Rozumowania niemonotoniczne (notatki do wykładów)

Podobne dokumenty
Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Adam Meissner.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

5. Rozważania o pojęciu wiedzy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne

Logika dla socjologów

Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań

Metoda Tablic Semantycznych

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Paradygmaty dowodzenia

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

Drzewa Semantyczne w KRZ

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

4. Zagadnienie prawdy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Internet Semantyczny i Logika I

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Logika Matematyczna (1)

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Katedra Teorii i Filozofii Prawa Poznań, dnia 27 września 2018 r.

Z-ID-203. Logika. Podstawowy Obowiązkowy Polski Semestr II. Semestr zimowy Wiedza i umiejętności z matematyki w zakresie szkoły średniej NIE

Patryk Pogoda Tomasz z Akwinu monotonicznie. Filozofia Nauki 20/2,

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

LOGIKA Dedukcja Naturalna

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

III rok kognitywistyki UAM,

Logika Matematyczna (1)

Rachunek zdań i predykatów

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

Dowody założeniowe w KRZ

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Semantyka rachunku predykatów

Techniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą

Zasady krytycznego myślenia (1)

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

Schematy Piramid Logicznych

Logika Matematyczna (2,3)

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM PODSTAWOWY

Teorioinformacyjne twierdzenie Gödla,

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

Wstęp. Funkcja produkcji i dekompozycja wzrostu

Język angielski. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą CZĘŚĆ I KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I

Zbiory, relacje i funkcje

Z-ZIP Logika. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki Dr Beata Maciejewska. Podstawowy Nieobowiązkowy Polski Semestr trzeci

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

Metodologia prowadzenia badań naukowych Semiotyka, Argumentacja

Wybrane logiczne teorie zmian przekonań (notatki do wykładów)

Programowanie logiczne a negacja

Krystyna Misiuna O paradoksach związanych z nieostrością pojęć. Filozofia Nauki 17/4, 5-10

JĘZYK ANGIELSKI POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY Z JĘZYKA ANGIELSKIEGO

Odpowiedzi do zadań zamieszczonych w arkuszu egzaminu ósmoklasisty z języka angielskiego 17 KWIETNIA 2019 opracowane przez ekspertów Nowej Ery

System hilbertowski. Plan wykładu. hilbertowskiego. Definicja systemu hilbertowskiego. Podstawowe twierdzenie systemu. Podstawowe twierdzenie systemu

Transkrypt:

Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Rozumowania niemonotoniczne (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl wersja beta 1.2 1

Zacznijmy od cytatu: "... we are said to be reasoning nonmonotically when we allow that a conclusion that is well drawn from given information may need to be withdrawn when we come into possession of further information, even when none of the old premises are abandoned. In brief, a consequence relation is nonmonotonic iff it can happen that a proposition x is a consequence of a set A of propositions, but not a consequence of some superset A B of A." David Makinson, How to Go Nonmonotonic, w: D. Gabbay, F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, Second Edition, Volume 12, Springer, Dordrecht 2005, s. 177. 2

Zilustrujmy to przykładem: Ptaki fruwają. Tweety jest ptakiem. Tweety fruwa. Ptaki fruwają. Ale nie pingwiny. Tweety jest ptakiem. Konkretnie: pingwinem. Tweety nie fruwa. Widzimy, że rozszerzenie zbioru przesłanek o zdania niosące nowe informacje zobowiązuje (commit) nas do wycofania poprzedniego wniosku i w rozważanym przypadku do przyjęcia nowego wniosku. 3

Jednym z typów rozumowania niemonotonicznego jest tzw. default reasoning (nie silę się na przekład tego terminu, z braku dobrego pomysłu:)). Znowu cytat: "Without attempting anything like a formal definition, one can think of default reasoning, very roughly, as reasoning that relies on the absence of information as well as its presence, often mediated by rules of the general form: given P, conclude Q unless there is no information to the contrary." John F. Horty, Nonmonotonic Logic, w: Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell Publishing 2002, s. 336. Ważne: w rozumowaniach powyższego typu istotne są nie tylko posiadane informacje, ale również brak informacji ściśle określonego rodzaju! 4

Wróćmy do Tweety'ego. Intuicyjnie rzecz biorąc, wniosek "Tweety fruwa" można wyprowadzać ze zbioru przesłanek zawierającego m.in. zdania "Ptaki fruwają" oraz "Tweety jest ptakiem" wówczas, gdy w zbiorze przesłanek nie ma niczego, co mówiąc ogólnie przeczyłoby temu wnioskowi. Pozostaje pytanie, jak ściśle wyrazić tę intuicję. W tzw. Default Logic (nie mam pomysłu na dobry przekład, stąd dalej będę używał terminu angielskiego) wprowadza się dwa typy reguł wnioskowania: zwykłe (ordinary): mają one postać uporządkowanych par zdań <A, B>, gdzie A to przesłanka, a B to konkluzja, default: mające postać <A: C/ B>, gdzie A i B są rozumiane jak wyżej, natomiast zdanie C nosi nazwę uprawomocnienia (justification) konkluzji B. Pojęcie reguły, którym tutaj operujemy, jest zatem rozumiane w sposób, w jaki rozumie się je zwykle w informatyce: są nimi konkretne pary/trójki zdań, a nie jak najczęściej czyni się to w logice zbiory takich obiektów (czyli relacje). Mówiąc o zdaniach, mamy na myśli formuły zdaniowe bez zmiennych wolnych. 5

