aktualizacja 5..04 Ćwiczenie Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów Prawa autorskie zastrzeżone: Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów PWr STANY NIUSTAON W OBWODAH, I elem ćwiczenia jest: - obserwacja stanów nieustalonych w obwodach pierwszego i drugiego rzędu przy pobudzeniu jednostkowym, - pomiar wielkości charakteryzujących reakcje układów w stanach nieustalonych, - porównanie wyników pomiarów i obserwacji z wynikami uzyskanymi z analizy teoretycznej. W ćwiczeniu należy: - zbadać układ pierwszego rzędu, - zbadać układ pierwszego rzędu, - zbadać układ drugiego rzędu, - zaprojektować układ dający odpowiedź aperiodyczną, aperiodyczną krytyczną i oscylacyjną, - pomiar charakterystyki amplitudowej układu szeregowego.. Wstęp A. Wprowadzenie Stanem ustalonym nazywa się stan równowagi układu, w którym parametry charakteryzujące reakcję np. wartość maksymalna, częstotliwość, faza początkowa nie zmieniają się w czasie. Wszelkie zmiany w układzie, zwane komutacją np.: włączenie lub odłączenie źródła, zmiany połączeń lub wartości elementów itp., powodują zaburzenie istniejącego stanu ustalonego. Nowy stan ustalony nie może wystąpić natychmiastowo, lecz jest poprzedzony w układach inercyjnych pewnym stanem przejściowym. Stan przejściowy istniejący w układzie, podczas przejścia z jednego stanu ustalonego w drugi, nazywa się stanem nieustalonym. Występowanie stanu nieustalonego jest spowodowane istnieniem energii zmagazynowanej w cewkach i kondensatorach. W układach fizykalnych energia ta podczas przejścia z jednego stanu ustalonego w drugi może zmieniać się tylko w sposób ciągły, gdyż zmiany skokowe powodowałyby występowanie w układzie nieskończenie wielkich prądów lub napięć. Z zasady zachowania energii pola elektrycznego i magnetycznego wynikają, więc w układach fizykalnych zasady ciągłości zmian prądów w cewkach i napięć na kondensatorach. Wartości tych wielkości tuż po komutacji pozostają takie same jak przed komutacją, a następnie zmieniają się płynnie. Teoretycznie zakłada się, że komutacja zachodzi natychmiastowo, np. w chwili czasowej t = 0. W obwodach z jedną cewką i jednym induktorem zachowana jest tzw. ciągłość warunku początkowego gdzie i 0 i u 0 i 0 i u 0 i 0 i 0, u 0 u 0, () - wartości prądu w cewce i napięcia na kondensatorze w chwili przed komutacją, - wartości prądu w cewce i napięcia na kondensatorze po komutacji.
Analizę stanów nieustalonych można przeprowadzić metodą klasyczną, tj. rozwiązując równania różniczkowe opisujące układ przy danych warunkach początkowych. Szczegółowe omówienie tej metody i przykłady rozwiązań układów w stanach nieustalonych można znaleźć w literaturze []. Szczególnie wygodną metodą analizy stanów nieustalonych jest metoda operatorowa. Wynikiem rozwiązania układu równań operatorowych opisujących układ SS, e, i z przy pobudzeniu stałym bądź okresowym, jest całkowita reakcja r w postaci gdzie: r w - składowa wymuszona wywołana pobudzeniem, r s - składowa swobodna zależna tylko od własności układu. r( t) r ( t) r ( t), () w ówność () jest słuszna przy założeniu, że bieguny transmitancji operatorowej układu są różne od biegunów transformat pobudzeń. Składowa swobodna r s jest wywołana