MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY"

Transkrypt

1 EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014

2 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (II.8.d) Poprawna odpowiedź (1 pkt) Wersja Wersja arkusza arkusza C Zadanie. (0 1) Zadanie. (0 1) Zadanie 4. (0 1) Zadanie 5. (0 1) Stosowanie pojęcia procentu w obliczeniach (II.1.d) C Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (II..a) C Znajomość definicji logarytmu (II.1.h) D C Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II..e) C Zadanie 6. (0 1) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g) D Zadanie 7. (0 1) Rozwiązywanie zadań prowadzących do badania funkcji kwadratowej. (II.4.l) D

3 Zadanie 8. (0 1) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy adanie równoległości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II.8.c) D Zadanie 9. (0 1) Użycie i tworzenie strategii pojęcia wartości bezwzględnej (IV.1.f) D Zadanie 10. (0 1) i tworzenie informacji Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j) D Zadanie 11. (0 1) Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a) D Zadanie 1. (0 1) Wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (II.7.b) C Zadanie 1. (0 1) adanie, czy dany ciąg jest geometryczny (II.5.b) D Zadanie 14. (0 1) i tworzenie informacji Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (I.6.c) Zadanie 15. (0 1) Posługiwanie się równaniem okręgu ( x a) ( yb) r (II.8.g) C Zadanie 16. (0 1) Znajdowanie związków miarowych w figurach C

4 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy płaskich, w tym z zastosowaniem trygonometrii (II.7.c) Zadanie 17. (0 1) Użycie i tworzenie strategii Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich (IV.7.c) D Zadanie 18. (0 1) Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (II..e) Zadanie 19. (0 1) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (III.9.b) D Zadanie 0. (0 1) Modelowanie matematyczne Wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych (III.9.b) C Zadanie 1. (0 1) Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym oraz stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (II.1.g) C Zadanie. (0 1) Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g) Zadanie. (0 1) Rozumowanie i argumentacja sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V.10.c) D

5 Zadanie 4. (0 1) Użycie i tworzenie strategii Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych (IV.10.b) C C 5 Zadanie 5. (0 1) Modelowanie matematyczne Oblicza mediany danych (III..e) D

6 6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. (0 ) Wykresem funkcji kwadratowej f x x bx c punkt W 4,0. Oblicz wartości współczynników b i c. jest parabola, której wierzchołkiem jest Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i) Rozwiązanie (I sposób) b Ze wzorów xw, a b 4 i 0 4 Stąd y w 4a na współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:, więc b 16 i c 0, czyli c. Rozwiązanie (II sposób) Wzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej b b b b b b f x x xc x x c x c Wierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne równań Stąd b 16 i b 16 c. 8 8 b 4 i 4 b c 0. 8 b b, c. Otrzymujemy układ 4 8 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy : obliczy współczynnik b: b 16 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy b b zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.: 4 i c 0, 4 8 i nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 16, c. Rozwiązanie (III sposób) Ponieważ x 4 oraz y 0, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny, w w zatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej 4 Stąd f xx 16x, zatem b 16 i c. f x x.

7 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy 7 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze, że f x x 4. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 16, c. Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż równanie 9x 18x 4x8 0. i tworzenie informacji Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki. (I..d) Rozwiązanie (I sposób metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania 9x x 4 x 0 x 9x 4 9x 4 0, stąd wyrazów x x Zatem x lub lub x lub x. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: x 9x 4 poprzestanie lub dalej popełni błąd., i na tym Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x lub x lub x. Rozwiązanie (II sposób metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 18x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4). Obliczamy pierwiastki trójmianu (9x 4) : x 1 oraz x. Zatem x lub x lub x. Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 18x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 1x 1). Obliczamy wyróżnik trójmianu (9x 1x 1) Stąd pierwiastkami :

