1/8 TECHIKA CYFROWEGO PRZETWARZAIA SYGAŁÓW Andrzej Leśnicki Gdańsk 2013
2/8 Spis treści Przedmowa Wykaz oznaczeń 1. Wstęp 3 str. 2. Sygnały i systemy dyskretne 2.1. Pojęcie sygnału dyskretnego 2 str. 2.2. Tworzenie sygnału dyskretnego i cyfrowego z sygnału ciągłego-analogowego7 str 2.3. Błędy kwantowania i przeciążenia 14 str. 2.4. Kwantowanie nieliniowe 8 str. 2.5. Zwielokrotnienie czasowe sygnałów 3 str. 2.6. Podstawowe operacje na sygnale dyskretnym 4 str. 2.7. Klasyfikacja systemów dyskretnych 4 str. 2.8. Równania różnicowe systemów dyskretnych 7 str. 2.9. Odpowiedzi impulsowa i skokowa systemu dyskretnego 3 str. 2.10. Splot sygnałów 6 str. 2.11. Stabilność systemów DLS 6 str. 2.12. Korelacja sygnałów dyskretnych 6 str. 2.13. Działania na liczbach w komputerze 6 str. 2.14. Zadania 19 str. 3. Układy z sygnałami dyskretnymi 3.1. Układy próbkujące 4 str. 3.2. Przetworniki cyfrowo-analogowe 3 str. 3.3. Przetworniki analogowo-cyfrowe 3 str. 3.4. Linie opóźniające 2 str. 3.5. Sumator 3 str. 3.6. Układ mnożący 4 str. 3.7. Filtry z przełączanymi kondensatorami 2 str. 3.8. Zadania 4 str. 4. Przekształcenie Z sygnałów dyskretnych 4.1. Definicja przekształcenia Z 3 str. 4.2. Proste przekształcenie Z sygnałów 3 str. 4.3. Właściwości przekształcenia Z 7 str. 4.4. Wyznaczanie odwrotnej transformaty Z 5 str. 4.5. Przekształcenie Z sygnału nieprzyczynowego 2 str. 4.6. Rozwiązanie równań różnicowych metodą przekształcenia Z 6 str. 4.7. Algebraiczne kryterium stabilności 4 str. 4.8. Zadania 5 str. 5. Dyskretno-czasowe przekształcenie Fouriera DTFT 5.1. Definicja przekształcenia DTFT 6 str. 5.2. Właściwości przekształcenia DTFT 7 str. 5.3. Twierdzenie o próbkowaniu 6 str. 5.4. Charakterystyki częstotliwościowe systemu dyskretnego 3 str. 5.5. Związek charakterystyk częstotliwościowych z rozkładem zer i biegunów 11 str.
3/8 5.6. Sygnały i systemy liniowo fazowe 8 str. 5.7. Transformator i filtr Hilberta 4 str. 5.8. Cyfrowa zmiana szybkości próbkowania 6 str. 5.9. Analiza widmowa z oknami 11 str. 5.10. Spektrogram sygnału 4 str. 5.11. Cepstrum 4 str. 5.12. Częstotliwościowe kryteria stabilności 4 str. 5.13. Rekonstrukcja sygnału 4 str. 5.14. Zadania 16 str. 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT 6.1. Definicja przekształcenia DFT 8 str. 6.2. Właściwości przekształcenia DFT 13 str. 6.3. Interpretacja DFT jako wartości widma dla wybranych pulsacji 4 str. 6.4. Interpretacja DFT jako widma sygnału przedłużonego okresowo 5 str. 6.5. Dyskretne przekształcenie kosinusowe DCT 4 str. 6.6. Szybkie przekształcenie Fouriera FFT 8 str. 6.7. Przekształcenie DFT w opisie filtrów 4 str. 6.8. Zadania 7 str. 7. Filtry FIR 7.1. Podstawowe właściwości filtrów FIR 2 str. 7.2. Struktury filtrów FIR 5 str. 7.3. Podstawowe typy filtrów 9 str. 7.4. Projektowanie metodą okien 11 str. 7.5. Projektowanie metodą próbkowania w dziedzinie częstotliwości 8 str. 7.6. Metoda Parksa-McClellana 7 str. 7.7. Przestrajanie filtru FIR 7 str. 7.8. Realizacja filtru FIR z użyciem procesora sygnałowego 7 str. 7.9. Zadania 14 str. 8. Filtry IIR 8.1. Podstawowe właściwości filtrów IIR 2 str. 8.2. Struktury filtrów IIR 4 str. 8.3. Analogowe prototypy filtrów cyfrowych 8 str. 8.4. Projektowanie metodą transformacji biliniowej 6 str. 8.5. Metoda niezmiennej odpowiedzi impulsowej 5 str. 8.6. Metoda niezmiennej odpowiedzi skokowej 6 str. 8.7. Transformacje częstotliwościowe 7 str. 8.8. Metoda optymalizacji iteracyjnej 3 str. 8.9. Realizacja filtru IIR z użyciem procesora sygnałowego 5 str. 8.10. Zadania 8 str. Dodatek A. Informacja i entropia Literatura 5 str. 2 str. Skorowidz
