Zakładamy, że maszyna ma jeden stan akceptujacy.
|
|
- Karolina Alicja Ostrowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Złożoność pamięciowa Rozważamy następujac a maszynę Turinga: Taśma wejściowa (read only) Taśma robocza (read/write) Taśma wyjściowa (write only) q i Zakładamy, że maszyna ma jeden stan akceptujacy.
2 Złożoność pamięciowa Niech L {0, 1} będzie językiem i c > 0 pewna stała. Mówimy, że L SPACE(S(n)) jeżeli istnieje DTM rozstrzygajaca L, która wykorzystuje nie więcej niż cs(n) komórek taśmy roboczej dla każdego słowa wejściowego x o długości n. Niech L {0, 1} będzie językiem i c > 0 pewna stała. Mówimy, że L NSPACE(S(n)) jeżeli istnieje NTM rozstrzygajaca L, która wykorzystuje nie więcej niż cs(n) komórek taśmy roboczej dla każdego słowa wejściowego x o długości n w każdej ścieżce obliczeń. Uwaga: NTM rozstrzyga L jeżeli każda ścieżka obliczeń jest skończona.
3 Złożoność pamięciowa Uwagi: Pamięć (w przeciwieństwie do czasu) jest zasobem odnawialnym, tj. jedna komórka może być wykorzystywana wielokrotnie. Można łatwo skonstruować DTM, która nie kończy pracy i zużywa 1 komórkę pamieci. Komórki taśmy wejściowej i wyjściowej (dla problemów decyzyjnych wystarczy 1 komórka wyjściowa) nie licza się do złożoności pamięciowej. Ma więc sens rozważać np: klasę SPACE(log n).
4 Klasy złożoności pamięciowej PSPACE = c>0 SPACE(n c ) NPSPACE = c>0 NSPACE(n c ) L = SPACE(log n) NL = NSPACE(log n)
5 Złożoność pamięciowa Obserwacja 1 Obliczenia NTM na słowie x można przedstawić w postaci grafu konfiguracji. Wierzchołkami garfu sa konfiguracje c i istnieje łuk od c i do c j jeżeli konfigurację c j można osiagn ać z c i. Słowo jest akceptowane wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ścieżka od stanu poczatkowego do akceptujacego w grafie konfiguracji. Obserwacja 2 Liczba możliwych konfiguracji maszyny Turinga zużywajacej nie więcej niż S(n) komórek taśmy roboczej i jednej komórki taśmy wyjściowej dla słowa wejściowego o rozmiarze n jest nie większa niż 2 O(S(n)).
6 Złożoność pamięciowa K-OSIAGALNOŚĆ (K-REACHABILITY) Zadany jest graf skierowany G = (V, A). Czy w G istnieje ścieżka między dwoma zadanymi wierzchołkami s i t składajaca się z nie więcej niż k wierzchołków? Twierdzenie Problem K-OSIAGALNOŚĆ można rozwiazać w pamięci c 1 log V + c 2 log V log k, gdzie c 1, c 2 sa stałymi. Zatem można sprawdzić czy istnieje ścieżka od s do t w pamięci O(log 2 V ), pomijajac pmięć potrzebna do zakodowania grafu.
7 Klasy złożoności pamięciowej Twierdzenie L NL P NP PSPACE NPSPACE EXP Nietrywialnymi inkluzjami sa: NL P NP PSPACE NPSPACE EXP
8 Klasy złożoności pamięciowej Dowód NL P. Niech L NL. Obliczenia odpowiedniej NDTM można przedstawić w postaci grafu konfiguracji: n log n c 2 c 0 c 1 c 3 c m 1 0 c i = (10q , 10110q0, 0) 1 Liczba wszystkich konfiguracji wynosi 2 O(log n) zatem jest wielomianowa. 2 Graf konfiguracji można skonstruować w czasie wielomianowym i można w czasie wielomianowym sprawdzić czy istnieje ścieżka od c 0 do konfiguracji akceptujacej c m. Zatem L P. 3 Dowód NPSPACE EXP jest analogiczny.
