Rachunek Prawdopodobieństwa dla Wydziału Zarządzania specjalny zbiór zadań

Transkrypt

1 Rachunek Prawdopodobieństwa dla Wydziału Zarządzania specjalny zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania I Zliczanie Zadanie 1. 1 Reguła mnożenia (a) Kupujemy 2 pary spodni, 3 koszule i 2 pary butów. Ile nowych strojów możemy skomponować? (b) Numer seryjny produktu składa się z dwóch spółgłosek (alfabet łaciński), trzech cyfr i samogłoski. Ile produktów można oznaczyć różnymi numerami? (c) Rzucamy jednocześnie złotówką, dwójką i pięciozłotówką. Ile różnych układów możemy otrzymać? (d) Instalujemy oprogramowanie na nowym komputerze. Wybieramy: przeglądarkę (IE, Firefox, Chrome), pakiet biurowy (MS Office, OpenOffice) i klienta poczty (Thunderbird, MS Live, The Bat!, Pegasus Mail). Ile konfiguracji można utworzyć? (e) Na ile sposobów mogę posadzić w pierwszej ławce kobietę z mężczyzną? (f) Toyotę Corrolla mogę wybrać z jednym z 4 silników, w jednym z 6 kolorów i jedną z 2 tapicerek. Ile jest różnych wersji tego samochodu? (g) Kanapkę w restauracji FreshPoint można samemu wybrać: długą lub krótką, na jasnym lub ciemnych chlebie, jedno z 9 wypełnień, jedne z 4 zestawów jarzyn. Ile różnych kanapek oferuje FreshPoint? Zadanie 2. Permutacje (a) Na ile sposobów można ustawić w kolejce mężczyzn (kobiety) z tej grupy? (b) W windzie, która może zatrzymać się na 5 piętrach jest 5 osób i każda wysiada na innym piętrze. Ile jest możliwych sposobów wysiadania? (c) Kabaret przygotował 7 różnych skeczy. Ile jest możliwych scenariuszy występu, w którym pokazane zostaną wszystkie skecze (oczywiście każdy tylko jeden raz)? (d) Zawodnikom jednej drużyny przyporządkowano numery od 1 do n. Można to było zrobić na 5040 sposobów. O jakiej grze zespołowej jest mowa? (e) Ile jest liczb, w których występują wszystkie cyfry? (liczba nie może zaczynać się do 0). Zadanie 3. Wariacje bez powtórzeń (a) Na konkurs na prezesa, dyrektora i kierownika wpłynęło łacznie 12 aplikacji. Ile zarządów można wybrać? (a) W loterii fantowej sprzedano 100 losów (każdy los kupiła inna osoba). Ile jest możliwości rozdzielenia 4 nagród: piłka do piłki nożnej, piłka do siatkówki, piłka plażowa, piłeczka pingpongowa? Zadanie 4. Kombinacje 1 Zadania oznaczone symbolem trójkąta: są w moich notatkach do zajęć 1

2 (a) Jak wygrać w Lotto? Obstawić wszystkie kombinacje, a ile ich jest? (b) W loterii fantowej sprzedano 100 losów (każdy los kupiła inna osoba). Ile jest możliwości rozdzielenia 4 nagród: w postaci piłki tenisowej każda? (c) Ile uścisków dłoni trzeba wymienić by wszyscy w tej grupie się przywitali? (d) W ekstraklasie każdy gra z każdym u siebie i na wyjeździe. Ile meczy trzeba rozegrać? (e) Załoga następnego lotu w kosmos ma składać się z 3 doświadczonych kosmonautów. W tej chwili jest 8 osób, które już były w kosmosie. Ile załóg można skompletować? Zadanie 5. Wariacje z powtórzeniami (a) Ile jest różnych numerów ISBN (13 cyfr w grupach: 978-kraj(83)-wydawca-numer-cyfra kontrolna)? Poprawnych? (b) Ile jest różnych 5 cyfrowych liczb parzystych? (liczba nie zaczyna się od 0). (c) Rzucamy 6 razy kostką do gry. Każdy rzut wyznacza kolejną cyfrę liczby 6 cyfrowej (od lewej do prawej). Ile liczb większych od może w ten sposób powstać? Zadanie 6. Numer seryjny banknotu składa się z dwóch liter (alfabet łaciński) i 7 cyfr. Ile jest różnych takich numerów? Zadanie 7. Numery rejestracyjne w Warszawie mają postać WB12345 lub WB1234A czyli litera W, dowolna litera, cyfra, cztery cyfry lub litery. Ile jest takich numerów? Zadanie 8. Dziesięciu posłów 6 z partii Koalicja i 4 z partii Opozycja zajmuje tę samą, 10 miejscową ławę poselską. Każda partia siedzi obok siebie. Na ile sposobów mogą usiąść? Zadanie 9. Dietetyk zaleca by osoba dorosła spożywała dziennie minimum: (a) cztery produkty mleczne, (b) dwa produkty mięsne, (c) cztery produkty jarzynowo-owocowe i (d) cztery produkty zbożowe. Szef kuchni ma do dyspozycji sześć produktów mlecznych, pięć mięsnych, siedem jarzynowo-owocowych i osiem zbożowych. Jeżeli każdy produkt może być wykorzsytany tylko raz w ciągu dnia, ile różnych zestawów spełniających założenia dietetyka można utworzyć? Zadanie 10. Ile różnych napisów można utworzyć ze słowa MATEMATYKA (takie same litery są nieodróżniane)? Zadanie 11. Na ile sposobów mogę posadzić 10 studentów w rzędzie by Marcin i Monika nie siedzieli obok siebie (bo będą ściągać)? Zadanie 12. W partii 1000 produktów 70 jest wybrakowanych. Kontrola techniczna losowo wybiera 11 produktów do kontroli (jeżeli większość będzie wadliwych to cała partia zostanie odrzucona). Na ile sposobów można wybrać próbkę tak aby co najmniej sześć produktów miało usterkę? Zadanie 13. Ile jest rozwiązań równania; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20, w którym każdy x i jest nieujemną liczbą całkowitą? Zadanie Ile jest 9-cio cyfrowych numerów telefonów, gdy żadna z pierwszych trzech cyfr nie może być zerem, a każda następna może być dowolna cyfrą? Zadanie 15. Kandydat na posła chce odwiedzić 7 różnych miast. Ile różnych podróży (wyznaczonych przez kolejność miast) może odbyć? A jeżeli ma fundusze tylko na wizytę w czterech z tych miast? Zadanie osób postanowiło wybrać się na wycieczkę trzema samochodami po 4 osoby w każdym. Każdy samochód prowadzi właściciel. Na ile sposobów można posadzić te osoby w samochodach (nie bierzemy pod uwagę rozmieszczenia osób wewnątrz samochodu). Zadanie 17. Na półce stoi 10 butelek: pięć zielonych, trzy brązowe i dwie bezbarwne. Dwie butelki strącił żonglujący barman. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) obie strącone były zielone, (b) obie były tego samego koloru, (c) butelki miały różne kolory? Zadanie 18. Test składa się z 7 pytań, z których każde ma 4 warianty odpowiedzi ale tylko jedna jest prawdziwa. Test może być wydrukowany z losową kolejnością pytań i losowo podanymi wariantami odpowiedzi (oznaczanymi na wydruku po kolei a,b, c i d). Ile jest różnych kluczy rozwiązań tego testu? 2 Zadania oznaczone kropką nie występują ani w notatkach ani w zbiorku zadań. 2

