Spis treści 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd. 3. Kinematyka. Zajęcia nr 4 5

Transkrypt

1 Spis treści 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Zbiory liczb Liczba Ułamki Działania arytmetyczne Podstawowe wyrażenia arytmetyczne - nazewnictwo Potęgi Pierwiastki Działania na liczbach Przekształcanie równań Zadania R Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd Fizyka Wielkości fizyczne Działania na wektorach Kinematyka. Zajęcia nr Powtórzenie podstawowych pojęć i wielkości kinematycznych Ruch prostoliniowy Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Zadania R

2 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Zbiory liczb Zbiór liczb naturalnych Liczby 0, 1, 2, 3, itd. (liczba zero czasami nie jest zaliczana do liczb naturalnych). Oznaczamy go literą N. Dzielnik. Liczba naturalna m 0 jest dzielnikiem liczby naturalnej n wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz n : m jest liczbą naturalną. Cechy podzielności Liczba naturalna jest podzielna przez: - 2, gdy ostatnią cyfrą jest jedna z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8, - 3, gdy suma cyfr jest podzielna przez 3, - 5, gdyz ostatnia cyfra to 0 lub 5, - 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Liczby parzyste Liczby podzielne przez 2. Możemy je przedstawić w postaci n p = 2n gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby nieparzyste Liczby niepodzielne przez 2. Możemy je przedstawić w postaci n np = 2n + 1. Liczby pierwsze Liczby, którektóre są podzielne tylko przez liczbę 1 i siebie samą. Zbiór liczb całkowitych Liczby naturalne dodatnie (1, 2, 3,...), liczby przeciwne do nich (-1, -2, -3,...) oraz liczba zero. Oznaczamy go literą C. Wyżej wymienione własności odnoszą się również do liczb całkowitych. Zbiór liczb wymiernych Ułamki, czyli liczby powstałe w wyniku podzielenia liczby całkowitej (nazywanej licznikiem) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną mianownikiem). Dwa różne ułamki mogą przedstawiać tę samą liczbę wymierną (np. 1 = 2 ). Oznaczamy go 3 6 literą W. Zbiór liczb rzeczywistych Zawiera wcześnie przedstawione zbiory liczb plus zbiór liczb niewymiernych, tj. takich których nie można przedstawić jako liczby wymiernej (np. 2, rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe). Oznaczamy go literą R. Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Podaj wszystkie dzielniki liczby Podaj wszystkie dzielniki liczby 12, które są liczbami pierwszymi. 3. Jak wyżej dla liczby Zapisz następujące liczby we właściwej postaci 2n lub 2n + 1 :99, 44, 125, 59, 60. Podkreśl liczby parzyste. 5. Które z liczb: 2, 3, 5, 9 są dzielnikami liczb: 256, 294, 405, 588, 648? 6. Podaj wszystkie liczby pierwsze spełniające poniższe warunki: a) są parzyste, b) są mniejsze od 15, c) są mniejsze od 30.

3 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Rozłóż na czynniki pierwsze liczby 120 i 512. Przykład dla 150: Oblicz: a) 15 + ( 35) b) 15 ( 45) c) 24 ( 2) d) ( 1) ( 1) e) 1 ( 1) 1.2. Liczba Zapis liczb Liczby mogą być przedstawione w różny sposoób, jako: Ułamek właściwy - ułamek, który jest mniejszy od jedności, np Ułamek niewłaściwy - ułamek, który jest równy lub większy od jedności, np. 4 4, 4 3. Liczba mieszana - liczba składająca się z części całkowitej i ułamkowej, np Należy pamiętać, że oznacza ona sumę części całkowitej i ułamkowej i jeśli używamy takich liczb w obliczeniach, to może być potrzebna zamiana ich na ułamek niewłaściwy lub liczbę dziesiętną. Liczba dziesiętna - np. 0, lub 9, 81. Liczba dziesiętna w formacie wykładniczym - czyli iloczyn liczby dziesiętnej i całkowitej potęgi liczby 10, np. 1234, Liczba dziesiętna w formacie naukowym Zapis w postaci x 10 n, x jest nazywane mantysą i spełnia warunek 1 x < 10, a wykładnik potęgi n cechą i jest liczbą całkowitą, np. 1, Liczba dziesiętna w formacie inżynierskim Jest to format podobny do naukowego, z tym że mantysa zawiera się w przedziale < 1, 1000] a cecha jest wielokrotnością liczby 3, np. 12, Zaletą zapisu inżynierskiego jest to, że cechę można skojarzyć z przedrostkiem układu SI. Liczba przeciwna Liczbą przeciwną do liczby a jest liczba a. Liczbą przeciwną 0 jest 0, czyli 0 = 0. Odwrotność liczby Dla a 0 liczbą odwrotną jest liczba 1. Nie istnieje liczba odwrotna do a zera. Wartość bezwzględna liczby Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ona sama, a liczby ujemnej liczba do niej przeciwna, np. 5, 5 = 5, 5 ; 0 = 0 ; 3, 0 = ( 3.0) = 3, 0 ; 1 π = (1 π) = 1 + π = π 1. Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Zaznacz ułamki właściwe, ułamki niewłaściwe, liczby mieszane i liczby dziesiętne wśród następujących liczb: 1 2, 3 2, 4 4, 1,5 i Zapisz liczby 0,00043 i w postaci: a) liczby dziesiętnej w formacie wykładniczym.

