Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5. Pierwiastki, liczby niewymierne... 11 3. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 15 4. Wyrażenia arytmetyczne... 0 5. Przedziały liczbowe... 4 6. Logarytmy... 30 7. Wartość bezwzględna. Przybliżenia... 34 8. Obliczenia procentowe... 38 Sprawdzian po dziale I... 4 II. Wyrażenia algebraiczne 9. Wyrażenia algebraiczne. Proste przekształcenia algebraiczne... 44 10. Wzory skróconego mnożenia... 48 11. Zastosowanie wyrażeń algebraicznych w zadaniach praktycznych... 5 Sprawdzian po dziale II... 56 III. Równania i nierówności 1. Równania liniowe... 57 13. Nierówności liniowe... 61 14. Układy równań liniowych... 65 15. Równania kwadratowe... 7 16. Nierówności kwadratowe... 76 17. Równania wyższych stopni... 81 18. Proste równania wymierne... 85 Sprawdzian po dziale III... 89 IV. Funkcje 19. Sposoby opisywania funkcji... 91 0. Własności funkcji... 97 1. Funkcja liniowa... 10. Przekształcenia wykresów funkcji... 108 3. Wzór i wykres funkcji kwadratowej... 114 4. Własności funkcji kwadratowej... 11 5. Zastosowanie funkcji liniowej i kwadratowej... 16 6. Funkcja wymierna a...131 x 7. Funkcja wykładnicza... 138 Sprawdzian po dziale IV... 143 V. Ciągi 8. Opisywanie ciągu za pomocą wzoru ogólnego... 145 9. Ciąg arytmetyczny... 149 30. Ciąg geometryczny... 153 31. Zastosowanie ciągów arytmetycznego i geometrycznego... 157 Sprawdzian po dziale V... 161 VI. Trygonometria 3. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym... 16 33. Funkcje trygonometryczne kąta w układzie współrzędnych... 166 34. Zależności trygonometryczne... 170 35. Zastosowanie trygonometrii... 174 Sprawdzian po dziale VI... 177 VII. Planimetria 36. Figury płaskie... 178 37. Zastosowanie trygonometrii w problemach geometrycznych... 184 38. Przekształcenia figur płaskich... 188 39. Kąt środkowy i kąt wpisany... 195 40. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie... 199 41. Podobieństwo trójkątów... 05 Sprawdzian po dziale VII... 10 VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej 4. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej... 1 43. Równanie ogólne i kierunkowe prostej... 16 44. Równoległość i prostopadłość prostych... 0 45. Interpretacja graficzna układu równań liniowych... 3 46. Obrazy figur płaskich w symetrii osiowej i środkowej... 7 Sprawdzian po dziale VIII... 3 IX. Stereometria 47. Graniastosłupy... 33 48. Ostrosłupy... 39 49. Bryły obrotowe... 45 50. Kąt dwuścienny. Przekrój prostopadłościanu płaszczyzną... 5 51. Zastosowanie trygonometrii w stereometrii... 57 Sprawdzian po dziale IX... 6 X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 5. Analiza danych statystycznych... 63 53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych... 68 54. Prawdopodobieństwo zdarzenia... 7 Sprawdzian po dziale X... 76 Zadania z rozwiązaniem krok po kroku... 78 Arkusz maturalny przykładowy zestaw zadań... 87 Odpowiedzi do zadań... 305 Indeks... 310
X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 5. Analiza danych statystycznych Średnia wielkość (wartość przeciętna) - Średnia arytmetyczna a1 + a +... + an n a 1, a,..., a n a = n 4 + + 7 + 6 + 3 x = = 5 Przykład 1. n a 1, a,..., a n a1 + a +... + a n = n 1. a1+ a+... + an = 1n. - a 1 + a +... + a n + 9 = 13. a1+ a+... + an = 1n. n + 1 1n + 9 = 13 n + 1 1n+ 9 = 13n+ 13 n = 16 Odpowiedź: 44, Mediana n a 1 a... a n m= a n + 1n; an + an + 1 m = n.