9 Klasy złożoności pamięciowej Dowód NP PSPACE. Niech L NP. Konstruujemy DTM, która działa następujaco: dla danego słowa wejściowego x, na taśmie roboczej zapisywane sa kolejno certyfikaty u 1, u 2,..., przy czym kolejny certyfikat nadpisuje poprzedni. Wymaga to wielomianowej pamięci na taśmie roboczej. Maszyna następnie weryfikuje certyfikat w czasie wielomianowym co może wymagać dodatkowej pamięci wielomianowej na taśmie roboczej. Zatem maszyna potrzebuje pamięci wielomianowej na taśmie roboczej i L PSPACE. n x {0, 1}, x = n n k u i {0, 1}, u u i n k 1 0
10 Klasy złożoności pamięciowej Twierdzenie (Savitch 1970) PSPACE = NPSPACE Dowód: Niech L NSPACE(S(n)). Dla zadanego słowa x {0, 1} rozpatrujemy graf konfiguracji dla odpowiedniej NTM rozstrzygajacej L. Graf konfiguracji ma nie więcej niż 2 O(S(n)) wierzchołków. Nie musimy konstruować całego grafu, wystarczy że potrafimy zidentyfikować następniki każdej konfiguracji. Aby sprawdzić czy x L trzeba sprawdzić czy istnieje ścieżka od c 0 do konfiguracji c m ze stanem akceptujacym składajaca się z nie więcej niż 2 O(S(n)) wierzchołków. Na mocy poprzedniego twierdzenia można to zrobić w pamięci c 1 O(S(n))+c 2 O(S(n) 2 )) = O(S(n) 2 ). Zatem L SPACE(S(n) 2 ). Stad łatwo wynika twierdzenie Savitcha.
11 Obserwacja Jeżeli P = PSPACE, to P = NP. Nie wiemy czy P = PSPACE ale zakłada się, że P PSPACE a nawet NP PSPACE. Implikacja odwrotna nie musi być prawdziwa, czyli jest możliwe P = NP ale P PSPACE.
12 Język L jest PSPACE-zupełny jeżeli L PSPACE i L p L dla każdego L PSPACE. Obserwacja Jeżeli jakiś język PSPACE-zupełny jest w P, to PSPACE=P.
13 TQBF Zadana jest wyrażenie (zdanie logiczne) postaci Q 1 x 1 Q 2 x 2...Q n x n φ(x 1,...,x n ), gdzie Q i jest jednym z dwóch kwantyfikatorów, a φ jest formuła logiczna. Pytamy czy wyrażenie to jest prawdziwe. Przykłady: x 1 x 2 [(x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )] - prawda x 1 x 2 [(x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )] - fałsz Problem x 1 x 2... x n Problem x 1 x 2... x n jest w conp. φ(x 1,...,x n ) jest równoważny SAT i jest w NP. φ(x 1,...,x n ) jest równoważny TAUTOLOGY i
14 Twierdzenie Problem TQBF jest PSPACE-zupełny.
15 TQBF GAME Plansza gry jest formuła logiczna φ(x 1,...,x 2n ). Dwóch graczy na przemian ustala wartość logiczna zmiennych x 1, x 2,...,x 2n, w ten sposób, że pierwszy gracz ustala wartość nieparzystych zmiennych a gracz drugi parzystych. Pierwszy gracz wygrywa jeżeli pod koniec gry wartość formuły będzie prawdziwa. Czy pierwszy gracz ma strategię wygrywajac a, tj. czy następujace zdanie jest prawdziwe? x 1 x 2 x 3... x 2n φ(x 1,...,x n ) TQBF GAME jest PSPACE-zupełny. Wielomianowy algorytm weryfikujacy strategię wygrywajac a nie jest znany (gdyby istniał to PSPACE = NP). Strategia jako poddrzewo drzewa gry ma rozmiar wykładniczy.
16 Przykładowa rozgrywka i strategia wygrywajaca gracza 1:
17 Inne problemy (gry) PSPACE-zupełne: KÓŁKO I KRZYŻYK Zadana jest plansza o rozmiarach m na n. Gracz 1 stawia na planszy kółka a gracz 2 krzyżyki. Zaczyna gracz 1. Wygrywa ten z graczy, który jako pierwszy ułoży k sasiednich kółek (krzyżyków) w jednym wierszu. Czy gracz 1 ma strategię wygrywajac a? REVERSI Zadana jest plansza o rozmiarach n na n. Gracze na przemian ustawiaja kostki w swoich kolorach na planszy. Kiedy gracz i umieszcza swoja kostkę, wszystkie linie kostek drugiego gracza znajdujace się między jakaś kostka gracza i a kostka umieszczona zmieniaja kolor. Wygrywa gracz, który po zapełnieniu planszy ma na niej więcej kostek swojego koloru.
