System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy oznaczyć (73051) 8, to jej wartość dziesiętna byłaby równa: (73051) 8 = 7 * 8 4 + 3 * 8 3 +0 * 8 2 + 5 * 8 1 + 1 * 8 0 = 30249 W podobny sposób otrzymamy wartość liczby (73051) 16. Liczby możemy porównywać dopiero po obliczeniu ich wartości w systemie o tej samej podstawie. Ogólnie, za podstawę systemu można wybrać dowolną liczbę naturalną b, nawet większą niż 10 - wtedy cyfry liczby (a n a n-1...a 1 a 0 ) b zapisanej w tym systemie należą do zbioru {0, 1,..., b-1}, a jej wartość dziesiętna a jest określona następującą równością: a = a n b n +a n-1 b n-1 +... + a 1 b + a 0 Jeśli b = 2, to system nazywa się binarnym, a ciąg cyfr (a n a n-1...a 1 a 0 ) 2 nazywa się binarnym rozwinięciem liczby a, lub po prostu liczbą binarną (stosowana jest również terminologia system dwójkowy). 1
W tym przypadku, cyfra a i nazywa się bitem i może przyjmować jedynie wartości 0 lub 1. Liczby binarne to podstawa arytmetyki komputerowej. Interesuje nas teraz algorytm wyznaczania binarnej reprezentacji naturalnej liczby dziesiętnej a. Liczba a ma następującą postać binarną dla pewnego n: a = a n 2 n + a n-1 2 n-1 +...+ a 1 2 + a 0 W skrócie piszemy zwykle a = (a n a n-1...a 1 a 0 ) 2. W jaki sposób można znaleźć kolejne bity tego rozwinięcia? Przypomnijmy sobie najpierw, czym w rozwinięciu binarnym różnią się liczby parzyste (czyli podzielne przez 2 z resztą 0) od liczb nieparzystych (czyli podzielnych przez 2 Najmniej znaczący bit rozwinięcia binarnego liczby jest równy reszcie z dzielenia tej liczby przez 2. Jeśli podzielimy liczbę a zapisaną binarnie przez 2, to iloraz jest równy a n 2 n-1 + a n-1 2 n-2 +...+a 1 a reszta wynosi a 0 - jest to najmniej znaczący bit w reprezentacji liczby a. Ponieważ iloraz ma również postać liczby a, więc następne bity rozwinięcia znajdujemy w podobny sposób. To postępowanie kończymy, gdy iloraz wynosi 0, gdyż wtedy kolejne reszty będą już cały czas równe 0, a zera na początku rozwinięcia binarnego nie mają żadnego znaczenia. 2
19 2 9 1 9 2 4 1 4 2 2 0 2 2 1 0 1 2 0 1 19 10 = (10011)2. Zauważmy, że w tym algorytmie reprezentacja liczby jest tworzona od końca, czyli od najmniej znaczącego bitu. W obliczeniach ilorazu i reszty z dzielenia liczb całkowitych przez siebie posługujemy się dwoma operacjami wykonywanymi na liczbach całkowitych, których wyniki są również liczbami całkowitymi. Dla dwóch liczb całkowitych k i l, wartością k mod l jest reszta z dzielenia k przez l, czyli jest to liczba r spełniająca nierówności 0=< r <l. Z kolei, wartością k div l jest iloraz całkowity z dzielenia k przez l, czyli wynik dzielenia k przez l obcięty do najbliższej liczby całkowitej. Jeśli l = 2, to k mod 2 ma wartość 0 - gdy k jest liczbą parzystą, i wartość 1 - gdy k jest liczbą nieparzystą. 3
Algorytm zamiany liczby dziesiętnej na postać binarną Dane: Dziesiętna liczba naturalna a. Wynik: Kolejne bity rozwinięcia binarnego liczby a. Krok 1: Powtarzaj krok 2, dopóki a jest liczbą większą od zera, w przeciwnym razie zakończ algorytm. Krok 2: {Kolejny od końca bit rozwinięcia danej liczby a jest równy reszcie z dzielenia a przez 2. Za nową wartość a przyjmujemy iloraz całkowity z dzielenia a przez 2. Matematyczny zapis tych operacji ma następującą postać: } Za kolejny bit przyjmij: a mod 2 i przypisz: a := div 2 procedure z10na2(b:integer; var k:integer; var a:tablicaon); begin k:=-1; repeat k:=k+1; a[k]:=b mod 2; b:=b div 2 until b=0 end; {z10na2} 4