8 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy trójmianu są liczby x1 oraz x. Zatem x lub x lub x. Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 18x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4x 1). Obliczamy wyróżnik trójmianu: Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby x1 oraz x. Zatem x lub x lub x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy: podzieli wielomian 9x 18x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 9x 18x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4x 1) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 9x 18x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 1x 1) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 8x 1x x przez trójmian kwadratowy, np. (9x 4), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:,,. Uwaga Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

9 Zadanie 8. (0 ) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. 9 Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia (V..a) I sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc k 7m, gdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy k 7m 49m 8m4 49m 8m1 7 7m 4m 1 5. Dwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast To oznacza, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze wyrażenie w postaci: 7m i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, które nie przekreślają poprawności rozumowania. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci 7 7m 4m 1 5. II sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc mod7 Stąd wynika, że k 4mod7. Ponadto mod7 k 4mod 71mod 75. To kończy dowód. k., więc z własności kongruencji Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt k 4 mod7. gdy zapisze że Uwaga Zdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli liczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4. Zdający otrzymuje... pkt k 4 mod 7 1 mod 7 5. gdy zapisze

10 10 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Zadanie 9. (0 ) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia 1 wykresu funkcji określonej wzorem y dla każdej liczby rzeczywistej x 0. x y x a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. g( x) f x. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem Odczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie na podstawie wykresu funkcji y f( x) wykresów funkcji y f( x a), y f( x a), y f() x a, y f() x a (IV.4.b,d) Rozwiązanie a) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których f( x) 0 :,. b) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba. Zatem miejscem zerowym funkcji g jest liczba 6, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając wykres funkcji f o jednostki w prawo. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy: zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których f( x) 0 :, lub x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór argumentów, dla których f( x) 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, i zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6. f x :

11 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy 11 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki W rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy:,,, x. Zadanie 0. (0 ) Ze zbioru liczb 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Modelowanie matematyczne Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III.10.b,d) Rozwiązanie I sposób metoda klasyczna Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a, b liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je: 5,1, 6,, 7,1, 7,, 8,, 8,4 Zatem 6. Zapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia : 6 P ( ). 64 Rozwiązanie II sposób metoda tabeli Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ab, liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. udujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu X 6 X 7 X X 8 X X

12 1 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Zliczamy, oznaczone krzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: 6. Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia : 6 P ( ). 64 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, polegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe P ( ). III sposób rozwiązania metoda drzewka Rysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjającej zdarzeniu ,,, nie nie i nie 1 nie lub nie i nie 4 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia : P ( ) lub 4 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji sprzyjających zdarzeniu i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne prawdopodobieństwo. Zdający otrzymuje... pkt 6 gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe P ( ). 64

13 1 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Uwagi 1. kceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,75%.. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od 1, to zdający otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i, to otrzymuje 0 punktów. 4. kceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej kolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie może otrzymać punkty Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź P ( ), to otrzymuje punkty, jeśli 64 natomiast zapisze tylko odpowiedź P ( ), to otrzymuje 1 punkt.

14 14 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Zadanie 1. (0 ) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym C, o ramionach C i C, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). C S Wykaż, że miara kąta wypukłego S jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SC. Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego, z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich (V.7.c) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadźmy promień SC okręgu. C S Z założenia wynika, że kąt wpisany C oraz kąt środkowy S leżą po tej samej stronie cięciwy. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że 1 C. Trójkąt C jest równoramienny (ramionami są C i C), więc prosta CS zawiera dwusieczną kąta C, zatem SC C. Odcinki SC i S 4 to promienie okręgu, więc trójkąt CS jest równoramienny. Stąd wynika, że 1 SC SC, co kończy dowód. 4

15 15 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz wykorzysta równość kątów SC i SC lub równość kątów SC i SC i nie uzasadni tezy wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz uzasadni równość kątów SC i SC, korzystając z równoramienności trójkątów C i S, i nie uzasadni tezy. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że kąt S jest cztery razy większy od kąta SC. Uwaga Jeżeli zdający w przedstawionym rozumowaniu rozważy wyłącznie szczególny przypadek, np. trójkąt równoboczny, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 4) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1::. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole P c powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe Pc xyxz yz. Możemy przyjąć, że x : y : z 1: :. Wtedy y x oraz z x. Zatem c P x x x x x x x x x x x. Ponieważ Pc 198, więc otrzymujemy równanie x 198. Stąd x 9, więc x. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów D i DH otrzymujemy p x y oraz d p z.