4 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia b) liczby dziesiętnej w formacie naukowym. c) liczby dziesiętnej w formacie inżynierskim. 3. Dla liczb 1, 2, 1, 11 i 0,02 podaj: 4 5 a) liczbę przeciwną, b) odwrotność, c) wartość bezwzględną Ułamki Skracanie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ten sam ich wspólny dzielnik. Rozszerzanie ułamka oznacza pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę całkowitą różną od zera. Sprowadzanie dwu ułamków do wspólnego mianownika Należy znaleźć wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Może to być najmniejsza wspólna wielokrotność albo ich iloczyn. Następnie należy tak rozszerzyć oba ułamki by miały mianowniki równe wspólnej wielokrotności. Zad Sprowadź do wspólnego mianownika ułamki 1 i 1 przyjmując za wspólny mianownik a) najmniejszą wspólną wielokrotność, b) iloczyn mianowników obu 12 9 ułamków. Dodawanie (odejmowanie) ułamków - najpierw sprowadzmy ułamki do wspólnego mianownika, następnie dodajemy (odejmujemy) liczniki. Mnożenie ułamków - mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Liczby mieszane należy wcześniej zamienić na ułamki niewłaściwe. Dzielenie ułamków - dzieląc przez ułamek mnożymy przez jego odwrotność. Liczby mieszane należy wcześniej zamienić na ułamki niewłaściwe. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne - należy albo rozszerzyć ułamek tak by mianownik był potęgą liczby 10, albo podziedzielić licznik przez mianownik. Działania na ułamkach dziesiętnych - wykonując pisemne obliczenia należy pamiętać: Dodając (odejmując) ułamki dziesiętne zapisujemy je jedno pod drugim tak by pozycje dziesiętne w nich się pokrywały (przecinek powinien być pod przecinkiem). Mnożąc ułamki dziesiętne, w liczbie będącej wynikiem mnożenia, oddzielamy przecinkiem (od prawej strony) tyle miejsc, ile ich było w sumie w obu liczbach. Dzieląc ułamki dziesiętne, przed dzieleniem przesuwamy przecinek w obu liczbach tak, aby dzielnik był liczbą całkowitą. Mnożąc (dzieląc) przez potęgi 10 wystarczy przecinek przesunąć o tyle miejsc dziesiętnych, ile wynosi wykładnik potęgi - w prawo przy mnożeniu, w lewo przy dzieleniu. Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Skróć (do postaci nieskracalnej) ułamki 48, 18, 27, Oblicz a) 5 7, b) Rozszerz ułamki wpisując zamiast x odpowiednią liczbę: a) 3 = x, b) 7 = x Oblicz a) ( 1 + 2)( 3 + 1), b) ( 1 2)( 3 1) Oblicz a) , b) 1 3 : 2 3, c) Zamień na ułamek dziesiętny a) 2 5, b) 7 20, c) 3 8, d) 1 4.

5 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Wykonaj działania: a) 1,24 0,32 b) 2100, ,1 c) 128 : 0,64 d) ,1234 e) ,1234 f) : 10 4 g) : Wykonaj działania: a) a b + c d b) a b c d c) a b c d d) a b : c d 1.4. Działania arytmetyczne Podstawowe wyrażenia arytmetyczne - nazewnictwo a + b a b suma, a i b są składnikami sumy. różnica, a - odjemna, b - odjemnik. a b a b lub a : b a n iloczyn, a i b - czynniki. iloraz, a - dzielna, b - dzielnik. potęga, a - podstawa potęgi, n - wykładnik. n a pierwiastek, a - wyrażenie podpierwiastkowe, n - stopień pierwiastka. Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Podaj nazwy podanych wyrażeń oraz nazwy ich elementów składowych: a + b, a b, ab, a b, an, n a, Potęgi Potęga o wykładniku całkowitym Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę a n = a } a a {{... a} dla n > 0 n czynników a 0 = 1 dla n = 0 i a 0 nie ma sensu liczbowego 0 0.

6 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym ( n) nazywamy odwrotność potęgi a n : a n = 1 a n dla a 0 i n > 0 Własności potęg całkowitych jeśli n i m są liczbami całkowitymi, a a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, to: 1. a n a m = a n+m a n 2. a = m an m 3. (a n ) m = a n m 4. (a b) n = a n b n ( ) a n a n 5. = b b n Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Oblicz: a) 2 4, ( 2 3 )3, ( 2 5 )4, b) 1 3 (2 3 ) 3, , 5 c) ( 2 3) 3, ( 5 10 )2, d) ( 3 8) 2, 3 64, e) ( 2) 6, ( 3 8) 2, 2. Uprościć poniższe wyrażenia tak, by nie występowały potęgi o wykładnikach ujemnych: xy 2 a) (xy) x3 y, b) ( 3x 1 y 2 ) 2 2 y 6 (xy) Pierwiastki Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia) z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, której kwadrat jest równy a: Dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi: b = a jeśli a = b 2 a2 = { a gdy a 0 a gdy a < 0 Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a dla n N, n 2 to taka liczba nieujemna b, której n-ta potęga równa się a: b = n a jeśli a = b n Liczba a nazywa się liczbą podpierwiastkową. Powyższa definicja jest uogólniana na pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych: n a = n a dla a nieujemnego i n nieparzystego

