Pψ ψ ψ. r p r p. r r, θ π θ, ϕ π + ϕ. , 1 l m

Transkrypt

1 Parzystość Operacja inwersji przestrzennej (parzystości) zmienia znak każdego prawdziwego (polarnego) wektora: P r r p P p ale znak pseudowektora (wektora osiowego) się nie zmienia, np: Jeśli funkcja falowa reprezentuje stan własny operatora parzystości, to; Pψ ψ ψ PP ψ P ψ ψ P ψ ( r) = ( r) = P ( r) 2 ( r ) = ( r ) = ( r ) = ( r ) P 2 = 1, P = ± 1 P r p r p Ważny przykład: funkcje własne orbitalnego momentu pędu (harmoniki sferyczne) mają określoną parzystość: We współrzędnych sferycznych operacja parzystości: P P P r r, θ π θ, ϕ π + ϕ m, 1 l m PY θ ϕ = Y θ, ϕ i można sprawdzić, że: ( ) ( ) ( ) l Proton, neutron (i elektron) mają parzystość dodatnią. Parzystość stanów jądra zależy od wzajemnego ruchu nukleonów. Tydzień l

2 Mapa nuklidów Nuklidem nazywamy obojętny atom, którego jądro ma określoną liczbę neutronów N i liczbę protonów Z Nuklidy trwałe 287 nuklidów, w tym 83 pierwiastki od wodoru (Z=1) do uranu (Z=92) Nuklidy metatrwałe U : T = lat U : T = lat Th : T = lat Wiek Układu Słonecznego: Wiek Wszechświata: lat lat Tydzień 7 181

3 Mapa nuklidów Nuklidy znane nuklidy neutronodeficytowe ścieżka stabilności izobary, A=const. nuklidy neutrono- nadmiarowe izotopy, Z=const. izotony, N=const. Tydzień 7 182

4 Masy i energie wiązania Masa nuklidu o liczbach A i Z: 2 (, ) = + ( ) (, ) M A Z Z M A Z m B A Z c H H n M masa atomu wodoru 2 = m + m 13.6 ev = MeV/c p e mn (, ) B A Z masa neutronu= MeV/c energia wiązania 2 Inne przedstawienie masy, często dogodniejsze w praktyce rachunkowej: (, ) = + (, ) M A Z Au A Z u atomowa jednostka masy 2 = MeV c ( A, Z ) nadwyżka masy (mass excess, defekt masy) ( ) 12,6 0 Tydzień 7 183

5 Ważną informację fizyczną zawiera energia wiązania na jeden nukleon: B ( A, Z ) A obserwujemy wysycanie sił jądrowych Synteza jąder lekkich i rozszczepienie jąder ciężkich jest korzystne energetycznie! Tydzień 7 184

6 Energie separacji Energia separacji neutronu z nuklidu o liczbach A i Z: ( ) ( ) ( ) M A, Z c + S n M A 1, Z c + mnc ( ) = (, ) ( 1, ) ( 2 ) = (, ) ( 2, ) S n B A Z B A Z S n B A Z B A Z Analogicznie energia separacji protonu z nuklidu o liczbach A i Z: (, ) ( ) ( 1, 1 ) M A, Z c + S p M A 1, Z 1 c + M H c ( ) = (, ) ( 1, 1) ( 2 ) = (, ) ( 2, 2) S p B A Z B A Z S p B A Z B A Z Nuklidy są związane jądrowo, gdy energie separacji nukleonów są dodatnie. Gdy energia separacji staje się ujemna, możliwa jest spontaniczna emisja nukleonu Tydzień 7 185

7 Znikająca energia separacji nukleonu wyznacza granicę stabilności jądrowej. Pomiędzy liniami odpadania nuklidy są związane siłami jądrowymi, co nie oznacza, że muszą być bezwzględnie trwałe! Energia separacji neutronu, S(n), maleje z rosnącym N i rośnie z rosnącym Z Energia separacji protonu, S(p), maleje z rosnącym Z i rośnie z rosnącym N linia odpadania protonu (proton drip-line) S p = ( ) 0 linia odpadania neutronu (neutron drip-line) S n = ( ) 0 Tydzień 7 186

