Analiza czasów prze ycia w badaniach medycznych Survival analysis in biomedical research Jerzy A. Moczko z Katedry i Zak³adu Informatyki i Statystyki Akademii Medycznej im. K. Marcinkowskiego w Poznaniu kierownik: prof. dr hab. Jerzy Andrzej Moczko Streszczenie Jednym z podstawowych problemów w badaniu efektywnoœci procesu terapeutycznego jest ocena czasu prze ycia pacjentów. Mo na j¹ przeprowadziæ przy u yciu standardowych procedur wchodz¹cych w sk³ad wiêkszoœci zaawansowanych pakietów statystycznych. Zdarzaj¹ siê jednak sytuacje, które wymagaj¹ u ycia procedur dodatkowych, takich jak liniowa lub nieliniowa analiza regresji, metody predykcji szeregów czasowych itp. W pracy omówiono przyk³ad zastosowania modelowania eksponencjalnego do prognozowania czasu prze ycia w przypadku danych uzyskiwanych w nierównych okresach obserwacji. Summary Estimation of patients survival is one of main problems in analysis of treatment efficiency. This estimation may be obtained with some standard procedures which are available in most advanced statistical packages. However, there exist situations where some additional mathematical techniques such as linear or nonlinear regression analysis, time series prediction etc. must be used. In presented paper exponential modeling was used in prognosis of cumulative survival prognosis in comparison of data obtained in periods of different length. S³owa kluczowe: czas prze ycia, statystyka, modelowanie eksponencjalne Key words: survival time, statistics, exponential modeling Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Wstêp Podstawowym pojêciem w zagadnieniach zwi¹zanych z analiz¹ prze ycia jest pojêcie zdarzenia. Przez zdarzenie nale y rozumieæ dowoln¹ zmianê stanu badanej cechy pierwotnej. Zdarzeniem mo e byæ zatem wyzdrowienie, nawrót choroby, œmieræ lub dowolna inna sytuacja bêd¹ca przedmiotem badania. Dla uproszczenia zajmiemy siê wy³¹cznie przyk³adem wyst¹pienia zgonu w procesie leczenia, lecz przez analogiê mo na zastosowaæ prezentowane metody do dowolnych typów zdarzeñ. Przez czas prze ycia bêdziemy rozumieli okres pomiêdzy stanem pocz¹tkowym (pacjent yje) a chwil¹ wyst¹pienia zdarzenia (œmieræ pacjenta). Stan pocz¹tkowy okreœla siê najczêœciej jako datê rozpoczêcia leczenia, datê zakoñczenia leczenia lub datê postawienia diagnozy. Nie zawsze natomiast mo emy œciœle i jednoznacznie zdefiniowaæ chwilê wyst¹pienia zdarzenia. Istnieje wiele przyczyn tego zjawiska. Dla przyk³adu w trakcie prowadzonego badania pewna grupa osób zosta³a usuniêta z powodu silnej reakcji ubocznej na stosowan¹ technikê terapeutyczn¹, z niektórymi pacjentami utraciliœmy kontakt (np. zrezygnowali z terapii lub przenieœli siê do innej miejscowoœci), wreszcie niektórzy z nich nie zmarli do koñca okresu prowadzonego przez nas badania. Takie wartoœci pomiarowe bêdziemy nazywali obserwacjami uciêtymi. Wartoœci pomiarowe z dok³adnie zdefiniowanym czasem prze ycia nazywamy obserwacjami nie uciêtymi. Na rycinie 1 przedstawiono przyk³ady mo liwych sytuacji wystêpuj¹cych w analizie prze ycia. Pacjent A wszed³ do analizy z chwil¹ rozpoczêcia