7 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Własności pierwiastków Dla n i m będących liczbami naturalnymi większymi od 1 i dla a i b będących liczbami rzeczywistymi zachodzi: n 1. a b = n a n b n a n 2. b = a n b n 3. m a = n m a 4. ( n a) p = n a p Potęga o wykładniku wymiernym dla a 0 i n będącym liczbą naturalną i spełniającym warunek n 2 definiujemy: a 1 n = n a Własności potęg o wykładnikach rzeczywistych są takie same jak wcześniej podane własności potęg całkowitych, tzn. jeśli n i m są liczbami rzeczywistymi, a a i b liczbami rzeczywistymi większymi od zera, to: 1. a n a m = a n+m a n 2. a = m an m 3. (a n ) m = a n m 4. (a b) n = a n b n ( ) a n a n 5. = b b n Działania na liczbach Kolejność wykonywania działań Kolejność wykonywania działań na liczbach (dotyczy to również wyrażeń) określają nawiasy i hierarchia działań arytmetycznych. Zaczynamy od nawiasów najbardziej wewnętrznych. Wewnątrz nawiasu obowiązuje kolejność: 1. Potęgowanie i pierwiastkowanie (w kolejności występowania). 2. Mnożenie i dzielenie (w kolejności występowania). 3. Dodawanie i odejmowanie. Wzory skróconego mnożenia: 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 - kwadrat sumy. 2. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 - kwadrat różnicy. 3. a 2 b 2 = (a + b)(a b) - różnica kwadratów. 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 - sześcian sumy. 5. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 - sześcian różnicy. 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) - suma sześcianów. 7. a 3 b 3 = (a b)(a 2 ab + b 2 ) - różnica sześcianów. Prawo przemienności dla dodawania i mnożenia: a + b = b + a a b = b a Prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia.

8 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Prawo łączności dla dodawania i mnożenia: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Prawo łączności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia. Prawa rozdzielczości: 1. Prawo rozdzielczości mnożenia względem dodawania i odejmowania: a (b ± c) = a b ± a c, czyli czynnik wchodzi do środka nawiasu z sumą czy różnicą, mnożąc każdy ze składników. 2. Prawo rozdzielczości dzielenia względem dodawania i odejmowania: a ± b c = a c ± b c, czyli dzielnik wchodzi do środka nawiasu z sumą czy różnicą, dzieląc każdy ze składników. 3. Prawo rozdzielczości potęgowania (i pierwiastkowania) względem mnożenia i dzielenia (nawiasy w dwu ostatnich wzorach są przesadne): n (a b) c = a c b c ( a b ) c = a c b c (a b) = n a n b (a ) n n a = b n, b czyli wykładnik potęgi i pierwiastek wchodzą do środka iloczynu i ilorazu działając na każdy z czynników. Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Oblicz wyrażenia a) : 4 5 b) : 4 6 : 3 Sprawdź, że wartość tych wyrażeń zależy od kolejności wykonywania mnożeń i dzieleń. 2. Oblicz a) ( ) 2, b) , c) (2 + 3) Oblicz a) 1 9 : 225, b) 1 1 : Wykaż, że poniższe równości są prawdziwe (obliczając lewą i prąwą stronę). Podaj jakiego prawa dotyczy dana równość. (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) (15 20) 30 = 15 (20 30) 5 ( ) = (5 4) = =

9 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia (2 3) 2 = = = Przekształcanie równań Równanie, w uproszczeniu, to dwa wyrażenia matematyczne połączone znakiem równości. Czyli w równaniu mamy dwie strony, lewą L i prawą P, które są sobie równe. Równanie zawiera niewiadomą, którą należy wyznaczyć (czyli rozwiązać równanie). Rozwiązanie polega na przeprowadzeniu ciągu takich przekształceń równania (zachowujących znak równości pomiędzy stroną lewą i prawą), by doprowadzić do tego, że po jednej stronie równania znajdzie się niewiadoma, a po drugiej wszystkie pozostałe wielkości. W ogólności równanie może mieć jedno rozwiązanie, więcej niż jedno albo nawet nieskończenie wiele. Może też nie mieć wcale rozwiązań lub być nierozwiązywalne. Przekształcanie równań Możemy wykonywać następujące przekształcenia: 1. Dodać do obu stron lub odjąć od obu stron tę samą liczbę czy wyrażenie. 2. Pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę czy wyrażenie różne od zera. 3. Podnieść obie strony do tej samej potęgi. 4. Spierwiastkować obie strony, upewniwszy się że ich znak na to pozwala. 5. Zlogarytmować obie strony, upewniwszy się że ich znak na to pozwala. 6. Jeśli jedna ze stron jest wielomianem to można przenieść składnik wielomianu na drugą stronę, zmieniając jego znak na przeciwny. 7. Każdą ze stron możemy przekształcać niezależnie, o ile nie zmieniamy jej wartości, np. możemy stosować wzory skróconego mnożenia lub inne tożsamości, redukcję wyrazów podobnych, wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias, jednoczesne dodanie i odjęcie tej samej wartości. Proste zadania przykładowe (nie używać kalkulatorów!): 1. Rozwiąż poniższe równania, podaj zastosowane reguły przekształcania równań. a) 5x + 5 = 10 b) 4x = 8 1 c) x = 4 d) x 2 = 16 e) x + a = b 1.6. Zadania R.1 (ŁS1): 1. Znajdź wartość liczbową wyrażenia, wykonując wcześniej uproszczenia: 6a + ( a a 2 a ) : a + 2 4a a 4 2a 3 + 8a 16 dla a = 2 1 2