18 PARZYSTOŚĆ (EVEN) Czy zadana liczba p jest parzysta? Łatwo sprawdzić, że PARZYSTOŚĆ L. Intuicyjnie, w klasie L sa problemy, które wymagaja zapamiętania tylko stałej liczby indeksów (liczb całkowitych). Twierdzenie Jeżeli L jest językiem regularnym, to L SPACE(O(1)) L.
19 Twierdzenie 2 OSIAGALNOŚĆ SPACE(log 2 n) OSIAGALNOŚĆ NSPACE(log n)=nl Otwarty problem OSIAGALNOŚĆ L (?) Twierdzenie (Reingold 2008) Jeżeli zadany graf jest nieskierowany (równoważnie dla każdego (i, j) A istnieje (j, i) A), to OSIAGALNOŚĆ L.
20 Dowód Twierdzenia 2: punkt pierwszy wynika od razu z twierdzenia podanego wcześniej. Aby udowodnić punkt drugi rozpatrzmy obliczenia nideterministyczne: Ścieżkę obliczeń kończymy w stanie akceptujacym jeżeli osiagnięto wierzchołek t i w stanie nieakceptujacym jeżeli w n krokach nie osiagnięto t. Każda ścieżka ma więc długość co najwyżej n i wymaga zapamiętania tylko indeksu bieżacego wierzchołka i licznika wierzchołków.
21 Język L jest redukowalny w pamięci logarytmicznej do języka L (co oznaczamy jako L l L ) jeżeli istnieje funkcja f obliczalna w pamięci logarytmicznej, taka że x L f(x) L. Język L jest NL-zupełny jeżeli L NL i każdy język L NL jest redukowalny w pamięci logarytmicznej do L.
22 Złożoność pamięciowa Funkcja f : Σ Σ jest obliczalna w pamięci logarytmicznej jeżeli istniej DTM taka, że dla każdego x Σ, x = n, zapisanego na taśmie wejściowej maszyna kończy pracę i zapisuje f(x) Σ na taśmie wyjściowej oraz wykorzystuje nie więcej niż O(log n) komórek taśmy roboczej.
23 Twierdzenie OSIAGALNOŚĆ jest problemem NL-zupełnym. Idea dowodu: Wiemy, że OSIAGALNOŚĆ NL. Niech L NL. Istnieje więc NTM, która rozstrzyga język L w pamięci O(log n). Dla zadanego x L konstruujemy gaf konfiguracji G(x) w pamięci O(log n): x (c c i, c j ) G(x) x = n (taśma wejściowa) (c c i, c j ) = O(log n) (taśma robocza) (taśma wyjściowa) Odpowiednia DTM dla każdej pary konfiguracji (cc i, c j ) sprawdza czy istnieje łuk między nimi w G(x). Po sprawdzeniu (c c i, c j ) jest usuwana z taśmy roboczej. x L wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ścieżka od konfiguracji poczatkowej do akceptujacej w G(x). c i c j
24 Wnioski Jeżeli OSIAGALNOŚĆ L, to L = NL L = SPACE(log n) NL SPACE(log 2 n)
25 Język L conl jeżeli jego dopełnienie L NL Przykład problemu w conl: NIEOSIAGALNOŚĆ Zadany jest graf skierowany G = (V, A). Czy zadane dwa wierzchołki s i t w G nie sa połaczone żadna ścieżka? Twierdzenie (Immerman-Szelepcsenyi 1988) NL = conl
26 Podsumowanie Obecny stan wiedzy o złożoności pamięciowej/czasowej: L NL P NP PSPACE = NSPACE EXP (1) Wiemy również, że L PSPACE i P EXP. Zatem co najmniej jedna inkluzja w (1) jest ścisła. Nie wiemy jednak która chociaż powszechnie przyjmuje się, że wszystkie.