zaburzeniem stanu równowagi w chwili komutacji t = 0 i zależy od warunków początkowych układu. Przebieg r s jest uwarunkowany biegunami transmitancji operatorowej układu H s gdzie: (s), M(s) - wielomiany zmiennej s, s (s) - transformata aplace a reakcji r( t) P(s) - transformata aplace a pobudzenia p( t). s s P s M s, (3) (przy zerowych warunkach początkowych), Zera wielomianu M(s) zwane są częstotliwościami własnymi układu (bieguny funkcji transmitancji), a stopień wielomianu M(s) określa rząd układu. Jeśli wszystkie częstotliwości własne układu leżą w lewej półpłaszczyźnie s, to składowa swobodna reakcji układu jest tłumiona, tj. lim r ( t) 0 (4) t s Jeśli warunek (4) jest spełniony, to reakcję układu w stanie nieustalonym można zapisać w postaci gdzie r p - składowa przejściowa, r( t) r ( t) r ( t) r ( t) r ( t) (5) s w p u r u - składowa ustalona. W stanie ustalonym całkowita reakcja jest równa składowej ustalonej, tzn. const, gdy p( t) const, r( t) ru ( t) ru ( t T ), gdy p( t) p( t T ), gdzie p pobudzenie układu. Teoretycznie układ osiąga stan ustalony po upływie czasu nieskończenie długiego. W praktyce wyznacza się tzw. czas ustalania się, po którego upływie przyjmuje się, że układ jest w stanie ustalonym. W ćwiczeniu są badane układy pierwszego i drugiego rzędu o zerowych warunkach początkowych. Stosując rachunek operatorowy oparty o jednostronną transformatę aplace a, wyznaczono składowe przejściowe i ustalone prądów i napięć występujących na elementach (6)
badanych układów przy pobudzeniu p = e =, gdzie oznacza skok jednostkowy (funkcja Heaviside a).. Układ pierwszego rzędu i e( t) ( t) u u ys. t i( t) e ( t). (7) s i t 0, u t ( t) - składowe ustalone, gdzie: u p u t ( ), u t e ( t) i t e t p t u ( t) e ( t) (8) s s t - składowe przejściowe. Przebiegi prądu i napięć w obwodzie ( =, = 5 F, = V) w stanie nieustalonym zilustrowane są na rys.. Zaznaczony na wykresie czas = jest stałą czasu układu. Wielkość ta charakteryzuje szybkość zanikania przebiegu przejściowego. Dla t u 3 (zwanym czasem ustalania) napięcie na kondensatorze osiąga poziom 0,95.. 0.95 0.8 u 0.63 0.6 0.4 i 0. u t [s] 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 tu 3 ys. 3
. Układ pierwszego rzędu Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów i e = u u ys. 3 i( t) s e ( t), s s s (9) u ( ) t e ( t), s (0) gdzie: i ( t) ( t), u ( t) 0 - składowe ustalone, u t u i ( t) e ( t), u ( t) e ( t) - składowe przejściowe. p p t Przebiegi prądu i napięć w obwodzie ze stałą czasową / ( =, = 0 H, = V) w stanie nieustalonym zilustrowane są na rys. 4. tu 3 ys. 4 zas ustalania się t u jest zdefiniowany jako czas, po którego upływie wartość odpowiedzi jednostkowej układu różni się od wartości ustalonej co najwyżej o 5%, lub równoważnie jako czas, 4
po którego upływie wartość odpowiedzi przejściowej wynosi tylko 5% wartości początkowej. Dla układów pierwszego rzędu t u = 3. () 3. Układ drugiego rzędu i e( t) ( t) u u u ys. 5 i( t), () s s u ( t), (3) s s s s u( t). (4) s s zęstotliwości własne układu wynoszą: s A B, s A B, (5) gdzie: A, 4 B. 3.. Przypadek aperiodyczny Jeśli B jest rzeczywiste, co odpowiada warunkowi, (6) przebiegi mają charakter aperiodyczny i wyrażają się następującymi wzorami: At i( t) e sinh( Bt) ( t) B, (7) At A u ( t) e cosh( Bt) sinh( Bt) ( t) B, (8) 5