10 1. Sprawność rachunkowa. Zajęcia Znajdź wartość liczbową wyrażenia, wykonując wcześniej uproszczenia: ( a 1 a + 1 a + 1 ) ( 1 a 1 2 a 4 1 ) 4a dla a = Znajdź wartość liczbową wyrażenia, wykonując wcześniej uproszczenia: ( (n ) : n 2 n 3 + 4n 2 ) + 4n n 3n 2 12n dla n = Mając dany układ równań: v k = v 0 + at S = v 0 t + at2 2 wyznacz a i t. Pozostałe wielkości przyjmij za dane. 5. Mając dany układ równań: v k = v 0 + at E = mv2 k 2 wyznacz a i v k. Pozostałe wielkości przyjmij za dane. 6. Mając dany układ równań: { vk = v 0 + at ma = mg T qe wyznacz a i E. Pozostałe wielkości przyjmij za dane. 7. Mając dany układ równań: { ax + by = 2ab bx + ay = 0 gdzie a 2 b 2 0 wyznacz x i y. Pozostałe wielkości przyjmij za dane. 8. Mając dany układ równań: x + y = 7 x + z = 3 y + z = 2 wyznacz x, y i z. 9. Mając dany układ równań: wyznacz x, y i z. 2x + 3y z = 2 3x 5y + z = 2 x + 2z = 8

11 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd Fizyka Czym jest fizyka? Fizyka jest nauką zajmującą się odkrywaniem i poznawaniem podstawowych praw przyrody. Prawa te pozwalają na wytłumaczenie prawie wszystkich znanych obecnie zjawisk fizycznych. Fizyka m.in. odkryła z jakich składników składa się materia (protony, neutrony, elektrony, fotony, kwarki itd.) i jakim oddziaływaniom one podlegają (grawitacyjnym, elektromagnetycznym, słabym i silnym). Fizyka jest nauką empiryczną (doświadczalną), jakkolwiek istnieje też fizyka teoretyczna. Fizyka opisuje zjawiska fizyczne przy pomocy wielkości fizycznych, które wyrażone są poprzez wielkości matematyczne, takie jak liczba (skalar) i wektor (a również nie omawiany tu tensor). Fizyka jest też podstawą nauk przyrodniczych i technicznych. Zad Wymień działy fizyki i i krótko je scharakteryzuj Wielkości fizyczne Co to są wielkości fizyczne? Wielkościami fizycznymi nazywamy właściwości ciał lub zjawisk, które można określić ilościowo, czyli zmierzyć. Zad Podaj przykłady wielkości, które są wielkościami fizycznymi, i które nimi nie są. Pomiar jest to porównanie danej wielkości fizycznej z wielkością fizyczną tego samego rodzaju, będącą wzorcem (jednostką miary). Np. pomiar masy na wadze szalkowej (zwróć uwagę na rolę odważników). Zwykle pomiary wykonujemy przy pomocy przyrządu pomiarowego, z którego odczytujemy wynik pomiaru (nie zajmujemy się sami szcegółami porównywania wielkości fizycznych). Błąd pomiaru pomiar każdym przyrządem obarczony jest pewnym błędem, zwanym błędem pomiaru (albo niepewnością pomiaru ta nazwa obecnie staje się obowiązująca). Zad Podaj błąd pomiaru linijki milimetrowej, zegarka naręcznego i termometru lekarskiego, uzasadnij. Wielkość fizyczna skalarna wielkość fizyczna, do określenia której potrzebna jest jedna liczba. Zad Podaj przykłady wielkości skalarnych. Wielkość fizyczna wektorowa wielkość fizyczna, którą określamy podając:

12 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd Kierunek (tj. prosta, na której wektor leży). 2. Zwrot (tj. w którą stronę skierowany jest wektor, określa go strzałka wektora). 3. Wartość (długość wektora). 4. W pewnych tylko przypadkach: punkt przyłożenia (zaczepienia), np. siła jest przyłożona do określonego ciała. Zad Podaj przykłady wektorowych wielkości fizycznych. Wielkości podstawowe Wielkości fizyczne nie definiowane przez inne wielkości fizyczne. Np. w mechanice są to długość, masa, czas. Zad Podaj przykłady innych (nie mechanicznych) wielkości podstawowych. Wielkości pochodne Wielkości fizyczne wyrażone przez inne wielkości (poprzez definicję). Na przykład: Gęstość ϱ jest to stosunek masy substancji m do objętości V jaką zajmuje: ϱ = m V Zad Podaj przykłady wielkości pochodnych i ich definicje. Wzorce wielkości fizycznych - są to jednostki miary podstawowych wielkości fizycznych. Przykłady: metr (m) - jednostka długości, zdefiniowany początkowo (1889 r.) jako odległość pomiędzy dwiema kreskami na specjalnym szablonie wykonanym ze stopu PtIr, obecnie jako droga 1 jaką przebywa światło w próżni w czasie równym s, sekunda (s) - jednostka czasu, początkowo zdefiniowana jako część doby, obecnie jako ilość drgań określonego promieniowania emitowanego przez izotop cezu 133 Cs, równa okresów, kilogram (kg) - jednostka masy, początkowo zdefiniowana jako masa wody o objętości 1 litra, obecnie jako masa wzorca wykonanego ze stopu PtIr. Układ jednostek SI - międzynarodowy układ jednostek fizycznych. Oprócz jednostek już wymienionych zawiera: amper (A) - jednostka natężenia prądu elektryczycznego (zdefiniujemy i wyjaśnimy ją później), kelwin (K) - jednostka temperatury, jw, kandela (cd) - jednostka światłości stosowana w optyce, mol (mol) - jednostka liczności substancji (powinna być znana z chemii), radian (rd) - jednostka kąta płaskiego, steradian (sr) - jednostka kąta bryłowego. Uzup Przerysuj do rys. 2.1 definicję radiana i steradiana.

13 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd. 13 Rysunek 2.1. Definicja radiana i steradiana. Jednostki pozaukładowe (wybrane jednostki): kaloria (cal) - 1 cal = 4,1868 J, jednostka stosowana w opisie żywności (jako wartość energetyczna), często mylona w literaturze z kcal (tj. z 1000 cal). stopień Celsjusza ( C) - jednostka skali temperatur, w której: 0 C temperatura zamarzania wody, 100 C temperatura wrzenia wody w warunkach normalnych. koń mechaniczny (KM lub HP) 1 KM = 735,5 W. Jednostki wielokrotne, przedrostki SI: Tabela 2.1. Wybrane przedrostki układu SI i przykłady jednostek wielokrotnych Przedrostek Skrót Mnożnik Przykład jednostki wielokrotnej Znaczenie tera T terametr 1 Tm = m giga G 10 9 gigahertz 1 GHz = 10 9 Hz mega M 10 6 megahertz kilo k 10 3 kilometr hekto h 10 2 hektopascal deka da 10 dekagram decy d 10 1 decymetr mili m 10 3 milimetr mikro µ 10 6 mikrometr nano n 10 9 nanometr piko p pikometr femto f femtometr Zad Uzupełnij ostatnią kolumnę w tabeli 2.1.

14 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd. 14 Przeliczanie jednostek: Zad Przelicz km h na m s i odwrotnie. Zapisz w rys Rysunek 2.2. Przeliczanie jednostek Działania na wektorach Uzup Wypełnij poniższe rysunki.

15 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd. 15 Rysunek 2.3. Przesunięcie równoległe wektorów. Wektor przeciwny. Rysunek 2.4. Mnożenie i dzielenie wektora przez skalar.

16 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd. 16 Rysunek 2.5. Dodawanie i odejmowanie wektorów metodą równoległoboku. Rysunek 2.6. Dodawanie i odejmowanie wektorów metodą wieloboku.

17 2. Wiadomości wstępne. Zajęcia 2 3 cd. 17 Rysunek 2.7. Rozkład wektora na składowe i rzutowanie wektora na osie. Rysunek 2.8. Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów.

18 3. Kinematyka. Zajęcia nr 4 5 Kinematyka jest działem mechaniki klasycznej zajmującym się opisem ruchu mechanicznego ciał bez rozpatrywania przyczyn powstania czy zmian ruchu. Ruch mechaniczny to najprostszy rodzaj ruchu polegający na zmianie wzajemnego położenia ciał w przestrzeni z biegiem czasu Powtórzenie podstawowych pojęć i wielkości kinematycznych Układ odniesienia jest to układ ciał, które traktujemy jako nieruchome i względem którego określamy położenie ciała. Prz Peron, brzeg rzeki, kartezjański układ współrzędnych prostokątnych. Zad Narysuj kartezjańskie układy współrzędnych: jedno, dwu i trójwymiarowe. Zaznacz punkt A i określ jego współrzędne. Ruch Ruchem nazywamy zachodzącą w czasie zmianę położenia ciała względem wybranego układu odniesienia. Prz Człowiek stojący w jadącej windzie względem windy znajduje się w spoczynku, względem ścian budynku porusza się. Względność ruchu oznacza, że to samo ciało może w zależności od wyboru układu odniesienia znajdować się w stanie spoczynku albo w ruchu. Punkt materialny ciało, które posiada masę i którego rozmiary można zaniedbać, przez co możemy je traktować jak punkt matematyczny obdarzony masą. Tor ruchu linia jaką zakreśla poruszający się punkt materialny (albo punkt znajdujący się na poruszającym ciele) Określenie położenia i ruchu przy pomocy współrzędnych. W zależności od tego czy ruch odbywa się po linii prostej, na płaszczyźnie czy w przestrzeni, rozróżniamy następujące przypadki (p. dalej Rysunek 3.1): 1. Ruch, który odbywa się po linii prostej opisujemy na osi x leżącej na tej prostej. Współrzędna x określa położenie punktu, a jego ruch przedstawia funkcja x(t). 2. Ruch na płaszczyżnie opisujemy przy pomocy kartezjańskiego układu współrzędnych x,y. Położenie punktu przedstawiaą współrzędne x i y, a jego ruch funkcje x(t) i y(t). 3. Ruch w przestrzeni opisujemy przy pomocy trójwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z. Położenie punktu przedstawiają współrzędne x, y, z, a jego ruch funkcje x(t), y(t), z(t). Wektor położenia i wektor przemieszczenia. (Patrz dalej Rysunek 3.2) Położenie ciała (czy punktu materialnego) w punkcie A możemy przedstawić wektorowo wektorem położenia r A (stosowane jest też określenie wektor wodzący). Jest to wektor poprowadzony ze środka układu współrzędnych do punktu A.