3 Zadanie 19. Masz pięć banknotów: 10 zł, 20 zł, 50 zł, 100 zł i 200 zł, i chcesz rozdać je trojgu dzieciom Annie, Bogdanowi i Cecylii. Na ile sposobów możesz to uczynić (podział nie musi być sprawiedliwy)? Zadanie 20. W magazynie są przedmioty. Każdy jest oznaczony kodem złożonym z dwóch liter alfabetu łacińskiego ale bez I, O i Q i kilku cyfr. Ile cyfr musi być w numerze? Zadanie 21. Ile różnych ścieżek dźwiękowych z 5 przebojami można zestawić z jednego CD z 23 nagraniami? Zadanie 22. Sześciocyfrowe liczby zostały utworzone z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8. Ile z tych liczb nie zawiera ani 1 ani 2? Zadanie 23. Na ile sposobów można wybrać trzy z dziesięciu topowych przebojów? Zadanie 24. W każdą sobotę wybierasz się na imprezę z czwórką swoich przyjaciół. Ilu (vo najmniej) musisz mieć przyjaciół aby przez cały rok (52 tygodnie) spędzać sobotni wieczór w innej grupie? Zadanie 25. Aby zaliczyć przedmiot trzeba poprawnie rozwiązać co najmniej 3 zadania z pięciu na pierwszym kolokwium i co najmniej dwa z pięciu na drugim. Na ile sposobów można udzielić odpowiedzi tak aby zaliczyć przedmiot? Zadanie 26. Na ile sposobów można rozłożyć osiem książek na dwa stosy (nie koniecznie równe) jeżeli (a) każda książka jest inna, (b) wszystkie książki są takie same? Zadanie 27. Pizzeria Włoska reklamuje się, że oferuje ponad 200 różnych pizz. Zamawiając pizzę możesz wybrać jeden lub więcej różnych dodatków. Ile dodatków oferuje do wyboru ta Pizzeria? Zadanie 28. Ile jest różnych rozwiązań równania x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 17 gdzie każde x i jest nieujemną liczbą całkowitą? Zadanie 29. W szufladzie jest 12 różnych par skarpetek przemieszanych. Ile co najmniej skarpetek trzeba wyciągnąć aby na pewno mieć choć jedną parę? a jeżeli jest tam 6 par skarpetek czarnych (takich samych) i 6 par skarpetek szarych (także takich samych) to ile trzeba wyciągnąć aby mieć parę? a aby mieć dwie pary każda innego koloru? Zadanie 30. Na sali na pewno są dwie osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu. Zadanie 31. W restauracji jest 19 stolików, a menadżer zapewnia że jest miejsce dla 110 osób. Czy można mieć pewność, że jest stolik dla sześciu osób? II Prawdopodobieństwo klasyczne Zadanie 32. Wypisać wszystkie wyniki (podzbiór przestrzeni probabilistycznej) sprzyjające opisanemu wydarzeniu (czyli wskazać odpowiednie zdarzenie losowe). (a) Wypadła parzysta liczba oczek na sześciennej kostce. (b) Wylosowano figurę pik z talii kart. (c) W dwukrotnym rzucie monetą otrzymano dwa razy ten sam wynik. (d) Następne połączenie miało miejsce nie więcej niż 5 sekund po poprzednim. (e) Zawodnik w pchnięciu kulą pobił rekord Europy (23,06), ale nie pobił rekordu świata (23,12). (f) Wylosowano punkt na płaszczyźnie, który należy do koła o promieniu 1 i środku w (0, 0). Zadanie 33. W torbie z żelkami jest 12 żelków czarnych, 8 czerwonych, 10 żółtych i 5 zielonych. Wybierasz jednego żelka... (a) Opisać na czym polega to doświadczenie. (b) Opisać przestrzeń probabilistyczną dla tego doświadczenia. (c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany żelek jest czarny, zielony, czerwony lub żółty, czerwony lub czarny. (d) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany żelek nie jest żółty, nie jest czerwony. (e) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowany żelek jest biały, nie jest biały. Zadanie 34. O pewnej rodzinie wiadomo, że ma dwoje dzieci. 3

4 (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną. (b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie jest dokładnie jedna córka. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie jest co najmniej jedna córka. (d) Oblicz prawdopodobieństwo, że w tej rodzinie są dokładnie dwie córki. Zadanie 35. Wyciągasz jedną kartę z potasowanej standardowej talii kart. (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną. (b) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta jest czarna, kierem, damą. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta jest 2, Q. (d) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta jest niższa niż 5 (as jest najwyższą kartą), wyższa niż 8. (e) Oblicz prawdopodobieństwo, że karta nie jest figurą, asem, treflem. Zadanie 36. Rzucono trzema identycznymi monetami. (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną. (b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadły dokładnie dwa orły, wypadły co najmniej dwa orły, wypadły trzy orły. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że nie ma żadnego orła, jest dokładnie jedna reszka. Zadanie 37. Przestrzeń probabilistyczna składa się z 5 wzajemnie wykluczających się zdarzeń: A, B, C, D i E, przy czym prawdopodobieństwa tych zdarzeń są następujące: P (A) = 0,20, P (B) = 0,15, P (C) = 0,25, P (D) = 0,30, P (E) = 0,10. Niech F = {A, B, C}, G = {A, C, E}, H = {D, E}. Obliczyć: (a) P (F), (b) P (G), (c) P (H), (d) P (B ), (e) P (F G), (f) P (G H), (g) P (F H), (h) P (F G). Zadanie 38. Przestrzeń probabilistyczna składa się z czterech zdarzeń elementarnych (wzajwemnie wykluczających się): V, X, Y, Z, przy czym P (V) = 0,2, P (X) = 0,1, P (Y) = 0,4 i P (Z) = 0,3. Niech A = {V, X, Y}, B = {X, Z}, C = {V, Y, Z}. Obliczyć: (a) P (A), (b) P (A ), (c) P (B), (d) P (C), (e) P (C ), (f) P (A B), (g) P (B C), (h) P (A C). Zadanie 39. Tabela pokazuje 10 tyś. klientów banku skategoryzowanych według rodzaju konta (osobiste O, firmowe F) oraz ryzyka kredytowego (niskie N, średnie S i wysokie W). Typ konta Ryzyko kredytowe Razem Niskie Średnie Wysokie Osobiste Firmowe Razem Wylosowano jedno konto (każde miało taką samą szansę) (a) Opisz przestrzeń probabilistyczną (zdarzeń elementarnych). (b) Opisz zdarzenie: wylosowano konto firmowe. (c) Opisz zdarzenie: wylosowano konto osobiste o wysokim ryzyku kredytowym. (d) Czy zdarzenie w następujących zbiorach są wzajemnie wykluczające się? czy wypełniają całą przestrzeń probabilistyczną? {O, N, S, W}, {ON, FN, OS, FS, W}, {O, F, W}, {F, ON, OW, FN, FW}, {ON, FN, OS, FW}. 4

5 (e) Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowane konto jest (a) w średniej kategorii ryzyka kredytowego, (b) kontem osobistym, (c) jest kontem firmowym z wysokim ryzykiem kredytowym, (d) kontem osobistym o niskim ryzyku kredytowym. Zadanie 40. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia 6 w Lotto? A piątki? Zadanie 41. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb trzycyfrowych (na początku nie ma zera) liczby, której suma cyfr jest równa 3? Zadanie 42. W pudełku jest 90 śrub dobrych i 10 wadliwych. Wykorzystano 10 z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie były dobre? Zadanie 43. Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego że każda wysiądzie na innym piętrze? Zadanie 44. Test ma 10 pytań, na które odpowiada się tak lub nie. Zaliczamy tekst, gdy odpowiemy poprawnie na 9 (8) pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zaliczymy skreślając odpowiedzi losowo? Zadanie 45. Zakład pracy zatrudnia 200 osób, z których 60 to kobiety. Dwie osoby (wybrane losowo) dostaną premię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie osoby są kobietami?, a że są różnej płci? są mężczyznami? Zadanie 46. Mam w kieszeni 5 monet 1 zł, 4 po 50 gr, 3 po 20 gr i 2 po 10 gr. Wyjmuję jedną z kieszeni (losowo). Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest warta co najmniej 30 groszy? 90 gr? 2 zł? Zadanie 47. Wśród 100 studentów jest 40 głupków i 60 kompletnych głupków. Losowo zostaje wybrana delegacja 3 studentów (mają zanieść petycje do Rektora). jakie jest prawdopodobieństwo, że w delegacji jest więcej głupków niż kompletnych głupków? Zadanie 48. Zagadnienie rozmieszczenia: rozmieszczamy r kul w m komórkach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że do wskazanej komórki trafi dokładnie k kul? Zadanie 49. Mamy n = a + b elementów dwóch rodzajów i zakładamy, że elementy każdego rodzaju są miedzy sobą nierozróżnialne. Na ile sposobów można je uporządkować (ustawić w ciąg)? Zadanie 50. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz w pokera dostanie kartę z różnymi wartościami? Zadanie 51. Prezes zabiera w podróż służbową 12 koszul: 4 oficjalne i 8 sportowych, z których 3 z długim rękawem i 5 z krótkim. Rozkłada je losowo do dwóch walizek i... jedna z nich ginie w czasie podróży. Jakie jest prawdopodobieństwo, że stracił wszystkie koszule do garnituru? wszystkie nieoficjalne z długim rękawem? Zadanie 52. Dziki zachód, banda 10 rewolwerowców (pięciu Smith ów, czterech Johns ów i jeden Casidy) posprzeczała się ze sobą nawzajem i doszło do strzelaniny. 3 zostało trafionych (a każdy miał równą szansę zostać trafionym). Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafieni mieli różne imiona? Zadanie 53. W rzędzie muszę posadzić 5 studentów na kolokwium. Jeżeli Maciej usiądzie obok Agaty to będzie ściągał (Agata na to pozwala). Studenci siadają losowo. jakie jest prawdopodobieństwo, że Maciej nie będzie siedział obok Agaty? Zadanie 54. Dziesięć papryczek chili rozmieszczamy losowo na dziesięciu pizzach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdej pizzy będzie papryczka? Zadanie 55. W szafie są 4 pary butów. Wyciągamy (losowo) dwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to para? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czterech wyciągniętych jest para? Zadanie 56. (do domu) Wylosowano 4 litery ze słowa PRAWDOPODOBIEŃSTWO. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) wszystkie litery są takie same? (b) są dwie pary takich samych liter? (c)żadna litera się nie powtarza? Zadanie 57. Cyfry 0, 1, 2, 3,..., 9 ustawiono losowo. jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) miedzy 0 i 1 znajdą się dokładnie 4 cyfry? (b) 7, 8 i 9 będą stały obok siebie (w dowolnej kolejności)? Zadanie 58. Jaka jest szansa na to, że przy losowym podziale 10 pączków między 4 osoby (a) każda dostała przynajmniej jedne pączek, (b) każda dostała przynajmniej dwa pączki? Zadanie 59. W grupie jest 10 dziewcząt i 10 chłopców. Wszystkim przydzielono losowo miejsca w dziesięciu dwuosobowych ławkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdej ławce będzie siedziała dziewczyna i chłopak? Zadanie 60. Jaka jest szansa, że w Lotto (6 z 49) nie wypadną dwie kolejne liczby? Zadanie 61. Komputer (generator pseudolosowy) generuje czterocyfrową liczbę losową od 0000 do 9999 włącznie (każda liczba ma takie same szanse na wylosowanie). jakie jest prawdopodobieństwo, zę 5

