FOTOGRAMETRYCZNE OKREŚLENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU W TRAKCIE LABORATORYJNEGO EKSPERYMENTU GEOTECHNICZNEGO

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "FOTOGRAMETRYCZNE OKREŚLENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU W TRAKCIE LABORATORYJNEGO EKSPERYMENTU GEOTECHNICZNEGO"

Transkrypt

1 Archium Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji, Vol. 9, 2009 ISBN FOTOGRAMETRYCZNE OKREŚLENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU W TRAKCIE LABORATORYJNEGO EKSPERYMENTU GEOTECHNICZNEGO THE PHOTOGRAMMETRIC DETERMINATION OF SOIL DISLOCATIONS DURING A GEOTECHNICAL LABORATORY EXPERIMENT Jerzy Miałdun Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji, Uniersytet Warmińsko-Mazurski Olsztynie SŁOWA KLUCZOWE: fotogrametria, eksperyment geotechniczny, numeryczny model poierzchni, ymiar fraktalny STRESZCZENIE: W laboratorium geotechnicznym Politechniki Gdańskiej proadzone są badania przemieszczania się gruntu naciskanego stopą fundamentoą budoli. Odbya się to urządzeniu specjalnie skonstruoanym dla tego celu. Jest to skrzynia z jedną ścianką ykonaną ze szkła. Typoy eksperyment tam proadzony to eksperyment ze smugami. Do skrzyni sypuje się odpoiednio spreparoany jasny piasek na przemian z piaskiem ciemniejszym. Grunt naciskany stopą odkształca się. Kierunki odkształceń są idoczne przez szybę. Mankamentem tej metody okazuje się brak możliości pomiaru kierunku i długości przesunięć. Rozinięciem tej metody jest zastąpienie smug znacznikami przylegającymi do szyby. Kilkanaście prób potierdziło przydatność tej metody. Techniką jednoobrazoej cyfroej fotogrametrii można określić kierunki i długości przemieszczeń znacznikó. W pracy przedstaione są yniki jednego z eksperymentó z propozycjami graficznej ich prezentacji oraz generoania cyfroego smug. Przedstaiono też metodę obliczania ymiaru fraktalnego, który charakteryzuje dynamikę zmian zachodzących odkształcanym gruncie.. WSTĘP Geotechnika to dział geologii inżynierskiej zajmujący się określaniem fizycznych łaściości gruntu (złaszcza metodami laboratoryjnymi) celu ustalenia arunkó budolanych. Wynikiem takich badań jest ocena stanu podłoża budolanego z określeniem zasięgu osłabień gruntu. Od kilku lat praconicy Katedry Geotechniki Wydziału Nauk Technicznych UWM Olsztynie proadzą modeloe badania laboratoryjne dynamiki przemieszczeń gruntu pod naciskiem stopy fundamentoej budoli. Autorzy tego artykułu mieli sposobność ykonania fotogrametrycznej rejestracji przemieszczeń gruntu czasie trania eksperymentó i opracoania ynikó. Podczas ielokrotnego omaiania ynikó badań często pojaiał się temat ysokich kosztó prac fotogrametrycznych. Kierując się sugestiami geotechnikó postał pomysł storzenia narzędzia do cyfroej obróbki ynikó rejestracji fotogrametrycznej. 287

2 Jerzy Miałdun 2. TECHNICZNE ASPEKTY EKSPERYMENTÓW Eksperymenty proadzone były laboratorium geotechnicznym Politechniki Gdańskiej. Urządzenie do modeloania nacisku stopy fundamentoej na grunt to staloa otarta z góry skrzynia o prostokątnym dnie i szklanym jednym boku (Rys. ). Rys.. Widok urządzenia do proadzenia eksperymentó geotechnicznych Do skrzyni, pierszej ersji eksperymentó, nasypyany był piasek czysty, oraz zabariony sadzą o znanych cechach granulometrycznych. Cienkie arsty ciemnego piasku torzyły smugi, które pod działaniem siły nacisku miały pokazyać kierunki odkształcania się gruntu. Stopa fundamentoa, ykonana ze staloego ceonika o szerokości ok. 30 cm, podlegała naciskoi mechanizmu śruboego napędzanego silnikiem elektrycznym. Przesunięcie ceonika oraz siłę nacisku monitoroały czujniki połączone z komputerem. 288

3 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Po zakończeniu eksperymentu zespół badaczy stierdził z przykrością, że rejestracja fotogrametryczna tak zaprojektoanego eksperymentu nie nosi istotnych danych (rys. 2). Rys. 2. Obraz smug przed i po zakończeniu eksperymentu W drugiej ersji, po analizie ynikó eksperymentu ze smugami, do skrzyni nasypyany był piasek o znanych cechach granulometrycznych a na styku gruntu z szybą umieszczano g ustalonego zorca kontrolne znaczki pomiaroe. Każdy znaczek ykonany był z czarnego torzya kształcie stożka. Podstaa stożka miała średnicę 3 mm z białą plamką o średnicy mm pośrodku. Wysokość stożka była róna 3 mm. Znaczki umieszczano tak aby po obsypaniu piaskiem ich podstay przylegały do szyby (rys. 3). Na szybie urządzenia naklejono znaki kształcie zbliżonym do krzyża maltańskiego. Na podstaie bezpośrednich pomiaró linioych i nielacji geometrycznej obliczono ich spółrzędne układzie lokalnym. Błąd położenia tych fotopunktó po yrónaniu nie przekroczył ±0.4 mm. Piersze eksperymenty proadzone były środkoej części urządzenia i dlatego najpier założono sieć pięciu fotopunktó torzących czorobok o ymiarach ok. m na m. Piąty punkt służył do orientacji kamery i jako punkt kontrolny do oceny dokładności. Cztery kolejne zenętrzne fotopunkty dodano fazie badań zajmujących całą przestrzeń urządzania. Część punktó, 289

