O prędkościach nadświetlnych

Transkrypt

1 FOTON 94, Jesień O prędkośiah nadświetlnyh Leszek M. Sokołowski Obserwatorium Astronomizne UJ Poskarżył się pewien nauzyiel fizyki, że w szkolnym wykładzie szzególnej teorii względnośi (STW) obowiązuje dogmat ni nie porusza się szybiej od światła w próżni, a przeież istnieją prędkośi nadświetlne. Wię jak to jest naprawdę? Naprawdę z transformaji Lorentza wynika, że prędkość światła w próżni,, jest prędkośią granizną, rozgranizająą zbiór prędkośi podświetlnyh od zbioru prędkośi nadświetlnyh i nie można przejść z jednego zbioru do drugiego zmieniają inerjalny układ odniesienia. Zakładamy tu słuszność STW, a konkretnie transformaji Lorentza, i sprawdzamy, że nie prowadzi to do sprzeznośi. (Dla śisłośi: przez prędkość nadświetlną rozumiemy taką, która przewyższa prędkość rozhodzenia się fal elektromagnetyznyh w pustej nieogranizonej przestrzeni, = 99 79,458 km/s.) Rzezywiśie, weźmy inerjalny układ odniesienia S, w którym pewien obiekt porusza się z prędkośią v i nieh S porusza się z prędkośią V względem układu inerjalnego S. Obie prędkośi są skierowane w tę samą stronę (i są dodatnie), zatem prędkość v tego obiektu w S jest większa od v. Z doświadzenia wiadomo, że V jest mniejsza od, natomiast prędkość v może być dowolna, bowiem nie spreyzowaliśmy o to jest za obiekt. v = v' + V (1) 1+ v' V Nieh v ' = a, gdzie a > 0. Wówzas v = a + V i różnia liznika i mianownika jest a + V ( + av ) = ( a 1)( V ). Jeżeli v jest prędkośią pod- + av świetlną, zyli a < 1, to liznik jest mniejszy od mianownika i v <. Dla prędkośi nadświetlnej mamy a > 1 i liznik jest większy od mianownika, zatem v >. Dla a = 1 mamy v' = v =. Widzimy, że transformaja Lorentza, zyli zmiana inerjalnego układu odniesienia, przeprowadza prędkośi podświetlne w podświetlne oraz nadświetlne w nadświetlne, a sama prędkość jest niezmienna. Graniy v' = w żadną stronę przekrozyć się nie da. Po jednej stronie tej graniy znajdują się wszystkie znane dotąd fizye obiekty materialne o masie spozynkowej różnej od zera. Czy po drugiej stronie jest oś, o istnieje w przyrodzie?

2 18 FOTON 94, Jesień 006 W skarbniy wiedzy i mądrośi wszelakiej, zyli w Interneie, znajdziemy dwa przykłady prędkośi nadświetlnyh: świetlny zajązek sunąy np. po Księżyu oraz zamykająe się długie nożyzki. Rozpatrzmy je dokładniej. Świetlny zajązek Weźmy latarkę, która obraa się wokół osi prostopadłej do rzuanego przez nią snopu światła. Nieh światło latarki pada na odległą powierzhnię i odbija się od niej, widzimy wówzas zajązka. Jeżeli latarka obraa się ze stałą prędkośią kątową ω, a powierzhnia jest odległa o r od latarki, to zajązek sunie po niej z prędkośią v = ωr. Gdy zajązek biegnie po Księżyu, to nawet przy niewielkiej prędkośi kątowej latarki jego prędkość v jest nadświetlna. Najszybszyh zajązków dostarzają pulsary wirująe gwiazdy neutronowe z silnym polem magnetyznym, emitująe periodyzne sygnały radiowe. Jednym z najsławniejszyh jest pulsar w Mgławiy Kraba, odległy o ok parseków ( km) i obraająy się 30 razy na sekundę, zyli ω 00 s 1. Gdy jego impuls radiowy trafia w Ziemię, zajązek sunie po niej z prędkośią Ruh zajązka nie jest pozorny, jest jak najbardziej realny tworząe go światło może być rejestrowane przez fotokomórki umieszzone na jego trasie lez nie jest to ruh, o jakim zwykle mówimy w