19 3. Kinematyka. Zajęcia nr Rysunek 3.1. Ciało przemieściło się z punktu A do B. Rysunek przedstawia współrzędne ciała w punkcie A i punkcie B w układzie jedno, dwu i trójwymiarowym. Zwróć uwagę jak są wyznaczane współrzędne. Przemieszczenia ciała z punktu A do punktu B przedstawiamy wektorem przemieszczenia r poprowadzonym z punktu A do B. Wartość wektora przemieszczenia jest równa długości odcinka łączącego punkty A i B. Rysunek 3.2. Na lewym rysunku przedstawiono wektor położenia (wodzący) i jego składowe. Na prawym wektor przemieszczenia oraz dwie różniące się długością drogi między punktami A i B. Zwróć uwagę, że wektor przemieszczenia jest ten sam dla każdej z nich. Opis wektorowy ruchu Wektor położenia jest funkcją czasu r A (t) const (jeśliby był równy stałej mielibyśmy do czynienia ze spoczynkiem, a nie ruchem). Opis wektorowy ruchu jest wygodniejszy od opisu skalarnego (tj. przy pomocy wspórzędnych) gdyż posługujemy się jedną wielkością r A (t) a nie np. trzema x(t), y(t) i z(t) (jak w przypadku ruchu w przestrzeni). Opis wektorowy jest poza tym bardziej ogólny. Droga s Jest to długość toru jaki przebyło ciało podczas ruchu. W ruchu prostoliniowym postępowym (tzn. bez zawracania) droga jest równa wartości wektora przemieszczenia, w pozostałych przypadkach jest zawsze większa, czyli s r Prędkość średnia wektor v śr = r t, gdzie r = r B r A, wektor przemieszczenia, t = t B t A, czas trwania przemieszczenia.

20 3. Kinematyka. Zajęcia nr Szybkość średnia Wielkość skalarna, zależna od toru ruchu ciała. W odróżnieniu od prędkości bierzemy drogę, a nie wielkość przemieszczenia: v = s t gdzie s - droga (tj. długość toru) przebyta przez ciało, a t - czas w jakim to nastąpiło. Prędkość chwilowa Prędkość ciała w danej chwili, czyli dla danej wartości czasu t: r v = lim t 0 t = d r dt Wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru ruchu ciała. Jednostka prędkości [v] = m s, inna zapisywana jako godz km lub km h. Zad Przeliczyć m s na Zad Przeliczyć km godz. km godz na m s. Zad Dla ruchu prostoliniowego narysować na osi x punkty A i B, ich wektory położenia, wektor przemieszczenia i drogę dla przypadku gdy ruch jest w kierunku dodatnim osi x i dla przypadku ruchu w stronę przeciwną. Przyśpieszenie średnie jest to stosunek przyrostu prędkości prędkości v do czasu t, w którym ten przyrost nastąpił: a śr = v t, gdzie v = v B v A, wektor zmiany prędkości, t = t B t A, czas w jakim zmieniła się prędkość. Rysunek 3.3. Wielkości do wyznaczenia przyśpieszenia średniego. Przyśpieszenie chwilowe Jest to wartość przyśpieszenie dla danej chwili czasu t: Jednostka przyśpieszenia [v] = m s 2. v a = lim t 0 t = d v dt

