Dynamika układów elektrycznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Transkrypt

1 Dynamika układów elektrycznych dr hab. inż. Krzysztof Patan

2 Wprowadzenie Modele elektryczne opisują zjawiska zachodzące podczas przemieszczania się ładunków elektrycznych pomiędzy punktami obwodu o różnych potencjałach Natężenie prądu i(t) [A] jest to szybkość przepływu ładunku elektrycznego q(t) przez przewodnik o danym przekroju i(t) = dq(t) Napięcie u(t) [V ] jest to różnica potencjału pomiędzy dwoma punktami obwodu elektrycznego Napięcie jest przyczynkiem do przepływu prądu w obwodzie

3 Idealne i rzeczywiste źródła energii elektrycznej Źródło napięciowe Idealne e(t) i(t) + u(t) Idealne źródło napięcia wytwarza wartość napięcia niezależnie od obciążenia u(t) = e(t) Rzeczywiste e(t) i(t) R + u(t) Rzeczywiste źródło napięcia posiada pewną rezystancję wewnętrzną więc wytwarza wartość napięcia zależną od obciążenia u(t) = e(t) Ri(t)

4 Źródło prądowe Idealne i s (t) i(t) + u(t) Idealne źródło prądu wytwarza prąd o natężeniu niezależnym od napięcia i(t) = i s (t) Rzeczywiste is (t) R + u(t) i(t) Rzeczywiste źródło prądowe posiada pewną rezystancję wewnętrzną więc wytwarza prąd o natężeniu zależnym od napięcia i(t) = i s (t) u(t) R

5 Podstawowe elementy elektryczne Rezystancja (opór czynny) R + i(t) u(t) Opór idealnego rezystora R = u(t) i(t) gdzie R rezystancja [Ω] Konduktancja G = 1 R przewodność Rezystancja typowego elementu metalowego R = ρ l A gdzie A przekrój, l długość, ρ opór właściwy Rezystancja przewodników niemetalicznych zależy od punktu pracy i zwykle jest nieliniowa

6 Pojemność elektryczna C + i(t) Ładunek zgromadzony na okładkach q(t) = Cu(t) u(t) gdzie C pojemność [F ] Korzystając z definicji natężenia prądu otrzymujemy i(t) = C du(t) lub u(t) = 1 i(t) C Naładowany kondensator to magazyn energii Pojemność C idealnego kondensatora jest wartością stałą i zależy od kształtu i wymiaru okładzin oraz przenikalności dielektrycznej materiału pomiędzy okładkami W rzeczywistych układach związek pomiędzy ładunkiem i napięciem może być nieliniowy pojemność C zależy od punktu pracy

7 Indukcyjność własna e L i(t) + L u(t) Strumień pola magnetycznego przenikający cewkę Φ(t) = µza i(t) l gdzie µ przenikalność magnetyczna, A pole przekroju, z liczba zwojów, l długość Zmienny strumień Φ(t) powoduje powstawanie w każdym zwoju siły elektromotorycznej (zachodzi zjawisko samoindukcji) e(t) = z dφ(t) gdzie L indukcyjność własna [H] = µz2 A di(t) = L di(t) l

8 Jeżeli natężenie prądu rośnie to samoindukcja powoduje gromadzenie się energii w polu magnetycznym cewki Indukcyjność L jest jedynym parametrem idealnej cewki Jeśli ośrodkiem jest element ferromagnetyczny to przenikalność zależy od natężenia pola magnetycznego H, a indukcyjność od natężenia prądu L(i) = µ(h)z2 A, H = zi(t) l Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym jest zatem elementem nieliniowym

9 Indukcyjność wzajemna Rozważmy parę cewek sprzężonych magnetycznie strumień magnetyczny Φ 1 (t) wytwarzany przez prąd i 1 (t) płynący przez pierwszą cewkę częściowo przenika także drugą cewkę e 1 (t) e 2 (t) Część strumienia przepływającego przez drugą cewkę Φ 1(t) = Φ 1 (t) Φ r (t) = M 12 i 1 (t) gdzie M 12 indukcyjność wzajemna, Φ r strumień rozproszony Zmiana natężenia prądu i 1 (t) powoduje indukowanie siły elektromotorycznej w drugiej cewce e 2 (t) = z 2 dφ 1(t) = M 12 di 1 (t)