4 Jerzy Miałdun na pierszy rzut oka, leży praie na jednej prostej. Fakt ten nie ma jednak płyu na możliość yznaczenia położenia znaczkó kontrolnych, o czym będzie moa później. Rys. 3. Widok znaczkó umieszczonych pisku za szybą urządzenia Stanoisko kamery UMK 0/38 yznaczono i zastabilizoano podłodze odległości 2,8 m od środka płaszczyzny szyby. Zdjęcia ykonyano na płytach ORWO TO orientując oś kamery prostpadle do płaszczyzny szyby urządzania. Piersze zdjęcie ykonyano przed łączeniem mechanizmu naciskającego, następne co 0 minut do chili utraty stabilności gruntu. Rejestracja fotogrametryczna trała zazyczaj 7 do 35 minut. Po yołaniu negatyó spółrzędne tłoe fotopunktó i znaczkó kontrolnych mierzono na stereokomparatorze Stecometer C. W tym przypadku pełnił on rolę monokomparatora. Różnicoy charakter pomiaró był osiągnięty przez ykonyanie zdjęć z tego samego stanoiska przy niezmiennej orientacji. Wpły grubej na 25 mm szyby urządzenia laboratoryjnego, za którą umieszczone były znaczki kontrolne oraz dystorsji obiektyu kamery na położenie ich obrazó na zdjęciu tym zadaniu był nieistotny. Do obliczenia spółrzędnych znaczkó kontrolnych układzie lokalnym fotopunktó ykorzystano następujący algorytm: Przekształcenie rzutoe płaszczyzn yrażone jest następującą zależnością: AX + BY + C x = oraz DX + EY + FX + GY + H y = () DX + EY + gdzie: A... H - to parametry przekształcenia, x, y, X, Y spółrzędne fotopunktó obu płaszczyznach (zdjęcia i urządzenia laboratoryjnego). Kiedy par punktó jest ięcej niż 4 można napisać układ rónań popraek postaci: 290

5 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego AX + BY + C DxX ExY x = vx (2) DyX EyY + FX + GY + H y = vy (3) Po ułożeniu układu rónań normalnych i roziązaniu go otrzymujemy popraki do spółrzędnych fotopunktó układzie zdjęcia. W oparciu o popraione spółrzędne x, y oraz spółrzędne fotopunktó X, Y ykorzystując zależności: A x + B y + C X = oraz D x + E y + F x + G y + H Y = (4) D x + E y + yznaczamy spółczynniki A... H i obliczamy spółrzędne przetorzone zmierzonych na zdjęciu znaczkó kontrolnych. Istotną i bardzo czasochłonną czynnością jest utorzenie par spółrzędnych tych samych znaczkó kontrolnych zarejestroanych różnym czasie. Na urządzenie laboratoryjne przenoszone są ibracje silnika elektrycznego napędzającego mechanizm śruboy naciskający stopę fundamentoą. Pod ich płyem między część znaczkó kontrolnych a szybę ciska się badany grunt. W ten sposób postają obseracje sieroty (bez pary). Usunięcie ich ze zbioró ymaga czasu i cierpliości. Po pokonaniu tego etapu można yznaczyć z obliczonych spółrzędnych: - składoe ektoró przesunięcia znaczkó kontrolnych ΔX i ΔY, - długości ektoró przesunięć znaczkó kontrolnych D, - ektory prędkości przesunięcia znaczkó kontrolnych V. W oparciu o te dane można storzyć ykres przesunięć znaczkó kontrolnych, a po ytorzeniu numerycznego modelu poierzchni (NMP) składoych ΔX i ΔY oraz prędkości V ykresy rónych przesunięć składoych i rónych prędkości postaci izolinii. Moa tu jest o parze spółrzędnych znaczkó kontrolnych, ale można prześledzić rónież drogę po jakiej poruszał się taki znaczek doolnie zadanych odcinkach czasoych. To zadanie ymaga jeszcze iększej uagi złaszcza gdy przesunięcia są duże i bliskie odległości początkoej między rzędami znaczkó kontrolnych. Jeszcze trudniejsze jest tu yeliminoanie punktó-sierot pozbaionych pary. Po analizie ynikó uzyskanych przy zastosoaniu analogoych fotogrametrycznych urządzeń pomiaroych postanoiono ykorzystać możliości leżące fotogrametrii obrazó cyfroych. Za takim roziązaniem przemaiały przede szystkim: - trudny i kosztony dostęp do specjalistycznych urządzeń fotogrametrycznych, - poszechność i łatość użytkoania dobrej klasy komputeró osobistych, - porónyalne dokładności uzyskiane z użyciem obrazó cyfroych i technik komputeroych. Pierszym etapem było przetorzenie analogoych zdjęć fotogrametrycznych na postać cyfroą. Obrazy skanoano z rozdzielczością 000 DPI, którą uznano stępnie za optymalną dla jakości i ekonomiczności opracoania. Przy takim poziomie rozdzielczości na mm 2 płaszczyźnie eksperymentu przypadło 550 piskeli. Poyższe parametry skanoania umożliiły osiąganie ynikó z dokładnością do ok. 0,03 mm skali zdjęcia czyli tym przypadku 0,38 mm mierze terenoej eksperymentu. Wielkości te 29

6 Jerzy Miałdun nieznacznie tylko odbiegają od dokładności pomiaró możliych do osiągnięcia na stekometrze i (jednak) mogły zostać uznane za granicznie ystarczające do opracoania eksperymentu przy zachoaniu istotnej łatości obsługi i dostępności oprogramoania dla nieco naet przestarzałych platform sprzętoych. Następnie zdjęcia opracoano na autografie cyfroym VSD oraz eksperymentalnym systemie pomiaroym ykorzystującym pseudoanaglify (Janoski et al., 2002). 3. GRAFICZNA PREZENTACJA WYNIKÓW Pożądanym jest, aby yniki przedstaione były atrakcyjny i sugestyny sposób. Rys. 4. Prezentacja graficzna przetorzonych ynikó pomiaró postaci hybrydoej. Gamę różnorodnych sposobó prezentacji ynikó można zaczerpnąć z kartograficznych metod redakcji map hipsometrycznych. Przykład, jeden z ielu, ykorzystujący ytorzony numeryczny model poierzchni (NMP) przedstaiono na rys.4. Najistotniejszym zadaniem, po rezygnacji z eksperymentó ze smugami, było opracoanie numerycznej metody ich generoania. NMP pozala na yznaczenie doolnym miejscu składoych przesunięć. Umożliia to ytorzenie zdłuż zadanej linii ektoró przesunięć założonym interale (rys. 5). Korzystając z tej techniki można zrezygnoać z tradycyjnego eksperymentu ze smugami. 292