fizye. Przez ruh rozumiemy zwykle przemieszzanie się w przestrzeni obiektu fizyznego niosąego energię. Zajązek nie jest obiektem fizyznym, lez obrazem. Nieh w hwili zajązek znajduje się w punkie A na Księżyu, a w hwili w punkie B. W hwili t zajązek jest t 1 wiązką fotonów, które odbijają się w A, zaś w t jest wiązką innyh fotonów, które odbijają się w B. W przedziale zasu t t 1 zajązek przebył odległość ω r( t t 1 ) z nadświetlną prędkośią, ale nie był to ruh iała materialnego żaden foton nie przeleiał z A do B, nie było żadnego przepływu masy ani energii. Najbardziej dobitnie można się o tym przekonać, gdy emitująą w sposób iągły latarkę zastąpimy latarnią morską wysyłająa oddzielne błyski. Jeden błysk pada w punkie A, zaś następny w B, a po drodze z A do B ni się nie przemieśiło. Za pomoą zajązka nie można zawiadomić obserwatora znajdująego się w hwili t w punkie B o tym, że w hwili t1 snop światła dotarł do A. Szybszy od światła zajązek nie przenosi energii i nie nadaje się do przenoszenia informaji. Natomiast iała poruszająe się wolniej od światła i niosąe energię mogą przenosić informaję, stąd też zęsto mówi się, że energia i informaja nie mogą przenosić się szybiej niż. To uzupełnienie o informaję ma jednak harakter bardziej poglądowy niż wnosi oś nowego, bowiem informaja nie jest pojęiem śiśle fizyznym. Fakt, że zajązek nie niesie energii i informaji, nie jest też dowodem, że transport energii nie może nastąpić z prędkośią nadświetlną. t 1

3 FOTON 94, Jesień Przykład z zajązkiem pokazuje, że możliwy jest ruh nadświetlny w iele roziągłym. Nieh wzdłuż drogi zajązka na Księżyu ustawiona będzie wielka lizba małyh nadajników radiowyh w postai np. osylująyh pod wpływem przyłożonego napięia dipoli elektryznyh. Światło zajązka padają na fotokomórkę włąza napięie i dipol drga przez hwilę i promieniuje. Zbiór tyh dipoli tworzy jedną wielką antenę radiową, która w każdym momenie promieniuje tylko w jednym miejsu tym dipolem, który akurat jest oświetlony zajązkiem. Źródłem fal radiowyh jest zmienne pole elektryzne, które przesuwa się w antenie z prędkośią zajązka. Również ten ruh nadświetlny nie przenosi żadnej energii z miejsa na miejse, bowiem to przesuwanie się pola elektryznego nie jest ruhem fal elektromagnetyznyh (wypromieniowanyh fal radiowyh nie wlizamy do tego pola) po prostu w kolejnyh miejsah wzbudzane jest zmienne pole. Fale radiowe generowane takim ruhem nadświetlnym mają interesująe, nietypowe własnośi i ostatnio zespół fizyków angielskih i amerykańskih zbudował taką antenę, ale to już odrębny temat. Szybki zajązek daje zabawny efekt optyzny. Załóżmy, że sunie on po płaskim lustrze i obserwujemy jego odbiie od lustra. Jeżeli jego prędkość jest wielokrotnie większa od, to przebiegnie on po lustrze momentalnie, natomiast odbite od lustra fotony zmierzają do nas z prędkośią. Nie będziemy wię widzieć zajązka tak, jak on się faktyznie po lustrze przesuwa, lez najpierw zobazymy go w punkie najbliższym nas, a następnie zajązek będzie się od niego oddalać, rozbiegają się równoześnie w obu kierunkah po swojej drodze (radzę to narysować). Obraająe się nożye Podobnie jest z zamykająymi się nożyzkami. Dopóki prędkość liniowa końów ramion jest mniejsza od, to nożyzki można uważać za doskonale sztywne i mogą obraać się ze stałą prędkośią kątową ω. Gdy ramiona nasuwają