10 Opisy zastępcze elementów elektrycznych Do analizy układów elektrycznych stosuje się metody operatorowe model operatorowy rezystora u(t) = Ri(t) U(s) = RI(s) R = U(s) I(s) model operatorowy kondensatora i(t) = C du(t) gdzie x C reaktancja pojemnościowa model operatorowy cewki u(t) = L di(t) gdzie x L reaktancja indukcyjna uogólnione porawo Ohma I(s) = scu(s) U(s) I(s) = 1 sc = x C U(s) = sli(s) U(s) I(s) = sl = x L U(s) = Z(s)I(s) lub I(s) = Y (s)u(s) gdzie Z(s) impedancja, Y (s) admitancja

11 Połączenie równoległe RC Uogólnione prawo Ohma Z(s) = U(s) I(s) Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach U C (s) = U R (s) = U(s) Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy Stąd Z(s) = Ostatecznie U(s) I R (s) + I C (s) = I(s) = I R (s) + I C (s) U(s) R + scu(s) = RU(s) U(s) + srcu(s) U(s) Z(s) = R 1 + src

12 Połączenie równoległe RL Uogólnione prawo Ohma Z(s) = U(s) I(s) Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach U L (s) = U R (s) = U(s) Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy Stąd I(s) = I R (s) + I L (s) Z(s) = U(s) I R (s) + I L (s) = U(s) R U(s) + U(s) sl = srlu(s) slu(s) + RU(s) Ostatecznie Z(s) = srl R + sl

13 Połączenie szeregowe RC Uogólnione prawo Ohma Z(s) = U(s) I(s) Przez oba elementy płynie ten sam prąd I C (s) = I R (s) = I(s) Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy Stąd Z(s) = U R(s) + U C (s) I(s) U(s) = U R (s) + U C (s) = I(s)R + 1 sc I(s) = R + 1 I(s) sc Ostatecznie Z(s) = src + 1 sc

14 Połączenie szeregowe RL Uogólnione prawo Ohma Z(s) = U(s) I(s) Przez oba elementy płynie ten sam prąd I C (s) = I R (s) = I(s) Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy Stąd Ostatecznie Z(s) = U R(s) + U L (s) I(s) U(s) = U R (s) + U L (s) = I(s)R + sli(s) I(s) Z(s) = R + sl = R + sl

15 Alternatywnie można skorzystać ze wzorów na impedancję zastępczą dla połączenia szeregowego dla połączenia równoległego Z(s) = Z 1 (s) + Z 2 (s) Z(s) = Z 1(s)Z 2 (s) Z 1 (s) + Z 2 (s) Ćwiczenie Wyznaczyć impedancje zastępcze szeregowych i równoległych połączeń elementów R, L i C

16 Transformator Transformator bez obciążenia u 1 i 1 L 1 M L 2 R 2 u 2 R 1 R 0 Równanie uzwojenia pierwotnego M indukcyjność wzajemna R 1, R 2 rezystancje uzwojeń L 1, L 2 indukcyjności uzwojeń i 1 prąd w uzwojeniu pierwotnym u 1 napięcie po stronie pierwotnej u 2 napięcie po stronie wtórnej R 0 = u 1 (t) = R 1 i 1 (t) + L 1 di 1 (t) Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzy strumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu) u 2 (t) = M di 1(t)

17 W dziedzinie operatorowej { u 1 (s) = (R 1 + sl 1 )i 1 (s) u 2 (s) = smi 1 (s) Eliminując i 1 (s) u 1 (s) = R 1 + sl 1 sm u 2(s) Stąd transmitancja transformatora bez obciążenia G(s) = u 2(s) u 1 (s) = Ms L 1 s + R 1 = ks T s + 1, k = M R 1, T = L 1 R 1 W przypadku rdzenia ferromagnetycznego opis transformatora jest nieliniowy i powyższa transmitancja może opisać działanie transformatora w punkcie pracy

18 Transformator z obciążeniem u 1 i 1 L 1 M L 2 R 2 u 2 i 2 R 1 R 0 Równanie uzwojenia pierwotnego u 1 (t) = R 1 i 1 (t) + L 1 di 1 (t) M indukcyjność wzajemna R 1, R 2 rezystancje uzwojeń L 1, L 2 indukcyjności uzwojeń i 1 prąd w uzwojeniu pierwotnym i 2 prąd w uzwojeniu wtórnym u 1 napięcie po stronie pierwotnej u 2 napięcie po stronie wtórnej R 0 rezystancja obciążenia M di 2(t) Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzy strumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu) M di 1(t) di 2 (t) = R 2 i 2 (t) + R 0 i 2 (t) + L 2, u 2 (t) = R 0 i 2 (t)

19 W dziedzinie operatorowej { u 1 (s) = (R 1 + sl 1 )i 1 (s) smi 2 (t) smi 1 (s) = (R 2 + R 0 + sl 2 )i 2 (t) Eliminując i 1 (s) i podstawiając i 2 (s) = u 2(s) R 0 u 1 (s) = (R 1 + sl 1 )(R 2 + R 0 + sl 2 ) s 2 M 2 u 2 (s) smr 0 Stąd transmitancja transformatora z obciążeniem G(s) = u 2(s) u 1 (s) = MR 0 s s 2 (L 1 L 2 M 2 )+s(l 1 R 0 +L 1 R 2 +L 2 R 1 )+R 1 (R 0 +R 2 ) lub ks G(s) = T 2 s 2 + 2ξT s + 1 MR gdzie k = 0 R, T = L 1L 2 M 2 1(R 0+R 2) R, ξ = L 1(R 0+R 2)+L 2R 1 1(R 0+R 2) 2 (L 1L 2 M 2 )(R 0+R 2)R 1

20 Silnik prądu stałego Wytworzenie momentu obrotowego w silniku prądu stałego opiera się na wykorzystaniu stałego pola magnetycznego oddziałowywującego na przewód z płynącym prądem Pole magnetyczne generowane jest przez: magnes trwały uzwojenie zasilane stałym napięciem Na wirniku silnika umieszczone jest uzwojenie zasilane napięciem stałym Pole magnetyczne działa na uzwojenie twornika i powoduje obrót wirnika Uzwojenia twornika zasilane są przez komutator, więc następuje zmiana kierunku zasilania uzwojeń co powoduje kontynuowanie obrotu w tym samym kierunku

21 Silnik z magnesem trwałym i M silnik S,N bieguny magnesu trwałego N R R rezystancja uzwojenia twornika u L M L indukcyjność uzwojenia twornika ω i prąd twornika S u napięcie na zaciskach twornika ω prędkość obrotowa Równanie podsystemu elektrycznego silnika u(t) = Ri(t) + L di(t) gdzie e(t) siła elektromotoryczna + e(t) Siła elektromotoryczna jest proporcjonalna do prędkości obrotowej silnika gdzie K e stała napięciowa silnika e(t) = K e ω(t)

22 Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika M e (t) = K m i(t) gdzie K m stała momentu obrotowego silnika Ostatecznie u(t) = RM e(t) + L dm e (t) + K e ω(t) K m K m Zakładając jako zmienne wejściowe u(t) i M e (t), a jako wyjściową ω(t) model operatorowy ma postać ω(s) = 1 ( ) R + sl u(s) M e (s) K e K m K e Lub macierzowo [ 1 ω(s) = K e R + sl K m K e ] [ u(s) M e (s) ]

23 Silnik obcowzbudny u i R L R w i w L w M ω u w Równanie obwodu wzbudzenia Dla obwodu twornika otrzymujemy u w, i w napięcie i prąd wzbudzenia R w rezystancja uzwojenia wzbudzenia L w indukcyjność uzwojenia wzbudzenia R rezystancja uzwojenia twornika L indukcyjność uzwojenia twornika u, i napięcie i prąd twornika ω prędkość obrotowa u w (t) = R w i w (t) + L w di w (t) u(t) = Ri(t) + L di(t) gdzie e(t) siła elektromotoryczna + e(t)