At A u( t) e cosh( Bt) sinh( Bt) ( t) B, (9) gdzie składowe ustalone i przejściowe: i u = 0, u u =, u u = 0, At A up ( t) e cosh( Bt) sinh( Bt) ( t) B, u p = u. Przebiegi aperiodyczne prądu i napięć ( =, =.5, = H, = F) przedstawiono na rys. 6.. 0,95 0.8 u u 0.6 0.4 i 0. 0 t [s] -0. 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3.. Przypadek aperiodyczny krytyczny W przypadku, gdy B = 0 otrzymuje się: t u ys. 6 kr, (0) At i( t) te ( t), () At At u ( t) e Ate ( t), () At u ( t) At e ( t). (3) ezystancję kr nazywa się krytyczną rezystancją obwodu. Przebiegi prądu i napięć dla przypadku aperiodycznego krytycznego ( = V, =, = H, = F) przedstawiono na rys.7. W przypadkach aperiodycznych czas ustalania jest określony podobnie jak dla układów pierwszego rzędu. Przypadek krytyczny jest przypadkiem, w którym przebiegi prądu i napięć osiągają wartości ustalone w najkrótszym czasie. 6
. 0,95 0.8 0.6 u u 0.4 i 0. 0 t [s] -0. 0 3 4 5 6 7 8 9 0 t u ys. 7 3. 3. Przypadek oscylacyjny Jeśli B jest urojone, tj. B = j, co odpowiada warunkowi kr, (4) przebiegi prądu i napięć można wyrazić wzorami: At i( t) e sin( t) ( t), (5) At e u ( t) sin( t ) ( t), sin (6) gdzie arctg A. At e u( t) sin( t ) ( t), (7) sin Jak widać z powyższych wzorów, przebiegi prądu i napięć (rys. 8, = V, = 0., = H, = F) mają charakter oscylacyjny tłumiony, przy czym pulsacja drgań swobodnych A 0 A, (8) gdzie 0. W przypadku oscylacyjnym czas ustalania t u definiuje się jako czas, po upływie którego wartość obwiedni przebiegu oscylacyjnego różni się od wartości ustalonej nie więcej niż o 5%. 7
.5 u.5 0.5 u 0, 0-0.5 i t [s] - 0 5 0 5 0 5 30 t u 4. harakterystyka amplitudowa układu ys. 8 harakterystyka amplitudowa A(f ) jest to stosunek wartości skutecznej napięcia sygnału wyjściowego U wy do wartości skutecznej napięcia sygnału wejściowego U we (wzmocnienie układu) w funkcji częstotliwości f U wy ( f ) A f. U we ( f ) (9) Dla układu stabilnego w sensie BIBO zachodzi zależność H H s H e A f e (j ) ( ) (j ) j ( ) ( ) j ( f ), s j gdzie H ( s) - funkcja transmitancji, H ( j ) - charakterystyka widmowa, A( f ) H (j ) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa, ( f ) ( ) arg H (j ) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa. B. zęść laboratoryjna Badany układ (rys.9) wykonany jest w postaci szeregowego połączenia trzech dekad: rezystancyjnej, pojemnościowej i indukcyjnej z możliwością zestawienia układów, i o różnych wartościach elementów. e u we Os u ys. 9 8
W celu umożliwienia obserwacji na oscyloskopie Os reakcji układu na pobudzenie skokiem jednostkowym stosuje się pobudzenie przebiegiem prostokątnym. zęstotliwość powtarzania impulsów prostokątnych należy tak dobrać, aby podczas trwania impulsu reakcja układu osiągała praktycznie wartość ustaloną. Obserwowane wówczas na ekranie oscyloskopu przebiegi napięć w czasie trwania impulsu prostokątnego można traktować jako reakcje całkowite układu na pobudzenie jednostkowe. W przypadku źle dobranej częstotliwości powtarzania impulsów w obserwowanym przebiegu nie można wyróżnić reakcji na pobudzenie jednostkowe. Wykaz