FOTOGRAMETRYCZNE OKREŚLENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU W TRAKCIE LABORATORYJNEGO EKSPERYMENTU GEOTECHNICZNEGO
|
|
- Klaudia Grażyna Borkowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Archium Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji, Vol. 9, 2009 ISBN FOTOGRAMETRYCZNE OKREŚLENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU W TRAKCIE LABORATORYJNEGO EKSPERYMENTU GEOTECHNICZNEGO THE PHOTOGRAMMETRIC DETERMINATION OF SOIL DISLOCATIONS DURING A GEOTECHNICAL LABORATORY EXPERIMENT Jerzy Miałdun Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji, Uniersytet Warmińsko-Mazurski Olsztynie SŁOWA KLUCZOWE: fotogrametria, eksperyment geotechniczny, numeryczny model poierzchni, ymiar fraktalny STRESZCZENIE: W laboratorium geotechnicznym Politechniki Gdańskiej proadzone są badania przemieszczania się gruntu naciskanego stopą fundamentoą budoli. Odbya się to urządzeniu specjalnie skonstruoanym dla tego celu. Jest to skrzynia z jedną ścianką ykonaną ze szkła. Typoy eksperyment tam proadzony to eksperyment ze smugami. Do skrzyni sypuje się odpoiednio spreparoany jasny piasek na przemian z piaskiem ciemniejszym. Grunt naciskany stopą odkształca się. Kierunki odkształceń są idoczne przez szybę. Mankamentem tej metody okazuje się brak możliości pomiaru kierunku i długości przesunięć. Rozinięciem tej metody jest zastąpienie smug znacznikami przylegającymi do szyby. Kilkanaście prób potierdziło przydatność tej metody. Techniką jednoobrazoej cyfroej fotogrametrii można określić kierunki i długości przemieszczeń znacznikó. W pracy przedstaione są yniki jednego z eksperymentó z propozycjami graficznej ich prezentacji oraz generoania cyfroego smug. Przedstaiono też metodę obliczania ymiaru fraktalnego, który charakteryzuje dynamikę zmian zachodzących odkształcanym gruncie.. WSTĘP Geotechnika to dział geologii inżynierskiej zajmujący się określaniem fizycznych łaściości gruntu (złaszcza metodami laboratoryjnymi) celu ustalenia arunkó budolanych. Wynikiem takich badań jest ocena stanu podłoża budolanego z określeniem zasięgu osłabień gruntu. Od kilku lat praconicy Katedry Geotechniki Wydziału Nauk Technicznych UWM Olsztynie proadzą modeloe badania laboratoryjne dynamiki przemieszczeń gruntu pod naciskiem stopy fundamentoej budoli. Autorzy tego artykułu mieli sposobność ykonania fotogrametrycznej rejestracji przemieszczeń gruntu czasie trania eksperymentó i opracoania ynikó. Podczas ielokrotnego omaiania ynikó badań często pojaiał się temat ysokich kosztó prac fotogrametrycznych. Kierując się sugestiami geotechnikó postał pomysł storzenia narzędzia do cyfroej obróbki ynikó rejestracji fotogrametrycznej. 287
2 Jerzy Miałdun 2. TECHNICZNE ASPEKTY EKSPERYMENTÓW Eksperymenty proadzone były laboratorium geotechnicznym Politechniki Gdańskiej. Urządzenie do modeloania nacisku stopy fundamentoej na grunt to staloa otarta z góry skrzynia o prostokątnym dnie i szklanym jednym boku (Rys. ). Rys.. Widok urządzenia do proadzenia eksperymentó geotechnicznych Do skrzyni, pierszej ersji eksperymentó, nasypyany był piasek czysty, oraz zabariony sadzą o znanych cechach granulometrycznych. Cienkie arsty ciemnego piasku torzyły smugi, które pod działaniem siły nacisku miały pokazyać kierunki odkształcania się gruntu. Stopa fundamentoa, ykonana ze staloego ceonika o szerokości ok. 30 cm, podlegała naciskoi mechanizmu śruboego napędzanego silnikiem elektrycznym. Przesunięcie ceonika oraz siłę nacisku monitoroały czujniki połączone z komputerem. 288
3 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Po zakończeniu eksperymentu zespół badaczy stierdził z przykrością, że rejestracja fotogrametryczna tak zaprojektoanego eksperymentu nie nosi istotnych danych (rys. 2). Rys. 2. Obraz smug przed i po zakończeniu eksperymentu W drugiej ersji, po analizie ynikó eksperymentu ze smugami, do skrzyni nasypyany był piasek o znanych cechach granulometrycznych a na styku gruntu z szybą umieszczano g ustalonego zorca kontrolne znaczki pomiaroe. Każdy znaczek ykonany był z czarnego torzya kształcie stożka. Podstaa stożka miała średnicę 3 mm z białą plamką o średnicy mm pośrodku. Wysokość stożka była róna 3 mm. Znaczki umieszczano tak aby po obsypaniu piaskiem ich podstay