BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 GEOMETRIA 1 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm Oblicz pole tego trójkąta 2 Oblicz pole wycinka koła o promieniu 8 cm wyznaczonego przez kąt a) b) c) 3 Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt jest równe Oblicz promień tego koła 4 Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu długości 5 Oblicz promień koła opisanego na trójkącie o bokach długości 7 cm, 6 cm i 12cm 6 Oblicz pole wycinka koła, jeżeli promień koła ma długość 9 cm, a kąt wycinka tego koła ma miarę120 10 2 7 Pole wycinka koła jest równe cm, a kąt wycinka tego koła ma miarę 48 Oblicz długość łuku wycinka 3 koła 8 Przyprostokątne trójkąta prostokątnego maja długości 6 i 8 Oblicz: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt 9 Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi 5, a jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt 10 W trójkąt równoramienny o wysokości 4 i podstawie 6 wpisano okrąg Oblicz średnicę tego okręgu 11 Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie 30 Oblicz obwód tego trójkata GEOMETRIA ANALITYCZNA 1Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta jeżeli środki jego boków mają współrzędne: 2 Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach oraz Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta 3 Wyznacz współrzędne punktu, który dzieli odcinek o końcach i w stosunku 4 Wykaż, że prosta jest styczna do okręgu 5 Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu 6 Ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem, jeśli oraz 7 Punkty i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego, w którym jest przeciwprostokątną Wyznacz współrzędne wierzchołka wiedząc, że leży on na osi 8 O ile procent pole koła o promieniu długości 8 jest większe od pola koła wyznaczonego przez okrąg o równaniu 9 Wyznacz odległość punktu od prostej o równaniu 10 Napisz równanie okręgu, którego środek należy do osi i który przechodzi przez punkty i 11 Wierzchołkami trójkąta są punkty Oblicz długość środkowej 12 Wyznacz równanie okręgu, który jest symetryczny do okręgu o równaniu względem prostej 13 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty i są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu Wyznacz równanie prostej 14 W układzie współrzędnych dane są dwa punkty: i a) Wyznacz równanie symetralnej odcinka b) Prosta oraz prosta o równaniu przecinają się w punkcie Oblicz współrzędne punktu 15 Ostrokątny trójkąt równoramienny o podstawie jest wpisany w okrąg o równaniu Punkty i leżą na prostej o równaniu Oblicz współrzędne punktów:
16 Punkty są wierzchołkami trapezu Oblicz długość krótszej przekątnej tego trapezu 17 Dany jest jeden koniec odcinka i jego środek Wyznacz współrzędne drugiego końca tego odcinka 18 Określ wzajemne położenie prostych i o równaniach 19 Współrzędne przeciwległych wierzchołków prostokąta są równe Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołek leży na prostej 20 Punkty są wierzchołkami trójkąta równoramiennego, w którym Prosta zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka ma równanie Oblicz pole trójkąta 21 Wyznacz równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt, która wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym 2 22 W okrąg o równaniu wpisano trójkąt równoboczny w którym Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta 23 Środek okręgu przechodzącego przez punkty leży na osi Ox a) Wyznacz równanie tego okręgu b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej i oddalonej od początku układu współrzędnych o 24 Wyznacz równania stycznych do okręgu równoległych do osi Oy 25 Punkt jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawiera się w prostej o równaniu Środkiem symetrii tego rombu jest punkt Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole 26 Dane są punkty Wyznacz na prostej punkt, tak aby Dla wyznaczonego punktu C: a) wykaż, że trójkąt jest prostokątny; b) wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie 27 Dane są punkty oraz Wyznacz wszystkie wartości, dla których proste i są prostopadłe 28 Określ wzajemne położenie okręgów i 29 Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu o równaniu: 30 Dane są dwa wierzchołki prostokąta oraz punkt należący do boku CD a) Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD; b) Oblicz współrzędne wierzchołka C; c) Oblicz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych tego prostokąta 31 Dany jest punkt i prosta o równaniu będąca symetralną odcinka Wyznacz współrzędne punktu Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź 32 Wyznacz równanie prostej, która przecina oś Ox pod kątem, a oś Oy w punkcie 33 Napisz równanie wysokości trójkąta o wierzchołkach opuszczonej z wierzchołka 34 Okrąg o równaniu i prosta przecinają się w punktach Wyznacz długość cięciwy tego okręgu 35 Na prostej wyznacz punkt, który jest równo odległy od początku układu współrzędnych oraz od punktu 36 Punkty są przeciwległymi wierzchołkami rombu Wyznacz równanie przekątnej tego rombu 37 Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej przechodzącej przez punkt oraz równanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzącej przez punkt
38 W trójkącie równobocznym dane są wierzchołek i środek okręgu wpisanego Oblicz pole trójkąta 39 Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta, którego boki zawarte są w prostych o równaniach: 40 Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej okrąg o środku w punkcie i promieniu 10 STATYSTYKA OPISOWA 1 Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata Opiekun ma 39 lat Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie 2 Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność Wartość danej -4 2 4 7 20 Liczebność 7 2 3 6 2 Oblicz średnią arytmetyczną tych danych Podaj medianę Oblicz odchylenie standardowe 3 Przeprowadzono badania, dotyczące liczby osób jadących w samochodach osobowych w godzinach rannych, w kierunku centrum pewnego miasta Wyniki badań przedstawione są na diagramie kołowym a) Oblicz średnią liczbę osób jadących w samochodzie osobowym w godzinach rannych w kierunku centrum b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym samochodzie osobowym, w godzinach rannych, w kierunku centrum, były więcej niż 3 osoby c) Wiedząc, że samochodów osobowych, w których były 4 osoby, zaobserwowano o 350 więcej, niż samochodów w których było 5 osób, oblicz, ile wszystkich samochodów obserwowano w trakcie badań 4 Uczniowie napisali pracę kontrolną 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą Średnia ocen wynosiła 3,9 Ilu uczniów otrzymało piątkę? 