej (Rys. 6) przedstawiony jest dokładny schemat algorytmu memetycznego do globalnego planowania ścieżki. Jego cechą unikalną jest parcelacja populacji G n, która polega na tym, że w przypadku odnalezienia osobnika s k w tej populacji G n generacji m dla którego œ * ("^)=0 następuje ekstrakcja s k z populacji bazowej G n, stworzenie nowej populacji G n+1 wokół tego elitarnego osobnika poprzez powtarzaną (µ 1) razy mutację jego genotypu. Jest to populacja z elityzmem, dzięki czemu nawet dla starych rozwiązań, gdzie ("^) jest duże tak, że ) ("^) w n("^) ) ("^) w ("^) osobnik jest zachowywany z generacji na generację. Jednocześnie osobnik ten jest usuwany z populacji bazowej G n, tak aby jego alele, a dokładnie ich schemat H k, nie zdominowały reszty populacji. Ponieważ osobnik ten jest z populacji usuwany, a dryft genetyczny pomiędzy aktualną m a następną m+1 generacją w populacji bazowej G n będzie przybliżeniu taki sam jak dla generacji m, to prawdopodobieństwo pojawienia się schematu mistrza H k jest wysokie. Tym samym wysokie jest prawdopodobieństwo kolejnej parcelacji populacji bazowej G n do populacji G n+2, ale z takim samym lub bardzo podobnym schematem H k. Biorąc pod uwagę fakt, że funkcja wzrostu jest na ogół nieodwracalna, to oczywiście nie da się określić schematu H k, a jednocześnie trzeba eliminować niepotrzebne duplikacje parcelacji. W tym celu opracowana została postępowanie wg. grupy mistrzów M. Grupa mistrzów jest zbiorem pierwotnych elitarnych w swoich populacjach. tj. wszystkich s k, które doprowadziły do parcelacji populacji : =("^#,"^',..,"^(&s) ) (13) gdzie n aktualną liczbą populacji w biocenozie. Ponieważ populacje o numerach 1..n są populacjami z elitarnością, prawdopodobieństwo parcelacji z tych populacji jest bardzo małe, gdyż prawie wszystkie osobniki zawierają ten sam lub bardzo podobny schemat H k. Parcelacja może więc nastąpić jedynie z mutacji, co przy prawdopodobieństwach,! 0.5%, złotej zasadzie 1/5 [92] oraz charakterze mutacji w populacjach po parcelacji jest bliska zeru 4 4 Po przeprowadzeniu ok..300 eksperymentów dla 6 rodzajów map autorowi nie przydarzyło się to ani razu 16

17 Rys. 6. Schemat działania algorytmu memetycznego z parcelacją populacji do globalnego planowania ścieżki robota mobilnego. 17

18 Aby dane unikalne rozwiązanie s u doprowadziło do parcelacji populacji musi zaistnieć warunek: w &' YZ# ` m +a,m +^ "^ `+(" a,"^)= + n w, n Y &' ` m +a,m (14) YZ# +^ <`c n, n Y n Y gdzie: `c jest pewnym progiem, który uzależniony jest od wielkości ziarna w dekompozycji komórkowej i dla map o prawidłowej ziarnistości [16] powinien wynosić `+ m +a,m +^ - odległość pomiędzy dwoma kolejnymi punktami segmentów dwóch porównywanych osobników. Jeżeli warunek (14) jest spełniony dla mistrza i osobnika z populacji generującej G 0, to osobnik taki musi zostać usunięty z G 0, aby zwiększyć prawdopodobieństwo pojawienia się kolejnego schematu mistrza, który doprowadzi do parcelacji i powstania nowej populacji w biocenozie. Część czwarta równania (12) jest funkcją kary dla osobników-ścieżek, które nie spełniają kryteriów planowania, przy czym istotna jest ilość naruszeń (cz.4.1. równania (12)) jak i sumaryczna ich długość (cz.4.2. równania (12)). Wszystkie naruszenia są traktowane jednakowo bez względu na ich typ. Algorytm rozróżnia cztery rodzaje naruszeń zasad planowania: 1) Naruszenie przeszkody (Rys. 7a). Jest to podstawowe naruszenie występujące, jeżeli ścieżka przebiega przez obszar zajęty przez przeszkodę. Jeżeli segment ruchu kończy się wewnątrz przeszkody, to naruszenie jest liczone dwukrotnie. Długość naruszenia odpowiada odległości między punktami i. 2) Naruszenie maksymalnej długości ścieżki (Rys. 7b). Ten rodzaj naruszenia odnosi się do wartości aktualnej pojemność baterii i średniego zużycia energii, tj. jest zależna od robota, dla którego planuje się ścieżkę, a nie występuje dla robota punktowego. 3) Przekroczenie maksymalnego kąta pochyłu/przechyłu (Rys. 7c). Jeżeli nachylenie zbocza, po którym robot ma się poruszać przekracza wartość maksymalnego kąta pochyły/przechyłu robota, to notowane jest naruszenie. Naruszenie to nie występuje dla idealnego robota holonomicznego. 4) Naruszenie promienia skrętu (Rys. 7d). Jeżeli okrąg skrętu styczny do sąsiadujących segmentów ruchu narusza przeszkodę od strony wewnętrznej lub zewnętrznej (Rys. 8g), to występuje naruszenie. 5 Niektóre mapy nie pozwalają na przekroczenie progu d th, a tym samym na parcelację populacji. 18