przylegały do szyby (rys. 3). Na szybie urządzenia naklejono znaki kształcie zbliżonym do krzyża maltańskiego. Na podstaie bezpośrednich pomiaró linioych i nielacji geometrycznej obliczono ich spółrzędne układzie lokalnym. Błąd położenia tych fotopunktó po yrónaniu nie przekroczył ±0.4 mm. Piersze eksperymenty proadzone były środkoej części urządzenia i dlatego najpier założono sieć pięciu fotopunktó torzących czorobok o ymiarach ok. m na m. Piąty punkt służył do orientacji kamery i jako punkt kontrolny do oceny dokładności. Cztery kolejne zenętrzne fotopunkty dodano fazie badań zajmujących całą przestrzeń urządzania. Część punktó, 289
4 Jerzy Miałdun na pierszy rzut oka, leży praie na jednej prostej. Fakt ten nie ma jednak płyu na możliość yznaczenia położenia znaczkó kontrolnych, o czym będzie moa później. Rys. 3. Widok znaczkó umieszczonych pisku za szybą urządzenia Stanoisko kamery UMK 0/38 yznaczono i zastabilizoano podłodze odległości 2,8 m od środka płaszczyzny szyby. Zdjęcia ykonyano na płytach ORWO TO orientując oś kamery prostpadle do płaszczyzny szyby urządzania. Piersze zdjęcie ykonyano przed łączeniem mechanizmu naciskającego, następne co 0 minut do chili utraty stabilności gruntu. Rejestracja fotogrametryczna trała zazyczaj 7 do 35 minut. Po yołaniu negatyó spółrzędne tłoe fotopunktó i znaczkó kontrolnych mierzono na stereokomparatorze Stecometer C. W tym przypadku pełnił on rolę monokomparatora. Różnicoy charakter pomiaró był osiągnięty przez ykonyanie zdjęć z tego samego stanoiska przy niezmiennej orientacji. Wpły grubej na 25 mm szyby urządzenia laboratoryjnego, za którą umieszczone były znaczki kontrolne oraz dystorsji obiektyu kamery na położenie ich obrazó na zdjęciu tym zadaniu był nieistotny. Do obliczenia spółrzędnych znaczkó kontrolnych układzie lokalnym fotopunktó ykorzystano następujący algorytm: Przekształcenie rzutoe płaszczyzn yrażone jest następującą zależnością: AX + BY + C x = oraz DX + EY + FX + GY + H y = () DX + EY + gdzie: A... H - to parametry przekształcenia, x, y, X, Y spółrzędne fotopunktó obu płaszczyznach (zdjęcia i urządzenia laboratoryjnego). Kiedy par punktó jest ięcej niż 4 można napisać układ rónań popraek postaci: 290
5 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego AX + BY + C DxX ExY x = vx (2) DyX EyY + FX + GY + H y = vy (3) Po ułożeniu układu rónań normalnych i roziązaniu go otrzymujemy popraki do spółrzędnych fotopunktó układzie zdjęcia. W oparciu o popraione spółrzędne x, y oraz spółrzędne fotopunktó X, Y ykorzystując zależności: A x + B y + C X = oraz D x + E y + F x + G y + H Y = (4) D x + E y + yznaczamy spółczynniki A... H i obliczamy spółrzędne przetorzone zmierzonych na zdjęciu znaczkó kontrolnych. Istotną i bardzo czasochłonną czynnością jest utorzenie par spółrzędnych tych samych znaczkó kontrolnych zarejestroanych różnym czasie. Na urządzenie laboratoryjne przenoszone są ibracje silnika elektrycznego napędzającego mechanizm śruboy naciskający stopę fundamentoą. Pod ich płyem między część znaczkó kontrolnych a szybę ciska się badany grunt. W ten sposób postają obseracje sieroty (bez pary). Usunięcie ich ze zbioró ymaga czasu i cierpliości. Po pokonaniu tego etapu można yznaczyć z obliczonych spółrzędnych: - składoe ektoró przesunięcia znaczkó kontrolnych ΔX i ΔY, - długości ektoró przesunięć znaczkó kontrolnych D, - ektory prędkości przesunięcia znaczkó kontrolnych V. W oparciu o te dane można storzyć ykres przesunięć znaczkó kontrolnych, a po ytorzeniu numerycznego modelu poierzchni (NMP) składoych ΔX i ΔY oraz prędkości V ykresy rónych przesunięć składoych i rónych prędkości postaci izolinii. Moa tu jest o parze spółrzędnych znaczkó kontrolnych, ale można prześledzić rónież drogę po jakiej poruszał się taki znaczek doolnie zadanych odcinkach czasoych. To zadanie ymaga jeszcze iększej uagi złaszcza gdy przesunięcia są duże i bliskie odległości początkoej między rzędami znaczkó kontrolnych. Jeszcze trudniejsze jest tu yeliminoanie punktó-sierot pozbaionych pary. Po analizie ynikó uzyskanych przy zastosoaniu analogoych fotogrametrycznych urządzeń pomiaroych postanoiono ykorzystać możliości leżące fotogrametrii obrazó cyfroych. Za takim roziązaniem przemaiały przede szystkim: - trudny i kosztony