Schemat Hornera Znamy prostsze sposoby obliczania wartości wielomianów drugiego i trzeciego stopnia niż to wynika ze zwykle stosowanego zapisu: w(x)=ax 2 +bx+c=(ax+b)x+c; v(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d=((ax+b)x+c)x+d. Liczba dodawań i mnożeń w algorytmach wynikających z tych zapisów jest równa odpowiednio 2 i 3, czyli jest równa stopniowi wielomianu. Podobnie można przedstawić wielomian stopnia n dla dowolnego n>0, który ma następującą ogólną postać: w n (x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +...+a n-1 x+a n Przekształcenia wielomianu rozpoczynamy od wyłączenia x ze wszystkich wyrazów, w których występuje, po czym otrzymujemy: w n (x)=(a 0 x n-1 +a 1 x n-2 +...+a n-1 )x+a n Kontynuując to postępowanie dla zagłębiających się wielomianów, uzyskujemy następującą postać wielomianu wyjściowego: w n (x)=(...(a 0 x+a 1 )x +...+a n-1 )x+a n 5
Rozstawienie nawiasów wyznacza następującą kolejność wykonywania działań: przyjmij współczynnik przy najwyższej potędze za początkową wartość wielomianu; powtarzaj aż do wyczerpania listy n współczynników: bieżącą wartość wielomianu pomnóż przez x i dodaj kolejny współczynnik wielomianu. Uzyskana postać wielomianu, jak i wynikający z niej sposób obliczenia wartości wielomianu wyjściowego, nazywa się schematem Hornera. Obliczenie wartości wielomianu stopnia n wymaga wykonania n mnożeń i n dodawań. 1819 roku W.G Horner podał sposób obliczenia wartości wielomianu, nazywany dzisiaj jego nazwiskiem, ale 150 lat wcześniej Isaac Newton stosował podobny sposób obliczenia wartości wielomianu, który występował w jego rachunkach fizycznych. Te fakty z historii jeszcze raz dowodzą, że wiele algorytmów stosowanych dzisiaj w obliczeniach komputerowych pochodzi z czasów, gdy jeszcze nie było komputerów. A. Borodin udowodnił w 1971 roku, że schemat Hornera jest najszybszym sposobem obliczenia wartości wielomianu. Jest to więc kolejny przykład algorytmu optymalnego. 6
Zmiana liczb z systemu binarnego na dziesiętny Równość a = a n b n + a n-1 b n-1 +... + a 1 b + a 0, będąca zapisem liczby a w systemie pozycyjnym o podstawie b, ma postać wielomianu w n (x)=(...(a 0 x+a 1 )x +...+a n-1 )x+a n, w którym zamiast x występuje zmienna b, a współczynnikami są cyfry rozwinięcia a n, a n-1,..., a 1, a 0. Jest to bardzo ważna obserwacja, gdyż dzięki temu w obliczeniach na rozwinięciach liczb w różnych systemach możemy posługiwać się algorytmami opracowanymi dla wielomianów. UWAGA: współczynniki w rozwinięciu liczby są inaczej numerowane niż w schemacie Hornera!!! Schemat Hormera może być stosowany do obliczania wartości dziesiętnej liczy a, jeśli dane jest jej rozwiązanie przy dowolnej podstawie b. W szczególnym przypadku można korzystać ze schematu Hornera przy zmianie liczb binarnych na dziesiętne. Algorytm jest identyczny ze schematem Hornera, należy tylko pamiętać, by współczynniki wielomianu (tj. kolejne cyfry rozwinięcia) były podawane od najbardziej znaczącej, czyli w odwrotna kolejności niż są obliczone w algorytmie tworzenia postaci binarnej. 7