16 16 Stąd Zatem Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy d x y z. d x y z x x x 14x x Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej, np.: x, x, x zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi: d x y z. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.: Pc xxxxxx x zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.: d x x x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.: x. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu: d 14. Uwagi 1. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty.. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, 1 x, 1 x, i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi, stanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.

17 Zadanie. (0 5) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. Modelowanie matematyczne Rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym prowadzących do równań kwadratowych (III..b) Rozwiązanie (I sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza, a t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci vt,1. Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa v 1, natomiast czas, 4 1 w jakim wszedł, jest równy 1 t 1 t. Możemy więc zapisać drugie równanie v1 t,1. 15 Stąd otrzymujemy vvt t Po podstawieniu vt otrzymujemy v t, t v Podstawiając t v w równaniu vt, otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą v v v, v v 0, v 158v6 0, , v1, v. 16 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 14,51,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. 17

18 18 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Rozwiązanie (II sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza. Wówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy,1 v. Ponieważ łączny czas wejścia i zejścia był równy 1 godzinę i 4 minuty, czyli 1 1 godziny, ,1 więc czas, w jakim wchodził, był równy godziny. Stąd z kolei wynika, że średnia 15 v,1 prędkość, z jaką wchodził, była równa km/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie 16,1 15 v z niewiadomą v,1 v 1, 16,1 15 v 1 0v v 1, 10 v 6 6v v 1, v 6 6v v1 v 6, 6v v 95v 6, v 158v6 0, , v1, v. 16 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 14,51,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza t czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza 16 v1 t,1 15

19 19 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze t czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 16 v1 t,1 15 Uwaga Zdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie vt,1. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 16 v1 t,1 15 vt,1 zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 16 v1 t,1 15 vt,1 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v 1 to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze,1 to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze v 1 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza,1 to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza v 16,1 to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 15 v oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v 1 to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze

20 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy,1 v to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza. Uwaga Jeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości: czas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to punkty otrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech wielkości. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; v v, zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; v v, oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:,1,1 16 v1 v 15 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie i nie obliczy średniej prędkości schodzenia rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze:,5 km/h Uwagi 1. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je konsekwentnie.

21 1 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy. Jeżeli zdający oznaczy przez v prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze i zapisze, że v 1 oznacza prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza i konsekwentnie do przyjętych oznaczeń rozwiąże zadanie, to może otrzymać co najwyżej punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze wzgórza i zapisze:,1 v 1 16 t 15 vt,1 16 v1 t,1 15 i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie ujął wyrażenia t w nawias. Zapis równania,1 v wskazuje na poprawną interpretację zależności między wielkościami. Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze wzgórza i zapisze:,1 v t,1 v 1 16,1,1,1,1,1 1, 1 t v 1 t t t t 15 t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych,1,1 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 1 zdający t 15 t 16 przestawił liczby w liczniku i mianowniku ułamka 16 lub nawet pominął ten ułamek. 15 Przykład. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. v 158v 6 0 t v 158v6 0 zamiast równania (np. w wyniku złego przepisania znaku), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie niespełniające warunków zadania i

