Wyznaczanie rozmiarów przeszkód i szczelin za pomocą światła laserowego

Transkrypt

1 Ćwiczenie Equation Chapter 1 Section 1v.X Wyznaczanie rozmiarów przeszkód i szczelin za pomocą światła laserowego 1 Wstęp teoretyczny Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszkód za pomocą światła oparte jest o zjawiska dyfrakcji i interferencji światła. Warunkiem uzyskania wyraźnego i niezakłóconego obrazu dyfrakcyjnego lub interferencyjnego jest spójność (koherencja) światła. Pojęcie spójności wiązek świetlnych wiąże się ze stałością różnicy faz tych wiązek. Wyróżnia się spójność światła czasową i przestrzenną. Jeżeli światło ma szerokość widmową, to czas spójności wynosi1/, a długość spójności c /. Wynika z tego, ze im mniejsza szerokość spektralna, tym większy czas spójności. Zatem idealne, jednak niewystępujące w przyrodzie, światło monochromatyczne ( ) byłoby całkowicie spójne. Lasery, jako jedyne, zapewniają przy niemal doskonałej monochromatyczności możliwie największą długość spójności (i czas spójności) przy dużym natężeniu światła. 1.1 Dyfrakcja Rozpatrzmy nakładanie się dwóch spójnych falświetlnych, z którymi w pewnym niewielkim obszarze przestrzeni wiążą się gęstości energii 1 i obszarze można opisać jako Drgania pola elektrycznego w tym E E cos( t ) oraz E E cos( t ) (1) Drgania wypadkowe w tym obszarze otrzymujemy korzystając z zasady superpozycji: E E1 E. Obliczenia pokazują, że średnia gęstość proporcjonalna do E, dana jest wyrażeniem energii fali wypadkowej w obszarze nałożenia, cos () 1 1 gdzie 1 jest różnicą faz drgań E 1 i E. Ze wzoru () widać, że jeśli nie zależy od czasu (co zachodzi w przypadku fal spójnych), to gęstość energii w punkcie nakładania się fal może się różnić od sumy 1. Interferencja jest zjawiskiem nakładania się fal świetlnych emitowanych przez spójne źródła dyskretne, przy czym różnica faz drgań jest stała w czasie. Dyfrakcja światła także dotyczy superpozycji fal, jednak wytworzonych przez źródła spójne ułożone w sposób ciągły a nie dyskretny jak w przypadku interferencji. 1

2 Dyfrakcję obserwujemy, gdy światło rozchodzi się w ośrodku z ostrymi niejednorodnościami, którymi mogą być granice ciał nieprzezroczystych, małe otwory itp. W zależności od tego jak na przeszkodę padają fale świetlne rozróżniamy dwa rodzaje dyfrakcji: I. Dyfrakcja Fraunhofera fala padająca na przesłonę i ją opuszczająca jest falą płaską czyli źródło światła i płaszczyzna obserwacji są w nieskończonej odległości od przeszkody. W praktyce dyfrakcję Fraunhofera obserwuje się z dobrym przybliżeniem przy skończonych ale odpowiednio dużych wzajemnych odległościach, albo przy zastosowaniu soczewek zapewniających wytwarzanie i interferencję wiązek równoległych. Wytwarzanie spójnych wiązek równoległych może być znacząco ułatwione przez stosowanie laserów. II. Dyfrakcja Fresnela fala padająca na przesłonę jest falą kulista co zachodzi gdy źródło bądź obserwator, bądź też jedno i drugie są w odległościach skończonych od przeszkody Dyfrakcja Fraunhofera na pojedynczej szczelinie Załóżmy, że na szczelinę o szerokości a pada fala płaska, posiadająca tę samą fazę we wszystkich punktach szczeliny określonych współrzędną x. Każdy punkt czoła fali jest źródłem nowej fali, o czym mówi zasada Huygensa. Rozpatrzmy źródła Huygensa wzdłuż całej szerokości szczeliny. Fala wychodząca z punktu x szczeliny opisana jest równaniem i( k r t ) Ae (3)

3 gdzie: k - wektor falowy, skierowany zgodnie z kierunkiem rozchodzenia się fali, r - wektor o początku w punkcie x i wskazujący położenie (odległego) punktu obserwacji. W obserwowanej wiązce równoległej fala, której źródło znajduje się w punkcie x takim, że xama opóźnienie fazowe ( x) w stosunku do fali, ponieważ odległość od ekranu jest większa o ( x) xsin ik r t ( x) i( x) ( x) Ae e (4) ( x) ( x) xsin Opóźnienie fazowe znajdujemy z proporcjonalności, otrzymując gdzie jest maksymalnym opóźnieniem fazy ( x) x (5) a ( a) asin (6) Obraz w danym obserwowanym obszarze ekranu o kreślonym wartością kąta jest superpozycją wszystkich fal ( x) wychodzących ze szczeliny, zatem a i ( x) dx e dx a (7) Zamieniamy zmienną x na zgodnie z wyrażeniem (5), używamy d dx i otrzymujemy a a e i d Całkowanie, po skorzystaniu ze wzoru Eulera prowadzi do postaci (8) sin / a / i / e Niech reprezentuje wektor pola elektrycznego fali świetlnej. Wówczas jest sumą wszystkich wektorów E fali propagującej w kierunku zdefiniowanym przez kąt ugięcia. Natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego I * : (9) sin / I A a / (1) Uwzględniając fakt, że maksymalne natężenie światła I max otrzymuje się dla, wyrażenie (1) można sprowadzić do postaci I sin / Imax / (11) 3

4 Natężenie fali świetlnej za pojedynczą szczeliną Położenie minimów dyfrakcyjnych Minima dyfrakcyjne odpowiadają sytuacji, gdy I czyli warunkowi: Położenie maksimów dyfrakcyjnych sin n, gdzie n 1,,... (1) asin n (13) di di d Warunek na istnienie ekstremum:, czyli. Ścisłe określenie położenia d d d maksimów jest tutaj trudne. W przybliżeniu otrzymujemy: asin (n 1), n, 1,,... (14) 1.1. Dyfrakcja Fraunhofera na siatce dyfrakcyjnej Przykładem siatki dyfrakcyjnej jest układ N szczelin o równej szerokości a, równoodległych od siebie. Odległość między środkami szczelin jest cechą charakterystyczną dla danej siatki i nazywamy ją stałą siatki dyfrakcyjnej ( d ). 4

5 Natężenie pola elektrycznegoobserwowane w małym obszarze odległego ekranu jest superpozycją natężeń pól elektrycznych fal pochodzących ze wszystkich szczelin, ale promienie z kolejnych szczelin są opóźnione w fazie o m 1, gdzie m,1,,... ; 1 d sin. Rozkład natężeń powstających przy padaniu na siatkę światła monochromatycznego o długości fali składa się z serii prążków interferencyjnych. Natężenie promieniowania w obszarze ekranu określonym daną wartością kąta dla siatki dyfrakcyjnej o stałej d i N szczelinach, każda o szerokości a, dane jest wyrażeniem I sin / sin N I / N sin (15) gdzie 1 asin oraz dsin (16) W wyrażeniu (15) czynnik sin N N sin sin / / - czynnikiem interferencyjnym. Natężenie fali świetlnej za siatką dyfrakcyjną nazywany jest czynnikiem dyfrakcyjnym, a czynnik Minima dyfrakcyjne Natężenie zeruje się we wszystkich punktach dla których zeruje się pierwszy człon wzoru na natężenie promieniowania czyli: sin /, z czego otrzymujemy: / asin k gdzie k 1,,... (17) Maksima główne Maksima główne uzyskujemy dla sin. Wówczas czynnik interferencyjny przybiera wartość maksymalną: sin m, gdzie m, 1,,... (18) 5

6 Ponieważ sin nie może być równy zero zatem wyznaczmy granice, gdy m : sin( N) sin[ N( m )] sin( N) lim lim lim 1 m N sin N sin( m ) N sin (19) Dyfrakcja Fraunhofera na otworze kołowym bsin m, m rząd ugięcia siatki () Dyfrakcja na otworze kołowym jest szczególnie ważnym przypadkiem, ponieważ większość soczewek i przesłon ma kształt kolisty. Po raz pierwszy analitycznie problem ten rozwiązał w 1835 roku Sir George Biddell Airy, astronom królewski. Podobnie jak dla innych przeszkód można podzielić otwór na szereg stref pasków o jednakowej szerokości. W obszarze każdego takiego paska faza zmienia się w funkcji odległości od środka otworu. Oprócz tego, ponieważ strefy nie są jednakowej długości również i amplitudy nie są równe. Wypadkową amplitudę znajduje się wówczas przez całkowanie. Obraz dyfrakcyjny powstający za otworem kołowym znany jest pod nazwą krążka Airy ego. Składa się on z jasnego maksimum centralnego, otoczonego szeregiem blednących pierścieni. Przestrzenny rozkład natężeń ma postać: 6

