Jacek Czekaj. Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji

Transkrypt

1 UNIWERSYTET ŚLĄSKI W KATOWICACH WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Jacek Czekaj Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji Praca magisterska napisana pod kierunkiem dra Przemysława Koprowskiego KATOWICE 2005

2

3 Spis treści Wstęp Oznaczenia Rozdział 1. Logiczny wstęp Syntaktyka systemów logicznych Semantyka systemów logicznych Pojęcie pełności. Równoważność rodzin modeli Rozdział 2. Relacyjne bazy danych Podstawowe pojęcia relacyjnych baz danych Operacje na relacjach Rozdział 3. Zależności funkcyjne Określenie zależności funkcyjnych System logiki zależności funkcyjnych Rozdział 4. Zależności wielowartościowe Określenie zależności wielowartościowych System logiki zależności wielowartościowych Rozdział 5. Zależności funkcyjne i wielowartościowe Zależności funkcyjne i wielowartościowe w rodzinie relacji System logiki zależności funkcyjnych i wielowartościowych Domknięcie. Baza zależności Rozdział 6. Równoważne rodziny modeli Rodzina relacji dwukrotkowych Rodzina waluacji Rodzina podzbiorów zbioru atrybutów Równoważność względem zależności funkcyjnych i wielowartościowych Równoważność względem zależności funkcyjnych i względem zależności wielowartościowych Rozdział 7. Przykłady zastosowań Elementarne zastosowania uzyskanych rezultatów Proover dla systemu DEP Nota bibliograficzna Bibliografia Skorowidz symboli

4

5 Wstęp W niniejszej pracy zajmujemy się pewnymi rodzinami modeli, równoważnymi z bazodanową rodziną relacji. Równoważność tych rodzin opisywana jest w literaturze dość nieformalnym językiem. W rozdziale pierwszym przedstawiamy podstawowe pojęcia logiki matematycznej, w tym pojęcie konsekwencji syntaktycznej i pojęcie konsekwencji określonej na rodzinie modeli, które pozwalają precyzyjnie określić pełność oraz równoważność rodzin modeli. Nakreślamy także zalety formalnego badania teorii. W rozdziale drugim przedstawiamy podstawowe pojęcia związane z relacyjnymi bazami danych. Opisujemy wybrane operacje, jakie można wykonywać na relacjach. Na przykładzie, prezentujemy także korzyści płynące z przechowywania informacji za pomocą relacji. W rozdziale trzecim opisujemy zależności funkcyjne. Podajemy definicję zależności funkcyjnej oraz definicję prawdziwości zależności funkcyjnej w relacji. Twierdzenie Heath, które prezentujemy, obrazuje dużą wagę zależności funkcyjnych w teorii baz danych. Jest to mocny argument przemawiający za dogłębnym zbadaniem zależności funkcyjnych, dlatego też prezentujemy formalny system logiczny dla zależności funkcyjnych. Twierdzenie Heath nasuwa przypuszczenie, iż w relacyjnych bazach danych mogą istnieć zależności, które nie mają charakteru zależności funkcyjnych. Właśnie takie nie funkcyjne zależności, zwane zależnościami wielowartościowymi opisujemy w rozdziale czwartym. Podajemy określenie zależności wielowartościowej oraz definicję prawdziwości zależności wielowartościowej w relacji. Twierdzenie Fagina, które prezentujemy, stanowi mocny argument na rzecz formalnego zbadania zależności wielowartościowych. Dlatego też przedstawiamy system logiki zależności wielowartościowych. Ponieważ w bazach danych występują zarówno zależności funkcyjne jaki i zależności wielowartościowe, to w kolejnym, piątym rozdziale tej pracy przyjmujemy formalny system logiczny dla zależności funkcyjnych i wielowartościowych. W rozdziale tym przedstawiamy także pojęcie domknięcia podzbioru zbioru atrybutów oraz pojęcie bazy zależności. W rozdziale szóstym prezentujemy rodzinę relacji dwukrotkowych, rodzinę waluacji oraz rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru atrybutów. Definiujemy prawdziwość zależności funkcyjnych i zależności wielowartościowych w modelach każdej z tych rodzin. Przedstawiamy główny rezultat tej pracy zwięzły dowód równoważności wszystkich zaprezentowanych rodzin oraz pełności przyjętych systemów logicznych względem każdej z tych rodzin. W ostatnim rozdziale tej pracy, prezentujemy przykłady praktycznych zastosowań uzyskanych rezultatów, w tym algorytm testujący wyprowadzalność wskazanych zależności z zadanego zbioru zależności.

6 Oznaczenia W niniejszej pracy stosujemy następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych, tzn. N = {0, 1, 2,...}. P(U) rodzina wszystkich podzbiorów zbioru U, tzn. P(U) = {X : X U}. #X moc, tzn. ilość elementów zbioru X. X dopełnienie zbioru X względem pewnego ustalonego uniwersum U, tzn. X = U \ X. t X zacieśnienie funkcji t do zbioru X. Oznaczenia wzorów eksponowanych pojawiające się po lewej stronie obowiązują w całej pracy, zaś oznaczenia występujące po stronie prawej jedynie w obrębie dowodu, w którym występują. Na końcu pracy zamieszczamy ponadto skorowidz wszystkich symboli.

7 Rozdział 1 Logiczny wstęp W tym rozdziale przedstawiamy podstawy logiki matematycznej podajemy elementarne pojęcia oraz ich własności. Uzasadniamy także potrzebę i znaczenie formalnego opisu systemów logicznych Syntaktyka systemów logicznych Najkrócej rzecz ujmując, syntaktyczna strona systemu logicznego określa reguły wnioskowania poprawnego składniowo (syntaktycznie). Definicja 1.1. i niepusty zbiór F. Zbiorem formuł nazywamy pewien wyróżniony, przeliczalny W tej chwili nie jest ważne czym tak naprawdę jest pojedyncza formuła. Definicja 1.2. Regułą wnioskowania nazywamy dowolny niepusty podzbiór r P(F ) F. Dla układu F, ϕ r, zbiór F nazywamy zbiorem przesłanek, zaś formułę ϕ wnioskiem. Definicja 1.3. Systemem logicznym nad zbiorem formuł F nazywamy układ złożony ze zbioru A F, zwanego zbiorem aksjomatów, oraz zbioru reguł wnioskowania R, tzn. R P(P(F ) F ). Definicja 1.4. Operatorem konsekwencji (lub krócej: konsekwencją) nad zbiorem formuł F nazywamy każdą funkcję C: P(F ) P(F ) mającą dla dowolnych zbiorów F, G F następujące własności: (a) (b) (c) F C(F), F G = C(F) C(G), C(C(F)) C(F), zwane własnościami konsekwencji. Zwróćmy w tym miejscu uwagę, że stosując własność (a) do zbioru C(F) otrzymujemy inkluzję C(F) C(C(F)). Tak więc we własności (c) jest w istocie równość, tzn. C(C(F)) = C(F). (Chcieliśmy pozostać wierni tradycyjnej wypowiedzi.) Stwierdzenie 1.5. Niech C t : P(F ) P(F ) będzie operatorem konsekwencji dla każdego t T. Wówczas operator C T : P(F ) P(F ) określony wzorem C T (F) = C t (F) t T

8 8 Rozdział 1. Logiczny wstęp dla dowolnego zbioru F F, jest operatorem konsekwencji, tzn. dla dowolnych zbiorów F, G F zachodzą następujące warunki: (a) (b) (c) F C T (F), F G = C T (F) C T (G), C T (C T (F)) C T (F). Dowód. (a) Ponieważ F C t (F) dla każdego t T, to również F t TC t (F), tzn. F C T (F). (b) Załóżmy, że F G. Wtedy C t (F) C t (G) dla dowolnego t T. Zatem t TC t (F) C t (G), tzn. C T (F) C T (G). t T (c) Ponieważ dla dowolnego t T zachodzi C T (F) = s TC s (F) C t (F), to w oparciu o własności (b) i (c) operatora C t ( ) otrzymujemy C t (C T (F)) C t (C t (F)) C t (F) dla dowolnego t T. Stąd C t (C T (F)) t T t TC t (F), czyli C T (C T (F)) C T (F). Definicja 1.6. Operatorem konsekwencji syntaktycznej, albo konsekwencją syntaktyczną w systemie logicznym L = A, R nazywamy funkcję C L : P(F ) P(F ) określoną wzorem C L (F) = C n L (F), n=0 dla dowolnego zbioru F F, gdzie C 0 L (F) = F A, C n+1 L (F) = C n L (F) { ϕ F : r R H, ϕ r } dla n N. H C n L (F) Liczbę n występującą w oznaczeniu zbioru C n L (F) nazywamy stopniem konsekwencji. Definicja 1.7. Mówimy, że formuła ϕ daje się wyprowadzić ze zbioru F F, gdy ϕ C L (F). Stwierdzenie 1.8. Operator C L ( ) jest konsekwencją, tzn. dla dowolnych zbiorów F, G F zachodzą następujące warunki: (a) (b) (c) F C L (F), F G = C L (F) C L (G), C L (C L (F)) C L (F). Dowód. (a) Wynika wprost z definicji konsekwencji syntaktycznej C L. C 0 L (F) C n L (F) = C L (F).) n=0 (F (b) Załóżmy, że F G. Wykażemy, indukcyjnie względem stopnia konsekwencji, że C n L (F) C n L (G) dla wszelkich n N. Dla n = 0 mamy C 0 L (F) = F A G A = C 0 L (G).