22 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy pozostawi wynik, który może być realną prędkością poruszania się turysty, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów. Zadanie 4. (0 4) Kąt C trójkąta prostokątnego C ma miarę 0. Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta C. F E G C D 0 Użycie i tworzenie strategii Wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (IV.7.b) I sposób rozwiązania Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a. Trójkąt DE to połowa trójkąta równobocznego o boku D i wysokości E, więc D a 4 oraz E D 4. Trójkąt GF to połowa trójkąta równobocznego o boku G i wysokości FG, więc G F oraz FG G. Zatem G , więc G oraz F G. Trójkąt C jest połową trójkąta równobocznego o boku. Obliczamy E EF F 8. Pole trójkąta C jest więc równe PC Uwaga Podany sposób rozwiązania polega na rozwiązaniu trójkątów prostokątnych DE i GF. Tak samo możemy postąpić rozwiązując inną parę trójkątów prostokątnych: DE i DCG lub DCG i GF. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający obliczy długość boku kwadratu:. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt

23 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Zdający skorzysta z własności trójkąta 0, 60, 90 z funkcji trygonometrycznych 4 i poprawnie obliczy długość jednego z odcinków: D 4, E, G, F, CD, CG 1. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający poprawnie obliczy długość jednego z boków trójkąta C: 8 4 lub C 1 lub C 4. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 19 Zdający obliczy pole trójkąta C: P C 4. 6 Uwaga Jeżeli zdający zapisze wynik w innej, równoważnej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.: P C, P C II sposób rozwiązania Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a. Trójkąt DE to połowa trójkąta równobocznego o boku D, więc D a 4. Zatem pole tego trójkąta jest równe 1 D 4 PDE. 4 8 Trójkąt GF to także połowa trójkąta równobocznego o boku G, więc G F G 4 Zatem, więc G. Pole trójkąta GF jest więc równe 4 1 G PGF. 4 8 Trójkąt DGC również jest połową trójkąta równobocznego o boku DG. Ponieważ DG a, więc pole tego trójkąta jest równe 1 DG P DCG. 4 8 Obliczamy pole trójkąta C 19 PC PDE PGF PDCG P DEFG Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający obliczy długość boku kwadratu:.

24 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom podstawowy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy pole jednego z trójkątów DE, GF, DCG: PDE, PGF, P DCG. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy pole każdego z trójkątów DE, GF, DCG: PDE, PGF, P DCG. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 19 Zdający obliczy pole trójkąta C: P C 4. 6 III sposób rozwiązania Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a. Zauważmy, że trójkąt C jest podobny do trójkąta DCG F N G M 0 C D Trójkąt DCG to połowa trójkąta równobocznego o boku DG długości, więc jego pole jest równe 1 DG P DCG. 4 8 Wysokość CM tego trójkąta obliczymy wykorzystując wzór na jego pole P 1 1 DCG DG CM CM CM, więc CM. Zatem wysokość CN trójkąta C opuszczona na jest równa CN CM MN. Skala podobieństwa trójkąta C do trójkąta DCG jest więc równa CN 4 1. CM Ponieważ stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa, więc PC P DCG E

25 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy Stąd i z obliczonego wcześniej pola trójkąta DCG otrzymujemy PC 4 P DCG. 6 5 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający obliczy długość boku kwadratu:. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy pole jednego z trójkątów DE, GF, DCG: PDE, PGF, P DCG. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy skalę podobieństwa trójkąta C do jednego z trójkątów DE, GF, DCG i wykorzysta twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, np.: CN 4 1 CM, PC 4 1. PDCG Rozwiązanie pełne... 4 pkt 19 Zdający obliczy pole trójkąta C: PC 4. 6

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest

Bardziej szczegółowo

TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań

TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Poziom nauczania: Gimnazjum, klasa II Przedmiot: Matematyka Dział: Równania i układy równań Czas trwania: 45 minut Wykonała: Joanna Klimeczko TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Liczba punktów za

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

KARTY PRACY UCZNIA. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie. samodzielnej pracy ucznia. Zawarte w nich treści są ułożone w taki sposób,

KARTY PRACY UCZNIA. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie. samodzielnej pracy ucznia. Zawarte w nich treści są ułożone w taki sposób, KARTY PRACY UCZNIA Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie opracowanie: mgr Teresa Kargol, nauczyciel matematyki w PSP nr 162 w Łodzi Karty pracy to materiały pomocnicze, które mogą służyć do samodzielnej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE PITAGORASA