8 Model kroplowy Z własności sił jądrowych wynika, że energia wiązania jądra w pierwszym przybliżeniu jest proporcjonalna do liczby nukleonów. Ale powierzchnia jądrowej kropli także ma znaczenie nukleony na powierzchni mają mniej sąsiadów niż te we wnętrzu! Pamiętając, że elektrycznie naładowane protony odpychają się, możemy opisać energię wiązania jądra zawierającego A nukleonów (w tym Z protonów): B ( A, Z ) bv A bs A bc A 1 3 Z Nasuwa się tu analogia z kroplami cieczy (np. wody). Energia potrzebna do odparowania pewnej ilości wody, jest proporcjonalna do liczby cząstek. Napięcie powierzchniowe sprawia, że swobodne krople przybierają kształt kulisty. Tydzień 7 187

9 Musimy jeszcze wziąć pod uwagę fakt, że różnica między liczbą protonów i neutronów jest niekorzystna dla energii wiązania, co wynika z zakazu Pauliego. Efekt ten ujmujemy dodając tzw. człon symetrii. Jego postać funkcyjną uzasadnimy później na gruncie prostego modelu gazu Fermiego. Z członem symetrii energia wiązania przybiera postać: ( A 2 Z ) Z B ( A, Z ) bv A bs A bc b Bethe, Weizsäcker (1935) 1 3 sym A A 2 2 Wartości współczynników otrzymano porównując tę formułę do danych doświadczalnych. Jeden z popularnych zestawów: b V = 15.8 MeV b S = 18.3 MeV b = MeV b sym = 23.2 MeV C Tydzień 7 188

10 Szybki podgląd: dla każdej liczby A zakładamy, że Z = A/2. Tworzymy wykres energii wiązania na nukleon w zależności od A.... a tu opada, bo przeważa odpychanie między protonami Tu krzywa rośnie, bo zwiększa się stosunek objętości do powierzchni... Wygodną jednostką energii może być tu 1pJ 12 1 pj = 10 J = MeV Tydzień 7 189

11 Dygresja o skali energii Rozszczepienie (jednego!) jądra 235 U daje energię ok. 200 MeV, czyli ok. 32 pikodżuli. Dużo to, czy mało? Aby zagotować szklankę wody o początkowej temperaturze 20 ºC potrzebujemy energii: J Q = m c T = 0.25kg st. kg K = J Ile jest cząstek w szklance wody? N m 250 g = N A = µ 18 g Na jedną cząstkę wody potrzebujemy: Q N = = = J J 10 pj Jeden atom 235 U wystarcza do zagotowania cząstek wody!!! Porównanie: spalenie jednego atomu węgla daje ok. 3 ev energii ( pj), co pozwala zagotować ok. 50 molekuł wody. Tydzień 7 190

12 Tydzień 7 191

13 Wkład poszczególnych członów modelu Bethego Weizsäckera i porównanie z doświadczeniem dla jąder stabilnych energia objętościowa powierzchnia Coulomb symetria Tydzień 7 192

14 Odstępstwa zmierzonych energii wiązania od przewidywań modelu są widoczne dla jąder lekkich i przy większym powiększeniu. Tydzień 7 193

15 Energia wiązania na nukleon: różnica (eksperyment model BW) na mapie nuklidów MeV Tydzień 7 194

16 Wybieramy Z = 50 i Z = 51 Widoczny efekt parzystości liczb N i Z Jądra parzysto-parzyste są związane silniej niż parzysto-nieparzyste Jądra nieparzystonieparzyste są związane słabiej niż parzystonieparzyste Z = 50 Z = 51 Tydzień 7 195

17 Musimy wprowadzić poprawkę do modelu kroplowego, która opisuje efekt parzystości liczb N i Z. Dodajemy człon postaci: B pair parz.-parz. = 0 parz.-nieparz nieparz.-nieparz. 12 MeV = A Pełny model kroplowy Bethego Weizsäckera z energią pairing: ( A 2Z ) 2 Z B A Z b A b A b b B A A BW (, ) = V S C 1 3 sym + pair Z = 50 Z = 51 z energią pairing Tydzień 7 196

18 Energia wiązania na nukleon: eksperyment model BW z energią pairing 82 N=Z Tydzień 7 197

19 Ścieżka trwałości beta Posługując się modelem kroplowym możemy dla każdej wartości liczby masowej A obliczyć liczbę Z najsilniej związanego izobaru. Wyznaczymy w ten sposób przewidywaną scieżkę stabilności ( ćwiczenia). ścieżka stabilności wg modelu kroplowego Tydzień 7 198