24 Siła elektromotoryczna zależy od sprzężenia magnetycznego z obwodem wzbudzenia i prędkości obrotowej silnika e(t) = K t Φ w (t)ω(t) ( ) gdzie K t stała, Φ w (t) sprzężenie magnetyczne twornika pochodzące od strumienia wzbudzenia Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika i strumienia wzbudzenia M e (t) = K m Ψ w (t)i(t) ( ) gdzie K m stała momentu obrotowego silnika, Ψ w strumień wzbudzenia Równania (*) i (**) są nieliniowe (iloczyn funkcji zależnych od czasu), aby uzyskać opis operatorowy należy dokonać linearyzacji w punkcie pracy (i 0, i w0 )

25 Dla równania ( ) e(t) = K 1 i w + K 2 ω gdzie K 1 = K t ω(i w0 ) dφw(t) di w(t), K 2 = K t Φ w (i w0 ) 0 Dla równania ( ) M e (t) = K 3 (i 0 i w + i w0 i) gdzie K 3 = K m M 21, M 21 indukcyjność wzajemna Zakładając jako zmienne wejściowe u(t), u w (t) i M e (t), a jako wyjściową ω(t) model operatorowy ma postać [ 1 ω(s) = R + sl ] (R + sl)i 0 K 1 i w0 u(s) M e (s) K 2 K 2 K 3 i w0 K 2 (R w + sl w )i w0 u w (s)

26 Zastosowania silników prądu stałego elementy wykonawcze samolotów motoryzacja układy płynnej regulacji prędkości obrotowej trakcja elektryczna napędy manipulatorów i robotów możliwość płynnej regulacji prędkości kątowej

27 Silnik krokowy Silnik krokowy (skokowy) to silnik przekształcający ciąg sterujących impulsów elektrycznych na ciąg przesunięć kątowych lub liniowych Silnik krokowy jest układem znacznie prostszym niż układ nadążny wykonujący to samo zadanie Klasyfikacja silników krokowych: o wirniku czynnym najczęściej wirnik wykonany jest z twardej stali, rzadziej używa się uzwojenia wzbudzenia o wirniku biernym (reluktancyjnym) wirnik wykonany jest z blachy elektrolitycznej, jest uzębiony ale nie ma żadnego uzwojenia hybrydowe posiadają wirnik reluktancyjny, a ponao magnes trwały, wzmacniający przepływ wywołany impulsem sterującym dla pożądanego ustawienia zębów Skok silnika krokowego to przesunięcie kątowe lub liniowe wirnika pod wpływem działania jednego impulsu sterującego

28 Silnik krokowy z magnesem trwałym 2 N S N S N S 2 S N 1 2 N S 1 1 S N 1 u 1-1 u 2-2 t t wirnik stanowi magnes trwały na stojanie znajdują się bieguny z pasmami uzwojeń 1-1, 2-2 do pasm doprowadza się odpowiednio uformowane impulsy pod wpływem wytworzonego momentu obrotowego wirnik obraca się o kąt skoku

29 Skok silnika α = 2π 2pm gdzie p liczba pasm uzwojeń, m liczba par biegunów stojana Równanie pasma uzwojenia Siła elektromotoryczna u j (t) = Ri j (t) + L di j(t) e j (t) = K e dθ(t) + e j (t), dla j = 1, 2 sin(θ(t) + (j 1)α) gdzie K e stała napięciowa, θ(t) kąt obrotu Moment elektryczny M e (t) = K m i 2 (t) cos(θ(t)) K m i 1 (t) sin(θ(t)) gdzie K m stała momentu obrotowego

30 Zastosowania silników krokowych napędy obrabiarek numerycznych napędy drukarek, ploterów układy zabezpieczeń w reaktorach jądrowych sterowanie prętami bezpieczeństwa pochłaniającymi neutrony technika pomiarowa dokładne pozycjonowanie elementów pomiarowych robotyka manipulatory, pozycjonowanie robotów