9 1.2. Semantyka systemów logicznych 9 Załóżmy więc, że C n L (F) C n L (G) dla pewnego n 0. Wtedy, jeżeli H, ϕ r, to również H, ϕ r, r R H C n L (F) r R H C n L (G) bo C n L (F) C n n+1 n+1 L (G). Stąd CL (F) CL (G), a więc na mocy zasady indukcji matematycznej C n L (F) C n L (G) dla wszystkich n N, czyli C n L (F) C n L (G), tzn. n=0 n=0 C L (F) C L (G). (c) Pokażemy indukcyjnie względem stopnia konsekwencji, że C n L (C L (F)) C L (F) dla wszelkich n N. Dla n = 0 jest C 0 L (C L (F)) = C L (F) A = C L (F) C L (F), gdzie druga z powyższych równości wynika z faktu, iż A C 0 L (F) C L (F). Załóżmy więc, że C n L (C L (F)) C n+1 L (F) dla pewnego n 0. Gdyby CL (C L (F)) = O/, to oczywiście C n+1 L (C L (F)) C n+1 L (F). Niech więc CL (C L (F)) O/ i weźmy dowolną formułę ϕ C n+1 L (C L (F)). Wobec definicji konsekwencji syntaktycznej (def. 1.6), albo ϕ C n L (C L (F)), albo H, ϕ r. ( ) r R H C n L (C L (F)) Jeśli ϕ C n L (C L (F)), to wprost z założenia indukcyjnego ϕ C L (F). Jeśli zaś spełniony jest warunek ( ), to wobec założenia indukcyjnego H C n L (C L (F)) C L (F), czyli H C m L (F) dla pewnego m N. Zatem H, ϕ r, r R H C m L (F) co oznacza, że ϕ C m+1 L (F), a więc ϕ C L (F). Wobec dowolności wyboru formuły ϕ dowodzi to inkluzji C n+1 L (C L (F)) C L (F). A zatem, na mocy zasady indukcji matematycznej, C n L (C L (F)) C L (F) dla wszelkich n N, a stąd C n L (C L (F)) n=0 C L (F), tzn. C L (C L (F)) C L (F) Semantyka systemów logicznych Semantyczna strona systemu logicznego nadaje znaczenie formułom. Definiuje prawdziwość formuł oraz wynikanie logiczne formuły z danego zbioru formuł. Definicja 1.9. Modelem dla zbioru formuł F nazywamy dowolny zbiór M, przy pomocy którego można zdefiniować podzbiór E(M) F. Zbiór E(M) nazywamy zbiorem formuł prawdziwych w modelu M, a formuły należące do zbioru E(M) prawdziwymi w modelu M. Stwierdzenie Niech M będzie modelem dla zbioru formuł F i niech C M (F) = { ϕ F : F E(M) = ϕ E(M) } dla dowolnego zbioru F F. Wówczas operator C M : P(F ) P(F ) ma własności konsekwencji, tzn. dla dowolnych zbiorów F, G F zachodzą warunki (a) (b) (c) F C M (F), F G = C M (F) C M (G), C M (C M (F)) C M (F).

10 10 Rozdział 1. Logiczny wstęp Dowód. (a) Jeżeli F = O/, to oczywiście F C M (F). Niech więc F O/ i weźmy dowolna formułę ϕ F. Musimy pokazać, że ϕ C M (F), tzn. wykazać prawdziwość implikacji F E(M) = ϕ E(M). Gdyby F E(M), to powyższa implikacja byłaby trywialnie prawdziwa. Przypuśćmy więc, że F E(M). Wtedy ϕ F E(M), a więc implikacja jest prawdziwa. Wobec dowolności wyboru formuły ϕ oznacza to, że F C M (F). (b) Załóżmy, że F G. Jeśli C M (F) = O/, to oczywiście C M (F) C M (G). Przypuśćmy więc, że C M (F) O/ i wybierzmy dowolną formułę ϕ C M (F). Wtedy F E(M) = ϕ E(M). ( ) Mamy pokazać, że ϕ C M (G), tzn. wykazać prawdziwość implikacji G E(M) = ϕ E(M). Załóżmy więc, że G E(M). Wtedy F G E(M) i z warunku ( ) otrzymujemy ϕ E(M). Wobec dowolności wyboru formuły ϕ oznacza to, że C M (F) C M (G). (c) Gdyby zachodziła równość C M (C M (F)) = O/, to oczywiście C M (C M (F)) C M (F). Niech więc C M (C M (F)) O/ i weźmy dowolną formułę ϕ C M (C M (F)). Wtedy Mamy pokazać, że ϕ C M (F), tzn. C M (F) E(M) = ϕ E(M). ( ) F E(M) = ϕ E(M). Załóżmy więc, że F E(M). Pokażemy, że C M (F) E(M). Istotnie, jeśli C M (F) = O/, to inkluzja ta jest oczywista. Niech więc C M (F) O/ i wybierzmy dowolną formułę ψ C M (F). Wtedy, zgodnie z definicją zbioru C M (F) F E(M) = ψ E(M). Ale założyliśmy, że F E(M), więc spełniony jest poprzednik powyższej implikacji. Musi więc być ψ E(M). A ponieważ formuła ψ była wybrana dowolnie, to C M (F) E(M). Teraz z warunku ( ) wynika, że ϕ E(M), co wobec dowolności wyboru formuły ϕ oznacza, iż C M (C M (F)) C M (F). Definicja Operatorem konsekwencji w niepustej rodzinie modeli M nazywamy funkcję C M : P(F ) P(F ) określoną wzorem dla dowolnego F F. C M (F) = C M (F) = { ϕ F : ϕ C M (F) } M M Definicja Mówimy, że formuła ϕ F jest konsekwencją logiczną zbioru F F, albo że wynika logicznie ze zbioru F, w rodzinie modeli M, gdy ϕ C M (F). M M Wniosek Operator C M ( ) ma własności konsekwencji. Dowód. Wynika wprost ze stwierdzenia 1.10 i stwierdzenia 1.5.