przyrządów: - generator fali prostokątnej, - dekada rezystancyjna, indukcyjna i pojemnościowa, - oscyloskop, - komputer wraz z drukarką.. Badanie układu pierwszego rzędu przy pobudzeniu e =.. Wydrukować oscylogramy napięcia u c dla trzech różnych wartości rezystancji,, 3 (k < < 3 0k) przy wybranej wartości pojemności z przedziału 50nF do 500nF... Wydrukować oscylogramy napięcia u c dla trzech różnych wartości pojemności przy wybranej wartości (najlepiej 3 )..3. Zaznaczyć na oscylogramach czasy ustalania t u..4. Zmierzyć stałe czasu metodą trzypunktową jak pokazano na rysunku poniżej (wykorzystując kursory na ekranie monitora). 0.9 0.8 u 0.7 0.6 0.5 u 0.4 0.3 0. 0. t t 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli. 9
3 = = = = = 3 = t u u 3 t u 3 3 3 3 3 3 Stałą czasową wyznaczyć z zależności t. (30) u ln u Nastawy oscyloskopu należy dobrać tak, aby u u 5. zas ustalania odpowiedzi t u odczytać z wydrukowanego oscylogramu. Pojemność kondensatora wyznaczyć ze wzoru 3 g gdzie g jest rezystancją wewnętrzną generatora.,. Badanie układu pierwszego rzędu przy pobudzeniu e = l.. Wydrukować oscylogramy napięcia u dla trzech różnych wartości rezystancji (0,k < < 3 k) przy wybranej wartości indukcyjności z przedziału 00mH -H... Wydrukować oscylogramy napięcia u dla trzech różnych wartości przy wybranej wartości (najlepiej ). Dla jednej z wartości wydrukować oscylogram napięcia u..3. Zaznaczyć na oscylogramach czasy ustalania t u..4. Zmierzyć stałe czasu metodą trzypunktową i wyniki zamieścić w tabeli (jak punkcie.4).5. Obliczyć wartości indukcyjności,, 3 na podstawie zmierzonych wartości (uwzględnić rezystancję wewnętrzną generatora g i ewentualnie rezystancje własne cewek zmierzone omomierzem) ( ). Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli. 3 = = = = = 3 = 3 3 3 3 3 3 g t u u 3 t u Stałą czasową wyznaczyć również z zależności (3). 0
3. Badanie układu drugiego rzędu przy pobudzeniu e = l 3. Dla ustalonych i dobrać tak rezystancję, aby uzyskać odpowiedzi o charakterze aperiodycznym, aperiodycznym krytycznym i oscylacyjnym. Dla wszystkich przypadków wydrukować oscylogramy napięć u. 3. Dla indukcyjności i każdej pojemności dobrać tak, aby podczas zmiany uzyskiwać zawsze przypadek oscylacyjny. Wyznaczyć z każdego z oscylogramów stałe A i (sposób wyznaczania zilustrowano na rys. 0). zy zależą one od wartości pojemności? Ten punkt ćwiczenia zrobić wówczas jak pozwala na to czas..5 u.5 r r 0.5 0 r ln A t t r t t t [s] -0.5 0 5 0 5 0 5 30 t t ys. 0 4. Pomiar charakterystyki amplitudowej obwodu Dla obwodu szeregowego można zdefiniować funkcję transmitancji U ( s) s. ( s) s s s s H s Wyznaczanie charakterystyki amplitudowej A(f ) (9) badanego układu polega na pomiarze wartości skutecznych napięć U i w zadanym zakresie częstotliwości f oraz obliczeniu U A( f ). f