21 3. Kinematyka. Zajęcia nr Ruch złożony Mamy nieruchomy układ odniesienia K i poruszający się względem niego z prędkością V układ ruchomy K (tę prędkość nazywamy prędkością unoszenia). Ciało A porusza się względem układu K z prędkością v, natomiast względem nieruchomego układu K porusza się z prędkością v = V + v Prz Rozpatrzmy pociąg jadący z prędkością V względem Ziemi. Ziemia jest nieruchomym układem odniesienia K, natomiast pociąg jest układem K poruszającym się z prędkością unoszenia. W pociągu ciało A porusza się z prędkością v względem pociągu, względem Ziemi jego prędkość wynosi v. Sporządź rysunek. Zad Oblicz prędkość ciała względem Ziemi jeśli V = 30 m s, a prędkość v = 5 m s i jest skierowana zgodnie z kierunkiem ruchu pociągu. Sporządź rysunek. Zad Oblicz prędkość ciała względem Ziemi jeśli V = 30 m s, a prędkość v = 40 m s i jest skierowana prostopadle do kierunku ruchu pociągu. Sporządź rysunek. Prędkość względna. Przykład: mamy nieruchomego obserwatora związanego z drogą. Samochód A porusza się z prędkością v A, a samochód B z prędkością v B (obie prędkości względem drogi). Prędkością względną samochodu B względem samochodu A jest prędkość v BA = v B v A Możemy przedstawić powyższy przykład jako ruch złożony v B = v A + v BA w którym droga jest nieruchomym układem odniesienia K, samochód A jest poruszającym się układem odniesienia K, v A jest prędkością unoszenia V, a v BA prędkością v samochodu B w układzie K. Zad Przedstaw ten przykład na rysunku. Zad Samolot A leci z prędkością 1500 godz km, a samolot B z prędkością 1505 km godz w tym samym kierunku. Oblicz prędkość samolotu B względem A w przypadku, gdy: a) samolot B oddala się, b) gdy się zbliża do samolotu A. Naszkicuj odpowiednie rysunki. Zad Samolot A leci z prędkością 300 godz km, a samolot B z prędkością 400 km godz prostopadle do kierunku prędkości samolotu A. Oblicz prędkość samolotu B względem A. Naszkicuj odpowiedni rysunek Ruch prostoliniowy Z uwagi na kształt toru wszystkie ruchy możemy podzielić na dwa rodzaje: ruchy prostoliniowe i ruchy krzywoliniowe. Drugie kryterium klasyfikacji to zależność prędkości od czasu, gdzie mamy trzy możliwości: prędkość jest stała, prędkość zmienia się w czasie w najprostszy sposób, czyli jednostajnie (wprost proporcjonalnie do czasu), prędkość zależy od czasu w bardziej złożony sposób (określamy go jako niejednostajny)

22 3. Kinematyka. Zajęcia nr Mamy zatem następujące rodzaje ruchów prostoliniowych: Ruch jednostajny prostoliniowy, v = const 0, zatem a = 0 Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy, a = const 0, zatem też v const Ruch niejednostajnie zmienny prostoliniowy, a const, zatem też v const Ruch jednostajny prostoliniowy Charakterystyka: z powyzszego wynika, że dla ruchu jednostajnego prostoliniowego: wektor prędkości jest stały, czyli jego wartość jest stała i nie zmienia się jego kierunek, tym samym nie ulega zmianie też zwrot wektora prędkości, prędkości chwilowa i średnia są tożsame, droga i przemieszczenie (tj. wartość wektora przemieszczenia) są sobie równe. Wzory: jest tylko jeden wzór w dwu wariantach przedstawiający zależność współrzednej x lub drogi s od czasu t: x = vt lub s = vt x = x 0 + vt lub s = s 0 + vt wzór w drugim wierszu dotyczy przypadku gdy w chwili początkowej (tj. dla t = 0) ciało nie znajduje się w początku układu odniesienia. Możliwa jest jeszcze bardziej złożona postać wzoru jeśli chwila początkowa t 0 nie jest równa zeru, nie będziemy się jednak nią zajmować. Zad Wyjaśnij czym się różnią oba wzory (wskazówka: wstaw t = 0). Zad Sporządź wykresy v(t), zwróć uwagę, że pole pod linią wykresu jest drogą jaką ciało przebyło w czasie t, jest to bardzo ważna informacja: droga (w ogólności wielkość przemieszczenia) jest równa polu pod krzywą na wykresie v(t) (w naszym przypadku ta krzywa jest linią prostą). Zad Naszkicuj wykresy x = vt, x = x 0 + vt, x = x 0 vt, x = x 0 + vt, na jednym z nich zaznacz x i t Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Charakterystyka: w ruchu jednostajnie zmiennym wielkością, która się jednostajnie zmienia jest prędkość. Właściwości tego ruchu są następujące: wektor przyśpieszenia jest stały (tj. stała jest jego wartość i kierunek), przyśpieszenie średnie i chwilowe są tożsame, kierunek wektora przyśpieszenia i wektora prędkości jest taki sam, gdy zwroty wektorów są zgodne ruch jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym (prędkość jednostajnie rośnie), gdy przeciwne ruchem jednostajnie opóźnionym (prędkość jednostajnie maleje, osiąga wartość zerową, zmienia znak i ruch dalej staje się ruchem jednostajnie przyśpieszonym). Wzory: w zależności od wartości początkowych (tj. dla chwili t = 0) położenia x 0 i prędkości v 0 mamy wzory na prędkość v i współrzędną położenia x (często zamiast współrzędnej używamy drogi s): v = at lub v = v 0 + at x = 1 2 at2 lub x = v 0 t at2 lub x = x 0 + v 0 t at2 s = 1 2 at2 lub s = v 0 t at2 lub s = s 0 + v 0 t at2