prowadzonego eksperymentu (czas zakoñczenia jego terapii jest zgodny z chwil¹ rozpoczêcia eksperymentu) i pozosta³ przez ca³y czas w grupie a do zakoñczenia badania. Jest to przyk³ad pomiaru uciêtego gdy wiemy, e y³ on co najmniej 8 lat. Pacjent B nale y równie do grupy pomiarów uciêtych - zakoñczy³ terapiê w drugim roku badania i na skutek przeprowadzki do innej miejscowoœci wyszed³ z badanej populacji ( y³ co najmniej 2 lata). Pacjent C wszed³ do grupy badanej w 5 roku eksperymentu, lecz zosta³ z niej usuniêty w nastêpnym roku z powodu z³ej tolerancji terapii (pomiar uciêty). Pacjent D wszed³ do grupy badawczej w szóstym roku eksperymentu i pozosta³ w niej do koñca badania ( y³ co najmniej dwa i pó³ roku) (pomiar uciêty). Pacjent E wszed³ 121
podobnie jak pacjent A do badania na samym pocz¹tku eksperymentu, lecz zmar³ po czterech i pó³ latach (pomiar nieuciêty). Pacjent F wszed³ w trzecim roku badania i zmar³ w szóstym roku jego trwania (pomiar nieuciêty). Pacjent G zakoñczy³ terapiê w dniu rozpoczêcia eksperymentu a zmar³ dok³adnie w terminie zakoñczenia przez nas obserwacji (pomiar nieuciêty). Rycina1. Przyk³ady obserwacji uciêtych i nieuciêtych. Wystêpowanie obserwacji uciêtych jest powodem braku mo liwoœci stosowania tradycyjnych metod porównañ lub analizy regresyjnej. Problem badawczy i tablice trwania ycia Z³o one zagadnienie analizy prze ycia spróbujemy zilustrowaæ nastêpuj¹cym przyk³adem. W pewnej klinice prowadzono badanie maj¹ce na celu porównanie skutecznoœci dwóch technik terapeutycznych w leczeniu okreœlonej jednostki chorobowej. Badanie przeprowadzono w okresie od 1 stycznia 1994 do 30 wrzeœnia 2003. Za pocz¹tek czasu obserwacji przyjêto czas zakoñczenia leczenia. Dodatkowy problem stanowi fakt, e pocz¹tkowo prowadzono leczenie wy³¹cznie metod¹ A, a wprowadzenie drugiej techniki terapeutycznej B mo liwe by³o dopiero od 16 wrzeœnia 1998. Do oszacowania czasu prze ycia i dokonania porównania skutecznoœci stosowanych technik terapeutycznych niezbêdne s¹ nam nastêpuj¹ce dane: 1. data zakoñczenia leczenia DZL 2. data ostatniej kontroli DOK 3. ewentualna data zgonu DZ 4. status obserwacji (uciêta lub nie uciêta) 5. typ stosowanej terapii (A lub B) Czas prze ycia dla obserwacji nie uciêtej obliczamy jako ró nicê DZ - DZL, natomiast dla obserwacji uciêtej jako ró nicê DOK - DZL. Spróbujemy na pocz¹tku wyznaczyæ krzywe prze ycia dla ka dej techniki osobno. W pierwszym kroku pos³u ymy siê tablicami trwania ycia w grupie terapeutycznej A. Mo na je traktowaæ jako rozwiniête tablice rozk³adu czêstotliwoœci, poniewa podstaw¹ ich konstrukcji jest podzia³ osi czasu na przedzia³y o jednakowej szerokoœci. Najd³u szy czas prze ycia wyniós³ 7,72 lat i podzieliliœmy go na 16 równych przedzia³ów ka dy o rozpiêtoœci oko³o 0,5 roku. 1 Dla ka dego przedzia³u wyznaczono miêdzy innymi liczbê i proporcjê pacjentów, którzy weszli jako yj¹cy do danego przedzia³u, jak i liczbê i proporcjê pacjentów, którzy zmarli w czasie zawartym w okreœlonym przedziale. Na podstawie tych wielkoœci mo na obliczyæ funkcjê prze ycia oraz funkcjê ryzyka zgonu (hazardu). Funkcja prze