7 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Rys. 5. Wektoroy obraz smug ygeneroany z NMP Przedstaienie ynikó, choćby najatrakcyjniejszej formie, nie zaiera skaźnikó liczboych opisujących takie cechy obrazu jak kształt, liczebność elementó, pole poierzchni, długość kraędzi itp. (Tadeusieicz et al., 997). W literaturze opisane są spółczynniki dotyczące głónie figur płaskich. Nie opisują one jednak stopnia komplikacji poierzchni. Parametrem opisującym tę cechę może być ymiar fraktalny (Clarke, 986). 4. METODY OBLICZANIA WYMIARU FRAKTALNEGO Pojęcie ymiaru fraktalnego jest trudne do jednoznacznego zdefinioania (Peitgen et al., 997). Na przełomie XIX i XX ieku jednym z głónych problemó matematyki było stierdzenie, co to jest ymiar i jakie ma łasności. Od tamtej pory sytuacja pogorszyła się jeszcze, gdyż matematycy podali przynajmniej dziesięć różnych definicji ymiaru: ymiar topologiczny, ymiar Hausdorffa, ymiar fraktalny, ymiar samopodobieństa, ymiar pudełkoy, ymiar euklidesoy i iele innych. Wszystkie one są ze sobą poiązane. Niektóre z nich mają sens penych arunkach, podczas gdy innych przydatne są definicje alternatyne. Czasami szystkie mają sens i pokryają się. W innych przypadkach, mimo że kilka z nich ma sens, mogą proadzić do różnych artości. Dziś praktyce można spotkać się najczęściej z (Peitgen et al., 997): - ymiarem cyrkloym, czasem nazyanym metodą izorytmiczną, - ymiarem obodoo-poierzchnioym, - ymiarem pudełkoym. Pierszy z nich jest dość trudny do zastosoania prezentoanym przykładzie. Drugi ymaga posiadania iększej kolekcji jednorodnego materiału badaczego (Frohn, 997), co tym przypadku yklucza jego zastosoanie. Pozostaje ięc ymiar pudełkoy. Metodycznie i technicznie jest on, przypadku badania obrazó cyfroych, najbardziej obiecujący ale dotyczy całych badanych poierzchni. Najbardziej interesujące są jednak zmiany lokalne tego ymiaru na małych poierzchniach sąsiadujący ze sobą. Takie założenie stało się poodem podjęcia opracoania metody obliczania lokalnego ymiaru fraktalnego opartej na podobieństie do założeń metody cyrkloej. 4.. Metoda cyrkloa yznaczania ymiaru Ogólnie rzecz biorąc linioy ymiar fraktalny jest miarą stopnia krętości linii i mieści się przedziale od (dla linii prostej) do 2 (dla linii tak krętej, ze pokrya całą duymiaroą poierzchnię). Idealne obiekty fraktalne są do siebie podobne każdej 293

8 Jerzy Miałdun skali analizy. Rzeczyiste elementy krajobrazu są podobne do siebie tylko sensie statystycznym. Metoda cyrkloa pozala na yznaczenie ymiaró fraktali krzyolinioych o bardzo skomplikoanym przebiegu. Jeżeli spełniona jest zależność: L=f(ε), która ujania się postaci praa potęgoego: L~ε a, przy ε 0. L jest długością linii, ε długością miary, a jest ykładnikiem potęgoym o ujemnym znaku, gdyż L zrasta przy malejącym ε. Pomiędzy log N( ε ) ymiarem = obiektó linioych a ykładnikiem a zachodzi yproadzona log(/ ε ) poniżej zależność. Wiadomo, że N(ε)=L(ε)/ ε, gdzie N(ε) oznacza liczbę odłożeń miary. log = log N( ε ) ε (5) ε = N( ε ) (6) ε = (7) ε D ε = L( ε ) ε L( ε ) a ( ε ) ε f ε = L = (8) (9) = a (0) = a () W praktycznym postępoaniu należy ybrać miarę o długości ε i zmierzyć nią długość fraktala L(ε )= ε N (ε ), gdzie N jest liczbą odłożeń całkoitych i reszty miary. Następnie dobieramy coraz krótsze miary ε > ε 2 > ε 3 >...> ε n i yznaczamy odpoiadające im długości fraktala L...L n. Wykreślamy skali logarytmicznej zależność L i i ε i (Kudreicz, 993). Wymiar fraktalny otrzymujemy jako - a, gdzie a oznacza nachylenie linii regresji. Nachylenie a ma artość ujemną, ponieaż raz ze zrostem długości miary, coraz ięcej szczegółó linii jest pomijanych i całkoita długość linii maleje. Ponieaż artości przedstaione są na ykresie logarytmicznym, z praktycznej strony, najlepiej jest dobierać ielkości miary, które zrastają zgodnie z potęgami dójki, tedy obseracje zmiennej niezależnej dla linii regresji rozmieszczone są na osi rónych odstępach (Clarke, 986). Przy tej samej metodzie pomiaru ykorzystuje się rónież inny algorytm yznaczania ymiaru linii. Niech L oznacza ynik pomiaru długości linii za pomocą miary o długości N, natomiast L 2 ynik pomiaru miarą N 2. Wymiar fraktalny obliczamy zgodnie z formułą: ( L2 / L ) ( N / N ) log = (2) log 2 294