Szybkie podnoszenie do potęgi Obliczanie szóstej potęgi danej liczby x. Wykonywanie kolejnych mnożeń to pięć działań. By zmniejszyć ich liczbę, można skorzystać z równości 6=2*3 i najpierw podnieść x do kwadratu, a następnie wynik podnieść do trzeciej potęgi, gdyż x 6 =(x 2 ) 3. Zatem, zamiast pięciu mnożeń, wystarczy wykonać tylko trzy. Jeśli podnosimy x do potęgi 16 wtedy wystarczy wykonać tylko cztery mnożenia, zamiast piętnastu. Możemy również użyć binarnej postaci wykładnika potęgi 6=(110) 2. Jeśli dodatkowo skorzystamy ze schematu Hornera, to otrzymamy: x 6 =x (1*2+1)*2 =(x 2 x) 2 Ponieważ każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci binarnej, ten sposób podnoszenia do potęgi wydaje się być uniwersalny i może być użyty dla dowolnej liczby naturalnej m. Dla uproszczenia początkowych rozważań przyjmijmy, że wykładnik m jest pamiętany na trzech bitach, a więc ma postać m=(c*2+b)*2+a oraz b=1 8
Wówczas otrzymamy następującą równość, która wynika jedynie z zastosowania zasad potęgowania: x m =x (c*2+b)*2+a =((x c ) 2 x b ) 2 x a =(x 2 x b ) 2 x a Na tej podstawie można wyprowadzić następującą zależność między postacią wykładnika w układzie binarnym a działaniami wykonywanymi przy obliczaniu potęgi najbardziej znaczący bit w rozwinięciu wykładnika (który jest zawsze równy 1) odpowiada rozpoczęciu obliczeń od przyjęcia liczby za początkową wartość potęgi; każda następna pozycja w rozwinięciu odpowiada podniesieniu częściowego wyniku do kwadratu i ewentualnie pomnożeniu przez x, jeśli bit rozwinięcia na tej pozycji jest równy 1. Opisany wyżej sposób podnoszenia do potęgi znany był w Indiach 200 lat p.n.e., a w X wieku pojawił się w Damaszku. 9
Binarny algorytm potęgowania"od-lewej-do-prawej" Dane: Liczba naturalna m w postaci binarnej(m n m n-1... m 1 m 0 ) 2 i dowolna liczba x. Wynik: Wartość potęgi x m. Krok 1. {Ustalenie początkowej wartości potęgi}y:=x Krok 2. Dla i=n-1,...,1,0 wykonaj: jeśli m i =1, to y:=y*y*x, w innym razie y:=y*y Obliczmy, ile mnożeń wykonujemy w tym algorytmie. Wszystkie te działania są wykonywane w kroku 2, dla kolejnych bitów w binarnej reprezentacji wykładnika, z wyjątkiem pierwszego, najbardziej znaczącego bitu. Zatem liczba mnożeń w całym algorytmie jest równa liczbie wszystkich bitów w binarnej reprezentacji wykładnika, minus jeden, plus liczba jedynek w tej reprezentacji 10
Algorytm potęgowania "od-lewej-do-prawej" ma pewną wadę. Rozwinięcie binarne liczby jest naturalnie tworzone od najmniej znaczącego bitu, czyli "od-prawej-do-lewej. Można odeprzeć ten argument stwierdzeniem, że liczby naturalne są pamiętane w komputerze w postaci binarnej, więc binarna reprezentacja wykładnika jest dana. Jednak, aby z niej skorzystać musimy i tak dotrzeć do poszczególnych jej bitów. Najłatwiej to zrobić, stosując algorytm, który tworzy taką właśnie reprezentację bit po bicie. Inny algorytm potęgowania, który również korzysta z binarnej reprezentacji wykładnika tworzy ją w trakcie obliczania potęgi od prawej do lewej. W tym przypadku postać binarna nie jest zamieniana na schemat Hornera - kolejnymi wykładnikami czynników są potęgi liczby 2 występujące w rozwinięciu binarnym wykładnika. Algorytm ten jest również bardzo stary - znany był już w XV wieku, a już Egipscy matematycy 1800 lat p.n.e. znajdowali w podobny sposób wartość iloczynu nx. 11
Binarny algorytm potęgowania od-prawej-do-lewej Dane: Liczba naturalna m i dowolna liczba x. Wynik: Wartość potęgi x m. Krok 1: { ustalenie początkowych wartości potęgi i zmiennych} y:=1; z:=x; l:=m. Krok 2: l:=l div 2 i jednocześnie sprawdź, jakiej parzystości było l przed podzieleniem. Jeśli l było parzyste przejdź do kroku 5. Krok 3: y:=y*z. Krok 4: jeśli l=0 to zakończ algorytm - wynikiem jest bieżąca wartość. Krok 5: z:=z*z. Wróć do kroku 2. 12