Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy x 0. dla x 0 Jeśli X i Y są niezależne, to Pr X Y ; (A) 0.9 (B) 0. (C) 0. (D) 0.5 (E) 0.7 wynosi: ;.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Dla pewnego ryzyka wartość pojedynczej szkody ma rozkład określony na zbiorze liczb naturalnych (bez zera), a łączna wartość szkód X ma złożony rozkład Poissona. Składka netto za nadwyżkę łącznej szkody X ponad k dla wybranych wartości k wynosi: k 4 6 7 X k 0.66 0.99 0.057 0.09 Prawdopodobieństwo, iż łączna wartość szkód X wyniesie 4, 5 lub 6 wynosi: (A) 0.7 (B) 0.09 (C) 0.70 (D) 0.9 (E) brakuje danych do udzielenia jednoznacznej odpowiedzi
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Niech oznacza moment zajścia n-tej szkody, w procesie pojawiania się szkód, który startuje w momencie. Ponieważ szkody numerujemy według kolejności zajścia, wobec tego zachodzi 0 T T. Likwidacja n-tej szkody następuje w momencie Tn Dn. Załóżmy, że zmienne losowe ( ) ( ), są niezależne, przy czym: ( ) ( ) mają taki sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej /00; mają taki sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej. Jednostką pomiaru czasu jest rok. Niech oznacza liczbę szkód zaszłych i zlikwidowanych w ciągu pierwszego roku, zaś liczbę szkód zaszłych w ciągu pierwszego roku, i na koniec tego roku wciąż oczekujących na likwidację. Wobec tego ( ) wynosi: (A).5 (B) -.5 (C) 46.5 (D) -46.5 (E) 0.00
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 4. Likwidacja szkody zaistniałej w miesiącu t następuje w tym samym miesiącu z prawdopodobieństwem, a w miesiącu t + k z prawdopodobieństwem 5 k 4. Wartość każdej szkody wynosi. W miesiącach t, t+ i t+ zaistniały odpowiednio 88, 0 i szkody. Wyznacz stan rezerwy szkodowej na koniec miesiąca t+, jeśli na początku miesiąca t stan tej rezerwy wynosił 0. (A) 5 (B) 6 (C) 75 (D) 99 (E) brakuje danych o strukturze wiekowej rezerwy na początku t-tego miesiąca 4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 5. Łączna wartość szkód S ma rozkład złożony geometryczny, z rozkładem wartości pojedynczej szkody Y określonym na zbiorze,,,.... Znamy częściowo rozkład łącznej wartości szkód S: k 0 4 5 k Pr S 4 40 Wobec tego PrY 5 wynosi: (A) 0.00 (B) 0.0 (C) 0.0 400 4000 450 40000 900 400000 (D) podane informacje są sprzeczne (E) podane informacje są niewystarczające do udzielenia jednoznacznej odpowiedzi 5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 6. W modelu nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym nadwyżka początkowa wynosi, składka należna za rok wynosi, a rozkład łącznej wartości szkód za n-ty rok W n dany jest dla każdego n wzorem: k Pr Wn k p q, k 0,,,..., gdzie p q q 0; W, W,... są ponadto niezależne. Prawdopodobieństwo ruiny wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) q p q p q p q p 4 5 6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 7. Proces nadwyżki ubezpieczyciela opisany jest przez klasyczny model: U t u ct, S N t gdzie u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności, n S n X i i jest sumą wypłat, gdzie pojedyncze wypłaty: X i są zmiennymi losowymi niezależnymi nawzajem i od procesu N, o identycznym rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną. Prawdopodobieństwo ruiny oznaczymy przez : Pr t 0,, Ut 0 Rozważmy prawdopodobieństwa ruiny dla trzech następujących zestawów parametrów procesu: dla procesu o parametrach: u 0, c,, dla procesu o parametrach: u 0, c 8,, dla procesu o parametrach: u 0, c 4, Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? (A) (B) (C) (D) (E) t 7
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 8. Łączna wartość szkód S wyraża się wzorem: S X X N gdzie wartości poszczególnych szkód ( X i to wartość i-tej szkody) są zmiennymi losowymi niezależnymi nawzajem oraz od zmiennej N (liczby szkód). Każda ze zmiennych X i ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej, zaś N ma rozkład geometryczny z ilorazem postępu 0.5. Pr S 4ln 5 wynosi: (A) 0.9 (B) 0.8 (C) 0.6 (D) 0.5 (E) 0. Wskazówka: Zauważ, że funkcja tworząca momenty zmiennej losowej S jest postaci: a p p a t 8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 9. Pewne ryzyko generuje szkody zgodnie z procesem Poissona z parametrem intensywności. O parametrze zakładamy, że jest on realizacją zmiennej losowej o rozkładzie Gamma, N t oznacza liczbę szkód w czasie od 0 do t, zaś T - chwilę wystąpienia pierwszej szkody po momencie t. t E T N wynosi: (A). Niech (B) (C) (D) (E) 4 9
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie 0. W pewnym rodzaju ubezpieczenia każde ryzyko generuje szkodę (co najwyżej jedną) z takim samym prawdopodobieństwem. Ryzyka generują szkody o wartościach będących dodatnimi zmiennymi losowymi o gęstościach wykładniczych: y f y e, Y B Populacja ryzyk charakteryzuje się jednak dużym zróżnicowaniem skali tych ryzyk, reprezentowanej przez parametr rozkładu. Jeśli przyjmiemy, iż rozkład parametru skali w populacji ryzyk ma na półosi dodatniej gęstość: g B e, to dla losowo dobranego ryzyka z populacji, warunkowa wartość oczekiwana szkody (pod warunkiem że do niej dojdzie) wyniesie: (A) (B) (C) (D) (E) 0
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Egzamin dla Aktuariuszy z 0 marca 04 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja D D E 4 C 5 A 6 D 7 C 8 A 9 B 0 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.