19 E V B V a b c d Rys. 7. Przykłady naruszeń zasad planowania ruchu. Dla uproszczenia pokazano je dla binarnej cechowo jednowymiarowej mapy (a, b, d) z wyłączeniem d mapy wysokości. a) Naruszenie przeszkody b) Ścieżka zbyt długa c) Przekroczenie maksymalnego kata pochyłu/przechyłu d) Naruszenie minimalnego promienia skrętu Legenda: - wolna przestrzeń (koszt = 0.0), - przeszkody (koszt = 1.0) Legenda: Ścieżka - pozostała część ścieżki Naruszająca część ścieżki - Minimalny promień skrętu - Początkowy ( ) i końcowy ( ) punkt naruszenia - Punkt docelowy - Punkt startowy Genotyp osobników szczególnie w początkowej fazie działania algorytmu zawiera segmenty, które są nadmiarowe i naruszające. W algorytmie istnieją mechanizmy, które naprawiają i poprawiają genotyp i są zaimplementowane jako jeden z rodzajów mutacji. Należą do nich: 1) Eliminacja pętli, dokładna (Rys. 8a) i zgrubna (Rys. 8b) 2) Skracanie segmentów ruchu, dokładne (Rys. 8c) i zgrubne (Rys. 8d) 3) Naprawa lokalnym grafem, dokładna (Rys. 8e) i zgrubna (Rys. 8f) 4) Naprawa naruszenia promienia skrętu poprzez wstawienie segmentu (Rys. 8g, h) 19

20 L L a b c d e f g h Rys. 8. Mechanizmy naprawy i poprawy genotypu a, b Eliminacja pętli, c, d skracanie segmentów ruchu, e, f naprawa lokalnym grafem widzialności g, h naprawa naruszenia minimalnego promienia skrętu. Legenda: Ścieżka - pozostała część ścieżki (poprzedni i następny segment) - Nowo dodany segment - Zmodyfikowany segment - Początek ( ) i koniec ( ) naruszenia Bazując na licznych porównaniach sposobów włączania wyników metod lokalnego poszukiwania [88-91, 93], jakimi są naprawa i poprawa genotypu, wszystkie ww. metody są stosowane zgodnie z postulatem Lamarcka. Pozostałe parametry algorytmu, takie jak rodzaje krzyżowania, mutacji, prawdopodobieństwa wystąpienia, liczności i schemat zastępowania populacji zebrano w tabeli poniżej (Tabela 2). 20

