Modele jądra atomowego

Transkrypt

1 Modele jądra atomowego Model to uproszczona wersja teoretycznego opisu, która: 1.) Tworzona jest biorąc pod uwagę tylko wybrane fakty doświadczalne 2.) Przewiduje dalsze fakty, które mogą być doświadczalnie zweryfikowane Trzy typowe modele: 1.) Model gazu Fermiego nukleonów 2.) Model powłokowy 3.) Model kroplowy Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 1

2 Model gazu Fermiego jądra atomowego Znane fakty: 1.) Nukleony są fermionami 2.) Jądra mają dobrze określone rozmiary 3.) Gęstość materii we wnętrzu jąder jest stała taka sama dla prawie wszystkich jąder ( ~ nukleonów / fm 3 ) 4.) Energia wiązania nukleonu jest w przybliżeniu stała dla wszystkich jąder ( ~ 8 MeV / nukleon) 1.) Antysymetryczna funkcja falowa jądra: operator antysymetryzacji objętość jądra Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 2

3 Określona objętość i gęstość Warunki brzegowe na pęd w jednostkach ħ (fala periodyczna w sześcianie o krawędzi L, ): W stanie podstawowym zajęte wszystkie najniższe stany pędowe gdzie a tzw. pęd Fermiego czyli największa wartość pędu w zapełnionym stanie. Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 3

4 c.d. Objętości i gęstości Pęd Fermiego szukany jest z warunku, że liczba dostępnych, całkowicie wypełnionych stanów równa jest liczbie masowej jądra A (bo w stanie podstawowym obsadzane są najniższe stany). Liczba stanów (4-krotnie zdegenerowanych ze względu na spin i izospin) wynosi m(k F ): Po przyrównaniu do A dostaje się: czyli lub inaczej Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 4

5 Wnioski Nukleony we wszystkich jądrach (w stanie podstawowym) poruszają się ruchem Fermiego z wektorem pędu o współrzędnych (p x,p y,p z ) jednorodnie rozłożonych wewnątrz kuli o środku w punkcie (0,0,0) i o promieniu równym pędowi Fermiego identycznemu dla wszystkich jąder!!! Pęd Fermiego podany na poprzedniej stronie został oszacowany biorąc gęstość jądra 0.17 nukleonów/fm 3 Nukleony we wszystkich jądrach (stan podstawowy) poruszają się z energią kinetyczną ograniczoną przez energię Fermiego, która wynosi około: Funkcję gęstości prawdopodobieństwa energii kinetycznej można wyliczyć z funkcji gęstości prawdop. pędu Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 5

6 Stała energia wiązania na nukleon oraz stała energia Fermiego ruchu nukleonów w jądrach sugeruje możliwość oszacowania średniego potencjału oddziaływania nukleon - jądro Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 6

7 Jądrowy efekt Ramsauera tzn. oscylacje całkowitego przekroju czynnego neutron jądro w funkcji energii neutronu ( interpretowane jako interferencja fali przyspieszonej przez potencjał i fali obiegającej jądro) - potwierdza doświadczalnie istnienie takiego średniego potencjału nukleon jądro: Cd+n, Ho+n, Pb+n Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 7

8 Energia symetrii ~ (N-Z) 2 /A Model gazu Fermiego pozwala również wyjaśnić pochodzenie wyrazu zależnego od (N-Z) 2 /A we wzorze na energię wiązania jądra Energia kinetyczna wszystkich nukleonów to suma energii dla wszystkich zajętych stanów i wynosi: Rozwijając w szereg względem (N-Z)/A dostajemy Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 8

9 c.d. energii symetrii Po wstawieniu szeregu do wzoru na energię kinetyczną Pierwszy wyraz zmniejsza objętościową energię wiązania Drugi wyraz to energia symetrii osłabiająca wiązanie jądra, które ma liczbę neutronów różną od liczby protonów Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 9

10 Model powłokowy jądra: fakty Istnienie jąder magicznych z Z=2,8,20,28,50,82 lub/i z N= 2,8,20,28,50,82,126 Jądra te: Mają maksima w zależności energii wiązania od Z i N Są bezspinowe, sferyczne (Q=0) i mają parzystość (+) Mają mniejszy promień niż sąsiednie jądra Występują częściej w przyrodzie Jądra o Z (lub N) większym o 1 od liczby magicznej mają skokowo mniejszą energię wiązania nukleonu danego typu Energia rozpadu alfa jest większa gdy cząstka alfa jest zbudowana z nukleonów poza zamkniętą powłoką Przekrój czynny na wychwyt neutronu dla jąder z N=50,82 i 126 jest kilkadziesiąt razy mniejszy niż dla sąsiednich jąder Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 10

