Korelacja, autokorelacja, kowariancja, trendy. Korelacja określa stopień asocjacji między zmiennymi

Transkrypt

1 Korelacja, autokorelacja, kowariancja, trendy Korelacja określa stopień asocjacji między zmiennymi

2 Kowariancja Wady - ograniczenia. Wartość kowariancji zależy od rozmiarów zmienności zmiennej.. W konsekwencji trudno jest oszacować wielkość kowariancji. Jeżeli zmienność X i Y jest mała to również maksymalna możliwa COV jest niewielka, jeżeli zmienność X i Y jest duża, to największa możliwa kowariancja jest również duża. Celem jest oszacowanie wielkości COV względem poziomu zmienności X i Y.

3 Standaryzowana kowariancja Kowariancja pomiędzy X i Y nie przewyższa iloczynu odchyleń standardowych powyższych zmiennych. Standaryzowana kowariancja zawiera się w przedziale [+, -] Im wyższa wartość r tym silniejsza asocjacja pomiędzy zmiennymi Standaryzowana kowariancja jest nazywana współczynnikiem korelacji Wartości współczynnika korelacji r = +, - świadczą o dodatniej oraz ujemnej zależności funkcyjnej między zmiennymi, r = 0 oznacza brak asocjacji. z X N zy r Średnia iloczynów wartości standaryzowanych X i Y

4 y Tendencja ciśnienia 0 y y r = r = y 0 3 y r= y r = E-08 y = -6.57E+08x +.338E+00 R =.904E-0 Górna dywergencja obserwacji -5.E-09 0.E+00 5.E-09.E-08.E-08

5 W analizie korelacji nie zakłada się zależności przyczynowej, a jedynie asocjację. Istotna asocjacja między dwoma zmiennymi może być wyrazem działania co najmniej czterech mechanizmów:. X i Y są zmiennymi, których zmienność kształtuje czynnik A A X Y clo odzieży & spożycie lodów. X i Y są powiązane za pośrednictwem jednej lub więcej zmiennych Ai i tworzą łańcuch przyczynowy, gdy i=, mamy: X UV Ozon A A Y temperatura cyrkulacja

6 3. X powoduje zmianę Y, ale również Y powoduje zmianę X; mamy więc dwustronne powiązanie: X Śnieg Y temperatura The question is: if winter with higher snow is colder than normal, is it colder because of the snow cover or is the more snow cover because it is colder?

7 4. Występuje jednokierunkowa zależność przyczynowa, taka jak zakładana w analizie regresji. X Y Z powyższych przykładów wynika, że na podstawie prostej analizy korelacji nie powinno się wyciągać wniosków przyczynowych, gdyż asocjacja dwóch zmiennych może wystąpić z różnych powodów. Testowanie istotności współczynnika korelacji df = N - N - liczba korelowanych par Wzór stosowany do obliczeń numerycznych

8 ALWAYS LOOK AT THE SCATTERPLOTS!. outlier podwyższający korelację.. outlier obniżający korelację, zależność funkcyjna 5. Połączenie dwóch różnych próbek o r=0 6. Spełniony warunek normalności rozkładu 7. Związek nieliniowy 8. Połączenie dwóch różnych próbek o ujemnej korelacji Jeżeli w obu korelowanych szeregach wykryto istotny trend o tym samym znaku to należy go odjąć od jednego szeregu. Dodanie do szeregu stałej wartości nie zmienia wartości współczynnika korelacji.