6 (a) liczba ma wartość co najmniej 1000, (b) liczba jest w między 1000 a 5000 (włącznie), (c) liczba jest 4321, (d) na końcu liczby jest 0, (e) liczba zaczyna i kończy się cyfrą 1? Zadanie 62. Litery ze słowa TONIE zostały losowo rozmieszczone w jednej linii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że albo litery NIE są obok siebie w tej kolejności, albo litery TO są obok siebie w podanej kolejności albo zaszły oba te przypadki? Zadanie 63. W pierwszej klasie pewnej szkoły uczniowie odpowiadali na pytanie ile mają braci i sióstr. Wyniki tej ankiety pokazuje tabela Liczba braci i sióstr Liczba uczniów Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń s tej klasy pochodzi z rodziny z trójką dzieci? Zadanie 64. W 30 osobowej grupie studentów każdy nie zaliczył jakiegoś przedmiotu: 20 osób nie zaliczyło matematyki I, a 21 mikroekonomii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student/studentka nie zaliczył/zaliczyła obu przedmiotów? Zadanie 65. W pewnym ogrodzie jest siedem drzew owocowych i 13 innych. Na sześciu drzewach są ptasie gniazda, ale tylko dwa z nich to owocowe.(a) uzupełnij tabelkę Drzewo owocowe Drzewo inne Razem Ma ptasie gniazdo 2 6 Nie ma gniazda Razem 7 13 Właściciel pozwolił Abdulowi bawić się w ogrodzie pod warunkiem, że nie będzie wdrapywał się ani na drzewa owocowe ani na drzewa z gniazdami. Abdul wybrał do wspinaczki drzewo losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Abdul spełni wymagania właściciela? Zadanie 66. Ankieta wykazała, że spośród zapytanych osób 800 kupiło w zeszłym miesiącu napój C, 200 napój P i 100 osób kupiło oba napoje C i P. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba (spośród ankietowanych) (a) kupiła napój C, (b) kupiła napój P ale nie kupiła napoju C, (c) kupiła napój C lub P lub oba, (d) nie kupiła żadnego z tych napojów? Zadanie 67. Maszyna produkująca pewien detal wytwarza 2% braków dziennie. Kontrola techniczna polega na przebadaniu 10 losowo wybranych detali z dziennej produkcji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) kontrola techniczna nie wykaże wad, (b) wykaże dokładnie 2 wadliwe produkty, (c) wykaże więcej niż 2 wadliwe produkty? III Prawdopodobieństwo warunkowe Zadanie 68. Korzystając z tabeli dotyczącej ankiety o przemocy w telewizji: tak nie nie mam zdania RAZEM kobiety mężczyźni RAZEM oblicz (a) P (N) (b) P (K) (c) P (N K) (d) P (K N) (e) P (T M) (f) P (M T ) (g) P (T M) (h) P (N K ) (i) P (T M ) (j) które zdarzenie N K, N K czy N K jest uzupełnieniem zdarzenia N K? Zadanie 69. Rzucono 3 kości do gry. Jeżeli na żadnej z nich nie wypadła ta sama ilość oczek to jakie jest prawdopodobieństwo, że na choć jednej wypadła szóstka? Zadanie 70. Bombonierka składa się z 7 czekoladek mlecznych i 4 gorzkich. Zjadamy dwie z nich (najpierw jedną potem drugą). Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga czekoladka była gorzka jeżeli pierwsza była mleczna? [ 2 5 ] Zadanie 71. Rzucamy dwukrotnie kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej sumy jeżeli w pierwszym rzucie wypadło (a) 5 oczek [ 1 2 ] (b) 6 oczek [ 1 2 ] Zadanie 72. Z talii kart losujemy kolejno 3 (bez zwracania). Jakie jest prawdopodobieństwo, trzecia karta jest kierem jeżeli dwie pierwsze były (a) kierami [ ] (b) pikami [ 50 ] 6

7 Zadanie 73. W grze blackjack jeżeli gracz otrzymuje dwie pierwsze karty: asa i albo 10, waleta, damę lub króla to ma blakjacka i wygrywa, bez względu na inne rozdane karty. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania blakjacka? Zadanie 74. W grze blackjack pierwsza karta dealera jest odkryta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rozdający będzie miała blackjacka jeżeli odkrytą kartą jest as? Zadanie 75. Na wyświetlaczu z jednakowym prawdopodobieństwem może pojawić sie cyfra 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze pojawiła sie liczba pierwsza gdy (a) nie mamy żadnych dodatkowych informacji [ 4 9 ] (b) wiemy że pojawiła się liczba nieparzysta. [ 3 5 ] Zadanie 76. Łucznik trafia w tarczę z prawdopodobieństwem 0,95, a spośród strzał, kóre trafiają w tarczę 80% nie trafia w dziesiątkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łucznik strzelając raz trafi w dziesiątkę? [0,19] Zadanie 77. Tabela zawiera dane o wypadkach drogowych spowodowanych przez kierujących w podziale według wieku (dane dotyczą roku 2011, według Komendy Głównej Policji). wiek liczba wypadków populacja Oblicz prawdopodobieństwo, że (a) obywatel spowodował wypadek, (b) osoba młoda (poniżej 25 lat) spowodowała wypadek, (c) osoba miała wypadek, zakładając że ma mniej niż 25 lat, (d) osoba starsza (60 i więcej) spowodowała wypadek. Zadanie 78. Na pewien wydział pewnej uczelni (który ma dwa kierunki): płeć kierunek A kierunek B kandydowało przyjęto kandydowało przyjęto kobiety mężczyźni Obliczyć prawdopodobieństwo, że (a) kandydat został przyjęty, (b) kandydat został przyjęty jeżeli kandydatem była kobieta, (c) kandydat został przyjęty jeżeli kandydatem był mężczyzna, (d) czy można podejrzewać dyskryminację? Zadanie 79. Próbka 800 kart pamięci do aparatów z taśmy produkcyjnej została zbadana przez kontrolera jakości. 6GB 12 GB 32 GB Razem sprawna wadliwa RAZEM Losowo wybrana zostaje jedna karta. Obliczyć prawdopodobieństwa, że (a) ma pojemność 6 GB, (b) jest wybrakowana, (c) jest sprawna i ma pojemność 32 GB, (d) jest wybrakowana o pojemności 6 GB, (e) jest sprawna pod warunkiem, że ma pojemność 12 GB, (f) ma pojemność 6 GB, pod warunkiem, że jest sprawna, (g) ma pojemność 32 GB pod warunkiem, że jest wybrakowana. 7