9 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Im bardziej skomplikoany kształt mierzonego obiektu, tym iększe będzie L 2 od L i iększy będzie ymiar fraktalny (Green, 995) Obliczanie ogólnego i lokalnego ymiaru fraktalnego naiązaniu do metody cyrkloej Wymiar fraktalny jako parametr ogólny macierzy można yznaczyć drodze pomiaru pola poierzchni stosując różne miary (Clarke, 986). Niech P oznacza ynik pomiaru pola poierzchni za pomocą miary o poierzchni N (rys. 6). Miarą może być trójkąt prostokątny rónoramienny ( rzucie na płaszczyznę,k) o ramieniu n pikseli. Natomiast P 2 ynik pomiaru miarą N 2 o ramieniu n 2. Wymiar fraktalny obliczamy analogicznie z formułą (2). Jeżeli założymy, że najmniejszym analizoanym elementem obrazu będzie poierzchnia kadratu o podstaie 6 pikseli to obliczenie pola poierzchni tego obszaru przestrzeni można podzielić na 3 kroki. W pierszym kroku pole poierzchni obszaru składa się z dóch pól poierzchni trójkątó drugim kroku z 8 a trzecim z 8. W ten sposób przez ziększanie liczby pól trójkątó ziększamy dokładność pomiaru tego pola. Można się domyślać przez analogię do ymiaru cyrkloego, że pole poierzchni tego obszaru poinno każdym kroku zrastać. Rys. 6. Mając trzy yniki pomiaru pola poierzchni można obliczyć spółczynnik nachylenia linii regresji a i obliczyć ymiar fraktalny. Wymiar ten charakteryzuje stopień nieregularności poierzchni badanego obszaru przestrzeni 3D. Przesuając analizoane do następnej kolumny potarzamy operacje. Po dojściu do końca iersza przesuamy analizoane pole do pierszej kolumny następnego iersza i potarzany operacje. Otrzymamy ten sposób noą macierz złożoną ze spółczynnikó. Macierz tę można nazać macierzą lokalnych ymiaró fraktalnych (rys. 7,8). 295

10 Jerzy Miałdun Rys. 7. Rozkład artości składoej ΔX 5. PODSUMOWANIE Rys. 8. Rozkład artości lokalnego ymiaru fraktalnego W yniku zmiany koncepcji organizacji eksperymentó geotechnicznych uzyskano możliość rejestracji przemieszczeń gruntu metodą fotogrametrii jednoobrazoej z dużą precyzją. Uzyskane błędy zajemnego położenia znaczkó, umieszczonych badanym gruncie, nie przekroczyły ±0.2 mm. Adaptacja kartograficznych metod kartoania map do prezentacji numerycznych modeli poierzchni spoodoała podniesienie atrakcyjności i sugestyności przedstaianych ynikó pomiaró. Opracoanie metodyki numerycznego generoania smug oparciu o NMP pozoliło na rezygnację z eksperymentó ze smugami. Wproadzenie ymiaru fraktalnego, jako skaźnika zmienności NMP, daje możliość noej klasyfikacji ynikó eksperymentó. W przykładzie prezentoanym na Rys. 7 i 8 ogólny ymiar fraktalny yniósł Df =.84 oraz ymiar lokalny przedziale LITERATURA Clarke K.C., 986. Computation of the fractal dimension of topographic surfaces using the triangular prism surface area method. Computers and Geosciences, vol. 2, no. 5. Green D.G., 995. Fractals and scale. Copyright David G. Green 993. Janoski A., Miałdun J., Szulic J., Wyznaczanie przemieszczeń gruntu podczas modeloych badań laboratoryjnych z ykorzystaniem pseudoanaglifó. Archium Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji, Vol. 2 a, s

11 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Kudreicz J., 993, Fraktale i chaos. Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa. Malina W., Smiatacz M., Metody cyfroego przetarzania obrazó, Akademicka Oficyna Wydanicza EXIT, Warszaa, s Peitgen H. O., Jurgens H., Saupe D., 997. Granice chaosu fraktale. Wydanicto Naukoe PWN, Warszaa. Tadeusieicz R., Korohoda P., 997, Komputeroa analiza i przetarzanie obrazó, Wydanicto Postępu Telekomunikacji, Krakó, THE PHOTOGRAMMETRIC DETERMINATION OF SOIL DISLOCATIONS DURING A GEOTECHNICAL LABORATORY EXPERIMENT KEY WORDS: photogrammetry, geotechnical experiment, digital surface model, fractal dimension SUMMARY: The geotechnical laboratory at Gdańsk Polytechnic conducts investigation of the relocation of soil under the donard pressure of a building foundation footing. Tests are carried out in a device specially constructed for the purpose, i.e. a box ith one of its alls made of glass. A typical experiment conducted ith the use of that device is the one involving specially prepared sand, hich is laid alternately in streaks of brighter and darker shades. As the foundation footing is placed, the ground gives in, and the directions in hich the sand moves are visible through the glass. One draback of that method is the fact that it is impossible to measure the direction and length of the sand relocations. The method can be developed by replacing streaks of sand ith markers adhering to the glass. The method as confirmed as useful in several tests. The technique of single-image digital photogrammetry makes it possible to determine the directions and lengths of relocated markers. This paper presents the results of one such experiment, along ith a number of suggestions of ho they may be presented graphically, and ho the streaks may be generated digitally. A method is also examined as regards calculating the fractal dimension, hich describes the dynamics of changes that may be observed in the ground being deformed. Dr inż. Jerzy Miałdun tel fax

WYZNACZENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU PODCZAS BADAŃ LABORATORYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM PSEUDOANAGLIFÓW

WYZNACZENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU PODCZAS BADAŃ LABORATORYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM PSEUDOANAGLIFÓW 154 Artur Janowski Jerzy Miałdun Jakub Szulwic WYZNACZENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU PODCZAS BADAŃ LABORATORYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM PSEUDOANAGLIFÓW Streszczenie. W modelowych badaniach odkształceń gruntu w

Bardziej szczegółowo

Badania ruchu w Trójmieście w ramach projektu Kolei Metropolitalnej. mgr inż. Szymon Klemba Warszawa, 13.03.2012r.