dostęp do specjalistycznych urządzeń fotogrametrycznych, - poszechność i łatość użytkoania dobrej klasy komputeró osobistych, - porónyalne dokładności uzyskiane z użyciem obrazó cyfroych i technik komputeroych. Pierszym etapem było przetorzenie analogoych zdjęć fotogrametrycznych na postać cyfroą. Obrazy skanoano z rozdzielczością 000 DPI, którą uznano stępnie za optymalną dla jakości i ekonomiczności opracoania. Przy takim poziomie rozdzielczości na mm 2 płaszczyźnie eksperymentu przypadło 550 piskeli. Poyższe parametry skanoania umożliiły osiąganie ynikó z dokładnością do ok. 0,03 mm skali zdjęcia czyli tym przypadku 0,38 mm mierze terenoej eksperymentu. Wielkości te 29
6 Jerzy Miałdun nieznacznie tylko odbiegają od dokładności pomiaró możliych do osiągnięcia na stekometrze i (jednak) mogły zostać uznane za granicznie ystarczające do opracoania eksperymentu przy zachoaniu istotnej łatości obsługi i dostępności oprogramoania dla nieco naet przestarzałych platform sprzętoych. Następnie zdjęcia opracoano na autografie cyfroym VSD oraz eksperymentalnym systemie pomiaroym ykorzystującym pseudoanaglify (Janoski et al., 2002). 3. GRAFICZNA PREZENTACJA WYNIKÓW Pożądanym jest, aby yniki przedstaione były atrakcyjny i sugestyny sposób. Rys. 4. Prezentacja graficzna przetorzonych ynikó pomiaró postaci hybrydoej. Gamę różnorodnych sposobó prezentacji ynikó można zaczerpnąć z kartograficznych metod redakcji map hipsometrycznych. Przykład, jeden z ielu, ykorzystujący ytorzony numeryczny model poierzchni (NMP) przedstaiono na rys.4. Najistotniejszym zadaniem, po rezygnacji z eksperymentó ze smugami, było opracoanie numerycznej metody ich generoania. NMP pozala na yznaczenie doolnym miejscu składoych przesunięć. Umożliia to ytorzenie zdłuż zadanej linii ektoró przesunięć założonym interale (rys. 5). Korzystając z tej techniki można zrezygnoać z tradycyjnego eksperymentu ze smugami. 292
7 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Rys. 5. Wektoroy obraz smug ygeneroany z NMP Przedstaienie ynikó, choćby najatrakcyjniejszej formie, nie zaiera skaźnikó liczboych opisujących takie cechy obrazu jak kształt, liczebność elementó, pole poierzchni, długość kraędzi itp. (Tadeusieicz et al., 997). W literaturze opisane są spółczynniki dotyczące głónie figur płaskich. Nie opisują one jednak stopnia komplikacji poierzchni. Parametrem opisującym tę cechę może być ymiar fraktalny (Clarke, 986). 4. METODY OBLICZANIA WYMIARU FRAKTALNEGO Pojęcie ymiaru fraktalnego jest trudne do jednoznacznego zdefinioania (Peitgen et al., 997). Na przełomie XIX i XX ieku jednym z głónych problemó matematyki było stierdzenie, co to jest ymiar i jakie ma łasności. Od tamtej pory sytuacja pogorszyła się jeszcze, gdyż matematycy podali przynajmniej dziesięć różnych definicji ymiaru: ymiar topologiczny, ymiar Hausdorffa, ymiar fraktalny, ymiar samopodobieństa, ymiar pudełkoy, ymiar euklidesoy i iele innych. Wszystkie one są ze sobą poiązane. Niektóre z nich mają sens penych arunkach, podczas gdy innych przydatne są definicje alternatyne. Czasami szystkie mają sens i pokryają się. W innych przypadkach, mimo że kilka z nich ma sens, mogą proadzić do różnych artości. Dziś praktyce można spotkać się najczęściej z (Peitgen et al., 997): - ymiarem cyrkloym, czasem nazyanym metodą izorytmiczną, - ymiarem obodoo-poierzchnioym, - ymiarem pudełkoym. Pierszy z nich jest dość trudny do zastosoania prezentoanym przykładzie. Drugi ymaga posiadania iększej kolekcji jednorodnego materiału badaczego (Frohn, 997), co tym przypadku yklucza jego zastosoanie. Pozostaje ięc ymiar pudełkoy. Metodycznie i technicznie jest on, przypadku badania obrazó cyfroych, najbardziej obiecujący ale dotyczy całych badanych poierzchni. Najbardziej interesujące są jednak zmiany lokalne tego ymiaru na małych poierzchniach sąsiadujący ze sobą. Takie założenie stało się poodem podjęcia opracoania metody obliczania lokalnego ymiaru fraktalnego opartej na podobieństie do założeń metody cyrkloej. 4.. Metoda cyrkloa yznaczania ymiaru Ogólnie rzecz biorąc linioy ymiar fraktalny jest miarą stopnia krętości linii i mieści się przedziale od (dla linii prostej) do 2 (dla linii tak krętej, ze pokrya całą duymiaroą poierzchnię). Idealne obiekty fraktalne są do siebie podobne każdej 293