11 1.3. Pojęcie pełności. Równoważność rodzin modeli Pojęcie pełności. Równoważność rodzin modeli W praktyce, semantyka poprzedza zwykle syntaktykę, tzn. formalny system logiczny tworzony jest do konkretnej, zastanej sytuacji. Oczywiście system ten byłby bezużyteczny, gdyby nie przystawał do realiów semantycznych, tzn. powinien on być tak dobrany, aby dla dowolnego zbioru F F, formuła ϕ F dawała się wyprowadzić ze zbioru F, wtedy i tylko wtedy, gdy wynika ona logicznie ze zbioru F. Definicja Mówimy o pełności konsekwencji syntaktycznej C L względem konsekwencji C M określonej na rodzinie modeli M, albo o pełności systemu logicznego L względem rodziny M, gdy dla dowolnego zbioru formuł F F zachodzi równość C L (F) = C M (F). Przeważnie, bezpośrednia weryfikacja czy formuła ϕ F jest konsekwencją logiczną zbioru F F bywa trudna, czy wręcz niemożliwa. Pełność umożliwia weryfikację poprzez sprawdzenie wyprowadzalności formuły. Poza tym mając pełny system logiczny, możemy poszukiwać innych rodzin modeli, w których konsekwencja syntaktyczna jest również pełna względem konsekwencji określonej na tej rodzinie. Definicja Rodziny modeli M i N nazywamy równoważnymi, gdy dla dowolnego zbioru F F zachodzi równość C M (F) = C N (F). Kilka następnych pojęć pozwoli nam sformułować proste kryterium gwarantujące inkluzję C L (F) C M (F). Definicja Tautologiami w modelu M nazywamy formuły należące do zbioru C M (O/ ). Tautologiami w rodzinie modeli M nazywamy formuły należące do zbioru C M (O/ ). Zauważmy, że C M (O/ ) = { ϕ F : O/ E(M) = ϕ E(M) } = { ϕ F : ϕ E(M) } = E(M) oraz C M (O/ ) = C M (O/ ) = E(M), M M M M a więc tautologie w modelu M, to formuły prawdziwe w modelu M, zaś tautologie w rodzinie M, to formuły prawdziwe we wszystkich modelach rodziny M. Definicja Mówimy, że reguła r P(F ) F jest niezawodna w modelu M, gdy ϕ C M (F). F,ϕ r Mówimy, że reguła r P(F ) F jest niezawodna w rodzinie modeli M, gdy ϕ C M (F), M M F,ϕ r

12 12 Rozdział 1. Logiczny wstęp tzn., gdy ϕ C M (F). F,ϕ r Lemat Aksjomaty zbioru A są tautologiami w rodzinie modeli M, tzn. A C M (O/ ), a wszystkie reguły zbioru R są niezawodne w rodzinie M, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru F F zachodzi inkluzja C L (F) C M (F). Dowód. ( ) Jeśli C L (F) = O/, to teza lematu jest oczywista. Przypuśćmy więc, że C L (F) O/ i weźmy dowolną formułę ϕ C L (F). Wtedy ϕ C n L (F) dla pewnego n N. Wykażemy indukcyjnie względem stopnia konsekwencji, że ϕ C M (F). Załóżmy najpierw, że n = 0. Wtedy ϕ C 0 L (F) = F A. Wobec wniosku 1.13 zachodzi inkluzja F C M (F). Ponadto, wobec założenia, A C M (O/ ), a ponieważ O/ F, to wobec wniosku 1.13 mamy A C M (O/ ) C M (F). Zatem F A C M (F), co oznacza, że ϕ C M (F). Załóżmy teraz, że dla pewnego n 0 i każdej formuły ψ C n L (F) zachodzi ψ C M (F) i przypuśćmy, że ϕ C n+1 L (F). Gdyby ϕ C n L (F), to wprost z założenia indukcyjnego mielibyśmy ϕ C M (F). Niech więc ϕ C n+1 L (F) \ C n L (F). Wtedy H, ϕ r. r R H C n L (F) Ale na mocy założenia lematu reguła r jest niezawodna w rodzinie M, więc zgodnie z definicją 1.17 ϕ C M (H). Ponieważ H C n L (F), to wobec założenia indukcyjnego dla dowolnej formuły ψ H jest ψ C M (F), czyli H C M (F). Stąd wobec wniosku 1.13 otrzymujemy inkluzję C M (H) C M (F), która w połączeniu z warunkiem ( ) daje ϕ C M (F). Wobec dowolności wyboru formuły ϕ oznacza to, że C L (F) C M (F). ( ) Skoro C L (F) C M (F) dla dowolnego zbioru F F, to w szczególności A = C 0 L (O/ ) C L (O/ ) C M (O/ ), a więc aksjomaty zbioru A są tautologiami w rodzinie M. Weźmy dowolną regułę r R i dowolny układ F, ϕ r. Ponieważ F C 0 L (F), to wobec definicji konsekwencji syntaktycznej (def. 1.6) mamy ϕ C 1 L (F) C n L (F) = C L (F). n=0 Wobec założenia wnosimy więc, że ϕ C M (F), co oznacza niezawodność reguły r w rodzinie M. Lemat nasuwa metodę poszukiwania pełnego systemu logicznego. Mianowicie, wychodząc od pustego zbioru aksjomatów oraz pustego zbioru reguł wnioskowania, poszerzamy je o dodatkowe tautologie w danej rodzinie modeli M oraz dodatkowe reguły niezawodne w rodzinie M, tak długo, jak długo dla pewnego zbioru F F zachodzi inkluzja C L (F) C M (F). Dla ułatwienia późniejszych poszukiwań rodzin równoważnych, ważne jest, aby przyjmowane aksjomaty i reguły wnioskowania były możliwie jak najsłabsze. Jednak z drugiej strony słabe reguły wnioskowania mogą okazać się nieprzyjemne w użyciu, a tym samym mogą utrudnić dowód pełności. Można jednak posługiwać się także innymi regułami. Oczywiście nie mogą one być wybrane dowolnie. ( )

13 1.3. Pojęcie pełności. Równoważność rodzin modeli 13 Definicja Mówimy, że reguła r P(F ) F jest wyprowadzalna względem konsekwencji syntaktycznej C L, gdy ϕ C L (F). F,ϕ r Powyższy warunek gwarantuje, że wnioskowanie przy pomocy reguł wyprowadzalnych nie powiększa zbioru C L (F). Wniosek Jeżeli wszystkie aksjomaty zbioru A są tautologiami w rodzinie modeli M i wszystkie reguły zbioru R są niezawodne w rodzinie M, a reguła r P(F ) F jest wyprowadzalna, to jest ona również niezawodna w rodzinie M. Dowód. Weźmy dowolny układ F, ϕ r. Ponieważ reguła r jest wyprowadzalna, to zgodnie z definicją 1.19, ϕ C L (F), ale wobec lematu 1.18 zachodzi inkluzja C L (F) C M (F), więc ϕ C M (F), co oznacza niezawodność reguły r. Na zakończenie tego rozdziału prezentujemy lemat, który pozwoli nam uprościć zapis wielu dalszych wnioskowań. Lemat Jeżeli H, ϕ r dla pewnego zbioru H C L (F), a reguła r jest wyprowadzalna, lub też jest jedną z reguł zbioru R, to ϕ C L (F). Dowód. Załóżmy, że H, ϕ r i H C L (F). Przypuśćmy najpierw, że r jest regułą wyprowadzalną. Wobec definicji 1.19 mamy więc ϕ C L (H). Na mocy punktów (b) i (c) stwierdzenia 1.8, z inkluzji H C L (F) otrzymujemy inkluzję C L (H) C L (F). A zatem ϕ C L (F). Przypuśćmy teraz, że r R. Skoro H C L (F), to H C n L (F) dla pewnego n N, gdyż zbiory C n L (F) tworzą ciąg wstępujący. A ponieważ H, ϕ r, to wobec definicji 1.6 konsekwencji syntaktycznej otrzymujemy ϕ C n+1 L (F). Zatem ϕ C n+1 L (F) = n=0 C L (F).

14

15 Rozdział 2 Relacyjne bazy danych Pod koniec lat sześćdziesiątych, Edgar Frank Codd dał początek badaniom związanym z przechowywaniem informacji przy pomocy relacji. Okazało się, że taka forma reprezentacji danych niesie z sobą wiele udogodnień, jak na przykład łatwą eliminację nadmiarowości danych, czy też szybki dostęp do informacji Podstawowe pojęcia relacyjnych baz danych Definicja 2.1. Zbiorem atrybutów nazywamy pewien wyróżniony niepusty i skończony zbiór U. Literę U wybraliśmy z premedytacją U jak uniwersum. Definicja 2.2. Dla dowolnego atrybutu u U, niech D(u) oznacza pewien ustalony zbiór związany z atrybutem u. Zbiór ten nazywamy dziedziną atrybutu u. Wymagamy przy tym, aby #D(u) 2 dla każdego atrybutu u U. Definicja 2.3. Krotką (ang. tuple) nazywamy dowolne odwzorowanie t: U D(u) takie, że t(u) D(u). u U Zbiór wszystkich krotek oznaczamy przez T. Definicja 2.4. Relacją nad zbiorem atrybutów U nazywamy dowolny skończony podzbiór R T. Zbiór wszystkich relacji oznaczamy przez R. Definicja 2.5. relacji. u U Bazą danych nazywamy dowolny niepusty i skończony zbiór Zauważmy, że funkcję określoną na zbiorze skończonym możemy utożsamiać z ciągiem jej wartości. A więc relację w rozumieniu definicji 2.4 możemy utożsamić ze zbiorem ciągów, czyli właśnie z tym, co klasyczna teoria mnogości nazywa relacją. W związku z powyższym, relacje możemy wygodnie reprezentować w formie tabel. (Przy czym uporządkowanie wierszy i kolumn nie jest istotnie.) Przykład 2.6. Rozważmy relację, przedstawiającą dane o pracownikach (EMP) i kierownikach (MGR) różnych oddziałów (DEPT) pewnej firmy, reprezentowaną przez tabelę EMP DEPT MGR Hilbert Math Gauss Pythagoras Math Gauss Turing Computer Science von Neumann