9 Autokorelacja x x x x r x i x sr N k i k i sr i k N i gdzie: k - przesunięcie (lag) sr

10 Współczynnik autokorelacji jako miara bezwładności w szeregu Temperatura powierzchni oceanu SST Prędkość wiatru Autokorelogramy.. r = Serie r = krok Serie krok

11 Współczynnik autokorelacji jako miara cykliczności w szeregu Średnia miesięczna temperatura w Łodzi cykl roczny Serie Promieniowanie radiowe słońca 0.7 cm Serie cykl 7-dniowy Serie

12 Liniowa korelacja wielokrotna Współczynnik korelacji wielokrotnej R3. wyraża stopień dopasowania powierzchni regresji do obserwacji. 3 - zmienna zależna,, - zmienne niezależne R 3. r 3 r3 r3 r3 r r Współczynnik R3. mierzy procent wariancji zmiennej 3 wyjaśniony przez zmiany zmiennych i. Znak korelacji nie ma sensu statystycznego. Istotność statystyczna F R ( N p) ( R ) p N - długość serii p - liczba zmiennych niezależnych Liczba stopni swobody v = p ; v = N-p-

13 Korelacja cząstkowa Współczynnik korelacji cząstkowej mierzy rzeczywistą korelację pomiędzy dwoma zmiennymi, po wyeliminowaniu wpływu innej zmiennej. r3. r3. r3 r r3 r r3 Oznacza korelację pomiędzy zmienną i 3 z wyeliminowanym wpływem Teoretycznie, wpływ danej zmiennej () (np. temperatury) na dwie pozostałe zmienne () (np. wilgoć) i (3) (np. plony) może zostać wyeliminowany dzięki wybraniu próby o stałych wartościach (). Jest to problem od strony praktycznej! Konstruujemy linię regresji między () i () oraz (3) i () i korelujemy ze sobą odchylenia () od linii regresji oraz (3) od linii regresji. W praktyce wyraża to powyższy wzór.

14

15 Observational detection of upper stratospheric ozone responses to 7-day solar ultraviolet (UV) variations is often inhibited by larger, dynamically induced ozone variations, which result mainly from the temperature dependence of reaction rates controlling the ozone balance. Here we show that partial correlation coefficients of solar UV and tropical upper stratospheric ozone ( 5 hpa) with the temperature effect removed are larger (07 0.8) than are total correlation coefficients of ozone and solar UV ( ).

16 Współczynnik korelacji wektorowej Crosby ego f, g f = σ(u,u) σ(u,u) σ(v,v) + σ(v,v) σ(v,u) + + σ(v,v) σ(u,u) σ(u,v) + σ(v,v) σ(u,u) + + σ(u,v) σ(u,v) σ(v,u) σ(u,v) + σ(u,v) σ(u,u) σ(v,v) σ(u,v) + - σ(u,u) σ(v,u) σ(v,v) σ(u,v) - σ(v,v) σ(u,u) σ(u,v) σ(u,v) + - σ(u,u) σ(u,v) σ(u,v) σ(v,v) - σ(v,v) σ(u,v) σ(u,u) σ(v,u) g = σ(u,u) σ(v,v) - σ(u,v) σ(u,u) σ(v,v) - σ(u,v). Wartości współczynnika zawierają się w przedziale Zastosowanie: klimatologia, oceanografia, hydrologia, ornitologia, programy OCR (Optical Character Recognition)

17 Przykłady serii wektorów o korelacji =.0

18 Klasa A 70 N 65 N 60 N 55 N 50 N 45 N 40 N 35 N N 0 W 0 W 0 0 E 0 E 30 E 40 E 50 E 0 W 0 W 0 70 N 65 N 60 N 55 N 50 N 45 N 40 N N 30 N E 0 E 30 E 40 E 50 E

19 Trendy w szeregach czasowych

20 Metoda najmniejszych kwadratów [least square method] y x (czas)

21 Równanie linii trendu y = bx + a b - współczynnik kierunkowy, informuje o tym o ile zmienia się wartość funkcji przy wzroście x o jednostkę czasu. a - wyraz wolny, informuje o wartości funkcji gdy x = 0.

22 Testowanie istotności trendu - statystyka Mann-Kendalla n a ki i ki - liczba elementów poprzedzających i-ty wyraz, mniejszych od niego. n - długość szeregu Dla n>0 statystyka a ma rozkład normalny o średniej μ i odchyleniu standardowym σ n n 4 n n n 5 7 Testujemy statystykę znormalizowaną z a z