8 Jerzy Miałdun skali analizy. Rzeczyiste elementy krajobrazu są podobne do siebie tylko sensie statystycznym. Metoda cyrkloa pozala na yznaczenie ymiaró fraktali krzyolinioych o bardzo skomplikoanym przebiegu. Jeżeli spełniona jest zależność: L=f(ε), która ujania się postaci praa potęgoego: L~ε a, przy ε 0. L jest długością linii, ε długością miary, a jest ykładnikiem potęgoym o ujemnym znaku, gdyż L zrasta przy malejącym ε. Pomiędzy log N( ε ) ymiarem = obiektó linioych a ykładnikiem a zachodzi yproadzona log(/ ε ) poniżej zależność. Wiadomo, że N(ε)=L(ε)/ ε, gdzie N(ε) oznacza liczbę odłożeń miary. log = log N( ε ) ε (5) ε = N( ε ) (6) ε = (7) ε D ε = L( ε ) ε L( ε ) a ( ε ) ε f ε = L = (8) (9) = a (0) = a () W praktycznym postępoaniu należy ybrać miarę o długości ε i zmierzyć nią długość fraktala L(ε )= ε N (ε ), gdzie N jest liczbą odłożeń całkoitych i reszty miary. Następnie dobieramy coraz krótsze miary ε > ε 2 > ε 3 >...> ε n i yznaczamy odpoiadające im długości fraktala L...L n. Wykreślamy skali logarytmicznej zależność L i i ε i (Kudreicz, 993). Wymiar fraktalny otrzymujemy jako - a, gdzie a oznacza nachylenie linii regresji. Nachylenie a ma artość ujemną, ponieaż raz ze zrostem długości miary, coraz ięcej szczegółó linii jest pomijanych i całkoita długość linii maleje. Ponieaż artości przedstaione są na ykresie logarytmicznym, z praktycznej strony, najlepiej jest dobierać ielkości miary, które zrastają zgodnie z potęgami dójki, tedy obseracje zmiennej niezależnej dla linii regresji rozmieszczone są na osi rónych odstępach (Clarke, 986). Przy tej samej metodzie pomiaru ykorzystuje się rónież inny algorytm yznaczania ymiaru linii. Niech L oznacza ynik pomiaru długości linii za pomocą miary o długości N, natomiast L 2 ynik pomiaru miarą N 2. Wymiar fraktalny obliczamy zgodnie z formułą: ( L2 / L ) ( N / N ) log = (2) log 2 294
9 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Im bardziej skomplikoany kształt mierzonego obiektu, tym iększe będzie L 2 od L i iększy będzie ymiar fraktalny (Green, 995) Obliczanie ogólnego i lokalnego ymiaru fraktalnego naiązaniu do metody cyrkloej Wymiar fraktalny jako parametr ogólny macierzy można yznaczyć drodze pomiaru pola poierzchni stosując różne miary (Clarke, 986). Niech P oznacza ynik pomiaru pola poierzchni za pomocą miary o poierzchni N (rys. 6). Miarą może być trójkąt prostokątny rónoramienny ( rzucie na płaszczyznę,k) o ramieniu n pikseli. Natomiast P 2 ynik pomiaru miarą N 2 o ramieniu n 2. Wymiar fraktalny obliczamy analogicznie z formułą (2). Jeżeli założymy, że najmniejszym analizoanym elementem obrazu będzie poierzchnia kadratu o podstaie 6 pikseli to obliczenie pola poierzchni tego obszaru przestrzeni można podzielić na 3 kroki. W pierszym kroku pole poierzchni obszaru składa się z dóch pól poierzchni trójkątó drugim kroku z 8 a trzecim z 8. W ten sposób przez ziększanie liczby pól trójkątó ziększamy dokładność pomiaru tego pola. Można się domyślać przez analogię do ymiaru cyrkloego, że pole poierzchni tego obszaru poinno każdym kroku zrastać. Rys. 6. Mając trzy yniki pomiaru pola poierzchni można obliczyć spółczynnik nachylenia linii regresji a i obliczyć ymiar fraktalny. Wymiar ten charakteryzuje stopień nieregularności poierzchni badanego obszaru przestrzeni 3D. Przesuając analizoane do następnej kolumny potarzamy operacje. Po dojściu do końca iersza przesuamy analizoane pole do pierszej kolumny następnego iersza i potarzany operacje. Otrzymamy ten sposób noą macierz złożoną ze spółczynnikó. Macierz tę można nazać macierzą lokalnych ymiaró fraktalnych (rys. 7,8). 295