8 Zadanie 80. Gramy w następującą grę: rzut kością, jeżeli wypadło 2, 3, 4 lub 5 to to jest wynik, jeżeli wypadło 1 lub 6 to rzucamy drugi raz i wynikiem jest suma oczek z obu rzutów. A wynikiem gracza jest 5, 6, 7, 8 lub 9. B były dwa rzuty. Obliczyć (a) P (A) [ 1 3 ] (b) P (A B) [ 1 2 ] (c) P (B A ) [ 1 4 ]. Zadanie 81. W pewnej populacji jest 50% mężczyzn, 10% osób mających co najmniej 80 lat, a wśród nich 70% kobiet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś poniżej 80 lat jest kobietą? [A jest kobietą, B ma co najmniej 80 lat; P (A B) = 0,7 i P (B) = 0,1 stąd P (A B) = 0,07 oraz P (B ) = 0,9 i P (A B ) = 0,43 bo P ((A B) (A B )) = 0,5 i zdarzenia A B i A B wykluczają się. Stąd P (A B ) = 0,43/0,90] Zadanie 82. Ankieta wykazała, że wśród 100 osób 23% ogląda kanał TVA, 70% kanał TVB i 40% kanał TVC. Nikt z oglądających kanał TVA nie ogląda TVC, ale 30% widzów TVB ogląda TVA i 20% widzów TVB ogląda TVC. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej setki (a) ogląda kanały TVA i TVB, [0,21] (b) ogląda kanały TVB i TVC, [0,14] (c) ogląda TVA lub TVC ale nie ogląda TVB. [0,3] Zadanie 83. Terroryści podłożyli bomby w 3 z 20 samolotów będących na lotnisku. Po ewakuacji pasażerów i załóg saperzy zaczynają sprawdzać samoloty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bomby są w 3 pierwszych wybranych samolotach? Zadanie 84. Maszyna produkuje wadliwy detal z prawdopodobieństwem 15%. Zakładamy, że wadliwe detale pojawiają się losowo podać prawdopodobieństwo, że (a) dwa detale pod rząd będą bez wad; (b) trzy pierwsze będą bez wad ale czwarty będzie niesprawny; (c) pięć kolejnych nie będzie miało wady. Zadanie 85. Sklep z komputerami przeprowadził ankietę wśród 700 klientów, badając wpływ obsługi przez sprzedawców na sprzedaż. Spośród ankietowanych, którzy dokonali zakupu 125 było zadowolonych z obsługi ale 111 nie. Spośród tych, którzy nic nie kupili 148 było zadowolonych z obsługi ale aż 316 nie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupujący, który jest zadowolony z obsługi dokona zakupu oraz prawdopodobieństwo, że osoba niezadowolona z obsługi nic nie kupi. Zadanie 86. Projekty zgłaszane do finansowania z UE są oceniane przez dwie niezależne grupy ekspertów. Druga grupa ekspertów zmienia 30% ocen pierwszej grupy. Jeżeli projekt jest wart finansowania to pierwszy zespół ekspertów przyzna finansowanie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakei jest prawdopodobieństwo, że projekt wart finansowania (a) będzie zaaprobowany przez obie grupy? (b) zostanie odrzucony przez obie grupy? (c) zostanie zaaprobowany przez tylko jedną grupę? Zadanie 87. Procedura dodatkowego pozyskiwania gracza do drużyny futbolu w NFL (National Football League) polega na losowaniu według następujących zasad: do maszyny losującej najgorsza drużyna w poprzednim sezonie (w 1987 była to Tampa Bay Buccaneers) wrzuca 28 swoich znaków, drużyna druga od końca (w 1987 Indianapolis Colts) wkłada 27 i tak dalej co jeden znak mniej przez (Jets pozycja ósma w 1987) 8, aż do zwycięzców Super Bowl (w 1987 Giants), którzy wkładają tylko jeden znak. Z tej puli losowanych zostaje po kolei 28 symboli ustalając kolejność zgłaszania propozycji graczowi, przy czym gdy zostanie wylosowany znak jakiejś drużyny to z puli usuwane są pozostałe znaki tej drużyny, Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) pierwsze miejsce będzie miał zespół Giants? (b) pierwsze miejsce będzie miał zespół Buccaneers? (c) zespoły Colts i Jets będą miały dwa pierwsze miejsca? Zadanie 88. W 12 osobowym gangu jest 8 Smithów i 4 Jonsów. Policja wyłapuje wszystkich jednego po drugim. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia 8

9 (a) A wśród pierwszych pięciu złapanych jest dokładnie 3 Jonsów? (b) B dwaj ostatni złapani mają nazwiska Smith? (c) A pod warunkiem B? (d) B pod warunkiem A? (e) Zdarzenia A i B (wśród pierwszych pięciu jest dokładnie 3 JonsóW, a dwaj ostatni to Smiths owie)? Zadanie 89. Prawdopodobieństwo, że mąż zda egzamin na prawo jazdy wynosi 0,7, a że taki egzamin zda żona 0,2. Jednak jeżeli żona zda ten egzamin to (zmotywowany) małżonek zda egzamin na prawo jazdy z prawdopodobieństwem 14/15. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego że w losowym małżeństwie (a) Oboje małżonkowie zdadzą egzamin? (b) Zda egzamin tylko jedno z nich? (c) Oboje nie zdadzą egzaminu? Zadanie 90. Przyjmijmy, że w naszej uczelni wśród studentów 65% to studenci studiów dziennych, 55% to kobiety, 35% to mężczyźni na studiach dziennych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student (a) jest studentem studiów niestacjonarnych? (b) jest kobietą studiującą niestacjonarnie? (c) ze wszystkich studentek studiuje niestacjonarnie? Zadanie 91. Guliwer w swojej podróży trafił na wyspę, na której mieszkają Niekłamcy i Prawiekłamcy populacje każdej tych nacji są równe. Niekłamcy zawsze mówią prawdę, a Prawiekłamcy odpowiadają zgodnie z prawdą tylko na 2 pytań. Guliwer zgubił się na tej wyspie i zadał przechodzącej osobie (nie 3 można z wyglądu rozpoznać, z której nacji pochodziła) dwa pytania Czy teraz jest dzień czy noc? oraz Którą drogą dotrę do miasta?. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwsze pytanie dostał poprawną odpowiedź? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na drugie pytanie dostał odpowiedź prawidłową, zakładając, że odpowiedź na pierwsze pytanie była zgodna z rzeczywistością? IV Prawdopodobieństwo całkowite Zadanie 92. Zamówione zabytkowe wazy (z epoki Ming ) przywiezione zostały w 3 skrzyniach: w jednej 10, w drugiej 15. W transporcie obie skrzynie zostały uszkodzone: w pierwszej pękły lub wyszczerbiły się 3 wazy, a w drugiej 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana waza jest niepełnowartościowa? Zadanie 93. Fabryka współpracuje z dwoma kooperantami dostarczającymi śruby. Od kooperanta I pochodzi 40%, a do kooperanta II 60% śrub. Wady ma 0,2% śrub od kooperanta I i 0,1% od kooperanta II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana śruba jest dobra. Zadanie % tych, którzy są dobrzy z matematyki I jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa, ale tylko 30% tych, którzy mają kłopoty z matematyką I jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli 40% (90%) jest dobrych z matematyki I to jak wielu jest dobrych z rachunku prawdopodobieństwa? Zadanie 95. W pewnym mieście są 4 zakłady usługowe. 1 3 mieszkańców korzysta z zakładu Z 1, 1 4 z zakładu Z 2, 1 5 z Z 3 i 1 6 z Z 4 pozostali nie korzystają z tych usług i nikt nie korzysta z dwóch zakładów. Na pytanie czy jesteś zadowolony z usług swojego zakładu odpowiedzi tak udzieliło 20% osób, które korzystają z Z 1, 40% z Z 2, 60% z Z 3, 80% z Z 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba korzysta z tych usług i jest z nich zadowolona? Zadanie 96. Rzucamy kostką raz, a potem tyle razy ile wypadło za pierwszym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzutach dodatkowych) poza pierwszym) wypadną same jedynki? Nie wypadnie żadna jedynka? Zadanie 97. Firma ubezpieczeniowa (ubezpieczenia samochodowe) klasyfikuje kierowców jako A (niskie ryzyko) B (średnie ryzyko) i C (wysokie ryzyko) spowodowania wypadku. Według ocen 30% 9

10 ubezpieczonych to A, a 50% to B. Prawdopodobieństwo, że kierowca z grupy A spowoduje wypadek w ciągu roku jest równe 0,01, dla kierowców z grup B i C to prawdopodobieństwo wynosi odpowiednio 0,03 i 0,06. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kierowca (a) jest w klasie C i będzie miał wypadek w ciągu 12 miesięcy; (b) będzie miał wypadek w ciągu 12 miesięcy; (c) jeżeli miał wypadek w ciągu 12 miesięcy od kupienia polisy, był w klasie C. Zadanie 98. W partii 2n zegarków k jest niesprawnych. Zegarki pakujemy do dwóch pudeł po n w każdym, a kontrola jakości polega na wylosowaniu jednego zegarka z jednej paczki. Jak rozmieścić niesprawne zegarki w pudłach aby przeszły przez kontrolę jakości? Zadanie 99. Jeżeli frezer jest skupiony i dokładnie wykonuje wszystkie czynności to prawdopodobieństwo wyprodukowania przez niego wybrakowanego produktu wynosi 0,01, ale jeżeli nie jest skupiony to prawdopodobieństwo braku wzrasta do 0,03. Jakie jest prawdopodobieństwo braku gdy frezer jest skupiony przez 90% swojego czasu pracy? Zadanie 100. Fabryka komputerów sprowadza układy scalone z Singapuru (38%) i z Korei. 1,7% układów z Singapuru i 1,1% układów z Korei ma wady. Obliczyć prawdopodobieństwo, że (a) układ jest niesprawny i wyprodukowany w Singapurze; (b) układ jest niesprawny (c) układ jest bez wad. Zadanie 101. W pewnej szkole obowiązuje zasada: nie zaliczasz nie grasz (nie masz dobrych ocen nie możesz być w szkolnej drużynie). Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo złych ocen u sportowca, który nie był zdyskwalifikowany uprzednio jest równe 0,15, a dla tego, który już był zdyskwalifikowany jest równe 0,5. Jeżeli 30% sportowców było zdyskwalifikowanych uprzednio jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy sportowiec zostanie zdyskwalifikowany? Zadanie 102. Test komputerowy jest tak opracowany, że po każdej odpowiedzi dobrej wzrasta trudność następnego zadania (prawdopodobieństwo poprawnej odpowiedzi zmniejsza się o 0,1), a po odpowiedzi złej nic się nie zmienia. Przyjmując, że prawdopodobieństwo poprawnej odpowiedzi na pierwsze pytanie jest równe 0,8 obliczyć prawdopodobieństwo poprawnej odpowiedzi na drugie (trzecie) pytanie. Zadanie 103. Pan Hipolit musi wstawać wcześnie do pracy. W 85% dni pamięta o nastawieniu budzika i wtedy na 90% nie spóźnia się do pracy. Gdy nie nastawi budzika to w 60% przypadków spóźnia się do pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Pan Hipolit nie spóźni się do pracy w najbliższy poniedziałek? Zadanie 104. W tenisie prowadzi się różne statystyki, np. wiadomo, że pewien tenisista trafia pierwszym serwisem w 60%, a drugim w 95%. Prawdopodobieństwo wygrania punktu po pierwszym serwisie wynosi 0,75, a po drugim 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania punktu przez tego gracza. Zadanie 105. W produkcji masowej cegieł może się zdarzyć z prawdopodobieństwem 0,002, że cegła ma pęcherzyki powietrza i wtedy pęknie pod obciążeniem z prawdopodobieństwem 0,5, podczas gdy cegła bez pęcherzyków powietrza pęka z prawdopodobieństwem 0,005. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana cegła pęknie pod obciążeniem? V Wzór Bayesa Zadanie 106. Pewien golfista trafia bezpośrednim, pierwszym uderzeniem w green w 80% przypadków gdy nie ma wiatru, a tylko w 30% przypadków, gdy jest wiatr. W okolicy jego pola golfowego ocenia się, że 55% dni to dni wietrzne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że golfista trafi w green bezpośrednio losowego dnia? Jeżeli nie trafił to jakie jest prawdopodobieństwo, że to z powodu wiatru? Zadanie 107. Różne choroby mogą mieć takie same objawy. Załóżmy, że choroby A, B i C mają takie same objawy H i że żadna inna choroba nie ma takich objawów, ponadto choroby wykluczają się (nie można zachorować na dwie z nich). Wykazano, że P (A) = 0,01, P (B) = 0,005, P (C) = 0,02 oraz, że P (H A) = 0,90, P (H B) = 0,95, P (H C) = 0,75. pojawia się osoba mająca objawy H. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest chora na A? 10

11 Zadanie 108. Wśród mężczyzn 500 jest daltonistami, a wśród kobiet tylko 25. Z grupy 100 mężczyzn i 400 kobiet wybieramy losowo jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego, że wybrana osoba jest kobietą, jeżeli wiemy, że nie odróżnia kolorów? Zadanie 109. Z dwóch kostek jedna jest uczciwa, a na drugiej 6 wypada z prawdopodobieństwem 1 5. Rzucono dwukrotnie losowo wybrana kostką i wypadły 2 szóstki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze rzucono kostką niesymetryczną? Zadanie 110. Firma przeprowadziła badania wewnętrzne i okazało się, źe spośród osób mieszkających dalej niż 2 kilometry od miejsca pracy 90% dojeżdża samochodem, z pozostałych tylko 50% używa samochodu na co dzień. Jeżeli 75% zatrudnionych mieszka dalej niż 2 kilometry od pracy wyznacz (a) Jaka jest proporcja osób dojeżdżających do pracy samochodem (b) Prawdopodobieństwo tego, że pracownik dojeżdżający do pracy samochodem mieszka dalej niż 2 kilometry. Zadanie 111. W fabryce są trzy maszyny produkujące komponenty. 10% części wyprodukowanych przez maszynę I jest wadliwych oraz 5% i 1% części wyprodukowanych przez maszyny, odpowiednio II i III jest wadliwych. Maszyna I produkuje 50% ogólnej produkcji, II 30% i III 20%. (a) Losowo wybrany produkt ma wadę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został wyprodukowany przez maszynę I, nie został wyprodukowany przez maszynę II. (b) Losowo wybrany produkt jest dobry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został zrobiony przez maszynę I. Zadanie akwizytorów A. B, C i D odwiedza, odpowiednio 30%, 30%, 15% i 25% mieszkań na danym osiedlu (każde mieszkanie jest odwiedzane tylko przez jednego akwizytora). Akwizytorom udaje się sprzedać coś odpowiednio w 1%, 1,5%, 3% i 2% mieszkań. jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym mieszkaniu jest coś kupionego u akwizytora? Załóżmy, że w losowo wybranym mieszkaniu jest coś od akwizytora, jake jest prawdopodobieństwo, że zostało to sprzedane przez A? Zadanie 113. Test wykrywający doping u sportowców ma następującą charakterystykę: jeżeli zawodnik stosował doping to test będzie pozytywny na 90%. Jeżeli zawodnik nie używał dopingu to test da wynik pozytywny w 20%. Załóżmy, że p procent sportowców używa dopingu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany zawodnik używa dopingu gdy wynik testu był pozytywny? Zadanie 114. Załóżmy prosty model pogody w kwietniu: każdy dzień jest albo słoneczny albo deszczowy. Prawdopodobieństwo, że po dniu słonecznym nastąpi kolejny dzień słoneczny jest równe 0,8, a prawdopodobieństwo, że po dniu deszczowym nastąpi dzień słoneczny jest równe 0,4. prawdopodobieństw, ze 1 kwietnia będzie słoneczny jest równe 0,75. (a) Oblicz prawdopodobieństwo, że 2 kwietnia będzie słoneczny, 3 kwietnia będzie słoneczny. (b) Jakie będzie prawdopodobieństwo, że 3 kwietnia będzie słonecznym jeżeli wiadomo, że 1 kwietnia był słoneczny. (c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 kwietnia był słoneczny jeżeli 3 kwietnia był słoneczny. Zadanie 115. Dane policyjne podają, że w danym mieście 20% wszystkich przestępstw wiąże się z przemocą (rozboje, gwałty, morderstwa...), a pozostałe 80% nie (kradzieże, fałszerstwa, oszustwa itp.). 90% rozbojów jest zgłaszane na policję, a tylko 70% pozostałych. Na policję zostaje zgłoszone przestępstwo, jakie jest prawdopodobieństwo, że wiąże się z przemocą? Zadanie 116. Przypuśćmy, że 5% osób wypełniający PIT roczny celowo popełnia błąd, aby nie zapłacić pełnych podatków. Ponadto przyjmijmy, że 2% popełnia błędy nieświadomie (bo nie umieją poprawnie wypełnić PIT-u). Spośród oszukujących 80% powie kontrolerowi, że to błąd nieświadomy, bo nie umieją wypełnić zeznania podatkowego. Załóżmy, że w zeznaniu jest błąd i wypełniająca osoba mówi, że nie umie wypełnić formularza. jakie jest prawdopodobieństwo, że ta osoba celowo oszukuje Urząd Skarbowy? Zadanie 117. Przypuśćmy, że w jedną trzecią dni w roku pada deszcz. Gdy pada mój barometr wskazuje deszcz z prawdopodobieństwem 0,7, ale jeżeli nie pada to mój barometr może wskazywać deszcz 11