5 Średnia arytmetyczna liczb: jest równa 2 Oblicz 6 Uczeń otrzymał pięć ocen: Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4 Oblicz i medianę tych pięciu ocen 7 Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata Gdy do wolnego mieszkania wprowadził się nowy mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok Ile lat ma nowy mieszkaniec? 8 Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1 9 Zważono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski Wyniki badań przedstawiono w tabeli Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła 16 1 18 15 19 24 20 68 21 26 22 16
Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła 10 W pewnej szkole przeprowadzono ten sam sprawdzian z matematyki w trzech klasach 1a, 1b i 1c Na poniższym diagramie przedstawiono wyniki tego sprawdzianu z wyszczególnieniem liczby osób, które uzyskały poszczególne oceny a) Ilu uczniów pisało sprawdzian w poszczególnych klasach? b) Która z ocen była wystawiana najczęściej? c) W której klasie średnia ocen ze sprawdzianu była najwyższa? 11 Na diagramie poniżej przedstawiono procentowy podział miesięcznych zarobków w pewnej firmie a) Podaj medianę tych zarobków b )Wyznacz średnią kwotę miesięcznych zarobków w tej firmie 12 Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III Oceny 6 5 4 3 2 1 Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2 Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen 13 Mediana trzech liczb jest równa 4, a ich średnia arytmetyczna jest równa 5 Oblicz sumę największej i najmniejszej z tych liczb 14 Marek waha się, który obóz letni wybrać Aby podjąć najlepszą decyzję sporządził tabelkę i obliczył średnie ważone Który obóz powinien wybrać? Koszt (waga 0,4) Termin (waga 0,1) Towarzystwo (waga 0,3) Obóz wędkarski 8 2 8 4 Obóz żeglarski 4 4 6 7 Obóz rowerowy 7 6 5 5 Atrakcyjność (waga 0,2) Średnia
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia: na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 2 Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 12 3 Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że: a) suma liczb oczek jest liczbą nieparzystą, b) iloczyn oczek jest mniejszy od 10 c) za drugim razem wypadnie liczba parzysta d) różnica oczek w obu rzutach będzie mniejsza niż 3 4 Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między liczbami oczek wyrzuconych na kostkach (od większej odejmujemy mniejszą) będzie równa 2? b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna różnica między wynikami na kostkach (od większego odejmujemy mniejszy)? 5Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek b) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9 c) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9 6 Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadło dwa razy mniej oczek niż na drugiej? 7 Rzucamy 6 razy symetryczną 6-ścienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo: a) otrzymania co najmniej raz szóstki; b) otrzymania co najwyżej raz szóstki 8 Z pudełka, w którym jest 6 kul czarnych i 4 żółte, wyjęto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem Oblicz prawdopodobieństwo, że wyjęto kule jednakowych kolorów 9 W urnie znajduję się 5 kul białych i 3 czarne Wyjmujemy losowo 4 kule Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wyjętych są przynajmniej 2 kule czarne 10 W pudełku znajduje się 5 kul białych, 3 kule czerwone i 1 zielona Losujemy 1 kulę Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej 11 Mamy dwa pudełka z kulami W pudełku A znajdują się 3 kule zielone i 6 niebieskich, a w pudełku B 5 kul zielonych i 8 niebieskich Rzucamy kostką sześcienną do gry Jeżeli na kostce wypadną co najmniej 3 oczka, to losujemy kulę z pudełka A, w przeciwnym wypadku losujemy kulę z pudełka B Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę niebieską 12 W wazonie stoi 12 czerwonych i 8 żółtych róż Pani Krystyna wyjęła losowo dwie róże z wazonu Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych kwiatów jest przynajmniej jedna róża żółta 13 Paulina ma w szafie 20 bluzek w kilku kolorach W tabelce przedstawiono, jaki procent bluzek stanowią bluzki w danym kolorach Kolor bluzki % czerwony 15 niebieski 70 czarny 5 biały 10 Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana losowo bluzka jest niebieska 14 Piotrek ma 100 płyt CD z muzyką poważną Codziennie słucha jednej płyty i odstawia ją na miejsce Płyty wybiera w sposób losowy Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu pięciu kolejnych dni będzie słuchał codziennie tej samej płyty
15 Przy okrągłym stole zasiada losowo 8 osób, a wśród nich rodzice z dwojgiem dzieci Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dzieci usiądą bezpośrednio między rodzicami? 16 Ze zbioru losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 17 Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN Kod ten składa się z czterech cyfr (cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000) Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo utworzonym kodzie PIN żadna cyfra się nie powtórzy Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego 18 Ze zbioru liczb losujemy dwie liczby (mogą się powtarzać) Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest parzysta 19 Zamek szyfrowy składa się z 5 tarcz Na każdej z tarcz znajduje się 6 cyfr Zamek otwiera kombinacja cyfr podana w odpowiedniej kolejności (istotne są cyfry na tarczach oraz kolejność ustawiania tarcz) Jakie jest prawdopodobieństwo otworzenia zamka przy losowym ustawieniu tarcz? 20 W koszu znajdują się owoce: 12 jabłek i 8 pomarańczy Wyjmujemy kolejno trzy owoce, nie odkładając ich do kosza Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie dwie pomarańcze? Część zadań pochodzi ze strony internetowej http://wwwzadaniainfo Można tam znaleźć rozwiązania