16 16 Rozdział 2. Relacyjne bazy danych Zbiorem atrybutów jest zbiór U = {EMP, DEPT, MGR}, zaś D(EMP), D(DEPT) oraz D(MGR) są pewnymi podzbiorami zbioru ciągów skończonych o wyrazach ze zbioru { a,..., z, A,..., Z, }, tzn. są zbiorami napisów. Ponadto wiersze tabeli reprezentują krotki należące do relacji. Zauważmy, że gdyby np. #D(EMP) = 1, to wszystkie wpisy w kolumnie EMP musiałyby być takie same. Ponieważ tabela mająca w danej kolumnie zawsze takie same wpisy wydaje się nieco dziwna, to naturalnym jest aby #D(u) 2 dla u U Operacje na relacjach Ponieważ relacje są zbiorami, to możemy na nich wykonywać np. mnogościowe operacje sumy, przekroju i różnicy. Operacje te pozwalają na dopisywanie danych, wybieranie wspólnych danych i na usuwanie danych. Jednak z teoretycznego punktu widzenia dużo ważniejszymi operacjami są operacja rzutowania i operacja złączenia naturalnego. Definicja 2.7. Rzutem relacji R R na zbiór X U nazywamy relację R[X] = { t X : t R }. Zauważmy, że wcale nie jest prawdą, iż t X R[X] t R. Rzut relacji z przykładu 2.6 na zbiór {DEPT, MGR} reprezentuje tabela DEPT Math Computer Science MGR Gauss von Neumann Krotka (funkcja) reprezentowana ciągiem wartości (Cauchy, Math, Gauss) nie należy do wyjściowej relacji, podczas gdy jej zacieśnienie do zbioru {DEPT, MGR}, reprezentowane przez ciąg wartości (Math, Gauss), należy do rzutu tej relacji na zbiór {DEPT, MGR}. Prawdziwa jest natomiast następująca równoważność t X R[X] t X = r X. Definicja 2.8. Złączeniem naturalnym relacji R[X] i S[Y] nazywamy relację r R R[X] S[Y] = { t X Y : t X R[X] t Y S[Y] }. W związku ze wcześniejszym spostrzeżeniem, możemy napisać R[X] S[Y] = { } ( ) t X Y : t X = r X t Y = s Y. r R s S

17 2.2. Operacje na relacjach 17 Przykład 2.9. Wróćmy do relacji z przykładu 2.6. Jej rzuty na zbiory {EMP, DEPT} i {DEPT, MGR} reprezentują tabele EMP Hilbert Pythagoras Turing DEPT Math Math Computer Science DEPT Math Computer Science MGR Gauss von Neumann Ponadto złączenie naturalne tych rzutów równe jest wyjściowej relacji, co sprawia, że rzuty relacji początkowej są od niej samej w pewnym sensie lepsze. Mianowicie nazwisko kierownika dowolnego oddziału przechowywane jest dokładnie jeden raz, co ma duże znaczenie, gdyż relacje zawierają zwykle wiele krotek. Poza tym, w praktyce, często zachodzi konieczność modyfikowania pewnych danych. W przypadku powyższych rzutów, zmiana kierownika jakiegoś oddziału wymaga aktualizacji tylko jednej krotki. Rozważmy teraz relację reprezentowaną następującą tabelą EMP DEPT MGR Hilbert Math Gauss Pythagoras Math Gauss Turing Computer Science von Neumann Cauchy Math Euler Jej rzuty na zbiory {EMP, DEPT} i {DEPT, MGR} reprezentują tabele EMP Hilbert Pythagoras Turing Cauchy DEPT Math Math Computer Science Math DEPT Math Computer Science Math MGR Gauss von Neumann Euler Natomiast złączenie naturalne powyższych rzutów reprezentuje tabela EMP DEPT MGR Hilbert Math Gauss Hilbert Math Euler Pythagoras Math Gauss Pythagoras Math Euler Turing Computer Science von Neumann Cauchy Math Gauss Cauchy Math Euler Tak więc wyjściowa relacja jest właściwym podzbiorem złączenia naturalnego swoich rzutów. Okazuje się, że inkluzja jaką zaobserwowaliśmy w powyższym przykładzie nie jest przypadkowa. Lemat Dla dowolnej relacji R R, jeżeli X Y = U, to R R[X] R[Y].

18 18 Rozdział 2. Relacyjne bazy danych Dowód. Jeśli R = O/, to oczywiście R R[X] R[Y]. Załóżmy więc, że R O/ i weźmy dowolną krotkę t R. Wtedy t X R[X] i t Y R[Y], a więc t = t U = t X Y R[X] R[Y]. Z praktycznego punktu widzenia, interesujące jest przy jakich założeniach, relacja jest równa złączeniu naturalnemu swoich rzutów. W kolejnych dwóch rozdziałach przedstawimy warunki gwarantujące tę równość.

19 Rozdział 3 Zależności funkcyjne Przyjrzyjmy się ponownie relacji z przykładu 2.9, zawierającej dane o pracownikach (EMP) i kierownikach (MGR) różnych oddziałów (DEPT) pewnej firmy. Ponieważ jeden oddział powinien mieć jednego kierownika, to relacja ta nie może opisywać żadnej realnej sytuacji. Istnienie dokładnie jednego kierownika w każdym oddziale oznacza, że jeśli w jakiejś dopuszczalnej relacji dwie krotki są równe na atrybucie DEPT, to są też równe na atrybucie MGR. Innymi słowy wartość krotki na atrybucie MGR zależy od wartości krotki na atrybucie DEPT. Rzut wyjściowej relacji na zbiór {DEPT, MGR} wydaje się więc przedstawiać informacje w naturalnej postaci Określenie zależności funkcyjnych Definicja 3.1. Zależnością funkcyjną (ang. functional dependency) nad zbiorem atrybutów U nazywamy dowolną trójkę X Y, gdzie X, Y U. Zbiór wszystkich zależności funkcyjnych nad zbiorem atrybutów U oznaczamy przez F, tzn. F = P(U) { } P(U). Naturalnym wydaje się traktować zależności funkcyjne jak pary, gdyż element jest w istocie pojedynczym symbolem. Jednakże w następnym rozdziale wprowadzimy zależności wielowartościowe, a w kolejnym, zależności funkcyjne i wielowartościowe będziemy traktować jako jeden zbiór formuł. Dlatego zależy nam na rozróżnieniu pomiędzy tymi zależnościami. (Nie byłoby to możliwe gdybyśmy zależności funkcyjne i wielowartościowe traktowali po prostu jak pary.) Definicja 3.2. Mówimy, że zależność funkcyjna X Y jest prawdziwa w relacji R R, gdy ( ) (FD) r X = s X = r Y = s Y. r,s R Zbiór wszystkich zależności funkcyjnych prawdziwych w relacji R oznaczamy przez E F (R). Warunek (FD) przypomina określenie funkcji, co tłumaczy nazwę zależność funkcyjna. Przykład 3.3. Zgodnie z rozważaniami prowadzonymi na wstępie tego rozdziału, w relacji z przykładu 2.6, jak i w każdej innej dopuszczalnej relacji określonej na zbiorze atrybutów U = {EMP, DEPT, MGR}, prawdziwa jest zależność funkcyjna {DEPT} {MGR}. Ponieważ dowolna relacja R R jest modelem dla zależności funkcyjnych, to na rodzinie R możemy zdefiniować operator konsekwencji.