12 z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowego dnia mój barometr wskazuje deszcz? jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzeczywiście pada, gdy mój barometr pokazuje deszcz? Zadanie 118. Trzech kandydatów do pracy Alojzy, Bożydar i Czesław wykonują pewne zadanie. Prawdopodobieństwa, że wykonają je poprawnie wynoszą odpowiednio 4, 3 i 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że (a) tylko jedna osoba wykona zadanie poprawnie, (b) nie więcej niż jedna osoba wykona zadanie poprawnie, (c) co najmniej jedna osoba wykona zadanie poprawnie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jeżeli tylko jedna osoba wykonała zadanie poprawnie to osobą tą był Bożydar? Zadanie 119. Pewna instytucja finansowa zatrudnia 70 maklerów, 20 informatyków i 35 pracowników administracji. Wiadomo, że 90% maklerów, 80% informatyków i 30% pracowników administracji ma samochód. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy pracownik tej instytucji (a) ma samochód? (b) jest pracownikiem administracji jeżeli wiadomo, że ma samochód? Zadanie 120. Mogę jechać do pracy obwodnicą lub przez centrum Warszawy. Prawdopodobieństwo, że wybiorę drogę przez centrum jest równe 1. Prawdopodobieństwo, że spóźnię się do pracy jadąc przez 4 centrum jest równe 2, a jadąc obwodnicą tylko (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w poniedziałek spóźnię się do pracy? (b) Spóźniłem się do pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jechałem obwodnicą? Zadanie 121. Gdy pewien właściciel samochodu potrzebuje pomocy technicznej dzwoni do jednego z trzech warsztatów: AutoStadium, BernardAuto i CarCompany z prawdopodobieństwami odpowiednio 30%, 10% I 60%. Prawdopodobieństwa, że warsztat przyjmie danego dnia samochód do naprawy (o ile do tego warsztatu właściciel zadzwoni) są równe odpowiednio 20%, 6% i 9%. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego że (a) warsztat, do którego zadzwoni właściciel przyjmie samochód do naprawy? (b) jeżeli samochód został przyjęty przez warsztat, warsztatem tym jest BernardAuto? Zadanie 122. Regał z książkami ma 4 półki, na każdej z nich jest pewna liczba książek, zgodnie z tabelą: Półka Okładka twarda Okładka miękka Wybieram losowo półkę (każda półka ma taką samą szansę na wybór) i losową książkę z tej półki (każda książka ma taką samą szansę na wybór). Jakie jest prawdopodobieństwo, że książka ma twardą okładkę? Jeżeli wybrana książka ma twardą okładkę, to jakie jest prawdopodobieństwo, że została wybrana z trzeciej półki? VI Niezależność zdarzeń Zadanie 123. Ze zbioru {1, 2, 3,..., 20} losujemy jedną liczbę. Niech DX oznacza zdarzenie: wylosowano liczbę podzielną przez X. Czy zdarzenia (a) D4 i D6 (b) D4 i D5 są niezależne? Zadanie 124. Ze standardowej talii losujemy jedną kartę. Zdarzenia: A wyciągnęliśmy asa, B wyciągnęliśmy króla, C wyciągnęliśmy pika. Które pary zdarzeń są niezależne, a które zależne? Zadanie 125. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne oraz P (A) = 1, P (B) = 4 obliczyć 3 5 prawdopodobieństwa zdarzeń (a) A B, (b) A B, (c) A B, (d) A B. Zadanie 126. Wiadomo, że zdarzenia A i B są niezależne, P (A ) = 1, P (A B) = 1. Obliczyć 4 5 prawdopodobieństwa zdarzeń: (a) A B, (b) B \ A, (c) A \ B. Zadanie 127. Wiadomo, że P (A) = 0,8, P (A B) = 0,8 i P (A B) = 0,5. Obliczyć (a) P (B), (b) P (B A), (c) P (A B), (d) P (A A B), (e) P (A B A B), (f) P (A B B ), (g) P (A B A). 12

13 Zadanie 128. Pretendent do mistrza szachowego wygrywa partię z Arcymistrzem z prawdopodobieństwem 1, a z Mistrzem z prawdopodobieństwem 1. Ma zagrać trzy partie z tymi przeciwnikami na 3 2 przemian. W jakiej kolejności ma grać, by mieć największe szanse na wygranie dwóch partii z rzędu? Zadanie 129. Prawdopodobieństwo awarii żarówki jest równe 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo ciągłego przepływu prądu w następujących sieciach (a) dwie żarówki jedna za drugą szeregowo [0,64] (b) dwie równolegle [0,96] (c) równolegle jedna i dwie w szeregu [0,928] (d) cztery w szeregu [0,4096] (e) w szeregu jedna i trzy równolegle [0,7936] (f) w szeregu jedna, dwie równolegle i równolegle dwie i dwie w szeregu [0, ] Zadanie 130. Czy są niezależne zdarzenia w pojedynczym rzucie kostką (a) E wypadła 4, F wypadła nieparzysta. (b) E wypadła 4, F wypadła parzysta. Zadanie 131. W pudełku jest 5 czerwonych i 3 białe kule, w drugim pudle są 4 czerwone i 4 białe kule. Z pierwszego pudła zabrano dwie losowe kule i umieszczono w drugim. Później z drugiego wylosowano jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że była czerwona? [ 21 = 147] Zadanie 132. Przeprowadzono ankietę wśród 700 klientów pewnego sklepu. 125 klientów, którzy dokonali zakupu było zadowolonych z obsługi, a 111 nie. Spośród tych, którzy nic nie kupili 148 było zadowolonych z obsługi, a 316 nie. (a) Czy zdarzenia: zadowolony z obsługi i dokonał zakupu są niezależne? (b) Czy zdarzenia: nic nie kupił i nie był zadowolony z obsługi są niezależne? Zadanie 133. Statek kosmiczny ma 3 systemy komputerowe działające niezależnie. Każdy z nich może mieć awarię z prawdopodobieństwem 0,01. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w statku kosmicznym nie będzie działał żaden system komputerowy? 13