Badania ruchu w Trójmieście w ramach projektu Kolei Metropolitalnej. mgr inż. Szymon Klemba Warszawa, 13.03.2012r. Badania ruchu Trójmieście ramach projektu Kolei Metropolitalnej mgr inż. Szymon Klemba Warszaa, 13.03.2012r. SPIS TREŚCI 1 Tło i cel badań 2 Podstaoe pojęcia modeloania 3 Proces budoy modelu 3A Model układu

Bardziej szczegółowo

TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10

TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 Fotogrametria to technika pomiarowa oparta na obrazach fotograficznych. Wykorzystywana jest ona do opracowywani map oraz do różnego rodzaju zadań pomiarowych.

Bardziej szczegółowo

SYSTEM MONITORINGU POWODZIOWEGO

SYSTEM MONITORINGU POWODZIOWEGO SYSTEM MONITORINGU POWODZIOWEGO Czeriec 2010 SPIS TREŚCI 1. Wproadzenie. 2. Zastosoanie 3. Opis systemu. 4. Funkcje systemu. 5. Elementy składoe systemu. 6. Schemat pracy systemu. 7. Cechy systemu. 8.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW ENERGOELEKTRONIKI (studium zaoczne) Ćwiczenie 5. Falownik rezonansowy szeregowy

LABORATORIUM PODSTAW ENERGOELEKTRONIKI (studium zaoczne) Ćwiczenie 5. Falownik rezonansowy szeregowy Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych 93-590 Łódź, al. Politechniki 11 tel. (4) 631 6 45 faks (4) 636 03 7 http://.dmcs.p.lodz.pl LABORATORIUM PODSTAW ENERGOELEKTRONIKI

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE STOPNIA ODWRACALNOŚCI OBIEGÓW LEWOBIEŻNYCH

OKREŚLANIE STOPNIA ODWRACALNOŚCI OBIEGÓW LEWOBIEŻNYCH Dariusz Nanoski Akademia Morska Gdyni OKREŚLANIE OPNIA ODWRACALNOŚCI OBIEGÓW LEWOBIEŻNYCH Praca odnosi się do dostępnej literatury i zaiera łasne analizy ziązane z określaniem stopnia odracalności obiektu

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 7 SKALOWANIE ZWĘśKI

ĆWICZENIE NR 7 SKALOWANIE ZWĘśKI ĆWICZENIE NR SKALOWANIE ZWĘśKI. Cel ćiczenia: Celem ćiczenia jest ykonanie cechoania kryzy pomiaroej /yznaczenie zaleŝności objętościoego natęŝenia przepłyu poietrza przez zęŝkę od róŝnicy ciśnienia na

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TEORII STEROWANIA. Ćwiczenie 6 RD Badanie układu dwupołożeniowej regulacji temperatury

LABORATORIUM TEORII STEROWANIA. Ćwiczenie 6 RD Badanie układu dwupołożeniowej regulacji temperatury Wydział Elektryczny Zespół Automatyki (ZTMAiPC). Cel ćiczenia LABORATORIUM TEORII STEROWANIA Ćiczenie 6 RD Badanie układu dupołożenioej regulacji temperatury Celem ćiczenia jest poznanie łaściości regulacji

Bardziej szczegółowo

Proste pomiary na pojedynczym zdjęciu lotniczym

Proste pomiary na pojedynczym zdjęciu lotniczym Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat: Proste pomiary na pojedynczym zdjęciu lotniczym Kartometryczność zdjęcia Zdjęcie lotnicze

Bardziej szczegółowo

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Regulamin rekrutacji w projekcie Szkolenia i staże zawodowe dla osób niepełnosprawnych II edycja

Regulamin rekrutacji w projekcie Szkolenia i staże zawodowe dla osób niepełnosprawnych II edycja Regulamin rekrutacji projekcie Szkolenia i staże zaodoe dla osób niepełnospranych II edycja 1. INFORMACJE OGÓLNE 1. CZAS TRWANIA REKRUTACJI Proces rekrutacji do projektu Szkolenia i staże zaodoe dla osób

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Bilans cieplny suszarni teoretycznej Termodynamika Techniczna materiały dla studentów

Bilans cieplny suszarni teoretycznej Termodynamika Techniczna materiały dla studentów Bilans cieplny suszarni teoretycznej Termodynamika Techniczna materiały dla studentó K. Kyzioł, J. Szczerba Bilans cieplny suszarni teoretycznej Na rysunku 1 przedstaiono przykładoy schemat suszarni jednostopnioej

Bardziej szczegółowo

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia.

Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia. Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia. Zagadnienia 1. Widzenie monokularne, binokularne

Bardziej szczegółowo

STYKOWE POMIARY GWINTÓW

STYKOWE POMIARY GWINTÓW Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu i pryzmatu

Wyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu i pryzmatu POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA KATEDRA ZARZĄDZANIA PRODUKCJĄ Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: MATEMATYKA Z ELEMENTAMI FIZYKI Kod przedmiotu: ISO73; INO73 Ćwiczenie Nr Wyznaczanie współczynnika

Bardziej szczegółowo

HSC Research Report. Optimization of the decision on the integration. generation with the electrical grid using linear programming HSC/09/03

HSC Research Report. Optimization of the decision on the integration. generation with the electrical grid using linear programming HSC/09/03 HSC/09/03 HSC Research Report Optimization of the decision on the integration of distributed generation ith the electrical grid using linear programming (Optymalizaca decyzi o przyłączeniu rozproszonych

Bardziej szczegółowo

SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION

SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION MOŻLIWOŚCI WYDOBYCIA INFORMACJI 3D Z POJEDYNCZYCH WYSOKOROZDZIELCZYCH OBRAZÓW SATELITARNYCH J. Willneff, J. Poon, C. Fraser Przygotował:

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

XLIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne

XLIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne XLIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne ZADANIE D1 Nazwa zadania: Współczynnik załamania cieczy wyznaczany domową metodą Masz do dyspozycji: - cienkościenne, przezroczyste naczynie szklane

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE EDUKACYJNEGO OPROGRAMOWANIA DO LOTNICZEJ FOTOGRAMETRII CYFROWEJ Z PROFESJONALNYMI SYSTEMAMI FOTOGRAMETRYCZNYMI

PORÓWNANIE EDUKACYJNEGO OPROGRAMOWANIA DO LOTNICZEJ FOTOGRAMETRII CYFROWEJ Z PROFESJONALNYMI SYSTEMAMI FOTOGRAMETRYCZNYMI Michał Kędzierski PORÓWNANIE EDUKACYJNEGO OPROGRAMOWANIA DO LOTNICZEJ FOTOGRAMETRII CYFROWEJ Z PROFESJONALNYMI SYSTEMAMI FOTOGRAMETRYCZNYMI Streszczenie. W referacie zostało porównane edukacyjne oprogramowanie

Bardziej szczegółowo

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Zbiór Cantora. Diabelskie schody.

Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Autor: Norbert Miękina Zespół Szkół nr 3 im. ks. prof. Józefa Tischnera ul. Krakowska 20 32-700 Bochnia tel. 14 612-27-79 Opiekun: mgr Barbara Góra 1 W matematyce sztuka

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 Obliczanie pól powierzchni figur geometrycznych

Wykład 14 Obliczanie pól powierzchni figur geometrycznych Wykład 14 Obliczanie pól powierzchni figur geometrycznych Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 1, pokój 04 Mapa katastralna Kataster Obliczanie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Stateczność prętów. Wyboczenie sprężyste

Wykład 9. Stateczność prętów. Wyboczenie sprężyste Wykład 9. Stateczność prętó. Wyoczenie sprężyste 1. Siła ytyczna pręta podpartego soodnie Dla pręta jak na rysunku 9.1 eźmiemy pod uagę możliość ygięcia się pręta z osi podczas ściskania. jest modułem

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst

Bardziej szczegółowo

URZĄD STATYSTYCZNY W KRAKOWIE

URZĄD STATYSTYCZNY W KRAKOWIE URZĄD STATYSTYCZNY W KRAKOWIE 31-223 Krakó, ul. Kazimierza Wyki 3 e-mail:sekretariatuskrk@stat.gov.pl tel. 012 415 38 84 Internet: http://.stat.gov.pl/urzedy/krak Informacja sygnalna - Nr 5 Data opracoania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

W trakcie praktyki student powinien zapoznać się z następującymi zagadnieniami:

W trakcie praktyki student powinien zapoznać się z następującymi zagadnieniami: dla studentó Wydziału Nauk o Żyności Szkoły Głónej Gospodarsta Wiejskiego Warszaie odbyających praktykę zakładach przetórczych przemysłu spożyczego Celem praktyki jest zapoznanie studenta sposób kompleksoy

Bardziej szczegółowo

I.1.1. Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]

I.1.1. Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01] I.1.1. Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01] Do egzaminu zostało zgłoszonych: 13 Przystąpiło łącznie: 4 70 przystąpiło: 4 55 przystąpiło: ETAP PISEMNY ETAP PRAKTYCZNY zdało: 3 330 (71,5%) zdało:

Bardziej szczegółowo

Fizyka I. Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Fizyka I. Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) , Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Naza modułu Fizyka I Naza modułu języku angielskim Physics I Oboiązuje od roku akademickiego

Bardziej szczegółowo

Planowanie procesu produkcyjnego wyrobu innowacyjnego

Planowanie procesu produkcyjnego wyrobu innowacyjnego Pomiary Automatyka Robotyka, R 19, Nr 1/2015, 57 64, DOI: 1014313/PAR_215/57 Planoanie procesu produkcyjnego yrobu innoacyjnego Izabela Kutschenreiter-Praszkieicz Akademia Techniczno-Humanistyczna Bielsku-Białej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW

POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Ćwiczenie nr 4 TEMAT: POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW ZADANIA DO WYKONANIA:. zmierzyć trzy wskazane kąty zadanego przedmiotu kątomierzem

Bardziej szczegółowo

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO

Piotr Targowski i Bernard Ziętek WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki Specjalność: Fizyka Medyczna WYZNAZANIE MAIERZY [ABD] UKŁADU OPTYZNEGO Zadanie II Zakład Optoelektroniki

Bardziej szczegółowo

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE wg PN-EN ISO 5456-2 rzutowanie prostokątne (przedstawienie prostokątne) stanowi odwzorowanie geometrycznej postaci konstrukcji w postaci rysunków dwuwymiarowych. Jest to taki rodzaj

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ POMIAR OGNISKOWYCH SOCZEWEK CIENKICH 1. Cel dwiczenia Zapoznanie z niektórymi metodami badania ogniskowych soczewek cienkich. 2. Zakres wymaganych zagadnieo: Prawa odbicia

Bardziej szczegółowo

Wersja jednorazowa. 200 MB 2 zł 24 godziny DOSTĘPNA wersja niedostępna

Wersja jednorazowa. 200 MB 2 zł 24 godziny DOSTĘPNA wersja niedostępna Regulamin usługi Pakiety internetoe taryfach Orange One, Orange Yes, Orange POP i Noe Orange Go ofercie Orange na kartę oboiązuje od dnia 20 lipca 2015 r. do odołania 1. Pakiety internetoe ( Usługa ) to

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela Ćwiczenie O4 Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela O4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek skupiających oraz rozpraszających z zastosowaniem o metody Bessela. O4.2.