11 Najprostszy model powłokowy ( jednocząstkowy ) Model ten zakłada, że nukleony poruszają się niezależnie w potencjale zawierającym trzy człony: Jądrowy (silny) potencjał centralny Potencjał kulombowski (protony) Potencjał spin-orbita Bardziej zaawansowane wersje modelu powłokowego ( wielocząstkowy model powłokowy ) dodają do powyższego - średniego potencjału jednocząstkowego oddziaływania resztkowe różnego typu, np. oddziaływanie dwójkowania Model powłokowy proponuje najbardziej ogólne i zaawansowane podejście do teoretycznego opisu jądra. Wymaga wyrafinowanych i skomplikowanych rachunków. Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 11

12 Potencjał centralny Bardzo chętnie używa się potencjału oscylatora harmonicznego gdzie V 0 i R są parametrami Dla cząstki o masie M używa się także innego wzoru: gdzie Wielką zaletą tego potencjału jest fakt, że można z nim ściśle rozwiązać równanie Schroedingera i używać funkcji falowych w analitycznej postaci Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 12

13 Centralny potencjał oscylatora Mimo prostoty daje funkcje falowe w obszarze jądra bardzo podobne do bardziej realistycznych potencjałów, które wymagają numerycznych rachunków. Na rysunku porównane są 1) Potencjał oscylatora i potencjał typu Woodsa-Saxona (góra) 2) Radialne funkcje falowe dla stanów o różnych liczbach kwantowych (środek i dół rysunku) otrzymane z tymi potencjałami Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 13

14 Energie własne oscylatora 3-wymiarowego Energie własne Gdzie główna liczba kwantowa N wyraża się przez Wsp. kartezjańskie Wsp. sferyczne to radialna l. kwantowa a to orbitalna l. kwantowa (kręt orbitalny) to liczba zer radialnej f.falowej (bez zera dla r=0 i nieskończoności) Liczba orbitalna spełnia (także dla innych centralnych potencjałów): relację l ma tę samą parzystość co N Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 14

15 Konwencja oznaczeń Poziomy energetyczne w potencjale (centralnym i kulombowskim) oznacza się podając: Główną liczbę kwantową (N) i orbitalną (l) albo Symbol krętu orbitalnego poprzedzony liczbą radialną przy czym stosuje się tradycyjne przyporządkowania liter do wartości l : l=0 s, l=1 p, l=2 d, l=3 f, a dalsze zgodnie z alfabetem (l=4,5,6 g,h,i,...) np. 1p oznacza, że liczba radialna n r = 1 oraz l=1 Warto zapamiętać, że wartość liczby radialnej podaje, który raz dana wartość l pojawia się wśród stanów (licząc od najniższej energii), Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 15

16 Liczby magiczne zamknięte powłoki Każdy poziom oscylatora harmonicznego jest zdegenerowany (N+1)(N+2) razy Stąd trzy pierwsze zamknięte powłoki odpowiadają liczbom magicznym: N=0 liczba stanów: 2 N=1 liczba stanów: 6 (+2 =8) N=2 liczba stanów: 12 (+8=20) ale dalej zgodność znika Aby odtworzyć dalsze liczby magiczne potrzebny jest potencjał spin - orbita Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 16

17 Potencjał spin-orbita To potencjał postaci: gdzie f(r) bierze się jako pochodną funkcji Fermiego (potencjału Woodsa-Saxona) a wartości własne operatora to Przy czym dla s=1/2: Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 17

18 Skutek działania potencjału spin-orbita to rozszczepienie poziomów dla danego krętu orbitalnego na dwa odpowiadające różnym wartościom krętu całkowitego i Z doświadczenia wiadomo, że poziomy z większą wartością j leżą niżej Po uwzględnieniu potencjału spin orbita symbol poziomu rozszerza się dodając dodatkowo wartość j jako dolny wskaźnik, np. 1p 3/2, 2d 5/2 itd. Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 18

19 Schemat poziomów jednocząstkowych Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 19

20 Wyniki jednocząstkowego modelu Odtworzone spiny i parzystości lekkich jąder Dla ciężkich jąder oddalonych od podwójnie magicznego 208 Pb brak zgodności. Wytłumaczenie: trwała deformacja jąder ciężkich z A ~ 150. Próba odtworzenia momentów magnetycznych ( linie Schmidta ) dała tylko umiarkowany sukces z wyjątkiem jąder o liczbie nukleonów różniącej się od liczby magicznej o 1. Podobnie rzecz się ma z momentami kwadrupolowymi, Włączenie oddziaływania resztkowego poprawia Oddziaływanie krótkozasięgowe dwójkowanie Oddziaływanie długozasięgowe deformacje jąder Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 20

21 Model kroplowy jądra Masy i energie wiązania jąder dobrze opisane przez model zakładający, że jądro zachowuje się jak kropla naładowanej cieczy model kroplowy Stany wzbudzone jąder, które omówione zostaną na następnym wykładzie pokazują istnienie kolektywnych wzbudzeń: Rotacyjnych dla trwale zdeformowanych jąder Wibracyjnych dla jąder w przybliżeniu kulistych przy czym mogą to być: Rezonanse gigantyczne gdzie drga całe jądro atomu Nisko wzbudzone stany (drgania powierzchni) lub Podstawy fizyki jądrowej - B.Kamys 21