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW RELACJE MIEDZY KLASAMI ZŁOŻONOŚCI Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 KLASY ZŁOŻONOŚCI KLASE ZŁOŻONOŚCI OPISUJE SIE PODAJAC: Model
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoLogika stosowana. Ćwiczenia Złożoność obliczeniowa problemu spełnialności. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski
Logika stosowana Ćwiczenia Złożoność obliczeniowa problemu spełnialności Marcin Szczuka Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2015/2016 Marcin Szczuka (MIMUW)
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Bardziej szczegółowoZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA DEFINICJA: NIEDETERMINISTYCZNA
Bardziej szczegółowoZLOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA - WYK. 2
ZLOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA - WYK. 2 1. Twierdzenie Sipsera: Dla dowolnej maszyny M działającej w pamięci S(n) istnieje maszyna M taka, że: L(M) = L(M ), M działa w pamięci S(n), M ma własność stopu. Dowód:
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/
Bardziej szczegółowo10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
Bardziej szczegółowoStruktura danych. Sposób uporządkowania informacji w komputerze.
Struktura danych Sposób uporządkowania informacji w komputerze. Algorytm Skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania. Al-Khwarizmi perski matematyk
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa. wykład 1
Złożoność obliczeniowa wykład 1 Dwa wykłady: wtorek / środa różnice niewielkie Sprawy organizacyjne wtorek: trochę szybciej, parę dodatkowych rzeczy dedykowana grupa ćw. M. Pilipczuka - ale śmiało mogą
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoLista 6 Problemy NP-zupełne
1 Wprowadzenie Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Teoretyczne Podstawy Informatyki Lista 6 Problemy NP-zupełne Problem abstrakcyjny Q jest to relacja dwuargumentowa
Bardziej szczegółowoPorównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Bardziej szczegółowoEfektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 12: Gramatyki i inne modele równoważne maszynom Turinga. Wstęp do złożoności obliczeniowej Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 20 maja 2015 Plan 1 Gramatyki 2 Języki
Bardziej szczegółowoPROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE
PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoDopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Bardziej szczegółowoProblem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n
i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoSortowanie zewnętrzne
Algorytmy i struktury danych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Sortowanie zewnętrzne 1 Wstęp Bardzo często
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do maszyny Turinga
Wprowadzenie do maszyny Turinga Deterministyczna Maszyna Turinga (DTM) jest pewną klasą abstrakcyjnych modeli obliczeń. W tej instrukcji omówimy konkretną maszynę Turinga, którą będziemy zajmować się podczas
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
Institute of Informatics Wrocław University of Technology Poland wersja 0.9 Obliczalność f : N R { sin(1/n) gdy n jest liczba pierwsza f (n) = cos(1/n) w przeciwnym przypadku Obliczalność f : N R { sin(1/n)
Bardziej szczegółowoLista 0. Kamil Matuszewski 1 marca 2016
Lista 0 Kamil Matuszewski marca 206 2 3 4 5 6 7 8 0 0 Zadanie 4 Udowodnić poprawność mnożenia po rosyjsku Zastanówmy się co robi nasz algorytm Mamy podane liczby n i m W każdym kroku liczbę n dzielimy
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa
Złożoność obliczeniowa Jakub Michaliszyn 26 kwietnia 2017 Są problemy rozstrzygalne i nierozstrzygalne Są problemy rozstrzygalne i nierozstrzygalne Jak rozwiązywać te, które są rozstrzygalne? Są problemy
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoProblemy NP-zupełne. Spis treści. Osoba prowadząca wykład i ćwiczenia: dr inż. Marek Sawerwain. Ostatnia zmiana: 15 styczeń 2013. Notatki.
Osoba prowadząca wykład i ćwiczenia: dr inż. Marek Sawerwain Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mail : M.Sawerwain@issi.uz.zgora.pl tel. (praca) : 68 328 2321, pok.
Bardziej szczegółowowstęp do informatyki i programowania część testowa (25 pyt. / 60 min.)
egzamin podstawowy 7 lutego 2017 r. wstęp do informatyki i programowania część testowa (25 pyt. / 60 min.) Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego Paweł Rzechonek imię, nazwisko i nr indeksu:..............................................................