7 Całkowity rozkład jest niemal taki sam jak w przypadku obrazu dyfrakcyjnego od pojedynczej szczeliny, ale rozmiary są inne. Dla przypadku pojedynczej szczeliny, odległość kątowa minimów od środka jest dana przez arcsin m m (1) a a gdzie m jest liczba całkowitą poczynając od jedności. W przypadku obrazu dyfrakcyjnego od otworu kołowego, odległość kątowa minimów jest wyrażona podobnym wzorem, ale m nie jest liczba całkowitą. Ich numeryczne wartości otrzymuje się z funkcji Bessela pierwszego rzędu. Pierwsze minimum obrazu dyfrakcyjnego dla okrągłego otworu o średnicy d przy założeniu warunków Fraunhofera dane jest równaniem sin 1, () d Położenia minimów w obrazach dyfrakcyjnych od pojedynczej szczeliny i otworu kołowego Minimum Pojedyncza szczelina m = Otwór kołowy m = 7

8 Pierwszego rzędu 1 1, Drugiego rzędu,333 Trzeciego rzędu 3 3,38 Czwartego rzędu 4 4,41 Piątego rzędu 5 5,43 Fakt że obraz dawany przez soczewkę ma charakter dyfrakcyjny staje się ważny gdy chce się rozróżnić dwa obiekty punktowe, których odległość kątowa jest mała. Obraz i odpowiedni rozkład natężeń dla dwu obiektów punktowych bliskich siebie kątowo wygląda następująco: Odległość kątowa dwu źródeł punktowych na rys.b jest tak dobrana, że maksimum obrazu dyfrakcyjnego jednego źródła przypada na pierwsze minimum drugiego. Jest to tzw. kryterium Rayleigha. Jeśli dwa obiekty są ledwo rozróżnialne przy przyjęciu kryterium Rayleigha to ich odległość kątowa R musi być równa 1, R arcsin 1, (3) d d Kąt R jest najmniejszym odstępem kątowym, dla którego możliwe jest rozróżnienie obiektów w sensie kryterium Rayleigha. Wykonanie pomiarów.1 Spis zadań do wykonania 1. Zmierzyć moc promieniowania lasera. Justowanie lasera.. Wyznaczyć stałą siatki przy użyciu lasera He-Ne. 3. Wyznaczyć długość fali lasera zielonego. 4. Wyznaczyć odległość między ścieżkami na płycie CD. 5. Wyznaczyć szerokość kilku szczelin. 8

9 6. Wyznaczyć średnicę kilku cienkich drucików. 7. Wyznaczyć średnicę kilku otworów kołowych. 8. Wyznaczyć średnicę cząstek pyłków. 9. Wyznaczyć rozmiary struktury siatki do sitodruku.. Mierzenie mocy promieniowania lesera. Justowanie lasera Miernik mocy laserowej umieścić w odległości ok. 1 cm od lasera. Ustawić zakres miernika na 1 mw. Przy pomocy śrubokręta przeprowadzić regulację ustawienia zwierciadeł względem rury wyładowczej tak, aby otrzymać maksymalną moc promieniowania wyjściowego..3 Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej przy użyciu lasera He-Ne W celu wyznaczenia stałej siatki dyfrakcyjnej, składamy układ pomiarowy tak jak pokazano na rysunku: Wiązkę światła z lasera kierujemy na siatkę dyfrakcyjną, która znajduje się w odległości l od ekranu. Na ekranie mierzymy wzajemne odległości xk maksimów obrazu dyfrakcyjnego dla danego rzędu ugięcia. Otrzymane wyniki umieszczamy w tabeli: k x k stałe siatki bk obliczamy z warunku ()dla maksimum przy interferencji światła ugiętego przez siatkę dyfrakcyjna: b k kl xk 1 (4) 4 x l k gdzie: długość fali światła laserowego 9

10 l odległość ekranu od siatki, Ostateczną wartość stałej siatki obliczamy jako średnią arytmetyczną wyników uzyskanych z wyrażenia (4) 5 1 b bk (5) 5 k 1.4 Wyznaczanie długości fali lasera zielonego Do wyznaczenia długości fali lasera zielonego stosujemy układ przedstawiony na rysunku: Na ekranie mierzymy wzajemne odległości xk maksimów obrazu dyfrakcyjnego dla danego rzędu ugięcia.otrzymane wyniki umieszczamy w tabeli: k x k Znając stałą siatki b z poprzedniego zadania, wyznaczmy długości fali korzystając z przekształconego równania(4). bxk k x kl 1 4 l k k lasera zielonego Ostateczną wartość długości fali lasera zielonego obliczamy jako średnią arytmetyczną wyników uzyskanych z wyrażenia (6) k 1 (6) 5 1 k (7) 5 1