10 Jerzy Miałdun Rys. 7. Rozkład artości składoej ΔX 5. PODSUMOWANIE Rys. 8. Rozkład artości lokalnego ymiaru fraktalnego W yniku zmiany koncepcji organizacji eksperymentó geotechnicznych uzyskano możliość rejestracji przemieszczeń gruntu metodą fotogrametrii jednoobrazoej z dużą precyzją. Uzyskane błędy zajemnego położenia znaczkó, umieszczonych badanym gruncie, nie przekroczyły ±0.2 mm. Adaptacja kartograficznych metod kartoania map do prezentacji numerycznych modeli poierzchni spoodoała podniesienie atrakcyjności i sugestyności przedstaianych ynikó pomiaró. Opracoanie metodyki numerycznego generoania smug oparciu o NMP pozoliło na rezygnację z eksperymentó ze smugami. Wproadzenie ymiaru fraktalnego, jako skaźnika zmienności NMP, daje możliość noej klasyfikacji ynikó eksperymentó. W przykładzie prezentoanym na Rys. 7 i 8 ogólny ymiar fraktalny yniósł Df =.84 oraz ymiar lokalny przedziale LITERATURA Clarke K.C., 986. Computation of the fractal dimension of topographic surfaces using the triangular prism surface area method. Computers and Geosciences, vol. 2, no. 5. Green D.G., 995. Fractals and scale. Copyright David G. Green 993. Janoski A., Miałdun J., Szulic J., Wyznaczanie przemieszczeń gruntu podczas modeloych badań laboratoryjnych z ykorzystaniem pseudoanaglifó. Archium Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji, Vol. 2 a, s
11 Fotogrametryczne określenie przemieszczeń gruntu trakcie laboratoryjnego eksperymentu geotechnicznego Kudreicz J., 993, Fraktale i chaos. Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa. Malina W., Smiatacz M., Metody cyfroego przetarzania obrazó, Akademicka Oficyna Wydanicza EXIT, Warszaa, s Peitgen H. O., Jurgens H., Saupe D., 997. Granice chaosu fraktale. Wydanicto Naukoe PWN, Warszaa. Tadeusieicz R., Korohoda P., 997, Komputeroa analiza i przetarzanie obrazó, Wydanicto Postępu Telekomunikacji, Krakó, THE PHOTOGRAMMETRIC DETERMINATION OF SOIL DISLOCATIONS DURING A GEOTECHNICAL LABORATORY EXPERIMENT KEY WORDS: photogrammetry, geotechnical experiment, digital surface model, fractal dimension SUMMARY: The geotechnical laboratory at Gdańsk Polytechnic conducts investigation of the relocation of soil under the donard pressure of a building foundation footing. Tests are carried out in a device specially constructed for the purpose, i.e. a box ith one of its alls made of glass. A typical experiment conducted ith the use of that device is the one involving specially prepared sand, hich is laid alternately in streaks of brighter and darker shades. As the foundation footing is placed, the ground gives in, and the directions in hich the sand moves are visible through the glass. One draback of that method is the fact that it is impossible to measure the direction and length of the sand relocations. The method can be developed by replacing streaks of sand ith markers adhering to the glass. The method as confirmed as useful in several tests. The technique of single-image digital photogrammetry makes it possible to determine the directions and lengths of relocated markers. This paper presents the results of one such experiment, along ith a number of suggestions of ho they may be presented graphically, and ho the streaks may be generated digitally. A method is also examined as regards calculating the fractal dimension, hich describes the dynamics of changes that may be observed in the ground being deformed. Dr inż. Jerzy Miałdun jerzy.mialdun@um.edu.pl tel fax
WYZNACZENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU PODCZAS BADAŃ LABORATORYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM PSEUDOANAGLIFÓW
154 Artur Janowski Jerzy Miałdun Jakub Szulwic WYZNACZENIE PRZEMIESZCZEŃ GRUNTU PODCZAS BADAŃ LABORATORYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM PSEUDOANAGLIFÓW Streszczenie. W modelowych badaniach odkształceń gruntu w
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 56 Politechniki Wrocławskiej Nr 56 Studia i Materiały Nr 24 2004 Krzysztof PODLEJSKI *, Sławomir KUPRAS wymiar fraktalny, jakość energii
Bardziej szczegółowoTELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10
TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 Fotogrametria to technika pomiarowa oparta na obrazach fotograficznych. Wykorzystywana jest ona do opracowywani map oraz do różnego rodzaju zadań pomiarowych.
Bardziej szczegółowoBadania ruchu w Trójmieście w ramach projektu Kolei Metropolitalnej. mgr inż. Szymon Klemba Warszawa, 13.03.2012r.
Badania ruchu Trójmieście ramach projektu Kolei Metropolitalnej mgr inż. Szymon Klemba Warszaa, 13.03.2012r. SPIS TREŚCI 1 Tło i cel badań 2 Podstaoe pojęcia modeloania 3 Proces budoy modelu 3A Model układu
Bardziej szczegółowo(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) Przy opisie zjawisk złożonych wartości wszystkich stałych podobieństwa nie mogą być przyjmowane dowolnie.