ycia okreœla prawdopodobieñstwo, z jakim pacjent ma szanse do yæ okreœlonego czasu. Funkcja hazardu nie jest prawdopodobieñstwem, lecz prawdopodobieñstwem prawid³owego jednostce czasu, zatem mo e czasami przyjmowaæ wartoœci wiêksze od jednoœci. Podaje ona wartoœæ pojawienia siê zdarzenia (prawid³owego naszym przypadku zgonu) na jednostkê czasu. Dla prawid³owego oszacowania funkcji ryzyka i funkcji prze ycia powinniœmy stosowaæ wielkoœæ próby co najmniej 30 osób. 2 Analiza Kaplana-Meiera Zaprezentowana metoda analizy nie jest optymalna, gdy wymaga ona doœæ kontrowersyjnego niekiedy grupowania czasu obserwacji w przedzia³y o równej d³ugoœci. Wszelkie estymatory oparte o tablice prze ycia œciœle zale ¹ od liczby u ytych przedzia³ów i ich szerokoœci. Dlatego coraz czêœciej wykorzystywana jest metoda Kaplana-Meiera (3), która szacuje funkcjê prze ycia bezpoœrednio na podstawie ci¹g³ych czasów prze- ycia bez jakiejkolwiek arbitralnej tabelaryzacji. Na rycinie 3 prezentowany jest fragment arkusza zawieraj¹cego ocenê skumulowanej krzywej prze ycia. W pierwszej kolumnie zaznaczony jest numer analizowanego pacjenta, w kolejnej czas jego prze ycia, w nastêpnej skumulowana proporcja prze ywaj¹cych pacjentów a do tego okreœlonego w poprzedniej kolumnie czasu prze ycia (np. po zgonie pacjenta nr 111, który nast¹pi³ po oko³o czterech i pó³ miesi¹ca od zakoñczenia terapii (0,380822 roku) z badanej populacji nadal yje 97,92% osób). 1 Wszystkie obliczenia wykonano przy u yciu pakietu Statistica Data Miner StatSoft, Inc. (2003). STATISTICA (data analysis software system), version 6.1 www.statsoft.com. 2 Innymi s³owy, wartoœæ ta okreœla prawdopodobieñstwo na jednostkê czasu, e pacjent, który prze y³ do pocz¹tku danego przedzia³u umrze w³aœnie w tym przedziale czasu. 122 Neuroskop 2003, tom1, nr 5
Rycina 3. Ocena skumulowanej krzywej prze ycia wyznaczonej metod¹ Kaplana-Meiera (znak + pojawiaj¹cy siê przy numerze pacjenta oznacza informacjê uciêt¹). Na rycinie 4 pokazujemy wykres skumulowanej frakcji osób prze ywaj¹cych okreœlony okres czasu oraz percentyle funkcji prze ycia. Jak widaæ, przy leczeniu pacjentów metod¹ A oko³o 25% pacjentów umiera po oko³o pó³tora roku, 50 % zaœ po oko³o piêciu i pó³ latach. Mo na równie zauwa yæ, e pocz¹tkowe silne nachylenie krzywej prze ycia (do oko³o 1,6 roku) ulega nastêpnie sp³aszczeniu, co mo na w naszym przypadku t³umaczyæ, e je eli pacjent prze y³ ponad 1,6 lat po zakoñczeniu leczenia, to jego szanse na prze ycie s¹ lepsze czyli innymi s³owami, pierwsze pó³tora roku po zakoñczeniu terapii stanowi dla pacjenta krytyczny okres. Nale y byæ tutaj jednak bardzo ostro nym w interpretacji tego faktu, gdy mo e siê okazaæ, e najpierw poumierali pacjenci, którzy mieli wy szy status zaawansowania choroby w chwili zakoñczenia leczenia (odpowiada to stromej czêœci krzywej prze ycia), potem zaœ umieraj¹ pacjenci w ni szym stanie zaawansowania choroby. W naszym przypadku efekt ten zosta³ wyeliminowany w prosty sposób poprzez wziêcie pod uwagê jednorodnej grupy pacjentów o tym samym stanie zaawansowania choroby. Rycina 2. Tablica prze ycia dla pacjentów leczonych metod¹ A Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Rycina 4. Wykres czasu prze ycia wzglêdem skumulowanej proporcji prze ywaj¹cych i wartoœci percentyli funkcji prze ycia. Porównywanie dwóch krzywych prze ycia Przedstawione w poprzednim rozdziale wyniki analizy Kaplana-Meiera dotyczy³y grupy pacjentów leczonych metod¹ A. Analogiczne obliczenia nale y przeprowadziæ dla pacjentów leczonych drug¹ metod¹. Kluczowy punkt analizy stanowi jednak wskazanie, czy obie metody daj¹ jednakowe szanse prze ycia dla pacjentów (wtedy nale a³oby wybraæ technikê mniej inwazyjn¹) czy te prze ycia pacjentów w jednej z grup s¹ istotnie statystycznie d³u sze (wtedy nale y stosowaæ tê technikê). Na rycinie 5 przedstawiamy na³o one na 123
siebie krzywe prze ycia dla obu technik terapeutycznych. Jak widaæ, ca³y przebieg krzywej odpowiadaj¹cej leczeniu metod¹ B le y powy ej krzywej odpowiadaj¹cej leczeniu metod¹ A. Sama ocena wzrokowa nie jest jednak e wystarczaj¹ca i nale y siê pos³u yæ odpowiednimi testami statystycznymi. adne z ogólnie znanych testów (np. test t-studenta dla zmiennych niepowi¹zanych, test Welcha) nie nadaj¹ siê do dokonania porównañ, gdy czasy prze ycia nie podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu (rozk³ady czasu prze ycia s¹ silnie skoœne). Równie nie ma mo liwoœci bezpoœredniego u ycia klasycznych testów nieparametrycznych, takich jak test znaków, test Manna - Whitneya itp. z uwagi na wystêpowanie pomiarów uciêtych. Statystycy opracowali zatem grupê testów specjalnie dedykowanych do rozwi¹zania tego typu problemu i nale ¹ do nich: test Wilcoxona w modyfikacji wg Gehana (2), test Wilcoxona w modyfikacji wg Peto & Peto (4), test F Coxa (1), test log-rank. Najczêœciej stosowanym jest pierwszy z testów, drugi u yjemy gdy chcemy dok³adniej przyjrzeæ siê pocz¹tkowemu odcinkowi krzywych prze ycia. Trzeci test przyk³ada wiêksz¹ wagê dla koñcowego odcinka krzywych prze ycia, zaœ czwarty stosujemy, gdy liczebnoœci grup s¹ mniejsze ni 50 osób. Charakterystyka materia³u badawczego zestawiona w tablicy 1 pozwala na wykluczenie u ycia tego ostatniego testu. Wyniki porównañ zestawione na rycinie 6 pozwalaj¹ jednoznacznie stwierdziæ, i metoda leczenia B daje istotnie czasy prze ycia ni metoda A. Widaæ z nich, e oszacowane wartoœci prawdopodobieñstwa p (odpowiednio 0.00160, 0. 00211 oraz 0.00299) wskazuj¹ istotn¹ statystycznie ró nicê w czasach prze ycia przy leczeniu wspomnianymi dwoma metodami, gdy s¹ w ka dym przypadku ni sze od poziomu przyjêtego poziomu istotnoœci a=0.05. Tabela 1. Zestawienie liczebnoœci pomiarów u ytych do porównania czasów prze ycia w badanych grupach leczenia Rycina 5. Porównanie przebiegu krzywych prze ycia w przypadku stosowania metod terapeutycznych A i B. 124 Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Rycina 6. Wyniki analizy porównania czasów prze ycia dla analizowanych metod leczenia przy u yciu testów Wilcoxona w modyfikacji wg Gehana, Wilcoxona w modyfikacji wg Peto & Peto oraz testu log-rank. Zagadnienie predykcji czasu prze ycia Przedstawione na rycinie 5 przebiegi krzywych prze ycia dla wskazuj¹ na ró n¹ d³ugoœæ prowadzonego czasu obserwacji. W istocie, tak jak wspomniano w rozdziale Problem badawczy i tablice trwania ycia, z przyczyn niezale nych od badaczy metoda leczenia B zosta³a wprowadzona po przesz³o czterech latach od rozpoczêcia wyników leczenia metod¹ A. St¹d bierze siê ró nica w d³ugoœci obu krzywych. Karygodnym czynem by³oby ograniczenie badania do wspólnego okresu