11 .5 Wyznaczanie odległości ścieżek na płycie CD Typowy krążek CD można potraktować jak odbiciową siatkę dyfrakcyjną. Stała tej siatki odpowiada odległości między ścieżkami z zapisaną informacją. Ścieżki te mają kształt współśrodkowych okręgów. Każda zapisana ścieżka składa się z odcinków bardzo dobrze odbijających światło (nie zapisanych) oraz słabo odbijających światło (zapisanych). Pierwszy z nich odpowiada logicznemu zeru, drugi logicznej jedynce. Informacje na płycie zapisane są w postaci cyfrowej w systemie binarnym (dwójkowym) i powstają np. w procesie wypalania określonych obszarów promieniem lasera (w domowych nagrywarkach płyt). W celu pomiaru wzajemnej odległości ścieżek, wiązkę światła z lasera zielonego o znanej długości fali kierujemy na płytkę CD, tak jak jest to przedstawione na rysunku: Odbite promienie świetlne interferują ze sobą, tworząc prążki interferencyjne na ekranie. Mierząc odległości między dwoma prążkami pierwszego rzędu możemy wyznaczyć odległość między ścieżkami na płycie CD ze wzoru m b (8) sin Kąt α wyznaczmy z zależności: a / tg s gdzie: a odległość między maksimami pierwszego rzędu, s odległość płyty CD od ekranu. (9) 11

12 Zatem wzór (8) przyjmuje postać: d a sin arctg s (3).6 Wyznaczanie szerokości szczelin Wiązkę światła laserowego kierujemy na badaną szczelinę i na ekranie ustawionym prostopadle do wiązki w odległości l od szczeliny mierzymy położenie minimów. Szerokość szczeliny wyznaczamy ze wzoru: gdzie: k numer minimum, xkc a kl 1 4 l x (31) x kc odległość między środkami dwóch ciemnych plamek k-tego rzędu, leżących na ekranie z prawej i lewej strony śladu wiązki nieugiętej. kc Pomiary przeprowadzić dla czterech szerokości szczelin (,3,9) Otrzymane wyniki przedstawić na wykresie. Na osi rzędnych umieścić szerokości szczelin otrzymane w doświadczeniu, a na osi odciętych szerokość szczelin odczytane z szczelinomierza. Sprawdzić czy otrzymana zależność ma charakter liniowy i wyznaczyć współczynnik korelacji liniowej..7 Wyznaczanie grubości drucików Przy wyznaczaniu grubości drucików postępujemy tak samo jak podczas wyznaczania szerokości szczelin. Korzystamy również z tego samego wzoru (31). 1

13 .8 Wyznaczanie średnic otworków Wiązkę światła laserowego przepuszczamy przez badany otworek o średnicy mniejszej niż przekrój wiązki. Na ekranie powstaje jasny krążek o średnicy D, zwany krążkiem Airy ego, który otoczony jest jasnymi i ciemnymi pierścieniami. Średnicę otworka obliczamy ze wzoru:.9 Wyznaczanie średnic pyłków l d,44 (3) D Wiązkę światła laserowego kierujemy na badany pyłek umieszczony na szklanej płytce. Przepuszczając światło laserowe przez warstwę pyłku, otrzymamy na ekranie obraz interferencyjnodyfrakcyjny w postaci krążków podobnych do zjawiska halo. Średnicę pyłku obliczamy ze wzoru (3), w którym zamiast D wstawiamy średnicę pierwszego minimum dyfrakcyjnego..1 Wyznaczanie wymiarów siatki do sitodruku Zagadnienie ugięcia światła na tkaninach opisano w pracy [1] Na siatkę do sitodruku umieszczoną w odległości l od ekranu pada światło lasera He-Ne. Odległość między włóknami sitodruku wyznacza się mierząc odległość między prążkami pierwszego rzędu i wstawiając tę wartość do wzoru (3). Grubość włókien wyznaczamy w oparciu o wzór (31), postępując analogicznie. Literatura [1] G.P. Meshcheryakova, B.M. Tarakanov, Diffraction method of measuring the structural characteristics of fabrics made of chemical fibres, Fibre Chem., 36 (4)