23 3. Kinematyka. Zajęcia nr Zad wychodząc z definicji przyśpieszenia wyprowadź powyższy wzór na prędkość. Zad Naszkicuj wykresy v = at, v = v 0 + at, v = v 0 + at i v = v 0 at, na jednym z nich zaznacz v i t. Zad Na powyższych wykresach zaznacz pola pod prostą v(t) w przedziale t = 0 i t i wyprowadź wzór na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym (wskazówka: droga jest polem powierzchni pod wykresem v(t)) Zad Naszkicuj wykresy x = 1 2 at2, x = v 0 t at2 i x = x 0 + v 0 t 1 2 at Zadania R.3 (ŁS2): 1. Statek płynie z portu A do portu B z prądem rzeki w czasie t 1 = 8 h, a czas rejsu powrotnego wynosi t 2 = 16 h. Ile czasu płynęłaby tratwa z portu A do portu B? 2. Punkt materialny porusza się jednostajnie z punktu A(3m, 1m) do punktu B(7m, 9m) w prostokątnym układzie współrzędnych w czasie t = 4 s. Oblicz współrzędne wektora prędkości v = [v x, v y ] i jego wartość. 3. W czwartej sekundzie ruchu jednostajnie zmiennego bez prędkości początkowej ciało przebyło drogę s = 2 m. Jaką prędkość osiągnie to ciało pod koniec siódmej sekundy ruchu? 4. Autobus poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością v 1 = 20 m s. W chwili gdy przejeżdżał koło stojącego samochodu, samochód ruszył ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 2 m s. 2 a) Kiedy i gdzie samochód dogoni autobus? b) Jaka będzie prędkość samochodu w momencie spotkania z autobusem? c) Narysuj zależności prędkości i drogi od czasu dla samochodu i dla autobusu oraz zaznacz punkt spotkania na tych wykresach. d) Jaką drogę przebędzie samochód w czwartej sekundzie ruchu? 5. Zależność wektora położenia ciała od czasu dana jest wzorem r(t) = [t, 2t t2]. Oblicz wartości bezwzględne prędkości początkowej i przyspieszenia. 6. Kamień rzucono pionowo do góry z taką prędkością, że spadł na powierzchnię ziemi po t = 8 s. a) Oblicz tę prędkość. b) Ułóż równanie ruchu. c) Narysuj wykres y(t) i v(t), zaznacz na obu wykresach chwilowe zatrzymanie się kamienia. 7. Ruch ciała opisano równaniem x(t) = t 0, 5t 2. Napisz równanie v(t). Kiedy i gdzie ciało się zatrzyma? 8. Dwa ciała poruszały się ruchem opisanym równaniami x 1 (t) = 2 + t + 2t 2 i x 2 (t) = 4 + t. Jakim ruchem porusza się drugie ciało względem pierwszego? Kiedy i gdzie ciała się spotkają? 9. Obliczyć wypadkową dwóch sił P = 400 N i Q = 240 N zaczepionych w jednym punkcie i działających wzdłuż ramion kąta Obliczyć wypadkową trzech równych sił po P = 10 N każda, zaczepionych w jednym punkcie i wzajemnie prostopadłych. (ŁS4): 1. Wyprowadź równanie ruchu dla rzutu ukośnego.

24 3. Kinematyka. Zajęcia nr Wyprowadź równanie toru dla rzutu ukośnego. 3. Z dachu budynku o wysokości h = 40 m rzucono ciało w kierunku poziomym, nadając mu prędkość początkową v 0 = 35 m/s. W jakim punkcie ciało spadnie na ziemię? 4. Z wysokości h = 90 m rzucono ciało w kierunku poziomym, nadając mu prędkość v 0 = 55 m/s. Obliczyć prędkość ciała w momencie uderzenia w ziemię oraz kąt pod jakim ciało uderzyło w powierzchnię ziemi. 5. Pod jakim kątem należy rzucić ciało, aby zasięg rzutu był dwa razy większy od osiągniętej wysokości? 6. Pod jakim kątem do poziomu należy rzucić ciało, aby osiągnęło wysokość h = 45 m i aby zasięg rzutu był s = 120 m? Z jaką prędkością początkową należy rzucić to ciało? 7. Z prędkością początkową v 0 = 60 m/s wystrzelono rakietę pod kątem α = 80 do poziomu. Oblicz a) na jaką wysokość wzniesie się ta rakieta, b) gdzie spadnie, c) jak długo będzie widoczna. 8. Dwa ciała spadają z pewnej wysokości, lecz drugie rozpoczęło ruch o 2 sekundy później. Po ilu sekundach odległość między nimi podwoi się. 9. Z jaką prędkością należy rzucić ciało pionowo do góry, żeby po upływie czasu t = 3 s dotarło do wysokości h = 100 m? Jaką wysokość osiągnie to ciało do momentu zatrzymania się? 10. ( ) Plusk kamienia puszczonego do studni usłyszano po upływie czasu t = 3, 6 s od momentu puszczenia kamienia. Oblicz głębokość studni. Prędkość fal głosowych v d = 336 m/s.