STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie stanu zdrowia w pewnej miejscowości; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami ciężkimi w pewnym obszarze; - badanie socjologiczne na temat spędzania czasu przed telewizorem bądź komputerem, itd. Działamy poprzez przeprowadzenie doświadczeń. Można powiedzieć, że wyniki tych doświadczeń mają charakter losowy, gdyż nie da się ich przewidzieć wcześniej. Zakładamy, że jesteśmy w stanie powtórzyć te doświadczenia w tych samych warunkach pewną liczbę razy (a lepiej dowolną liczbę razy). Podstawowe cechy badań. 1. Mamy do czynienia ze zbiorem (populacja generalna) pojedynczych nośników informacji (jednostka statystyczna). Populacje mogą być skończone i nieskończone. 2. Jednostki statystyczne są charakteryzowane przez pewne cechy. Interesujące nas cechy jednostek, które nie są takie same dla wszystkich jednostek, nazywamy zmiennymi. 1
3. Badanie może być pełne i częściowe. W przypadku drugim, badając tylko małą część populacji (próbka losowa) chcemy sądzić o całej populacji. Próbka musi być reprezentatywna. Wnioskowanie statystyczne może być błędne. Etapy badania statystycznego: - przygotowanie badania; - gromadzenie danych i ich opracowanie; - wnioskowanie statystyczne; - prezentacja wyników. Rozkład częstości zmiennej - jakie wartości zmienna przyjęła i jak często. Metody przedstawienia rozkładu częstości zmiennej: w postaci tabeli i w postaci wykresów (słupkowe, kołowe). Przykład. Rozważmy wyniki badania przynależności do pewnej grupy pracowniczej 474 respondentów. Kategoria Liczebność Procent urzędnik 363 76,6 ochroniarz 27 5,7 menedżer 84 17,7 Ogółem 474 100,0 2
Wykres słupkowy zmiennej na podstawie liczebności. Wykres słupkowy zmiennej na podstawie procentów. 3
Wykres kołowy zmiennej na podstawie liczebności. Wykres kołowy zmiennej na podstawie procentów. Gdy liczebność próbki jest duża i zmienna przyjmuje dużo różnych wartości, tworzymy histogram. W tym celu wartości zmiennej z próbki grupujemy w klasach, czyli przedziałach o jednakowej długości. Liczba klas r zależy od liczebności próbki (patrz np. tabelę): 4
Liczebność próbki n Liczba klas r 30-60 5-8 60-100 7-10 100-200 9-12 200-500 11-17 500-1000 16-25 Klasy najczęściej mają jednakowe długości. Długość każdej klasy d określamy dzieląc zakres zmiany zmiennej (rozstęp) d = x max x min przez liczbę klas i zaokrąglając z nadmiarem: d d r. Granice poszczególnych klas obliczamy, dodając kolejno d do początku pierwszej klasy. Gdy podział na klasy został przeprowadzony, rozpoczynamy obliczanie liczebności poszczególnych klas. Liczebnością j-tej klasy (ozn. n j ) nazywamy liczbę wartości, którzy trafiły do j-tej klasy. Oczywiście, n 1 + + n r = n. Częstością względną j-tej klasy (ozn. w j ) nazywamy liczbę w j = n j /n. Oczywiście, w 1 + + w r = 1. W wyniku takiego grupowania wartości zmiennej z próbki otrzymujemy tzw. szereg rozdzielczy {(x 0 j, n j)} r j=1, gdzie przez x 0 1,..., x 0 r oznaczamy środki kolejnych klas. 5
Czasami obliczamy też liczebności i częstości skumulowane, które otrzymujemy przez kolejne sumowanie n j i w j odpowiednio od pierwszej klasy do ostatniej. Przykład. Rozważmy wyniki badania wzrostu (w centymetrach) 100 uczniów pewnej szkoły wyższej. Wyniki badania są zawarte w tabeli: 185 187 165 183 167 180 165 175 170 164 188 171 162 178 190 184 168 172 184 180 163 171 180 159 173 185 176 165 181 189 177 171 174 175 165 166 173 158 182 182 179 182 163 164 166 181 161 160 176 184 182 173 185 160 186 157 184 194 163 169 187 172 185 187 164 183 169 183 191 171 175 166 174 179 161 173 181 186 181 178 177 181 173 172 158 177 170 179 188 189 184 173 168 168 178 173 162 178 170 191 Jakie wartości zmienna przyjęła i jak często? Rozkład liczebności występowania poszczególnych wartości zmiennej pokazują następujące tabele: Wzrost 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 Liczeb. 1 2 1 2 2 2 3 3 4 3 Liczeb. skum. 1 3 4 6 8 10 13 16 20 23 6
167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 1 3 2 3 4 3 7 2 3 2 3 4 3 24 27 29 32 36 39 46 48 51 53 56 60 63 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 194 3 5 4 3 5 4 2 3 2 2 1 2 1 66 71 75 78 83 87 89 92 94 96 97 99 100 Tworzymy szereg rozdzielczy. Przyjmijmy, że klas będzie r = 10. Klasy Klasy dokł. Środek Liczeb. Liczeb. skum. 157-160 156,5-160,5 158,5 6 6 161-164 160,5-164,5 162,5 10 16 165-168 164,5-168,5 166,5 11 27 169-172 168,5-172,5 170,5 12 39 173-176 172,5-176,5 174,5 14 53 177-180 176,5-180,5 178,5 13 66 181-184 180,5-184,5 182,5 17 83 185-188 184,5-188,5 186,5 11 94 189-192 188,5-192,5 190,5 5 99 193-196 192,5-196,5 194,5 1 100 7
Na podstawie szeregu rozdzielczego budujemy histogram. Jest to rodzaj wykresu słupkowego pokazujący rozkład badanej cechy. Podstawy słupków są klasy, a wysokości - liczebności bądź częstości klas. Łącząc łamaną punkty o współrzędnych (x 0 j, n j) (bądź (x 0 j, w j)), otrzymujemy tzw. wielobok liczebności (częstości). Przykład: 3,6; 5,0; 4,0; 4,7; 5,2; 5,9; 4,5; 5,3; 5,5; 3,9; 5,6; 3,5; 5,4; 5,2; 4,1; 5,0; 3,1; 5,8; 4,8; 4,4; 4,6; 5,1; 4,7; 3,0; 5,5; 6,1; 3,8; 4,9; 5,6; 6,1; 5,9; 4,2; 6,4; 5,3; 4,5; 4,9; 4,0; 5,2; 3,3; 5,4; 4,7; 6,4; 5,1; 3,4; 5,2; 6,2; 4,4; 4,3; 5,8; 3,7 (n = 50). 8