Tzw. normalne reguły typu default podpadają pod schemat: <A : B / B> gdzie A, B są zdaniami. Warunek uprawomocnienia/ stosowalności reguły o takim schemacie jest następujący: możemy wyprowadzić B z A o ile B jest niesprzeczne z tym, co wiadomo. B przed ukośnikiem pełni tutaj rolę warunku stosowalności/uprawomocnienia. Odpowiednie reguły typu default dla przypadku Tweety'ego mają postać: <P(t) : F(t) / F(t)> <P*(t) : F(t) / F(t)> gdzie P to predykat jest ptakiem, P* to predykat jest pingwinem, F jest predykatem fruwa, a t oznacza "Tweety". Intuicyjny sens tych reguł jest następujący: jeśli Tweety jest ptakiem, to można stąd wyprowadzić wniosek "Tweety fruwa"- o ile (as long as) wniosek ten jest niesprzeczny z tym, co wiadomo; jeśli Tweety jest pingwinem, to można stąd wyprowadzić wniosek "Tweety nie fruwa" - o ile wniosek ten jest niesprzeczny z tym, co wiadomo. 6

Pod pojęciem default theory rozumie się parę uporządkowaną: <W, D> gdzie W jest zbiorem zdań (odpowiedniego języka sformalizowanego), a D jest zbiorem (normalnych) reguł typu default. Przypadek Tweety'ego jest początkowo reprezentowany przez następującą default theory : <{P(t)}, {<P(t) : F(t) / F(t)>}> do konsekwencji której należy F(t), jako konkluzja stosowalnej w rozważanym przypadku - reguły typu default; reguła ta jest stosowalna, albowiem F(t) nie jest sprzeczne z P(t). Następnie jednak przechodzimy: albo do default theory *: <{P(t), F(t)}, {<P(t) : F(t) / F(t)>}> -- która nie ma wśród swoich konsekwencji zdania F(t), albowiem odpowiednia reguła nie jest już stosowalna, jako że F(t) jest sprzeczne z F(t), 7

albo do default theory ** uwzględniającej dodatkowo informacje, iż Tweety jest pingwinem, a pingwiny są ptakami: <{P*(t), x(p*(x) P(x)), F(t))}, {<P(t) : F(t) / F(t)>,<P*(t): F(t) / F(t)>}>. -- która również nie ma wśród swoich konsekwencji zdania F(t), albowiem reguła: <P(t) : F(t) / F(t)> nie jest stosowalna. Natomiast teoria ** ma rzecz jasna wśród swoich konsekwencji zdanie F(t), będące zresztą konkluzją reguły: <P*(t): F(t) / F(t)> która jest stosowalna, ponieważ zdanie F(t) nie jest sprzeczne z wyjściowymi przesłankami. albo do... etc. 8

Aby powiedzieć, co to znaczy, że zdanie A jest konsekwencją danej default theory = <W, D>, musimy wprowadzić pewne pojęcia pomocnicze. Niech = <W, D> będzie default theory, a X będzie zbiorem zdań języka, w którym została sformułowana. Wówczas symbolem (X) oznaczamy najmniejszy zbiór spełniający następujące warunki: o W (X), o Cn L ( (X)) = (X), o dla każdej reguły typu default postaci (A : B / B) należącej do D: jeśli A (X) oraz ' B' X, to B (X). Zbiór (X) jest zatem nadzbiorem zbioru W, jest domknięty z uwagi na operację konsekwencji logicznej oraz zawiera wszystkie konkluzje tych wszystkich reguł typu default teorii, które są stosowalne ze względu na zbiór X. Zbiór zdań Y jest rozszerzeniem default theory wtw (Y) = Y. 9

Zauważmy, że zgodnie z podanym określeniem dana default theory może mieć wiele rozszerzeń! Rozważmy znany przykład. Mamy: Nixon jest kwakrem. Nixon jest republikaninem. Kwakrzy są pacyfistami. Republikanie nie są pacyfistami. Sytuację powyższą reprezentuje następująca default theory: <{K(n), R(n)}, {<K(n) : S(n) / S(n)>, <R(n) : S(n) / S(n)>}> (notacja jest, mam nadzieję, "samotłumacząca"), dla której istnieją następujące rozszerzenia: o Cn L ({K(n), R(n), S(n)}), o Cn L ({K(n), R(n), S(n)}). 10