dla obu metod, gdy stracilibyœmy w ten sposób bezpowrotnie niezwykle cenn¹ informacjê. Dlatego te mo emy pos³u yæ siê technik¹ estymacji nieliniowej i na podstawie uzyskanych wyników dokonaæ predykcji czasu prze ycia dla leczenia metod¹ B. W tym celu dokonamy dopasowania metod¹ najmniejszych kwadratów do czasów prze ycia dla leczenia metod¹ B krzywej wyk³adniczej o ogólnej postaci y = c + exp (b0+b1*x), gdzie zmienna niezale na x jest czasem prze ycia dla pacjentów leczonych metod¹ B, zmienna zale na y jest skumulowan¹ proporcj¹ prze ycia. Na rycinie 7 podajemy wyniki estymowanych parametrów modelu, jak i przebieg dopasowanej do danych doœwiadczalnych krzywej teoretycznej. Jak widaæ, wszystkie estymowane wartoœci sta³e w modelu s¹ istotne statystycznie, co daje ostatecznie model o postaci y=0.563583+exp(-0.78241-0.23744*x). Model ten t³umaczy ponad 93 procent zmiennoœci skumulowanej proporcji prze ycia, przez co mo emy go uznaæ za model wysokiej jakoœci. Rycina 8. Ocena jakoœci dopasowania modelu poprzez ocenê rozk³adu reszt. Rycina 7. Wyniki modelowania eksponencjalnego krzywej prze ycia pacjentów leczonych metod¹ B. Stosuj¹c otrzymany model mo emy dokonaæ ostro - nej ekstrapolacji oceniaj¹c przybli ony rozk³ad krzywej prze ycia w metodzie B w kolejnych latach. Ostateczny wynik porównania obu czasów prze ycia zamieszczony jest na rycinie 9. Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Rycina 9. Porównanie rozk³adów prze ycia miêdzy pacjentami leczonymi metodami A i B po uwzglêdnieniu prognozowania ekspotencjalnego. Zakoñczenie Przedstawione w pracy techniki statystyczne nie wyczerpuj¹ w adnym przypadku problemu analizy prze- ywalnoœci. Nie omówiono tu dla przyk³adu jednoczesnego porównania wiêkszej liczby krzywych (odpowiednika aw przypadku danych nie uciêtych testu Kruskala-Wallisa), tworzenia modeli nieparametrycznych (np. modelu proporcjonalnego hazardu wg Coxa) czy te analiz warstwowych. S¹ one jedynie przyk³adem podejœcia do zagadnienia analizy zdarzeñ (jak zaznaczono na wstêpie niekoniecznie zjawiska œmierci pacjenta) w przypadku niejednakowej d³ugoœci obserwacji. 125
Piœmiennictwo 1. Cox D. R., Oakes D.: Analysis of survival data. New York: Chapman & Hall, 1984 2. Gehan E. A.: A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily ingly-censored samples. Biometrika 1965, 52, 203-223 3. Kaplan E. L., Meier P.: Nonparametric estimation from incomplete observations. J. Am. Stat. Assoc. 1958, 53, 457-481 4. Peto R., Peto J.: Asymptotically efficient rank invariant procedures. J. Roy. Stat. Soc. 1972, 135, 185-207 Adres: Katedra Informatyki i Statystyki AM ul. D¹browskiego 79 60-529 Poznañ 126 Neuroskop 2003, tom1, nr 5