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoTeoria Złożoności Zadania
Teoria Złożoności Zadania Łukasz Czajka 14 czerwca 2008 1 Spis treści 1 Zadanie 1 3 2 Zadanie 5 8 2 1 Zadanie 1 Niech A NP 1. Istnieje zatem jedno-taśmowa niedeterministyczna maszyna Turinga M o alfabecie
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoProblem P = NP. albo czy informacja może. biec na skróty
Problem P = NP albo czy informacja może biec na skróty Damian Niwiński Problem P=NP? znalazł si e wśród problemów milenijnych, bo mówi coś istotnego o świecie, jego rozwiazanie wydaje sie wymagać przełomu
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 7
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Automaty... 2 Cechy automatów... 4 Łączenie automatów... 4 Konwersja automatu do wyrażenia
Bardziej szczegółowoTypy algorytmów losowych. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Typy algorytmów losowych ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Typy algorytmów losowych Las Vegas - zawsze daje prawidłowa odpowiedź (różny czas działania). Przykład: RandQuicksort ALP520
Bardziej szczegółowoModele Obliczeń. Wykład 1 - Wprowadzenie. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 1 - Wprowadzenie Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2014/2015 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2014/2015 1 /
Bardziej szczegółowoKolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.
Kolejki Kolejka priorytetowa Kolejka priorytetowa (ang. priority queue) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje na zbiorze dynamicznym, którego elementy pochodzą z określonego
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoProblem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM.
WYKŁAD : Teoria NP-zupełnoci. Problem decyzyjny naley do klasy P (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. (przynaleno ta jest zachowana równie dla
Bardziej szczegółowoKomiwojażer na płaszczyźnie
Komiwojażer na płaszczyźnie Paweł Gawrychowski Uniwersytet Wrocławski & Max-Planck-Institut für Informatik 18 marca 2014 Paweł Gawrychowski Komiwojażer na płaszczyźnie 18 marca 2014 1 / 31 Paweł Gawrychowski
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Bardziej szczegółowoTuring i jego maszyny
Turing Magdalena Lewandowska Politechnika Śląska, wydział MS, semestr VI 20 kwietnia 2016 1 Kim był Alan Turing? Biografia 2 3 Mrówka Langtona Bomba Turinga 4 Biografia Kim był Alan Turing? Biografia Alan
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech anagram(l) = {w : w jest anagaramem v dla pewnego v L}. (a) Czy jeśli L jest
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoOdmiany maszyny Turinga. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Odmiany maszyny Turinga 1 Uniwersalna maszyna Turinga Uniwersalna maszyna U nad alfabetem A k jest to maszyna definiująca funkcje: f U, n+1 = {((w(i 1, I 2,..., I n )),y) w - opis maszyny T za pomocą słowa,
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoUniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych. Algorytmy i struktury danych Laboratorium Nr 4
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Algorytmy i struktury danych Laboratorium Nr 4 Algorytmy sortowania zewnętrznego 1 Wstęp Bardzo często przy rozwiązywaniu praktycznych
Bardziej szczegółowoMatematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Złożoność obliczeniowa
Informatyka 1 Wykład XI Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni
Konferencja SEM Formalizmy tak czy nie? Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Joanna Jaszuńska Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz Instytut Matematyczny PAN Krzywe... 1 21 X 2017 Joanna
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 11: Obliczalność i nieobliczalność Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 6 maja 2015 Plan 1 Problemy częściowo rozstrzygalne 2 Problemy rozstrzygalne 3 Funkcje (częściowo)
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle
Bardziej szczegółowoPrzykład planowania sieci publicznego transportu zbiorowego
TRANSPORT PUBLICZNY Przykład planowania sieci publicznego transportu zbiorowego Źródło: Bieńczak M., 2015 Politechnika Poznańska, Wydział Maszyn Roboczych i Transportu 1 METODYKA ZAŁOśENIA Dostarczanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Baltie klasa VII
Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoOBLICZALNOŚĆ I NIEOBLICZALNOŚĆ
OBLICZALNOŚĆ I NIEOBLICZALNOŚĆ Dwa konteksty obliczalności OBLICZALNE i NIEOBLICZALNE problemy (kontekst informatyczny) liczby (kontekst matematyczny) Problem nieobliczalny jest to problem nierozwiązywalny
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoAlgorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Bardziej szczegółowo1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb.
1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. Algorytmy przeszukiwania w głąb i wszerz są najczęściej stosowanymi algorytmami przeszukiwania. Wykorzystuje się je do zbadania istnienia połączenie
Bardziej szczegółowoSprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40
Sprzedaż online Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa 18.04.2013 - p. 1/40 Plan wykładu Problem skojarzeń online Algorytm zachłanny Algorytm losowo rankujacy Dolne ograniczenie Problem aukcji
Bardziej szczegółowo