się na siebie, to punkt przeięia się ih ostrzy oddala się od osi obrotu z prędkośią nieogranizenie rosnąą. Aby to ustalić bierzemy uproszzony model nożyzek, któryh ramiona mają kształt wydłużonyh prostokątów (rys. 1). Lewe ramię jest nieruhome, a prawe obraa się z prędkośią ω w kierunku dodatnim (tzn. przeiwnie do ruhu wskazówek zegara) wokół osi przehodząej przez punkt O. Ramiona mają długość L i szerokość a. W hwili t = 0 prawe ramię jest prostopadłe do lewego i równoległe do osi x. Dowolny punkt x 0, y ) ostrza prawego ( 0 ramienia ma w t = 0 współrzędne x 0 = p, gdzie p zawiera się pomiędzy a i L a oraz y 0 = a. W późniejszej hwili t ten punkt ostrza jest obróony o kąt ω t wokół O, zyli ma współrzędne x = posωt asinωt i y = psin ωt + aosωt ()

4 0 FOTON 94, Jesień 006 Rys. 1 Punkt P przeięia się ostrzy ramion ma w t = 0 współrzędne x = 0 oraz y = a. W dowolnej późniejszej hwili t punkt przeięia P ma nadal współrzędną x = 0, stąd dostajemy z pierwszego wzoru () wartość p tego punktu prawego ostrza, który pokrywa się z P, p = a sinωt. Wstawiają tę wartość do drugiego osωt wzoru (), dostajemy współrzędną y punktu P jako funkję zasu: y( t) = a osωt Prędkość przesuwania się punktu przeięia ostrzy jest (3) dy v = = aω sin ωt. (4) dt os ωt Prędkość końa ramienia nożyzek musi być mniejsza od, zyli ( L a) ω <, a ponieważ nożyzki są długie, L >> a, wię L ω < i dostajemy ogranizenie na prędkość kątową nożyzek, by ruh był sztywny, ω <. Ramiona nożyzek L pokryją się dla kąta obrotu ω t = π, zatem ruh punktu przeięia P trwa od t = 0 do hwili t πl. Ze wzoru (4) widzimy, że pozątkowo prędkość punktu P nara- sta liniowo z zasem, v( t) aω t, a dla ω t zbliżająego się do π prędkość ta zahowuje się jak aω, zyli rośnie do nieskońzonośi. Również ta prędkość nadświetlna jest realna można ją zmierzyć, lez jest to prędkość geome- os ω t tryzna nasuwania się na siebie dwu figur i nie towarzyszy jej transport materii

5 FOTON 94, Jesień i energii. Wsadźmy między ramiona nożyzek w punkie P małą kulkę, która może się ślizgać po ostrzu bez taria. Stykająe się ostrza wypyhają kulkę wzdłuż nih, tak że porusza się ona jak punkt P. Dopóki prędkość kulki jest niewielka, to pobiera niewiele energii od nożyzek i nie wpływa na ruh ih ramion. Gdy prędkość punktu P i kulki stanie się relatywistyzna, do dalszego jej przyspieszania potrzebna będzie oraz większa siła. Nawet jeżeli obrót nożyzek jest napędzany jakimś silnikiem dysponująym nieogranizonym zapasem energii, to w miarę zbliżania się prędkośi kulki do jej relatywistyzna energia będzie rosnąć do nieskońzonośi i kulka wyhamuje ruh ramion. Ani punkt przeięia ostrzy, ani tym bardziej kulka, nie osiągną i nie przekrozą prędkośi światła. Tu rozważaliśmy jednostajny obrót ramion nożyzek. Co będzie, jeżeli pozątkowo nożyzki są rozwarte, nieruhome i w pewnej hwili śiskamy je, by je zamknąć? Punkt przeięia ostrzy nie będzie oddalać się z prędkośią (4). Para sił śiskająyh wywoła w ramionah noży impuls nadająy im prędkość obrotową; impuls biegnie w postai fali sprężystej. Mikroskopowo impuls przesuwa kolejne molekuły siei krystaliznej metalu z ih położeń równowagi, przez o molekuły te popyhają sąsiednie molekuły i ta zęść kryształu zazyna się poruszać. Prędkość kawałka kryształu zależy od przyłożonej siły, natomiast sam impuls biegnie z prędkośią