20 20 Rozdział 3. Zależności funkcyjne C R F Definicja 3.4. Operatorem konsekwencji w rodzinie R nazywamy funkcję : P(F ) P(F ) zdefiniowaną wzorem C R F (F) = C R F (F), dla wszelkich F F, gdzie R R C R F (F) = { ϕ F : F E F (R) = ϕ E F (R) }. Wniosek 3.5. Operator C R F ( ) ma własności konsekwencji. Dowód. Wynika wprost ze stwierdzenia Okazuje się, że warunek X Y E F (R) pociąga równość R = R[X Y] R[X Y ]. Twierdzenie 3.6 (Heath). Jeśli zależność funkcyjna X Y jest prawdziwa w relacji R R, to R = R[X Y] R[X Y ]. Dowód. Ustalmy dowolną relację R R i załóżmy, że X Y E F (R). Wobec lematu 2.10 wystarczy pokazać, że R[X Y] R[X Y ] R. Weźmy więc dowolną krotkę t R[X Y] R[X Y ]. Wtedy, wobec równości ( ) z rozdziału drugiego otrzymujemy t X Y = r X Y t X Y = s X Y. r R Mamy więc r X = s X, skąd wobec założenia X Y E F (R) otrzymujmy równość r Y = s Y. A ponieważ t Y = r Y, to w rezultacie t Y = s Y. Ponadto t X Y = s X Y, czyli t Y (X Y ) = s Y (X Y ), tzn. t = s R, co dowodzi inkluzji R[X Y] R[X Y ] R. Przykład 3.7. Zauważmy, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Heath nie jest prawdziwe. Rozważmy relację reprezentowaną następującą tabelą s R EMP CHILD SKILL Hilbert Hilda Math Hilbert Hilda Physics Pythagoras Peter Math Pythagoras Paul Math Pythagoras Peter Philosophy Pythagoras Paul Philosophy Turing Tom Computer Science a przedstawiającą informację o dzieciach (CHILD) oraz specjalnościach (SKILL) poszczególnych pracowników (EMP) pewnej firmy. Rzuty tej relacji na zbiory {EMP, CHILD} i {EMP, SKILL} reprezentują tabele EMP Hilbert Pythagoras Pythagoras Turing CHILD Hilda Peter Paul Tom EMP Hilbert Hilbert Pythagoras Pythagoras Turing SKILL Math Physics Math Philosophy Computer Science

21 3.2. System logiki zależności funkcyjnych 21 Złączenie naturalne powyższych rzutów jest równe wyjściowej relacji, a przy tym żadna z zależności {EMP} {CHILD} i {EMP} {SKILL} nie jest w tej relacji prawdziwa. Chociaż prawdziwość pewnych zależności funkcyjnych wynika wprost ze specyfiki przechowywanych danych (tak jak to miało miejsce w przypadku relacji z przykładów 2.6 i 2.9), to twierdzenie Heath przemawia wyraźnie za dogłębnym zbadaniem zależności funkcyjnych System logiki zależności funkcyjnych W roku 1974, William Ward Armstrong w jednej z pierwszych prac poświęconych teorii relacyjnych baz danych, przedstawił układ aksjomatów i reguł wnioskowania dla zależności funkcyjnych, wspólnie określanych mianem aksjomatów Armstronga. Układ, który tutaj przyjmujemy jest równoważny aksjomatom Armstronga. Definicja 3.8. Systemem FD logiki zależności funkcyjnych nazywamy układ złożony ze zbioru aksjomatów f 1 = { X Y F : X Y } oraz reguł wnioskowania f 2 = { ( )} F, ϕ P(F ) F : F = {X Y} ϕ = X Z Y Z, X,Y,Z U f 3 = { ( )} F, ϕ P(F ) F : F = {X Y, Y Z} ϕ = X Z. X,Y,Z U Zapewne bardziej przyjazny jest zapis reguł w postaci ułamka (zwanego schematem wnioskowania), w którym licznik odpowiada zbiorowi przesłanek, zaś mianownik odpowiada wnioskowi. W takiej notacji reguły f 2 i f 3 wyglądają następująco: f 2 : f 3 : X Y X Z Y Z X Y, Y Z X Z Aksjomaty zbioru f 1, ze względu na ich regularność, również możemy zapisać w postaci schematu: f 1 : X X \ Y. Definicja 3.9. Operatorem konsekwencji syntaktycznej w systemie FD nazywamy funkcję C FD : P(F ) P(F ) określoną wzorem C FD (F) = C n FD (F) dla dowolnego F F, gdzie C 0 FD (F) = F f 1, C n+1 FD (F) = C n FD (F) { ϕ F : n=0 f { f 2, f 3 } G C n FD (F),. G, ϕ f } dla n N.

22 22 Rozdział 3. Zależności funkcyjne Nadmieńmy, że wobec skończoności zbioru formuł F, ciąg ( C n FD (F)) stabilizuje n N się, a więc suma C n FD (F) ma skończenie wiele różnych składników. n=0 Wniosek Operator C FD ( ) ma własności konsekwencji. Dowód. Wynika wprost ze stwierdzenia 1.8. W pierwszym rozdziale tej pracy wspomnieliśmy, że czasem przyjęte reguły wnioskowania nie są zbyt wygodne w użyciu. Wyprowadzimy teraz kilka dodatkowych reguł, które usprawnią nasze dalsze rozważania. Stwierdzenie Reguła o schemacie f 4 : X Y X Y \ Z jest wyprowadzalna względem konsekwencji C FD. Dowód. Weźmy dowolny układ F, ϕ f 4. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że F = {X Y} i ϕ = X Y \ Z. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że ϕ C FD (F). Naturalnie Y Y \ Z f 1 C FD (O/ ) C FD (F). Zatem {X Y, Y Y \ Z} C FD (F) oraz {X Y, Y Y \ Z}, X Y \ Z f 3, skąd wobec lematu 1.21 otrzymujemy ϕ = X Y \ Z C FD (F). Zwracamy uwagę, że zbiór Y \ Z występujący w schemacie reguły f 4 jest dowolnym podzbiorem zbioru Y. W szczególności może to być np. zbiór Y Z dla dowolnego Z U. Stwierdzenie Reguła o schemacie f 2 : X Y X Z T Y Z jest wyprowadzalna względem konsekwencji C FD. Dowód. Weźmy dowolny układ F, ϕ f 2. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z, T U, że F = {X Y} i ϕ = X Z T Y Z. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że ϕ C FD (F). Ponieważ F C FD (F) i F, X Z T Y Z T f 2, to wobec lematu 1.21 otrzymujemy X Z T Y Z T C FD (F). Teraz {X Z T Y Z T} C FD (F) i {X Z T Y Z T}, X Z T Y Z f 4, skąd przy pomocy lematu 1.21 dostajemy ϕ = X Z T Y Z C FD (F). Przypomnijmy, że przez X oznaczamy dopełnienie zbioru X. Zwracamy więc uwagę na subtelną różnicę pomiędzy zbiorem f 2, a dopełnieniem zbioru f 2, czyli zbiorem f 2. Gdyby zbiór f 2 kiedykolwiek był nam do czegokolwiek potrzebny, to oznaczylibyśmy go wyraźniej przez ( f 2 ). Stwierdzenie Reguła o schemacie f 5 : X Y, Z T X Z Y T jest wyprowadzalna względem konsekwencji C FD.