TWIERDZENIE PITAGORASA PODSTAWY > Figury płaskie (2) TWIERDZENIE PITAGORASA Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

Test całoroczny z matematyki. Wersja A

Test całoroczny z matematyki. Wersja A Test całoroczny z matematyki klasa IV Wersja A Na kartce masz zapisanych 20 zadań. Opuść więc te, których rozwiązanie okaże się zbyt trudne dla Ciebie. Wrócisz do niego później. W niektórych zadaniach

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014 Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

Zadania z parametrem

Zadania z parametrem Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY V TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY V TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY V TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Rachunek prawdopodobieństwa. Uczeń: Uczeń: 1-2 Permutacje. - zna symbol n!; - stosuje

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2014 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka)

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2014 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2014 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Zestaw standardowy zawierał 23 zadania, w tym 20 zadań zamkniętych i 3 zadania otwarte. Wśród zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 3 TECHNIKUM LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA. 1. Oblicz: a) b) c) d) e)* f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) r)

BAZA ZADAŃ KLASA 3 TECHNIKUM LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA. 1. Oblicz: a) b) c) d) e)* f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) r) BAZA ZADAŃ KLASA 3 TECHNIKUM LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA 1 Oblicz: a) b) c) d) e)* f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) r) s) 2 Wykaż, że liczba jest liczbą wymierną 3Wykaż, że liczba jest liczbą całkowitą

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Trenuj przed sprawdzianem! Matematyka Test 4

Trenuj przed sprawdzianem! Matematyka Test 4 mię i nazwisko ucznia...................................................................... Klasa............... Numer w dzienniku.............. nformacja do zadań od 1. do 3. Historia telewizji w Polsce

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY

MATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej o dowolnym

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Klasa I ZAKRES PODSTAWOWY. Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13. 1. Liczby rzeczywiste

MATEMATYKA Klasa I ZAKRES PODSTAWOWY. Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13. 1. Liczby rzeczywiste Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13 MATEMATYKA Klasa I /nauczyciel M.Tatar/ ZAKRES PODSTAWOWY Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite,

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 - (7 punktów) Iloczyn składników Jeśli zapis liczby 22 w postaci sumy zawiera składnik 1, lepiej pogrupować go z innym składnikiem

Zadanie 3 - (7 punktów) Iloczyn składników Jeśli zapis liczby 22 w postaci sumy zawiera składnik 1, lepiej pogrupować go z innym składnikiem Zadanie 1 - (7 punktów) Latające kartki Ponieważ są 64 liczby od 27 do 90 włącznie, mamy 64 strony, czyli 16 kartek (16= 64 : 4). Pod stroną 26. znajdują się strony 24., 22.,..., 4. i 2. wraz z ich nieparzystymi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

PRACA KLASOWA PO REALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA W KLASIE 4

PRACA KLASOWA PO REALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA W KLASIE 4 PRACA KLASOWA PO REALZACJ PROGRAMU NAUCZANA W KLASE 4 PLAN PRACY KLASOWEJ Nr zad. Czynności sprawdzane Cele / Wymagania Odniesienie do podstawy programowej Odpowiedzi 1 zapisywanie liczby w systemie dziesiątkowym

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2011/2012

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2011/2012 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 20/202 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: szkolny 5 listopada 20 r. 90 minut Informacje dla ucznia:.