64 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA 8 8 7 + 8 = 75, Przykład. xx 5 6 = + x 1 = 5 +x x = 7 Średnia ważona n a 1, a,..., a n w 1, w,..., w n wa 11+ wa+... + wnan a = w + w +... + w 1 n Przykład 3. 18 74% + 3 8% x = = 79, 1% 18 + 3 Odpowiedź: Odchylenie standardowe -
5. Analiza danych statystycznych 65 n a 1, a,..., a n a = ( ) ( a1 a) + ( a a) +... + an a n ( 6 4) + ( 3 4) + ( 6 4) + ( 1 4) 4 + 1+ 4 + 9 Adam = = = 4 18 1, ( 4 4) + ( 4 4) + ( 3 4) + ( 5 4) 0 + 0 + 1+ 1 Tomek = = = 4 071, UWAGA ( a1 a) + ( a a) +... + an a n ( ) Przykład 4. + 5+ 6 + 7 a = = 5 4 ( 5) + ( 5 5) + ( 6 5) + ( 7 5) 14 = = 187, 4 Odpowiedź: Przykład 5. - - - 0 1+ + 4 3+ 4 4 + 8 5+ 6 6 108 a = = = 0 + + 4 + 4 + 8+ 6 4 0 1 45, 45, 4 3 45, 4 4 45, 8 5 45, 6 6 45, = = 4 38 = 16, 4 45, ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Odpowiedź:
66 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Zadania Zadanie 1. x A. x = 3 B. x = 4 C. x = 5 D. x = 7 Zadanie. x PF I. x = 5 P / F II. P / F III. P / F Zadanie 3. A. 4 B. 5 C. 6 D. 6 4 Zadanie 4. Zadanie 5. I.a A. x = 5 II.a B. x = 6 III.a C. x = 7 D. x = 8 I II III Zadanie 6. - A. 43, B. 44, C. 45, D. 46,
5. Analiza danych statystycznych 67 Zadanie 7. - A. 3 B. 35, C. 4 D. 45, Zadanie 8. Zadanie 9. Zadanie 10. x
68 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA 53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych Kombinatoryka - Reguła dodawania k n n kn k n + n ++ n k Przykład 1. += Odpowiedź: Reguła mnożenia k n n kn k n n n k Przykład. = Odpowiedź:
53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych 69 Przykład 3. = Odpowiedź: Przykład 4. a) b) a) = Odpowiedź: b) = Odpowiedź: Przykład 5. Sposób I = Sposób II - - - Odpowiedź: -
70 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Zadania Zadanie 1. A. 8 B. C. D. Zadanie. A. B. C. D. Zadanie 3. A. B. C. D. Zadanie 4. I. II. III. A. B. C. D. E. I II III Zadanie 5. A. + B. C. D. Zadanie 6. - A. B. C. D. Zadanie 7. A. B. C. D.
53. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych 71 Zadanie 8. - A. 7 6 5 4 3 1 B. 1 7 C. 7 1 D. 1 11 10 9 8 7 6 Zadanie 9. A. B. C. D. Zadanie 10. PF I. P / F II. P / F III. P / F IV. P / F
7 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA 54. Prawdopodobieństwo zdarzenia Doświadczenie i zdarzenie losowe Ω. Ω={ 13456,,,,, } Ω= {( OOO,, ), ( OOR,, ), ( ORO,, ), ( ROO,, ), ( ORR,, ), ( ROR,, ), ( RRO,, ), ( RRR,, )} A A = { 46,, }; B B= {( OOO,, ), ( OOR,, ), ( ORO,, ), ( ROO,, )}.- A A. UWAGA A A, Ω={ 13456,,,,, } Ω=6, B OOO,,, OOR,,, ORO,,, ROO,, B = 4. = {( ) ( ) ( ) ( )} Klasyczna definicja prawdopodobieństwa AΩ- A - A P( A)=. Ω A A 3 1 P( A)= = = Ω 6 B B 4 1 PB ( )= = = Ω 8 Przykład 1. -
54. Prawdopodobieństwo zdarzenia 73 Ω= {( 11) ( 1) ( 13) ( 14) ( 15) ( 16) ( 1, ),(, ),( 3, ),(, 4),(, 5),(, 6), ( 31, ),( 3, ),( 33, ),( 34, ),( 35, ),( 36, ), ( 41, )(, 4, )(, 43, )(, 44, )(, 45, )(, 46, ), ( 51, ),( 5, ),( 53, ),( 54, ),( 5, 5),( 5, 6), ( 61, ),( 6, ),( 63, ),( 64, ),( 65, ),( 66, )},,,,,,,,,,,, Ω=36. A A = {( 36, ),( 45, ),( 46, ),( 54, ),( 55, ),( 56, ),( 63, ),( 64, ),( 65, ),( 6,6)}. A = 10 A 10 5 P( A)= = = Ω 36 18 Odpowiedź: 5 18 Przykład. { 13456789,,,,,,,, } Ω= 9 8 7 = 504. A { 56789,,,, } A = 5 8 7 = 80. A 80 5 P( A)= = = Ω 504 9 Odpowiedź: 5 9 Przykład 3. n- 1 1 nn - Ω= n ( n 1 ). - A A =
74 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA P ( A A )= = Ω n ( n 1 ) P( A)= 1 1 n n 1 ( ) = 1 1 n ( n 1)= 4 n n 4 = 0 n 1 = 6n 1 = 7 Odpowiedź: Zadania Zadanie 1. - A. 1 B. 1 5 C. 5 D. 1 3 Zadanie. { 01345,,,,, } PF I. 1 10. P / F II. 1 15. P / F III. 1 180. P / F Zadanie 3. - A. 1 C. 1 0 B. 1 5 D. 1 100
54. Prawdopodobieństwo zdarzenia 75 Zadanie 4. I.A/ B/ C/ D II.A/ B/ C/ D III.A/ B/ C/ D A. 1 B. 1 C. 7 D. 5 3 1 1 Zadanie 5. - A. 1 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 Zadanie 6. A B C D E- A A. 1 5 B. 5 C. 3 5 D. 4 5 Zadanie 7. 4 17 Zadanie 8. A. 0 B. 1 4 C. 1 4 D. 1 Zadanie 9. - 1 3 14-7 Zadanie 10. n 1 8
76 X. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Sprawdzian po dziale X Zadanie 1. A. 000 B. 00 C. 300 D. 600 Zadanie. A. B. C. D. Zadanie 3. A. 3 6 5 4 B. 3 5 4 3 C. 6 4 D. 3 6 3 Zadanie 4. A. 6 5 4 3 B. 6 5 C. 5 6 3 D. 6 5 3 Zadanie 5. A. 17 B. 1 5 4 C. 1 D. 1 13 5 Zadanie 6. A. 1 B. 1 7 18 C. 1 9 D. 1 3
Sprawdzian po dziale X 77 Zadanie 7. - Zadanie 8. Zadanie 9. Zadanie 10. -
Zadania z rozwiązaniem krok po kroku Zadanie 1. 3 Krok 1 a h H Krok ACD a 3 h =
Zadania z rozwiązaniem krok po kroku 79 Krok 3 EF. EF 1 3 h EF 1 1 a 3 a 3 = h = = 3 3 6 Krok 4 FED a 3 h = 3a 3a H + = 36 4 a 3a H + = 1 4 9a a 8a a H = = = 1 1 1 3 a H = = 3 6a 3 Krok 5 H h H h = 6 a 3 6a = a 3 3 a 3 = 3