1. Teoria podobieństa Figury podobne geometrycznie mają odpoiadające sobie kąty róne, a odpoiadające sobie boki są proporcjonane 1 n (1.1) 1 n Zjaiska fizyczne mogą być podobne pod arunkiem, że zachodzą
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Inżynierii Jakości Ćiczenie nr 11 Temat: Karta kontrolna ruchomej średniej MA Zakres ćiczenia:
Bardziej szczegółowoTELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD IX
TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD IX to technika pomiarowa oparta na obrazach fotograficznych. Taki obraz uzyskiwany jest dzięki wykorzystaniu kamery lub aparatu. Obraz powstaje na specjalnym
Bardziej szczegółowoEgzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Bardziej szczegółowoSYSTEM MONITORINGU POWODZIOWEGO
SYSTEM MONITORINGU POWODZIOWEGO Czeriec 2010 SPIS TREŚCI 1. Wproadzenie. 2. Zastosoanie 3. Opis systemu. 4. Funkcje systemu. 5. Elementy składoe systemu. 6. Schemat pracy systemu. 7. Cechy systemu. 8.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, PROCESOWEJ I BIOPROCESOWEJ. Ćwiczenie nr 7
KAEDRA INŻYNIERII CHEMICZNEJ I PROCESOWEJ INSRUKCJE DO ĆWICZEŃ LABORAORYJNYCH LABORAORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, PROCESOWEJ I BIOPROCESOWEJ Skaloanie zężki Osoba odpoiedzialna: Piotr Rybarczyk Gdańsk,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoProste pomiary na pojedynczym zdjęciu lotniczym
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat: Proste pomiary na pojedynczym zdjęciu lotniczym Kartometryczność zdjęcia Zdjęcie lotnicze
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoPOMIAR MOCY BIERNEJ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH
ĆWICZEIE R 9 POMIAR MOCY BIEREJ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH 9.. Cel ćiczenia Celem ćiczenia jest poznanie metod pomiaru mocy biernej odbiornika niesymetrycznego obodach trójfazoych. 9.. Pomiar mocy biernej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM TEORII STEROWANIA. Ćwiczenie 6 RD Badanie układu dwupołożeniowej regulacji temperatury
Wydział Elektryczny Zespół Automatyki (ZTMAiPC). Cel ćiczenia LABORATORIUM TEORII STEROWANIA Ćiczenie 6 RD Badanie układu dupołożenioej regulacji temperatury Celem ćiczenia jest poznanie łaściości regulacji
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE NR 7 SKALOWANIE ZWĘśKI
ĆWICZENIE NR SKALOWANIE ZWĘśKI. Cel ćiczenia: Celem ćiczenia jest ykonanie cechoania kryzy pomiaroej /yznaczenie zaleŝności objętościoego natęŝenia przepłyu poietrza przez zęŝkę od róŝnicy ciśnienia na
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoOKREŚLANIE STOPNIA ODWRACALNOŚCI OBIEGÓW LEWOBIEŻNYCH
Dariusz Nanoski Akademia Morska Gdyni OKREŚLANIE OPNIA ODWRACALNOŚCI OBIEGÓW LEWOBIEŻNYCH Praca odnosi się do dostępnej literatury i zaiera łasne analizy ziązane z określaniem stopnia odracalności obiektu
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowoAerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli
Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoBŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Instrukcja do ćwiczenia nr 2 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy Metrologii
Bardziej szczegółowoGeometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi
Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym
Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ENERGOELEKTRONIKI (studium zaoczne) Ćwiczenie 5. Falownik rezonansowy szeregowy
Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych 93-590 Łódź, al. Politechniki 11 tel. (4) 631 6 45 faks (4) 636 03 7 http://.dmcs.p.lodz.pl LABORATORIUM PODSTAW ENERGOELEKTRONIKI
Bardziej szczegółowoWykład 14 Obliczanie pól powierzchni figur geometrycznych
Wykład 14 Obliczanie pól powierzchni figur geometrycznych Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 1, pokój 04 Mapa katastralna Kataster Obliczanie
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów
Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji TEMAT: Ćwiczenie nr 4 POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW ZADANIA DO WYKONANIA:. zmierzyć 3 wskazane kąty zadanego przedmiotu
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI
TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia
Bardziej szczegółowoWykorzystanie metody funkcji transformacyjnych do analizy nośności i osiadań pali CFA
Wykorzystanie metody funkcji transformacyjnych do analizy nośności i osiadań pali CFA Prof. dr hab. inż. Kazimierz Gwizdała Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Dr inż. Maciej
Bardziej szczegółowoBilans cieplny suszarni teoretycznej Termodynamika Techniczna materiały dla studentów
Bilans cieplny suszarni teoretycznej Termodynamika Techniczna materiały dla studentó K. Kyzioł, J. Szczerba Bilans cieplny suszarni teoretycznej Na rysunku 1 przedstaiono przykładoy schemat suszarni jednostopnioej
Bardziej szczegółowoORIENTACJA ZEWNĘTRZNA ZDJĘCIA Z WYKORZYSTANIEM GEOMETRYCZNYCH CECH OBIEKTÓW
Polskie Towarzystwo Fotogrametrii i Teledetekcji oraz Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Wydziału Geodezji i Gospodarki Przestrzennej Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie Archiwum Fotogrametrii,
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia.