Bardziej szczegółowo

Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7

Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7 Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7 I. Dane do projektowania - Obciążenia stałe charakterystyczne: V k = (pionowe)

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

gruntów Ściśliwość Wytrzymałość na ścinanie

gruntów Ściśliwość Wytrzymałość na ścinanie Właściwości mechaniczne gruntów Ściśliwość Wytrzymałość na ścinanie Ściśliwość gruntów definicja, podstawowe informacje o zjawisku, podstawowe informacje z teorii sprężystości, parametry ściśliwości, laboratoryjne

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA, POMIARY I ODBIÓR JARZM PRECYZYJNYCH PRZEKŁADNI PLANETARNYCH

KONSTRUKCJA, POMIARY I ODBIÓR JARZM PRECYZYJNYCH PRZEKŁADNI PLANETARNYCH Szybkobieżne Pojazdy Gąsienicowe (16) nr 2, 2002 Jerzy WIERZBICKI KONSTRUKCJA, POMIARY I ODBIÓR JARZM PRECYZYJNYCH PRZEKŁADNI PLANETARNYCH Streszczenie: W artykule przedstawiono zagadnienie ustalania odchyłki

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne

Bardziej szczegółowo

5. USTAWIANIE PARAMETRÓW PROCESU FORMOWANIA WTRYSKOWEGO 6. WPŁYW PARAMETRÓW PROCESU FORMOWANIA WTRYSKOWEGOO NA WŁAŚCIWOŚCI WYPRASEK WTRYSKOWYCH

5. USTAWIANIE PARAMETRÓW PROCESU FORMOWANIA WTRYSKOWEGO 6. WPŁYW PARAMETRÓW PROCESU FORMOWANIA WTRYSKOWEGOO NA WŁAŚCIWOŚCI WYPRASEK WTRYSKOWYCH Ćiczenie 5, 6 5. USTAWIANIE PARAMETRÓW PROCESU FORMOWANIA WTRYSKOWEGO 6. WPŁYW PARAMETRÓW PROCESU FORMOWANIA WTRYSKOWEGOO NA WŁAŚCIWOŚCI WYPRASEK WTRYSKOWYCH ZAGADNIENIA DO ĆWICZEŃ Wstęp Proces formoania

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

FOTOGRAMETRYCZNY CYFROWY SYSTEM BLISKIEGO ZASIĘGU DLA POMIARU SKRAJNI KOLEJOWEJ *

FOTOGRAMETRYCZNY CYFROWY SYSTEM BLISKIEGO ZASIĘGU DLA POMIARU SKRAJNI KOLEJOWEJ * Polskie Towarzystwo Fotogrametrii i Teledetekcji Sekcja Fotogrametrii i Teledetekcji Komitetu Geodezji PAN Komisja Geoinformatyki PAU Zakład Fotogrametrii i Informatyki Teledetekcyjnej AGH Archiwum Fotogrametrii,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

KOMERCJALIZACJA WIEDZY

KOMERCJALIZACJA WIEDZY 1 HARMONOGRAM I TEMATY SZKOLEŃ KOMERCJALIZACJA WIEDZY Celem jest przekazanie skutecznych sposobó selekcjonoania oraz identyfikoania potencjału naukoo-badaczego uczelni yższych śietle ustay prao o szkolnictie

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903 Piotr FOLĘGA 1 DOBÓR ZĘBATYCH PRZEKŁADNI FALOWYCH Streszczenie. Różnorodność typów oraz rozmiarów obecnie produkowanych zębatych

Bardziej szczegółowo

Pierścienie uszczelniające O-Ring. z powłoką tworzywową oraz standardowe

Pierścienie uszczelniające O-Ring. z powłoką tworzywową oraz standardowe Pierścienie uszczelniające O-Ring z połoką torzyoą oraz standardoe PIERŚCIENIE USZCZELNIAJĄCE O-RING Oferta dla przemysłu zakresie uszczelnień ruchoych, spoczynkoych i usług remontoych: uszczelnienia toczone

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW 4014 180/99 Liczę z Pitagorasem Lp. Dział programu Tematyka jednostki metodycznej Uwagi 1 2 3 4 Lekcja organizacyjna I Działania

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który umie: 1.zapisywać potęgi w postaci iloczynów 2. zapisywać iloczyny jednakowych

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE SPECYFIKACJE TECHNICZNE D-01.01.01 ODTWORZENIE (WYZNACZENIE) TRASY I PUNKTÓW WYSOKOŚCIOWYCH

SZCZEGÓŁOWE SPECYFIKACJE TECHNICZNE D-01.01.01 ODTWORZENIE (WYZNACZENIE) TRASY I PUNKTÓW WYSOKOŚCIOWYCH SZCZEGÓŁOWE SPECYFIKACJE TECHNICZNE D-01.01.01 ODTWORZENIE (WYZNACZENIE) TRASY I PUNKTÓW WYSOKOŚCIOWYCH CPV 45111200-0 ROBOTY W ZAKRESIE PRZYGOTOWANIA TERENU POD BUDOWĘ I ROBOTY ZIEMNE 1. Wstęp. 1.1. Przedmiot

Bardziej szczegółowo

METODYKA BADAŃ MAŁYCH SIŁOWNI WIATROWYCH

METODYKA BADAŃ MAŁYCH SIŁOWNI WIATROWYCH Inżynieria Rolnicza 2(100)/2008 METODYKA BADAŃ MAŁYCH SIŁOWNI WIATROWYCH Krzysztof Nalepa, Maciej Neugebauer, Piotr Sołowiej Katedra Elektrotechniki i Energetyki, Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Bardziej szczegółowo

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu IDEA PRZEKROJU stosujemy, aby odzwierciedlić wewnętrzne, niewidoczne z zewnątrz, kształty przedmiotu.