4/8 Wykaz oznaczeń arg - argument liczby zespolonej j arg X e - widmo fazowe sygnału n a n - amplituda chwilowa (obwiednia) sygnału analitycznego z n A - amplituda sygnału A sk X m - wartość skuteczna sygnału A z - wielomian mianownika transmitancji H z A C - przetwornik analogowo-cyfrowy b - liczba bitów B - szerokość pasma (w zależności od kontekstu w Hz lub rad/s) B - suma bezwzględna próbek sygnału dyskretnego B z - wielomian licznika transmitancji H z B n - wielomian Bessela BIBO - stabilność układu w sensie ograniczony sygnał wejściowy ograniczony sygnał wyjściowy c n - cepstrum sygnału n C - szybkość binarnego strumienia danych w bitach na sekundę b/s C n - wielomian Czebyszewa C A - przetwornik cyfrowo- analogowy CFT - świergotowe przekształcenie Fouriera D n - różnica wsteczna sygnału dyskretnego DCT - dyskretne przekształcenie kosinusowe DFT - dyskretne przekształcenie Fouriera DLS - układ dyskretny, liniowy, stały w czasie DSTFT - dyskretne krótko-czasowe przekształcenie Fouriera DTFT - dysktretno-czasowe przekształcenie Fouriera E n t t - energia sygnału e - błąd (szum) kwantowania e p - błąd przeciążenia FIR - filtr ze skończoną odpowiedzią impulsową (in. SOI) FDM - zwielokrotnienie sygnałów w dziedzinie częstotliwości FFT - szybka transformacja Fouriera FSR - zakres pełnej skali kwantyzatora F n - różnica w przód sygnału dyskretnego f - częstotliwość graniczna filtru w hercach g f s - szybkość yquista w próbkach na sekundę Sa/s f - szybkość próbkowania (in. f p ) w próbkach na sekundę Sa/s g n - odpowiedź skokowa systemu dyskretnego t g - odpowiedź skokowa systemu analogowego h n - odpowiedź impulsowa systemu dyskretnego h t - odpowiedź impulsowa systemu analogowego h D n - odpowiedź impulsowa filtru decymacyjnego
h T n - odpowiedź impulsowa dyskretnego transformatora Hilberta h U n - odpowiedź impulsowa filtru interpolacyjnego H z - transmitancja (operatorowa) systemu DLS j H e - transmitancja (częstotliwościowa) systemu DLS z H f - transmitancja systemu z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego j H T e - transmitancja dyskretnego transformatora Hilberta IIR - filtr z nieskończoną odpowiedzią impulsową (in. OI) Im - część urojona liczby zespolonej j 1 - jednostka urojona k - współczynnik szczytu sygnału k m - współczynnik odbicia w kryterium stabilności systemu dyskretnego L - liczba poziomów kwantowania L - przekształcenie (transformacja) Laplace a sygnału analogowego LSB - najmniej znaczący bit (najmłodszy bit) MSB - najbardziej znaczący bit (najstarszy bit) m n q - wartość średnia (oczekiwana) sygnału n - n modulo P PCM P - moc szumu kwantowania - moc sygnału błędu przeciążenia - modulacja