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Zasady stereoskopowego widzenia. Zagadnienia 1. Widzenie monokularne, binokularne
Bardziej szczegółowoSTYKOWE POMIARY GWINTÓW
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza mobilizacji oporu pobocznicy i podstawy pala na podstawie interpretacji badań modelowych
Analiza mobilizacji oporu pobocznicy i podstawy pala na podstawie interpretacji badań modelowych Prof. dr hab. inż. Zygmunt Meyer, mgr inż. Krzysztof Żarkiewicz Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoGraficzne opracowanie wyników pomiarów 1
GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.
Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować
Bardziej szczegółowoFRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą
Małgorzata Mielniczuk FRAKTALE Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę,
Bardziej szczegółowoSINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION
SINGLE-IMAGE HIGH-RESOLUTION SATELLITE DATA FOR 3D INFORMATIONEXTRACTION MOŻLIWOŚCI WYDOBYCIA INFORMACJI 3D Z POJEDYNCZYCH WYSOKOROZDZIELCZYCH OBRAZÓW SATELITARNYCH J. Willneff, J. Poon, C. Fraser Przygotował:
Bardziej szczegółowoWykład 5. Pomiary sytuacyjne. Wykład 5 1
Wykład 5 Pomiary sytuacyjne Wykład 5 1 Proste pomiary polowe Tyczenie linii prostych Tyczenie kątów prostych Pomiar szczegółów topograficznych: - metoda ortogonalna, - metoda biegunowa, - związek liniowy.
Bardziej szczegółowoW NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoAngelika Duszyńska Adam Bolt WSPÓŁPRACA GEORUSZTU I GRUNTU W BADANIU NA WYCIĄGANIE
Angelika Duszyńska Adam Bolt WSPÓŁPRACA GEORUSZTU I GRUNTU W BADANIU NA WYCIĄGANIE Gdańsk 2004 POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA WODNEGO I INŻYNIERII ŚRODOWISKA MONOGRAFIE ROZPRAWY DOKTORSKIE Angelika
Bardziej szczegółowoWYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH
Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika
Bardziej szczegółowoĆw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2
1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia
Ćwiczenie M12 Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia M12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu Younga różnych materiałów poprzez badanie strzałki ugięcia wykonanych
Bardziej szczegółowoRegulamin rekrutacji w projekcie Szkolenia i staże zawodowe dla osób niepełnosprawnych II edycja
Regulamin rekrutacji projekcie Szkolenia i staże zaodoe dla osób niepełnospranych II edycja 1. INFORMACJE OGÓLNE 1. CZAS TRWANIA REKRUTACJI Proces rekrutacji do projektu Szkolenia i staże zaodoe dla osób
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowoZbiór Cantora. Diabelskie schody.
Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Autor: Norbert Miękina Zespół Szkół nr 3 im. ks. prof. Józefa Tischnera ul. Krakowska 20 32-700 Bochnia tel. 14 612-27-79 Opiekun: mgr Barbara Góra 1 W matematyce sztuka
Bardziej szczegółowoPOMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW
WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Ćwiczenie nr 4 TEMAT: POMIARY KĄTÓW I STOŻKÓW ZADANIA DO WYKONANIA:. zmierzyć trzy wskazane kąty zadanego przedmiotu kątomierzem
Bardziej szczegółowoFIGURY I BRYŁY JEDNOSTKI MIARY KĄTY POLE I OBWÓD OBJĘTOŚĆ I POWIERZCHNIA TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY
Wstęp Ten multimedialny program edukacyjny zawiera przykłady i zadania pozwalające na samodzielne ćwiczenie i sprawdzenie wiadomości w zakresie figur i brył geometrycznych dla klas 5-6 szkoły podstawowej
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej
Bardziej szczegółowoAplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016
Aplikacje Systemów Wbudowanych Nawigacja inercyjna Gdańsk, 2016 Klasyfikacja systemów inercyjnych 2 Nawigacja inercyjna Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang.