20 Granice stabilności jądrowej W modelu kroplowym możemy też obliczyć energie separacji nukleonów i wyznaczyć granice stabilności jądrowej Nuklidy znane Nuklidy w szarym obszarze spełniają warunek: ( ) ( ) SBW n > 0 & SBW 2n > 0 & ( ) ( ) SBW p > 0 & SBW 2 p > 0 Tydzień 7 199

21 Przewidywania współczesnych zaawansowanych modeli teoretycznych dla nuklidów parzysto-parzystych. Z rachunków tych wynika, że powinno być 6900 ± 500 nuklidów jądrowo związanych. Z tej liczby odkryliśmy dotychczas ok J. Erler et al., Nature 486 (2012) 509 Tydzień 7 200

22 Stany wzbudzone Związane układy wielu składników mogą znajdować się w różnych stanach, będących konsekwencją ruchu względnego (stopni swobody) składników. Stan o najmniejszej energii nazywamy podstawowym. Pełne zrozumienie układu złożonego, jak jądro (ale też protonu i innych barionów) oznacza, że ze znajomości jego składników (liczb A i Z, kwarków) daje się wywnioskować widmo stanów wzbudzonych oraz własności układu w stanie podstawowym i w stanach wzbudzonych. Skale energii wzbudzenia Tydzień 7 201

23 Wzbudzenia jądra i nukleonu Do wysokości S(n), S(p) (ok. 8 MeV) stany wzbudzone są jądrowo związane Tydzień 7 202

24 Energie wzbudzeń jądrowych są zazwyczaj pomijalnie małe w porównaniu z energią spoczynkową nuklidu. Stanów wzbudzonych 58 Fe nie da się w ogóle zobaczyć w skali poniższego rysunku. Ten fakt, oraz słaba znajomość sił między nukleonami, powoduje, że dokładny opis teoretyczny stanów wzbudzonych jest b. trudny. Tydzień 7 203

25 Spontaniczne rozpady Wiele obiektów mikroświata jest nietrwałych. Po wytworzeniu nietrwałego stanu (lub cząstki), w pewnym momencie zachodzi spontaniczna przemiana (rozpad), w wyniku którego powstaje inny stan i emitowane są jakieś cząstki. Spontaniczne przemiany zachodzą całkowicie przypadkowo, nie da się w żaden sposób przewidzieć czasu, w którym zajdzie taka przemiana. Charakteryzuje je natomiast stałe prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu, czyli tzw. stała rozpadu. Rozważmy zbiór cząstek, z których każda ma prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu (stałą rozpadu) λ. Jeśli w chwili t jest ich N(t), to w czasie dt: dn Można napisać: lub = λ N ( t) dt N ( t) N e λt 0 λt ( ) = 0e = 0 N t N N e t τ ln2t λt T1 2 ( ) e e 0 0 gdzie = (prawo wykładniczego zaniku) 1 τ = λ N t = N = N gdzie T1 2 ln 2 = λ średni czas życia czas połowicznego zaniku (okres półrozpadu) Tydzień 7 204

26 Czasem cząstka może rozpaść się na różne sposoby (prowadzące do różnych stanów końcowych). Każdy kanał rozpadu ma swoje prawdopodobieństwo, czyli stałą rozpadu. Całkowita stała rozpadu jest ich sumą: λtot = λ1 + λ2 +,..., + λn = + +,..., + τ τ τ τ n 1 2 i λ i τ = 1 λ i cząstkowa (parcjalna) stała rozpadu cząstkowy (parcjalny) średni czas życia Każdemu kanałowi rozpadu można przypisać współczynnik rozgałęzienia (branching ratio): b i λi = λ b SF tot Przykład : Izotop toru Th ( T ) rozpada się emitując cząstki α. 1 2 = lat Jednak z prawdopodobieństwem ulega też spontanicznemu rozszczepieniu. Jaki byłby okres półrozpadu 232 Th, gdyby mogło zachodzić tylko rozszczepienie? λ T SF = = = λ T tot SF T lat = = = lat 10 SF bsf Tydzień T parcjalny okres półrozpadu 232 Th na rozszczepienie