impulsowo-kodowa - moc sygnału p - funkcja gęstości prawdopodobieństwa p - biegun transmitancji H z, pierwiastek wielomianu A z i p P - prawdopodobieństwo przekroczenia przez sygnał zakresu pełnej skali kwantyzatora PAM - modulacja impulsowo-amplitudowa ppm - liczba części na milion (ang. part per milion) r n - sygnał dyskretny rampy l n r - autokorelacja (funkcja korelacji własnej) sygnału dyskretnego r y l - korelacja wzajemna (funkcja korelacji wzajemnej) pary sygnałów dyskretnych R - tłumienie listków bocznych widma okna R - rezystancja rezystora z przełączanym kondensatorem Re - część rzeczywista liczby zespolonej Sa - funkcja próbkująca sin SAR - rejestr sukcesywnej aproksymacji S r - maksymalna prędkość zmian napięcia wyjściowego wzmacniacza operacyjnego (ang. slew-rate) n S - moc sygnału n j S e - widmo energetyczne sygnału n S - akumulata (in. suma kumulowana) sygnału dyskretnego T - operacja transmisji sygnału dyskretnego przez system dyskretny T - okres próbkowania T - czas trwania jednego bitu b 5/8
6/8 T r T w - czas trwania jednej ramki - czas trwania jednej wieloramki T 0 - okres główny sygnału okresowego TDM - zwielokrotnienie sygnałów w dziedzinie czasu j T e - stosunek zwrotny systemu dyskretnego U2 - kod binarny z uzupełnieniem do dwóch u n - dyskretny sygnał skoku jednostkowego (jedynka Heaviside a) U r t - wielomian ultrasferyczny v - sygnał napięciowy ciągły w n - okno dyskretne j W e - widmo okna dyskretnego W - szerokość listka głównego widma okna M kn W - współczynnik obrotu w przekształceniu DFT n t n n n - gwiazdka oznacza liczę zespoloną sprzężoną e n - część o symetrii parzystej sygnału dyskretnego n - sygnał dyskretny - sygnał ciągły hn - gwiazdka oznacza splot sygnałów h n - gwiazdka w kółku (lub w kółku) oznaczają splot kołowy (in. cykliczny) o n - część o symetrii nieparzystej sygnału dyskretnego n q t - sygnał skwantowany I n - cześć urojona sygnału n R n - cześć rzeczywista sygnału n n - część przyczynowa sygnału n n X z - transformata Z sygnału n - część antyprzyczynowa sygnału n X - widmo, transformata Fouriera sygnału t j X e - widmo, dyskretno-czasowa transformata Fouriera sygnału n j j X I e - część urojona widma X e j j X R e - część rzeczywista widma X e j e n X - widmo amplitudowe sygnału y s n - odpowiedź swobodna systemu dyskretnego y w n - odpowiedź wymuszona systemu dyskretnego Z i 1 - przekształcenie (transformcja) zet sygnału dyskretnego z B z z - zero transmitancji H, pierwiastek wielomianu z - transmitancja członu opóźniającego sygnał dyskretny o jeden takt T z n - dyskretny sygnał analityczny l n - kowariancja sygnału dyskretnego l - kowariancja skrośna sygnałów dyskretnych n i y n y - kwant, szerokość przedziału kwantowania kwantyzatora