Arkusz maturalny 97 Zadanie 6. (0 ) 3 x =. x + 3 Zadanie 7. (0 ) 6 5 6+ 5
Odpowiedzi do zadań 305 Odpowiedzi do zadań I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne 1. I. P; II. F; III. F; IV. P. I. 0, 9, 110 ; II. 18 110, 0, 9, 11 6 11 3. I C; II D; III A; IV B 4. I. 10, 1, 14, 16, 18; II. 10, 15; III. 1, 15, 18 5. A; C; D 6. I. P; II. F; III. F; IV. P 7. I. <; II. <; III. >; IV. < 8. I C; II D; III A 9. B; D 10. 0,13 < 0,(13) < 0,1(3) < 0,1(3). Pierwiastki, liczby niewymierne 1. A; B. I. P; II. F; III. P; IV. F 3. A; D 4. I B; II D; III C 5. B; C 6. A 7. D 8. B 9. 10 3 + 1 10. I C; II D; III A 3. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym 1. I. >; II. >; III. <; IV. <. I. F; II. P; III. P; IV. F 3. D 4. I. <; II. >; III. <; IV. < 5. I C; II A; III D 6. I. F; II. F; III. P; IV. P 7. I E; II C; III B; IV A 8. I D; II A; III C 9. 3 36 > 4 7 > 45 > 5 18 10. I. P; II. F; III. P; IV. P 4. Wyrażenia arytmetyczne 1. C. B 3. I. F; II. P; III. P; IV. F 4. I C; II D; III A 5. D 6. I A; II D; III B 7. C; D 8. I. P; II. P; III. F 9. B 10. 5. Przedziały liczbowe 1. I. F; II. P; III. P; IV. F. C 3. B 4. D 5. C 6. A; C; D 7. I D; II C; III B; IV A 8. D 9. 4 10. I. P; II. F; III. P; IV. P 6. Logarytmy 1 1. C. I B; II C; III A 3. I D, II A, III B 4. a) b) 5. log 100 < log 1 99 < log 99 < log 100 6. I. P; II. F; III. P; IV. F 7. D 8. I. F; II. F; III. P 9. B 10. 3 7. Wartość bezwzględna. Przybliżenia 1. I. F; II. P; III. P; IV. F. B 3. I B; II C; III D; IV A 4. C 5. A 6. I. F; II. P; III. P; IV. P 7. I C; II D; III A 8. D 9. B 10. C 8. Obliczenia procentowe 1. A. C 3. I. P; II. F; III. F; IV. P 4. 5. I. P; II. F; III. F; IV. P 6. I C; II D; III A 7. C 8. I. F; II. P; III. F; IV. P 9. I. F; II. P; III. P 10. C Sprawdzian po dziale I 1. C. B 3. B 4. B 5. D 6. 10 7. A 8. 1 9. 4 cm, 30 cm, 4 cm 10. 3 61 70 495 II. Wyrażenia algebraiczne 9. Wyrażenia algebraiczne. Proste przekształcenia algebraiczne 1. I B; II D; III A; IV C. D 3. B; D 4. A; C 5. I.,3a + 4,6b,3c; II. 0x + 1; III. 3(x 6y + z) 6. C 7. I D; II C; III B 8. I. F; II. P; III. P; IV. P 9. B; C; D 10. A; D 10. Wzory skróconego mnożenia 1. D. A; B 3. I. F; II. P; III. P 4. I. F; II. P; III. P; IV. P 5. I C; II B; III D 6. B 7. A 8. C 9. B 10. 18 + 4 11. Zastosowanie wyrażeń algebraicznych w zadaniach praktycznych 1. C. A 3. P= 05, a 3+ 3a + 6a 4. C 5. I. F; II. F; III. P; IV. P 6. I. P; II. P; III. F 7. C 8. D 9. 10. n +n Sprawdzian po dziale II 1. C. C 3. A 4. C 5. B 6. A 7. 3a P r + 3,5a + 1 8. 4t 9. h = π πr (n + 5) + 4n = 5(n + n + 5). 10.