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE MES DO WYZNACZANIA WPŁYWU PĘKNIĘCIA W STOPIE ZĘBA KOŁA NA ZMIANĘ SZTYWNOŚCI ZAZĘBIENIA
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2009 Seria: TRANSPORT z. 65 Nr kol. 1807 Tomasz FIGLUS, Piotr FOLĘGA, Piotr CZECH, Grzegorz WOJNAR WYKORZYSTANIE MES DO WYZNACZANIA WPŁYWU PĘKNIĘCIA W STOPIE ZĘBA
Bardziej szczegółowoKorzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń: cos 8. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna 1 / 5
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń: cos ( ) 3π 8 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna 1 / 5 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
Bardziej szczegółowoWykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia
Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 12, pokój 04 Spis treści Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ
LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ POMIAR OGNISKOWYCH SOCZEWEK CIENKICH 1. Cel dwiczenia Zapoznanie z niektórymi metodami badania ogniskowych soczewek cienkich. 2. Zakres wymaganych zagadnieo: Prawa odbicia
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNY MODEL TERENU
NUMERYCZNY MODEL TERENU Barbara Błotnicka GiK III rok tryb niestacjonarny grupa 1 Sprawozdanie techniczne 1. Wykonawca: Barbara Błotnicka 2. Wykorzystywane oprogramowanie: Dephos Mapper Stereo Dephos Interior
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowo1.12. CAŁKA MOHRA Geometryczna postać całki MOHRA. Rys. 1
.. CAŁA OHRA Całka OHRA yraża ziązek między przemieszczeniem (ydłużeniem, ugięciem, obrotem) a obciążeniem (siłą, momentem, obciążeniem ciągłym). Służy ona do yznaczania przemieszczeń statycznie yznaczanych
Bardziej szczegółowoWyznaczanie długości fali świetlnej metodą pierścieni Newtona
Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. grupa II Termin: 26 V 2009 Nr. ćwiczenia: 412 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie długości fali świetlnej metodą pierścieni Newtona
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowox+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu i pryzmatu
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA KATEDRA ZARZĄDZANIA PRODUKCJĄ Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: MATEMATYKA Z ELEMENTAMI FIZYKI Kod przedmiotu: ISO73; INO73 Ćwiczenie Nr Wyznaczanie współczynnika
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoLaboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej
Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej 1. Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 2006 1. Wstęp Pomiar profilu wiązki
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoXLIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne
XLIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne ZADANIE D1 Nazwa zadania: Współczynnik załamania cieczy wyznaczany domową metodą Masz do dyspozycji: - cienkościenne, przezroczyste naczynie szklane
Bardziej szczegółowoSprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoWYBRANE ELEMENTY GEOFIZYKI
YBRANE ELEMENTY GEOFIZYKI Ćwiczenie 4: Grawimetria poszukiwawcza. Badanie zaburzenia grawitacyjnego oraz zmian drugich pochodnych gradientowych. prof. dr hab. inż. Janusz Bogusz Zakład Geodezji Satelitarnej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Arkusz II 5 LISTOPADA 007 Instrukcja dla zdającego Czas pracy
Bardziej szczegółowoTeoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.
Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej
Bardziej szczegółowoPomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela
Ćwiczenie O4 Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela O4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek skupiających oraz rozpraszających z zastosowaniem o metody Bessela. O4.2.
Bardziej szczegółowoWymiarowanie jest to podawanie wymiarów przedmiotów na rysunkach technicznych za pomocą linii, liczb i znaków wymiarowych.
WYMIAROWANIE (w rys. technicznym maszynowym) 1. Co to jest wymiarowanie? Aby rysunek techniczny mógł stanowić podstawę do wykonania jakiegoś przedmiotu nie wystarczy bezbłędne narysowanie go w rzutach
Bardziej szczegółowogruntów Ściśliwość Wytrzymałość na ścinanie
Właściwości mechaniczne gruntów Ściśliwość Wytrzymałość na ścinanie Ściśliwość gruntów definicja, podstawowe informacje o zjawisku, podstawowe informacje z teorii sprężystości, parametry ściśliwości, laboratoryjne
Bardziej szczegółowoEnergia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego
Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoNOWE SPOJRZENIE NA STARE MIKRODENSYTOGRAMY
269 Jerzy Miałdun NOWE SPOJRZENIE NA STARE MIKRODENSYTOGRAMY Streszczenie: W wielu pracowniach teledetekcyjnych istnieją bogate zbiory mikrodensytogramów pozyskanych w minionych latach metodami analogowymi.
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoReprezentacja i analiza obszarów
Cechy kształtu Topologiczne Geometryczne spójność liczba otworów liczba Eulera szkielet obwód pole powierzchni środek ciężkości ułożenie przestrzenne momenty wyższych rzędów promienie max-min centryczność
Bardziej szczegółowoSposoby przedstawiania algorytmów
Temat 1. Sposoby przedstawiania algorytmów Realizacja podstawy programowej 5. 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych problemów; 2) formułuje ścisły
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE EDUKACYJNEGO OPROGRAMOWANIA DO LOTNICZEJ FOTOGRAMETRII CYFROWEJ Z PROFESJONALNYMI SYSTEMAMI FOTOGRAMETRYCZNYMI
Michał Kędzierski PORÓWNANIE EDUKACYJNEGO OPROGRAMOWANIA DO LOTNICZEJ FOTOGRAMETRII CYFROWEJ Z PROFESJONALNYMI SYSTEMAMI FOTOGRAMETRYCZNYMI Streszczenie. W referacie zostało porównane edukacyjne oprogramowanie
Bardziej szczegółowoFizyka I. Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
, Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Naza modułu Fizyka I Naza modułu języku angielskim Physics I Oboiązuje od roku akademickiego
Bardziej szczegółowoJak obracać trójkąt, by otrzymać bryłę o największej. objętości?
Jak obracać trójkąt, by otrzymać bryłę o największej objętości? Czas trwania zajęć: 40 minut Kontekst w jakim wprowadzono doświadczenie: Trójkąt o bokach długości: cm, 4 cm, 5 cm obrócono o kąt 60 o w
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3
Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji
Bardziej szczegółowo