Bardziej szczegółowo

Regulamin studenckich praktyk zawodowych na Wydziale Nauk o Żywności SGGW w Warszawie ZAŁĄCZNIK 3/I-1/P-n

Regulamin studenckich praktyk zawodowych na Wydziale Nauk o Żywności SGGW w Warszawie ZAŁĄCZNIK 3/I-1/P-n Regulamin studenckich praktyk zaodoych na Wydziale Nauk o Żyności SGGW Warszaie ZAŁĄCZNIK 3/I-1/P-n Wersja 2.0 Oboiązuje od: 24.09.2013 r. RAMOWY PROGRAM STUDENCKICH PRAKTYK ZAWODOWYCH zakładach przetórczych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Korekty finansowe związane z naruszeniami PZP. Audyty Komisji Europejskiej i Europejskiego Trybunału Obrachunkowego

Korekty finansowe związane z naruszeniami PZP. Audyty Komisji Europejskiej i Europejskiego Trybunału Obrachunkowego Korekty finansoe ziązane z naruszeniami PZP. Audyty Komisji Europejskiej i Europejskiego Trybunału Obrachunkoego 1. Cel dokumentu Celem niniejszego dokumentu jest prezentacja dotychczasoych dośiadczeń

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1. Metody określania niepewności pomiaru

Ćwiczenie 1. Metody określania niepewności pomiaru Grzegorz Wielgoszewski Data wykonania ćwiczenia: Nr albumu 134651 7 października 01 Proszę podać obie daty. Grupa SO 7:30 Data sporządzenia sprawozdania: Stanowisko 13 3 listopada 01 Proszę pamiętać o

Bardziej szczegółowo

Generowanie ortofotomapy w aplikacji internetowej Orthophoto Generation in the Web Application

Generowanie ortofotomapy w aplikacji internetowej Orthophoto Generation in the Web Application Zygmunt Paszotta Zakład Fotogrametrii i Teledetekcji Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Generowanie ortofotomapy w aplikacji internetowej Orthophoto Generation in the Web Application Tworzenie ortofotmapy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA KONSTRUKCJI I EKSPLOATACJI MASZYN

POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA KONSTRUKCJI I EKSPLOATACJI MASZYN POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA KONSTRUKCJI I EKSPLOATACJI MASZYN KOREKCJA ZAZĘBIENIA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 5 Z PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN OPRACOWAŁ: dr inż. Jan KŁOPOCKI Gdańsk 2000

Bardziej szczegółowo

Temat Zasady projektowania naziemnego pomiaru fotogrametrycznego. 2. Terenowy rozmiar piksela. 3. Plan pomiaru fotogrametrycznego

Temat Zasady projektowania naziemnego pomiaru fotogrametrycznego. 2. Terenowy rozmiar piksela. 3. Plan pomiaru fotogrametrycznego Temat 2 1. Zasady projektowania naziemnego pomiaru fotogrametrycznego 2. Terenowy rozmiar piksela 3. Plan pomiaru fotogrametrycznego Projektowanie Dokładność - specyfikacja techniczna projektu Aparat cyfrowy

Bardziej szczegółowo

Kod modułu Fotogrametria naziemna, lotnicza i satelitarna. semestr 5. semestr zimowy (semestr zimowy / letni)

Kod modułu Fotogrametria naziemna, lotnicza i satelitarna. semestr 5. semestr zimowy (semestr zimowy / letni) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012 r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Fotogrametria naziemna, lotnicza i satelitarna Nazwa modułu w języku angielskim

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze

Bardziej szczegółowo

Kamery naziemne. Wykonanie fotogrametrycznych zdjęć naziemnych.

Kamery naziemne. Wykonanie fotogrametrycznych zdjęć naziemnych. Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Kamery naziemne. Wykonanie fotogrametrycznych zdjęć naziemnych. Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika załamania światła

Wyznaczanie współczynnika załamania światła Ćwiczenie O2 Wyznaczanie współczynnika załamania światła O2.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika załamania światła dla przeźroczystych, płaskorównoległych płytek wykonanych z

Bardziej szczegółowo

GENERATOR PROGRAM. Instrukcja użytkownika

GENERATOR PROGRAM. Instrukcja użytkownika ALBECO Soft mgr inż. Piotr Berłoski ul. Warzyniaka 11 60-506 Poznań piotrber@albeco.poznan.pl.albeco.poznan.pl tel. 8420-027, fax 8420-228 PROGRAM GENERATOR Instrukcja użytkonika ersja 0.9 23.04.2004-1/8

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola elektrycznego

Badanie rozkładu pola elektrycznego Ćwiczenie 8 Badanie rozkładu pola elektrycznego 8.1. Zasada ćwiczenia W wannie elektrolitycznej umieszcza się dwie metalowe elektrody, połączone ze źródłem zmiennego napięcia. Kształt przekrojów powierzchni

Bardziej szczegółowo

BŁĘDY OKREŚLANIA MASY KOŃCOWEJ W ZAKŁADACH SUSZARNICZYCH WYKORZYSTUJĄC METODY LABORATORYJNE

BŁĘDY OKREŚLANIA MASY KOŃCOWEJ W ZAKŁADACH SUSZARNICZYCH WYKORZYSTUJĄC METODY LABORATORYJNE Inżynieria Rolnicza 5(103)/2008 BŁĘDY OKREŚLANIA MASY KOŃCOWEJ W ZAKŁADACH SUSZARNICZYCH WYKORZYSTUJĄC METODY LABORATORYJNE Zbigniew Zdrojewski, Stanisław Peroń, Mariusz Surma Instytut Inżynierii Rolniczej,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

DIGITAL PHOTOGRAMMETRY AND LASER SCANNING IN CULTURAL HERITAGE SURVEY

DIGITAL PHOTOGRAMMETRY AND LASER SCANNING IN CULTURAL HERITAGE SURVEY DIGITAL PHOTOGRAMMETRY AND LASER SCANNING IN CULTURAL HERITAGE SURVEY Fotogrametria cyfrowa i skaning laserowy w dokumentacji i archiwizacji obiektów dziedzictwa kulturowego Autorzy artykułu: A. Guarnieria,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszkód za pomocą światła laserowego

Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszkód za pomocą światła laserowego Ćwiczenie O5 Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszkód za pomocą światła laserowego O5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wykorzystanie zjawiska dyfrakcji i interferencji światła do wyznaczenia rozmiarów

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo