METODOLOGIA ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH PROPAGACJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH W WARUNKACH OBCIĄŻEŃ Z PRZECIĄŻENIAMI

Transkrypt

1 Sylwester KŁYSZ Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych Paweł SZABRACKI Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie PRACE NAUKOWE ITWL Zeszyt 25, s , 2009 r. DOI /v x METODOLOGIA ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH PROPAGACJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH W WARUNKACH OBCIĄŻEŃ Z PRZECIĄŻENIAMI W pracy przedstawiono opis wpływu przeciążeń na prędkość propagacji pęknięć zmęczeniowych z wykorzystaniem modelu opóźnień. Poddano analizie wyniki badań doświadczalnych próbek typu RCT wykonanych ze stopu tytanowego WT3-1 w celu określenia zależności między poszczególnymi parametrami tego modelu. Dopasowanie obliczeń teoretycznych do danych doświadczalnych przeprowadzono w dwóch wariantach: analizując dane w całym zakresie trwałości do zniszczenia próbki i analizując osobno dane w zakresach pomiędzy przeciążeniami wyznaczając w każdym przypadku wartości współczynników C, m, n dla modelu opóźnień. Przedstawiono zależność wartości współczynników od wielkości współczynnika intensywności naprężeń w cyklach przeciążeniowych. Słowa kluczowe: propagacja pęknięć zmęczeniowych, wzór Parisa, model opóźnień Wheelera, cykle przeciążeniowe, stop tytanu WT Wstęp Analiza wytrzymałości materiałów poddawanych obciążeniom cyklicznie zmiennym jest zagadnieniem rozwijanym od połowy minionego stulecia. Do tej pory prace światowych specjalistów z dziedziny mechaniki pękania wykazały znaczne zaawansowanie prac nad numeryczną analizą wyników doświadczalnych. Liczne modele matematyczne rozwoju pęknięć zmęczeniowych zaproponowane m.in. przez Parisa czy Formana opisują rozwój pęknięcia z uwzględnieniem wielu czynników, takich jak charakterystyki materiałowe, geometria próbki czy elementu konstrukcji, działające obciążenia i ich sekwencja.

2 158 Sylwester KŁYSZ, Paweł SZABRACKI Większość modeli opisuje rozwój pęknięcia dla stałoamplitudowego widma obciążeń. Wpływ pojedynczych cykli przeciążeniowych na rozwój pęknięcia przedstawia rys. 1. Z chwilą pojawienia się przeciążenia następuje zmiana prędkości propagacji pęknięcia (zmniejszenie w pewnym okresie, a następnie powrót do tego samego tempa rozwoju co przed wystąpieniem przeciążenia) wywołująca w konsekwencji wydłużenie czasu rozwoju pęknięcia (opóźnienie). Rys. 1. Schematyczny wpływ przeciążenia na rozwój pęknięcia. Krzywa 1 rozwój w warunkach obciążenia stałoamplitudowego, krzywa 2 rozwój dla obciążenia z przeciążeniem [1] Wheeler [2], na podstawie analizy danych doświadczalnych, zaproponował model matematyczny opisujący wpływ pojedynczych cykli przeciążeniowych na rozwój pęknięcia. Model zaproponowany przez Wheelera zakłada wprowadzenie dodatkowego parametru do równania opisującego rozwój pęknięcia współczynnika opóźnienia C p. Wzór Parisa, z wprowadzoną modyfikacją Wheelera, przyjmuje postać: dl CC ( K) m p dn = (1) Zaproponowana przez Wheelera zależność opisująca współczynnik opóźnienia C p ma postać: C p rpi = lor + rpp l i n (2) gdzie r pi oznacza rozmiar strefy odkształceń plastycznych wywołanej i-tym cyklem obciążenia stałoamplitudowego, r pp oznacza rozmiar strefy odkształceń plastycznych wywołanej cyklem przeciążeniowym, n jest wyznaczane doświadczalnie, l i, l or dłu-

3 Metodologia analizy danych doświadczalnych propagacji pęknięć zmęczeniowych gość pęknięcia w cyklu bieżącym i przeciążeniowym. Zależności opisujące rozmiar stref odkształceń plastycznych zostały dokładnie opisane m.in. w publikacji [3]. Model Wheelera nie daje odpowiedniego odzwierciedlenia wpływu przeciążeń na prędkość propagacji pęknięć zmęczeniowych. Wspomniany model daje możliwość opisu propagacji pęknięć w materiałach, dla których po wystąpieniu cyklu przeciążeniowego zmiana długości pęknięcia w funkcji liczby cykli obciążenia wykazuje po wyhamowaniu tempa przyrostu (w odniesieniu do tempa przed wystąpieniem przeciążenia) monotoniczny wzrost aż do momentu wyjścia z przeciążeniowej strefy plastycznej lub do wystąpienia następnego przeciążenia. Model ten opisuje dobrze również materiały, w których po przeciążeniu następuje silne wyhamowanie tempa przyrostu długości pęknięcia w długim okresie po przeciążeniu, np. do momentu powstania następnego przeciążenia [5]. Na rys. 2 przedstawiono wpływ zmiany wartości wykładnika modelu Wheelera n na współczynnik opóźnień C p. 1 0,8 0,6 0,4 n=0 Cp n=0,5 n=1 n=0 n=0,5 n=1 n=2 0,2 n=2 l [mm] 0 17,155 17,165 17,175 17,185 17,195 Rys. 2. Zależność współczynnika opóźnień od wykładnika modelu Wheelera W rzeczywistości zmiana prędkości propagacji pęknięcia, a tym samym i współczynnika C p jest bardziej złożona w początkowym etapie następuje przyśpieszony rozwój pęknięcia (wartości współczynnika C p mogą być nawet znacznie większe od jedności zależnie od wielkości przeciążenia), następnie prędkość propagacji spada do wartości minimalnej (mniejszej od prędkości przed wystąpieniem przeciążenia, C p < 1), po czym wzrasta do wartości, jaką miałoby pęknięcie o danej długości, gdyby nie wystąpiło przeciążenie (C p = 1). Po wykonaniu szeregu prób i analiz wyników doświadczalnych, Kłysz [4] zaproponował modyfikację modelu Wheelera. Istotą zmodyfikowanego modelu było założenie, iż przeciążeniowa strefa plastyczna wpływa na prędkość rozwoju pęknięcia (zastosowanie ma model opóźnień) do momentu, gdy wierzchołek pęknięcia, a nie bieżąca strefa plastyczna przed tym pęknięciem, osiągnie jej (tzn. strefy plastycznej przeciążeniowej) granicę. Wyróżniono więc dwa etapy:

4 160 Sylwester KŁYSZ, Paweł SZABRACKI I etap trwa od momentu wystąpienia przeciążenia do czasu osiągnięcia przez strefę plastyczną wywołaną cyklem bieżącym granicy strefy plastycznej wywołanej cyklem przeciążeniowym, II etap zaczyna się, gdy strefa plastyczna wywołana cyklem bieżącym przekroczy przeciążeniową strefę plastyczną i trwa do momentu osiągnięcia przez wierzchołek pęknięcia granicy przeciążeniowej strefy plastycznej. Na podstawie przytoczonej analizy, autorzy zaproponowali następujące zależności opisujące współczynnik opóźnień [4]: dla etapu I Cp lp+ rpp rpi li 1 n rpi rpp = lp + rpp + rpi li (3) dla etapu II C p n lp+ rpp li rpi r pi,max = lp + rpp + rpi li (4) Na rys. 3 przedstawiono graficznie wpływ zmiany wartości wykładnika n zmodyfikowanego modelu Wheelera na współczynnik opóźnień C p. 1,4 1,2 Cp n=3 n=0 n=0,5 n=1 n=2 n=3 n=6 1 n=2 n=6 0,8 0,6 n=1 0,4 n=0,5 0,2 n=0 l [mm] 0 17,155 17,165 17,175 17,185 17,195 Rys. 3. Zależność współczynnika opóźnień C p od wykładnika n dla zmodyfikowanego modelu Wheelera

5 Metodologia analizy danych doświadczalnych propagacji pęknięć zmęczeniowych Ta postać modelu opóźnień pozwala na precyzyjniejszy opis przebiegu propagacji pęknięć zmęczeniowych, tj. zależności zmiany długości pęknięcia w funkcji liczby cykli obciążenia l = f(n). W dalszej części pracy poddano analizie wyniki badań doświadczalnych w celu określenia zależności między poszczególnymi parametrami modelu opóźnień. 2. Metodyka badań Do badań wykorzystano próbki typu RCT (Round Compact Tension specimen). Grubość analizowanych próbek B = 7 mm. Minimalna grubość próbek została wyznaczona tak, aby pękanie zachodziło w płaskim stanie odkształceń. Pozostałe wymiary analizowanych próbek to: W = 40 mm, l 0 = 17 mm. Rys. 4. Próbka RCT do badań propagacji pęknięć zmęczeniowych Zależność opisująca współczynnik intensywności naprężeń dla próbki typu RCT poddanej rozrywaniu ma postać: K I P = Y (5) B W gdzie: P przyłożona siła; B grubość próbki; W szerokość próbki; Y funkcja kształtu próbki, w przypadku próbki RCT opisana zależnością [6]:

6 162 Sylwester KŁYSZ, Paweł SZABRACKI Y l W 4 l l l l = 0,76 + 4,8 11,58 11,43 4,08 3 W W + W W l 2 1 W (6) Do analizy wykorzystano autorski program, który symulował przebieg rozwoju pęknięcia i porównywał otrzymywane wyniki numeryczne (l obl,i, N i ) z danymi doświadczalnymi (l dośw,i, N i ). Stworzenie nowej aplikacji pozwoliło uniezależnić jej działanie od komercyjnych narzędzi obliczeniowych, a jednocześnie dało możliwość projektowania procesu analizy danych w pełnym zakresie. Metoda najmniejszych kwadratów błędów (l obl,i - l dośw,i ) w przypadku analizy tego typu danych nie przynosi oczekiwanych rezultatów dopasowania. W początkowej fazie wzrostu długości pęknięcia, przyrost długości pęknięcia dl podczas jednego cyklu jest rzędu 10-5 mm, więc błąd dopasowania kilku cykli w tym etapie (nawet o 100 czy 200%) nie wpływa na sumę kwadratów błędów tak znacząco, jak w końcowej fazie propagacji pęknięcia, gdzie w jednym cyklu pęknięcie wzrasta o 0,1 mm. Z tego też powodu zaproponowano jako kryterium dopasowania minimum sumy kwadratów względnych błędów długości pęknięcia (l obl,i - l dośw,i )/l dośw,i. W tym kryterium na każdym poziomie wielkości długości pęknięcia (i prędkości propagacji pęknięcia) wynik obliczeniowy jest porównywany z doświadczalnym na zasadzie: ile razy jest od niego różny co jest wielkością tego samego rzędu niezależnie od tego, czy porównywane są wartości liczbowe na poziomie 10-8 czy Dzięki tej modyfikacji kryterium metody najmniejszych kwadratów zapewnia jednakowo silne dopasowanie w całym zakresie danych doświadczalnych. Kolejnym problemem utrudniającym analizę tego typu danych jest fakt, iż po każdym cyklu zmieniają się warunki obliczeniowe przyrasta długość pęknięcia, zmienia się współczynnik intensywności naprężeń i w kolejnym cyklu obciążenia przyrost długości pęknięcia jest inny, nawet jeśli obciążenie jest stałoamplitudowe. W związku z tym każdy wariant upraszczający/przyspieszający obliczenia zmienia wynik obliczeń i musi być dokładnie analizowany pod kątem istotności uzyskiwanych rozbieżności. Zastosowanie np. jednej wartości K dla np. 100 kolejnych cykli przyspieszy 100-krotnie obliczenia i może wprowadzić niewielki błąd (w przypadku niskich poziomów obciążeń, dużej liczby cykli do zniszczenia), ale ze wzrostem poziomu obciążeń i/lub wartości współczynnika intensywności naprężeń takie uproszczenie jest nie do przyjęcia. Moc obliczeniowa współczesnych komputerów pozwala na analizę propagacji pęknięć cykl po cyklu, dzięki

7 Metodologia analizy danych doświadczalnych propagacji pęknięć zmęczeniowych czemu można założyć, że wówczas sposób prowadzenia obliczeń nie wprowadza błędu. Dopasowanie obliczeń teoretycznych do danych doświadczalnych przeprowadzono w dwóch wariantach: A analizując dane w całym zakresie trwałości do zniszczenia próbki, B analizując osobno dane w zakresach pomiędzy przeciążeniami, wyznaczając w każdym przypadku wartości współczynników C, m, n dla zmodyfikowanego modelu opóźnień, dla których uzyskuje się najmniejszą wartość zmodyfikowanej sumy kwadratów odchyleń w analizowanym zakresie. W wariancie B dodatkowo wyznaczone współczynniki były związane z bieżącymi wartościami współczynników intensywności naprężeń, właściwych dla każdego z analizowanych przeciążeń. W celu uzyskania jak najlepszego opisu danych doświadczalnych przyjęto dokładność wyznaczania parametru m na poziomie 0,0001. Parametr n był wyznaczany z dokładnością do 0,05. Większe dokładności wyznaczania obu parametrów prowadziły do znacznego wzrostu czasu analizy danych, a dokładność odwzorowania danych nie wzrastała w sposób zauważalny. Dlatego też uznano te dokładności za odpowiednie z punktu widzenia uzyskania kompromisu pomiędzy najlepszym opisem a minimalnym nakładem czasu potrzebnym do przeprowadzenia analizy. Dodatkowo jako początek analizy dla każdego zakresu, obierano ostatni zarejestrowany doświadczalnie punkt (l dośw,i, N i ) przed wystąpieniem danego przeciążenia. Dzięki temu analiza obejmowała niewiele więcej cykli, niż było to podyktowane odstępami pomiędzy przeciążeniami. Zapewniło to znaczny wzrost wydajności i dokładności w stosunku do analizy od początkowej długości pęknięcia dla każdego przeciążenia. 3. Analiza wyników Analiza w wariancie A dla próbki badanej z przeciążeniami k ov = 1,7 zadawanymi co N ov = 5000 cykli daje rezultat przedstawiony na rys. 5. Jak widać dopasowanie to zostawia wiele do życzenia i w niewielkim stopniu uwidacznia występowanie przeciążeń. Szczególnie niedobre rezultaty uzyskuje się dla cyklu przeciążeniowego i zaraz po nim.

8 164 Sylwester KŁYSZ, Paweł SZABRACKI l [mm] Dane dośw. Dopasowanie - wariant A N [cykl] Rys. 5. Dopasowanie całego przebiegu do modelu przeciążeń dla próbki T1-C-4 Zupełnie inne dopasowanie uzyskuje się w wariancie B dzięki rozpatrywaniu propagacji pęknięcia dla fragmentów rozpoczynających się przeciążeniem i trwających aż do wystąpienia następnego przeciążenia. Jak wynika z rys. 6, dopasowywanie dla zakresów pojedynczych przeciążeń daje lepsze odzwierciedlenie wyników rzeczywistych. Z analizy wynika, iż każde z tych przeciążeń ma zupełnie różne parametry je opisujące. Tabela 1 przedstawia zestawienie parametrów poszczególnych przeciążeń wraz z wartościami współczynnika K w cyklach przeciążeniowych. K ov wybrano jako miarodajny parametr ze względu na to, iż zawiera on w sobie opis parametrów geometrycznych próbki, długość pęknięcia w chwili wystąpienia przeciążenia oraz wartość przyłożonego obciążenia próbki. Tabela 1 Zestawienie parametrów zmodyfikowanego modelu Wheelera dla poszczególnych przeciążeń dla próbki T1-C-4 Zakres N C m n K ov ,15E-08 0, ,25E-12 3,8111 6,90 42, ,59E-14 4,8776 7,30 48, K c 8,65E-15 5,4297 7,90 57,39

9 Metodologia analizy danych doświadczalnych propagacji pęknięć zmęczeniowych l [mm] Dane dośw. Dopasowanie - wariant B N [cykl] Rys. 6. Dopasowanie pojedynczych przeciążeń dla próbki T1-C-4 Zależność wykładnika modelu opóźnień od K ov, a tym samym pośrednio od długości pęknięcia, przedstawia rys. 7. Również na rys. 7 przedstawiono zależność parametru m od K ov. Rys. 8 natomiast przedstawia zależność parametru C od K ov. Wartość parametrów m, n Zależność parametrów m oraz n od K 9 8 Parametr n y = x y = x Parametr m Zakres współczynnika intensywności naprężeń K Rys. 7. Zależność parametru m oraz wykładnika n modelu opóźnień od K ov

10 166 Sylwester KŁYSZ, Paweł SZABRACKI Zależność parametru C od K Wartość parametru C 1.0E E E E E-15 y = 3E+18x Zakres współczynnika intensywności naprężeń K Rys. 8. Zależność parametru C od K ov Ten sam zakres czynności wykonano dla próbki T1-C-11, dla której przeciążenia na poziomie k ov = 1,7 zadawano co N ov = 2500 cykli. Na rys. 9 przedstawiono dopasowanie pojedynczych przeciążeń dla tej próbki l [mm] Dane dośw. Dopasowanie - wariant B N [cykl] Rys. 9. Dopasowanie pojedynczych przeciążeń dla próbki T1-C-11 Tabela 2 przedstawia zestawienie parametrów poszczególnych przeciążeń wraz z wartościami współczynnika K w cyklach przeciążeniowych.

11 Metodologia analizy danych doświadczalnych propagacji pęknięć zmęczeniowych Tabela 2 Zestawienie parametrów zmodyfikowanego modelu Wheelera dla poszczególnych przeciążeń dla próbki T1-C-11. Zakres N C m n K ov ,95E-08 0, ,59E-16 6,7443 0,10 41, ,06E-16 6,8141 1,00 42, ,06E-16 6,7720 1,10 44, ,25E-16 6,9811 0,80 46, ,56E-16 6,8723 2,00 48, ,99E-14 5,0992 7,20 52, K c 7,48E-14 4,9754 7,40 58,63 Analizując wyniki zestawione w tabeli 2, można przypuszczać, iż przeciążenia w i cykli nie dadzą się prawidłowo opisać zależnościami tu rozpatrywanymi. Prawdopodobne jest, iż przeciążenia te weszły już w zakres nieliniowosprężystej mechaniki pękania. Dlatego też wartości wykładników n i C w ich przypadku odbiegają od wartości dla wcześniejszych przeciążeń. Z tego powodu do analizy regresji postanowiono odrzucić te wartości jako obarczone dużym błędem wynikłym z nieliniowo-sprężystego rozwoju pęknięcia. Na rys. 10 i 11 przedstawiono zależności wykładnika n, m i C od K w cyklu przeciążeniowym. Wartość parametrów m,n Zależność parametrów m oraz n od K Parametr m y = 0,0217x + 5, Parametr n y = 0,1963x - 7, Zakres współczynnika K dla cykli przeciążeniowych

12 168 Sylwester KŁYSZ, Paweł SZABRACKI Rys. 10. Zależność parametru m oraz wykładnika n modelu opóźnień od K ov Zależność parametru C od K Wartość parametru C 1,0E-15 y = 0,0002x -7,0808 1,0E Zakres współczynnika K dla cykli przeciążeniowych Rys. 11. Zależność parametru C od K ov 4. Wnioski Na podstawie wyników zawartych w tab. 1 i 2 można wywnioskować, iż parametry początkowego etapu wzrostu pęknięcia przed wystąpieniem pierwszego przeciążenia (zakres oraz ) są radykalnie różne od parametrów pozostałych etapów pękania. Różnica ta pokazuje, jaki wpływ ma zastosowanie modelu opóźnień. Rys. 7 9 przedstawiają zależności, jakimi można opisać rozkład parametrów n, m oraz C dla próbki T1-C-4. Dzięki worzystaniu funkcji regresji liniowej, rozkład parametrów m i n daje się aproksymować prostymi, o równaniach: n = 0,0684 K ov + 3,9789; (7) m = 0,1061 K ov 0,5488 Rozkład parametru C ma przebieg zbliżony do liniowego dopiero w skali po- logarytmicznej. Wtedy równanie prostej ma po stać: dwójnie. log(c) = 18, log( K ov ) (8)

13 Metodologia analizy danych doświadczalnych propagacji pęknięć zmęczeniowych Dla próbki T1-C-11 rozkład rozważanych parametrów nie jest już tak zbliżony do liniowego, jak w przypadku wyników dla próbki T1-C-4. Daje się on jednak aproksymować również z wykorzystaniem regresji liniowej do funkcji postaci: n = 0,1963 K ov 7,7293; m = 0,0217 K ov + 5,8705; (9) log(c) = -3, log( K ov ) Jak widać z otrzymanych wyników, dla obu próbek otrzymano różne funkcje opisujące rozkład parametrów C, m oraz n. Literatura 1. Iver N.R., Rama Chandra Murthy A., Palani G.S.: An improved Wheeler model for remaining life prediction of racked plate panels under tensile-compressive overloading. Tech Science Press, Kocańda S.: Zmęczeniowe pękanie metali. WNT, wyd. 3 poprawione, Warszawa Kocańda S., Szala J.: Podstawy obliczeń zmęczeniowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa Kłysz S.: Rozwój pęknięć zmęczeniowych w materiałach lotniczych i stali konstrukcyjnej z uwzględnieniem przeciążeń. Wydawnictwo ITWL, Warszawa Kłysz S.: Szacowanie trwałości wybranych materiałów i elementów konstrukcji lotniczych w zakresie rozwoju pęknięć zmęczeniowych. Wydawnictwo ITWL, Warszawa Murakami Y.: Stress Intensity Handbook, Pergamon Press, Japan 1987.