dźwięku. Z natury dźwięku jako fali sprężystej (drgania molekuł siei krystaliznej) wynika, że jego prędkość jest mniejsza od. Dopiero gdy impuls przebiegnie ałe ramiona, zazynają się one obraać i szzegółowe własnośi dynamizne siei krystaliznej danego materiału (metalu) deydują o tym, kiedy ustaną drgania i nożyzki zazną się obraać ruhem sztywnym. Ta argumentaja jest szzególnym przypadkiem ogólnego rozumowania, podanego np. w sławnym podręzniku Teoria pola Landaua i Lifszia: iało roziągłe zbudowane z atomów nie może być doskonale sztywne, bowiem wtedy dźwięk miałby prędkość nieskońzoną. Skoro proste przykłady myślowe nie dają nam ruhów iał fizyznyh z prędkośiami nadświetlnymi, to może obserwaje astronomizne dostarzają zegoś takiego? Nadświetlne strugi z kwazarów Gdy w latah siedemdziesiątyh XX w. zazęto prowadzić obserwaje radioastronomizne metodą interferometrii o bardzo długiej bazie (VLBI), dokonano fasynująego odkryia: z wielu kwazarów wytryskują strugi materii, któryh przesuwanie się na niebie można dostrze po kilku miesiąah obserwaji. W liznyh przypadkah strugi te poruszają się szybiej od światła w próżni! Sensaje te trafiły na łamy gazet: zyżby teoria względnośi była błędna? Jak powiedzieliśmy na pozątku, STW dopuszza ruhy nadświetlne, zatem te kwazary jej nie obalają. Dalej, obserwaje spektroskopowe wykazały, że strugi te tworzy gorąa plazma zwyzajnej materii, na pewno nie są to hipotetyzne tahiony zawsze poruszająe

6 FOTON 94, Jesień 006 się z prędkośiami nadświetlnymi. Szybko też zorientowano się, że jest to efekt zysto geometryzny, wynikająy z ukośnego ruhu strumienia gazu. Zobazmy jak można imitować ruh nadświetlny. Nieruhomy kwazar K wyrzua strugę gorąej plazmy pod kątem θ do kierunku KZ obserwaji z Ziemi (rys. ). Struga ma fizyzną prędkość <. W hwili struga znajdująa się w punkie A emituje światło obserwowane na Ziemi w hwili. W późniejszej hwili t B t A stamtąd dohodzi do nas w hwili struga doiera do punktu B i jej światło t t 1. Kąta θ nie potrafimy zmierzyć, bowiem w promieniowaniu radiowym plazmy (dla skrótu piszemy światło, lez faktyznie są to głównie fale radiowe) nie ma harakterystyznyh linii widmowyh, dla któryh można zmierzyć efekt Dopplera; jedyne, o potrafimy obserwować, to ruh poprzezny do kierunku Rys. obserwaji. Dla nas struga przesunęła się w zasie t t1 z C do B ( ruh na niebie ). Odinek CB widzimy pod małym kątem α, a ponieważ odległość KZ = r do kwazara jest dużo większa od odległośi KC i KB, to proste KZ, AZ i BZ są prawie równoległe i możemy przyjąć CZ BZ r, stąd długość CB α r. Za- α r tem obserwowana prędkość poprzezna (i pozorna) strugi jest p =. Z rysunku mamy: t t 1 AC = AB osθ = ( t B t ) osθ oraz BC = ( t B t A) sinθ, A ( )sin wię BC tb t A θ p = =. Różniy tb t A nie znamy. Aby ją wylizyć t t t t 1 bierzemy różnię dróg przebytyh przez światło z A i B: 1 A ( 1 A AZ BZ = t t ) ( t B ) = AC, jest to liniowe równanie dla tb t mająe rozwiązanie t t t1 t B t A =. Mianownik jest mniejszy od 1, zatem tb t A > t 1 1 t. Pozorny zas przelotu strugi na niebie z C do B: t t1 jest krótszy od rzezywistego osθ zasu przelotu z A do B i to sprawia, że może być większa od. Ostateznie dostajemy p sinθ p = (5) 1 osθ