23 3.2. System logiki zależności funkcyjnych 23 Dowód. Weźmy dowolny układ F, ϕ f 5. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z, T U, że F = {X Y, Z T} i ϕ = X Z Y T. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że ϕ C FD (F). Ponieważ {X Y} F C FD (F) i {X Y}, X Z Y Z f 2, to wobec lematu 1.21 otrzymujemy X Z Y Z C FD (F). Podobnie {Z T} F C FD (F) i {Z T}, Z Y T Y f 2, skąd na mocy lematu 1.21 dostajemy Y Z Y T C FD (F). Teraz {X Z Y Z, Y Z Y T} C FD (F) i {X Z Y Z, Y Z Y T}, X Z Y T f 3, co zgodnie z lematem 1.21 oznacza, że ϕ = X Z Y T C FD (F). Ponieważ w dowodach wyprowadzalności reguł, lemat 1.21 wykorzystywany jest zawsze w takim samym kontekście, to w wyprowadzeniach kolejnych reguł nie będziemy wyraźnie zaznaczać jego użycia. Stwierdzenie Reguła o schemacie f 5 : X Y, Z T X (Z \ Y) Y Z jest wyprowadzalna względem konsekwencji C FD. Dowód. Weźmy dowolny układ F, ϕ f 5. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z, T U, że F = {X Y, Z T} i ϕ = X (Z \ Y) Y T. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że ϕ C FD (F). Ponieważ {X Y} F C FD (F) i {X Y}, X Y Z f 4, to X Y Z C FD (F). Ponadto Z \ Y Z \ Y f 1 C FD (O/ ) C FD (F), a więc {X Y Z, Z \ Y Z \ Y} i {X Y Z, Z \ Y Z \ Y}, X (Z \ Y) (Y Z) (Z \ Y) f 5, skąd X (Z \ Y) Z C FD (F). Teraz {X (Z \ Y) Z, Z T} C FD (F) i {X (Z \ Y) Z, Z T}, X (Z \ Y) T f 3, czyli X (Z \ T) T C FD (F). Tak więc {X Y, X (Z \ Y) T} C FD (F) i {X Y, X (Z \ Y) T}, X (Z \ Y) Y T f 5, co oznacza, że ϕ = X (Z \ Y) Y T C FD (F). Stwierdzenie Reguła o schemacie f 6 : X Y Z, X Y X Z jest wyprowadzalna względem konsekwencji C FD. Dowód. Weźmy dowolny układ F, ϕ f 6. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że F = {X Y Z, X Y} i ϕ = X Z. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że ϕ C FD (F). Jako, że {X Y} F C FD (F) i {X Y}, X X Y X f 2, to X X Y C FD (F). Mamy więc {X X Y, X Y Z} C FD (F) i {X X Y, X Y Z}, X Z f 3, skąd otrzymujemy ϕ = X Z C FD (F). Zgodnie z rozważaniami prowadzonymi w rozdziale pierwszym, powinniśmy wykazać teraz pełność konsekwencji syntaktycznej C FD względem konsekwencji C R F. Dowód ten przestawiamy w rozdziale szóstym, czyniąc tutaj jedynie pewne przygotowania. Twierdzenie Aksjomaty zbioru f 1 są tautologiami w rodzinie R, a reguły f 2, f 3 są niezawodne w rodzinie R.

24 24 Rozdział 3. Zależności funkcyjne Dowód. Pokażemy najpierw, że aksjomaty zbioru f 1 są tautologiami w rodzinie R, czyli że zachodzi inkluzja { } X Y F : X Y E F (R). Oczywiście zbiór f 1 jest niepusty. Weźmy więc dowolną zależność X Y F taką, że X Y i ustalmy dowolną relację R R. Musimy pokazać, że X Y E F (R), tzn. że zależność X Y spełnia warunek (FD). Wybierzmy więc dowolne krotki r, s R takie, że r X = s X. Ponieważ Y X, to r X = s X r(x) = s(x) = r(x) = s(x) r Y = s Y, x X co oznacza, że aksjomaty zbioru f 1 są tautologiami w rodzinie R. Wykażemy teraz, że reguła f 2 jest niezawodna w rodzinie R. Weźmy więc dowolny układ F, ϕ f 2. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że F = {X Y} i ϕ = X Z Y Z. Wobec definicji 3.4 mamy pokazać, że { ϕ ψ F : F EF (R) = ψ E F (R) }. ( ) R R Ustalmy więc dowolną relację R R i przypuśćmy, że F E F (R), tzn. zależność X Y spełnia warunek (FD). Mamy sprawdzić, że zależność ϕ również spełnia warunek (FD). Weźmy więc dowolne krotki r, s R i załóżmy, że r X Z = s X Z, wtedy r Z = s Z oraz r X = s X. Ponieważ F E F (R), to wobec warunku (FD) r Y = s Y, a więc r Y Z = s Y Z, co oznacza niezawodność reguły f 2 w rodzinie R. Wykażemy teraz, że reguła f 3 jest niezawodna w rodzinie R. Weźmy więc dowolny układ F, ϕ f 3. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że F = {X Y, Y Z} i ϕ = X Z. Mamy pokazać, że zachodzi warunek ( ). Ustalmy więc dowolną relację R R i przypuśćmy, że F E F (R), tzn. zależności X Y i Y Z spełniają warunek (FD). Musimy sprawdzić, że zależność ϕ również spełnia warunek (FD). Weźmy dowolne krotki r, s R i załóżmy, że r X = s X. Ponieważ X Y E F (R), to wobec warunku (FD) jest r Y = s Y. Ale Y Z E F (R), więc wobec warunku (FD) otrzymujemy r Z = s Z, co oznacza niezawodność reguły f 3 w rodzinie R. Wniosek Reguły f 2, f, f 4 5, f 5 i f 6 są niezawodne w rodzinie R. x Y R R Dowód. Wynika wprost z twierdzenia 3.16 oraz wniosku 1.20.

25 Rozdział 4 Zależności wielowartościowe Przyjrzyjmy się ponownie relacji z przykładu 3.7. Udało się nam wskazać takie rzuty tej relacji, których złączenie naturalne jest równe wyjściowej relacji, a przy tym nie są one konsekwencją twierdzenia Heath (tw. 3.6). Naturalnym jest więc pytanie o warunek konieczny i wystarczający na to, aby złączenie naturalne rzutów danej relacji było równe tej relacji. Zauważmy, że powtórzenia danych występujące w relacji z przykładu 3.7 wynikają stąd, że jeśli dwie krotki są równe na atrybucie EMP, to ich wartości na atrybucie CHILD (albo na atrybucie SKILL) możemy ze sobą zamienić, nie zmieniając samej relacji. Specyfika danych sprawia, że jeśli dany pracownik ma dziecko c 1 i jest specjalistą w dziedzinie s 1 oraz ma dziecko c 2 i jest specjalistą w dziedzinie s 2, to ma również dziecko c 2 i jest specjalistą w dziedzinie s 1 oraz ma dziecko c 1 i jest specjalistą w dziedzinie s 2. Powyższe spostrzeżenie motywuje nas do wnikliwego zbadania podobnych sytuacji Określenie zależności wielowartościowych Definicja 4.1. Zależnością wielowartościową (ang. multivalued dependency) nad zbiorem atrybutów U nazywamy dowolną trójkę X Y, gdzie X, Y U. Zbiór wszystkich zależności wielowartościowych nad zbiorem atrybutów U oznaczamy przez M, tzn. M = P(U) { } P(U). Definicja 4.2. Mówimy, że zależność wielowartościowa X Y jest prawdziwa w relacji R R, gdy [ ( )] (MVD) r X = s X = t X Y = r X Y t X Y = s X Y. r,s R t R Zbiór wszystkich zależności wielowartościowych prawdziwych w relacji R R oznaczamy przez E M (R). Zależności wielowartościowe w relacjach odkryli niezależnie od siebie Ronald Fagin i Carlo Zaniolo. Ronald Fagin rozważał początkowo jedynie takie zależności wielowartościowe X Y dla których X Y = O/. Jest on także twórcą nazwy zależności wielowartościowe. Przykład 4.3. Zgodnie z rozważaniami prowadzonymi na wstępie tego rozdziału, w relacji z przykładu 3.7, jak i w każdej innej dopuszczalnej relacji określonej na zbiorze atrybutów U = {EMP, CHILD, SKILL}, prawdziwe są zależności wielowartościowe {EMP} {CHILD} i {EMP} {SKILL}. Ponieważ dowolna relacja R R jest modelem dla zależności wielowartościowych, to na rodzinie R możemy zdefiniować operator konsekwencji.