Mówiąc ogólnie, bycie elementem rozszerzenia danej default theory jest warunkiem niezbędnym bycia jej konsekwencją. Mamy tutaj jednak różne rozwiązania szczegółowe: zdanie A jest konsekwencją default theory wtw A jest elementem jakiegoś rozszerzenia teorii ; zdanie A jest konsekwencją default theory wtw A jest elementem jakiegoś wybranego rozszerzenia teorii ; zdanie A jest konsekwencją default theory wtw A jest elementem każdego rozszerzenia teorii. Którekolwiek rozwiązanie wybierzemy, odpowiednia operacja konsekwencji nie będzie spełniać warunku monotoniczności. 11

Dygresja 1. Schematy reguł typu default Czasami, oprócz reguł typu default o schemacie: <A : B / B> (zwanych normalnymi), wprowadza się również reguły typu default o schematach: <A : C / B> gdzie zdanie C wyrażające warunek stosowalności jest różne od B. Przykładowo, trójka uporządkowana: < P(t) : F(t) P*(t) / F(t) > jest regułą typu default o następującym sensie intuicyjnym: jeśli Tweety jest ptakiem, to można stąd wyprowadzić wniosek "Tweety fruwa" - o ile to, że Tweety fruwa oraz nie jest pingwinem, jest niesprzeczne z tym, co wiadomo. Wówczas jednak odpowiednim modyfikacjom ulegają pojęcia default theory, jej rozszerzenia etc. Kwestie te pominiemy. 12

Dygresja 2. "Zasada zamkniętego świata" (closed-world assumption) Najogólniej rzecz biorąc, tytułowa zasada leży u podstaw rozumowań, w których z braku danych potwierdzających/ dokumentujących zachodzenie tego, że wnosimy, że nie zachodzi. Przykładowo, jeśli nie znajdziemy w rozkładzie jazdy PKP informacji o istnieniu bezpośrednich połączeń kolejowych między Sławą Wlkp. a Gnieznem, wnosimy stąd, że takich połączeń nie ma. W świetle Default Logic rozumowania powyższego rodzaju są kierowane regułami typu default. Odpowiednia reguła dla naszego przykładu ma postać: <T: bezp_poł(sława Wlkp., Gniezno) / bezp_poł(sława Wlkp., Gniezno)> gdzie T jest stałą Verum. Dlaczego używamy tutaj stałej Verum? Cóż, zapraszam na wykład :) 13

Dygresja 3. Rozumowania praktyczne i planowanie działań Rozważmy rozumowanie studenta, który właśnie zakończył egzamin testowy i ma uzasadnione! przekonanie, że udzielił poprawnych odpowiedzi na wszystkie pytania. Będzie ono przebiegać od przesłanki: Udzieliłam/udzieliłem poprawnych odpowiedzi na wszystkie pytania. do wniosku: Dostanę ocenę bdb. Student jednak zna życie i wie, że egzaminator może pomylić testy, użyć przy sprawdzaniu niewłaściwego szablonu, zgubić test, złośliwie nie zaliczyć pewnych skreśleń/ zakreśleń, etc. lista takich okoliczności jest właściwie nieograniczona. Jednakże nasz hipotetyczny student nie używa w charakterze dodatkowych przesłanek zdań stwierdzających po kolei, że okoliczności takie nie zajdą. Jej/jego domyślna przesłanka głosi: Nie zajdzie nic "dziwnego". 14

W świetle Default Logic nasz hipotetyczny student korzysta w swoim rozumowaniu m.in. z następującej reguły typu default: <T: Weird / Weird> która pozwala wyprowadzić zdanie "Nie zajdzie nic <dziwnego>" w sytuacji, gdy nic nie świadczy o tym, że coś <dziwnego> zajdzie. Podobnie jest w przypadku planowania działań. 15

Dygresja 4. Końcowa Omawiając problematykę rozumowań niemonotonicznych, skoncentrowaliśmy się na ich charakterystyce przy pomocy środków dostarczanych przez Default Logic, a i tutaj ograniczyliśmy się do podania kilku wstępnych informacji. Rozumowania niemonotoniczne są jednak analizowane także za pomocą innych aparatur pojęciowych. Przykładowo, używa się tutaj pewnych pojęć z zakresu teorii modeli, konstruując teorie, w których kluczową rolę pełni semantyczne pojęcie circumscription. Innym przykładem są rozważania nad pojęciem konsekwencji niemonotonicznej, prowadzone w ramach odpowiednio wzbogaconej ogólnej teorii konsekwencji. 1 1 Zainteresowanych odsyłam do monografii Davida Makinsona: Bridges from Classical to Nonmonotonic Logic (London 2005), której polski przekład "Od logiki klasycznej do niemonotonicznej" został wydany przez Wydawnictwo Naukowe UMK w Toruniu w 2008 r. 16

I wreszcie: operacje konsekwencji charakteryzowane/ wyznaczone przez pewne logiki nieklasyczne nie mają własności monotoniczności chociaż obszarem zamierzonych zastosowań tych logik nie były/ są rozumowania niemonotoniczne. Rozwinięcie tej ostatniej uwagi wymagałoby rozpoczęcia nowego cyklu zajęć. Czego nie uczynimy. 17