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą

Bardziej szczegółowo

POTĘGI WYMAGANIA EDUKACYJNE. Uczeń: określa definicję potęgi o wykładniku ujemnym szacuje wartość potęgi o wykładniku ujemnym

POTĘGI WYMAGANIA EDUKACYJNE. Uczeń: określa definicję potęgi o wykładniku ujemnym szacuje wartość potęgi o wykładniku ujemnym POTĘGI P-PODSTAWOWE ocena dop i dst WYMAGANIA EDUKACYJNE PP-PONADPODSTAWOWE ocena db i bdb ( wymagania z poziomu P i PP) W-WYKRACZAJĄCE ocena cel (wymagania z poziomu P, PP i W) zamienia potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy. Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymaga egzaminacyjnych Zdaj cy posiada umiej tno ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap II rejonowy

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap II rejonowy Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 05/06 Etap II rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. 1. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Klasa 1. 1. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 1 w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Klasa 1. 1. LICZBY RZECZYWISTE

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

ETAP I KONKURSU MATEMATYCZNEGO CONTINUUM

ETAP I KONKURSU MATEMATYCZNEGO CONTINUUM ETAP I KONKURSU MATEMATYCZNEGO CONTINUUM DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Drogi gimnazjalisto! Serdecznie dziękujemy, że zdecydowałeś się na wzięcie udziału w naszym konkursie. Test (tzw. wielokrotnego wyboru) składa

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI Kryteria ocen 1. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: Posiadł wiedzę i umiejętności obejmujące pełny

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2012/2013

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2012/2013 Etap szkolny 13 listopada 2012 r. Godzina 10.00 Kod ucznia Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw zawiera 7 stron. Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi. 2. Na tej stronie i

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA TYPY GRAFÓW c.d. Graf nazywamy dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory, tak że żadne dwa wierzchołki należące do tego samego podzbioru nie są sąsiednie. G

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt):

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2014/2015 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wyznaczyć ich położenie w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić,

Bardziej szczegółowo

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację

Bardziej szczegółowo

W Y M A GANIA NA POSZCZEG ÓLNE OCENY-MATEMATYKA KLASA 3

W Y M A GANIA NA POSZCZEG ÓLNE OCENY-MATEMATYKA KLASA 3 W Y M A GANIA NA POSZCZEG ÓLNE OCENY-MATEMATYKA KLASA 3 dopuszczaj ący 1 rozumie wykres jako sposób prezentacji informacji umie odczytać z wykresu zna pojęcie funkcji zna pojęcia: dziedzina, argument,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody. Propozycja rozkładu materiału nauczania Matematyka wokół nas Rozkład materiału nauczania z odniesieniami do wymagań z podstawy programowej. Matematyka wokół nas KLASA 5 Nr lekcji Temat lekcji Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Zadanie 1. (1 p.) Dane są dwie urny z kulami. W każdej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013 Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013 Uczeń otrzymuje ocenę celującą, gdy: a) w 100% opanował treści zawarte w programie nauczania. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą,

Bardziej szczegółowo

PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ

PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ Nie wystarczy mieć rozum, trzeba jeszcze umieć z niego korzystać Kartezjusz Rozprawa o metodzie PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ II KLASA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 1 Opracowała : Dorota

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 23 VIII 2007 R.

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 23 VIII 2007 R. ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 3 VIII 007 R. Przedstawione poniżej treści obejmujące zakres rozszerzony wyróżnione są pogrubioną

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki. dla uczniów szkół podstawowych - etap szkolny

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki. dla uczniów szkół podstawowych - etap szkolny 25.10.2013r. Kod ucznia: Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów szkół podstawowych - etap szkolny Wypełnia komisja konkursowa Nr zadania Punktacja 1 2 3 4 5 A B C D A B C D A B C D A

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A i II C w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A i II C w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A i II C w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi Plan realizacji materiału nauczania został opracowany na podstawie programu nauczania

Bardziej szczegółowo

Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ

Test F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2013 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka amińska, Dorota onczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania

Bardziej szczegółowo

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA klasa 6

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA klasa 6 Rachunki pamięciowe na liczbach naturalnych i ułamkach dziesiętnych. LICZBY NATURALNE I UŁAMKI zaznaczyć i odczytać na osi liczbowej ułamek dziesiętny (P-R) obliczyć wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyk zkres podstwowy Proponowny rozkłd mteriłu kl. I (100 h) Temt lekcji Liczb 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby nturlne 1 2. Liczby cłkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3

Bardziej szczegółowo