7 FOTON 94, Jesień Jest to funkja dwu zmiennyh. Przy ustalonej prędkośi strugi v osiąga ona maksimum dla os θ =, jest wtedy równa p =. W tym przypadku 1 prędkość pozorna przewyższa, gdy >, zemu odpowiada θ < π. Struga 4 musi wię mieć prędkość bliską, natomiast kąt θ nie może być zbyt mały, bo dla θ 0 prędkość pozorna jest p θ i też zmierza do zera. Dla = 0,9 1 i θ = 30 dostajemy p =, 040. W niektóryh kwazarah pozorne ruhy nadświetlne mają prędkośi ponad 10. Uiezka galaktyk Inny przykład prędkośi nadświetlnyh mamy w kosmologii. Z książek popularnonaukowyh dowiadujemy się, że we Wszehświeie powszehnie występuje zjawisko uiezki galaktyk : każde dwie galaktyki odległe o r oddalają się od siebie z prędkośią wprost proporjonalną do odległośi (prawo Hubble a): = Hr, gdzie H jest tzw. stałą Hubble a, równą ok. km/s na milion lat świetlnyh. Oznaza to, że dwie galaktyki odległe od siebie o ponad 14 mld lat świetlnyh rozbiegają się z prędkośią względną większą od. Taki wniosek jest błędny z dwu powodów. Po pierwsze, powyższe prawo Hubble a jest słuszne tylko dla v dużo mniejszyh od. Po drugie, nie jest to fizyzne przemieszzanie się iała w przestrzeni, lez wynikająe z ogólnej teorii względnośi rozszerzanie się przestrzeni samej w sobie. Tahiony Na konie tahiony, hipotetyzne ząstki elementarne, które z definiji mają prędkośi nadświetlne, lez w konsekwenji nigdy nie mogą spowolnić i nie mogą zatrzymać się (podobnie jak fotony). STW nie wykluza ih istnienia. Mają one zdumiewająe własnośi. Wzór (1) jest słuszny również wtedy, gdy prędkośi v i V są przeiwnie skierowane, tj. gdy jedna z nih jest ujemna. Nieh ' >, wówzas jeżeli prędkość V układu S względem S jest V = (o do modułu ' jest mniejsza od ), to w S tahion ma prędkość = porusza się nieskońzenie szybko! Co więej, z transformaji Lorentza wynika, że jeżeli w pewnym układzie inerjalnym S tahion w hwili był w punkie A, a w późniejszej hwili t B dotarł do punktu B, to istnieje taki inerjalny układ odniesienia S, w którym dotarie tahionu do A jest późniejsze (w sensie zasu mierzonego t A

8 4 FOTON 94, Jesień 006 w tym układzie) od jego przybyia do B kolejność zdarzeń w A i B jest w S odwróona względem kolejnośi w układzie S. Innymi słowy, zawsze istnieje taki układ odniesienia, w którym dany tahion porusza się z nadświetlną prędkośią w tył w zasie! Prowadzi to do ozywistyh problemów z przyzynowośią. Wybitny fizyk i matematyk angielski, Roger Penrose, podał logizny dowód niemożliwośi istnienia tahionów. Wyobraźmy sobie przyrząd, który może emitować i rejestrować tahiony; jest on zbudowany z normalnej materii, zatem w każdym układzie odniesienia ma prędkość mniejszą od. Weźmy dwa takie przyrządy, M i N, poruszająe się w przeiwnyh kierunkah. Załóżmy dla prostoty, że mają znikomo małe rozmiary, zatem na diagramie zasoprzestrzennym historia każdego z nih ( linia świata ), zyli zbiór jego położeń w różnyh hwilah, jest linią prostą nahyloną do osi zasu pod kątem mniejszym od 45. Istnieje taki układ inerjalny, w którym tahiony emitowane przez M i N poruszają się w tył w zasie (rys. 3). Nieh M emituje w punkie (zdarzeniu) A tahion, który doiera do N we wześniejszym (w tym układzie) punkie B, N momentalnie emituje inny tahion, który wraa do M jako odpowiedź w punkie C. Odpowiedź jest wześniejsza od pytania, zatem dla M zdarzenie C jest przyzyną, zaś A skutkiem, a nie na odwrót. Tahiony niosą energię, wię i informaję. Załóżmy, że przenoszone są dwa rodzaje