7/8 n - delta Kroneckera (impuls jednostkowy w układach dyskretnych) t - delta Diraca (impuls jednostkowy w układach ciąglych) t - dystrybucja grzebieniowa T - dyspersja sygnału j g e - opóźnienie grupowe n - faza chwilowa sygnału analitycznego z n g - pulsacja graniczna filtru w radianach na sekundę n - pulsacja chwilowa sygnału analitycznego z n - szybkość yquista w jednostkach 2 Sa / s - szybkość próbkowania (in. p ) w jednostkach s 2 Sa / s Przedmowa Podręcznik jest przeznaczony dla studentów kierunków Elektronika i Telekomunikacja, Inżynieria Biomedyczna oraz Automatyka i Robotyka. Obejmuje on zagadnienia z zakresu cyfrowego przetwarzania sygnałów przerabiane na takich przedmiotach jak Przetwarzanie Sygnałów, Filtry Cyfrowe, Zastosowania Procesorów Sygnałowych. Ma stanowić pomoc przy prowadzeniu zajęć z ćwiczeń tablicowych, zajęć laboratoryjnych, projektu z zastosowań procesorów sygnałowych. Zawiera wiele przykładów i zadań do samodzielnego rozwiązania. a temat cyfrowego przetwarzania sygnałów napisano już tak wiele podręczników, że trudno jest znaleźć tytuł dla nowego podręcznika, który nie pokrywałby się z którymś z dotychczasowych tytułów, a jednocześnie oddawał treść podręcznika. Tutaj wybrano tytuł Technika cyfrowego przetwarzania sygnałów, gdzie słowo technika oznacza metody, sposoby cyfrowego przetwarzania sygnałów. W podręczniku położono nacisk na zagadnienia podstawowe. Zastosowania ograniczono do podstawowych zagadnień cyfrowej filtracji. Zakres zastosowań cyfrowego przetwarzania sygnałów jest tak szeroki, że poszczególnym zastosowaniom poświęca się oddzielne książki. Wymóg dopasowania podręcznika do potrzeb studentów na najniższych semestrach studiów spowodował też, że pominięto wiele dzisiaj już klasycznych, ale nieco bardziej zaawansowanych zagadnień z dziedziny cyfrowego przetwarzania sygnałów jak na przykład filtracja sygnałów losowych (filtry adaptacyjne), modulacje różnicowe, czy dyskretne przekształcenie falkowe. W każdym podręczniku bardzo ważna jest kolejność omawiania zagadnień. W przypadku podręczników z dziedziny cyfrowego przetwarzania sygnałów trudne jest podjęcie decyzji, w którym miejscu omawiać twierdzenie o próbkowaniu. Jest to twierdzenie o fundamentalnym znaczeniu dla systemów cyfrowych i z jednej strony powinno być omawiane jak najwcześniej, a z drugiej strony można je wyprowadzić, dogłębnie zrozumieć dopiero po omówieniu dyskretno-czasowego przekształcenia Fouriera (DTFT). We współczesnych podręcznikach autorzy radzą sobie w ten sposób, że na samym początku podają to twierdzenie i korzystają z niego w podstawowym zakresie, a następnie powracają do tego twierdzenia i omawiają je szczegółowo dopiero po omówieniu przekształcenia DTFT. Tak też zrobiono w niniejszym podręczniku. Innym problemem jest przyjęcie właściwej kolejności omawiania przekształceń całkowych sygnału. W niniejszym podręczniku najpierw omówiono przekształcenie Z, a następnie przekształcenie DTFT. Dzięki temu czytelnik przechodząc do analizy widmowej zna już pojęcia charakterystyk czasowych, pojęcia zera i bieguna