26 26 Rozdział 4. Zależności wielowartościowe Definicja 4.4. Operatorem konsekwencji w rodzinie R (względem zbioru zależności wielowartościowych) nazywamy funkcję C R M : P(M) P(M) zdefiniowaną wzorem C R M (M) = C R M (M), dla wszelkich M M, gdzie C R M (M) = { µ M : M E M (R) = µ E M (R) }. R R Wniosek 4.5. Operator C R M ( ) ma własności konsekwencji. Dowód. Wynika wprost ze stwierdzenia Okazuje się, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by złączenie naturalne rzutów danej relacji było równe tej relacji jest prawdziwość w danej relacji odpowiedniej zależności wielowartościowej. Twierdzenie 4.6 (Fagin). Zależność wielowartościowa X Y jest prawdziwa w relacji R R wtedy i tylko wtedy, gdy R = R[X Y] R[X Y ]. Dowód. ( ) Inkluzja R R[X Y] R[X Y ] jest prawdziwa na mocy lematu Weźmy więc dowolną krotkę t R[X Y] R[X Y ]. Z równości ( ) mamy t X Y = r X Y r R t X Y = s X Y. A więc r X = s X, skąd wobec założenia X Y E M (R) otrzymujemy s R ( ) u X Y = r X Y u X Y = s X Y. u R Zatem t X Y = u X Y oraz t X Y = u X Y, czyli t (X Y) (X Y ) = u (X Y) (X Y ), tzn. t = u R, co wobec dowolności wyboru krotki t oznacza, że R[X Y] R[X Y ] R. ( ) Mamy wykazać, że zachodzi warunek (MVD). Weźmy więc dowolne krotki r, s R takie, że r X = s X. Wybierzmy taką krotkę u T, że u X Y = r X Y u X Y = s X Y. Z równości ( ) wynika, że u R[X Y] R[X Y ]. A ponieważ na mocy założenia R = R[X Y] R[X Y ], to u R. Wykazaliśmy więc, że ( ) u X Y = r X Y u X Y = s X Y, u R co wobec dowolności wyboru krotek r i s oznacza spełnienie warunku (MVD), a więc X Y E M (R).

27 4.2. System logiki zależności wielowartościowych System logiki zależności wielowartościowych Definicja 4.7. Systemem MVD logiki zależności wielowartościowych nazywamy układ złożony ze zbioru aksjomatów m 1 = { X Y M : X Y } oraz reguł wnioskowania m 0 = { ( M, µ P(M) M : )} M = {X Y} µ = X Y, X,Y U m 2 = { ( )} M, µ P(M) M : M = {X Y} µ = X Z Y Z, X,Y,Z U m 3 = { ( )} M, µ P(M) M : M = {X Y, Y Z} µ = X Z \ Y. X,Y,Z U A oto alternatywna wersja powyższych aksjomatów i reguł wnioskowania: m 0 : X Y X Y, m 1 : X X \ Y, m 2 : m 3 : X Y X Z Y Z X Y, Y Z X Z \ Y Definicja 4.8. Operatorem konsekwencji syntaktycznej w systemie MVD nazywamy funkcję C MVD : P(M) P(M) określoną wzorem dla dowolnego M M, gdzie C MVD (M) = C n MVD (M), n=0,. C 0 MVD (M) = M m 1, C n+1 MVD (M) = C n MVD (M) { µ M : m {m 0,m 2,m 3 } N, µ m } dla n N. N C n MVD (M) Wniosek 4.9. Operator C MVD ( ) ma własności konsekwencji. Dowód. Wynika wprost ze stwierdzenia 1.8. Zauważmy w tym miejscu, że regułę m 0 podaje się zwykle w nieco przerośniętej formie: m 0 = { ( )} M, µ P(M) M : M={X Y} µ=x Z X Y Z=U Y Z X. X,Y,Z U Wykażemy, że jest ona wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD. Stwierdzenie Reguła o schemacie m 0 jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD.

28 28 Rozdział 4. Zależności wielowartościowe Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 0. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że M = {X Y} i µ = X Z oraz X Y Z = U i Y Z X. Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym diagramie. Ỹ X XỸ XZ XYZ X Z Y X Z Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Ponieważ M C MVD (M) i M, X X Y X m 2, to X Y X C MVD (M). Zatem { X Y X }, X ( Y X ) m0, czyli X Z XZ C MVD (M). Teraz { X Z XZ }, X XYZ Z XZ XYZ m 2, a więc µ = X Z XZ XYZ C MVD (M). Podobnie jak to miało miejsce w przypadku zależności funkcyjnych, wyprowadzimy teraz kilka reguł, które pomogą w naszych dalszych rozważaniach. Stwierdzenie Reguła o schemacie m 4 : X Y X Y \ (X \ Z) jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD. Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 4. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że M = {X Y} i µ = X Y \ (X \ Z). Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Naturalnie X X m 1 C MVD (O/ ) C MVD (M). Zatem {X X, X Y} C MVD (M) i {X X, X Y}, X Y \ X m 3, stąd X Y \X C MVD (M). Teraz {X Y \X}, X (X Y Z) (Y \X) (X Y Z) m 2, czyli µ = X Y \ (X \ Z) = X (Y \ X) (X Y Z) C MVD (M). Zwracamy uwagę, że zbiór Y \ (X \ Z) występujący w schemacie reguły m 4 jest różnicą zbiorów Y i dowolnego podzbioru zbioru X. Stwierdzenie Reguła o schemacie m 2 : X Y X Z T Y Z. jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD. Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 5. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z, T U, że M = {X Y} i µ = X Z T Y Z. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Jako, że M C MVD (M) i M, X Z T Y Z T m 2, to X Z T Y Z T C MVD (M). A ponieważ T \ (Y Z) X Z T, to {X Z T Y Z T}, X Z T (Y Z T) \ (T \ (Y Z)) m 4, czyli µ = X Z T Y Z = X Z T (Y Z T) \ (T \ (Y Z)) C MVD (M).

29 4.2. System logiki zależności wielowartościowych 29 Stwierdzenie Reguła o schemacie m 5 : X Y, Z T X Z Y T. jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD. Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 5. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z, T U, że M = {X Y, Z T} i µ = X Z Y T. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym diagramie. Ũ T YT Ỹ T Z ZT YZT YZ XZ XZT XYZT XYZ Z X XT XYT XỸ Y X U Ponieważ {X Y} M C MVD (M) i {X Y}, X Ỹ YZ YT YZT m 4, to X Ỹ YZ YT YZT C MVD (M). Jako, że {Z T} M C MVD (M) i {Z T}, Z Z T Z m 2, to Z Z T C MVD (M). A więc {Z Z T}, Z (Z T) m 0, tzn. Z Ũ X Ỹ XỸ C MVD (M). Ponadto { X Ỹ YZ YT YZT }, X Z ( Ỹ YZ YT YZT ) Z m 2, czyli X Z Ỹ YT Z C MVD (M). Podobnie { Z Ũ X Ỹ XỸ }, Z ( Ỹ YT ) ( Ũ X Ỹ XỸ ) ( Ỹ YT ) m 2, więc Z Ỹ YT Ũ X Ỹ XỸ YT C MVD (M). Tak więc { X Z Ỹ YT Z, Z Ỹ YT Ũ X Ỹ XỸ YT } i { X Z Ỹ YT Z, Z Ỹ YT Ũ X Ỹ XỸ YT }, X Z ( Ũ X Ỹ XỸ YT ) ( Ỹ YT Z ) m 3, skąd X Z Ũ X XỸ C MVD (M). Teraz { X Z Ũ X XỸ }, X Z Ũ m 4, a więc X Z Ũ C MVD (M). Zatem { X Z Ũ }, ( X Z ) ( X Z XZ ) Ũ ( X Z XZ ) m 2, tzn. X Z Ũ X Z C MVD (M). W końcu { X Z Ũ X Z XZ }, X Z ( Ũ X Z XZ ) m0, skąd otrzymujemy µ = X Z Y T C MVD (M). Okazuje się, że podobnie jak to miało miejsce w przypadku reguły f 5, regułę m 5 można poprawić. Stwierdzenie Reguła o schemacie m 5 : X Y, Z T X (Z \ Y) Y T jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD.