informaji (sygnały), nazwijmy je TAK i NIE. Przyrząd M jest tak zaprogramowany, że na sygnał TAK odpowiada NIE, a na NIE odpowiada TAK; zaś N odpowiada takim samym sygnałem, zyli TAK TAK i NIE NIE. Nieh z B do C doiera tahion niosąy sygnał TAK, wówzas M odpowiada w punkie A sygnałem NIE, sygnał ten przyhodzi do N w B i zwrotnie zostaje wysłany tahion z sygnałem NIE. Dostajemy sprzezność: jeżeli do C dotarł sygnał TAK, to był to sygnał NIE. Taka sama sprzezność pojawi się, jeżeli do C dotarł sygnał NIE. Penrose stwierdza, że urządzenie wysyłająe sygnały szybsze od światła jest fizyznie niemożliwe i wnioskuje stąd, iż tahiony nie istnieją. Rys. 3

9 FOTON 94, Jesień Rozumowanie Penrose a wydaje się nieodparte, jednak zawiera lukę. Zakłada mianowiie, że można ze zwykłej materii zbudować urządzenie, które strzela tahionami jak elektronami lub fotonami. Tego jednak nie wiemy nie mamy żadnej teorii opisująej dynamikę oddziaływań tahionów między sobą i ze zwykłymi ząstkami. W tym kontekśie prof. Andrzej Staruszkiewiz podkreśla, że argumentaja w fizye musi posługiwać się modelami, zyli teoretyznym opisem wyjaśniająym mehanizm danego zjawiska, a tego właśnie w przypadku tahionów nam brakuje. Penrose wskazał jedynie, że oddziaływania tahionów muszą być radykalnie odmienne od oddziaływań znanyh ząstek. Zauważmy bowiem, że w rozumowaniu Penrose a możemy zastąpić przyrządy M i N zbudowane ze zwykłej materii aparatami złożonymi z tahionów wystarzy linie świata M i N narysować na rys. 3 nahylone do osi zasu pod kątem większym od 45. Być może tahiony mogą istnieć tylko jako ząstki swobodne i nie mogą whodzić w żadne oddziaływania. W każdym razie o istnieniu tahionów nie da się rozstrzygnąć w ramah samej STW używają argumentów zysto logiznyh. Do tego potrzebna jest teoria (i ozywiśie doświadzenie!) oddziaływań ząstek elementarnyh. I na zakońzenie podkreślmy, że to, o powiedzieliśmy o niemożliwośi prędkośi nadświetlnyh, odnosi się do iał niemal punktowyh i traktowanyh jako klasyzne, poruszająyh się w pustej nieogranizonej przestrzeni. W przypadku fal, zyli obiektów z założenia roziągłyh, oraz dla ząstek kwantowyh sprawa znaznie się komplikuje. W ośrodku będąym np. atomowym gazem lub w próżni (nie ma ząstek elementarnyh) wypełnionej polami kwantowymi, gdy uwzględnimy efekty kwantowe, mogą dziać się rzezy doprawdy niezwykłe. W 1990 r. K. Sharnhorst przewidział, że w tzw. zjawisku Casimira fotony mogą bie z prędkośią większą niż! Niestety wytworzenie zjawiska Sharnhorsta jest poza zasięgiem obenyh tehnik eksperymentalnyh. Pełne zrozumienie tego zjawiska i wykazanie, iż jest ono zgodne z STW, wymaga bardzo zaawansowanej fizyki. W każdym razie twierdzenie, że energia nie może podróżować szybiej niż, nie należy do korpusu STW, lez do konkretnyh teorii fizyznyh opartyh na STW, takih jak kwantowa teoria ząstek elementarnyh i teoria zjawisk falowyh i tylko w ih obrębie jest prawdziwe lub nie. Gdy uwzględnimy oddziaływania grawitayjne, zyli przejdziemy do zakrzywionyh zasoprzestrzeni opisywanyh ogólną teorią względnośi, to problem prędkośi nadświetlnyh dodatkowo się komplikuje, bowiem trzeba śiśle określić, o to jest odległość i przedział zasu. Literatura [1] M. Jaroszyński, Galaktyki i budowa Wszehświata, Wyd. PWN, Warszawa [] R. Penrose, Nowy umysł esarza, Wyd. PWN, Warszawa 1995, rozdz. 5.