8/8 transmitancji i może badać ich wpływ na charakterystyki częstotliwościowe systemu. Jeśli chodzi o przekształcenia DFT i FFT, to tutaj nie ma kontrowersji, zawsze są one omawiane dopiero po przekształceniu DTFT. W rozdziale 1 scharakteryzowano ogólnie system cyfrowego przetwarzania sygnałów. Bardziej szczegółowo sygnały i systemy dyskretne i cyfrowe opisano w rozdziale 2. Pokazano w jaki sposób jest tworzony sygnał cyfrowy z sygnału analogowego. Opisano podstawowe działania wykonywane na sygnałach dyskretnych i sklasyfikowano systemy dyskretne. Rozdział 3 jest poświęcony układom z sygnałami dyskretnymi. W szczególności opisano przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe jako układy występujące na styku części analogowej i cyfrowej systemu. W rozdziale 4 opisano przekształcenie Z sygnałów dyskretnych jako podstawowe narzędzie służące do badania procesów przejściowych zachodzących w systemach dyskretnych. Inne przekształcenie całkowe sygnału, dyskretnoczasowe przekształcenie Fouriera DTFT opisano w rozdziale 5. Jest to przekształcenie pozwalające badać widma sygnałów dyskretnych i charakterystyki częstotliwościowe systemów dyskretnych. Z kolei dyskretne przekształcenie Fouriera DFT opisane w rozdziale 6 jest przystosowane do przeprowadzania analizy widmowej z użyciem komputerów i procesorów sygnałowych, gdzie w skończonym czasie można operować tylko skończoną liczbą próbek sygnału lub widma (analiza jest przeprowadzana w czasie rzeczywistym). W rozdziale 7 opisano podstawowe właściwości i metody projektowania filtrów ze skończoną odpowiedzią impulsową FIR. Pokazano przykład realizacji zaprojektowanego filtru FIR z użyciem procesora sygnałowego. Podobnie w rozdziale 8 opisano podstawowe właściwości i metody projektowania filtrów z nieskończoną odpowiedzią impulsową IIR i pokazano przykład realizacji zaprojektowanego filtru z użyciem procesora sygnałowego. Dodatek A poświęcono wyjaśnieniu takich podstawowych pojęć jak informacja, wiadomość, sygnał, entropia. Do wydania tego podręcznika przyczyniło się wiele osób, którym należą się słowa podziękowania. Przede wszystkim pragnę serdecznie podziękować panu prof. dr hab. inż. Krzysztofowi Goczyle, Dziekanowi Wydziału ETI Politechniki Gdańskiej, za poparcie idei wydania tego podręcznika jak i za wymierne wsparcie w postaci poniesienia 50% kosztów wydawnictwa. Dziękuję panu prof. dr hab. inż. Andrzejowi Czyżewskiemu, Kierownikowi Katedry Systemów Multimedialnych, za wszechstronną pomoc w pracach nad podręcznikiem (w tym niezwykle dla mnie ważną pomoc organizacyjną), jak też za pokrycie 50% kosztów wydawnictwa. Dziękuję pani prof. dr hab. inż. Ewie Hermanowicz, Kierowniczce Zespołu Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów, za zachętę do napisania tego podręcznika. Pani Profesor była pierwszą osobą, która zwróciła mi uwagę na to, że mając zgromadzoną tak dużą liczbę materiałów dydaktycznych powinienem pomyśleć o ich wydaniu w formie podręcznika. Dziękuję pani prof. dr hab. inż. Bożenie Kostek, Kierowniczce Laboratorium Akustyki Fonicznej, za wieloletnią współpracę dydaktyczną, która zaowocowała napisaniem tego podręcznika. Szczególnie gorące podziękowania składam panu prof. dr hab. inż. Adamowi Dąbrowskiemu z Wydziału Informatyki Politechniki Poznańskiej za przygotowanie szczegółowej recenzji maszynopisu podręcznika. Recenzja zawierała oprócz listy poprawek redakcyjnych także ogólne uwagi i wskazówki wynikające z doświadczeń zespołu specjalizującego się w pokrewnej tematyce. Uwzględnienie tych uwag poprawiło jakość merytoryczną i czytelność podręcznika. Andrzej Leśnicki