e( t) u ( ) t e( t) sin( f t)v u ( t) U sin( f t )V ys. Do wykonania wykresu można posłużyć się skryptem napisanym w języku Matlab (m-plik - char_amp.m - [] ). Uwagi dla studentów. W ćwiczeniu wykorzystywany jest generator fali prostokątnej jako źródło skokowo zmieniającego się napięcia. Umożliwia to obserwację powtarzających się cykli ustalania się napięć na elementach badanego obwodu. Warunkiem jest dostatecznie długi czas trwania impulsu o polaryzacji dodatniej i ujemnej, aby badane napięcie osiągnęło poziom ustalony przed zakończeniem tego impulsu.. Warto ustawić tak poziom sygnału z generatora, aby wykres był kreślony na możliwie jak największej powierzchni ekranu. Należy jednocześnie ustalić położenie kreślonych krzywych na ekranie względem rastra, aby punkt początkowy znajdował się na przecięciu linii poziomej i pionowej w lewym dolnym lub górnym rogu ekranu, oraz by wartość ustalona napięcia wypadała na pewnej okrągłej" wartości, np. wynoszącej np. V, lub 5V. Oscyloskop powinien być przełączony na pomiar ze składową stałą (D) oraz włączone wyzwalanie zewnętrzne (XT). 3. Na jednym oscylogramie należy zamieścić trzy przebiegi (FN I i II oraz aktualny musi być włączony tylko jeden kanał). Zachować te same nastawy (czas/dz i V/dz). 4. Przy badaniu układów i warto zwrócić uwagę na to, że właściwości cewek użytych w układzie różnią się od ich idealizowanych odpowiedników - induktorów. Pytania kontrolne. Narysować przebiegi napięć i prądu w szeregowym obwodzie () pobudzanym skokiem jednostkowym.. Podać sposoby wyznaczania stałej czasu w szeregowym obwodzie () na podstawie odpowiedzi na skok jednostkowy. 3. Dane są wartości elementów =, = F, = H. Wyznaczyć prąd i płynący w szeregowym obwodzie w przypadku, kiedy pobudzeniem jest napięcie u( t) 0 ( t). 4. W jaki sposób wpływa rezystancja wewnętrzna źródła zasilającego na przebiegi napięć i prądów w szeregowym obwodzie (). 5. W jaki sposób można rozpoznać, że w szeregowym obwodzie (zestaw laboratoryjny) pobudzanym SM ( t) napięcie u ma przebieg aperiodyczny krytyczny.
6. Pokazać, że w szeregowym obwodzie, w którym występują przebiegi oscylacyjne czas t u ustalania napięcia prawie nie zależy od wartości pojemności. iteratura []WOSKI W., Teoretyczne podstawy techniki analogowej, skrypt PWr., Wrocław 007. [] Materiały dydaktyczne na stronie www.zto.ita.pwr.wroc.pl. Dodatek (m-plik - char_amp.m) %Wykreśla teoretyczną charakterystykę amplitudową obwodu szeregowego % w zakresie częstotliwości od 0 do fmax i punkty tej % charakterystyki w punktach fi, uzyskane na podstawie pomiarów % Wywołanie: ch_amp % oznaczenia = p+l+g, p - rezystancja ustawiona na dekadzie, l - zmierzona % za pomocą omomierza rezystancja użytej cewki, g - rezystancja generatora % (wartości elementów w jednostkach podstawowych), % fi - wektor częstotliwości pomiarowych (w Hz), % Uwe - napięcie sem. generatora, % Uwy - wektor wartości skutecznych napięćia wyjściowego. close all,clear all =7; %Napięcie generatora bez obciążenia =070;=00e-3;=00e-9;%Podać swoje dane % dt wektor poniższy, który należy zbudować podając kolejno punkty pomiarowe f, Uwy dt=[ 0 7 00 7. 00 7. 400 7.3 600 7.5 800 7.3 00 7.6 500 7. 000 4.8 3000. 4000.35 5000 0.75]; H0=//;M=[ / //]; fmax=max(dt(:,));f=linspace(0,fmax,300); H=freqs(H0,M,*pi*f);fi=dt(:,)';Uwy=dt(:,)'; A=Uwy/;set(gcf,'olor',[ ]) plot(f/000,abs(h),'olor',[0 0.3 0],'ineWidth',),grid, title('harakterystyka amplitudowa A(f)'),xlabel('f [khz]'),ylabel('a(f)') hold on plot(fi/000,a,'inestyle','none','marker','.','markersize',0,... 'MarkerFaceolor',[0.5 0 0],'Markerdgeolor',[0.5 0 0]);hold off 3