30 30 Rozdział 4. Zależności wielowartościowe Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 5. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z, T U, że M = {X Y, Z T} i µ = X (Z \ Y) Y T. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Przyjmijmy oznaczenia jak na diagramie z dowodu stwierdzenia Ponieważ {X Y} M C MVD (M) i {X Y}, X (Z\Y) Y (Z\Y) m 2, to X (Z\Y) Y Z C MVD (M). Podobnie {Z T} M C MVD (M) i {Z T}, Z Y T Y m 2, więc Y Z Y T C MVD (M). Tak więc {X (Z\Y) Y Z, Z Y T Y}, X (Z \ Y) (T Y) \ (Y Z) m 3, czyli X (Z \ Y) T XT C MVD (M). Zatem { X (Z \ Y) T XT }, ( X (Z \ Y) ) ( ZT XZT ) ( T XT ) ( ZT XZT ) m 2, skąd X (Z\Y) T XT ZT XZT C MVD (M). Teraz { X Y, X (Z \ Y) T XT ZT XZT } C MVD (M) i { X Y, X (Z \ Y) T XT ZT XZT }, X ( X (Z \ Y) ) Y ( T XT ZT XZT ) m 5, a więc µ = X (Z \ Y) Y T C MVD (M). Kolejne dwie wyprowadzane reguły, będą bardzo pomocne w naszych dalszych rozważaniach. Stwierdzenie Reguła o schemacie m 7 : X Y, X Z X Y \ Z jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD. Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 7. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że M = {X Y, X Z} i µ = X Y \ Z. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Ponieważ M, X Y Z m 5, to X Y Z C MVD (M). Zatem {X Y Z}, X (Y Z) m 0, czyli X (Y Z) C MVD (M). Stąd {X Z, X (Y Z) } C MVD (M) i {X Z, X (Y Z) }, X Z (Y Z) m 5, tzn. X (Y \ Z) C MVD (M). Teraz {X (Y \ Z) }, X Y \ Z m 0, skąd µ C MVD (M). Stwierdzenie Reguła o schemacie m 8 : X Y, X Z X Y Z jest wyprowadzalna względem konsekwencji C MVD. Dowód. Weźmy dowolny układ M, µ m 8. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że M = {X Y, X Z} i µ = X Y Z. Zgodnie z definicją 1.19 musimy pokazać, że µ C MVD (M). Ponieważ M, X Y \ Z m 7, to X Y \ Z C MVD (M). Podobnie otrzymujemy X Z \ Y C MVD (M). Zatem {X Y \ Z, X Z \ Y} C MVD (M) i {X Y \ Z, X Z \ Y}, X (Y \ Z) (Z \ Y) m 5, czyli X (Y \ Z) (Z \ Y) C MVD (M). Postępując analogicznie jak w dowodzie stwierdzenia 4.15, otrzymujemy X (Y Z) C MVD (M). Tak więc {X (Y Z), X (Y \ Z) (Z \ Y)} C MVD (M) i {X (Y Z), X (Y \ Z) (Z \ Y)}, X (Y Z) (Y \ Z) (Z \ Y) m 5, tzn. X (Y Z) C MVD (M). Teraz {X (Y Z) }, X Y Z m 0, skąd µ C MVD (M). Mając na uwadze twierdzenie o równoważności pewnych rodzin modeli, wykażemy teraz następujące twierdzenie.

31 4.2. System logiki zależności wielowartościowych 31 Twierdzenie Aksjomaty zbioru m 1 są tautologiami w rodzinie R, a reguły m 0, m 2 i m 3 są niezawodne w rodzinie R. Dowód. Zgodnie z definicją 1.16 mamy wykazać, że { } X Y M : X Y E M (R). Weźmy więc dowolną zależność X Y M taką, że X Y i ustalmy dowolną relację R R. Musimy pokazać, że X Y E M (R), tzn. że zależność X Y spełnia warunek (MVD). Wybierzmy więc dowolne krotki r, s R takie, że r X = s X. Mamy wskazać taką krotkę t R, że R R t X Y = r X Y t X Y = s X Y. Sprawdzimy, że t = s daje zadość powyższym równościom. Oczywiście t X Y = s X Y, a ponadto t X Y = r X Y, gdyż X Y = X, a r X = s X. Tak więc aksjomaty zbioru m 1 są rzeczywiście tautologiami w rodzinie R. Wykażemy teraz, że reguła m 0 jest niezawodna w rodzinie R. Weźmy więc dowolny układ M, µ m 0. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y U, że M = {X Y} i µ = X Y. Wobec definicji 4.4 mamy pokazać, że { µ ν M : M EM (R) = ν E M (R) }. ( ) R R Ustalmy więc dowolną relację R R i przypuśćmy, że M E M (R), tzn. zależność X Y spełnia warunek (MVD). Mamy sprawdzić, że zależność µ również spełnia warunek (MVD). Wybierzmy więc dowolne krotki r, s R i załóżmy, że r X = s X. Ponieważ X Y E M (R), to wobec warunku (MVD) dla krotek s, r istnieje taka krotka t, że t X Y = s X Y t X Y = r X Y. Oznacza to jednocześnie, że zależność X Y spełnia warunek (MVD), a więc niezawodność reguły m 0 w rodzinie R. Sprawdzimy teraz, że reguła m 2 jest niezawodna w rodzinie R. Weźmy więc dowolny układ M, µ m 2. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że M = {X Y} i µ = X Z Y Z. Mamy pokazać, że zachodzi warunek ( ). Ustalmy więc dowolną relację R R i przypuśćmy, że M E M (R), tzn. zależność X Y spełnia warunek (MVD). Mamy sprawdzić, że zależność µ też spełnia warunek (MVD). Ustalmy więc dowolne krotki r, s R i załóżmy, że r X Z = s X Z. Trzeba wskazać taką krotkę t R, że t (X Z) (Y Z) = r (X Z) (Y Z) t (X Z) (Y Z) = s (X Z) (Y Z). Ponieważ zależność X Y spełnia warunek (MVD) i r X = s X, to istnieje taka krotka u R, że u X Y = r X Y u X Y = s X Y. Sprawdzimy, że t = u jest szukaną krotką. Ponieważ u Y = r Y i u Y = s Y, to u Y Z = r Y Z i u Y Z = s Y Z. Ponadto r Z = s Z, więc r Y Z = s Y Z. Zatem mamy u Y Z = r Y Z i u Y Z = r Y Z, co oznacza, że u Z = u Z (= s Z ). W połączeniu z równością u X Y = r X Y otrzymujemy stąd u X Y Z = r X Y Z, czyli pierwszą

32 32 Rozdział 4. Zależności wielowartościowe ze sprawdzanych równości. A ponieważ u X Y = s X Y i (Y Z) Y, to tym bardziej u X (Y Z) = s X (Y Z). Poza tym, przed chwilą wykazaliśmy, że u Z = s Z, skąd otrzymujemy u X (Y Z) Z = s X (Y Z) Z, czyli drugą ze sprawdzanych równości. Wykazaliśmy tym samym niezawodność reguły m 2 w rodzinie R. Wykażemy teraz niezawodność reguły m 3 w rodzinie R. Weźmy więc dowolny układ M, µ m 3. Wtedy istnieją takie zbiory X, Y, Z U, że M = {X Y, Y Z} i µ = X Z \ Y. Musimy pokazać, że zachodzi warunek ( ). Ustalmy więc dowolną relację R R i przypuśćmy, że M E M (R), tzn. zależności X Y i Y Z spełniają warunek (MVD). Mamy sprawdzić, że również zależność µ spełnia warunek (MVD). Ustalmy więc dowolne krotki r, s R i załóżmy, że r X = s X. Mamy wskazać taką krotkę t R, że t X (Z\Y) = r X (Z\Y) t X (Z\Y) = r X (Z\Y). Ponieważ X Y E M (R), to z warunku (MVD) dla krotek s, r wynika, że istnieje taka krotka u R, że u X Y = s X Y u X Y = r X Y. ( ) Podobnie, Y Z E M (R), więc wobec warunku (MVD) dla krotek u, s wnosimy istnienie takiej krotki v R, że v Y Z = u Y Z v Y Z = s Y Z. ( ) Sprawdzimy, że t = v jest szukaną krotką. Wobec ( ) mamy v Z X = u Z X i v Z X = s Z X, skąd wobec ( ) otrzymujemy v Z X = s Z X i v Z X = s Z X. Czyli v X = s X, a więc również v X = r X. Ponieważ Z \ Y = Z Y Y, to wobec ( ) otrzymujemy u Z\Y = r Z\Y. Z drugiej strony Z \ Y Z, więc wobec ( ) dostajemy v Z\Y = u Z\Y, skąd v Z\Y = r Z\Y. Poza tym jak pokazaliśmy przed chwilą v X = r X, czyli v X (Z\Y) = r X (Z\Y). Jako, że (Z \ Y) = U \ (Z \ Y) = Y (U \ Z) = Y Z, to wobec ( ) otrzymujemy v (Z\Y) = s (Z\Y). Ponadto v X = s X, a więc v X (Z\Y) = s X (Z\Y), co kończy dowód niezawodności reguły m 3 w rodzinie R. są niezawodne w rodzi- Wniosek nie R. Reguły m 0, m 2, m 4, m 5, m 5, m 7 i m 8 Dowód. Wynika wprost z twierdzenia 4.17 oraz wniosku 1.20.