21 Tabela 2. Wartości podstawowych parametrów dla populacji generacyjnej i optymalizacyjnej. Parametr Populacja generująca ª «Populacje optymalizacyjne Wielkość populacji =50 =35 Początkowa populacja Losowa Mutacja mistrza Metody krzyżowania Jednopunktowe krzyżowanie bez wyboru punktu (ślepe) (( ),, =0.7) Jednopunktowe krzyżowanie z wyborem punktu inteligentne (( ),,Y =0.1) jednorodne krzyżowanie (( ),,a =0.2) Jednopunktowe krzyżowanie bez wyboru punktu (ślepe) (( ),, =0.15) Jednopunktowe krzyżowanie z wyborem punktu inteligentne (( ),,Y =0.8) jednorodne krzyżowanie (( ),,a =0.05) Schemat krzyżowania Dwa na jeden Dwa na jeden wybór pola krzyżowania Prosty turniej dla jednorodnego krzyżowania i jednopunktowego ślepego krzyżowania. Prosty turniej dla jednorodnego krzyżowania i jednopunktowego ślepego krzyżowania. specjalizowany turniej dla inteligentnego specjalizowany turniej dla inteligentnego krzyżowania krzyżowania Początkowa wartość 5 2 wstrzykniętych segmentów (m,y,+ ) Prawdopodobieństwa mutacji p Q,,S dla ),,+ =0.1, D ±²³,S =1 ( ),, dla ),,, =0.3,!c, =1 p Q,,S dla ),,+ =0.0, D ±²³,S =0.5 ( ),, dla ),,, =0.0, D ±²³,S =0.6 Schemat mutacji Mutacja usuwająca/wstrzykująca (( ),,Y ), Powiększanie/pomniejszanie segmentów (( ),, + ), mutacja lustrzana (( ),, ) wykonywane z jednakowym prawdopodobieństwem Mutacja usuwająca/wstrzykująca ( ),,Y =0.5, Powiększanie/pomniejszanie segmentów ( ),, + =0.4, mutacja lustrzana (( ),, =0.1), wszystkie prawdopodobieństwa dla ( ),,+ i ( ),, ) ' (( ),,Y =( ),, + =( ),, ),,+ i ( ),, ) Model Populacji Tylko najlepszy przeżywa Tylko najlepszy przeżywa z elityzmem mistrza Początkowa wartość Δn Metody poprawy genotypu Zgrubne usuwanie pętli (( ),Y,¹wº =0.02), Zgrubne pomniejszanie segmentów ( ),Y,¹»» =0.02, Dokładne usuwanie pętli (( ),Y,¼wº =0.05) Zgrubne usuwanie pętli (( ),Y,¹wº =0.05) Dokładne pomniejszanie segmentów (( ),Y,¼»» =0.05) Zgrubne pomniejszanie segmentów (( ),Y,¹»» =0.05) Metody naprawy genotypu Zgrubna naprawa grafem (( ),*,¹!º =0.01) Zgrubna naprawa grafem (( ),*,¹!º =0.03) Dokładna naprawa grafem (( ),*,¹!º =0.03) Warunek zbieżności Wszystkie populacje optymalizacyjne osiągnęły swój warunek zbieżności Najlepszy osobnik nie zmienił swojej wartości przystosowania przez ostatnich 15 populacji o więcej niż 3% 4.5. Testy numeryczne Prezentowany algorytm został zaimplementowany w języku C++ bez użycia dodatkowych zewnętrznych bibliotek algorytmów ewolucyjnych. Aktualna implementacja biocenozy bazuje na wielowątkowości WINAPI, a liczba jednocześnie liczonych populacji została ograniczona do 8 jest to maksymalna liczba wątków procesora w komputerze użytym do eksperymentu. Testy numeryczne prezentowane w rozprawie wykonane zostały dla 4 różnych map: 2 sztucznie stworzonych i dwóch naturalnych pobranych z serwisu GoogleMaps. W niniejszym streszczeniu zaprezentowane będą dwa wyniki: jeden dla mapy sztucznej dla robota holonomicznego i jeden dla mapy naturalnej dla nieholonomicznego robota IBIS. Wyniki te zostaną przedstawione w syntetycznej postaci, jako pierwszy wynik algorytmu oraz wszystkie wyniki z populacji optymalizacyjnych. 21

22 HugeMazeMap Rys. 9. Dla mapy HugeMazeMap pierwsza generacja populacji generującej ma postać jak na rysunku b) c) Osobnik m + n + (") + (") + X" ½ « ½ ¾ ½ ÀÁ ! =1 a) Rys. 9. Populacja ª «, generacja 0 populacja losowa. Trzech przedstawicieli ½ «, ½ ¾,½ ÀÁ, (a, b, c). Na Rys. 10 pokazano wyniki obliczeń algorytmu dla pięciu generacji. Podczas działania algorytmu doszło do pięciu parcelacji, a populacja (Rys. 10c) dała najlepsze rezultaty. Rys. 10f przedstawia ścieżkę zaplanowaną przez metodę Grafu Widzialności, a wyniki porównania obydwu ścieżek umieszczono w tabeli Tabela 3. Porównanie wykazuje, że algorytm memetyczny obliczył ścieżkę jedynie 4% gorszą pod względem długości niż algorytm Grafu Widzialności, którego ścieżka jest optymalna ze względu na długość. 22

23 a twd ' twd s ÃÄÅÆÇÈ ª É dwynik Ž twd  f)wynik obliczony przez Graf Widzialności Rys. 10. Porównanie uzyskanych rezultatów działania proponowanego algorytmu memetycznego i porównanie wyniku z wynikiem grafu widzialności. 23